最大后验概率(MAP)准则
马尔可夫网络的参数估计方法(十)
马尔可夫网络的参数估计方法马尔可夫网络是一种描述随机过程的数学工具，它可以用来建模时间序列数据、自然语言处理等领域。
在实际应用中，我们通常需要对马尔可夫网络的参数进行估计，以便更准确地模拟和预测系统的行为。
在本文中，我们将讨论一些常见的马尔可夫网络参数估计方法，并对它们的优缺点进行比较。
1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）最大似然估计是一种常见的参数估计方法，它通过最大化观测数据的似然函数来估计参数值。
对于马尔可夫链模型来说，我们可以通过观测数据的转移概率来估计状态转移矩阵。
具体来说，对于一个马尔可夫链模型，我们可以定义观测数据的似然函数为所有状态转移的联合概率，然后通过最大化这个似然函数来估计状态转移矩阵的参数值。
虽然最大似然估计是一种直观简单的估计方法，但是它也存在一些缺点。
首先，当观测数据较少时，似然函数可能存在多个局部最优解，使得估计结果不够稳定。
其次，当模型的参数维度较高时，最大似然估计可能会导致过拟合，从而影响模型的泛化能力。
2. 贝叶斯估计（Bayesian Estimation）贝叶斯估计是一种基于贝叶斯统计理论的参数估计方法，它通过引入先验概率分布来对参数进行估计。
对于马尔可夫链模型来说，我们可以通过引入状态转移概率的先验分布来对状态转移矩阵进行估计。
具体来说，我们可以选择一个合适的先验分布，然后通过观测数据来更新参数的后验分布，最终得到参数的估计值。
贝叶斯估计的优点在于它可以有效地利用先验信息，从而提高参数估计的稳定性和泛化能力。
另外，贝叶斯估计还可以提供参数估计的不确定性信息，这对于模型的评估和选择非常有帮助。
然而，贝叶斯估计也存在一些问题，比如选择合适的先验分布可能会影响参数估计的结果，而且计算复杂度较高。
3. 最大后验概率估计（Maximum a posteriori Estimation, MAP）最大后验概率估计是贝叶斯估计的一种特殊情况，它通过最大化后验概率来估计参数值。
详解最大似然估计、最大后验概率估计及贝叶斯公式
详解最大似然估计、最大后验概率估计及贝叶斯公式最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是一种参数估计方法，用于根据样本数据推断出最有可能的模型参数。
它的基本思想是在给定观测数据的情况下，选择使得观测数据出现的概率最大的参数值作为估计值。
假设有一个参数化的概率分布模型，其中包含一个参数θ，需要通过最大似然估计来估计θ。
给定一个观测数据集D，假设每个样本都是独立同分布的。
那么似然函数L(θ|D)可以定义为在给定参数θ下，观测数据集D出现的概率。
最大似然估计的目标是找到使得似然函数取得最大值的参数θ。
最大后验概率估计（Maximum A Posteriori Estimation，简称MAP）是一种结合了先验概率和似然函数的参数估计方法。
它与最大似然估计的区别在于引入了一个先验概率分布P(θ)来描述对参数θ的先验知识，通过贝叶斯公式结合似然函数和先验概率来得到后验概率分布P(θ|D)。
最大后验概率估计的目标是找到使得后验概率分布取得最大值的参数θ。
贝叶斯公式是统计学中一条重要的公式，它描述了在已知先验概率和条件概率的情况下，计算后验概率的方法。
假设有两个事件A和B，其中事件A是先发生的事件，事件B是在事件A发生的条件下发生的事件。
那么贝叶斯公式可以表示为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)是在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率；P(B|A)是在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率；P(A)是事件A发生的先验概率；P(B)是事件B发生的先验概率。
