22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第二课时)
求抛物线解析式的几种思维方法: 1.（三点型）已知抛物线上的三点， 通常设解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) 例：已知二次函数的图象经过（-1,10），（1,4）， （2,7）三点，求这个二次函数的解析式. 解：设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c 由已知，函数图象经过（-1,10）,（1,4）,（2,7） 三点，得关于a,b,c的三元一次方程组 a=2 a-b+c=10 b=-3 a+b+c=4 解得 c=5 4a+2b+c=7 所求二次函数的解析式是y=2x2-3x+5 练习：课本P42 10题（1）
练习.（1）抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2个 2 单位得到的抛物线是 y=3(x+2) -2 . （2）抛物线y=3(x+2)2-2沿x轴翻折后的抛物线的 2+2 y =-3( x +2) 解析式为 . （3）抛物线y=3(x+2)2-2沿y轴翻折后的抛物线的 2 解析式为 y=3(x-2) -2 .
2.（顶点型）已知抛物线顶点坐标（h, k）， 通常设抛物线解析式为 y=a(x-h)2+k (a≠0)
例：一个二次函数图象的顶点为（1，-4），图象又过 点（2，-3），求这个二次函数的解析式． y=(x-1)2-4
练习：（1）图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1) ；
（2）二次函数图象的顶点坐标为（2，-3），且图象与直线 y=-2x+1的交点的横坐标为1,求此函数的解析式.
拓展 （1）已知抛物线与x轴的一个交点为A（3,0）,另一个交点为B, 抛物线与y轴的交点为C,若△ABC的面积为3，抛物线的对 称轴为直线x=4,求抛物线的解析式.
（2）已知抛物线与x轴两个交点的距离为2，且该抛物线经过 点P（0，-16），其顶点在直线y=2上，求这条抛物线的 解析式.
课堂小结 知识点 （1）三点型——一般式 （2）交点型——交点式 （3）平移型——顶点式 （4）顶点型——顶点式 （5）对称性型——顶点式或交点式 方法 数形结合
y
练习：（1）课本P42 10题（3） （2）已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如 图求它的解析式.3 21ຫໍສະໝຸດ O -11 2 3 4 x
4.（平移型）知道抛物线的平移路劲，求平移前或平移后 的解析式 例.已知抛物线向上平移3个单位，再向左平移一个单 位后得到的解析式是y=2x2,求原抛物线的解析式
在对称轴左侧,y随x的增大而减小， 在对称轴右侧,y随x的增大而增大. 在对称轴左侧,y随x的增大而增大， 在对称轴右侧,y随x的增大而减小.
b 当 x= 时, 2 4a ac b 2
O
x
y
y最小值=
b 当x= 时, 2a 4ac b 2 y最大值= 4a
4a
当x=h时, y最小值=k 当x=h时， y最大值=k
3.（交点型）已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0), 通常设解析式为 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 例：（1）已知抛物线经过（2,0）,（3,0）两点且经过 （5,2），求抛物线的解析式 （2）抛物线y=ax2+bx+c(a≠0 )经过（1,-4）,对称轴方程为 x=1,且与x轴两交点的距离为4，求抛物线的解析式.
第二十二章
二次函数
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质 (第二课时）
复习与回顾 1.如何画二次函数y=ax2+bx+c的图象？ 2.二次函数y=ax2+bx+c有什么性质？
探究新知
如何求二次函数的解析式 二次函数的解析式：
1.一般式： y=ax2+bx+c(a≠0 )
2.顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0 ) 3.交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
O x
名称 二次函数解析 式（a≠0） 对称轴 顶点坐标 增 减 性 a＞0 a＜0 a＞0 最 值 a＜0
一般式
顶点式
交点式
y=ax2+bx+c 直线x=
b 2a
y=a(x-h)2+k 直线 x=h (h , k)
y=a(x-x1)(x-x2)
x1 x2 直线x= 2
y
b 4ac b 2 （ , ） 2a 4a
人教版九年级上册数学作业课件 第二十二章 二次函数 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
15．(永州中考改编)如图，已知抛物线经过两点A(－3，0)，B(0，3)， 且其对称轴为直线x＝－1.
