2012年北京市朝阳区高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2012年北京市朝阳区高考数学二模试卷（文科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 设集合U ={0, 1, 2, 3, 4, 5}，A ={1, 2}，B ={x ∈Z |x 2−5x +4<0}，则∁U (A ∪B)=( ) A.{0, 1, 2, 3} B.{5} C.{1, 2, 4} D.{0, 4, 5}

2. 在复平面内，复数z =i 2−i

对应的点所在的象限是（ ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3. 如果命题“p 且q ”是假命题，“¬q ”也是假命题，则（ ） A.命题“¬p 或q ”是假命题 B.命题“p 或q ”是假命题 C.命题“¬p 且q ”是真命题 D.命题“p 且¬q ”是真命题

4. 在△ABC 中，|AB →

|=2，|AC →

|=3，AB →

⋅AC →

<0，且△ABC 的面积为3

2，则∠BAC 等于（ ） A.60∘或120∘ B.120∘ C.150∘ D.30∘或150∘

5. 已知双曲线x 2

m −y 25=1(m >0)的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点相同，则此双曲线的离心率为（ ）

A.6

B.

3√2

2

C.3

2

D.3

4

6. 如图，一个空间几何体的正视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边

长都为1，那么这个几何体的表面积为（ ）

A.1

6

B.√3

2

C.3

2+

√34

D.3

2+

√32

7. 给出下列命题：p ：函数f(x)=sin 4x −cos 4x 的最小正周期是π；q:∃x ∈R ，使得log 2(x +1)<0；r ：已知向量a →

=(λ, 1)，b →

=(−1, λ2

)，c →

=(−1, 1)，则(a →

+b →

) // c →

的充要条件是λ=−1．其中所有真命题是（ ） A.q B.p

C.p ，r

D.p ，q

8. 已知函数f(x)={2，x >m ，

x 2

+4x +2，x ≤m ，

的图象与直线y =x 恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( )

A.(−∞, −1]

B.[−1, 2)

C.[−1, 2]

D.[2, +∞)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

函数y =2cos x ，x ∈[0, 2π]的单调递增区间是________．

运行如图所示的程序框图，输出的结果是________．

直线y =kx +3与圆(x −3)2+(y −2)2=4相交于M ，N 两点，若MN =2√3，则实数k 的值是________．

若实数x ，y 满足{x −y +1≤0

x ≤0

则x 2+y 2的最小值是________．

一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x ∈N ∗)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x −x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y （万元）与x （件）的函数关系式为________

，该工厂

的年产量为________件时，所得年利润最大．（年利润=年销售总收入-年总投资）

在如图所示的数表中，第i行第j列的数记为a i,j，且满足a1,j=2j−1，a i,1=i，a i+1,j+1=a i,j+a i+1,j(i,j∈N∗)，则此数表中的第2行第7列的数是________；记第3行的数3，5，8，13，22，39，…为数列{b n}，则数

列{b n}的通项公式是________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.

已知函数f(x)=√3sin x cos x−cos2x+m(m∈R)的图象过点M(π

12

, 0)．

（1）求m的值；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c cos B+b cos C＝2a cos B，求f(A)的取值范围．

高三年级进行模拟考试，某班参加考试的40名同学的成绩统计如下：

规定分数在90分及以上为及格，120分及以上为优秀，成绩高于85分低于90分的同学为希望生．已知该班希望生有2名．

（1）从该班所有学生中任选一名，求其成绩及格的概率；

（2）当a=11时，从该班所有学生中任选一名，求其成绩优秀的概率；

（3）从分数在(70, 90)的5名学生中，任选2名同学参加辅导，求其中恰有1名希望生的概率．

如图，四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，EF // AB，AB=4，AE=2，EF=

1．（1）求证：BC⊥AF；

（2）若点M在线段AC上，且满足CM=1

4

CA，求证：EM // 平面FBC；

（3）试判断直线AF与平面EBC是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

设函数f(x)=a ln x+2a2

x

(a≠0)．

（1）已知曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线l的斜率为2−3a，求实数a的值；

（2）讨论函数f(x)的单调性；

（3）在（1）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有f(x)≥3−x．

在平面直角坐标系xOy中，点E到两点F1(−1, 0)，F2(1, 0)的距离之和为2√2，设点E的轨迹为曲线C．

（1）写出C的方程；

（2）设过点F2(1, 0)的斜率为k(k≠0)的直线l与曲线C交于不同的两点M，N，点P在y轴上，且|PM|=|PN|，求点P纵坐标的取值范围．

已知数列A n :a1，a2，…，a n，满足a1=a n=0，且当2≤k≤n(k∈N∗)时，(a k−a k−1)2=1．令S(A n)=

a1+a2+...+a n．

（I）写出S(A5)的所有可能取值；

（II）求S(A n)的最大值．