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浙江省宁波市高二下学期开学数学试卷

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2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期中数学试卷一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数y =√x +1在x ＝3处的导数是（ ） A ．14B ．12C ．2D ．42．设数列{a n }满足a 1=1，a n a n+1=(−1)n (n +1)2，则a 3＝（ ） A ．4 B ．﹣4C ．94D ．−943．若方程x 22−m+y 23+m =1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ） A ．−3＜m ＜−12B ．−12＜m ＜2C ．m ＜﹣3D ．m ＞24．2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）参考数据：1.0648≈1.64，1.0649≈1.75，1.06410≈1.86，1.06411≈1.98 A ．17.9万亿B ．19.1万亿C ．20.3万亿D ．21.6万亿5．函数y ＝e x ﹣2x 图象与直线y ＝a 恰有两个不同的交点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2﹣2ln 2） B ．（2﹣2ln 2，+∞） C ．[2﹣2ln 2，+∞）D ．（2﹣ln 2，+∞）6．已知a =1.01，b =e 0.01，c =√1.02，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−16=1的左、右焦点，O 为坐标原点，M 是椭圆C 上的点（不在坐标轴上），∠F 1MF 2的平分线交OF 2于N ，且ON ＝2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(0，13)D ．(13，1)8．已知无穷正整数数列{a n }满足a n+2=a n +2023a n+1+1(n ∈N ∗)，则a 1的可能值有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．9二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．定义在R 上的可导函数y ＝f （x ）的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．f （1）＜f （6）B ．函数y ＝f （x ）的最大值为f （5）C ．1是函数y ＝f （x ）的极小值点D ．3是函数y ＝f （x ）的极小值点10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ）A ．若{a n }为递减等比数列，则{a n }的公比q ∈（0，1）B ．“{a n }为等差数列”是“{Sn n}为等差数列”的充要条件C ．若{S n }为等比数列，则{a n }可能为等比数列D ．若对于任意的p ，q ∈N *，数列{a n }满足a p +q ＝a p a q ，且各项均不为0，则{a n }为等比数列11．已知数列{a n }满足a n+1=a n 2+2a n ，a 1=2，设b n ＝log 3（1+a n ），记{b n }的前n 项和为S n ，{1S n}的前n 项和为T n ，则（ ） A ．{b n }为等比数列 B ．{a n +1}为等比数列C ．S n ＝b n +1﹣1D ．T n ＜212．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 24−y 25=1的左、右焦点，点A 为双曲线右支上任意一点，点M （2，3），下列结论中正确的是（ ） A ．|AF 1|﹣|AF 2|＝4B ．|AM |+|AF 1|的最小值为4+√10C ．过M 与双曲线有一个公共点直线有3条D ．若∠F 1AF 2＝90°，则△F 1AF 2的面积为5 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n }为等比数列，a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝12，则a 5+a 6＝ ． 14．设函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处可导且f ′（x 0）＝2，则limℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ= ．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 11＞0，S 12＜0，数列{Sn a n}(1≤n ≤11)中最大的项为第 项． 16．若函数f （x ）＝（x ﹣m ）2+lnx 在区间（1，2）上有单调递增区间，则实数m 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列﹣2，1，4，7，10，…，现在其每相邻两项之间插入一个数，使得插入的所有数成为一个新的等差数列{a n }． （1）求新数列{a n }的通项公式；（2）16是新数列{a n }中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由． 18．（12分）已知函数f(x)=13x 3+ax 2+b ，a ，b ∈R ，f(x)在x ＝2处取到极小值23．（1）求a ，b 的值；（2）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程．19．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上的点P （1，m ）到其焦点F 的距离为2． （1）求C 的方程及焦点F 的坐标．（2）过点（2，0）的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且△OAB 的面积为8，求直线l 的方程． 20．（12分）已知等差数列{a n }和正项等比数列{b n }满足：a 1＝b 1＝3，a 10﹣12＝b 2，3a 4＝b 3． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记c n ＝a n •b n ，数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ． 21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx ﹣ax +1，a ∈R ． （1）当a ＝1时，求函数f （x ）的最小值；（2）若f （x ）≥﹣a 对任意的x ＞0恒成立，求整数a 的最大值．22．（12分）已知双曲线Γ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左右顶点分别为点A ，B ，其中|AB |＝2，且双曲线过点C （2，3）．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设过点P （1，1）的直线分别交Γ的左、右支于D ，E 两点，过点E 作垂直于x 轴的直线l ，交线段BC 于点F ，点G 满足EF →=FG →．证明：直线DG 过定点，并求出该定点．2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数y =√x +1在x ＝3处的导数是（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4解：由y =√x +1，得y ′=12(x +1)−12⋅(x +1)′=12√x+1， 所以函数y =√x +1在x ＝3处的导数是2√3+1=14．故选：A ．2．设数列{a n }满足a 1=1，a n a n+1=(−1)n (n +1)2，则a 3＝（ ） A ．4B ．﹣4C ．94D ．−94解：由a n ⋅a n+1=(−1)n ⋅(n +1)2，a 1=1，得a 1⋅a 2=(−1)⋅(1+1)2=−4，则a 2＝﹣4， 又a 2a 3=(−1)2⋅(2+1)2=9，得a 3=−94． 故选：D ． 3．若方程x 22−m+y 23+m =1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ） A ．−3＜m ＜−12B ．−12＜m ＜2C ．m ＜﹣3D ．m ＞2解：由题意可得：0＜3+m ＜2﹣m ，解得−3＜m ＜−12， ∴m 的取值范围为(−3，−12)． 故选：A ．4．2023年10月17～18日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%．现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（ ）参考数据：1.0648≈1.64，1.0649≈1.75，1.06410≈1.86，1.06411≈1.98 A ．17.9万亿B ．19.1万亿C ．20.3万亿D ．21.6万亿解：依题意可得：从2013年到2022年的每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列{a n }，其中a1＝10.9，公比q＝1+6.4%＝1.064，所以2022年进出口累计总额为a10=a1q9=10.9×1.0649≈10.9×1.75≈19.1（万亿）．故选：B．5．函数y＝e x﹣2x图象与直线y＝a恰有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，2﹣2ln2）B．（2﹣2ln2，+∞）C．[2﹣2ln2，+∞）D．（2﹣ln2，+∞）解：函数y＝e x﹣2x的定义域为R，求导得y′＝e x﹣2，当x＜ln2时，y′＜0，函数y＝e x﹣2x递减，函数单调减区间为（﹣∞，ln2），当x＞ln2时，y′＞0，函数y＝e x﹣2x递增，函数单调增区间为（ln2，+∞），当x＝ln2时，函数y＝e x﹣2x取得最小值2﹣2ln2，如图，所以函数y＝e x﹣2x图象与直线y＝a恰有两个不同的交点时，a＞2﹣2ln2．故选：B．6．已知a=1.01，b=e0.01，c=√1.02，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a解：令f（x）＝e x﹣（x+1），则f′（x）＝e x﹣1，可知x＜0时f′（x）＜0，x＞0时f′（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，所以f（x）≥f（0）＝0，所以e x≥x+1，x＝0时等号成立，所以b＝e0.01＞0.01+1＝1.01＝a，故b＞a，又√x≤1+x2，当x＝1时等号成立，则c=√1.02＜1+1.022=1.01=a，故c＜a，综上，b＞a＞c．故选：C．7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2−16=1的左、右焦点，O 为坐标原点，M 是椭圆C 上的点（不在坐标轴上），∠F 1MF 2的平分线交OF 2于N ，且ON ＝2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(0，13)D ．(13，1)解：设椭圆的焦距为2c （c ＞0），则c 2＝a 2﹣（a 2﹣16）＝16，即c ＝4， 因为MN 平分∠F 1MF 2，且ON ＝2， 所以|MF 1||MF 2|=|NF 1||NF 2|=62=3，由椭圆的定义知，|MF 1|+|MF 2|＝2a ， 所以|MF 1|=32a ，|MF 2|=a 2， 因为a ﹣c ＜|MF 1|＜a +c ，所以a ﹣c ＜32a ＜a +c ，解得a ＜2c ，即ca＞12，所以离心率e =ca∈（12，1）．故选：B ．8．已知无穷正整数数列{a n }满足a n+2=a n +2023a n+1+1(n ∈N ∗)，则a 1的可能值有（ ）个．A ．2B ．4C ．6D ．9解：由a n+2=a n+2023a n+1+1，得a n +2+a n +2•a n +1＝a n +2023，当n ≥2时，a n +1+a n +1•a n ＝a n ﹣1+2023，两式相减得a n +2﹣a n +1+a n +1（a n +2﹣a n ）＝a n ﹣a n ﹣1，即a n +2﹣a n +a n +1（a n +2﹣a n ）＝a n +1﹣a n ﹣1， 于是（a n +2﹣a n ）（a n +1+1）＝a n +1﹣a n ﹣1，依题意a n +1+1＞1， 若a n +2﹣a n ≠0，有a n+2−a n =a n+1−a n−1a n+1+1，则0＜|a n+2−a n |=|a n+1−a n−1a n+1+1|＜|a n+1−a n−1|，即{|a n +2﹣a n |}是递减数列，由于{a n }是无穷正整数数列，则必存在n ≥N *，使得|a n +2﹣a n |＝0与|a n +2﹣a n |＞0矛盾， 因此a n +2﹣a n ＝0，即a n +2＝a n ，于是数列{a n }是周期为2的周期数列，当n ＝1时，由a 3＝a 1，得a 1=a 1+2023a 2+1，即a 1a 2＝2023＝1×2023＝7×17×17， 从而a 1∈{1，2023，7，17，119，289}，∴a 1的可能值有6个． 故选：C ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．定义在R 上的可导函数y ＝f （x ）的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．f （1）＜f （6）B ．函数y ＝f （x ）的最大值为f （5）C ．1是函数y ＝f （x ）的极小值点D ．3是函数y ＝f （x ）的极小值点解：易知函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，6）上单调递增，在（6，+∞）上单调递减， 所以f （1）＜f （6），故选项A 正确； 因为f （5）＜f （6），故选项B 错误；因为y ＝f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，6）上单调递增， 所以1是函数y ＝f （x ）的极小值点，故选项C 正确； 当x ＝3时，f ′（x ）的符号未发生改变，所以3不是函数y ＝f （x ）的极小值点，故选项D 错误． 故选：AC ．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ）A ．若{a n }为递减等比数列，则{a n }的公比q ∈（0，1）B ．“{a n }为等差数列”是“{Snn }为等差数列”的充要条件C ．若{S n }为等比数列，则{a n }可能为等比数列D ．若对于任意的p ，q ∈N *，数列{a n }满足a p +q ＝a p a q ，且各项均不为0，则{a n }为等比数列 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，取a n =−2n−1，则{a n }为递减等比数列，公比q ＝2∉（0，1），故A 错误； 对于B ，若{a n }为等差数列，则S n =na 1+n(n−1)2d ，所以S n n =a 1+(n −1)d 2， 故S n+1n+1−S n n=(n +1−1)d 2−(n −1)d 2=d 2（常数），故{Sn n }为等差数列，若{S n n}为等差数列，则S n n=a 1+(n −1)d′，即S n ＝na 1+n （n ﹣1）d ′，所以S n +1＝（n +1）a 1+n （n +1）d ′，两式相减得a n +1＝S n +1﹣S n ＝a 1+2nd ′， 所以a n ＝a 1+2（n ﹣1）d ′，故a n +1﹣a n ＝2d ′（常数），所以{a n }为等差数列，所以“{a n }为等差数列”是“{Sn n }为等差数列”的充要条件，故B 正确；对于C ，若S n ＝1，满足{S n }为等比数列，此时a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝0， 所以a n ={1，n =10，n ≥2，不是等比数列，故C 错误；对于D ，任意的p ，q ∈N *，满足a p +q ＝a p a q ，不妨取p ＝1，q ＝n ，则 a n +1＝a 1a n ，因为各项均不为0，所以a n+1a n=a 1（不为0的常数），故{a n }为等比数列，故D 正确． 故选：BD ．11．已知数列{a n }满足a n+1=a n 2+2a n ，a 1=2，设b n ＝log 3（1+a n ），记{b n }的前n 项和为S n ，{1S n}的前n 项和为T n ，则（ ） A ．{b n }为等比数列 B ．{a n +1}为等比数列C ．S n ＝b n +1﹣1D ．T n ＜2解：由a n+1=a n 2+2a n ，a 1=2，知a n ＞0，且a n+1+1=(a n +1)2，两边取对数得log 3（a n +1+1）＝2log 3（a n +1）， 即b n +1＝2b n ，而b 1＝log 3（1+a 1）＝1， 所以b n ＞0， 所以b n+1b n=2，即数列{b n }为等比数列，故选项A 正确；由a n+1+1=(a n +1)2，知a n+1+1a n +1=a n +1，不是常数，即选项B 错误；因为{b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以b n =1×2n−1=2n−1，S n =1−2n1−2=2n −1=b n+1−1，即选项C 正确；因为1S n=12n −1＜1+12n −1+1=(12)n−1(n ≥2)，所以T n ＜(12)0+(12)1+⋯+(12)n−1=1−(12)n 1−12=2−2(12)n ＜2（n ≥2），当n ＝1时，T 1=1S 1=1＜2成立， 综上，T n ＜2，即选项D 正确． 故选：ACD ．12．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 24−y 25=1的左、右焦点，点A 为双曲线右支上任意一点，点M （2，3），下列结论中正确的是（ ） A ．|AF 1|﹣|AF 2|＝4B ．|AM |+|AF 1|的最小值为4+√10C ．过M 与双曲线有一个公共点直线有3条D ．若∠F 1AF 2＝90°，则△F 1AF 2的面积为5 解：如图，由双曲线方程x 24−y 25=1，知2a ＝4，所以由双曲线定义知|AF 1|﹣|AF 2|＝2a ＝4，故A 正确；因为c 2＝a 2+b 2＝9，所以F 2（3，0），|MF 2|=√(2−3)2+(3−0)2=√10， 由|AM|+|AF 1|=|AM|+|AF 2|+4≥|MF 2|+4=√10+4，故B 正确；过M 与两渐近线平行的直线仅有1个交点，过M 与左支相切与右支无交点的直线有1条， 过M 与右支相切且与左支无交点的直线有1条，故共有4条，故C 错误；若∠F 1AF 2＝90°，则|AF 1|2+|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即（|AF 1|﹣|AF 2|）2+2|AF 1|•|AF 2|＝|F 1F 2|2， 所以4a 2+2|AF 1|⋅|AF 2|=4c 2，解得|AF 1|⋅|AF 2|=12(36−16)=10， 所以S △F 1AF 2=12|AF 1|•|AF 2|=12×10＝5，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n }为等比数列，a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝12，则a 5+a 6＝ 48 ． 解：根据题意，设数列{a n }的公比为q ，由于a 1+a 2＝3，a 3+a 4＝12，则有a 3+a 4a 1+a 2=q 2=4，所以a 5+a 6=q 2(a 3+a 4)=4×12=48． 故答案为：48．14．设函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处可导且f ′（x 0）＝2，则lim ℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ= 4 ． 解：由limℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)ℎ=2lim ℎ→0f(x 0+2ℎ)−f(x 0)2ℎ=2f′(x 0)=4．故答案为：4．15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 11＞0，S 12＜0，数列{Sn a n}(1≤n ≤11)中最大的项为第 6 项．解：根据题意，等差数列{a n }中，S 11＞0，S 12＜0， 则有S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6＞0，S 12=12(a 1+a 12)2=6(a 6+a 7)＜0，显然a 7＜﹣a 6＜0，且|a 7|＞a 6，等差数列{a n }的公差d ＝a 7﹣a 6＜﹣2a 6＜0， 即数列{a n }是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数， 数列{S n }的最大项为S 6，a 6是数列{|a n |}中的最小项，且a 6＞0， 所以数列{Sn a n}(1≤n ≤11)中最大的项为S 6a 6，是第6项．故答案为：6．16．若函数f （x ）＝（x ﹣m ）2+lnx 在区间（1，2）上有单调递增区间，则实数m 的取值范围是 (−∞，94) ． 解：已知f （x ）＝（x ﹣m ）2+lnx ，函数定义域为（0，+∞）， 可得f ′（x ）＝2（x ﹣m ）+1x ， 因为f ′（x ）＞0在（1，2）上有解， 即m ＜x +12x 在（1，2）上有解， 由对勾函数的性质可知函数y =x +12x在（1，2）上单调递增， 所以y =x +12x 在x ＝2时取得最大值， 此时m ＜2+14=94，则实数m 的取值范围为(−∞，94)．故答案为：(−∞，94)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等差数列﹣2，1，4，7，10，…，现在其每相邻两项之间插入一个数，使得插入的所有数成为一个新的等差数列{a n }．（1）求新数列{a n }的通项公式；（2）16是新数列{a n }中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由．解：（1）设原等差数列为{b n }，易知b 1＝﹣2，b 2＝1，则d ＝b 2﹣b 1＝3，则b n ＝b 1+（n ﹣1）•d ＝3n ﹣5，由题意知：2a n ＝b n +b n +1＝3n ﹣5+3（n +1）﹣5＝6n ﹣7，则a n =3n −72．（2）令a n =16⇒3n −72=16⇒n =132∉N ∗，故16不是新数列{a n }中的项．18．（12分）已知函数f(x)=13x 3+ax 2+b ，a ，b ∈R ，f(x)在x ＝2处取到极小值23． （1）求a ，b 的值；（2）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程．解：（1）已知f （x ）=13x 3+ax 2+b ，函数定义域为R ，可得f ′（x ）＝x 2+2ax ，因为f （x ）在x ＝2处取到极小值23， 所以{f ′(2)=4+4a =0f(2)=83+4a +b =23， 解得a ＝﹣1，b ＝2，当a ＝﹣1，b ＝2时，f ′（x ）＝x 2﹣2x ，当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以函数f （x ）在x ＝2处取得极小值，则a ＝﹣1，b ＝2满足题意；（2）由（1）知f(x)=13x 3−x 2+2，可得f ′（x ）＝x 2﹣2x ，此时f ′（1）＝﹣1，又f （1）=43，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y −43=−（x ﹣1），即3x +3y ﹣7＝0．19．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上的点P （1，m ）到其焦点F 的距离为2．（1）求C 的方程及焦点F 的坐标．（2）过点（2，0）的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且△OAB 的面积为8，求直线l 的方程． 解：（1）由抛物线的定义可得：|PF|=x ，+p 2=2=1+p 2，解得P ＝2，所以抛物线的方程为C ：y 2＝4x ；（2）由题意可设直线方程为x ＝ty +2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{x =ty +2y 2=4x，得y 2﹣4ty ﹣8＝0， 所以Δ＝16t 2+4×8＞0，y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝﹣8，因为S △AOB =12×2×|y 1﹣y 2|＝|y 1﹣y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16t 2+32， 所以t 2＝2，得t =±√2，故直线l 的方程为：x =±√2y +2．20．（12分）已知等差数列{a n }和正项等比数列{b n }满足：a 1＝b 1＝3，a 10﹣12＝b 2，3a 4＝b 3．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记c n ＝a n •b n ，数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，由题意知，{a 10−12=b 23a 4=b 3⇒{a 1+9d −12=b 1⋅q 3(a 1+3d)=b 1⋅q 2⇒{9d −9=3q 3(3+3d)=3⋅q 2，消元得q2﹣q﹣6＝0，解得q＝3或q＝﹣2（舍去），所以d＝2，故a n=3+2(n−1)=2n+1，b n=3⋅3n−1=3n．（2）由（1）知，c n=a n⋅b n=(2n+1)⋅3n，所以S n=(2×1+1)×31+(2×2+1)×32+(2×3+1)×33+⋯+(2n+1)×3n①，3S n=(2×1+1)×32+(2×2+1)×33+⋯+(2n−1)×3n+(2n+1)×3n+1②，①﹣②得：−2S n=3×3+2(32+33+⋯+3n)−(2n+1)⋅3n+1=3+2(3+32+⋯+3n)−(2n+1)⋅3n+1=3+2×3(1−3n)1−3−(2n+1)⋅3n+1=−2n⋅3n+1，故S n=n⋅3n+1．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax+1，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥﹣a对任意的x＞0恒成立，求整数a的最大值．解：（1）当a＝1时，f（x）＝xlnx﹣x+1，函数定义域为（0，+∞），可得f′(x)=lnx+x⋅1x−1=lnx，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝1时，函数f（x）取得极小值也是最小值，最小值f（1）＝0；（2）若f（x）≥﹣a对任意的x＞0恒成立，此时lnx−a+1+ax≥0，不妨设g(x)=lnx−a+1+ax，函数定义域为（0，+∞），可得g′(x)=1x−1+ax2=x−(1+a)x2，若1+a≤0，即a≤﹣1时，g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，无最小值，不符合题意；若1+a＞0，即a＞﹣1时，当0＜x＜1+a时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1+a时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）min＝g（1+a）＝ln（1+a）+1﹣a≥0，不妨设h （a ）＝ln （1+a ）+1﹣a ，可得ℎ′(a)=11+a −1=−a 1+a，函数定义域为（﹣1，+∞）， 当﹣1＜a ＜0时，h ′（a ）＞0，h （a ）单调递增；当a ＞0时，h ′（a ）＜0，h （a ）单调递减，又h （0）＝1＞0，h （1）＝ln 2＞0，h （2）＝ln 3﹣1＝ln 3﹣lne ＞0，h （3）＝2ln 2﹣2＝ln 4﹣lne 2＜0， 故整数a 的最大值为2．22．（12分）已知双曲线Γ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左右顶点分别为点A ，B ，其中|AB |＝2，且双曲线过点C （2，3）．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设过点P （1，1）的直线分别交Γ的左、右支于D ，E 两点，过点E 作垂直于x 轴的直线l ，交线段BC 于点F ，点G 满足EF →=FG →．证明：直线DG 过定点，并求出该定点．解：（1）由|AB |＝2a ＝2，则a ＝1，又4a 2−9b 2=1，则9b 2=4a 2−1=3，所以b 2＝3，故双曲线Γ的方程为：x 2−y 23=1． （2）证明：如图，由B （1，0），C （2，3），则BC 方程为y ＝3x ﹣3，设直线DE 方程为：y ＝k （x ﹣1）+1，D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），则y F ＝3x 2﹣3，则F （x 2，3x 2﹣3），由EF →=FG →，则G （x 2，6x 2﹣6﹣y 2），则k BD =y 1x 1−1=k(x 1−1)+1x 1−1=k +1x 1−1，k BG =b(x 2−1)−y 2x 2−1=6(x 2−1)−k(x 2−1)−1x 2−1=6−k −1x 2−1， 联立{y =k(x −1)+13x 2−y 2=3⇒(3−k 2)x 2−2k(1−k)x −(1−k)2−3=0， 则x 1+x 2=2k(1−k)3−k 2，x 1⋅x 2=−(1−k)2−33−k 2， 则1x 1−1+1x 2−1=x 1+x 2−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=2k(1−k)3−k 2−2−(1−k)2−33−k 2−2k(1−k)3−k 2=6−2k ， 所以k BD ﹣k BG ＝k ﹣（6﹣k ）+6﹣2k ＝0， 故k BD ＝k BG ，故DG 过定点B （1，0）．。

