全国2010年10月高等教育高等数学(工本)自考试题

全国2010年10月高等教育高等数学（工本)自考试题 8

一、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1.平面到自身的有限回_________组成平面内的仿射变换。

2._________叫做完全四点形。

3.已知共线四点A ，B ，C ，D 的交比(AB ，CD)=2.则(AD ，BC)=_________。

4.一直线上点的射影变换是x ′=42

3++x x ，则其不变点是_________

5.巴斯卡定理就是设一六角形内接于一条二次曲线，那末它的_________共线。

6.有公共渐近线的一切圆是_________圆。

7.无穷远点关于二次曲线的极线(极线为无穷远直线除外)，称为二次曲线的_________。

8.凡不用欧氏公设V 就能证明的命题叫做_________命题。

9.明万历五年(1607年)_________和利玛窦合译《几何原本》前六卷于北京。

10.1872年克莱因宣读了现在大家叫做“_________”的演说，提出变换群和几何学的关系。

二、计算题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

1.求直线(1，-1，2)与两点(3，4，-1)、(5，-3，1)之连线的交点坐标。

解：

2.经过A(-3，2)和B(6，1)两点的直线被直线x+3y-6=0截于P 点，求简比(ABP).

解：

3.若直线l 1:2x 1+x 2-x 3=0,

l 3:x 1-x 2+x 3=0,

l 4:x 1=0.

且(l 1l 2,l 3l 4)=-32

.求l 2的方程.

解：

4.试求直线x=0关于二阶曲线

2x 2-4xy+5y 2-8x+6=0

的极点.

解：

5.求二次曲线x 2+2xy-3y 2+2x-4y=0的渐近线方程.

解：

三、作图题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)

1.如图，在平面上给定二直线a 及b 及不在a ，b 上的一点P ，试问不先定出a 和b 的交点，如何用一只直尺作一直线连接P 和这交点.

作法：

2.已知一直线上三点A、B、C，求作第四点D，使交比(AB，CD)=2.

作法：

3.如图，求作点P关于二次曲线Γ的极线.

作法：

四、证明题(本大题共3小题，第1、2题各10分，第3小题12分，共32分)

1.设六角形的对边互相平行，求证这六角形内接于一二次曲线.

证明：

2.试证二阶曲线x2

1+x2

2

+x2

3

-2x2x3-2x1x2-2x1x3=0与坐标三角形的各边相切.

证明：

3.已知O是椭圆中心，ABCD是椭圆的外切四边形，试证下述面积关系成立.

S△AOB+S△OCD=S△ODA+S△OBC(图甲).

证明(按以下程序作业)：

第一步：经某仿射变换将椭圆变成圆(图乙),为什么这样的变换一定存在?

第二步：在图乙中画出图甲的对应点和对应线段，叙述原来的命题对应地变成怎样的命题。第三步：证明经过变换后的相应命题成立。所以原来命题也成立，为什么?

甲乙