(1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，点B)，是否 存在点P使△PAB的面积为3？存在，请求出点P的坐标，不存在，请说 明理由．
2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表： 则此二次函数的解析式为___y_＝__－__2_x_2_－__1_2_x_－__1_3_________．
x
－
－6
－5 －4 －3 －2
y －27 －13 －3
3
5
3
3．(河南中考)已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y＝－x2＋bx＋c上的两 点，该抛物线的顶点坐标是___(_1_，__4_)_.
＝4；当 x＝12 时，函数有最小值，最小值为 y＝14 －12 －2＝－94 ，
∴y 的最大值与最小值的差为：4－(－94 )＝245 (3)y＝(2－m)x＋2－ m 与二次函数 y＝x2－x－2 图象交点的横坐标为 a 和 b，∴x2－x－2＝(2－ m)x＋2－m，整理得 x2＋(m－3)x＋m－4＝0，解得 x1＝－1，x2＝4－m， ∵a＜3＜b，∴a＝－1，b＝4－m＞3，故解得 m＜1，即 m 的取值范围是 m＜1
知识点3：用交点式求二次函数解析式 8．如图，抛物线的解析式为( B ) A．y＝x2－2x＋3 B．y＝x2－2x－3 C．y＝x2＋2x－3 D．y＝x2＋2x＋3
9．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－5，0)和(－1，8)，且以直线x＝－ 2为对称轴，则它的解析式为__y_＝__－__x_2_－__4_x_＋__5____.
22.1.4二次函数Y=ax2+bx+C(1)
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c 的图象和性质
回顾反思
y=a(x-h)2+k
顶点式
a>0 a<0
开口方向
顶点坐标 对称轴 增 减 性
向上 (h ,k) x=h
向下 (h ,k) x=h
倍 极值 速 x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 课 时 2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移 抛物线 y=a(x-h) 学 练 得到的。 x:左加右减
8 x顶 2 2 2
4 2 8 82 y顶 0 4 2
顶点坐标为 2,0
倍 速 课 时 学 练
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
2.将下列函数化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并指出 其对称轴与顶点坐标：
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长 l 的变化 而变化，当 l 是多少时，场地的面积S最大？ 分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值． s 矩形场地的周长是60m，一边长为l， 60 则另一边长为 l m ，场地的面积 2 200 S＝l ( 30－l ) 100 即 S＝－l 2 +30l O 5 10 15 20 25 30 ( 0 < l < 30 )
2
b 时， 2a
4ac b 2 4a
倍 速 课 时 学 练
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的 值最小（大）？
（ 1） y 3 x 2 x
2
2 y x 2x （ 2）
（3） y 2 x 8x 8
九年级数学上册22、1二次函数的图象和性质4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第2课时习题课件
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上， 并写出平移后抛物线的解析式.
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位长 度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线 的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为 (0，0)，落在直线y＝－x上．
考查角度二 已知面积求抛物线上点的坐标 16.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2，0). (1)求此抛物线的解析式；
考查角度一 抛物线的平移 15.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过 点C(0，－3). (1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)． ∵抛物线过点C(0，－3)，∴－3＝a×(－1)×(－3)， 解得a＝－1，∴y＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3. ∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴顶点坐标为 (2，1)．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
知识点一 利用“一般式”求二次函数的解析式
1.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)和(1，－2)，则这个函
数的解析式为( ) B
A.y＝x2－x＋2
3
6.如图所示的抛物线的解析式为__y_＝__2_x_2_－__4_x_＋__2____.