2023-2024学年浙江省宁波市五校联盟高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省宁波市五校联盟高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省宁波市五校联盟高二（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a →=(1，0，1)，b →=(x ，−1，2)，且a →⋅b →=3，则向量a →与b →的夹角为（ ） A ．5π6B ．π6C ．π3D ．2π32．双曲线x 2−y 23=1的渐近线方程是（ ） A ．y =±√33x B ．y =±√3x C ．y ＝±3x D ．y =±13x3．在坐标平面内，与点A （1，2）距离为3，且与点B （3，8）距离为1的直线共有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．圆x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣8x +6y +9＝0的位置关系是（ ） A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切5．若A （7，8），B （10，4），C （2，﹣4），求△ABC 的面积为（ ） A ．28B ．14C ．56D ．206．直线l 的方向向量为m →=(1，0，−1)，且l 过点A （1，1，1），则点P （﹣1，2，1）到l 的距离为（ ） A ．√2B ．√3C ．√6D ．2√27．已知点P 是椭圆x 225+y 216=1上一动点，Q 是圆（x +3）2+y 2＝1上一动点，点M （6，4），则|PQ |﹣|PM |的最大值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．78．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2√2，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ．在翻折过程中，直线A 1C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（ ）A ．√66B ．√10−√24C ．√5−14D ．√55二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1，圆N ：（x +2）2+（y +1）2＝1，则两圆的一条公切线方程为（ ） A ．x +2y ＝0 B ．4x +3y ＝0C ．x −2y +√5=0D ．x +2y −√5=010．若方程x 23−t+y 2t−1=1所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（ ）A ．若C 为椭圆，则1＜t ＜3，且t ≠2B ．若C 为双曲线，则t ＞3或t ＜1C ．若t ＝2，则曲线C 表示圆D ．若C 为双曲线，则焦距为定值11．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，∠ABC =π2，AB ＝P A =12CD ＝2，BC ＝4，M 为PD 的中点，则（ ）A ．BM ⊥PCB ．异面直线BM 与AD 所成角的余弦值为√3010 C ．直线BM 与平面PBC 所成角的正弦值为√77D ．点M 到直线BC 的距离为√1012．曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的点，已知对于曲线x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上点P （x 0，y 0）处的曲率半径公式为R =a 2b 2(x 02a 4+y 02b4)32，则下列说法正确的是（ ）A ．若曲线上某点处的曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小B ．若某焦点在x 轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为c （半焦距），则该椭圆离心率为√5−12C ．椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上一点处的曲率半径的最大值为b 2aD ．若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，则椭圆方程为x 216+y 24=1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上．13．已知a →=(2，−1，2)，b →=(2，2，1)，则a →在b →上的投影向量为 （用坐标表示）． 14．已知直线l 过点（3，4），且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为 ． 15．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则AN →⋅CM →= ．16．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆O ：x 2+y 2＝a 2的切线l 切圆O 于点B 并与双曲线的右支交于点C ，若|BC |＝|CF 2|则双曲线的离心率为 ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设常数a ∈R ，已知直线l 1：（a +2）x +y +1＝0，l 2：3x +ay +（4a ﹣3）＝0． （1）若l 1⊥l 2，求a 的值；（2）若l 1∥l 2，求l 1与l 2之间的距离．18．（12分）在三棱锥体P ﹣SEF 中，FM ＝3ME ，MN ＝2NS ，点H 为PF 的中点，设SP →=i →，SE →=j →，SF →=k →．（1）记a →=PN →+SH →，试用向量i →，j →，k →表示向量a →；（2）若∠ESF =π2，∠ESP =∠PSF =π3，SE ＝SF ＝4，SP ＝6，求PN →⋅SH →的值．19．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣8y +12＝0，直线l ：ax +y +2a ＝0， （1）当a 为何值时，直线l 与圆C 相切．（2）当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝2√2时，求直线l 的方程．20．（12分）若双曲线E ：x 2a2−y 2=1(a ＞0)的离心率等于√2，直线y ＝kx ﹣1与双曲线E 的右支交于A 、B 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若|AB|=6√3，点c 是双曲线上一点，且OC →=m(OA →+OB →)，求k 、m 的值．21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BB1＝2，BC＝3，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面积为10+2√13．（1）求证：平面A1BC⊥平面ABB1A1；（2）求直线CB1与平面A1BC所成角的正弦值．22．（12分）已知F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，且短轴长为2，动弦MN平行于x轴，且|F1M|+|F1N|＝4．（1）求椭圆E的方程；（2）设A，B为椭圆E的左右顶点，P为直线l：x＝4上的一动点（点P不在x轴上），连AP交椭圆于C点，连PB并延长交椭圆于D点，试问是否存在λ，使得S△ACD＝λS△BCD成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．2023-2024学年浙江省宁波市五校联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a →=(1，0，1)，b →=(x ，−1，2)，且a →⋅b →=3，则向量a →与b →的夹角为（ ） A ．5π6B ．π6C ．π3D ．2π3解：∵a →=(1，0，1)，b →=(x ，−1，2)，且a →⋅b →=3， ∴a →⋅b →=x +2＝3，解得x ＝1， ∴cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=32⋅6=√32， ∴向量a →与b →的夹角为π6． 故选：B ．2．双曲线x 2−y 23=1的渐近线方程是（ ） A ．y =±√33xB ．y =±√3xC ．y ＝±3xD ．y =±13x解：由双曲线x 2−y 23=1，得a ＝1，b =√3， ∴双曲线x 2−y 23=1的渐近线方程是y =±√3x ．故选：B ．3．在坐标平面内，与点A （1，2）距离为3，且与点B （3，8）距离为1的直线共有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解：与点A （1，2）距离为3的点的轨迹是以A （1，2）为圆心，半径为3的圆， 与点B （3，8）距离为1的点的轨迹为以B （3，8）为圆心，半径为1的圆， 由所求直线即为两圆的公切线，∵|AB |=√(3−1)2+(8−2)2=2√10，且|AB |＞1+3， ∴两圆相离，有4条公切线，∴与点A （1，2）距离为3，且与点B （3，8）距离为1的直线共有4条． 故选：D ．4．圆x 2+y 2＝1和x 2+y 2﹣8x +6y +9＝0的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切解：圆x 2+y 2＝1的圆心为（0，0），半径为1，圆x 2+y 2﹣8x +6y +9＝0可化为（x ﹣4）2+（y +3）2＝16，圆心为（4，﹣3），半径为4， 而两圆心的距离为√42+32=1+4，故两圆外切． 故选：D ．5．若A （7，8），B （10，4），C （2，﹣4），求△ABC 的面积为（ ） A ．28B ．14C ．56D ．20解：根据两点间的距离解得：AB =√(7−10)2+(8−4)2=5， k AB =8−47−10=−43，所以AB 所在直线方程为：y ﹣4=−43（x ﹣10）， 整理可得：4x +3y ﹣52＝0， 则ℎ=|8−12−52|5=565， 所以S △ABC =12×5×565=28． 故选：A ．6．直线l 的方向向量为m →=(1，0，−1)，且l 过点A （1，1，1），则点P （﹣1，2，1）到l 的距离为（ ） A ．√2B ．√3C ．√6D ．2√2解：直线l 的方向向量为m →=(1，0，−1)，且l 过点A （1，1，1）， 又点P （﹣1，2，1）， 则AP →=(−2，1，0)， 则|AP|=√5，又∵|AP →⋅m →|m →||=|−2×1+0×1+(−1)×0|√2=√2，∴则点P （﹣1，2，1）到l 的距离为√(√5)2−(√2)2=√3， 故选：B ． 7．已知点P 是椭圆x 225+y 216=1上一动点，Q 是圆（x +3）2+y 2＝1上一动点，点M （6，4），则|PQ |﹣|PM |的最大值为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7解：由椭圆x 225+y 216=1，得两个焦点分别F 1（﹣3，0），F 2（3，0）．由圆（x +3）2+y 2＝1，得圆心坐标为（﹣3，0），半径为1， 又点M （6，4），由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝10， ∴|PQ |≤|PF 1|+1＝10﹣|PF 2|+1＝11﹣|PF 2|， 又|MF 2|=√(6−3)2+(4−0)2=5，则|PQ |﹣|PM |≤11﹣|PF 2|﹣|PM |＝11﹣（|PF 2|+|PM |） ≤11﹣|MF 2|＝11﹣5＝6， ∴|PQ |﹣|PM |的最大值为6． 故选：C ．8．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2√2，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ．在翻折过程中，直线A 1C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（ ）A ．√66B ．√10−√24C ．√5−14D ．√55解：分别取DE ，DC 的中点O ，F ，点A 的轨迹是以AF 为直径的圆，以OA ，OE 为x ，y 轴，过O 与平面AOE 垂直的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C （﹣2，1，0），平面ABCD 的其中一个法向量为n →=（0，0，1），由A 1O ＝1，设A 1（cos α，0，sin α），α∈[0，2π），则CA 1→=（cos α+2，﹣1，sin α），记直线A 1C 与平面ABCD 所成角为θ，则sin θ=|CA 1→⋅n →||CA 1→||n →|=|sinα|√4cosα+6=√1−cos 2α4cosα+6，令t ＝cos α+32∈[12，52]，sin θ=√34−(516t +t 4)≤√34−√54=√10−√24，所以直线A 1C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为√10−√24． 故选：B ．二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1，圆N ：（x +2）2+（y +1）2＝1，则两圆的一条公切线方程为（ ） A ．x +2y ＝0B ．4x +3y ＝0C ．x −2y +√5=0D ．x +2y −√5=0解：如图，圆心M （2，1），N （﹣2，﹣1），半径r 1＝r 2＝1，两圆相离，有四条公切线．两圆心坐标关于原点O 对称，则有两条切线过原点O ， 设切线l ：y ＝kx ，则圆心到直线的距离√1+k 2=1，得 k ＝0 或 k =43，此时两公切线方程为y ＝0或y =43x ，另两条切线与直线MN 平行且相距为1，l MN ：y =12x ， 设切线 y =12x +b ，则√1+14=1，得 b =±√52，则 y =12x ±√52，此时两公切线方程为x ﹣2y ±√5=0． 故选：C ． 10．若方程x 23−t+y 2t−1=1所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（ ）A ．若C 为椭圆，则1＜t ＜3，且t ≠2B ．若C 为双曲线，则t ＞3或t ＜1C ．若t ＝2，则曲线C 表示圆D ．若C 为双曲线，则焦距为定值解：对于选项A ：∵C 为椭圆， ∴{3−t ＞0t −1＞03−t ≠t −1，解得1＜t ＜3，且t ≠2，故正确； 对于选项B ：∵C 为双曲线， ∴（3﹣t ）（t ﹣1）＜0， 解得t ＞3或t ＜1，故正确； 对于选项C ：当t ＝2时， 方程可化为x 2+y 2＝1， 即曲线C 表示圆，故正确； 对于选项D ：∵C 为双曲线， ∴c 2=|3−t|+|t −1|={4−2t ，t ＜12t −4，t ＞3，故焦距不为定值，故错误． 故选：ABC ．11．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，∠ABC =π2，AB ＝P A =12CD ＝2，BC ＝4，M 为PD 的中点，则（ ）A ．BM ⊥PCB ．异面直线BM 与AD 所成角的余弦值为√3010 C ．直线BM 与平面PBC 所成角的正弦值为√77D ．点M 到直线BC 的距离为√10解：过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，则DE ＝2，以A 为坐标原点，分别以AE ，AB ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B （0，2，0），C （4，2，0），D （4，﹣2，0），P （0，0，2），M （2，﹣1，1），所以BM →=（2，﹣3，1），PC →=（4，2，﹣2），BC →=（4，0，0），BP →=（0，﹣2，2），AD →=（4，﹣2，0），因为BM →•PC →=2×4+（﹣3）×2+1×（﹣2）＝0， 所以BM ⊥PC ，故A 正确； 因为cos ＜BM →，AD →＞=BM →⋅AD →|BM →||AD →|=4×2+(−3)×(−2)√14×2√5=√7010，所以直线BM 与AD 所成角的余弦值为√7010，故B 错误； 设平面PBC 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅BC →=0m →⋅BP →=0，即{4x =0−2y +2z =0，令y ＝1，得m →=（0，1，1）， 设直线BM 与平面PBC 所成角为α，则sin α＝|cos ＜BM →，m →＞|＝|BM →⋅m→|BM →||m →||=√77，所以直线BM 与平面PBC 所成角的正弦值为√77，故C 正确； 设点M 到直线BC 的距离为d ，则d =√|BM →|2−|BM →⋅BC →|BC →||2=√10，即点M 到直线BC 的距离为√10，故D 正确． 故选：ACD ．12．曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的点，已知对于曲线x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上点P （x 0，y 0）处的曲率半径公式为R =a 2b 2(x 02a 4+y 02b4)32，则下列说法正确的是（ ）A ．若曲线上某点处的曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小B ．若某焦点在x 轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为c （半焦距），则该椭圆离心率为√5−12C ．椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上一点处的曲率半径的最大值为b 2aD ．若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，则椭圆方程为x 216+y 24=1解：由题意可知x 02a 4+y 02b 4取得最大值时，曲率半径R 最大，取得最小值时，曲率半径R 最小，∵点P （x 0，y 0）在椭圆上，∴x 02a 2+y 02b2=1，∴y 02=b 2（1−x 02a2），∴x 02a 4+y 02b 4=1b 2+1a2（1a 2−1b 2）x 02，∵0≤x 02≤a 2，∵1a 2−1b 2＜0，当x 02=0时，x 02a 4+y 02b4的最大值为1b 2， 当x 02=a 2时，x 02a 4+y 02b4的最小值为1a 2，由曲率半径公式为R =a 2b 2(x 02a 4+y 02b4)32，可得曲率半径R 的最大值为a 2b ，最小值为b 2a ，故C 错误；若曲线上某点处的曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小，故A 正确； 若某焦点在x 轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为c （半焦距），则b 2a=c ，∴a 2﹣ac ﹣c 2＝0，∴1﹣e ﹣e 2＝0，e 2+e ﹣1＝0，解得e =√5−12或e =−√5−12（舍去）， ∴该椭圆离心率为√5−12，故B 正确； 若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，∴a 2b=8，b 2a=1，解得a ＝4，b ＝2，∴椭圆方程为x 216+y 24=1，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上．13．已知a →=(2，−1，2)，b →=(2，2，1)，则a →在b →上的投影向量为 (89，89，49) （用坐标表示）． 解：∵a →=(2，−1，2)，b →=(2，2，1)，∴a →⋅b →=2×2+(−1)×2+2×1=4，|b →|=√22+22+12=3， 设a →在b →上的投影向量为m →=a →⋅b→|b →|⋅b→|b →|=(89，89，49)．故答案为：(89，89，49)．14．已知直线l 过点（3，4），且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为 y =43x 或x +2y ﹣11＝0 ．解：①当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为y ＝kx ， 因为直线过点（3，4），所以k =43，所以直线l 的方程为y =43x ； ②当直线l 在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线l 在y 轴上的截距为b ，则在x 轴上的截距为2b ， 则直线l 的方程为x 2b+y b=1，又因为直线l 过点（3，4），所以32b+4b=1，解得：b =112， 所以直线l 的方程为x 11+y112=1，即x +2y ﹣11＝0，综上所述：直线l 的方程为y =43x 或x +2y ﹣11＝0． 故答案为：y =43x 或x +2y ﹣11＝0．15．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则AN →⋅CM →= ﹣7 ．解：在三棱锥A ﹣BCD 中，连结ND ，取ND 的中点为E ，连结ME ，则ME ∥AN ， 异面直线AN ，CM 所成的角就是∠EMC ．∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点， ∴AN ＝2√2，ME ＝EN =√2，MC ＝2√2， 又∵EN ⊥NC ，∴EC =√NC 2+NE 2=√3．cos ∠EMC =MC 2+ME 2−EC 22MC⋅ME =2×2×22=78．由图可知，AN →与CM →所成角为钝角，则cos ＜AN →，CM →＞=−78．∴AN →⋅CM →=|AN →||CM →|cos ＜AN →，CM →＞=2√2×2√2×(−78)=−7． 故答案为：﹣7．16．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆O ：x 2+y 2＝a 2的切线l 切圆O 于点B 并与双曲线的右支交于点C ，若|BC |＝|CF 2|则双曲线的离心率为 √5 ． 解：∵过F 1作圆x 2+y 2＝a 2的切线切圆O 于点B 并与双曲线的右支交于点C ， 且|BC |＝|CF 2|， 又|CF 1|﹣|CF 2|＝2a ， ∴|BF 1|＝2a ，又|OB |＝a ， ∴（2a ）2+a 2＝c 2，解得e =ca =√5， 故答案为：√5．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设常数a ∈R ，已知直线l 1：（a +2）x +y +1＝0，l 2：3x +ay +（4a ﹣3）＝0． （1）若l 1⊥l 2，求a 的值；（2）若l 1∥l 2，求l 1与l 2之间的距离．解：（1）根据题意，直线l 1：（a +2）x +y +1＝0，l 2：3x +ay +（4a ﹣3）＝0， 若l 1⊥l 2，则3（a +2）+a ＝0，解可得a =−32；（2）根据题意，若l 1∥l 2，则有a （a +2）＝3，解可得a ＝1或﹣3，当a ＝1时，直线l 1：3x +y +1＝0，l 2：3x +y +1＝0，两直线重合，不符合题意，当a ＝﹣3时，直线l 1：﹣x +y +1＝0，l 2：3x ﹣3y ﹣15＝0，即x ﹣y ﹣5＝0，两直线平行， 此时l 1与l 2之间的距离d =|1−5|√1+1=2√2． 18．（12分）在三棱锥体P ﹣SEF 中，FM ＝3ME ，MN ＝2NS ，点H 为PF 的中点，设SP →=i →，SE →=j →，SF →=k →．（1）记a →=PN →+SH →，试用向量i →，j →，k →表示向量a →；（2）若∠ESF =π2，∠ESP =∠PSF =π3，SE ＝SF ＝4，SP ＝6，求PN →⋅SH →的值．解：（1）∵FM ＝3ME ，MN ＝2NS ，点H 为PF 的中点，∴SM →=SE →+EM →=SE →+14EF →=SE →+14（SF →−SE →）=34SE →+14SF →，PN →=PS →+SN →=−SP →+13SM →=−SP →+13（34SE →+14SF →）=−i →+14j →+112k →，SH →=12（SP →+SF →）=12i →+12k →， ∴a →=−12i →+14j →+712k →．（2）∵∠ESF =π2，∠ESP =∠PSF =π3，SE ＝SF ＝4，SP ＝6， ∴j →•k →=4×4×cos π2=0，i →•j →=6×4×12=12，i →•k →=6×4×12=12， ∴PN →⋅SH →=（12i →+12k →）•（−i →+14j →+112k →） =−12i →2+18i →•j →−1124i →•k →+18j →•k →+124k →2 =−12×36+18×12−1124×12+18×0+124×16 =−643．19．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣8y +12＝0，直线l ：ax +y +2a ＝0， （1）当a 为何值时，直线l 与圆C 相切．（2）当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝2√2时，求直线l 的方程．（12分）解：（1）设圆心到直线的距离为d ，圆C ：x 2+y 2﹣8y +12＝0的圆心C （0，4）半径r =12√64−48=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分∵直线l ：ax +y +2a ＝0与圆相切， ∴d =|4+2a|√a 2+1=2，解得a =−34．﹣﹣﹣5分（2）∵圆心到直线的距离d =|4+2a|√a 2+1，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝2√2时，d =√r 2−(|AB|2)2=√2，﹣﹣﹣﹣﹣7分 ∴d =|4+2a|√a 2+1=√2，解得a ＝﹣7或a ＝﹣1．∴所求直线为7x ﹣y +14＝0或x ﹣y +2＝0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣12分 20．（12分）若双曲线E ：x 2a2−y 2=1(a ＞0)的离心率等于√2，直线y ＝kx ﹣1与双曲线E 的右支交于A 、B 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若|AB|=6√3，点c 是双曲线上一点，且OC →=m(OA →+OB →)，求k 、m 的值． 解：（1）由题意可知，b =1，ca =√2，c 2＝a 2+b 2． ∴a ＝b ＝1，∴双曲线方程为E ：x 2﹣y 2＝1，直线y ＝kx ﹣1与双曲线E 联立可得：（1﹣k 2）x 2+2kx ﹣2＝0． 则：{1−k 2≠0Δ＞02kk 2−1＞0⇒1＜k ＜√22k 2−1＞0．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 则x 1+x 2=−2k 1−k2，x 1x 2=−21−k2．∵|AB|=6√3，∴√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=2√(1+k 2)(2−k 2)(k 2−1)2=6√3．得：28k 4−55k 2+25=0∴k 2=57或k 2=54 又∵1＜k ＜√2∴k =√52．∵x 1+x 2=2k k 2−1=4√5y 1+y 2=k(x 1+x 2)−2=8．设C （x 0，y 0），由OC →=m(OA →+OB →)，∴（x 0，y 0）=(4√5m ，8m)，∴80m 2−64m 2=1⇒m =±14， ∴k =√52，m =±14．21．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝BB 1＝2，BC ＝3，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧面积为10+2√13．（1）求证：平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1； （2）求直线CB 1与平面A 1BC 所成角的正弦值．解：（1）证明：依题意，(2+3+AC)×2=10+2√13，AC =√13， 所以AB 2+BC 2＝AC 2，所以AB ⊥BC ， 根据直三棱柱的性质可知BB 1⊥平面ABC ， 而AB ，BC ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， 由此以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则A 1（2，0，2），C （0，3，0），设平面A 1BC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅BA 1→=2x +2z =0n →⋅BC →=3y =0，令x ＝1，则y ＝0，z ＝﹣1，故可得n →=(1，0，−1)． 平面ABB 1A 1的一个法向量是m →=(0，1，0)， 由于m →⋅n →=0，所以m →⊥n →，所以平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1．（2）由（1）得平面A 1BC 的法向量n →=(1，0，−1)， B 1(0，0，2)，C(0，3，0)，B 1C →=(0，3，−2)， 设直线CB 1与平面A 1BC 所成角为θ， 则sinθ=|B 1C →⋅n→|B 1C →|⋅|n →||=2√13×√2=√2613．22．（12分）已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，且短轴长为2，动弦MN平行于x 轴，且|F 1M |+|F 1N |＝4． （1）求椭圆E 的方程；（2）设A ，B 为椭圆E 的左右顶点，P 为直线l ：x ＝4上的一动点（点P 不在x 轴上），连AP 交椭圆于C 点，连PB 并延长交椭圆于D 点，试问是否存在λ，使得S △ACD ＝λS △BCD 成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 解：（1）因为椭圆E 的短轴长为2， 所以b ＝1，由椭圆的对称性得|F 1M |＝|F 2N |， 又因为|F 1M |+|F 1N |＝4， 所以|F 2N |+|F 1N |＝4， 此时2a ＝4， 解得a ＝2， 则椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；（2）不妨设P （4，y 0）（y 0≠0）， 由（1）知A （﹣2，0）， 此时k AP =y 06， 则直线AP 的方程为y =y6(x +2)，联立{y =y6(x +2)x 24+y 2=1，消去y 并整理得(9+y 2)x 2+4y 02x +4y 02−36=0，由韦达定理得x A +x C =−2+x C =−4y 029+y 02，解得x C =18−2y 029+y 02，所以y C=6y0 9+y02同理得x D=2y02−21+y02，y D=−2y01+y02，此时k CD=y C−y Dx C−x D=2y03−y02则直线CD的方程为(3−y02)y+2y0(−x+1)=0，易知直线CD恒过定点（1，0）．故S△ACDS△BCD =|CD|⋅|AE|sin∠AEC|CD|⋅|BE|sin∠BEC=|AE||BE|=31=3=λ．。

浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(A)

浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(A)

浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（A）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________由图象可得不等式()2log f x x >解集为1,22æöç÷èø，故选：C【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确的作出函数的图象，数形结合，求得不等式解集.．B【分析】由题意得在四棱锥D ABCE ¢-中^AE 平面D CE ¢．作MN AB ^于N ，连D N ¢，可证得AB ^平面D MN ¢．然后作因为几何体是由等高的半个圆所以45Ð=Ð=°，ECD DCG因为//BC EF，BC EF=，所以四边形BCEF为平行四边形，因为BC^平面ABF，BFÌ:(1)(1)0(0)11q x a x a a a x a -+--£>Û-££+．∵p 是q 的充分不必要条件，∴{|210}x x -££是{|11}x a x a -££+的真子集，故有121100a a a -£-ìï+>íï>î或121100a a a -<-ìï+³íï>î，解得9a ³，因此，所求实数a 的取值范围为[9,)+¥．22．（1）1a £；（2）证明见解析.【分析】（1）问题转化为()0f x ¢³对R x "Î恒成立.求导后分离参数得到x a e x £-，设()x h x e x =-，利用导数研究单调性，求得最小值，根据不等式恒成立的意义得到所求范围；（2）由1x ，2x 为两个极值点不妨设12x x >，联立极值点的条件，并结合要证不等式，消去a ，将要证不等式转化为只含有1x ，2x 的不等式，适当变形转化为只含有12x x -的不等式，作换元120t x x =->，转化为关于t 的不等式，构造函数，利用导数研究单调性，进而证明即可.【详解】（1）()f x Q 是R 上是增函数，(),0x x R f x e x a ¢\"Î=--³，()min x a e x \£-，答案第241页，共22页。

浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷

浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷

浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷一、单选题1．在等差数列{}n a 中，已知12a =，315S =，则4a 等于（ ）A ．11B ．13C ．15D ．162．若椭圆2212x y m +=的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则m 的值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．53．若点P 到直线1x =-和它到点()1,0的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ）A ．2x y=B ．2y x=C ．24x y=D ．24y x=4．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列{}n a 满足：11a =，1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数当为奇数，则2024S =（ ）A ．4720B ．4722C ．4723D ．47255．已知函数()f x 是奇函数，函数()g x 是偶函数，且当0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则0x <时，以下说法正确的是（ ）A ．()()0f x g x ''+>B ．()()0f xg x ''->C ．()()0f x g x ''>D ．()()0f x g x ''>6．若函数()211kx f x x +=+在[)2,+∞上单调递增，则k 的取值范围为（ ）A ．43k ≥-B ．1k ≤-C ．1k ≤D ．43k ≤-7．已知2023log 2024a =，2024log 2025b =，2025log 2026c =，则（ ）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．c b a>>D ．c a b>>8．已知椭圆22:13627x y C +=，左焦点为F ，在椭圆C 上取三个不同点P 、Q 、R ，且2π3PFQ QFR RFP ∠=∠=∠=，则123FP FQ FR ++的最小值为（ ）A．43B．43C．43D．43二、多选题9．下列选项正确的是（ ）A ．1y x=，21y x '=-B ．2x y =，2ln2x y '=C ．ln y x =，1y x'=D ．cos2y x =，sin2y x=-'10．已知抛物线2:4C y x =，F 为其焦点，直线l 与抛物线交C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 为抛物线上的一点，点B 坐标为()3,1，则AF AB +的最小值为3B ．若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与1x =-相切C ．若直线l 过焦点F ，当MN OF ⊥时，则5OM ON ⋅=D ．设直线MN 的中点坐标为()()000,0x y y ≠，则该直线的斜率与0x 无关，与0y 有关11．数列{}n a 满足11a =，22a =，21n n n a a a ++>+，则下列结论中一定正确的是（ ）A ．1050a >B ．20500a <C ．10100a <D ．20500a >三、填空题12．已知1n a +=11a =，则100a =.13．已知双曲线22221x y a b -=与直线1y x =-相交于A ，B 两点，其中AB 中点的横坐标为23-，则该双曲线的离心率为 .14．已知函数()()()5e ln 155xf x a x a x =++-+-，若()0f x ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a的取值范围为 .四、解答题15．已知函数()e xf x x =.(1)求()f x 的最小值；(2)求()f x 在点()1,e 处的切线方程.16．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =-，122n n n S S S ++=+.(1)求数列{}n a 的通项公式.(2)求数列()1nn n a ⎧⎫-⋅⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T .17．已知双曲线22:13y C x -=(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)已知点()0,4P 、()2,0Q ，直线PQ 与双曲线C 交于A 、B 两点，1PQ QA λ=，2PQ QB λ=，求12λλ+的值.18．已知函数()()21ln f x mx x m x=+-∈R ，()21e 1x g x x x x =---，其中()f x 在1x =处取得极值(1)求m 的值；(2)求函数()f x 的单调区间；(3)若()()nx g x f x ≤-恒成立，求实数n 的取值范围.19．在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（Issac Newton ，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设r 是函数y =f (x )的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线为1l ，设1l 与x 轴交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；曲线y =f (x )在点(x 1,f (x 1))处的切线为2l ，设2l 与x 轴交点的横坐标为2x ，称2x 为r 的2次近似值.一般地，曲线y =f (x )在点()()(),N n n x f x n ∈处的切线为1n l +，记1n l +与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r 的1n +次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取n x 为方程()0f x =的近似解.现在用这种方法求函数()22f x x =-的大于零的零点r 的近似值，取02x =.(1)求1x 和2x ；(2)求n x 和1n x -的关系并证明()*N n ∈；(3)()1*1N i i nx n ∑=<<+∈.。

浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题(含答案)

浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题(含答案)

镇海中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A B. C. D. 2.（ ）A.B.C.D. 13. 已知，下列不等式一定成立的是（ ）A.B. C. D.4.已知三个平面向量满足，则“向量均是单位向量”是“向量方向相同”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若且，则B. 若，则C. 若且，则D. 若不垂直于，且，则必不垂直于6. 一个袋子中有个大小质地完全相同的球，其中3个为红球，其余均为绿球，采用不放回方式从中依次随机地摸出2个球.已知摸出的2个球都是红球的概率为，则两次摸到的球颜色不相同的概率为（ ）A.B.C.D..(){}{}20,2A x x x B x x =->=<A B ⋂=∅A B = RA B⊆BA⊆sin15sin75︒+︒︒=14120m n >>22m m n n +<+11m n n m +>+11m n n m->-22m n mm n n+>+,,a b c 230a b c ++=,,a b c ,a b 12,l l ,αβ1//l α//αβ1//l β12,,l l αβαβ⊥⊂⊂12l l ⊥1l α⊥//αβ1l β⊥1l α2l α⊂1l 2l n 173142737477. 已知正方体的棱长为3，以为半径的球面与正方体表面的交线记为曲线，则曲线的长度为（ ）A.B.C.D. 8. 已知，记集合，若，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知正实数满足，则（ ）A. 的最大值为2B. 的最小值为1C. 的最大值为2D. 的最小值为110. 已知定义域为的偶函数满足，若对任意且，都有，下列结论一定正确的是（）A. B. 2是的一个周期C. 函数在上单调递减D 函数图象关于直线对称11. 一个同学投掷10次骰子，记录出现的点数，根据统计结果，在下列情况中可能出现点数6的有（ ）A. 平均数为3，中位数为4B. 中位数为4，众数为3C. 平均数为2，方差为2.1.1111ABCD A B C D -1DE E()log ,1a f x x a =>(){}()(){}1,1A x f x B x f f x b =∈≤=∈+≤RR ∣∣A B =a ⎫+∞⎪⎪⎭3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭∞⎫+⎪⎪⎭∞⎫+⎪⎪⎭,a b 221a ab b -+=a b +ab 22a b +22a b +R ()f x ()()20f x f x ++=[]12,0,1x x ∈12x x ≠()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦()10f =()f x ()f x ()2,3()f x 2x =D. 中位数为3，方差为0.85三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知，则______.13. 如图，在长方形中，，点在线段（端点除外）上，现将沿折起为，设，二面角的大小为.若，则三棱锥体积的最大值为______.14. 在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知函数.（1）求的最小正周期和最大值；（2）求函数在区间上的单调区间.16. 镇海中学采购了一批电子白板电容笔，这一批电容笔使用三年后即被淘汰.电容笔头属于消耗品，现在需要决策在购买电容笔时笔头的数量，为此搜集并整理了10支笔在一年内消耗的笔头数（单位：个），发现均落在范围内，将统计结果按如下方式分成六组，第一组，第二组，……第六组，画出频率分布直方图如图所示.（1）求的值；（2）估计10支笔一年内消耗笔头数量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第30百分位数（3）在搜集这10支笔的使用情况数据时，发现其中3支是高一班级在使用，另外7支是高二班级在使用，现已知高二班级消耗的笔头数的平均值和方差分别为50和221，所有班级消耗的笔头数的方差为200，试估计高一班级消耗的笔头数的平均值和方差.()2i 13i z +=-z =ABCD 2,1AB AD ==E AB ADE V DE A DE 'V AED α∠=A DE C '--βαβ=A BDE '-ABC V ,,A B C ,,a b c 22a b bc =+22cos c b B+()222πsin 2f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x ()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]15,7515,25［）25,35［）[]65,75x17. 如图，在中，是中点，在边上，且与交于点.（1）用表示；（2）若，求的值.18. 如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面.（1）求证：：（2）在线段上是否存在点，使得与平面？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由.19. 悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也应该是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.（1）求的值；（2）若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，证明：；（3）函数，若对任意的恒成立，求的最大值.的ABC V D AC E AB 2,AE EB BD =CE F ,BA BC,EC BF 24BF EF BA BC ⋅=⋅A BB CABCDEF ABCD FBC V FC FB ⊥BCF ⊥,//,44,ABCD EF AB AB EF BC ===BE CF ⊥AB T DT ACF BT ()e e cosh 2-+=x xx ()e e sinh 2--=x xx ()()22coshsinh x x -y t =()cosh y x =()sinh y x =123,,x x x (123ln 1x x x ++>()()()cosh 2sinh ,,f x x a x b a b =--∈R ()4f x ≤))ln 1,ln1x ⎡⎤∈+⎣⎦a b +镇海中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【13题答案】【14题答案】【答案】##四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）；（2）单调增区间，单调减区间为【16题答案】【答案】（1） （2）；（3）；.【17题答案】【答案】（1），（2【18题答案】【答案】（1）证明略； （2）或.【19题答案】【答案】（1）1 （2）答案略（3）7为.112-1-1-+π3π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦0.0154738.7540173313EC BA BC =-+1144BF BA BC =+ 12BT =3BT =。