在最大后验概率估计中，贝叶斯公式被用来计算后验概率分布P(θ|D)，其中P(θ)是参数θ的先验概率分布，P(D|θ)是在给定参数θ下，观测数据集D出现的似然函数。
最大后验概率估计通过最大化后验概率分布来估计参数θ的值。
高级通信原理第5章数字信号频带传输.ppt
接收信号波形中所有的信息。本节将描述基于观测向量 r 的 最佳判决准则。
假定在连续信号间隔内的发送信号中不存在记忆。设计 一个信号检测器，它根据每个信号间隔中的观测向量
r r1, r2 ,rN 对该间隔内的发送信号作出判决，并使正确
➢ 最大相关度量准则
最佳AWGN接收机的实现形式
如果所有信 号具有相同 的能量？
注意：
1、要求先验等概； 2、与所有发送信号进行相 关，而不是基函数的相关。
例 5－1－3 研究二进制 PAM 信号，其中两个可能的信号
点为 s1 s2 b ， b 表示为每比特能量。
先验概率 Ps1 p, P s2 1 p 。
1
N0 N
2
exp
N k 1
rk
smk N0
2
,
m 1,2,..M
ln p r sm
1 2
N
lnN0
1 N0
N
rk
k 1
smk 2
N
ln p r sm 最大，等价于“欧式距离 Dr,sm rk smk 2 ”最小。
k 1
距离度量：
N
N
N
D r,sm rn2 2 rnsmn sm2n
的 P(sm ) pr | sm 所对应的 sm ”作为判决输出，即
sˆ arg sm max P(sm ) pr | sm
“最小的错误概率”准则：选择“最大的 P(sm ) pr | sm 所对应
的 sm ”作为判决输出，即
sˆ arg sm max P(sm ) pr | sm
根据贝叶斯公式，后验概率
响应，当发送信号为 s1t 时匹配滤波器解调器的
信号检测与估计知识点总结（3）
信号检测与估计知识点总结（3）第⼆章检测理论1．⼆元检测：①感兴趣的信号在观测样本中受噪声⼲扰，根据接收到的测量值样本判决信号的有⽆。
②感兴趣的信号只有两种可能的取值，根据观测样本判决是哪⼀个。
2．⼆元检测的数学模型：感兴趣的信号s ，有两种可能状态：s0、s1。
在接收信号的观测样本y 中受到噪声n 的污染，根据测量值y 作出判决：是否存在信号s ，或者处于哪个状态。
即：y(t)=si(t)+n(t) i=0,1假设：H 0：对应s 0状态或⽆信号，H 1：对应s 1状态或有信号。
检测：根据y 及某些先验知识，判断哪个假设成⽴。
3. 基本概念与术语先验概率：不依赖于测量值或观测样本的条件下，某事件（假设）发⽣或成⽴的概率。
p(H 0),p(H 1)。
后验概率：在已掌握观测样本或测量值y 的前提下，某事件（假设）发⽣或成⽴的概率。
p(H 0/y),p(H 1/y) 。
似然函数：在某假设H 0或H 1成⽴的条件下，观测样本y 出现的概率。
? 似然⽐：虚警概率：⽆判定为有；漏报概率：有判定为⽆；（正确）检测概率：有判定为有。
平均风险： 4.1 最⼤后验概率准则（MAP ）在⼆元检测的情况下，有两种可能状态：s0、s1，根据测量值y 作出判决：是否存在信号s ，或者处于哪个状态。
即： y(t)=si(t)+n(t) i=0,1假设：H 0：对应s 0状态或⽆信号，H 1：对应s 1状态或有信号。
)|()|()(01H y p H y p y L =f P m P d P )(][)(][111110101010100000H P C P C P H P C P C P r ?++?+=如果成⽴，判定为H 0成⽴；否则成⽴，判定为H 1成⽴。
利⽤贝叶斯定理：可以得到：如果成⽴，判定为H 0成⽴；如果成⽴，判定为H 1成⽴；定义似然⽐为：得到判决准则：如果成⽴，判定为H 0成⽴；如果成⽴，判定为H 1成⽴；这就是最⼤后验准则。
最大后验概率准则
最大后验概率准则最大后验概率（Maximum A Posteriori，简称MAP）准则是一种常见的统计推断方法，用于从已知的观测数据和先验概率中确定最优的参数估计值。
MAP准则是贝叶斯推断的一个重要应用，它通过最大化后验概率来估计参数，将观测数据和先验概率结合起来，既融合了样本信息，又考虑了先验知识。