7.已知二次函数当x＝－1时，有最小值－4，且当x＝0时，y＝－3，则二次 函数的解析式为________________.
y＝(x＋1)2－4
知识点三 利用“交点式”求二次函数的解析式
人教版九年级数学上册22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(共53张PPT)
|个单
位，
向上平移 |个4单a4ca位-b。2 |
b
2a ＞0
4ac-b2 4a
＜0
由y=ax2
向左平移
|
b 2a
|个单
位，
向下平移 |个4单a4ca位-b。2 |
b
2a ＜0
4ac-b2 4a
＞0
由y=ax2
向右平移
|
b 2a
|个单
位，
向上平移 |个4单a4ca位-b。2 |
都是 （-
b 2a
，
4ac-b2 4a
＝a(x＋ b
2a
)2＋4
ac 4
a
b
2
\识记
因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是
x＝－ b 顶点坐标是（－ b ，4ac b 2 ）
2a
2a
4a
yax2 bxc图象的画法．
步骤：1．利用配方法或公式法把yax2 bxc
化为yaxh2 k 的形式。
2．确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3．在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。
22.1.4 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质
a>0,在对称轴
y ax2
左侧,y都随x 的增大而减小,
a>0, 在对称轴右
yax2 c 开口 侧,y都随 x的
向上; 增大而增大.;
yaxh2
a<0,在对称轴 左侧,y都随x
a<0, 的增大而增大,
yaxh2k
开口 向下.
在对称轴右 侧,y都随 x的
95.二 次 函 y数 ax2bxc的 图 象 开 口 向 图 象 经(过 1,2点 )(1,0)且 与 y轴 相 交 于 负
九年级数学人教版(上册)22.1.4第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如
图所示，则下列结论：
y
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
（4）当y=–2时，x的值只能取0；
其中正确的是（2）.
–1 O
–2
x 3
直线x=1
侵权必究
5.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
(1) y 2x2 12x 13; 直线x=3 3, 5
(2) y 5x2 80x 319; 直线x=8 8, 1
(3)
y
2
x
1 2
x
2
;
直线x=1.25
5 4
,
9 8
(4) y x 12 x.
直线x= 0.5
1 2
,
9 4
侵权必究
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
侵权必究
最小值-6
侵权必究
2.将抛物线y＝x2－2x＋3向上平移2个单位长度，再向右
平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为( B )
A．y＝(x－1)2＋4
B．y＝(x－4)2＋4
C．y＝(x＋2)2＋6
D．y＝(x－4)2＋6
3.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：
二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x= 1 ，x=2对 应的函数值y= -8 ．
2
问题 怎样将 y 1 x2 6x 21 化成y=a(x-h)2+k的
2
形式？
侵权必究
配方可得 y 1 x2 6x 21 2
人教版九年级数学上册22.1.4二次函数yax2+bx+c的图象和性质教案
年级九年级拟授课学校科目数学拟授课班级主备人拟授课教师拟授课时间教学内容22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质教案课时1课时教学准备多媒体教学目标知识与技能使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象过程与方法经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质情感态度价值观让学生在数学活动中感受数学思想方法之美教学重点用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标教学难点理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质板书设计教学过程设计教 学 过 程设计意图 个性思考栏一、我们知道,作出二次函数23y x =的图象,通过平移抛物线23y x =可以得到二次函数23y x =-6x+5的图象. （一）怎样直接作出函数23y x =-6x+5的图象?2365y x x =-+提取二次项系数得 配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号（二）直接画函数y=ax²+bx+c 的图象1.