宁波市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
2019-2020学年浙江省绍兴市高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江省绍兴市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3}，B＝{5，6}，则（∁U A）∪B＝（）A．{4}B．{5，6}C．{4，5，6}D．{1，2，3，5，6} 2．双曲线x2﹣＝1的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±3x D．y＝±x3．已知向量＝（x，1），＝（2，﹣3）．若∥，则实数x（）A．﹣B．C．﹣D．4．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆的交点为，则cos（π﹣α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．5．若实数x，y满足约束条件，则2x﹣3y的最小值是（）A．0B．﹣1C．﹣4D．﹣86．已知a，b为实数，则“a＞b”是“a＞|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也非必要条件7．函数f（x）＝（e x+ae﹣x）x2（a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．8．已知等比数列{a n}和公差不为零的等差数列{b n}都是无穷数列，当n∈N*时，则（）A．若{a n}是递增数列，则数列{na n}递增B．若{b n}是递增数列，则数列{nb n}递增C．若数列{na n}递增，则数列{a n}递增D．若数列{nb n}递增，则数列{b n}递增9．已知平面向量，，满足||＝1，•＝1，记与+夹角为θ，则cosθ的最小值是（）A．B．C．D．10．如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，DA＝，∠CDA＝90°，将△ACD沿直线AC翻折成△ACD'，形成三棱锥D'﹣ABC，则（）A．存在某个位置，使得直线AB与直线CD'垂直B．存在某个位置，使得直线AC与直线BD'垂直C．存在某个位置，使得直线BC与直线AD'垂直D．对任意位置，三对直线“AB与CD'”，“AC与BD'”，“BC与AD'”均不垂直二、填空题（本大题共7小题，多空每题6分，单空每题4分）11．lg2+lg50＝；＝．12．已知{a n}是等比数列，a1＝＝4，则a3＝，a1a2a3a4a5a6＝．13．在△ABC中，A＝120°，BC＝1，sin B＝，则AC＝，cos C＝．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是15．在平面直角坐标系中，A（﹣1，2），B（2，1），C（3，4），△ABC恰好被面积最小的圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2及其内部所覆盖，则a﹣2b＝，r＝．16．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，A（a，0），B（0，b），点M满足，则直线FM的斜率取值范围是．17．已知数列{a n}满足，若a7＝127，则a1的取值范围是．三．解答题（本大题共5小题，共74分）18．已知函数f（x）＝x．（1）求函数f（x）的值域；（2）求函数f（x）单调递增区间．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ADD1⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，A1A＝A1D＝AD＝AC，E为DD1的中点．（1）证明：BD1∥平面ACE；（2）求直线A1D与平面ACE所成角的正弦值．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝6，S5＝3a5，n∈N*．（1）求a n与S n；（2）设b n＝，证明：b1+b2+b3+…+b n＜n+．21．如图，已知点M（1，1），N（2，1），Q（4，1）抛物线y2＝2px过点M，过点Q的直线与抛物线交于A，B两点，直线AN，BN与抛物线的另一交点分别为C，D，记△ABN，△CDN的面积分别为S1，S2．（1）求抛物线的方程；（2）是否为定值？并说明理由．22．设函数f（x）＝（x﹣a）|x﹣a|（a∈R）．（1）若函数f（x）是奇函数，求a的值；（2）若存在a∈[﹣1，1]，使函数y＝f（x）+2x2﹣2a|x|+2在x∈{x||x|≥t}上有零点，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题（共10小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3}，B＝{5，6}，则（∁U A）∪B＝（）A．{4}B．{5，6}C．{4，5，6}D．{1，2，3，5，6}【分析】先求出∁U A，由此能求出（∁U A）∪B．解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3}，B＝{5，6}，∴∁U A＝{4，5，6}，（∁U A）∪B＝{4，5，6}．故选：C．2．双曲线x2﹣＝1的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±3x D．y＝±x【分析】由双曲线的性质及方程直接可得双曲线的渐近线的方程．解：由双曲线x2﹣＝1方程可得渐近线方程为：x＝，即y＝x，故选：B．3．已知向量＝（x，1），＝（2，﹣3）．若∥，则实数x（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】根据两向量共线的坐标表示，列方程求出x的值．解：向量＝（x，1），＝（2，﹣3），若∥，则﹣3x﹣1×2＝0，解得x＝﹣．故选：A．4．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆的交点为，则cos（π﹣α）＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求出结果．解：∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆的交点为，则cos（π﹣α）＝﹣cosα＝﹣，故选：A．5．若实数x，y满足约束条件，则2x﹣3y的最小值是（）A．0B．﹣1C．﹣4D．﹣8【分析】先作出不等式组表示的可行域，结合目标函数中z的几何意义可求z取得最小值的位置，即可求解．解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x﹣3y＝z，可得y＝x﹣z，则﹣z表示直线y＝x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小平移直线L：y＝x﹣z，显然当平行直线过点C时，z取得最小值为；⇒C（4，4）；故2x﹣3y的最小值为：2×4﹣3×4＝﹣4．故选：C．6．已知a，b为实数，则“a＞b”是“a＞|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：当a＝1，b＝﹣2时，满足a＞b，但a＞|b|不成立，即充分性不成立，若a＞|b|，当b≥0，满足a＞b，当b＜0时，a＞|b|＞b，成立，即必要性成立，故“a＞b”是“a＞|b|”必要不充分条件，故选：B．7．函数f（x）＝（e x+ae﹣x）x2（a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．【分析】根据a的符号，结合函数的奇偶性，分别求出a的值，进行判断即可．解：当a＝0时，f（x）＝e x x2，此时对应图象A，当a＞0时，f（x）＝（e x+ae﹣x）x2，若函数为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即（e﹣x+ae x）x2＝（e x+ae﹣x）x2，得e﹣x+ae x＝e x+ae﹣x，得a＝1，此时f（x）＝（e x+e﹣x）x2，此时对应图象为C，若函数为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即（e﹣x+ae x）x2＝﹣（e x+ae﹣x）x2，得e﹣x+ae x ＝﹣e x﹣ae﹣x，得a＝﹣1，此时f（x）＝（e x﹣e﹣x）x2，由f（x）＝0，得x＝0，当x＞0时，f（x）＞0，此时对应图象为B，D一定不成立，故选：D．8．已知等比数列{a n}和公差不为零的等差数列{b n}都是无穷数列，当n∈N*时，则（）A．若{a n}是递增数列，则数列{na n}递增B．若{b n}是递增数列，则数列{nb n}递增C．若数列{na n}递增，则数列{a n}递增D．若数列{nb n}递增，则数列{b n}递增【分析】可取a1＝﹣1，公比q＝，可判断A；取b1＝﹣8，公差d＝2，可判断B；取a n＝1，可判断C；由单调性的定义和恒成立思想可判断D．解：若a1＝﹣1，公比q＝，可得a n＝﹣（）n﹣1在n∈N*时递增，但{na n}不递增，比如a1＝﹣1，2a2＝﹣1，即a1＝2a2，故A错误；若b1＝﹣8，公差d＝2，则b n＝2n﹣10在n∈N*时递增，但{nb n}不递增，比如b1＝﹣8，2b2＝﹣12，即有b1＞2b2，故B错误；若a n＝1，即na n＝n在n∈N*时递增，但{a n}不递增，故C错误；若数列{nb n}递增，即有（n+1）b n+1﹣nb n＝n（b n+1﹣b n）+b n+1＞0恒成立，则b n+1﹣b n＞0，即数列{b n}递增，故D正确．故选：D．9．已知平面向量，，满足||＝1，•＝1，记与+夹角为θ，则cosθ的最小值是（）A．B．C．D．【分析】设||＝x（x＞0），则＝，用数量积表示与的夹角的余弦值，转化为二次函数求最值．解：设||＝x（x＞0），则＝．又＝．cosθ＝＝＞0．则cos2θ＝＝＝＝．∵x＞0，∴x2+1＞1，则0＜＜1，∴当时，，有最大值为＝，∴cos2θ＝有最小值为，又cosθ＞0，∴cosθ的最小值是．故选：D．10．如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，DA＝，∠CDA＝90°，将△ACD沿直线AC翻折成△ACD'，形成三棱锥D'﹣ABC，则（）A．存在某个位置，使得直线AB与直线CD'垂直B．存在某个位置，使得直线AC与直线BD'垂直C．存在某个位置，使得直线BC与直线AD'垂直D．对任意位置，三对直线“AB与CD'”，“AC与BD'”，“BC与AD'”均不垂直【分析】由已知可得CD′⊥AD′，然后逐一分析A，B，C选项，可知使A成立的D′的位置存在，使B与C成立的D′的位置不存在，从而得答案．解：对于A，CD′⊥AD′，若直线AB与直线CD'垂直，由AB∩AD′＝A，则CD′⊥平面AD′B，可得CD′⊥D′B，由BC＝3，CD′＝1，则需BD，此时三角形ABD′存在，故A正确；对于B，取AC中点O，连接BO，∵AB＝BC，则BO⊥AC，若直线AC与直线BD'垂直，又BO∩BD′＝B，可得AC⊥平面BOD′，则AC⊥OD′，得CD′＝AD′，与已知矛盾，故B错误；对于C，CD′⊥AD′，直线BC与直线AD'垂直，由CD′∩BC＝C，可得AD′⊥平面BCD′，则AD′⊥BD′，由AB＝3，AD，则需BD′＝，此时△BCD′不存在，故C错误；由A正确，可知D错误．故选：A．二、填空题（本大题共7小题，多空每题6分，单空每题4分）11．