浙江省宁波市九校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题(解析版)

浙江省宁波市九校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题(解析版)

2022学年第二学期宁波市九校联考高二数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足i 1i z ⋅=+，则z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算法则，求出复数z ，即可求解. 【详解】由i 1i z ⋅=+，得21i (1i)(i)=1i ii z ++−==−−， 所以1i z =+，在复平面内对应的点为(1,1) 所以对应点位于第一象限. 故选：A.2. 设集合(){},21x Mx y y ==−，()π,cos ,442N x y y x x==−≤≤，则M N ∩中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B 【解析】【分析】在同一坐标系下画出两集合对应函数图象，交点个数即为交集元素个数【详解】对于函数21x y =−，当0x <时，01y <<；当0x ≥时，0y ≥.对于函数πcos,442yx x −≤≤，222ππ,πx ∈− ，则11y −≤≤且端点处取最大值 两函数图象在同一坐标系下大致如下，则两函数图象有3个交点，即M N ∩中元素的个数为3个. 故选：B3. 已知随机变量()211~,X N µσ，()222~,Y N µσ，它们的分布密度曲线如下图所示，则下列说法中正确.的是（ ）A. 12µµ<，2212σσ< B. 12µµ<，2212σσ> C 12µµ>，2212σσ<D. 12µµ>，2212σσ>【答案】B 【解析】【分析】由图结合正态分布曲线特点可得答案.【详解】由图可得随机变量X 的均值比随机变量Y 的均值小，则12µµ<.又由图得，随机变量X 的分布比随机变量Y 的分布更加分散，则2212σσ>. 故选：B4. 已知平面向量a ，b满足a b a b +=− ，则b a − 在a 上的投影向量为（ ） A. a −B. aC. b −D. b【答案】A 【解析】【分析】由已知可得0a b ⋅=，根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可.【详解】由a b a b +=− 知：222222a a a b b a b b−=+⋅+⋅+ ，可得0a b ⋅= ， 所以b a − 在a上的投影向量为22()a b a a a b a a a aa a⋅−⋅−⋅=⋅=−. 故选：A 5. 若1sin()43πα+=，(0,)απ∈，则cos 2=α（ ） A. 79−B.C.D. 【答案】D 【解析】.【分析】根据同角三角函数的关系结合角度范围可得cos()4πα+，再根据二倍角公式可得sin[2()]4πα+，结合诱导公式可得cos 2α.【详解】因为(0,)απ∈，所以5(,)444πππα+∈，又13sin()sin 434ππα+=<，所以3(,)44ππαπ+∈，所以cos()4πα+，所以cos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444ππππααααα=+=+=++＝ 故选：D6. 在ABC 中，点O 满足2CO OB = ，过点O 的直线分别交射线AB ，AC 于点M ，N ，且AM mAB =，AN nAC =，则2m n +的最小值为（ ） A.83B.103C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】利用共线定理的推论可得21133m n+=，然后妙用“1”可得. 【详解】由题可知，0,0m n >>，因为AM mAB = ，AN nAC =，所以1AB AM m= ，1AC AN n = ，又2CO OB = ，所以22AO AC AB AO −=−，所以21213333AO AB AC AM AN m n=+=+， 因为,,M O N 三点共线，所以21133m n+=，所以2144482(2)()3333333m n m n m n m n n m +=++=++≥+=， 当且仅当43321133m nn mm n = +=，即42,33m n ==时，等号成立.所以2m n +的最小值为83.故选：A7. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()22f =，若对任意的1x ，()20,x ∈+∞，均有()()12121f x f x x x −>−成立，则不等式()11f x x −+>的解集为（ ）A. ()()2,02,−+∞B. ()(),20,2−∞−C. ()(),11,3−∞−D. ()()1,13,−+∞【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()gx f x x =−，则()()g x f x x =−在()0,∞+上递增，判断()()g x f x x =−也是是定义在R 上的奇函数，可得()()gx f x x =−在(),0∞−上递增，分类讨论列不等式求解即可. 【详解】因为对任意的1x ，()20,x ∈+∞，均有()()12121f x f x x x −>−成立，不妨设2x >1>0x ，则−1x 20x <，所以()()()()12121122f x f x x x f x x f x x ⇒−<−−<−，构造函数()()gx f x x =−，则()()g x f x x =−在()0,∞+上递增， 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()g x f x x =−也是是定义在R 上的奇函数， 所以()()gx f x x =−在(),0∞−上递增， 不等式()11f x x −+>化为()()()11010f x x g x −−−>⇒−>， 因为()()()()()2222020220f f g g g =⇒−=⇒=⇒−=−=，则()()121231010x g x g x x x −> −> ⇒⇒>−>−> ，或()()1212111010x g x g x x x −>− −>− ⇒⇒−<<−<−<； 10x −=时，()00g =，不合题意；综上不等式()11f x x −+>的解集为()()1,13,−+∞ ， 故选：D.8. 三面角是立体几何的重要概念之一.三面角−P ABC 是指由有公共端点P 且不共面的三条射线PA ，PB ，PC 以及相邻两射线之间的平面部分所组成的空间图形.三面角余弦定理告诉我们，若APC α∠=，BPC β∠=，APB γ∠=，平面APC 与平面BPC 所成夹角为θ，则cos cos cos cos sin sin γαβθαβ−=.现已知三棱锥−P ABC ，PA =，3BC =，45APC ∠=°，60BPC ∠=°，90APB ∠=°，则当三棱锥−P ABC 的体积最大时，它的外接球的表面积为（ ）A. 18πB. 36πC.87π2D.117π2【答案】B 【解析】【分析】作出图形，作BD PC ⊥，BM ⊥平面APC ，则θ∠=BDM ，先表示出13P ABCAPC V S BM −=⋅ ，接着用条件表示成P ABC V −=−P ABC 的体积最大，则PB PC ⋅最大，利用基本不等式得出3PB PC ==时，其体积最大，然后补全三棱锥成棱柱，根据棱柱外接球半径即可求解.【详解】由题知，45APC ∠=°，60BPC ∠=°，90APB ∠=°， 平面APC 与平面BPC 所成夹角为θ， 作BD PC ⊥，BM ⊥平面APC ， 则θ∠=BDM ，由题意得13P ABCAPC V S BM −=⋅ ，cos cos cos cos sin sin γαβθαβ−===()0,πθ∈，sin θ=，sin BM BD θβ=⋅ 13sin 22APC S PA PC PC α=⋅⋅=⋅ ，所以13P ABC APC V S BM −=⋅= 要使三棱锥−P ABC 的体积最大，则PB PC ⋅最大， 在PBC 中，由余弦定理得， 2221cos 22PB PC BC BPC PB PC+−∠==⋅⋅，整理得，229PB PC PB PC +−=⋅，2292PB PC PB PC PB PC +=⋅+≥⋅，即9PB PC ⋅≤，当且仅当3PB PC ==时，等号成立，则PA =，3PB PC BC ===，AB =因为222cos 2PA PC AC APC PA PC+−∠=⋅⋅， 解得3AC =，所以222PC AC PA +=，222AC BC AB +=， 即AC PC ⊥，ACBC ⊥，60BCP ∠=°，所以补全三棱锥成棱柱，如下图，则四边形BCPD 是菱形，点O 为其外接球的球心，即AD 中点，所以3BP =，2cos30CD PC =⋅⋅°=6AD =，所以外接球半径为3，即三棱锥−P ABC 外接球的表面积为24π336π×=. 故选：B【点睛】三棱锥外接球表面积问题，从以下几个角度分析： （1）面面角的定义以及辨析； （2）求解最值时，基本不等式的利用； （3）几何体割补法的应用； （4）数形结合思想的应用.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列等式成立的是（ ） A. 0!0=B. 11A A m m n n n −−=C. 11(1)C (1)C mm n n n m +++=+ D. 111C C C m m m n n n −+++=【答案】BC 【解析】【分析】利用排列数、组合数公式对各选项逐一计算判断作答. 【详解】根据阶乘的概念可知，0!1=，故A 错误；()()()111!!!!A A m m n n n n n n n m n m −−−===−−，故B 正确； 因为11(1)!1!1C C (1)!()!1!()!1m m n n n n n n m n m m m n m m +++++===+−+−+，所以11(1)C (1)C m m n n n m +++=+，故C 正确； 根据组合数的性质可知11C C C mm m n n n −++=，故D 错误；故选：BC10. 以下四个正方体中，满足AB ⊥平面CDE 的有（ ）A. B.C. D.【答案】BD 【解析】AC ，根据直线与平面垂直的判定定理判断BD. 【详解】对A ，CE AD ∥，π4DAB ∠=，AB ∴与CE 所成角为π4，故AB 与平面CDE 不垂直， 故A 错误；对B ，在正方体中，ED ⊥平面ABD ，AB ⊂平面ABD ，所以AB ED ⊥， 又AB CE ，DE CE E ∩=，,DE CE ⊂平面CDE ，所以AB ⊥平面CDE ，故B 正确；对C ，连接,AF BF ，如图，在正方体中，由正方体面上的对角线相等可知，ABF △为正三角形，所以π3BAF ∠=，又CE AF ∥，AB 与CE 所成的角为π3，所以AB 与平面CDE 不垂直，故C 不正确； 对D ，连接,MB BN ，如图，因为AM ⊥平面CMEB ，EC ⊂平面CMEB ，所以AM EC ⊥，又BM EC ⊥，,BM AM M BM AM =⊂ ，平面AMB ，所以EC ⊥平面AMB ，又AB ⊂平面AMB ，所以EC AB ⊥，同理可得ED AB ⊥，再由,,EC ED E EC ED =⊂ 平面ECD ，所以AB ⊥平面CDE ，故D 正确. 故选：BD11. 已知函数()f x 的定义域为R ，()21f x +是偶函数，()1f x −的图象关于点()3,3中心对称，则下列说法正确的是（ ）A. ()()2f x f x =+ B. ()203f =C. ()()24f x f k x +=−，Z k ∈D.411()123k i f i k −==−∑，Z k ∈【答案】BCD 【解析】【分析】根据()21f x +是偶函数可得函数()f x 关于直线1x =对称，由()1f x −的图象关于点()3,3中心对称可得()f x 关于点(2,3)成中心对称，据此可推导出函数为周期函数，判断A ，再由函数的周期求出()20f 判断B ，由周期性及对称性可判断C ，由以上分析利用()()41411()4k ki i f i f i f k −===−∑∑求解可判断D.【详解】因为()21f x +是偶函数，所以(21)(21)f x f x −+=+，可得(1)(1)−+=+f x f x ，故()f x 关于直线1x =对称，因为()1f x −的图象关于点()3,3中心对称，所以()f x 关于点(2,3)成中心对称，所以(2)(2)6f x f x −++=，又由(1)(1)−+=+f x f x 可得()(2)f x f x −=+，所以(2)()6f x f x −+−=，即(2)()6f x f x ++=，所以(4)(2)6f x f x +++=， 两式相减可得(4)()0f x f x +−=，即(4)()f x f x +=，所以4T =，故A 错误； 由周期4T =，()20(4)(0)f f f ∴==，又(0)(4)6f f +=，所以(0)(4)3f f ==，即()203f =，故B 正确；由周期4T =，()4()f k x f x ∴−=−，Z k ∈，由()(2)f x f x −=+可得，()()24f x f k x +=−，Z k ∈，故C 正确；由上述分析可知(2)(4)3f f ==，又因为(1)(3)6f f +=， 所以(1)(2)(3)(4)12f f f f +++=，所以()()41411()4123k ki i f i f i f k k −===−=−∑∑， 故D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点点睛：当函数满足()()f a x f b x +=−时，函数()f x 关于直线2a bx +=对称， 当函数满足()()2f a x f b x c ++−=时，函数关于点,2a b c +成中心对称.12. 摸出一个小球，记录颜色后放回，当三种颜色的小球均被摸出过时就停止摸球.设=i A “第i 次摸到红球”，i B =“第i 次摸到黄球”，i C =“第i 次摸到蓝球”，i D =“摸完第i 次球后就停止摸球”，则（ ）A. ()329P D =B. ()41227P D A =C. ()11223n n n P D −−−=，3n ≥ D. ()312223n n n n n P D B C −−−−=，3n ≥【答案】ACD 【解析】【分析】AC 选项，求出n D 包含的事件数为()12322C n −−，从而得到()n P D ，并计算出()3P D ；B 选项，计算出()41227P D A =，()113P A =，利用条件概率公式计算出答案，D 选项，表达出()31223n n n n n P D B C −−−=，3n ≥，和()21233n n n n P B C −−−=，3n ≥，利用条件概率公式得到答案.【详解】AC 选项，n D =“摸完第n 次球后就停止摸球”，有放回的摸n 次，有3n 种可能，若恰好摸球n 次就停止摸球，则恰好第n 次三种颜色都被摸到，即前()1n −次摸到2种颜色，第n 次摸到第三种颜色，共()12322C n −−种情况，则()()1311222322C 3nn n nn P D −−−−==−，3n ≥，()23222239P D −==，AC 正确； B 选项，事件41D A 表示第一次摸到红球，摸到第4次，摸球结束，若第2次或第3次摸到的球为红球，此时有12A 种情况，不妨设第2次摸到的球为红球， 则第3次和第4次摸到的球为蓝球或黄球，有2种可能， 故有122A 4=种情况，若第2次和第3次都没有摸到红球，则第2次和第3次摸到的球颜色相同，第4次摸到的球和第2,3次摸到的球颜色不同，故有22A 2=种情况，故()41426n D A =+=，其中摸4次球可能得情况有4381=种情况，故()41761228P D A ==， 其中()113P A =，故()4129P D A =，B 错误； D 选项，12n n n D B C −−表示“第()2n −次摸到蓝球，第()1n −次摸到黄球，第n 次摸到红球，停止摸球”，则前()3n −次摸到的球时蓝球或红球，故有32n −种可能，故()31223n n n n n P D B C −−−=，3n ≥，12n n B C −−表示“在前n 次摸球中，第()2n −次摸到蓝球，第()1n −次摸到黄球”，故有23n −种可能， 故()21233n n n n P B C −−−=，3n ≥，则()312223n n n n n P D B C −−−−=，3n ≥，D 正确.故选：ACD【点睛】常见的条件概率处理方法，其一是用样本点数的比值处理，需要弄情况事件包含的样本点数，其二是用概率的比值处理，也可以缩小样本空间，从而确定概率，解决实际问题的关键在于分析情况基本事件.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数a ，b 满足25a bm ==且1112a b +=，则m ＝______. 【答案】100 【解析】【分析】根据指数与对数的互化公式，表示出,a b ，再结合换底公式表示出1112a b +=，最后结合对数运算即可求解【详解】由25a bm ==可得2511log ,log log 2,log 5m m a m b m a b==⇒==， 又1112a b +=，即1log 2log 5log 102m m m +==， 所以1210m =，即100m = 故答案为：10014. 现有一枚质地不均匀的硬币，若随机抛掷它两次均正面朝上的概率为12，则随机抛掷它两次得到正面、反面朝上各一次的概率为______；若随机抛掷它10次得到正面朝上的次数为ξ，则()E ξ=______.（第一空2分，第二空3分） 【答案】 ①1##1−②. 【解析】【分析】p ，再由独立重复试验求出正面、反面朝上各一次的概率为，由二项分布的期望公式求期望.【详解】设这枚硬币正面朝上的概率为p ，反面朝上的概率为1p −， 则两次正面朝上的概率为212p =，解得p = ，所以随机抛掷两次得到正面，反面朝上各一次的概率为()12C 1211P p p =−=− . 由题易知随机变量ξ服从二项分布ξ~10B ，则()10E ξ=.1−；15. 已知函数()()ln 2e ,0234,0x a x f x x ax a x − −<= −++−≥ ，若()f x 有4个零点，则实数a 的范围是______..【答案】41,3【解析】【分析】由题可得方程()ln e x a −=与方程22340,0x ax a x −++−=≥各有两个根，对于前者转化为函数()()ln ex g x −=图象与直线y a =有两个交点，后者由判别式结合韦达定理可得a 范围，综合后可得答案.