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标.∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2).2.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.2.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2的图象．做一做作出函数221213y x x =-+的图象.提高学生学习兴趣，渗透数学 建模思想.复习待定系数法，为求二次函数的解析式作好铺垫.体现类比思想，了解求二次函数解析式就是要求什么.合理地猜想，为后面的探究作好铺垫.⎪⎭⎫⎝⎛+-=35232x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=3511232x x ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=32132x ().2132+-=x（三）函数y=ax ²+bx+c 的顶点式 一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标. 例.求次函数y=ax²+bx+c 的对称轴和顶点坐标．提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项对所学知识的一个巩固以及解答过程的规范化.对学生猜想的一个补充，体会到求二次函数解析式条件的制约性.对于特殊点的运用，使学生解决问题时有方c bx ax y ++=2⎪⎭⎫ ⎝⎛++=c c x a b x a 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=a c a b a b x a b x a 22222化简:去掉中括号这个结果通常称为求顶点坐标公式.所以说 是函数y=ax ²+bx+c 的顶点式。
数学人教版九年级上册22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质(胪中王伟
向上
向下
直线x=–3 直线x=1
活动2：创设情Leabharlann ，导入新课思考：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,容 1 2 y x 6x21 能否利用这些知识来讨论二次函数 的图象和性 2 质？ 即怎样把函数 y 1x2 6x21 转化成 y=a(x-h） 2+k的形式? 2
ax bx c • 一般地，我们可以用配方法将 y 配方成
2
2 b b ac b b 2b b 2 2 24 a ( x x ) c a x x () () c a ( x ) a a 2 a 2 a 4 a a2 2
由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以 通过平移得到。
草图略
y
1 2 (x 4 x) 1 2
1 2 1 ( x 4 x 4 ) ×4 1 2 2 1 ( x 2)2 3 2
对称轴为直线x=-2 顶点坐标为（-2，-3） 当x=-2时，y最小值=-3
草图略
活动3：探究新知
22.1.4 二次函数
2 y ax bx c 的图像
y x2 6x21 2 1 2 12 x 21 提取二次项系数 x 2 1 2 1 x 12x 36 ×36 21 配方 2 2 配方后的表达 1 2 . 整理 x6 3 式通常称为配 2 方式或顶点式
用配方法。 1
1 2 描点、连线，画出函数 y x 6 3 2
二次本节课我们学习了哪些知识？ 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
人教九年级数学上册- 用待定系数法求二次函数的解析式(附习题)
新课导入
问题：如果一个二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7) 三点，能求出这个二次函数的解析式吗？
会用待定系数法求二次函数的解析式.
推进新课
知识点1 用二次函数一般式y=ax2+bx+c 求函数解析式
b=-3
由③-①可得：3a+3b=-3
a+b=-1
a=2
将a=2，b=-3代入①可得：2+3+c=10 c=5
∴解方程组得：a=2, b=-3, c=5
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
a-b+c=10 由已知得： a+b+c=4
的解析式.
两种方法的结果
一样吗？哪种方
方法1：设y=a(x-1)(x-3)+1,把C(0法，更3)代简入捷其？中求出 a的值.
方法2：设y=ax2+bx+c，把A(1，1)，B(3，1)，C(0， 3)代入其中列方程组求a，b，c的值.
已知二次函数的图象经过点(-1,3), (1,3),(2,6),求这个 二次函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得： a-b+c=10 a+b+c=4
三个未知数，两个 等量关系，这个方
程组能解吗？
第一步:设出解析式的形式； 第二步:代入已知点的坐标； 第三步：解方程组。
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式.