lg2+lg50＝2；＝4．【分析】利用对数的运算性质进行计算即可得解．解：lg2+lg50＝lg（2×50）＝lg100＝2．＝＝4．故答案为：2，4．12．已知{a n}是等比数列，a1＝＝4，则a3＝32，a1a2a3a4a5a6＝239．【分析】利用等比数列通项公式先求出公比，由此能求出结果．解：∵{a n}是等比数列，a1＝＝4，∴＝8，∴a3＝4×8＝32．∴a1a2a3a4a5a6＝＝＝（）6×815＝239．故答案为：32，239．13．在△ABC中，A＝120°，BC＝1，sin B＝，则AC＝，cos C＝．【分析】由已知利用正弦定理即可解得AC的值，根据余弦定理可得25AB2+10AB﹣13＝0，解得AB的值，由正弦定理可得sin C的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求cos C的值．解：∵在△ABC中，A＝120°，BC＝1，sin B＝，∴由正弦定理，可得AC＝＝＝，∵在△ABC中，由余弦定理BC2＝AC2+AB2﹣2AC•AB•cos A，可得12＝（）2+AB2﹣2××AB×cos120°，整理可得：25AB2+10AB﹣13＝0，解得AB＝，负值舍去，∴由正弦定理，可得sin C＝＝＝，∴cos C＝＝＝．故答案为：，．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是4【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为直三棱柱，底面三角形ABC的边AB＝2，AB边上的高为2，三棱柱的高为2．再由棱柱体积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直三棱柱，底面三角形ABC的边AB＝2，AB边上的高为2，三棱柱的高为2．∴该几何体的体积V＝．故答案为：4．15．在平面直角坐标系中，A（﹣1，2），B（2，1），C（3，4），△ABC恰好被面积最小的圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2及其内部所覆盖，则a﹣2b＝，r＝．【分析】利用已知的三点求出经过该圆的方程，进一步求出结果．解：设经过A（﹣1，2），B（2，1），C（3，4）的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，所以：，解得，所以圆的方程为：，转换为圆的标准式为：．所以a＝，b＝﹣，r＝，故a﹣2b＝．故答案为：16．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，A（a，0），B（0，b），点M满足，则直线FM的斜率取值范围是（0，）．【分析】由椭圆的方程可得左焦点F的坐标，设M的坐标，由M满足，可得M的坐标，进而求出直线MF的斜率的表达式，平方，换元，求导可得函数的单调性，进而求出斜率的取值范围．解：由题意的方程可得左焦点F（﹣c，0），设M（x，y），因为，所以（x，y﹣b）＝2（a﹣x，﹣y），所以可得x＝，y＝，即M（，），所以直线FM的斜率为：k＝＝＝所以k2＝＝，令x＝e∈（0，1），令f（x）＝，x∈（0，1），则f'（x）＝＝＜0恒成立，所以f（x）∈（0，），即k∈（0，）．故答案为：（0，）．17．已知数列{a n}满足，若a7＝127，则a1的取值范围是[1，]．【分析】先运用绝对值不等式的性质化简，可得﹣≤a n﹣≤，变形得﹣≤﹣≤，进一步求出a1的取值范围．解：，可得﹣≤a n﹣≤，两边同除以2n，可得﹣≤﹣≤，所以﹣≤﹣≤，﹣≤﹣≤，…，﹣≤﹣≤，以上几个式子相加可得﹣（++…+）≤﹣≤++…+，即﹣（++…+）+≤≤++…++，所以﹣2（++…+）+≤a1≤2（++…+）+，所以﹣+≤a1≤+，所以﹣1+≤a1≤1+，所以1≤a1≤，故答案为：[1，]．三．解答题（本大题共5小题，共74分）18．已知函数f（x）＝x．（1）求函数f（x）的值域；（2）求函数f（x）单调递增区间．【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的有界性进行求解即可．（2）根据三角函数的单调性的性质进行求解即可．解：（1）f（x）＝x＝sin2x+1+cos2x＝2sin（2x+）+1，∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴﹣2≤2sin（2x+）≤2，﹣1≤2sin（2x+）+1≤3，即﹣1≤f（x）≤3，即f（x）的值域为[﹣1，3]．（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ADD1⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，A1A＝A1D＝AD＝AC，E为DD1的中点．（1）证明：BD1∥平面ACE；（2）求直线A1D与平面ACE所成角的正弦值．【分析】（1）连结AC，BD，交于点F，连结EF，推导出EF∥BD1，由此能证明BD1∥平面ACE．（2）取AD中点O，连结A1O，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1D与平面ACE所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连结AC，BD，交于点F，连结EF，∵底面ABCD是菱形，∴F是BD中点，∵E为DD1的中点．∴EF∥BD1，∵EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE．（2）解：取AD中点O，连结A1O，CO，∵在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ADD1⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，A1A＝A1D＝AD＝AC，E为DD1的中点．∴A1O⊥平面ABCD，CO⊥AD，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，设A1A＝A1D＝AD＝AC＝2，则A（0，﹣1，0），C（，0，0），A1（0，0，），D（0，1，0），E（0，，），＝（0，1，﹣），＝（，1，0），＝（0，，），设平面ACE的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，5），设直线A1D与平面ACE所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线A1D与平面ACE所成角的正弦值为．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝6，S5＝3a5，n∈N*．（1）求a n与S n；（2）设b n＝，证明：b1+b2+b3+…+b n＜n+．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再求a n与S n；（2）首先证明＜1+（﹣），再由数列的分组求和，以及裂项相消法求和，化简整理即可得证．解：（1）等差数列{a n}中，设公差为d，，解得，∴a n＝2+（n﹣1）×2＝2n，S n＝2n+•2＝n2+n．（2）证明：＜1+（﹣）⇔1+（﹣）＜1+（﹣）2+（﹣）⇔（﹣）2＞0显然成立，则b n＝＝＝＜1+（﹣），所以b1+b2+b3+…+b n＝+++…+＜[1+（1﹣）]+{1+（﹣）]+…[1+（﹣）]＝n+（1﹣+﹣+…+﹣）＝n+．21．如图，已知点M（1，1），N（2，1），Q（4，1）抛物线y2＝2px过点M，过点Q的直线与抛物线交于A，B两点，直线AN，BN与抛物线的另一交点分别为C，D，记△ABN，△CDN的面积分别为S1，S2．（1）求抛物线的方程；（2）是否为定值？并说明理由．【分析】（1）由题意将M的坐标代入求出p的值，进而求出抛物线的方程；（2）因为直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|AB|，及点N到直线AB的距离d，求出△ABN的面积的表达式，因为A，C，N三点共线所以直线AC，AN的斜率相等，可得C的坐标与A，B的坐标的关系，同理可得D的坐标与A，B的关系，求出|CD|的表达式，再求出直线CD的方程，求出N到直线CD的距离，进而求出△CDN的面积的表达式，求出的表达式，将两根之和及两根之积代入可得面积之比为定值．解：（1）因为抛物线y2＝2px过点M（1，1），所以1＝2p•1，所以2p＝1，所以抛物线的方程为y2＝x；（2）显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程x＝m（y﹣1）+4，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线AB与抛物线的方程：，整理可得：y2﹣my+m﹣4＝0，则y1+y2＝m，y1y2＝m﹣4，所以弦长|AB|＝|y1﹣y2|，N到直线AB的距离d＝＝，所以S△ABN＝d＝|y1﹣y2|，设C（x3，y3），D（x4，y4），则y32＝x3，y42＝x4，因为A，N，C三点共线，k AC＝k AN，即＝＝，k AN＝＝，所以＝，解得y3＝，若y1＝，则y3＝﹣；y1＝﹣，y3＝均适合此式，同理y4＝，所以|CD|＝＝＝|y3﹣y4|•，同理可得k CD＝，直线CD的方程为y﹣y3＝（x﹣y32），整理可得：x﹣（y3+y4）y+y3y4＝0，所以N到直线CD的距离d'＝，所以S△CDN＝|CD|•d'＝|y3﹣y4|•|2﹣（y3+y4）+y3y4|，因为y3﹣y4＝﹣＝，2﹣（y3+y4）+y3y4＝2﹣（+）+•＝，所以S△CDN＝|y1﹣y2|•，所以＝＝＝＝＝＝9，所以为定值9．22．设函数f（x）＝（x﹣a）|x﹣a|（a∈R）．（1）若函数f（x）是奇函数，求a的值；（2）若存在a∈[﹣1，1]，使函数y＝f（x）+2x2﹣2a|x|+2在x∈{x||x|≥t}上有零点，求实数t的取值范围．【分析】（1）利用f（0）＝0求得a值，再验证函数为奇函数即可；（2）分类讨论，x≥a时，化简可得y无零点；x＜a，且x≥0时也无零点；因此只有x ＜a且x＜0时有零点，此时一元二次方程有实数解，转化为关于|x|的方程则有正实数解，得到a的范围，在此范围内求得方程的解|x|，根据题意，t≤|x|max，则答案可求．解：（1）∵f（x）在原点有定义，f（x）为奇函数；∴f（0）＝﹣a|﹣a|＝0，即a＝0，此时f（x）＝x|x|是奇函数，故a＝0；（2）∵a∈[﹣1，1]，x≥a时，y＝f（x）+2x2﹣2a|x|+2＝＞0，此时函数y无零点；x＜a，若a＞0，则当0≤x＜a时，y＝f（x）+2x2﹣2a|x|+2＝﹣（x﹣a）2+2x2﹣2ax+2＝x2﹣a2+2＞0，函数y无零点；∴函数零点在x＜a且a＜0时取得，此时函数y＝f（x）+2x2﹣2a|x|+2＝﹣（x﹣a）2+2x2+2ax+2＝x2+4ax+2﹣a2．由x2+4ax+2﹣a2＝0，得|x|2﹣4a|x|+2﹣a2＝0．此时△＝16a2﹣4（2﹣a2）≥0，即，则．由于|x|≥0，∴a＞0，得．|x|＝．要使函数y＝f（x）+2x2﹣2a|x|+2在x∈{x||x|≥t}上有零点，只需t≤，即t．∴实数t的取值范围是（﹣∞，2+]．。
浙江省温州市2019-2020学年数学高二第二学期期末达标测试试题含解析