在统计学中，MAP准则给出了最有可能生成观测数据的模型参数。
具体而言，假设有一个参数θ和观测数据X，根据贝叶斯定理，后验概率可以表示为P(θ，X)，其中P(θ)为先验概率，P(X，θ)为似然函数，P(X)为边缘概率。
MAP准则的目标是找到使后验概率最大化的参数估计值θ_MAP，即：θ_MAP = argmax P(θ，X)= argmax P(θ) P(X，θ) / P(X)其中argmax表示让函数最大化的参数值。
MAP准则的推导基于最大似然估计（MLE）和贝叶斯定理。
最大似然估计是在只考虑已观测数据时，通过最大化似然函数P(X，θ)来估计参数值。
而MAP准则则在此基础上引入了先验概率分布P(θ)，将先验信息融入到参数估计中。
MAP准则相当于在MLE估计的基础上，对参数施加了一个先验假设，采用了“贝叶斯修正”。
如果先验概率分布选取合理，并且能够准确地反映出参数的分布规律，那么最终得到的参数估计值将更加可靠和准确。
MAP准则在实际应用中具有重要的意义。
它不仅可以用于参数估计，还可以应用于分类、回归、模式识别等问题。
在分类问题中，MAP准则可以用来确定最优的决策边界；在回归问题中，MAP准则可以用来估计最优的回归系数。
然而，MAP准则也存在一些局限性。
首先，先验概率的选取需要依赖于主观判断和领域知识，不同的先验分布可能会导致不同的结果。
其次，MAP准则不能直接给出参数的不确定性度量，无法提供参数估计的全概率分布。
因此，一些方法将MAP准则和贝叶斯推断的思想结合起来，例如使用采样方法（如马尔可夫链蒙特卡洛方法）来近似参数的后验分布。
通信原理期末考试重要知识点2
多进制数字调制系统多进制数字调制具有以下两个特点：（1）在相同的码元传输速率下，多进制数字调制系统的信息传输速率比二进制高。
Rb=RB2 bit/sRb=logN bit/s(2) 在相同的信息传输速率下，多进制数字调制系统的码元传输速率比二进制低，, BN＜B2可增加码元的能量,减小干扰的影响。
1. 多进制数字振幅调制(MASK)(1)多进制数字振幅调制的原理。
——多进制数字振幅调制又称多电平调制。
*MASK表示式: (波形)eASK=bn=P1+P2+……..PM=1(2) 系统的带宽: BASK =(3)单位频带内有超过2bit/s.Hz的信息传输速率。
2. 进制数字频率调制(MFSK)(1)多进制数字频率调制的原理——MFSK调制简称多频制,是二进制数字频率键控方式的直接推广。
(2) 一个多频制系统的组成方框如图:●带通滤波器的中心频率就是多个载频的频率。
●抽样判决器-----在给定时刻上比较各包络。
(3) MFSK系统带宽:BFSK=|fM-fl|+ΔfΔf单个码元宽度。
3. 多进制数字相位调制(MPSK)(1) 多进制数字相位调制的原理——多进制数字相位调制又称多相制。
*利用载波的多种不同相位(或相位差)表征数字信息的调制方式。
也可分为绝对移相(MPSK)和相对(差分)移相(MDPSK)两种。
*多进制相位调制: M=2k K位码元。
一个相位表示K位二进码元.*以四相制为例(2) QPSK(QDPSK)信号调制的原理(A)QPSK:定义:用载波的四种不同相位来表征数列中的信息。
两个信息比特与载波相位关系如下,分为A方式, B方式。
(B) QDSK:定义:利用前后码元之间的相对相位变化来表示数字信息。
以前一码元相位作为参考,并令Δ为本码元与前一码元的初相差。
信息比特与载波相位变化Δ的关系如上所示,分为A方式, B方式。
(C) 波形:(D) 表达式:ePSK ==式中：——受调相位。
M进制用M种不同相位来表征。
最大似然估计(MLE)和最大后验概率(MAP)
最大似然估计：最大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”。
简单而言，假设我们要统计全国人口的身高，首先假设这个身高服从服从正态分布，但是该分布的均值与方差未知。