22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式(第2课时 )(作业)(夯实基础+能力提升)(原卷版)
22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式（第2课时 ）（作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、填空题1．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）写出一个对称轴为y 轴，且过(0,2)-的二次函数的解析式______．2．（2022·湖北襄阳·九年级期末）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为()0,5-，那么这个二次函数的解析式可以是________．（只需写一个）．3．（2022·江苏·九年级专题练习）已知点（3，a ）在抛物线y =-2x 2+2x 上，则=a ______．4．（2022·福建·福州立志中学九年级开学考试）将一个抛物线沿x 轴的正方向平移1个单位后能与抛物线223y x x =-+重合，则这个抛物线的解析式是_________．二、解答题5．（2022·广东·湛江一中九年级课时练习）已知抛物线经过点(0，-2)，(3，0)，(-1，0)，求抛物线的解析式．6．（2022·浙江丽水·一模）如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点(1,0),(3,0)A B ，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的解析式．(2)点()()1122,,,M x y N x y 是抛物线上不同的两点．①若12y y =，求12,x x 之间的数量关系．②若()12122x x x x +=-，求12y y -的最小值．7．（2022·福建·莆田二中九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线25y ax bx =+-图像恰好经过A （2，﹣9），B （4，﹣5）两点，求该抛物线解析式．8．（2022·福建·莆田第二十五中学九年级阶段练习）根据下列条件分别求二次函数的表达式．(1)已知二次函数的图象经过点(﹣2，﹣1)，且当1x =-时，函数有最大值2．(2)已知二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，与坐标轴交于点(0，﹣1)，(﹣1，0)．9．（2022·云南·会泽县以礼中学校九年级阶段练习）已知抛物线2y x bx c =-++的顶点坐标为（1，3），求b ，c 的值．10．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线()()20=-¹y a x h a 与x 轴的交点为(1，0)，与y 轴交点为(0，-2)．(1)求该抛物线对应的函数关系式；(2)若将该抛物线平移后经过原点，直接写出平移后的抛物线对应的函数关系式（至少写出2个对应的函数关系式）．11．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）已知关于x 的二次函数的图象与x 轴交于（-1，0），(3，0)两点，且图象过点(0，3)，(1)求这个二次函数的解析式；(2)写出它的开口方向、对称轴12．（2022·吉林·南阳市第十九中学九年级阶段练习）如图，已知二次函数2y ax bx c =++ 图像的顶点为(1,2) ，与y 轴的交点为(0,3)C ．(1)求二次函数的表达式；(2)已知点(1,1)A -，点(3,1)B ．若原二次函数图像向下平移m 个单位，与线段AB 有公共点，结合函数图像，直接写出m 的取值范围．13．（2022·广东惠州·九年级阶段练习）抛物线2y ax c =+与25y x =-的形状、开口方向都相同，且2y ax c=+经过(0，3)．求：(1)该抛物线的解析式；(2)2y ax c =+是由抛物线25y x =-经过怎样的平移得到的？14．（2022·内蒙古·敕勒川实验中学九年级阶段练习）如图，抛物线2y ax ＝与直线y ＝bx +c 的两个交点分别为A （﹣2，4），B （1，1）．(1)求两个函数的解析式；(2)点P 在y 轴上，且△ABP 的面积是△ABO 面积的2倍，求点P 的坐标．15．（2022·湖北·汉川市官备塘中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()240y ax bx a =++¹经过点()2,0A -和点()4,0B .(1)求这条抛物线所对应的函数解析式；(2)点P 为该抛物线上一点（不与点C 重合），直线CP 将ABC V 的面积分成2:1两部分，求点P 的坐标.16．（2022·吉林省实验中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为()4,3，点D 是抛物线26y x x =-+在x 轴上方的一个动点．(1)菱形的边长为______．(2)求BCD △面积的最大值．17．（2022·河北·育华中学三模）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标是（0，n ），n ≠0．抛物线l 的顶点是（1，0），并且经过点P ，点A 、点B 、点C 的坐标分别为（3，2），（2，﹣1），（3，﹣1）．(1)当抛物线l 过点A 时，求此时抛物线l 的函数关系式及点P 的坐标；(2)若存在一条新抛物线l ¢，它与抛物线l 的形状完全相同，只是开口方向相反，并且经过点A 和第（1）问中的点P ，求新抛物线l ′的函数关系式，并求出新抛物线l ¢的顶点坐标；(3)若抛物线l 经过△ABC 区域（含边界），请求出n 的取值范围．18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A （﹣1，0），B （4，0），C （0，﹣2）．