浙江省温州市2019-2020学年数学高二第二学期期末达标测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数()()22x f x x ax e =++在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()(),22,-∞-⋃+∞B ．][(),22,-∞-⋃+∞C ．()2,2-D ．[]2,2- 【答案】D【解析】 分析：函数()()22x f x x ax e =++在R 上单调递增，即()'0f x ≥在上恒成立 详解：()()2 2x f x x ax e =++ ()()2'22x f x x a x a e ⎡⎤=++++⎣⎦由()()22x f x x ax e =++在R 上单调递增可得 ()'0f x ≥在R 上恒成立()2220x a x a ++++≥在R 上恒成立()()22420a a ∆=+-+≤解得[]2,2a ∈-综上所述,答案选择:D点晴：导数中的在给定区间单调递增，即导函数在相应区间内≥0恒成立，在给定区间内单调递减，即导函数≤0恒成立。
2．若点(,0)A t 与曲线x y e =上点P 的距离的最小值为3t 的值为（ ）A ．ln 243-B ．ln 242-C ．ln 233+D ．ln 332+ 【答案】D【解析】【分析】设(,)mP m e ，求得函数y 的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，以及两点的距离公式，解方程可得所求值．【详解】x y e =的导数为x y e '=，设(,)mP m e ，可得过P 的切线的斜率为m e ，当AP 垂直于切线时，AP 取得最小值可得1m m e m t e=--= 可得2()()120m t m t ----=，解得3m t -=-或4（舍去），即有23m e t m =-=，解得32ln m =， ∴332ln t =+， 故选：D ．【点睛】本题考查导数几何意义的应用、距离的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.3．一根细金属丝下端挂着一个半径为1cm 的金属球，将它浸没底面半径为2cm 的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了（）A ．43cm B ．316cm C ．34cm D ．13cm 【答案】D【解析】【分析】利用等体积法求水面下降高度。
2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案命题教师：张金荣一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，R 是实数集，则(∁R B )∩A 等于( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．(－∞，0]D ．以上都不对2．函数f(x)=ln(x-2)-的零点所在的大致区间是（ ）A ．（1,2） B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)3．函数f(x)=的定义域为（ ）A ． B. C. D.4．设a ＝60.7，b ＝0.76，c ＝log 0.76，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b5．以下说法错误的是( )A ．命题“若x 2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2-3x+2≠0”B ．“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题,则p,q 均为假命题D ．若命题p:∃x 0∈R,使得+x 0+1<0,则﹁p:∀x ∈R,则x 2+x+1≥06．函数y=lg|x |x 的图象在致是（ ）7．偶函数y=f （x ）在x ∈时，f （x ）=x-1，则f(x －1)＜0的解集是( )A ．{x|-1＜x ＜0B ．{x|x ＜0或1＜x ＜2C ．{x|0＜x ＜2D ．{x|1＜x ＜28．函数f(x)= 满足对任意成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若不等式x 2+ax+1≥0对于一切x(0,)恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a≥0B ．a≥-2C ．a≥-D ．a≥-310．已知函数f (x )＝的值域为[0，＋∞)，则它的定义域可以是（ ）A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0]11．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，() A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0，12]∪[2，＋∞) B ．[14，1)∪(1,4] C ．[12，1)∪(1,2] D ．(0，14]∪[4，＋∞) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a+b= .14．已知函数f(x)是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x-1)<f()的x 的取值范围为__________15．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝|log 0.5x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________．16．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时f (x )＝(12)1－x ，则 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝(12)x －3. 其中所有正确命题的序号是________．三、解答题(共70分)17．(12分)给定两个命题：：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果P ∨q 为真，P ∧q 为假，求实数的取值范围．18．（12分）对定义在实数集上的函数f (x )，若存在实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么称x 0为函数f (x )的一个不动点．(1)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)有不动点(1,1)、(－3，－3)，求a 、b ；(2)若对于任意实数b ，函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围．19．(12分)已知f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，当x ∈[－1,0]时，函数解析式f (x )＝14x －a 2x (a ∈R)． (1)写出f (x )在[0,1]上的解析式；(2)求f (x )在[0,1]上的最大值．20．(12分)C D E AB P 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)． (1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．21．(12分)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x ，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，在正ΔABC 中，点D 、E 分别在边BC, AC 上,且,，AD ，BE 相交于点P.求证：(I) 四点P 、D 、C 、E 共 圆；(II) AP ⊥CP 。
2020学年新教材高中数学第九章统计章末综合检测(九)新人教A版必修第二册(最新整理)
2019-2020学年新教材高中数学第九章统计章末综合检测（九）新人教A 版必修第二册编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019-2020学年新教材高中数学第九章统计章末综合检测（九）新人教A版必修第二册）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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章末综合检测(九)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某公司生产A，B,C三种不同型号的轿车，其产量之比为2∶3∶4,为检验该公司的产品质量,用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本,若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n＝（)A．96 B．72C．48 D．36解析：选B。
由题意得错误!n－错误!n＝8，所以n＝72。
故选B.2．从某一总体中抽取一个个体数为200的样本，得到分组与频数如下：[10，15),6;［15，20），8；［20,25),13；［25，30)，35；［30，35），46;[35,40)，34；［40,45），28；［45，50),15；[50，55)，10；［55，60],5。
则样本在［35,60]上的频率是( )A．0。
69 B．0.46C．1 D．不存在解析：选B.由题可知,样本在［35，60]上的频率应为(34＋28＋15＋10＋5)÷200＝0。
46.3．2019年高考某题的得分情况如下:得分(分）01234百分率(%)37.08。
哈尔滨师范大学附属中学2019_2020学年高二数学下学期期末考试试题文含解析
A。 82。5B。 83C。 93D. 72
【答案】A
【解析】
【分析】
由茎叶图得出所有数据并从小到大排序，由于偶数个,则中位数为中间两个数之和再除以2。
【详解】将这组数据从小到大排列为72，74，76,81，82，83,86,93，93,99，则这组数据的中位数是 ，即82。5
A. 3B. 4C。 6D。 7
【答案】B
【解析】
【分析】
类比二分法，将16人均分为两组，选择其中一组进行检测，再把认定的这组的8人均分两组，选择其中一组进行检测，以此类推，即可得解.
【详解】先把这16人均分为2组,选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测。继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测。继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查,为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组,此时进行了3次检测。选认定的这组的2人中一人进行样本混合检查，为阴性则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了4次检测。所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测。
【解析】
【分析】
分析图形中火柴数 变化是以3位首项2为公差的等差数列，由此可算第100个图形所用火柴棒数。
【详解】由图形可知，第一个图形用3个火柴，以后每一个比前一个多两个火柴，则第n个使用火柴为 ，则第100个图形所用火柴棒数为2×100+1＝201.
故答案为：201
【点睛】本题考查合情推理的应用，属于基础题.
