北京市昌平区2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷Word版含答案
京市昌平区2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷考生注意事项：1.本试卷共4页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟． 2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 要求的.1. 已知集合{}0,1,2,3,4U =，{}0,1,2,3A =，{0,2,4}B =,那么()U A B ð等于A ．{}1B ．{}0,1C ．{1,3}D ．{0,1,2,3}2. 已知向量(1,2),(2,3)m ==-a b , 且//a b ，那么实数m 的值是A ．1-B ．1C ．4D ．7 3. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A .若点A 的纵坐标是45，那么sin α的值是A.35 B. 45 C. 34 D. 434. 已知函数()226=+-x f x x 的零点为0x ，那么0x 所在的区间是 A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)5.已知函数f (x ) 是定义在[4,0)(0,4]- 上的奇函数， 当0x >时，f (x ) 的图象如图所示，那么f (x ) 的值域是A ．(4,6]-B ．[6,6]-C ．(4,4)(4,6]-D ．[6,4)(4,6]-- 6. 已知函数sin 2=y x 的图象为C ，为了得到函数2sin(2)3π=+y x 的图象，只要把C 上所有的点 A ．向左平行移动23π个单位长度 B. 向右平行移动23π个单位长度C. 向左平行移动3π个单位长度D. 向右平行移动3π个单位长度7. 已知132a =，133-=b ，21log 3c =，那么a ，b ，c 的大小关系是 A ．c a b << B ．c b a << C ．a b c << D ．b a c <<8. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足()(4)f x f x =- ，且在区间[0,2]上是增函数，那么 A ．(6)(4)(1)<<f f f B ．(4)(6)(1)<<f f fC ．(1)(6)(4)<<f f fD ． (6)(1)(4)<<f f f 9. 甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示. 假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）.如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是A. 40万元B. 60万元C.120万元D. 140万元10. 已知定义在R 上的函数()f x ，若对于任意12,x x ∈R ，且12x x ≠，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，那么函数()f x 称为“Ω函数”. 给出下列函数：①()cos f x x =；②()2x f x =；③()||f x x x =；④2()ln(1)f x x =+.其中“Ω函数”的个数是A.1B. 2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分. 11. 已知函数()af x x =的图象经过点1(3,)27，那么实数a 的值等于____________. 12. 已知3sin()5απ-=，且(0,)2πα∈，那么tan α=________.13. 已知函数 4, 3,()8, 3.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩ 如果0()16f x =，那么实数0x 的值是 .14. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,||2πω><ϕ)的部分图象 如图所示，那么ω=________，ϕ= .15.如图，在66⨯的方格中，已知向量,,a b c 的起点和终点均在 格点，且满足向量(,)x y x y =+∈R c a b ，那么x y +=_______.16.已知函数()f x 的定义域为D ，若同时满足以下两个条件： ① 函数()f x 在D 内是单调递减函数；② 存在区间[,]a b D ⊆，使函数()f x 在[,]a b 内的值域是[,]--b a . 那么称函数()f x 为“W 函数”.已知函数()=f x k 为“W 函数”.（1）当0=k 时，-b a 的值是 ； （2）实数k 的取值范围是 .三、解答题（共5个小题，共70分） 17. (本小题满分13分)已知向量(2,1),(1,)x =-=a b . （Ⅰ）若⊥()a a +b ，求b 的值；（II ）若2(4,7)+=-a b ，求向量a 与b 夹角的大小.a bc18.（本小题满分14分） 已知函数()sin(2)6π=-f x x . （I ）求函数()f x 的最小正周期；(II) 求函数()f x 的单调递增区间；（III ）当20,3π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，求函数()f x 的最小值，并求出使()y f x =取得最小值时相应的x 值．19. (本小题满分14分)已知函数1122()log (3)log (3)=++-f x x x .(Ⅰ) 求(1)f 的值；(Ⅱ) 判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明； (Ⅲ)若(2)0>f x ，求实数x 的取值范围.20.（本小题满分14分）据市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格P （元）和时间t (∈t N )（天）的关系如图所示.（I ） 求销售价格P （元）和时间t （天）的函数关系式； （II ）若日销售量Q (件)与时间t （天）的函数关系式是40(030,=-+≤≤Q t t ∈t N )，问该产品投放市场第几天时，日销售额y （元）最高，且最高为多少元？21.(本小题满分15分）已知函数()f x ，对于任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+, 当0>x 时，()0f x <，且1(1)2f =-.( I ) 求(0),(3)f f 的值；(II) 当810x -≤≤时，求函数()f x 的最大值和最小值；(III) 设函数2()()2()g x f x m f x =--，判断函数g (x )最多有几个零点，并求出此时实数m 的取值范围.