【详解】当0x <时，()()()ln ,1ln ln ,10x x x x x −≤− −= −−−<<，则函数()()()()ln ln ln e ,1e 1e,10x x x x x g x x x −−−− =−<− == =−−≤<在(),1−∞−上单调递减，在[)10−，上单调递增，据此可得()g x 大致图象如下，又()ln e x a −=方程的解的个数相当于函数()g x 图象与直线y a =交点个数，方程22340,0x ax a x −++−=≥最多2个根，()f x 有4个零点，则方程()ln e x a −=与方程22340,0x ax a x −++−=≥各有两个根.设方程22340,0x ax a x −++−=≥两根为12,x x ，则212121Δ41216041203430a a a a x x a x x a > +−>⇒<≤+=> =−≥ . 故答案为：41,3.【点睛】16. 已知平面向量a ，b ，()1,2i c i =满足22a b b ==⋅=，1i c a −= ，则()1222R c b c b λλλ−+−∈的最小值为______.【答案】3−##3−+【解析】【分析】求出向量,a b的模及夹角，记1122,,2,,2OA a OB b OB b OC c OC c λ=====′ ，得出对应点的轨迹，利用数形结合求最值.【详解】由||2||2a b b==⋅=，即21cos ,a b ×× ，所以π,4a b = ， 记1122,,2,,2OA a OB b OB b OC c OC c λ′=====，因为1i c a −=， 所以1C 在以A 为圆心，1为半径的圆上，2C 在以A ′为圆心，2为半径的圆上，其中(2,0),(4,0)A A ′，所以11222122222||||c B b c b c b c b C B C λλλλ−+−=−′+=′+−， 作A 关于直线l （OB所在直线）的对称圆，1C 的对称点记为3C ，知1(0,2)A ，则1232B C B C B C B C +=+′′′′，如图，由图可知，当132,,,,A C B C A ′′共线时，32||||C B C B ′′+存在最小值，因为111,2A A A A r r ′===′，所以32||||C B C B ′′+最小值为3.故答案为：3−【点睛】关键点点睛：利用向量的的几何表示，原问题转化为求32||||C B C B ′′+最小值，数形结合，利用共线线段最短得解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______，请从下列两个条件中任选一个填入上方的横线中作为已知条件，并解答本题（如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）：①sinsin 2B Cc a C +=；②)222ABC S b c a =+− ，（1）求A ；（2）若D 为边BC 上一点，且2CD AD BD ==，试判断ABC 是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，并说明理由. 【答案】（1）π3A =（2）直角三角形，理由见解析 【解析】【分析】（1）选①：利用诱导公式化简，再由正弦定理边化角，然后由二倍角公式化简可得；选②：根据面积公式和余弦定理列方程可解；（2）根据已知先得1233AD AB AC =+，然后平方，联立余弦定理求解可得2c b =，a ，然后可判断三角形形状. 【小问1详解】若选①：πsin sin cos 222B C A A c c c +−== ，cos sin 2A c a C ∴=，sin cos sin sin 2AC A C ∴=， ()0,π,sin 0C C ∈> ，cossin 2sin cos 222A A AA ∴==， π0,,cos 0222A A ∈>，1sin 22A ∴=， 所以π26A =，解得π3A =.若选②：)2222cos cos ABC S b c a bc A A =+−== ，1cos sin 2A bc A =， sin A A =，tan A ∴， 因为()0,πA ∈，故π3A =. 【小问2详解】 2CD BD AD == ，212,,333AD a CD a BD a ∴===且2BD DC = 22AD AB AC AD ∴−=−，即1233AD AB AC =+ ， 222144999AD AB AC AB AC ∴=++⋅，22241429999a cb bc ∴=++，即222442a c b bc =++①， 又由余弦定理得222a b c bc =+−②，联立①②可得2c b =，a ，从而222+=a b c ，故ABC 是直角三角形.18. 已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线π8x =对称，且()f x 在π0,6上没有最小值.（1）求()f x 的单调增区间；（2）已知函数()()log 242x a g x a a =−+（0a >且1a ≠），对任意1ππ,42x∈，总存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≤，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）)3πππ,πZ 88k k k−++∈（2）2a ≥或112a ≤<. 【解析】【分析】（1）由两角和的正弦公式化简，再由对称轴及在π0,6上没有最小值求出解析式，由正弦型函数的单调性求单调区间即可；（2）根据存在性及任意性问题转化为()()12max max f x g x ≤，分别利用三角函数及对数型函数的性质求最值，解不等式即可. 【小问1详解】()πsin cos 4f x x x x ωωω=++.()f x 的图象关于直线π8x =对称. ππππ,Z 842k k ω∴+=+∈，解得82,Z k k ω=+∈. 当π0,6x∈时，ππππ,4464x ωω+∈+ . ()f x 在π0,6上没有最小值.ππ3π642ω∴+≤，解得152ω≤.又0ω>，所以2ω=，所以()π24f x x=+.令()πππ2π22πZ 242k x k k −+≤+≤+∈， 解得()3ππππZ 88k x k k −+≤≤+∈. 所以()f x 的单调增区间为()3πππ,πZ 88k k k−++∈.【小问2详解】任意1ππ,42x∈，均存在[]20,2x ∈，使得()()12f x g x ≤. ()()12max max f x g x ∴≤.1ππ,42x ∈ .1π3π5π2,444x ∴+∈ .()m x 11a sin 1π24f x x∴ +≤≤=.又log ,242x a y t t a a ==−+ （0a >且1a ≠）单调性相同， ()()log 242x a g x a a ∴=−+在定义域上是增函数.()()()2max 2log 2421a g x g a a ∴==−+≥.21242a a a a > ∴ −+≥或2010242a a a a << <−+≤ 2a ∴≥或112a ≤<. 19. 航班正点率是指航空旅客运输部门在执行运输计划时，航班实际出发时间与计划出发时间较为一致的航班数量与全部航班数量的比率.人们常用航班正点率来衡量一个航空公司的运行效率和服务质量.现随机抽取10家航空公司，对其近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行调查，得到数据如下：航空公司编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10航班正点率ix/% 82 7777 76 74 73 71 70 9169顾客投诉次数iy/次21 58 79 68 74 93 72 122 18 125 整理数据得：10153620i iix y=≈∑，102158150iix=≈∑，102164810iiy=≈∑，101760iix==∑，101730iiy==∑，70≈.（1）（i）证明：样本相关系数nnx yr=；（ii）根据以上数据计算样本相关系数（结果保留2位小数），并由此推断顾客投诉次数与航班正点率之间的线性相关程度（若0.81r≤≤，则认为线性相关程度很强；若0.30.8r≤<，则认为线性相关程度一般；若0.3r<，则认为线性相关程度很弱）.（2）用一元线性回归模型对上表中的样本数据进行拟合，得到顾客投诉次数关于航班正点率的经验回归方程为5y x a=−+.数，并希望一年内收到的顾客投诉不超过73次，试估计该公司的航班正点率应达到多少？参考公式：样本相关系数nx yr=【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）0.89−；顾客投诉次数与航班正点率之间的线性相关程度很强（2）76%.【解析】【分析】（1）（i）将()()1ni iix x y y=−−∑展开，结合平均数意义化简可得()()11n ni i i ii ix x y y x y nx y=−−=−∑∑，然后分别用,i x x,i x x替代,i y y，用,i y y分别替代,i x x可证；（ii）根据所给数据代入公式计算,然后可作出判断；（2）利用样本中心点求 a，然后根据回归方程解不等式可得. 【小问1详解】（i ）证明：()()()11ni iiini i i i x x x y x y x y y y x y ===+−−−−∑∑1111n n nni i i ii i i i x y x y x y x y =====−−+∑∑∑∑ 1111nnnniii ii i i i x y y x x y x y =====−−+∑∑∑∑1()()ni ii x y y nx x ny nx y ==−−+∑1ni ii x y nx y ==−∑，在上式中分别用,i x x 替代,i y y ，得()22211nni i i i x x x nx ==−=−∑∑，同理，也有()22211nni i i i y y y n y ==−=−∑∑，故样本相关系数nnx yr =.（ii ）可知10117610i i x x ===∑，10117310i i y y ===∑.10110536201076731860i i i x y x y =∴−≈−××=−∑，10222110581501076390ii xx =−≈−×=∑， 1022211064810107311520ii yy =−≈−×=∑，1010x y x yr−∴≈620.8970≈−≈−，故顾客投诉次数与航班正点率之间的线性相关程度很强.【小问2详解】557673453a x y =+=×+=令545373ˆyx =−+≤，得76x ≥. 即该公司的航班正点率应达到76%.20. 2023年4月23日是第28个“世界读书日”.为了倡导学生享受阅读带来的乐趣、尊重和保护知识产权，立德中学举办了一次阅读知识竞赛.初赛中每支队伍均要参加两轮比赛，只有两轮比赛均通过的队伍才能晋级.现有甲、乙两队参赛，初赛中甲队通过第一轮和第二轮的概率均为34，乙队通过第一轮和第二轮的概率分别为35，23，且各队各轮比赛互不影响. （1）记甲、乙两队中晋级的队伍数量为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）经过激烈的比拼，甲、乙两队成功进入决赛争夺冠军.决赛共有两道抢答题.第一题中，某支队伍若抢到并答对则加10分，若抢到但答错则对方加10分.第二题中，某支队伍若抢到并答对则加20分，若抢到但答错则对方加20分.最终得分高的队伍获胜.假设两支队伍在每一题中抢到答题权的概率均为12，且每一题答对的概率分别与初赛中通过对应轮次的概率相等.各队各题作答互不影响.已知甲队获得了冠军，计算第二题是由甲队抢到答题权的概率. 【答案】（1）分布列见解析，7780（2）57【解析】【分析】（1）设“甲队晋级”为事件M ，“乙队晋级”为事件N ，求得9()16P M =，2()5P N =，得到X 的可能取值为0,1,2，求得相应的概率，出分布列，结合期望的公式，即可求解；（2）记事件A = “甲队获得冠军”，B = “该题由甲队抢到答题权”，结合条件概率的公式，即可求解. 【小问1详解】解：设“甲队晋级”为事件M ，“乙队晋级”为事件N ， 可得339()4416P M =×=，322()535P N =×=，则随机变量X 的可能取值为0,1,2，可得()922101116580P X==−×−=；()92924111116516580P X==−×+×−=. ()929216540P X ==×=.所以随机变量X 的分布列为则期望()214197701280804080E X =×+×+×=. 【小问2详解】解：根据题意，设甲乙两队通过初赛的事件分布为12,A A ，可得12339322(),()4416535P A P A =×==×=， 即甲乙进入决赛的概率分别为916和25，记事件A = “甲队获得冠军”，B = “该题由甲队抢到答题权”， 可得()()()()()191393||21625160P A P B P A B P B P A B =+=×+×=， 又由()()()199()(|)()21632P AB P AB P B P B P A B P B =⋅==×=，故()()()9532|937160P AB P B A P A ===. 21. 如图，四面体ABCD 中，平面ABC⊥平面BCD ，AB AC ⊥，AB AC ==1CD =，（1）若AD AB ⊥，证明：CD ⊥平面ABC ；（2）设过直线AD 且与直线BC 平行的平面为α，当BD 与平面ABC 所成的角最大时，求平面α与平面BCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证得⊥AE 平面BCD ，进而得到AE CD ⊥，从而利用线面垂直的判定定理依次证得AB ⊥平面ACD ，CD ⊥平面ABC ；（2）先由题意推得BD 与平面ABC 所成的角最大时DF 的值，再推得平面α与平面BCD 的夹角的平面角为AGE ∠，从而在Rt AEG △中求得所求. 【小问1详解】过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD BC =，AE BC ⊥，AE ⊂平面ABC ，AE ∴⊥平面BCD ，又CD ⊂平面BCD ，AE CD ∴⊥，AD AB ⊥ ，AB AC ⊥，AC AD A = ，AC AD ⊂ 平面ACD ，AB ∴⊥平面ACD ，又CD ⊂平面ACD ，AB CD ∴⊥，又,,AE AB A AE AB =⊂ 平面ABC ，故CD ⊥平面ABC .【小问2详解】过点D 作DF BC ⊥，垂足为F平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD BC =，DF BC ⊥，DF ⊂平面BCD ，DF ⊥∴平面ABC ，DBC ∴∠是BD 与平面ABC 所成的角，在ABC 中，ABAC ⊥，AB AC ==2BC =，故sin sin CD BC DBC BDC=∠∠，即12sin sin DBC BDC =∠∠，则1sin sin 2DBC BDC ∠=∠，∴当sin 1BDC ∠=，即CD BD ⊥时，sin DBC ∠最大，且最大值为12，此时π6DBC ∠=，BD =，DF =， 记l α= 平面BCD ，过点E 作EG l ⊥，垂足为G ，连接AG ，//BC α ，BC ⊂平面BCD ，l α= 平面BCD ，//l BC ∴，故平面ADG 就是平面α，AE 平面BCD ，AE l ∴⊥，EG l ⊥ ，EG AE E ∩=，,EG AE ⊂平面AGE ，l ∴⊥平面AGE ，又AG ⊂平面AGE ，l AG ∴⊥，AGE ∴∠是平面α与平面BCD 的夹角，则π02AGE <∠<， 又因为DF BC ⊥，//l BC ，所以//GE DF ，所以四边形DFEG 是平行四边形，故GE DF ==，则在Rt AEG △中，AG ， 所以平面α与平面BCD的夹角余弦值为cos GE AGE AG ∠=. .22. 已知()1f x x =+，()22g x x =+.定义{},min ,,a a b a b b b a ≤ =≤ ，设()()(){}min ,2m x f x t g x t =−−，R t ∈．（1）若3t =，（i ）画出函数()m x 的图象； （ii ）直接写出函数()m x 的单调区间；（2）定义区间(),A p q =的长度()L A q p =−.若()*12Nn B A A A n =∪∪∪∈ ，(1)i j A A i j n =∅≤<≤ ，则()1()ni i L B L A ==∑.设关于x 的不等式()m x t <的解集为D .是否存在t ，使得()6L D =？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（i ）作图见解析；（ii ）单调减区间为(),3−∞，()5,6，单调增区间为()3,5，()6,+∞ （2）存在，3t = 【解析】【分析】（1）（i ）3t =时，(){}2min 31,1238m x x x x =−+−+，求出方程221238x x x −=−+的根，即可画出()m x 的图象；（ii ）由()m x 的图象即可写出其单调区间； （2）由()min 1m x =得不等式()m x t <有解必要条件是1t >，再对t 的值分情况讨论即可. 【小问1详解】（i ）若3t =，则()31f x t x −=−+，()()222621238g x t x x x −=−+=−+.(){}2min 31,1238m x x x x ∴=−+−+. 令221238x x x −=−+， 得15=x ，28x =.故函数()m x 的图象如图所示.（ii ）由函数()m x 的图象可知()m x 的单调减区间为(),3−∞，()5,6， 单调增区间为()3,5，()6,+∞.- 【小问2详解】()min 1f x = ，()min 2g x =.()min 1m x ∴=. ∴不等式()m x t <有解的必要条件是1t >.①当12t <≤时，如图①所示，令()m x t <，即()f x t <，得()1,21D t =−.的()222L D t ∴=−≤，不符合题意.当2t >时，令()1x t g x −+=，得()2241410x t x t t −++++=解得1x =，2x =令11x t t −+=，得3t =.②当23t <≤时，如图②所示，()f x t <的解集为()1,21t −，()g x t <的解集为(2t t −+，此时()22L D t =−+. 令()6L D =，解得3t =.③当3t >时，如图③所示，2220t x t +−=+=< ，22t x ∴+< ，令()m x t <，得(1,2D t =.()21L D t ∴=+−.令()6L D =，解得3t =或174t =，均舍去. 综上所述，3t =..【点睛】思路点睛：本题考查了函数的新定义问题，对于第（2）小题，突破口是由()min 1m x =得不等式()m x t <有解的必要条件是1t >，再对t 与()f x 和()g x 的最小值进行分类讨论求解.。

浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷


【详解】因为点 P 到直线 x = -1 和它到点 (1,0) 的距离相等，
所以，点 P 的轨迹是以点 (1,0) 为焦点，直线 x = -1 为准线的抛物线，
设其方程为
y2
=ห้องสมุดไป่ตู้
2
px
，则
p 2
= 1，可得
p
=
2
，
答案第11 页，共22 页
故点 P 的轨迹方程为 y2 = 4x . 故选：D. 4．C 【分析】根据“冰雹猜想”结合递推关系，利用规律求解即可 【详解】 a1 = 1, a2 = 4, a3 = 2, a4 = 1, a5 = 4, a6 = 2,L ,
(1)求 x 1 和 x2 ；
( ) (2)求 xn 和 xn-1 的关系并证明 n Î N* ；
( ) (3)证明：
i =1
2n
<
å n
xi
<
2n +1 n Î N* .
试卷第51 页，共33 页
参考答案：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案 A
B
D
C
B
D
A
B
ABC BCD
题号 11
答案 AD
1．A
D．
k
£
-
4 3
7．已知 a = log2023 2024 ， b = log2024 2025 ， c = log2025 2026 ，则（ ）
A． a > b > c
B． a > c > b
C． c > b > a
D． c > a > b

浙江省宁波市鄞州中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

浙江省宁波市鄞州中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若方程221259x y m m +=−+表示椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()9,25−B ．()()9,88,25−C ．()8,25D ．()8,+∞2．“1m =”是“直线1l ：()410m x my −++=与直线2l ：()220mx m y ++−=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在长方体1111ABCD A B C D −中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B C D ．24．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y −+=上，则ABP 面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过焦点F 与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴交于D ，E 两点，且4||||5DE AB =，则直线l 的方程为（ ）A ．10x −=B ．10x y ±−=C ．220x y ±−=D ．210x y ±−=6．双曲线22221,(0,0)x y a b a b−=>>右焦点为F ，离心率为e ，,(1)PO k FO k =>，以P 为圆心，||PF 长为半径的圆与双曲线有公共点，则8k e −最小值为（ ） A ．9−B ．7−C ．5−D ．3−7．如图，平面OAB ⊥平面α，OA α⊂，OA AB =，120OAB ∠=︒．平面α内一点P 满足PA PB ⊥，记直线OP 与平面OAB 所成角为θ，则tan θ的最大值是（ ）A B ．15C D ．138．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，经过1F 的直线交椭圆于A ，B ，2ABF △的内切圆的圆心为I ，若23450++=IB IA IF ，则该椭圆的离心率是（ ）A B ．23C D ．12二、多选题9．已知抛物线2:4E y x =上的两个不同的点()()1122,,,A x y B x y 关于直线4x ky =+对称，直线AB 与x 轴交于点()0,0C x ，下列说法正确的是（ ） A ．E 的焦点坐标为()1,0 B ．12x x +是定值 C ．12x x 是定值D ．()02,2x ∈−10．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC −的体积为定值 C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 11．设M 为双曲线C ：2213x y −=上一动点，1F ，2F 为上、下焦点，O 为原点，则下列结论正确的是（ ）A ．若点()0,8N ，则MN 最小值为7B ．若过点O 的直线交C 于,A B 两点（,A B 与M 均不重合），则13MA MB k k =C ．若点()8,1Q ，M 在双曲线C 的上支，则2MF MQ +最小值为2+D ．过1F 的直线l 交C 于G 、H 不同两点，若7GH =，则l 有4条12．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD −中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且2PD CD AD ===，,,M N G 分别为,,PA PC PB 的中点，则（ ）A ．四面体N BCD −是鳖臑B ．CG 与MNC ．点G 到平面PACD ．过点,,M N B 的平面截四棱锥P ABCD −的截面面积为3三、填空题13．已知点P 是圆C ：22(2)64x y −+=上动点，(2,0)A −.若线段PA 的中垂线交CP 于点N ，则点N 的轨迹方程为 .14．如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD '，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是 ．15．已知直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点F ，与抛物线交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，过M 作MN 垂直于抛物线的准线，垂足为N ，则2324NF AB +的最小值是 .16．已知点P 在y x ⎡=∈−⎣上运动，点Q 在圆223:()(0)4C x y a a +−=>上运动，且PQ a 的值为 .四、解答题17．已知点()1,0A −和点B 关于直线l ：10x y +−=对称．（1）若直线1l 过点B ，且使得点A 到直线1l 的距离最大，求直线1l 的方程； （2）若直线2l 过点A 且与直线l 交于点C ，ABC 的面积为2，求直线2l 的方程． 18．已知圆22:(1)(2)25C x y −+−=，直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++−−=∈． (1)证明：不论m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时 l 的方程．19．如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，//AB DC ，//DC EF ，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE ∠=∠=︒，二面角F DC B −−的平面角为60︒．设M ，N 分别为,AE BC 的中点．(1)证明：FN AD ⊥；(2)求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．20．已知双曲线2222:1x y C a b −=经过点()2,3−，两条渐近线的夹角为60，直线l 交双曲线于,A B 两点. (1)求双曲线C 的方程.(2)若动直线l 经过双曲线的右焦点2F ，是否存在x 轴上的定点(),0M m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过M 点？若存在，求实数m 的值；若不存在，请说明理由.21．如图①所示，长方形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM −．(1)求四棱锥P ABCM −的体积的最大值； (2)若棱PB 的中点为N ，求CN 的长；(3)设P AM D −−的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．22．设双曲线2222:1x y C a b −=的右焦点为()3,0F ，F 到其中一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C 的方程；(2)过F 的直线交曲线C 于A ，B 两点（其中A 在第一象限），交直线53x =于点M ，（i ）求||||||||AF BM AM BF ⋅⋅的值；（ii ）过M 平行于OA 的直线分别交直线OB 、x 轴于P ，Q ，证明：MP PQ =.。