70 29 17 12 13 40 33 12 38 26 13 89 51 03
2019-2020学年浙江省浙南名校联盟高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江省浙南名校联盟高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合，A∩B＝（）A．{x|x＞1}B．{x|x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|1＜x≤2} 2．下列运算结果为纯虚数的是（）A．i（1﹣i）B．i（1+i）2C．i3（1+i）D．（1+i）23．已知条件p：x＞1，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，则α⊥βB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，n∥α，则m⊥n D．若m∥α，n∥α，n⊥β，则m⊥β5．若x，y满足，表示的平面区域为Ω，直线y＝kx﹣k与区域Ω有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣7，﹣1]C．（﹣∞，﹣7]D．（﹣∞，﹣7]∪[﹣1，+∞）6．已知函数f（x）＝cos（x+sin2x），x∈R，则下列错误的是（）A．f（x）的最大值是1B．f（x）是周期函数C．f（x）的图象关于直线x＝对称D．f（x）是偶函数7．已知c＞a，随机变量ξ，η的分布列如表所示，则（）ξ123P a b cη321P a b cA．Eξ＞Eη，Dξ＜DηB．Eξ＞Eη，Dξ＝DηC．Eξ＞Eη，Dξ＞DηD．Eξ＜Eη，Dξ＝Dη8．已知点F是椭圆的上焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆C：相切于点Q，O为坐标原点，且，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．9．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＜PB＜PC，底面△ABC中∠C＝90°，设平面PAB，PBC，PCA与平面ABC所成的锐二面角分别为α1，α2，α3，则下列说法正确的是（）A．α1＞α3B．α1＜α2C．当AC＝BC时，α2＜α3D．当AC＝BC时，α3＞α110．已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣b，h（x）＝f[f（x）]﹣b，记函数g（x）和h（x）的零点个数分别是M，N，则（）A．若M＝1，则N≤2B．若M＝2，则N≥2C．若M＝3，则N＝4D．若N＝3，则M＝2二、填空题（共7小题）.11．双曲线x2﹣2y2＝2的焦距为，渐近线方程为12．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积是，表面积是．13．如果的展开式中各项二项式系数之和为64，则n＝，展开式中的常数项为．14．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，∠BAC 的平分线AD交BC于D，且AD＝2，BD＝2CD，则cos A＝，c＝．15．现有完全相同的物理书4本，语文、数学、英语书各1本，把这7本书摆在书架的同一层，要求每一本物理书至少与另一本物理书相邻，则共有种摆法．（结果用数字作答）16．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若1，S3，S6成等差数列，则的最大值为．17．已知平面非零向量，满足且，已知，则的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAD＝60°，△ADP是等腰等直角三形，且AP＝DP＝．（Ⅰ）求证：AD⊥BP；（Ⅱ）求直线BC与平面ADP所成角的正弦值．20．设数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*都有．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n＝a n+4（n∈N*），证明：21．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，抛物线C上一点P（4，m）到焦点F的距离为5．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）已知M是抛物线C上任意一点，若在射线上存在两点G，H，使得线段MG，MH的中点恰好落在抛物线C上，求当△MGH面积取得最大值时点M 的坐标．22．已知函数．（Ⅰ）当a＝﹣1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥1﹣ln2﹣e x﹣a对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共10小题）.1．已知集合，A∩B＝（）A．{x|x＞1}B．{x|x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|1＜x≤2}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合，∴A＝{x|x≤2}，B＝{x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．故选：D．2．下列运算结果为纯虚数的是（）A．i（1﹣i）B．i（1+i）2C．i3（1+i）D．（1+i）2【分析】分别利用复数代数形式的乘除运算化简四个选项得答案．解：∵i（1﹣i）＝1+i；i（1+i）2＝i•2i＝﹣2；i3（1+i）＝﹣i（1+i）＝1﹣i；（1+i）2＝﹣2i．∴运算结果为纯虚数的是D．故选：D．3．已知条件p：x＞1，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．解：由x＞1，推出＜1，p是q的充分条件，由＜1，得＜0，解得：x＜0或x＞1．不是必要条件，故选：A．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，则α⊥βB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，n∥α，则m⊥n D．若m∥α，n∥α，n⊥β，则m⊥β【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．解：对于A，若m⊥α，n⊥β，则α⊥β，错误，因为当m与n平行时，有α∥β；对于B，若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，故B错误；对于C，若m⊥α，n∥α，则m⊥n，故C正确；对于D，若m∥α，n∥α，可得m与n平行、相交或异面，只有m与n平行时，再由n ⊥β，可得m⊥β，故D错误．∴正确的命题是C．故选：C．5．若x，y满足，表示的平面区域为Ω，直线y＝kx﹣k与区域Ω有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣7，﹣1]C．（﹣∞，﹣7]D．（﹣∞，﹣7]∪[﹣1，+∞）【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用k的几何意义，即可得到结论．解：作出x，y满足对应的平面区域如图：y＝k（x﹣1）过定点P（1，0），由交点A（，），由图象可知当直线经过点A（，）时，直线的斜率最小，此时k＝＝﹣7，由解得B（0，1）当直线经过点B时，直线的斜率最大，此时k＝﹣1，∴k的取值范围是：[﹣7，﹣1]故选：B．6．已知函数f（x）＝cos（x+sin2x），x∈R，则下列错误的是（）A．f（x）的最大值是1B．f（x）是周期函数C．f（x）的图象关于直线x＝对称D．f（x）是偶函数【分析】直接利用三角函数的性质周期性和奇偶性的应用求出结果．解：由于函数f（x）＝cos（x+sin2x），x∈R，所以：当x＝2kπ时，f（2kπ）＝cos[2kπ+sin（4kπ）]＝1，故选项A正确．根据关系式f（x+2kπ）＝f（x）＝cos[（x+2kπ）+sin（2x+4kπ）]＝cos（x+sin2x），故函数的周期为2kπ，所以函数为周期函数，故选项B正确．当x＝时，f（）＝cos（+sinπ）＝0≠1，故选项C错误．根据函数的关系式：f（﹣x）＝f（x）所以函数为偶函数，故选项D正确．故选：C．7．已知c＞a，随机变量ξ，η的分布列如表所示，则（）ξ123P a b cη321P a b c A．Eξ＞Eη，Dξ＜DηB．Eξ＞Eη，Dξ＝DηC．Eξ＞Eη，Dξ＞DηD．Eξ＜Eη，Dξ＝Dη【分析】根据随机变量ξ，η的分布列，根据数学期望和方差的计算公式，代入数值，根据已知c＞a，即可得结论．解：Eξ＝1×a+2×b+3×c＝a+2b+3c，Eη＝3×a+2×b+1×c＝3a+2b+c，Eξ﹣Eη＝2（c﹣a），∵c＞a，∴2（c﹣a）＞0，即Eξ＞Eη．由ξ+η＝4，所以Dξ＝D（4﹣η）＝Dη．故选：B．8．已知点F是椭圆的上焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆C：相切于点Q，O为坐标原点，且，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设P（m，n），m，n＞0，由向量的加减运算和数量积性质可得|OP|＝c，再由两点的距离公式和P满足椭圆方程，求得P的坐标，以及直线PF的斜率k，求得圆C 的圆心和半径r，由直线和圆相切的条件：d＝r，化简整理可得a，c的方程，解方程可得所求离心率．解：设P（m，n），m，n＞0，由，即（+）•（﹣）＝2﹣2＝0，则|OP|＝|OF|＝c，由m2+n2＝c2，+＝1，解得m＝，n＝，又F（0，c），可得直线PF的斜率k＝＝，设直线PF的方程为y＝kx+c，由题意可得CQ⊥PF，圆C：的圆心C（0，c），半径为，由直线和圆相切可得＝，可得k2＝，即有（）2＝，结合b2＝a2﹣c2，化为5a4﹣14a2c2+9c4＝0，即为（5a2﹣9c2）（a2﹣c2）＝0，可得5a2＝9c2，或a2＝c2，由e＝，且0＜e＜1，可得e＝．故选：B．9．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＜PB＜PC，底面△ABC中∠C＝90°，设平面PAB，PBC，PCA与平面ABC所成的锐二面角分别为α1，α2，α3，则下列说法正确的是（）A．α1＞α3B．α1＜α2C．当AC＝BC时，α2＜α3D．当AC＝BC时，α3＞α1【分析】设△PCA的高为h1，△PCB的高为h2，三棱锥P﹣ABC的高为h，由PA＜PB ＜PC，底面△ABC中∠C＝90°，得到当AC＝BC时，h1＜h2，由正弦函数性质可得α2＜α3．解：由题意设△PCA的高为h1，△PCB的高为h2，三棱锥P﹣ABC的高为h，设平面PAB，PBC，PCA与平面ABC所成的锐二面角分别为α1，α2，α3，∵三棱锥P﹣ABC中，PA＜PB＜PC，底面△ABC中∠C＝90°，∴当AC＝BC时，h1＜h2，∴sinα3＝，sinα2＝，∵α2，α3都是锐角，∴α2＜α3．故选：C．10．已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣b，h（x）＝f[f（x）]﹣b，记函数g（x）和h（x）的零点个数分别是M，N，则（）A．若M＝1，则N≤2B．若M＝2，则N≥2C．若M＝3，则N＝4D．若N＝3，则M＝2【分析】先假设b＝0时的特殊情况，再分a≤ln，ln＜a≤0及a＞0三种情况讨论，分别得出M，N的值，再结合选项运用排除法得解．