(1)求此抛物线的解析式和对称轴．(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PAC 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．19．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点()30A -,和点()0,3C -．解答下列问题．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴的交点为E ，求线段BD 的长；(3)点F 在抛物线上运动，是否存在点F 使FAB V 的面积等于6？如果存在，求出点F 的坐标；如果不存在，说明理由．【能力提升】一、解答题1．（2022·福建省福州第十九中学九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y x x c =-+与直线y =x +1交于点A 、C ．且点A 的坐标为（-1，0）．(1)求点C 的坐标；(2)若点P 是直线AC 下方的抛物线上一动点，求点P 到直线AC 距离的最大值；(3)若点E 是抛物线上一点，点F 是抛物线对称轴上一点，是否存在点E 使以A ，C ，E ，F 为项点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E 的坐标：若不存在，请说明理由．2．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级开学考试）已知抛物线228y ax ax =--（0a ¹）经过点（2-，0）．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)直线l 交抛物线于点A （4-，m ），B （n ，7），n 为正数．若点P 在抛物线上且在直线l 下方（不与点A ，B 重合），求出点P 纵坐标的取值范围．3．（2022·云南·会泽县以礼中学校九年级阶段练习）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A （-2，0）和点B （4，0），与y 轴交于点C （0，4）(1)求抛物线的解析式．(2)点D 在抛物线的对称轴上，求AD +CD 的最小值．(3)点P 是直线BC 上方的点，连接CP ，BP ，若△BCP 的面积等于3，求点P 的坐标．4．（2022·甘肃·武威第九中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线2.y ax bx c =++与x 轴的交点坐标A (﹣4，0)，B (2，0)，并过点C (﹣2，﹣2)，与y 轴交于点D ．(1)求出抛物线的解析式；(2)求出△ABD 的面积；(3)在抛物线对称轴上是否存在一点E ，使BE +DE 的值最小，如果有，写出点E 的坐标；如果没有，说明理由．5．（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，﹣3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在抛物对称轴上找一点D，使∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；(3)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．6．（2022·福建·莆田二中九年级阶段练习）如图所示抛物线y＝a2x+bx+c由抛物线y＝2x﹣x+1沿对称轴向下平移3个单位得到，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C，直线y＝kx+b过B、C两点．(1)写出平移后的新抛物线y＝a2x+bx+c的解析式；并写出a2x+bx+c＞kx+b时x的取值范围．(2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点，连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形PO P¢C，那么是否存在点P，使四边形PO P¢C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)当点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大？求此时点P的坐标和△PBC的最大面积．7．（2022·浙江·舟山市普陀第二中学九年级阶段练习）已知二次函数y＝﹣1（x＋4）2，将此函数的图像2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度．(1)请写出平移后图像所对应的函数解析式；(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出平移后的图像；(3)根据所画的函数图像，写出当y＜0时x的取值范围．8．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2=+（a≠0）经y ax bx过原点，并交x轴正半轴于点A.已知OA=6，且方程29+=恰好有两个相等的实数根．ax bx(1)求该抛物线的表达式；(2)若将图象在x 轴及其上方的部分向右平移m 个单位交于点P ，B ，1B 是该图象两个顶点，若1PBB V 恰好为等腰直角三角形，求m 的值．9．（2022·全国·九年级专题练习）抛物线2(2)y a x =-的顶点为A ，与y 轴交于点(0,4)B .(1)求a 的值；(2)若将该抛物线向右平移6个单位，求平移所得抛物线与原抛物线的交点坐标.10．（2022·广东·华南师大附中模拟预测）如图，已知二次函数1L ：y =24x -3x +与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．