北京市昌平区2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 11. 3- 12. 3413. 2- 14. 2,6π 15. 3 16. 1，1(,0]4-（注：第14、16题第一问2分，第二问3分）.三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17. (本小题满分13分)（I ）依题意(3,1)x +=-+a b ，由()⊥+a a b 可得，610x +-=, 解得7x =,即(1,7)=b ,所以 =b …………6分 (II) 依题意2(4,7)x +(4,2-1)-a b ==，可得3x =-，所以 cos ,⋅<>=a ba b a b 2=， 因为 [],0<>∈π，a b ，所以 a 与b 的夹角大小是4π. …………13分18.（本小题满分14分） 解：（I ）22π==πT . ……………………………3分 （II ）222.262k x k k Z πππ-+π≤-≤+π,∈222.33k x k k Z π2π-+π≤≤+π,∈ 63k x k k Z ππ-+π≤≤+π,∈. 所以 函数()f x 的单调递增区间是[,63ππ-+π+π]k k （∈k Z ）.……………………………8分（III ）203π≤≤x ,4023π≤≤x , 72666πππ-≤-≤x . ……………………………10分所以函数()f x 的最小值是12-， ……………………………12分此时20,3x x π==或. ……………………………14分19. (本小题满分14分)解: ( Ⅰ ) 1212(1)log 2log 43=+=-f……………………………3分( Ⅱ ) 函数()f x 是偶函数. ……………………………4分证明：由30,30,+>⎧⎨->⎩x x 解得3,3.>-⎧⎨<⎩x x所以 33-<<x ,所以 函数()f x 的定义域为{|33}-<<x x . ………………………………6分 因为 1212()log (3())log (3())-=+-+--f x x x ………………………………7分1122log (3)log (3)=-++x x ()f x =，所以 函数1122()log (3)log (3)=++-f x x x 是偶函数. …………………………9分( Ⅲ ) 由(2)0>f x 可得 21122log (9(2))log 1->x …………………………10分得 23239(2)1-<<⎧⎨-<⎩x x ， …………………………12分解得，32-<<x ，或32<<x . …………………………14分 20.（本小题满分14分）解：（I ）①当020,t t ≤<∈N 时，设,P at b =+ 将(0,20),(20,40) 代入，得20,4020,b a b =⎧⎨=+⎩ 解得1,20.a b =⎧⎨=⎩所以20(020,).P t t t =+≤<∈N ………………….3分 ②当2030,t t ≤≤∈N 时，设,P at b =+ 将(20,40),(30,30) 代入，解得1,60.a b =-⎧⎨=⎩所以 60(2030,),P t t t =-+≤≤∈N ………………….6分综上所述20(020,),60(2030,).t t t P t t t +≤<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩N N ………………….7分（II ）依题意，有,y P Q =⋅得(20)(40)(020,),(60)(40)(2030,).t t t t y t t t t +-+≤<∈⎧=⎨-+-+≤≤∈⎩N N ………………….9分化简得2220800(020,),1002400(2030,).t t t t y t t t t ⎧-++≤<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩N N整理得 22(10)900(020,),(50)100(2030,).t t t y t t t ⎧--+≤<∈⎪=⎨--≤≤∈⎪⎩N N ………………….11分 ① 当020,t t ≤<∈N 时，由2(10)900y t =--+可得，当10t =时，y 有最大值900元. ………12分 ② 当2030,t t ≤≤∈N 时，由2(50)100y t =--可得，当20t =时，y 有最大值800元. …….13分 因为 900800>，所以在第10天时，日销售额最大，最大值为900元. ………………….14分21. (本小题满分15分）解：（I ）令0x y ==得(0)(0)(0)f f f =+，得(0)0f =. ………………….1分 令1,x y ==得(2)2(1)1f f ==-， ………………….2分令2,1x y ==得3(3)(2)(1).2f f f =+=- …………………3分(II)任取12,,x x ∈R 且12x x <，210x x ->， 因为()()()f x y f x f y +-=，即()()[()]()f x y f x f x y x f y +-=+-=，则2121()()()f x f x f x x -=-. …………………4分 由已知0x >时，()0f x <且210x x ->，则21()0f x x -<， 所以 21()()0f x f x -<，21()()f x f x <，所以 函数()f x 在R 上是减函数， ………………….6分 故 ()f x 在[8,10]-单调递减.所以max min ()(8),()(10)f x f f x f =-=，又3(10)2(5)2[(2)(3)]2(1)52f f f f ==+=--=-， ………………….7分 由(0)(11)(1)(1)0f f f f =-=+-=，得1(1)2f -=，1(8)2(4)4(2)8(1)842f f f f -=-=-=-=⨯=， 故max min ()4,()5f x f x ==-. ………………….9分 (III) 令,y x =-代入()()()f x y f x f y +=+， 得()()(0)0f x f x f +-==，所以()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数. ………………….10分2()()2()g x f x m f x =--2()2()f x m f x =-+-2()()()f x m f x f x =-+-+-2(2)f x x m =-- ………………….11分令()0g x =即2(2)00f x x m f --==（）， 因为 函数()f x 在R 上是减函数， ………………….12分 所以 220x x m --=，即22m x x =-， ………………….13分 所以 当()1,0m ∈- 时，函数()g x 最多有4个零点. ………………….15分【其它正确解法相应给分】。