解：若f（x）＝2e2x﹣e x时，令f′（x）＝4e2x﹣e x＝0，解得x＝ln，易知此时f（x）在（﹣∞，ln）上单调递减，在（ln，+∞）上单调递增；作出函数y＝2e2x﹣e x及函数y＝x的图象如下图所示，由图象可知，函数f（x）最多有两个零点x＝0或x＝ln，不妨令b＝0，则①当a≤ln时，此时函数g（x）的零点为x＝0，则M＝1，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有1个解，f（x）＝ln有1个解，则N＝2；②当ln＜a≤0时，此时函数g（x）的零点为0，ln，则M＝2，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有两个解，f（x）＝ln无解，则N＝2；③当a＞0时，此时函数g（x）的零点为ln，则M＝1，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有1个解，f（x）＝ln无解，则N＝1；由以上分析可知，故选：A．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．双曲线x2﹣2y2＝2的焦距为2，渐近线方程为x±y＝0．【分析】将双曲线的方程化为标准形式可得a，b的值，进而求出c的值，即求出焦距2c的值，并且求出渐近线的方程．解：双曲线x2﹣2y2＝2的标准方程为：﹣y2＝1，所以可得a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2+b2＝2+1＝3，解得c＝，所以焦距2c＝2，渐近线的方程为：＝±y，即x±＝0，故答案分别为：2，x±＝0．12．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积是6，表面积是．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积和表面积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为直角梯形，高为2的直四棱柱体．如图所示：所以：．+＝16+2．故答案为：6；16+213．如果的展开式中各项二项式系数之和为64，则n＝6，展开式中的常数项为1215．【分析】先利用二项式系数和的公式求出n的值，然后利用通项法求出常数项．解：易知展开式中各项二项式系数之和为：2n＝64，解得n＝6．故该二项式为，其通项为：＝，当k＝2时，可得常数项为：．故答案为：6，1215．14．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，∠BAC 的平分线AD交BC于D，且AD＝2，BD＝2CD，则cos A＝﹣，c＝6．【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合sin C≠0，可求得cos A＝﹣，结合范围A∈（0，π），可求A＝，由已知正弦定理可得＝，整理可得sin B，在△ABD中，由正弦定理可得BD的值，由余弦定理可得AB2﹣2AB﹣24＝0，即可解得AB的值．解：∵，∴由正弦定理可得sin A cos C﹣sin C＝sin B，又∵sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C cos A，∴sin A cos C﹣sin C＝sin A cos C+sin C cos A，可得：﹣sin C＝sin C cos A，∵sin C≠0，∴可得cos A＝﹣，∵A∈（0，π），∴A＝，∵∠BAC的平分线AD交BC于D，且AD＝2，BD＝2CD，可得c＝2b，∴在△ABD中，由正弦定理可得＝，可得BD＝2CD＝，在△ADC中，由正弦定理可得，可得CD＝＝，∴＝，整理可得：tan B＝，可得sin B＝，∴在△ABD中，由正弦定理＝，可得BD＝＝＝2，∵由余弦定理BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•cos，可得（2）2＝22+AB2﹣2×2×AB ×，整理可得：AB2﹣2AB﹣24＝0，∴解得AB＝6，或﹣4（舍去）．故答案为：﹣，6．15．现有完全相同的物理书4本，语文、数学、英语书各1本，把这7本书摆在书架的同一层，要求每一本物理书至少与另一本物理书相邻，则共有60种摆法．（结果用数字作答）【分析】分两类，可把完全相同的物理书4本看做1本，把完全相同的物理书4本，分每两本组合在一起，根据分类计数原理可得．解：第一类，可把完全相同的物理书4本看做1本，和语文、数学、英语书，全排即可，故有A44＝24种，第二类，把完全相同的物理书4本，分每两本组合在一起，把语文、数学、英语排好，将每两本物理书插入到所形成的空中，即有A33A42＝36种，根据分类计数原理可得共有24+36＝60种，故答案为：60．16．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若1，S3，S6成等差数列，则的最大值为3﹣2．【分析】由等差数列的中项性质，以及等比数列的求和性质：S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，化简整理为S3，S6的关系式，运用基本不等式，计算可得所求最大值．解：正项等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n＞0，若1，S3，S6成等差数列，可得2S3＝1+S6，再由S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，可得（S6﹣S3）2＝S3（S9﹣S6），化为S9﹣S3＝﹣S6，则＝﹣＝﹣＝3﹣（+）≤3﹣2＝3﹣2，当且仅当S6＝S3，上式取得等号，则的最大值为3﹣2，故答案为：3﹣2．17．已知平面非零向量，满足且，已知，则的取值范围是．【分析】由且，设，，且x0≠0，y0≠0，，由向量等式可得，再由＝，可得，．则答案可求．解：∵且，∴设，，且x0≠0，y0≠0，．由，得，即，即．又，∴．则，可得，即．∵＝，∴，．∴的取值范围是．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求的值．【分析】（1）展开后利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，利用复合函数的单调性求f（x）的单调递增区间；（2）由，得，再由＝＝，展开二倍角的余弦求解．解：（Ⅰ）由，得＝＝．令，解得．∴f（x）的单调增区间为；（Ⅱ）由题意，得，∴＝＝＝＝．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAD＝60°，△ADP是等腰等直角三形，且AP＝DP＝．（Ⅰ）求证：AD⊥BP；（Ⅱ）求直线BC与平面ADP所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AD中点E，连接PE、BE，推导出AD⊥PE，AD⊥BE，从而AD⊥面PBE，由此能证明AD⊥BP．（Ⅱ）法一：推导出面ADP⊥面PEB，过B做BM⊥PE交PE延长线于M点，则BM ⊥面PAD，延长AD、BC交于点F，则∠BFM为直线BC与平面ADP所成角，由此能求出直线BC与平面ADP所成角的正弦值．法二：AE⊥BE，以E为坐标原点，分别以AE，BE为x轴、y轴，与平面ABCD垂直的EQ为z轴建立空间直角坐标系E﹣xyz，利用向量法能求出直线BC与平面ADP所成角的正弦值．解：（Ⅰ）解：取AD中点E，连接PE、BE，∵△ADP是等腰直角三角形，且，∴AD⊥PE且AD＝2，∵AB＝2且∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BE，又BE∩PE＝E，∴AD⊥面PBE，∴AD⊥BP．（Ⅱ）解法一：∵AD⊥面PEB，AD⊂面PEB，∴面ADP⊥面PEB，过B做BM⊥PE交PE延长线于M点，∴BM⊥面PAD，延长AD、BC交于点F，∴∠BFM为直线BC与平面ADP所成角，由题意得，，∴，又∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAD＝60°，AB＝2CD＝2，∴，∴，即直线BC与平面ADP所成角的正弦值为．解法二：∵AE⊥BE，以E为坐标原点，分别以AE，BE为x轴、y轴，与平面ABCD垂直的EQ为z轴建立空间直角坐标系E﹣xyz，如图所示，则，∵，∴，∵面ADP⊥面PEB，∠PEB＝150°，∴，则，，设平面ADP的法向量为，则，取z＝3，得，∴直线BC与平面ADP所成角的正弦值．20．设数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*都有．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n＝a n+4（n∈N*），证明：【分析】（Ⅰ）由已知利用递推式可得a n+1+a n＝12n+6，a n+2﹣a n＝12，可得{a n}中奇数项，偶数项分别成公差是12的等差数列，令n＝1，2，可得a1，a2的值，分类讨论即可求解其通项公式；（Ⅱ）法一，可得左边＝；法二：①当n＝1时，左边＝，右边＝成立；②假设当n＝k（k∈N*）时，不等式成立，则当n＝k+1时，转化为，由于是成立的，即可得证．【解答】（本题满分15分）解：（Ⅰ）∵，∴，∴a n+1+a n＝12n+6，…………………………∴a n+2+a n+1＝12（n+1）+6，两式相减可得：a n+2﹣a n＝12，…………………………∴{a n}中奇数项，偶数项分别成公差是12的等差数列，中令n＝1，得a1＝6，令n＝2，可得：，∴a2k﹣1＝a1+12（k﹣1）＝12k﹣6＝6（2k﹣1），a2k＝a2+12（k﹣1）＝12k＝6•2k………………………………综上所述可得：a n＝6n，………………………………（Ⅱ）（法一：放缩裂项法）b n＝6n+4，………………∴＝………………………………………法二：数学归纳法（结合分析法、放缩法等）证明：①当n＝1时，左边＝，右边＝，所以不等式成立．……………②假设当n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即，则当n＝k+1时，，只需证明：，即只要证明：……………………………即证：，∵是成立的所以n＝k+1时，不等式成立．根据①②知原不等式对于任意n∈N*成立．…………………21．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，抛物线C上一点P（4，m）到焦点F的距离为5．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）已知M是抛物线C上任意一点，若在射线上存在两点G，H，使得线段MG，MH的中点恰好落在抛物线C上，求当△MGH面积取得最大值时点M 的坐标．【分析】（Ⅰ）可设抛物线C的标准方程为y2＝2px（p＞0），求得焦点和准线方程，运用抛物线的定义，解方程可得p，进而得到所求抛物线的方程；（Ⅱ）设M（，y0），G（2t1﹣8，t1），H（2t2﹣8，t2），t1，t2≥0，由中点坐标公式可得MG，MH的中点坐标，代入抛物线的方程，结合二次方程的韦达定理和判别式大于0，运用弦长公式和点到直线的距离公式，由三角形的面积公式和函数的单调性，求得面积的最大值，即可点到所求M的坐标．解：（Ⅰ）由题意可设抛物线C的标准方程为y2＝2px（p＞0），焦点，准线方程为x＝﹣，则，解得p＝2，则抛物线C的标准方程为y2＝4x；（Ⅱ）设M（，y0），G（2t1﹣8，t1），H（2t2﹣8，t2），t1，t2≥0，则由MG的中点（+t1﹣4，）在抛物线上，可得（）2＝4（（+t1﹣4），整理可得t12+（2y0﹣16）t1+64﹣y02＝0，同理可得t22+（2y0﹣16）t2+64﹣y02＝0，则t1，t2为方程t2+（2y0﹣16）t+64﹣y02＝0的两根，且t1，t2≥0，所以，解得﹣8≤y0＜0，弦长|GH|＝|t1﹣t2|＝＝2，M到GH的距离d＝＝，可得△MGH的面积为S＝d•|GH|＝•（2y02﹣16y0+64），可令r＝，由2y02﹣16y0＝2（y0﹣4）2﹣32在[﹣8，0）递减，可得2y02﹣16y0∈（0，256]，即r∈（0，16]，设f（r）＝（r3+64r），可得f（r）在r∈（0，16]上单调递增，则当r＝16时面积最大，此时点M（16，﹣8）．