(1)写出二次函数1L 的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)二次函数2L ：y =243kx kx -+()0k k ¹．①写出二次函数2L 与二次函数1L 有关图象的两条相同的性质；②若直线8y k =与抛物线2L 交于E ，F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化? 如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．11．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级开学考试）抛物线2y ax ax b =-+交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边），交y 轴于C ，直线4y x =-+经过B ，C 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，以点A 、C 、M 、N 为顶点，AC 为边的的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点N 的坐标．(3)如图2，P 为直线BC 上方的抛物线上一点，PD ∥y 轴交BC 于D 点，过点D 作DE AC ^于E 点．设521m PD DE =+，求m 的最大值；12．（2022·福建·莆田第二十五中学九年级阶段练习）如图是一个二次函数的图象，顶点是原点O ，且过点A (2，1)．(1)求出二次函数的表达式；(2)我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，请用整数n 表示这条抛物线上所有的整点坐标．(3)过y 轴的正半轴上一点C (0，c )作AO 的平行线交抛物线于点B ，如果点B 是整点，求证：V OAB 的面积是偶数．13．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线()2211:1(1)12C y m x m x =-+-+-与x 轴有公共点．(1)当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；(2)将抛物线1C先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线2C（如图所示），抛物线2C 与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；(3)D为抛物线2C的顶点，过点C作抛物线2C的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线2C于点E，连接BE 交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．14．（2022·辽宁大连·九年级期末）抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），AB＝4，点P（2，1）位于第一象限．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 在抛物线上，且使∠MAP ＝45°，求点M 的坐标；(3)将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y ＝x +4上移动，当平移后的抛物线与线段AP 只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．15．（2022·福建·福州立志中学九年级开学考试）如图，已知抛物线24y ax bx =+-（a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（-2，0）且对称轴直线1x =，直线AD 交抛物线于点D（2，m）(1)求抛物线的解析式；(2)点P是线段AB上的一动点（点P和点A，B不重台），过点P作PE∥AD交BD于E，连接DP，当△DPE 的面积最大时，求点P的坐标；(3)在抛物线上对称轴上是否存在一点M，使△MAC的周长最小，若存在，请求出M的坐标．。
-2016九年级数学上册-22.1.4-二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第2课时)同步练习1
第2课时用待定系数法求二次函数的解析式要点感知 用待定系数法求二次函数的解析式的几种常见的形式：(1)三点式：已知图象上的三个点的坐标，可设二次函数的解析式为______；(2)顶点式：已知抛物线的顶点坐标(h ，k)及图象上的一个点的坐标，可设二次函数的解析式为______；以下有三种特殊情况：①当已知抛物线的顶点在原点时，我们可设抛物线的解析式为______.②当已知抛物线的顶点在y 轴上或以y 轴为对称轴，但顶点不一定是原点时，可设抛物线的解析式为______. ③当已知抛物线的顶点在x 轴上，可设抛物线的解析式为______，其中(h ，0)为抛物线与x 轴的交点坐标.(3)交点式：已知抛物线与x 轴的两个交点坐标(x 1，0)、(x 2，0)及图象上任意一点的坐标，可设抛物线的解析式为______.预习练习1-1 若二次函数y=ax 2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：则二次函数的解析式为______.1-2 已知一个二次函数的图象的顶点为(8，9)，且经过点(0，1)，则二次函数的解析式为______.1-3 已知二次函数y=-21x 2+bx+c 的图象经过A(2，0)，B(0，-6)两点.则这个二次函数的解析式为______.知识点1 利用“三点式”求二次函数解析式1.已知二次函数y=ax 2+bx+c 经过点(-1,0)，（0，-2），(1,-2).则这个二次函数的解析式为______.2.已知二次函数y=a x 2+bx+c ，当x =0时，y=1；当x=-1时，y=6；当x=1时，y=0.