2023-2024学年浙江省宁波市余姚中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．在平面直角坐标系中，斜率为√3的直线倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°2．如图，空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA →上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 中点，则MN →=（ ）A ．12a →−23b →+12c →B ．−23a →+12b →+12c →C ．12a →+12b →−12c →D ．23a →+23b →−12c →3．已知向量a →、b →是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c →在直线l 上，则c →•a →=0，且c →•b →=0是l ⊥α的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为（ ） A ．13B ．25C ．35D ．155．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，如图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）A．1.8cm B．2.5cm C．3.2cm D．3.9cm6．已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．7．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4D．中位数为3，方差为2.88．过直线3x+4y+12＝0上一点P作圆C：x2+y2﹣2x＝0的切线，切点为A，B，则四边形P ACB的面积的最小值为（）A．√6B．2√2C．3D．2√3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）9．已知圆O 1：(x −1)2+y 2=4和圆O 2：x 2+(y −1)2=2的交点为A ，B ，则（ ） A ．两圆的圆心距|O 1O 2|＝2 B ．直线AB 的方程为x ﹣y +1＝0C ．圆O 2上存在两点P 和Q 使得|PQ |＞|AB |D ．圆O 1上的点到直线AB 的最大距离为2+√210．抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用a 表示黄色骰子朝上的点数，b 表示白色骰子朝上的点数，用（a ，b ）表示一次试验的结果，该试验的样本空间为Ω，事件A ＝“关于x 的方程2x 2﹣2（a +b ）x +5（a +b ）＝0无实根”，事件B ＝“a ＝4”，事件C ＝“b ＜4”，事件D ＝“ab ＞20”则（ ） A ．A 与B 互斥 B ．A 与D 对立 C ．B 与C 相互独立D ．B 与D 相互独立11．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（ ）A ．该平台女性主播占比的估计值为0.4B ．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7C ．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名D ．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.612．如图，棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 满足AM →=λAC 1→，CN →=μCD →，其中λ、μ∈（0，1），点P 是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ）A ．当λ=13时，DM ∥平面CB 1D 1B ．当μ=12时，若B 1P ∥平面A 1NC 1，则|B 1P |的最大值为3√5C ．当λ=μ=12时，若PM ⊥D 1N ，则点P 的轨迹长度为12+6√5D ．过A 、M 、N 三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．若直线x +ay ＝0与直线（a +1）x +2y +a ﹣2＝0平行，则a ＝ ．14．点A （1，2，1），B （3，3，2），C （1，4，3），若D 在线段AB 上，且满足CD ⊥AB ，则点D 的坐标为 ．15．已知函数f （x ）＝e x +1，g （x ）＝lnx +1，其中e 是自然对数的底数．设直线y ＝t （t ＞0）与曲线y ＝f （x ）与y ＝g （x ）分别交于A （x 1，f （x 1）），B （x 2，g （x 2））两点，若对任意t ＞0，均有x 2﹣x 1＞a 成立，则a 的取值范围为 ．16．已知函数f(x)={xe x+e −e 2，x ≤0−x 2−14，x ＞0，点M ，N 是函数y ＝f （x ）图象上不同的两个点，设O 为坐标原点，则tan ∠MON 的取值范围是 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值； （Ⅱ）求样本成绩的第75百分位数；（Ⅲ）已知落在[50，60）的平均成绩是51，方差是7，落在[60，70）的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差s 2．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，P A ＝BC ＝3，AB＝AD＝2，PB=√13．E为PD中点，点F在PC上，且PC＝3FC．（1）求证：AB⊥平面P AD；（2）求二面角F﹣AE﹣D的余弦值；（3）线段AC上是否存在点Q，使得DQ∥平面F AE？说明理由．19．（12分）如图，公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝﹣1，在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM、AN的距离分别为1km，√2km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．（1）以A为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出P点的坐标；（2）三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为4km2，求公路BC所在直线方程．20．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）证明：当0＜a＜1时，∃x∈（0，+∞），使得f（x）＜3a﹣a2﹣ln2．21．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)过点M(√22，√32)，且离心率为e=√22．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆C和圆O：x2+y2＝1．过点A（m，0）（m＞1）作直线l1和l2，且两直线的斜率之积等于1，l1与圆O相切于点P，l2与椭圆相交于不同的两点M、N，求m的取值范围．22．（12分）已知函数f(x)=a(x+4)e x，其中a∈R且a≠0．（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若存在实数x0，使得f（x0）＝x0，则称x0为函数f（x）的“不动点”求函数f（x）的“不动点”的个数；（3）若关于x的方程f（f（x））＝f（x）有两个相异的实数根，求a的取值范围．2023-2024学年浙江省宁波市余姚中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．在平面直角坐标系中，斜率为√3的直线倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解：设此直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），∵tan θ=√3，∴θ＝60°， 故选：B ．2．如图，空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 在OA →上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 中点，则MN →=（ ）A ．12a →−23b →+12c →B ．−23a →+12b →+12c →C ．12a →+12b →−12c →D ．23a →+23b →−12c →解：由题意MN →=MA →+AB →+BN → =13OA →+OB →−OA →+12BC → =−23OA →+OB →+12OC →−12OB →=−23OA →+12OB →+12OC →又OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，∴MN →=−23a →+12b →+12c →故选：B ．3．已知向量a →、b →是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c →在直线l 上，则c →•a →=0，且c →•b →=0是l ⊥α的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：（1）由c →⋅a →=0，c →⋅b →=0得，c →⊥a →，c →⊥b →； ∵a →，b →所在直线不一定相交，c →所在直线为l ； ∴得不到l ⊥α；即c →⋅a →=0，且c →⋅b →=0不是l ⊥α的充分条件；（2）若l ⊥α，向量a →，b →所在直线在平面α内，c →在直线l 上；∴c →⊥a →，c →⊥b →；∴c →⋅a →=0，且c →⋅b →=0；即c →•a →=0，且c →•b →=是l ⊥α的必要条件； 综上得c →•a →=0，且c →•b →=是l ⊥α的必要不充分条件． 故选：B ．4．从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为（ ） A ．13B ．25C ．35D ．15解：由题意可知，从6个数字中无放回地随机抽取两张，共有6×5＝30种结果， 若要是5的倍数，则两张卡片中必有一张是5， 若第一张抽到的是5，共有5种抽法， 若第二张抽到的是5，共有5种抽法，故抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的共10种抽法， 所以所求概率为P =1030=13． 故选：A ．5．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，如图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）A ．1.8cmB ．2.5cmC ．3.2cmD ．3.9cm解：如图所示：以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系， 则A(12，4)，B(−32，2)，直线AB ：y−42−4=x−12−32−12，整理为x −y +72=0，原点O 到直线距离为|72|√1+1=7√24≈2.5．故选：B ．6．已知函数y ＝xf ′（x ）的图象如图所示（其中f ′（x ）是函数f （x ）的导函数），下面四个图象中，y ＝f （x ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由图象看出，﹣1＜x ＜0，和x ＞1时xf ′（x ）＞0；x ≤﹣1，和0≤x ≤1时xf ′（x ）≤0； ∴﹣1＜x ≤1时，f ′（x ）≤0；x ＞1，或x ≤﹣1时，f ′（x ）≥0； ∴f （x ）在（﹣1，1]上单调递减，在（﹣∞，﹣1]，（1，+∞）上单调递增； ∴f （x ）的大致图象应是B ． 故选：B ．7．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4D．中位数为3，方差为2.8解：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B 错误；对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差S2＞15（6﹣2）2＝3.2＞2.4，∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C正确；对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：x=15（1+2+3+3+6）＝3方差为S2=15[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出现点数6，故D错误．故选：C．8．过直线3x+4y+12＝0上一点P作圆C：x2+y2﹣2x＝0的切线，切点为A，B，则四边形P ACB的面积的最小值为（）A．√6B．2√2C．3D．2√3解：圆C：x2+y2﹣2x＝0的圆心C（1，0），半径r＝1，由于AC⊥P A，BC⊥PB，|P A|＝|PB|，可得四边形P ACB的面积为12r|P A|+12r|PB|＝r|P A|＝|P A|，又|P A|2＝|PC|2﹣r2＝|PC|2﹣1，要求四边形P ACB的面积的最小值，只需求|P A|的最小值，即求|PC|的最小值．而|PC|的最小值为C到直线3x+4y+12＝0的距离d．由点到直线的距离公式可得d=|3+0+12|√9+16=3，所以|P A|的最小值为√32−1=2√2，则四边形P ACB的面积的最小值为2√2．故选：B．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）9．已知圆O1：(x−1)2+y2=4和圆O2：x2+(y−1)2=2的交点为A，B，则（）A．两圆的圆心距|O1O2|＝2B．直线AB的方程为x﹣y+1＝0C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|＞|AB|D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2解：圆O1的圆心坐标为（1，0），圆O2的圆心坐标（0，1），对于A，因为两个圆相交，所以两圆的圆心距|O1O2|=√(1−0)2+(0−1)2=√2，故A错误；对于B，将两圆方程作差可得﹣2x+2y﹣2＝0，即得公共弦AB的方程为x﹣y+1＝0，故B正确；对于C，直线AB经过圆O2的圆心坐标（0，1），所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB 长的弦，故C错误；=√2，对于D，圆O1的圆心坐标为（1，0），半径为2，圆心到直线AB：x﹣y+1＝0的距离为√2故圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2，故D正确．故选：BD．10．抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用a表示黄色骰子朝上的点数，b表示白色骰子朝上的点数，用（a，b）表示一次试验的结果，该试验的样本空间为Ω，事件A＝“关于x的方程2x2﹣2（a+b）x+5（a+b）＝0无实根”，事件B＝“a＝4”，事件C＝“b＜4”，事件D＝“ab＞20”则（）A．A与B互斥B．A与D对立C．B与C相互独立D．B与D相互独立解：根据题意，Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共36个基本事件；事件A＝“关于x的方程2x2﹣2（a+b）x+5（a+b）＝0无实根”，则Δ＝4（a+b）2﹣40（a+b）＜0，必有0＜a+b＜10，则事件A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3）}，共30个基本事件；事件B＝{（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）}，共6个基本事件；事件C＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（6，1），（6，2），（6，3）}，共18个基本事件；事件D＝“ab＞20”，D＝{（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6，6）}，共6个基本事件；分析选项：对于A，A与B可能同时发生，A、B不是互斥事件，A错误；对于B，A与D对立，B正确；对于C，事件BC＝{（4，1），（4，2），（4，3）}，有3个基本事件，则P（BC）=336=112，而P（B）=636=16，P（C）=1836=12，有P（B）P（C）＝P（BC），则B与C相互独立，C正确；对于D，事件BD＝{（4，6）}，有1个基本事件，则P（BD）=1 36，P（B）=636=16，P（D）=636=16，有P（B）P（D）＝P（BD），则B与D相互独立，D正确．故选：BCD．11．某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（）A．该平台女性主播占比的估计值为0.4B．从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7 C．按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名D．从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6解：该平台女性主播占比的估计值为60%×40%+30%×30%+10%×70%＝0.4，A 选项正确； 随机抽取一位主播是中年男性的概率为30%×70%＝0.21，B 选项错误；用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取20×30%＝6名，C 选项正确；随机选取一位做为幸运主播，设该幸运主播是青年人为事件A ，该幸运主播是女性为事件B ，则P(B|A)=P(AB)P(A)=60%×40%60%=0.4，D 选项错误； 故选：AC ．12．如图，棱长为6的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 满足AM →=λAC 1→，CN →=μCD →，其中λ、μ∈（0，1），点P 是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ）A ．当λ=13时，DM ∥平面CB 1D 1B ．当μ=12时，若B 1P ∥平面A 1NC 1，则|B 1P |的最大值为3√5C ．当λ=μ=12时，若PM ⊥D 1N ，则点P 的轨迹长度为12+6√5D ．过A 、M 、N 三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1（0，0，0）、B 1（6，6，0）、C （0，6，6）、A （6，0，6）、D （0，0，6）、C 1（0，6，0），当λ=13时，DM →=AM →−AD →=13AC 1→−AD →=13(−6，6，−6)−(−6，0，0)=(4，2，−2)，设平面CB 1D 1的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，因为D 1B 1→=(6，6，0)，D 1C →=(0，6，6)，所以{m →⋅D 1B 1→=6x 1+6y 1=0m →⋅D 1C →=6y 1+6z 1=0，不妨取y 1＝﹣1，可得m →=(1，−1，1)，所以m →⋅DM →=4−2−2=0，则m →⊥DM →， 因为DM ⊄平面CB 1D 1，故当λ=13时，DM ||平面CB 1D 1，A 对；当μ=12时，N 为CD 中点，分别取AB 、BC 中点G 、H ，连接B 1G 、GH 、B 1H 、A 1C 1、GN ，因为G 、H 分别为AB 、BC 的中点，所以GH ||AC ，又因为AA 1||CC 1且AA 1＝CC 1，所以四边形AA 1C 1C 为平行四边形，所以AC ||A 1C 1， 因为GH ||AC ，所以GH ||A 1C 1，因为GH ⊄平面A 1NC 1，A 1C 1⊂平面A 1NC 1，所以GH ||平面A 1NC 1， 同理可得，B 1G ||平面A 1NC 1，因为B 1G ∩GH ＝G ，B 1G 、GH ⊂平面B 1GH ，所以平面B 1GH ||平面A 1NC 1，当点P 为△B 1GH 的边上一点（异于点B 1）时，则B 1P ⊂平面B 1GH ，则B 1P ||平面A 1NC 1， 故点P 的轨迹为△B 1GH 的边（除去点B 1）．因为|B 1G|=√BB 12+BG 2=√62+32=3√5，同理可得|B 1H|=3√5，结合图形可得|B 1P|max =|B 1G|=|B 1H|=3√5，B 正确；当λ=μ=12时，M 、N 分别为AC 1、CD 的中点，如图所示：此时点N （0，3，6）、M （3，3，3）、D 1（0，0，0），D 1N →=(0，3，6)，当点P 在平面AA 1D 1D 内运动时，设点P （x ，0，z ），其中0≤x ≤6，0≤z ≤6，则MP →=(x −3，−3，z −3)，因为D 1N ⊥MP ，则D 1N →⋅MP →=−9+6(z −3)=6z −27=0，解得z =92，设点P 的轨迹分别交棱AA 1、DD 1于点R 、Q ，则R(6，0，92)、Q(0，0，92)，当点P 在平面CC 1D 1D 内运动时，设点P （x ，0，z ），其中0≤y ≤6，0≤z ≤6，MP →=(−3，y −3，z −3)， 则D 1N →⋅MP →=3y −9+6(z −3)=3y +6z −27=0，设点P 的轨迹交棱CC 1于点F ，则F(0，6，32)，设点P 的轨迹交棱BB 1于点T ，因为平面AA 1D 1D ||平面BB 1C 1C ，平面RQFT ∩平面AA 1D 1D ＝RQ ，平面RQFT ∩平面BB 1C 1C ＝FT ， 所以RQ ||FT ，同理可得QF ||RT ，所以四边形RQFT 为平行四边形，且|FT |＝|RQ |＝6，|RT|=|FQ|=√02+62+(32−92)2=3√5，因此，点P 的轨迹的长度即为平行四边形RQFT 的周长2(6+3√5)=12+6√5，C 对； 设截面AMN 交棱A 1B 1于点U ，连接AU 、C 1U ，由题意，截面AMN 与平面AC 1N 重合，因为平面ABCD ||平面A 1B 1C 1D 1，平面ANC 1∩平面ABCD ＝AN ，平面ANC 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝C 1U ， 所以AN ||C 1U ，同理可得AU ||C 1U ，所以四边形AUC 1N 为平行四边形，易知N （0，6﹣6λ，6），其中0＜λ＜1，所以AN →=(−6，6−6λ，0)，C 1N →=(0，−6λ，6)， 所以AN →⋅C 1N →=−6λ(6−6λ)=36λ(λ−1)＜0，故AN 与C 1N 不可能垂直， 故平行四边形AUC 1N 不可能为矩形，即过A 、M 、N 三点的截面不可能是矩形，所以D 错．故选：ABC ．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．若直线x +ay ＝0与直线（a +1）x +2y +a ﹣2＝0平行，则a ＝ 1或﹣2 ． 解：因为直线x +ay ＝0与直线（a +1）x +2y +a ﹣2＝0平行， 所以a （a +1）＝1×2，解得a ＝1或a ＝﹣2，检验：当a ＝1或a ＝﹣2时，两条直线均不重合，所以a ＝1或a ＝﹣2． 故答案为：1或﹣2．14．点A （1，2，1），B （3，3，2），C （1，4，3），若D 在线段AB 上，且满足CD ⊥AB ，则点D 的坐标为 (73，83，53) ．解：设D 的坐标为D （x ，y ，z ），则CD →=(x −1，y −4，z −3)， AB →=(2，1，1)，AD →=(x −1，y −2，z −1)， 因为D 在线段AB 上，且满足CD ⊥AB ，所以CD →⊥AB →，AD →∥AB →，即{2(x −1)+(y −4)+(z −3)=0x−12=y−21=z−11，解得：{x =73y =83z =53，所以点D 的坐标为(73，83，53)．故答案为：(73，83，53)．15．已知函数f （x ）＝e x +1，g （x ）＝lnx +1，其中e 是自然对数的底数．设直线y ＝t （t ＞0）与曲线y ＝f （x ）与y ＝g （x ）分别交于A （x 1，f （x 1）），B （x 2，g （x 2））两点，若对任意t ＞0，均有x 2﹣x 1＞a 成立，则a 的取值范围为 （﹣∞，2） ． 解：已知函数f （x ）＝e x +1，g （x ）＝lnx +1，因为直线y ＝t （t ＞0）与曲线y ＝f （x ）与y ＝g （x ）分别交于A （x 1，f （x 1）），B （x 2，g （x 2））两点， 所以f(x 1)=e x 1+1=t ，g(x 2)=lnx 2+1=t ， 所以x 1=lnt −1，x 2=e t−1， 此时x 2−x 1=e t−1−lnt +1，当t ＞0时，不妨设h （t ）＝e t ﹣1﹣lnt +1，可得ℎ′(t)=e t−1−1t，当0＜t ＜1时，h ′（t ）＜0，h （t ）单调递减； 当t ＞1时，h ′（t ）＞0，h （t ）单调递增，所以当t ＝1时，函数h （t ）取得极小值也是最小值，最小值为h （1）＝2， 则对任意t ＞0，均有x 2﹣x 1＞a 成立， 此时a ＜（x 2﹣x 1）min ＝h （t ）min ＝2， 则a 的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．16．已知函数f(x)={xe x+e−e 2，x ≤0−x 2−14，x ＞0，点M ，N 是函数y ＝f （x ）图象上不同的两个点，设O 为坐标原点，则tan ∠MON 的取值范围是 （0，2+ee )．． ．解：当x ≤0时，f(x)=xex+e −e 2，f ′(x)=e x+e −xe x+e e 2x+2e =e x+e (1−x)e 2x+2e=1−xe x+e ＞0，f(x)=xe x+e −e 2在（﹣∞，0]上单调递增，作出函数f(x)={xe x+e −e 2，x ≤0−x 2−14，x ＞0的图象如图， 设过原点且与f （x ）（x ≤0）的图象相切的切线方程为y ＝kx ，切点为(x 0，x 0ex 0+e−e 2)，所以切线方程为y =1−x 0e x 0+e (x −x 0)+x 0ex 0+e −e 2， 将原点坐标代入切线方程可得，x 02−x 0e x 0+e+x 0e x 0+e−e 2=0，即x 02e x 0+e−e 2=0，即x 02e x 0+e=e 2，构造函数q （x ）＝x 2e ﹣x ﹣e（x ≤0），则g '（x ）＝（2x ﹣x 2）e﹣x ﹣e≤0，∴函数g （x ）＝x 2e ﹣x ﹣e在（﹣∞，0]上单调递减，且g （﹣e ）＝e 2，得x ＝﹣e ，则k =1+ee 0=1+e ， 而函数f(x)=−x 2−14（x ＞0）过原点的切线方程为y ＝﹣x ，设直线y ＝（1+e ）x 到直线y ＝﹣x 的角为θ， 则tanθ=−1−(1+e)1−1−e =2+ee，结合图形可知，tan ∠MON 的取值范围是（0，2+ee )．故答案为：（0，2+ee)．．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）求样本成绩的第75百分位数；（Ⅲ）已知落在[50，60）的平均成绩是51，方差是7，落在[60，70）的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数z和总方差s2．解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得（0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010）×10＝1，解得a＝0.030；（Ⅱ）成绩落在[40，80）内的频率为（0.005+0.010+0.020+0.030）×10＝0.65＜0.75，落在[40，90）内的频率为（0.005+0.010+0.020+0.030+0.025）×10＝0.9＞0.75，设第75百分位数为m，则m落在区间[80，90）内，由0.65+（m﹣80）×0.025＝0.75，得m＝84，即第75百分位数为84；（Ⅲ）由图可知，成绩在[50，60）的市民人数为100×0.1＝10，成绩在[60，70）的市民人数为100×0.2＝20，故两组成绩的总平均数z=10×51+20×6330=59，由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：s2=130{10[7+（51﹣59）2]+20[4+（63﹣59）2]}＝37．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，P A＝BC＝3，AB ＝AD＝2，PB=√13．E为PD中点，点F在PC上，且PC＝3FC．（1）求证：AB⊥平面P AD；（2）求二面角F﹣AE﹣D的余弦值；（3）线段AC上是否存在点Q，使得DQ∥平面F AE？说明理由．（1）证明：在△P AB中，∵P A＝3，AB＝2，PB=√13，∴PA2+AB2=32+22=(√13)2=PB2．∴∠P AB ＝90°，即AB ⊥P A ．又∵AB ⊥AD ，在平面P AD 中，P A ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面P AD ；（2）解：∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ， AB ⊥AD ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面P AB ，得AD ⊥P A ，已证AB ⊥P A ，且已知AB ⊥AD ，∴以A 为坐标原点，分别以AD 、AB 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则D （2，0，0），P （0，0，3），C （3，2，0）．AP →=(0，0，3)，AD →=(2，0，0)，AC →=(3，2，0)，CP →=(−3，−2，3)，∵E 为PD 中点，∴AE →=12(AP →+AD →)=(1，0，32)．由PC ＝3FC 知，AF →=AC →+CF →=AC →+13CP →=(3，2，0)+(−1，−23，1)=(2，43，1)．设平面AEF 的法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅AE →=x +32z =0n →⋅AF →=2x +43y +z =0，令z ＝2，得n →=(−3，3，2)．又AB ⊥平面P AD ，∴平面P AD 的法向量为AB →=(0，2，0)． ∴cos〈n →，AB →〉=n →⋅AB→|n →||AB →|=2×9+9+4=3√2222，由题知，二面角F ﹣AE ﹣D 为锐角，∴二面角F ﹣AE ﹣D 的余弦值为3√2222；（3）解：设Q 是线段AC 上一点，则存在λ∈[0，1]使得AQ →=λAC →． ∵AC →=(3，2，0)，DA →=(−2，0，0)，∴DQ →=DA →+AQ →=DA →+λAC →=(3λ−2，2λ，0)． ∵DQ ⊄平面AEF ，∴要使DQ ∥平面AEF ，则DQ →⋅n →=0，即（3λ﹣2，2λ，0）•（﹣3，3，2）＝0．即（3λ﹣2）×（﹣3）+2λ×3+0×2＝0．解得λ＝2．∵λ＝2∉[0，1]，∴线段AC上不存在Q，使得DQ∥平面AEF．19．（12分）如图，公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝﹣1，在该块土地中P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM、AN的距离分别为1km，√2km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．（1）以A为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出P点的坐标；（2）三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为4km2，求公路BC所在直线方程．解：（1）以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，由题意，设点P（a，1），且直线AN的斜率为k AN＝tanα＝﹣1，经过点A（0，0），所以直线AN的方程为x+y＝0，又点P到直线AN的距离为√2，所以√2=√2，解得a＝1或a＝﹣3（舍），故点P的坐标为（1，1）；（2）由题意可知，直线BC的斜率一定存在，设直线BC的直线方程为y﹣1＝k（x﹣1），联立直线BC与AN的方程，{y−1=k(x−1) x+y=0，解得点C的坐标为(k−1k+1，1−kk+1)，在直线BC的方程中，令y＝0，解得x B=−1k+1=k−1k，所以S△ABC=12⋅k−1k⋅(−k−1k+1)=4，解得k=−1 3，故直线BC的方程为x+3y﹣4＝0．20．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）求函数f（x）的极值；（2）证明：当0＜a＜1时，∃x∈（0，+∞），使得f（x）＜3a﹣a2﹣ln2．解：（1）已知f（x）＝ax﹣lnx，函数定义域为（0，+∞），可得f′(x)=a−1x=ax−1x，当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，无极值；当x∈(0，1a)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈(1a，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x=1a时，函数f（x）取得极小值，极小值f（1a）＝1+lna，无极大值，综上，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上无极值；当a＞0时，f（x）的极小值为1+lna，无极大值；（2）证明：由（1）知，当0＜a＜1时，f（x）的最小值为1+lna，若∃x∈（0，+∞），使得f（x）＜3a﹣a2﹣ln2，此时a2﹣3a+1+lna+ln2＜0，不妨设g（a）＝a2﹣3a+1+lna+ln2，函数定义域为（0，1），可得g′(a)=2a−3+1a=(2a−1)(a−1)a，当a∈(0，12)时，g′（a）＞0，g（a）单调递增，当a∈(12，1)时，g′（a）＜0，g（a）单调递减，所以当a=12时，g(a)max=g(12)=14−32+1+ln12+ln2=−14＜0，故∃x∈（0，+∞），使得f（x）＜3a﹣a2﹣ln2．21．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)过点M(√22，√32)，且离心率为e=√22．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆C和圆O：x2+y2＝1．过点A（m，0）（m＞1）作直线l1和l2，且两直线的斜率之积等于1，l1与圆O相切于点P，l2与椭圆相交于不同的两点M、N，求m的取值范围．（1）解：由椭圆C：x2a2+y2b2=1过点M(√22，√32)，且离心率为e=√22，可得{12a2+34b2=1e=ca=√22a2=b2+c2，解得a2＝2，b2＝1，c2＝1，所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1．（2）解：由题意，两直线l1、l2的斜率均存在，且两直线的斜率之积为1，设l2的斜率为k，则l1的斜率为1k(k≠0)，则直线l2的方程为y＝k（x﹣m），即kx﹣y﹣km＝0，直线l1的方程为y=1k(x−m)，即x﹣ky﹣m＝0，因为l1与圆O相切于点P，所以√1+k2=1，化简得m2＝1+k2，由{y=k(x−m)x22+y2=1，整理得（2k2+1）x2﹣4mk2x+2k2m2﹣2＝0，所以Δ＝（﹣4mk2）2﹣4（2k2+1）（2m2k2﹣2）＞0，化简得1+k2（2﹣m2）＞0，由m2＝1+k2，可得k2＝m2﹣1，代入上式化简得m4﹣3m2+1＜0，解得3−√52＜m2＜3+√52，又因为m＞1，可得1＜m2＜3+√52，得1＜m＜√5+12，所以m的取值范围是(1，√5+12)．22．（12分）已知函数f(x)=a(x+4)e x，其中a∈R且a≠0．（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若存在实数x0，使得f（x0）＝x0，则称x0为函数f（x）的“不动点”求函数f（x）的“不动点”的个数；（3）若关于x的方程f（f（x））＝f（x）有两个相异的实数根，求a的取值范围．解：（1）当a＝1时，f（x）=x+4e x，定义域为R，f′（x）=−x+3e x，令f ′（x ）＝0，得x ＝﹣3，∴当x ＜﹣3时，f ′（x ）＞0；当x ＞﹣3时，f ′（x ）＜0．∴f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3），单调递减区间为（﹣3，+∞）．（2）函数f （x ）的不动点即为方程f （x ）﹣x ＝0的根，即方程a(x+4)e x −x ＝0， ∴xe x x+4−a ＝0，设F （x ）=xe x x+4−a （x ≠﹣4）， F ′（x ）=(x+2)2e x (x+4)2≥0，当且仅当x ＝﹣2时取等号， ∴F （x ）在（﹣∞，﹣4）和（﹣4，+∞）上单调递增，由F （x ）=xe x −a(x+4)x+4，设h （x ）＝xe x ﹣a （x +4）， 当a ＞0时，若x ∈（﹣∞，﹣4）时，h （﹣4）=−4e 4＜0，h （﹣4−1ae ）＞0， ∴存在t 1∈（﹣∞，﹣4），使得h （t 1）＝0，即存在唯一t 1∈（﹣∞，﹣4），使得F （t 1）＝0， 当x ∈（﹣4，+∞）时，h （0）＝﹣4a ＜0，h （4a ）＞0，存在t 2∈（0，+∞），使得h （t 2）＝0，即存在唯一t 2∈（0，+∞）使得F （t 2）＝0， 当a ＜0时，当x ∈（﹣∞，﹣4）时，F （x ）=xe x x+4−a ＞0无零点， 当x ∈（﹣4，+∞）时，∵h （0）＝﹣4a ＞0，h （﹣4）=−4e 4＜0， 存在t 0∈（﹣4，0），使得h （t 0）＝0，即存在唯一t 0∈（﹣4，+∞）使得F （t 0）＝0， 综上所述，当a ＞0时，函数f （x ）有两个“不动点”t 1，t 2，当a ＜0时，函数f （x ）有一个“不动点”．（3）∵f （f （x ））﹣f （x ）＝0，由（2）可得f （x ）＝t i （其中i ∈{0，1，2}），由F （t i ）＝0得a =t i e t i t i +4，代入x+4e x =t i +4e t i， 设G （x ）=x+4e x， 由（1）知，当x ∈（﹣∞，﹣4]时，G （x ）单调递增，且G （x ）∈（﹣∞，0]， ∴在（﹣4，﹣3）上G （x ）单调递增，且G （x ）∈（0，e 3），在（﹣3，+∞）上G （x ）单调递减，且G （x ）∈（0，e 3），由G（x）＝G（t1）＜0可得x＝t1，G（x）＝G（t2）＞0可得x＝t2，x0，共三个解，∴F（t）有一个零点t0，∴f（f（x））﹣f（x）＝0，∴f（x）＝t0，由F（t0）＝0得a=t0e t0t0+4，代入x+4e x=t0+4e t0，由（1）知当t0＝﹣3，即a=−3e3时，G（x1）＝G（t0）的解为t0，当t0≠﹣3，即a＜0且a≠−3e3时，G（x1）＝G（t0）的解为x1，t0，综上所述，当a＜0且a≠−3e3时方程有两个不同实数根．。