22．已知函数．（Ⅰ）当a＝﹣1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥1﹣ln2﹣e x﹣a对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解函数的最值．（2）求出函数的定义域，不等式对x∈[1，+∞）恒成立，证明a∈（﹣1，1]，原不等式f（x）≥1﹣ln2﹣e x﹣a对任意的x∈[1，+∞）恒成立，方法一：令，g（a）是减函数，令φ（x）＝，x≥1；利用函数的导数判断函数的单调性，然后求解a的取值范围．方法二：令，利用函数的导数，判断导函数的符号，说明g（x）递增，然后求解a的取值范围．【解答】（1）解：a＝﹣1时，函数的定义域为（1，+∞），＝．令f'（x）＞0，则x＞3，f'（x）＜0，则1＜x＜3，∴f（x）在（1，3）递减，（3，+∞）递增，∴f（x）min＝f（3）＝4﹣ln2．（2）解：函数的定义域不等式对x∈[1，+∞）恒成立，故a∈（﹣1，1]又令x＝1，则，，∵为减函数，且h（1）＝1﹣ln2，∴a≤1，故a∈（﹣1，1]．下面证明a∈（﹣1，1]，原不等式f（x）≥1﹣ln2﹣e x﹣a对任意的x∈[1，+∞）恒成立，即证恒成立，方法一：令，则g（a）是减函数，故，令φ（x）＝，x≥1；当x＞1时，，∵，故φ'（x）＞0，故φ（x）在x≥1是递增，∴φ（x）≥φ（1）＝1﹣ln2，∴a的取值范围为（﹣1，1]．方法二：令，g'（x）＝，≥＝＝，故g（x）递增，，令，则φ（a）递减，故φ（a）≥φ（1）＝1﹣ln2，∴a的取值范围为（﹣1，1]．。
2019-2020学年浙江省宁波市九校2018级高二上学期期末联考数学试卷及解析
2019-2020学年浙江省宁波市九校2018级高二上学期期末联考数学试卷★祝考试顺利★(解析版)选择题部分：共40分一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每个题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）A. ()1,0B. ()0,1C. 1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】将抛物线化简成标准形式再分析即可.【详解】24y x =即214x y =,故抛物线焦点在y 轴上,11248p p =⇒=,焦点纵坐标为1216p =. 故焦点坐标为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：D2.若复数z 满足()1234i z i -=+,则z虚部为( ) A. 2i -B. 2iC. 2D. 2- 【答案】C【解析】 先计算出345i +=,再整理得512z i =-即可得解.【详解】345i +==即()125i z -=, ∴()25125121214i z i i i+===+--. 故选：C.3.设l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )A. 若l m ⊥,m α⊂,则l α⊥B. 若//l α,//m α,则//l mC. 若//l m ,m α⊂,则//l αD. 若l α⊥,m α⊥,则//l m【答案】D【解析】在A 中,l 与α相交、平行或l α⊂；在B 中,l 与m 相交、平行或异面；在C 中,//l α或l α⊂；在D 中,由线面垂直的性质定理得//l m ．【详解】由l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,知：在A 中,若l m ⊥,m α⊂,则l 与α相交、平行或l α⊂,故A 错误； B 中,若//l α,//m α,则l 与m 相交、平行或异面,故B 错误；在C 中,若//l m ,m α⊂,则//l α或l α⊂,故C 错误；在D 中,若l α⊥,m α⊥,则由线面垂直的性质定理得//l m ,故D 正确．故选D ．4.设()1,1,2OA =-,()3,2,8OB =,()0,1,0OC =,则线段AB 的中点P 到点C 的距离为（ ）A. 2B. 2C. 4D. 534 【答案】A【解析】根据空间中中点的公式与点到点的距离公式求解即可.【详解】由()1,1,2OA =-,()3,2,8OB =可知AB 的中点1312283,,2,,32222P P ++-+⎛⎫⎛⎫⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故P 到点C 2==. 故选：A5.已知A ,B ,C ,D 是空间四个不同的点,则“AC 与BD 是异面直线”是“AD 与BC 是异面直线”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B。
2019-2020学年宁波市慈溪市高二下学期期末数学试卷
2019-2020学年宁波市慈溪市高二下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.若集合M ={−1,0，1}，N ={x|x =coskπ,k ∈Z}，则∁M N =( )A. ⌀B. 0C. {0}D. {−1,1}2.化简sin(π+α)cos(2π−α)cos(π2+α)所得结果为( )A. sinαB. −sinαC. cosαD. −cosα3.用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为( )A. 144B. 120C. 108D. 724.给出下列四个命题：①∀x ∈N ∗，C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C n n都是偶数；②x =−1为函数f(x)=xe x 的极大值点；③若x ，y ∈R ，且x +y >2，则x ，y 中至少有一个大于1；④复数(12+√32i)2017的共轭复数是：12−√32i. 其中正确的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.已知x ，y ∈R ，则“x =y ”是“|x|=|y|”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.(x −1x )6展开式中x 2的系数为( )A. −15B. 15C. −20D. 207.在直角坐标系中，若不等式组{y ≥0y ≤x y ≤k(x −1)−1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A. (−∞,−1)B. (−1,2)C. (−∞,−1)∪(2,+∞)D. (2,+∞)8.若x ，y 满足|x|≤1−y ，且y ≥−1，且2x +y 的最大值为( )A. −7B. 1C. 3D. 79.若两个非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |+|a ⃗ −b ⃗ |=2丨a ⃗ 丨，则向量a ⃗ +b ⃗ 与a⃗ 的夹角为( ) A. π6B. π3C. 2π3D. 5π610. 已知函数f (x )=4x 2−kx −8在[2,3]上具有单调性，则实数k 的可能取值为A. 22B. 20C. 18D. 16二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 已知(2x −3)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则a 1+a 2+a 3+a 4= ______ ．12. 对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x ∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)=1③若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，都有f(x 1+x 2)≥f(x 1)+f(x 1)成立，则称为W 函数，下面四个命题： ①若函数f(x)为W 函数，则f(0)=0； ②函数f(x)=2x −1，x ∈[0,1]，是W 函数； ③W 函数f(x)一定不是单调函数；④若函数f(x)是W 函数，假设存在x 0∈[0,1]，使得f(x 0)∈[0,1]，且f[f(x 0)]=x 0则f(x 0)=x 0 其中真命题是：______ .(填上所有真命题的序号)13. 方程x 2−mx +2=0的解集是A ，方程x 2+6x −n =0的解集是B ，且A ∩B ={2}，那么m +n =______ ．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分） 14. 下表中的对数值有且仅有一个是错误的：请将错误的一个改正为lg (1) = (2) ．15. 若曲线y =g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y =2x +1，则曲线f(x)=g(x)+lnx 在点(1,f(1))处切线的斜率为 ，该切线方程为 ．16. 若二项式(1+6x)8=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 8x 8，则a 0+a 1= (1) ，a 1+2a 2+3a 3+⋯+8a 876= (2) ．17. 设函数f(x)={2−x ,x <1log 2x,x ≥1那么f[f(−12)]= (1) ；若函数y =f(x)−k 有且只有两个零点，则实数k 的取值范围是 (2) ．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）=c．18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(2a−b)cosC+2csin2B2(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若a+b=4，c=√7，求△ABC的面积．19. 已知长方体PQRS−ABCD，底面ABCD为正方形，过AB的平面与平面PCD的交线为EF，且满足S△PEF：S四边形CDEF=1：3(S△PEF表示△PEF的面积)．(1)证明：PB//平面ACE；(2)当PA=2AD=2时，求点F到平面ACE的距离．20. 已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a2，a4，a7成等比数列，且S5=50．(1)求S n；}的前n项和．(2)求数列{1a n a n+121. 已知抛物线C：y2=2px(p>0)，直线l：y=x+1与抛物线C有且只有一个公共点T．(1)求抛物线C的方程以及T点坐标；(2)设O为坐标原点，直线l′平行于OT与C交于不同的两点A，B，且与直线l交于点Q，是否存在常数m，使得|QT|2=m|QA|⋅|QB|？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．22. 已知函数f(x)=x2−mlnx(1)若函数f(x)在(,+∞)上是递增的，求实数m的取值范围；(2)当m=2时，求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵集合M={−1,0，1}，N={x|x=coskπ,k∈Z}={x|x=1或x=−1}={1，−1}，∴∁M N={0}．故选：C．化简集合N，求出它在M中的补集．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.