求这个二次函数的解析式.知识点2 利用“顶点式”求二次函数解析式3.已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( )A.y=2(x+1)2+8B.y=18(x+1)2-8C.y=92(x-1)2+8D.y=2(x-1)2-84.已知抛物线的顶点坐标为(4,-1)，与y 轴交于点(0,3)，求这条抛物线的解析式.知识点3 利用“交点式”求二次函数解析式5.如图所示，抛物线的函数表达式是( )A.y=21x 2-x+4B.y=-21x 2-x+4C.y=21x 2+x+4D.y=-21x 2+x+4 6.已知一个二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标分别为(-1，0)和(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，-2)，则该二次函数的解析式为______.7.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )A.y ＝x 2-x-2B.y ＝-21x 2-21x+2C.y ＝-21x 2-21x+1D.y ＝-x 2+x+2 8.二次函数y=-x 2+bx+c 的图象的最高点是(-1，-3)，则b ，c 的值分别是( )A.b=2，c=4B.b=2，c=-4C.b=-2，c=4D.b=-2，c=-49.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A(-1，0)，B(0，-3)两点，则这条抛物线所对应的函数关系式为______.10.(杭州中考)设抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)过点A(0，2)，B(4，3)，C 三点，其中点C 在直线x=2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为______. 11.(齐齐哈尔中考)如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y 轴交于点B(0，3)，与x 轴交于C 、D 两点.点P 是x 轴上的一个动点.(1)求此抛物线的解析式；(2)当PA+PB 的值最小时，求点P 的坐标.12.(宁波中考)已知抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，-3).(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x 上，并写出平移后抛物线的解析式.挑战自我13.(河北中考)如图，2×2网格(每个小正方形的边长为1)中有A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，O 九个格点.抛物线l 的解析式为y=(-1)nx 2+bx+c(n 为整数).(1)n 为奇数，且l 经过点H(0，1)和C(2，1)，求b ，c 的值，并直接写出哪个格点是该抛物线上的顶点；(2)n 为偶数，且l 经过点A(1，0)和B(2，0)，通过计算说明点F(0，2)和H(0，1)是否在抛物线上；(3)若l 经过这九个格点中的三个，直接写出满足这样条件的抛物线条数.参考答案要点感知 (1)y=ax 2+bx+c ；(2)y=a(x-h)2+k ； ①y=ax 2. ②y=ax 2+c. ③y=a(x-h)2，(3)y=a(x-x 1)(x-x 2).预习练习1-1 y=-2x 2-12x-13.1-2 y=-81x 2+2x+1.1-3 y=-21x 2+4x-6.1.y=x 2-x-2.2.由题意，得a+b+c=0,a-b+c=6,c=1.解得a=2,b=-3,c=1. ∴二次函数的解析式为y=2x 2-3x+1.3.D4.依题意，设y=a(x-h)2+k.将顶点坐标(4,-1)和与y 轴交点(0,3)代入，得3=a(0-4)2-1.解得a=41. ∴这条抛物线的解析式为y=41(x-4)2-1. 5.D6.y=x 2-x-2.7.D8.D 9.y ＝x 2-2x-3. 10.y=81x 2-41x+2或y=-81x 2+43x+2. 11.(1)∵抛物线顶点坐标为(1,4)，∴设y=a(x-1)2+4.∵抛物线过点B(0，3)，∴3=a(0-1)2+4，解得a=-1.∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4，即y=-x 2+2x+3.(2)作点B 关于x 轴的对称点E(0，-3)，连接AE 交x 轴于点P.设AE 解析式为y=kx+b ，则k+b=4,b=-3,解得k=7,b=-3.∴y AE =7x-3.∵当y=0时，x=73，∴点P 的坐标为(73，0). 12.(1)∵A(1，0)，B(3，0)，∴设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3).∵抛物线过(0，-3)，∴-3=a(-1)×(-3).解得a=-1.∴y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3.∵y=-x 2+4x-3=-(x-2)2+1，∴顶点坐标为(2，1).(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=-x 2，平移后抛物线的顶点为(0，0)落在直线y=-x 上.挑战自我13.(1)因为n 为奇数，则抛物线解析式为y=-x 2+bx+c.将H(0，1)和C(2，1)代入上式，得b=2，c=1.所以抛物线解析式为y=-x 2+2x+1.化为顶点式为y=-(x-1)2+2，其顶点坐标为(1，2)，所以顶点所在的格点为E.(2)因为n 为偶数，则抛物线的解析式为y=x 2+bx+c.将A(1，0)和B(2，0)代入上式，得b=-3，c =2.所以抛物线解析式为y=x 2-3x+2.将x=0代入上式可得y=2，所以F 点在该抛物线上，H 点不在该抛物线上.(3) 8.。