浙江省宁波市镇海2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷含答案

镇海2023学年第二学期期中考试试题高二年级数学学科（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{230}P x x x =+-<∣，集合3{1}Q x x =>-∣，则P Q = （）A.()3,1- B.()2,1- C.()1,1- D.()1,3-【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再结合交集的定义，即可求解．【详解】集合2{|230}{|31}P x x x x x =+-<=-<<，集合{}{}311Q x x x x =-=-，故(1,1)P Q ⋂=-．故选：C ．2.已知函数4log ,01()2,1xx x f x x <<⎧=⎨≥⎩，则21()(log 3)4f f +=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用指、对数的运算性质，即可求出结果.【详解】因为4log ,01()2,1xx x f x x <<⎧=⎨≥⎩，所以411()log 144f ==-，又2log 31>，所以2log 32(log 3)23f ==，则21((log 3)1324f f +=-+=，故选：B.3.22cos 25sin 25sin110cos 70︒-︒=︒⋅︒（）A.1-B.1C.2- D.2【答案】D 【解析】【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．【详解】22cos 25sin 25cos50cos50sin 40211sin110cos 70sin 70cos 70sin140sin 4022︒-︒︒︒︒====︒⋅︒︒⋅︒︒︒．故选：D ．4.在ABC 中，“cos sin A B =”是“90C =︒”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先证明条件是必要的，再构造反例说明条件不是充分的.【详解】若90C =︒，则()()cos cos 180cos 90sin A C B B B =︒--=︒-=，故条件是必要的；当10A =︒，100B =︒，70C =︒时，有cos cos10sin100sin A B =︒=︒=，7090C =︒≠︒，故条件不是充分的.故选：B.5.函数}}:f →，}}:g →，如图所示，则()(){}x f g x g f x ⎡⎤⎡⎤<=⎣⎦⎣⎦∣（）A.{}ln2B.C.{}cos2 D.【答案】A 【解析】【分析】对x =，ln 2x =cos 2x =，分别计算可判断[()][()]f g x g f x <是否成立，可求{|[()][()]}x f g x g f x <.【详解】当x =时，[()](cos 2)ln 20f g x f ==>，[()]cos 20g f x g ==<，不满足[()][()]f g x g f x <，当ln 2x =时，[()](ln 2)cos 20f g x f ==<，[()](cos 2)0g f x g ==>，满足[()][()]f g x g f x <，当cos 2x =时，[()]f g x f ==[()](ln 2)ln 21g f x g ==<，不满足[()][()]f g x g f x <，综上所述：{|[()][()]}{ln 2}x f g x g f x <=.故选：A.6.我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等.已知函数()()πtan 06h x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象中的两条相邻“平行曲线”与直线2024y =相交于A 、B 两点，且3AB =，则34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.B.C.2D.2+【答案】D 【解析】【分析】由“平行曲线”的性质和周期公式求出ω，再代入函数值结合两角和的正切展开式计算即可.【详解】由“平行曲线”的性质可得函数的最小正周期为3T AB ==，所以ππ3T ω==，所以()ππtan 36h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以ππtantan 13π3πππ463tan tan 2ππ43464631tan tan 463f ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⨯故选：D.7.如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，π2ABC ∠=，点E 是BC 上一点，π24,3CE BE AED ==∠=，ADE V的面积为AD 的长为（）A.B. C.8D.【答案】A 【解析】【分析】设,AB x CD y ==，求得24tan(π)124x y AED x y +-∠=-420x y ---=，再由ADE V的面积为2x y +=,x y 的值，即可求解.【详解】由题意，设,AB x CD y ==，则24tan(π)tan()124x y AED AED CED x y +-∠=∠+∠=-，可得2π24tan3124x y x y +==-420x y ---=，又由111()624222x y x y =+⨯-⋅-⋅，即2x y +=联立可得24xy =，联立方程组242xy x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得x y ==所以AD ==.故选：A.8.已知0.5log x x =，0.5log yx y =，0.5log zx z =，则（）A.z x y <<B.y z x <<C.x y z<< D.y x z<<【答案】D 【解析】【分析】构造函数()0.5log x f x x =-，利用零点存在定理得到112x <<；由0.5log 0yx y =>得01y <<，从而有0.50.5log log y x >，得到y x <，由0.5log zx z =得到log log x x z x <，得到z x >，从而求出结果.【详解】令()0.5log x f x x =-，易得()f x 单调递增，又0.50log 111112222f ⎛⎫=-=-<⎪⎝⎭，()0.511110log f =-=>，所以()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一零点，因为0.5log x x =，所以112x <<，由0.5log 0y x y =>，知01y <<，所以0.50.5log log yx y x x =>=，又函数0.5log y x =在(0,)+∞上单调递减，所以y x <，由0.5log zx z =，知0z >，所以00.5log 1log zx x z x <=<=，所以z x >，综上，y x z <<.故选：D.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于构造函数()0.5log x f x x =-，利用零点存在定理得到112x <<，再利用指对数函数的单调性解决问题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.若2x a x ++-的最小值是1，则实数a 的值可以为（）A.1-B.2- C.3- D.4-【答案】AC 【解析】【分析】根据条件，利用绝对值三角不等式，即可求出结果.【详解】因为22x a x a ++-≥+，当且仅当(2)()0x a x +-≥取等号，又2x a x ++-的最小值是1，所以21a +=，解得1a =-或3a =-，故答案为：AC.10.已知函数()1e exxm f x m -⋅=+是定义域上的奇函数，则下列选项中错误．．的是（）A.1m = B.()1f x =有解C.()()210f f +-=D.()2y f x =+与()4y f x =-的图象关于3x =对称【答案】ABCD【解析】【分析】对于A ，验证1m =-符合题意即可说明选项错误；对于B ，假设()1f x =，再得出矛盾即可说明选项错误；对于C ，利用单调性和奇偶性可验证结论不成立，从而说明选项错误；对于D ，利用图象对称对应的恒等式，验证其不恒成立，即可说明选项错误.【详解】对于A ：若1m ≠-，则由0e 0m +≠知()f x 的定义域包含0x =，再由()f x 是奇函数有()00f =，代入得101mm -=+，故1m =，经检验符合题意.若1m =-，则()1e e 11e e 1x x xxf x ++==-+-，其定义域0x ≠关于原点对称，且()()e 11e e 1e 11e e 1x x x x xx f x f x --+++-===-=----，从而()f x 是奇函数.这表明m 的所有可能值是1m =或1m =-，故A 错误；对于B ：由上面的结论知()1e 1e x xf x -=+或()e 1e 1x x f x +=-.无论哪种情况，()1f x =都意味着e 1e 1xx+=-，两边同时平方得到22e 2e 1e 2e 1x x x x ++=-+，即4e 0x =，这是不可能的.所以()1f x =无解，故B 错误；对于C ：若()1e 1e x x f x -=+，则由()1e 211e 1e x x xf x -==-+++知()f x 单调递减；若()e 1e 1x x f x +=-，则由()e 121e 1e 1x x xf x +==+--知()f x 在()0,∞+上单调递减.无论怎样，都有()f x 在()0,∞+上单调递减，故()()21f f <.所以()()()()21210f f f f +-=-<，故C 错误；对于D ：该选项的描述即为()()()264f x f x +-=-（若等号两边都有意义）.即()()84f x f x -=-（若等号两边都有意义）.但根据上面的论证，知()f x 在()0,∞+上单调递减，故4x <时必有()()84f x f x -<-.故D 错误.故选：ABCD.11.若a ，b 为函数()()2sin 1f x x m x =++-的两个不同零点，令()h m a b =-，则下列命题正确的是（）A.π是函数()h m 的一个周期B.02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，是函数()h m 的一个单调递减区间C.函数()h m 的图象是轴对称图形 D.函数()h m 的图象是中心对称图形【答案】BC 【解析】【分析】由于此题的零点无法求解，因此联想到数形结合来做，即通过分析特殊值来确定选项A ，再通过24x x m π⎛⎫⎝⎭=--⎪的解来分析选项BC ，利用反证法可判断D .【详解】对于A ，若π2m =时，()2cos 1f x x x =+-，此时()sin 2f x x x '=-+，设()sin 2s x x x =-+，则()cos 20s x x '=-+>，故()f x '为R 上的增函数，而()00f '=，故当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，而()00f =，故()f x 仅有一个零点，与题设矛盾，故π2m ≠.同理π2π,Z 2m k k ≠+∈，当3π2m =时，()2cos 1f x x x =-+-，此时()sin 2f x x x '=+，同理可得()f x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，而()020f =-<，()()223cos 20f f =-=->，故此时()f x 有两个不同的零点，故()h m 的周期不是π，故A 错误.对于B ，()()2sin 1f x x m x =++-的x m =-的零点差的绝对值,其中π2π,Z 2m k k ≠+∈.设()n 24g x x π⎛⎫- ⎪⎝=⎭=，其图像如图所示，根据对称性及A 中讨论，24x x m π⎛⎫⎝⎭=--⎪在ππ,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的两个不同零点差的绝对值，其中02m π<<，设该方程较大的零点为b ，较小的零点为a ，则π02b <<，因为πππ222m m g ⎛⎫--=+>=- ⎪⎝⎭，故π2a >-.设1202m m π<<<，1x m =-的两个根为11,a b ，且11ππ22a b -<<<，11m a =-11b m =-11b a +=-.同理()22sin 1y x m x =++-的两边不同的零点22,a b 也满足：22b a +-，其中1212ππ22a ab b <<<-<<，而ππ,22y x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎣⎭为减函数，<，<，故2211b a b a -<-即()()12h m h m >，故()h m 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 成立.对于C ，结合B 中()g x 的图像关于直线2x π=对称可知22h m h m ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()h m 的图象关于直线2m π=对称，即选项C 是正确的；对于D ，当R m ∈且π2π,Z 2m k k ≠+∈时，结合()g x 的图像可得()h m 的最小正周期为2π，且()h m 的图象有两类对称轴：π2π,Z 2m k k =+∈，3π2π,Z 2m k k =+∈，若()h m 图像有对称中心()00,m h ，根据()h m 的最小正周期为2π及对称性不妨设0π3π,22m ⎛⎤∈⎥⎝⎦，且()()0022h m m h m n -+=，而()()πh m h m -=，故()()002π2h m m h m n -+-=，故()()002π2h m m h m n -++=，所以()()00042π2π2h m m h m m n -++-+=，故()()042πh m m h m -+=，故()h m 的周期为042m π-，但(]04π,4πm π-∈，结合最小正周期为2π可得042π4πm -=即03π2m =，但直线03π2m =为对称轴，故()h m 的图像无对称中心.故D 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：复杂函数的零点问题，可利用变换转化为简单函数的图象的交点问题，而抽象函数的性质的讨论，可以依据定义来进行判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.用列举法表示集合6{|}9x x∈∈-N N 的结果为_____________.【答案】{}1,2,3,6【解析】【分析】根据题意可9x -知为6的约数，求得x 的取值，用列举法表示集合即可.【详解】由6N 9x∈-可知9x -为6的约数，所以91,2,3,6x -=，因为N x ∈，所以8,7,6,3x =，此时，66,3,2,19x=-集合为{}1,2,3,6.故答案为：{}1,2,3,6.13.将函数()π3cos 2y x ϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移π3个单位得到曲线C .若曲线C 的图象关于直线π4x =对称，则ϕ的值为_________.【答案】π6##1π6【解析】【分析】先求出曲线C 的解析式π3cos 23y x ϕ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后根据图象的对称性即得πcos 16ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，最后利用余弦函数的性质及ϕ的范围可求得ϕ的值.【详解】将函数()3cos y x ϕ=+的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，得到函数()3cos 2y x ϕ=+的图象；再将函数()3cos 2y x ϕ=+的图象向右平移π3个单位，得到曲线π3cos 23y x ϕ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由条件知该曲线关于直线π4x =对称，故对应函数在π4x =处取得最大值或最小值，从而ππcos 2143ϕ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πcos 16ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.从而()ππ6k k ϕ-=∈Z ，即()ππ6k k ϕ=+∈Z .再由π2ϕ<即ππ22ϕ-<<，就得到2133k -<<，从而0k =，故π6ϕ=.故答案为：π6.14.已知1x >，1y >，1z >，且满足log 10log 10log 10log 101x y xy z +=+=，则z 的最大值为_________.【答案】4310【解析】【分析】由已知结合对数的换底公式进行化简，然后结合基本不等式即可求解．【详解】因为1x >，1y >，1z >，且满足log 10log 10log 10log 101x y xy z +=+=，所以111lg lg x y +=，111lg()lg xy z+=，所以2lg lg lg lg lg lg (2x y x y x y +⋅=+≤，当且仅当100x y ==时取等号，所以lg lg 4x y +≥，110lg lg 4x y <≤+，因为111lg()lg xy z+=，所以111311[,1)lg lg()lg lg 4z xy x y =-=-∈+，所以41lg 3z <≤，所以431010z <≤，故z 的最大值为4310．故答案为：4310．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知不等式603xx -≥-的解集为A ，函数()()2lg 2f x x x a =-+的定义域为B .（1）求A ；（2）若A B ⊆，求a 的范围.【答案】（1）(3,6]（2）[3,)-+∞【解析】【分析】（1）直接利用分式不等式的解法求出结果；（2）利用对数的定义域和集合间的关系求出参数a 的取值范围．【小问1详解】不等式603x x -≥-，整理得：603x x -≤-，即(3)(6)030x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得：36x <≤，故集合A 的解集为(3,6]．【小问2详解】由于(3A =,6]，由于A B ⊆，则2()lg(2)f x x x a =-+的定义域满足对(3A ∀=,6]，220x x a -+>恒成立，故满足2360a -+≥，整理得3a ≥-，故实数a 的取值范围[3,)-+∞．16.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()223f x f x x +-=+.（1）求()f x ；（2）若函数()()()33f x x g x t f t =+⋅-，[]1,1x ∈-，是否存在实数t 使得()g x 的最小值为3-？若存在，求出实数t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()21f x x =+（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）将已知中的x 替换为x -，得出方程组，求解即可得到答案；（2）由（1）可得()21323x x g x t +=+⋅，利用换元法令3x u =，结合一元二次函数的单调性讨论即可.【小问1详解】由()()223f x f x x +-=+可得()()223f x f x x -+=-+，联立()()()()223223f x f x x f x f x x ⎧+-=+⎪⎨-+=-+⎪⎩，解得()21f x x =+.【小问2详解】由（1）可得()()21213231323x x x x g x t t t ++=+⋅⨯+-=+⋅，令3x u =，则当[]1,1x ∈-时，1,33u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()232g u u tu =+，所以()g u 在,3t ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在,3t ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，当133t -≤，即1t ≥-时，()2min111323333g u g t ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5t =-，与1t ≥-矛盾，当33t-≥，即9t ≤-时，()()2min 333233g u g t ==⨯+⨯=-，解得5t =-，与9t ≤-矛盾，当1333t <-<，即91t -<<-时，()2min323333t t t g u g t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1t =±，与91t -<<-矛盾，综上不存在实数t 使得()g x 的最小值为3-.17.已知函数()()2cos 2sin 10f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在区间[]π,αα-内既有最大值又有最小值，求α的取值范围.【答案】（1）1ω=，πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦（2）5π,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得π()2sin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由周期公式及正弦函数的单调性求解即可；（2）首先根据区间形式得到π2α>，再利用整体法结合正弦函数性质得到不等式组，解出即可.【小问1详解】()2πcos 2sin 12cos 22sin 26f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭，由题意可得：2π==π2T ω，则1ω=，∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤-≤+∈，则ππππ,Z 63k x k k -≤≤+∈∴函数()f x 的单调增区间为πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦；【小问2详解】根据区间形式得παα>-，则π2α>，又因为[]π,x αα∈-，则11πππ222666x αα-≤-≤-，π5π266α->，若()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]π,αα-内既有最大值又有最小值，则11ππ262α-≤-，解得7π6α≥；或者π3π26211ππ262αα⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得5π6α≥；综上两者取并集得5π6α≥.所以α的取值范围为5π,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()sin cos cos cos B c B b C B +=.（1）求B ；（2）若π2C =，且C 的角平分线交AB 于P ，Q 为边AC 的中点，CP 与BQ 交于点D .求cos PDQ ∠；（3）若5b =，求ABC 内切圆半径r 的取值范围.【答案】（1）π3B =（2）42214cos 14PDQ -∠=（3）ABC 内切圆半径r 的取值范围为(0,]6【解析】【分析】（1）由正弦定理可得sin (sin cos sin cos )cos B C B B C A B +=，利用三角恒等变换可得B ；（2）设2BC a =，可求得cos BQC ∠，sin BQC ∠，利用cos cos()PDQ PCQ BQC ∠=∠+∠，可求值；（3）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，可求得510a c <+≤，进而可得325acr a c =++，进而计算可求得ABC 内切圆半径r 的取值范围.【小问1详解】由sin (cos cos )cos B c B b C B +=,结合正弦定理得sin (sin cos sin cos )cos B C B B C A B +=，所以sin sin()cos B C B A B +=，所以sin sin(π)cos B A A B -=,所以sin sin cos B A A B =，因为sin 0A ≠，所以sin B B =，所以tan B =，因为(0,π)B ∈，所以π3B =.【小问2详解】当π2C =时，设2BC a =，由（1）可知π3B =，则AC =，因为Q是AC的中点，故QC=，所以BQ==，所以cosCQBQCBQ∠==sin BCBQCBQ∠==，所以πππcos cos()cos()cos cos sin sin444 PDQ PCQ BQC BQC BQC BQC ∠=∠+∠=+∠=∠-∠2214=-=；【小问3详解】由余弦定理可得2222cosb ac ac B=+-，所以222222125()3()3(()24a ca c ac a c ac a c a c+=+-=+-≥+-=+，当且仅当5a c==时取等号，所以10a c+≤，又5a c b+>=，所以510a c<+≤,因为1111sin2222ABCar br cr S ac B++==，由225()3a c ac=+-，可得21[()25]3ac a c=+-，所以213[()25]32(5)25256a cac acr a ca b c a c a c+-====+-++++++，所以06r<≤，所以ABC内切圆半径r的取值范围为(0,6.19.已知函数()2241mx xf xx+=+，函数()22mg x x=+.（1）若0m=，求()f x的值域；（2）若(]0,4m∈：（ⅰ）解关于x的不等式：()()f xg x≤；（ⅱ）设,a b∈R，若实数t满足()()2f a f b t⋅=-，比较()()1g t m g--与18的大小，并证明你的结论.【答案】（1）[]22-,（2）（ⅰ）4,m ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭（ⅱ）当2t =且12m =时，()()118g t m g --=；当2t ≠或12m ≠时，()()118g t m g --<，证明见解析【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性和双勾函数的性质可求值域.（2）利用()()()()()221421x mx g x f x x -+-=+即可求出不等式的解集，然后证明2t ≤，再代入解析式证明()()118g t m g --≤，最后判断不等号两边相等的条件即可.【小问1详解】当0m =时，()241xf x x =+，其定义域为R ，而()()241xf x f x x -=-=-+，故()f x 为奇函数，当0x =时，()0f x =;当0x >时，()41f x x x=+，而1y x x=+在()0,+∞上的值域为[)2,+∞,故此时()(]0,2f x ∈，结合()f x 为奇函数可得()f x 的值域是[]22-,.【小问2详解】若(]0,4m ∈：（ⅰ）由于()()()()()()()2222224144412421212121x mx x mx m mx x mx x g x f x x mx x x x x +-+++⎛⎫-=+-=-=-+= ⎪++++⎝⎭，故不等式()()f x g x ≤等价于()()2140x mx -+≥，即40mx +≥或1x =.由4m -是负数，知原不等式的解集为4,m ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭；（ⅱ）由于关于x 的方程()2241mx x f a x +=+有解x a =，故关于x 的方程()()()240f a m x x f a --+=有解.如果()0f a m -≠，则该方程是二次方程，所以其判别式非负，即()()()1640f a f a m --≥.从而()0f a m -=和()()()1640f a f a m --≥这两个结论中，至少有一个成立.但当()0f a m -=时，亦有()()()164160f a f a m --=≥.故()()()1640f a f a m --≥一定成立，所以()()()4f a f a m -≤.同理()()()4f b f b m -≤，所以()(),22m m f a f b ⎡-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦.故()()2422m m t f a f b +-=≥⋅=-，所以22t -≤≤.所以由0m >，2t ≤即可得到()()()()()211111221122228228m m m m g t m g t m t m m m ⎛⎫--=-+--=--≤-=--≤ ⎪⎝⎭.根据上面的证明过程显然能够得出，不等号两边相等当且仅当2t =且12m =.综上，比较的结果为：当2t =且12m =时，()()118g t m g --=；当2t ≠或12m ≠时，()()118g t m g --<.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将函数的解析式与不等式结合，利用函数的性质即可更容易地解出与之相关的不等式.。

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浙江省宁波市高二下学期开学数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）已知，则下列不等式正确的是（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2020高二上·青铜峡期末) 已知命题是无理数;命题 ,则下列命题中为真命题的是（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）已知集合，则（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2016高三上·嘉兴期末) 设{an}是等比数列，下列结论中正确的是（）
A . 若a1+a2＞0，则a2+a3＞0
B . 若a1+a3＜0，则a1+a2＜0
C . 若0＜a1＜a2 ，则2a2＜a1+a3
D . 若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
5. （2分）全集U=R，集合，则A=（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2019高二上·蛟河期中) △ 中，如果有 ,则此三角形是（）
A . 等腰三角形
B . 直角三角形
C . 等腰直角三角形
D . 等腰三角形或直角三角形
7. （2分） (2016高一下·衡阳期中) 原命题：“设若a>b,则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）个.
A . 0
B . 1
C . 2
D . 4
8. （2分）△ABC满足，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点(不在边界上)，定义f(M)=(x,y,z)，
其中x,y,z分别表示△MBC，△MCA,△MAB的面积，若f(M)=(x,y,)，则的最小值为（）
A . 9
B . 8
C . 18
D . 16
9. （2分）(2017·烟台模拟) 关于x，y的不等式组，表示的区域为D，若区域D内存在满足t≤3x﹣y的点，则实数t的取值范围为（）
A . （﹣∞，1]
B . [1，+∞）
C . （﹣∞，5]
D . [5，+∞）
10. （2分） (2017高三下·赣州期中) 设F1 ， F2是椭圆（0＜b＜2）的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF2|+|BF2|最大值为5，则椭圆的离心率为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共5题；共5分)
11. （1分） (2019高一上·高台期中) 若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任何实数x恒成立，则实数m 的取值范围是________．
12. （1分）(2017·石家庄模拟) 设实数x，y满足约束条件，则的最大值为________．
13. （1分）当m取一切实数时，双曲线x2﹣y2﹣6mx﹣4my+5m2﹣1=0的中心的轨迹方程为________．
14. （1分）已知双曲线 - =1的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的方程为________
15. （1分）(2017·山东模拟) 已知a，b为正实数，直线y=x﹣a与曲线y=ln（x+b）相切，则 + 的最小值为________．
三、解答题 (共6题；共50分)
16. （10分）(2017高二上·汕头月考) 在中，角所对的三边分别为，
（1）求；
（2）求的面积
17. （10分） (2016高二上·河北期中) 设命题p：若实数x满足x2﹣4ax+3a2≤0，其中a＞0；命题q：实数x满足
（1）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18. （10分）(2019高二上·郑州期中) 已知数列的前项和为，，
.
（1）求，，的值及数列的通项公式；
（2）求证： .
19. （5分）(2017·武邑模拟) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，满足，且a1=3．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：．
20. （5分）(2017·海淀模拟) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0），椭圆C的右焦点F的坐标为，短轴长为2．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若点P为直线x=4上的一个动点，A，B为椭圆的左、右顶点，直线AP，BP分别与椭圆C的另一个交点分别为M，N，求证：直线MN恒过点E（1，0）．
21. （10分） (2018高二下·长春开学考) 已知椭圆的两个焦点为，，离心率
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，当变化时，求面积的最大值.
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9、答案：略
10-1、
二、填空题 (共5题；共5分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
三、解答题 (共6题；共50分) 16-1、
16-2、
17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
19-1、
20、答案：略
21-1、21-2、。

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