答案：C=cosα．解析：解：原式=−sinαcosα−sinα故选C原式利用诱导公式化简，约分即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．3.答案：C解析：解：用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数，①如果重复数字为0，则需要从1，2，3中再选取两个不同的数字，且0不能放在首位，故首位应从两个非零数字中选择一个，而另一个非零数字可从剩余的三个数位中选择一位进行放置，则共有：C32⋅C21⋅C31=3×2×3=18个②如果重复数字不为0，但抽取的数字含0，则需要从1，2，3中先选取一个数字重复，再选取一个不重复，从后三位中选择一位放置0，再从剩余的三位中选择一位放置非重复数字，故有C31⋅C21⋅C31⋅C31=54种③如果重复数字不为0，但抽取的数字不含0，则需要从1，2，3中先选取一个数字用做重复，再选取两个用做不重复，放置时，应先从四位中先后选择二位放置非重复数字，故有C31⋅C22⋅C41⋅C31=36种故有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为108个故选C如果重复数字为0，则须要从1，2，3中选出两个，然后根据首位不能放0，得到个数为C32⋅C21⋅C31个，如果重复数字不为0，则根据首位不能为0，得到个数为C31⋅C21⋅C31⋅C31+C31⋅C22⋅C41⋅C31，综合两个情况可得答案．本题考查的知识点是排列组合及简单计数问题，本题解答中一定要注意所组成的四位数不能是0 4.答案：C解析：解：对于①、∀x∈N∗，C n0+C n1+C n2+⋯+C n n=2n，都是偶数，故①正确；对于②、由f(x)=xe x，得f′(x)=e x+xe x=e x(x+1)，当x∈(−∞,−1)时，f′(x)<0，当x∈(−1,+∞)时，f′(x)>0，∴x=−1为函数f(x)=xe x的极小值点，故②错误；对于③、假设x，y均小于等于1，则x+y≤2，与x+y>2矛盾，故③正确；对于④、复数(12+√32i)2017=[(12+√32i)3]672⋅(12+√32i)=12+√32i，其共轭复数是：12−√32i，故④正确．∴正确命题的个数是3个．故选：C．利用二项式系数的性质判断①；利用导数求出x=−1为函数的极小值点判断②；由反证法说明③正确；利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数(12+√32i)2017的共轭复数判断④．本题考查命题的真假判断与应用，考查了二项式系数的性质，考查利用导数研究函数的极值，考查复数代数形式的乘除运算，是中档题．5.答案：A解析：解：当“x=y”成立时，“|x|=|y|”一定成立，即“x=y”⇒“|x|=|y|”为真假命题；但当“|x|=|y|”成立时，x=±y即“x=y”不一定成立，即“|x|=|y|”⇒“x=y”为假命题；故“x=y”是“|x|=|y|”的充分不必要条件故选A本题考查的知识点是充要条件的定义，我们可先假设“x =y ”成立，然后判断“|x|=|y|”是否一定成立；然后假设“|x|=|y|”成立，再判断“x =y ”是否一定成立，然后结合充要条件的定义，即可得到结论．判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．6.答案：B解析：解：(x −1x )6展开式的通项公式为T r+1=C 6r ⋅x 6−r ⋅(−1x )r =C 6r⋅(−1)r ⋅x 6−2r ，令6−2r =2，解得r =2； ∴(x −1x )6展开式中x 2的系数为C 62⋅(−1)2=15．故选：B ．利用二项式展开式的通项公式，令x 的指数为2求出展开式中x 2的系数． 本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题．7.答案：A解析：解：∵直线y =k(x −1)−1表示经过定点M(1,−1)，且斜率为k 的直线， ∴不等式y ≤k(x −1)−1表示的平面区域为经过点M 的直线l 及其下方的平面区域，因此，作出不等式组{y ≥0y ≤x y ≤k(x −1)−1表示的平面区域，得到如图的△OAB 及其内部，因为该区域表示直线y =k(x −1)−1下方、直线y =x 下方且在y =0的上方，所以直线AB 的斜率k 小于0，且点A 位于直线y =x 上原点O 以上部分， ∵OM 的斜率为−1，∴k <−1，由此可得实数k 的取值范围是(−∞,−1)．故选：A．根据直线方程的点斜式，得不等式y≤k(x−1)−1表示的平面区域为经过点M(−1,1)的直线l及其下方的平面区域．由此作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△OAB及其内部．再观察直线AB的斜率变化，建立k的不等式即可得到实数k的取值范围．本题给出二元一次不等式组，当不等式组表示一个三角形平面区域时，求实数k的取值范围．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和直线的斜率等知识，属于基础题．8.答案：C解析：解：|x|≤1−y，即x+y−1≤0，x−y+1≥0，y≥−1，交点为(0,1)，(−2,−1)，(2,−1)故x=2，y=−1，2x+y的最大值为3，故选：C．利用线性规划解决问题．考查线性规划求最值，基础题．9.答案：B解析：试题分析：设|a⃗|=1，则|a⃗+b⃗ |+|a⃗−b⃗ |=2，故以a⃗、b⃗ 为邻边的平行四边形是矩形．设向量a⃗+b⃗ 与a⃗的夹角为θ，则由cosθ=|a⃗ ||a⃗ +b⃗|=12求得θ的值．设|a⃗|=1，则|a⃗+b⃗ |+|a⃗−b⃗ |=2，故以a⃗、b⃗ 为邻边的平行四边形是矩形，且|b⃗ |=√3．设向量a⃗+b⃗ 与a⃗的夹角为θ，则cosθ=|a⃗ ||a⃗ +b⃗|=12，∴θ=π3，故选B．10.答案：D 解析：本题主要考查二次函数的图象和性质，利用二次函数单调性由对称轴决定，从而得到对称轴与已知区间的关系是解决本题的关键．解：∵函数f(x)=4x 2−kx−8的对称轴方程为x=−−k8=k8，∴要使函数f(x)在[2,3]上具有单调性，则[2,3]必在对称轴的中间，k8≤3或k8≥1，解得8≤k≤24．故选D．11.答案：−80解析：令x=0求出a0的值，令x=1即可确定出所求式子的值．此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解：令x=0得：a0=81，当x=1时，a0+a1+a2+a3+a4=1，则a1+a2+a3+a4=−80．故答案为：−80．12.答案：(1)(2)(4)解析：解：对于①取x1=x2=0，代入f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)，可得f(0)≥f(0)+f(0)即f(0)≤0，由已知∀x∈[0,1]，总有f(x)≥0可得f(0)≥0，∴f(0)=0，故正确；对②显然f(x)=2x−1在[0,1]上满足f(x)≥0；②f(1)=1．若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，则有f(x1+x2)−[f(x1)+f(x2)]=2x1+x2−1−[(2x1−1)+(2x2−1)]=(2x2−1)(2x1−1)≥0故f(x)=2x−1满足条件①②③，所以f(x)=2x−1为理想函数．对于③设f(x)=4x−4已知是W函数，同时也是单调函数，故不正确；对于④)∵f(x)为W函数，依题意，任意给m，n∈[0,1]，当m<n时，必有n−m∈[0,1]，f(n−m)≥0，∴f(n)=f[(n−m)+m])≥f(n−m)+f(m)≥f(m)，又x0∈[0,1]且f(x0)∈[0,1]，f[f(x0)]=x0，∴若1≥f(x0)>x0≥0，则f[f(x0)]≥f(x0)，即x0≥f(x0)与f(x0)>x0矛盾；若0≤f(x0)<x0≤1，同理可得f(x0)≥x0，与f(x0)<x0矛盾；∴f(x0)=x0，故(4)正确．故答案：(1)(2)(4)．①首先，根据理想函数的概念，可以采用赋值法，可考虑取x1=x2=0，代入f(x1+x2)≥f(x1)+ f(x2)，可得f(0)≥f(0)+f(0)，由已知f(0)≥0，可得f(0)=0；②要判断函数g(x)=2x−1，(x∈[0,1])在区间[0,1]上是否为W函数，只要检验函数g(x)=2x−1，是否满足理想函数的三个条件即可；对于③设f(x)=4x−4已知是W函数，同时也是单调函数④由条件③知，任给m、n∈[0,1]，当m<n时，由m<n知n−m∈[0,1]，f(n)=f(n−m+m)≥f(n−m)+f(m)≥f(m).由此能够推导出f(x0)=x0，根据f[f(x0)]=x0，则f(x0)=x0．本题结合指数函数的性质，探讨函数的函数值域，指数函数的单调性的应用等知识点．着重考查推理论证、抽象思维、创新思维的综合运用．13.答案：19解析：解：∵方程x2−mx+2=0的解集是A，方程x2+6x−n=0的解集是B，且A∩B={2}，∴x=2为两方程的解，把x=2代入x2−mx+2=0得：4−2m+2=0，即m=3，此时方程为x2−3x+2=0，解得：x=1或x=2，即A={1,2}；把x=2代入x2+6x−n=0得：4+12−n=0，即n=16，此时方程为x2+6x−16=0，解得：x=2或x=−8，即B={−8,2}，则m+n=16+3=19．故答案为：19由A与B的交集，得到2为两方程的解，分别代入两方程求出m与n的值，即可确定出m+n的值．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．14.答案：153a−b+c解析：解：假设lg3=2a−b，lg5=a+c，则lg8=3lg2=3(1−lg5)=3[1−(a+c)]=3−3a−3c．lg9=2lg3=2(2a−b)=4a−2b，lg15=lg3+lg5=(2a−b)+(a+c)=3a−b+c≠3a−b+c+1，故lg15是错误的．故答案为：15，3a−b+c．先假设lg3=2a−b，lg5=a+c是正确的，然后利用对数的运算法则分别求出lg8，lg9和lg15的值，由此能够得到正确答案．本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的合理运用．15.答案：3y=3x解析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率等有关基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想，属于基础题．先求出曲线y=g(x)的切点坐标，然后求出f′(x)，从而求出切线的斜率，再求出曲线f(x)的切点坐标，即可求出切线方程．解：切线方程为y=2x+1过点(1,g(1))，∴g(1)=3，切点为(1,3)，g′(1)=2，f′(x)=g′(x)+1x，∴f′(1)=g′(1)+1=3，f(1)=g(1)+ln1=3，∴切线方程为y=3x，故答案为：3；y=3x．16.答案：49336解析：解：由二项式(1+6x)8展开式通项为T r+1=C8r(6x)r=6r C8r x r得：a0=60C80=1，a1=61C81=48，故a0+a1=49，将(1+6x)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8两边取导得：48(1+6x)7=a1+2a2x+⋯+8a8x7，令x=1得：48×77=a1+2a2+⋯+8a8，故a1+2a2+⋯+8a876=48×7776=336，。