我们没有人力与物力去统计全国每个人的身高，但是可以通过采样，获取部分人的身高，然后通过最大似然估计来获取上述假设中的正态分布的均值与方差。
最大似然估计中采样需满足一个很重要的假设，就是所有的采样都是独立同分布的。
下面我们具体描述一下最大似然估计：首先，假设为独立同分布的采样，θ为模型参数,f为我们所使用的模型，遵循我们上述的独立同分布假设。
参数为θ的模型f产生上述采样可表示为回到上面的“模型已定，参数未知”的说法，此时，我们已知的为，未知为θ，故似然定义为:在实际应用中常用的是两边取对数，得到公式如下：其中称为对数似然，而称为平均对数似然。
而我们平时所称的最大似然为最大的对数平均似然，即：举个别人博客中的例子，假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。
我们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。
现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球再放回罐中。
这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。
假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？很多人马上就有答案了：70%。
而其后的理论支撑是什么呢？我们假设罐中白球的比例是p，那么黑球的比例就是1-p。
因为每抽一个球出来，在记录颜色之后，我们把抽出的球放回了罐中并摇匀，所以每次抽出来的球的颜色服从同一独立分布。
这里我们把一次抽出来球的颜色称为一次抽样。
题目中在一百次抽样中，七十次是白球的概率是P(Data | M)，这里Data是所有的数据，M是所给出的模型，表示每次抽出来的球是白色的概率为p。
如果第一抽样的结果记为x1，第二抽样的结果记为x2... 那么Data = (x1,x2,…,x100)。
最大似然估计和最大后验概率
最⼤似然估计和最⼤后验概率1⼀、介绍 极⼤似然估计和贝叶斯估计分别代表了频率派和贝叶斯派的观点。
频率派认为，参数是客观存在的，只是未知⽽矣。
因此，频率派最关⼼极⼤似然函数，只要参数求出来了，给定⾃变量X，Y也就固定了，极⼤似然估计如下所⽰: D表⽰训练数据集，是模型参数 相反的，贝叶斯派认为参数也是随机的，和⼀般随机变量没有本质区别，正是因为参数不能固定，当给定⼀个输⼊x后，我们不能⽤⼀个确定的y表⽰输出结果，必须⽤⼀个概率的⽅式表达出来，所以贝叶斯学派的预测值是⼀个期望值，如下所⽰： 其中x表⽰输⼊，y表⽰输出，D表⽰训练数据集，是模型参数 该公式称为全贝叶斯预测。
现在的问题是如何求（后验概率），根据贝叶斯公式我们有： 可惜的是，上⾯的后验概率通常是很难计算的，因为要对所有的参数进⾏积分，不能找到⼀个典型的闭合解（解析解）。
在这种情况下，我们采⽤了⼀种近似的⽅法求后验概率，这就是最⼤后验概率。
最⼤后验概率和极⼤似然估计很像，只是多了⼀项先验分布，它体现了贝叶斯认为参数也是随机变量的观点，在实际运算中通常通过超参数给出先验分布。
从以上可以看出，⼀⽅⾯，极⼤似然估计和最⼤后验概率都是参数的点估计。
在频率学派中，参数固定了，预测值也就固定了。
最⼤后验概率是贝叶斯学派的⼀种近似⼿段，因为完全贝叶斯估计不⼀定可⾏。
另⼀⽅⾯，最⼤后验概率可以看作是对先验和MLE的⼀种折衷，如果数据量⾜够⼤，最⼤后验概率和最⼤似然估计趋向于⼀致，如果数据为0,最⼤后验仅由先验决定。
⼆、例⼦ 最⼤似然估计 最⼤似然估计（maximum likelihood estimation，简称MLE）很容易理解，在⽣活⽣活中其实也经常⽤到，看下⾯⼀个例⼦： ⼀个箱⼦中有⽩球和⿊球共1000个，但是我们并不知道⽩球和⿊球各多少个（当然这⾥不允许把箱⼦⾥的球倒出来逐个数），此时我们就可以⽤抽样的⽅法去估计箱⼦⾥⿊⽩两种球的分布。
假设我们抽了100次，得到的结果是70次⿊球和30次⽩球，那么我们很⾃然的可以估计箱⼦⾥⾯有700个⿊球，300个⽩球。