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宁波市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）2．某学校有2200名学生,现采用系统抽样方法抽取44人,将2200人按1,2,…,2200随机编号,则抽取的44人中,编号落在[101,500]的人数为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．103．的展开式中的第7项是常数,则正整数n 的值为( )A ．16B ．18C ．20D ．224．《数学统综》有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数()222f x x x =-+，在21,23m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上取三个不同的点()()()()()(),,,,,a f a b f b c f c ，均存在()()(),,f a f b f c 为三边长的三角形，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[]0,1B ．20,⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．20,⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,2⎡⎤⎢⎥⎣ 5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为12，4，则输出的n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）A ．5种B ．4种C ．9种D ．20种7．已知等比数列{a n }中，2341a a a =，67864a a a =，则5a =（ ） A ．±2 B ．－2C ．2D ．48．设3i12iz -=+，则z = A ．2B ．3C ．2D ．19．甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲乙两人平局的概率为0.1．若甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，则乙至少赢甲一局的概率为（ ） A ．0. 36B ．0. 49C ．0. 51D ．0. 7510．如图，可导函数()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为()y g x =，设()()()h x g x f x =-，)'(h x 为()h x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极大值点B ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极小值点C ．0'()0h x ≠，0x 不是()h x 的极值点D ．0'()0h x ≠，0x 是()h x 是的极值点11．2019年6月7日，是我国的传统节日“端午节”。
这天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅。
小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为（ ） A ．17B ．13C ．37D ．31012．曲线()cos sin cos xf x x x =-在点33,44M f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为（ ） A ．12 B ．12-C ．22-D ．22二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．小明和小刚去上海迪士尼游玩，他们约定游玩飞越地平线、雷鸣山漂流、创极連光轮等n 个游戏，并且各自独立地从m 个游戏中任选()n n m ≤个进行游玩，每个游戏需要1小时，则最后1小时他们同在一个游戏游玩的概率是__________．14．若复数满足，则z 的模等于______．15．若()f x 为R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=-，对于下列命题：①()20f =；②()f x 是以4为周期的周期函数；③()f x 的图像关于0x =对称；④(2)()f x f x +=-.其中正确命题的序号为_________16．命题“1x ∃<使得21x ≥”是______命题. （选填“真”或“假”） 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的600名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示： 支付方式 微信 支付宝 购物卡 现金 人数200150150100现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替概率. （1）求三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数的概率； （2）记为三人中使用支付宝支付的人数，求的分布列及数学期望.18．有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件.求: （1）第一次抽到次品的概率；（2）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.19．（6分）甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区一模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：（1）计算x ，y 的值；（2）若规定考试成绩在[]120150,为优秀，请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率； （3）若规定考试成绩在[]120150,内为优秀，由以上统计数据填写下面22⨯列联表，若按是否优秀来判断，是否有95%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.20．（6分）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X ，求X 的分布列与数学期望.21．（6分）设,a b ∈R ，已知1x ，2x 为关于x 的二次方程220x ax b ++=两个不同的虚根， （1）若2b =，求实数a 的取值范围； （2）若122x x -=，12211x x x x +=，求实数a ，b 的值. 22．（8分）集合A={x|-3≤x ＜5}，B={x|-2＜x ＜7} （1）求A∩B, A ∪B （2）（∁R A ）∩B ．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 2．B 【解析】 【分析】先求出每一个小组的人数，再求编号落在[101,500]的人数. 【详解】每一个小组的人数为，所以编号落在[101,500]的人数为.故选：B 【点睛】本题主要考查系统抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 3．B【解析】 【分析】利用通项公式即可得出． 【详解】的展开式的第7项﹣9，令 ＝0，解得n ＝1．故选：B ． 【点睛】本题考查了二项式定理的应用、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4．A 【解析】 【分析】由题意，三点的纵坐标中两个较小数之和小于等于2，可得m 2﹣m+2≤2，即可得出结论． 【详解】易知221m m -+>，所以()222f x x x =-+，在21,23m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上的最小值为(1)1f =.由题意可知，当()2222f x x x =-+=，∴0x =或2，22201m m m ∴-+≤∴≤≤，，故选A. 【点睛】本题考查新定义，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键． 5．A 【解析】 【详解】分析：本题给只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避免计算错误）． 详解：模拟程序的运行，可得12,4,1,18,8a b n a b =====， 不满足结束循环的条件a b ≤，执行循环体，2,27,16n a b ===；不满足结束循环的条件a b ≤，执行循环体，813,,322n a b ===； 不满足结束循环的条件a b ≤，执行循环体，2434,,644n a b ===；满足结束循环的条件a b ≤，退出循环，输出n 的值为4，故选A.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 6．C 【解析】 【分析】分成两类方法相加. 【详解】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择,故选C. 【点睛】本题考查分类加法计数原理. 7．C 【解析】 【分析】根据等比数列性质得3a ，7a ，再根据等比数列性质求得5a . 【详解】因为等比数列{}n a 中，2346781,64a a a a a a ==，所以33371,64a a ==，即以371,4a a ==， 因此25a =374a a =，因为5a ，3a 同号，所以5 2.a =选C. 【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 8．C 【解析】 【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z ，再求z ． 【详解】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ． 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解． 9．C 【解析】 【分析】乙至少赢甲一局的对立事件为甲两局不输，由此能求出乙至少赢甲一局的概率． 【详解】乙至少赢甲—局的概率为10.70.70.51P =-⨯=. 故选C 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10．B 【解析】 【分析】由图判断函数()h x 的单调性，结合()y g x =为()y f x =在点P 处的切线方程，则有'0()0h x =，由此可判断极值情况. 【详解】由题得，当0(,)x x ∈-∞时，()h x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()h x 单调递增，又''000()()()'0h x g x f x =-=，则有0x 是()h x 的极小值点，故选B . 【点睛】本题通过图象考查导数的几何意义、函数的单调性与极值，分析图象不难求解. 11．B 【解析】 【分析】设事件A 为“取出两个粽子为同一种馅”，事件B 为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，计算P（A ）、()P AB 的值，从而求得(|)P B A 的值． 【详解】由题意，设事件A 为“取出两个粽子为同一种馅”， 事件B 为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，则P （A ）22342737C C C +==， 23271()7C P AB C ==， ()1(|)()3P AB P B A P A ∴==． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查古典概型和条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 12．B 【解析】 【分析】求导后代入即可得出答案。