昌平区2016高一试题
DCBA昌平区2016－2017学年第一学期高一年级期末质量抽测 数学试卷（150分，120分钟） 2017.1考生须知：1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)（1）若集合{}1,0,1Α=-，{0,1}B =，则下列结论正确的是 A ．B A ∈ B.A B ∈ C ．B A D.AB（2）在平行四边形ABCD 中，与向量AB相等的向量为A ．BA B. CD C. BC D. DC（3）下列函数中为偶函数的是A. sin y x =B. cos y x =C. 1y x=D. 2y x x =+ （4）已知角α的终边经过点(4,3-)，则sin α的值为A. 35-B. 34-C. 45-D. 45（5）函数()ln(23)f x x =-的定义域为A. 3(,)2+∞ B.3[,)2+∞ C. (2,)+∞ D.(0,)+∞ （6） 已知,a b 为单位向量，其夹角为60︒，则||+a b 的值为ABC ．2D ． 3 （7）已知函数l (o )6g 2x xf x =-,则()f x 的零点所在的区间是A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,)+∞（8）为了得到函数()sin(2)6f x x π=-的图象，只需把函数()sin 2f x x =的图象上所有的点A.向左平移π6个单位B.向左平移π12个单位C.向右平移π6个单位D.向右平移π12个单位（9）若函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象如图所示， 则下列函数图象正确的是A ．B ．C ． D.（10）对于实数a 和b ，定义运算""⊗：22, , a ab a ba b b ab a b⎧-≥⎪⊗=⎨-<⎪⎩.设函数()(21)(f x x x =+⊗+，且关于x 的方程()0 (R)f x k k -=∈恰有三个互不相等的实数根，则实数k 的取值范围是A. 1(,0)8-B. 1(0,)4C. 1[0,]4D. 1(0,](1,)4+∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（11） 设集合{1,3,4,6}M = ,{1,2,3,5}N =，则M ∩N 中元素的个数为_______.（12）已知 4sin ,5α=且α是第二象限角，则 cos α=________;tan()απ-=_______. （13） 若幂函数()f x 的图象过点1(2,)4，则f =____________．（14）已知函数2()1,f x x ax =-+ 若()f x 满足：对于任意的12(1,,]x x -∞-∈，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是____________.（15）如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD =2DC ， 若(,)AD AB AC λμλμ=+∈R，则λμ-= _____.（16）为了参加某项活动，某班把编号为1，2，3，…，9的9名参赛选手分成三组，要求每组选手的编号中，任意两个编号之差都不在．．这一组．已知第一组已有编号为1和5的选手，第二组已有编号为2的选手，第三组已有编号为3的选手，则编号为6的选手应该分在第___组；第三组的所有选手的编号是________________.三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) （17）（本小题满分14分）已知全集R U =，若集合{|37}A x x =<<，{|2B x x =<或4}x >.(I) 求,,A B A B I U U U AB I （）（）痧; （II ）若集合{|0},P x x a =-≥且P A A =I ，求实数a 的取值范围.（18）（本小题满分14分）在同一平面内，已知向量,b c 和点(2,3),(35)A B ,.(I)若||=c 且//ABc ，求向量c 的坐标;(II)若||=b ，且(3)AB +⊥ b b ，求向量AB 与b 的夹角.（19）（本小题满分14分） 已知函数()2sin()(0)3f x x ωωπ=+>的最小正周期为π. ACD（I ） 求函数()f x 的解析式;（II ） 请你用“五点法”画出函数()f x 在长度为一个周期的闭区间上的简图； (III ) 当[,]44x π3π∈时，写出函数()f x 的最值以及相应的x 的值.(20) （本小题满分14分）某出租车公司的计费标准为：乘车公里数x （公里）（不足1公里的，按1公里计算）与乘车费用()f x (元) 满足关系, 0<()(), C x A f x C B x A x A ≤ìïï=íï+->ïî.下列表格是小王乘坐此公司出租车的费用记录：(I) 写出C 的值； (II) 求()f x 的解析式；（III ）若小王乘车18公里，则乘车费用是多少元？21.（本小题满分14分）对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得sin[()]g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为正弦周期函数，且称T 为其正弦周期.已知()f x 是以T 为正弦周期的正弦周期函数，且在R 上单调递增，值域为R .(0)0f =，(T)2017f =π.(I) 验证()sin2xh x x =+是以4π为正弦周期的正弦周期函数； (II) 证明：对任意(0,2017c ∈π)，存在0(0,T)x ∈，使得0()f x c =； (III) 当[0,T]x ∈时，判定函数sin ()y f x =的零点的个数，并说明理由.。
2016-2017学年北京昌平临川育人学校高一上学期期末数学试卷(带解析)
绝密★启用前2016-2017学年北京昌平临川育人学校高一上学期期末数学试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．已知集合={1,2},B ={2,4}，则A ∪B =（ ）A. {2}B. {1,2,2,4}C. ∅D. {1,2,4}2．已知集合A ={1,3,5,7},B ={x |2≤x ≤5}，则A ∩B 等于 （ ）A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}3．已知函数f (x )=x 3−2x ，则f (3)=（ ）A. 1B. 19C. 21D. 354．函数f (x )= x +1的定义域为（ ）A. (5,+∞)B. [−1,5)∪(5,+∞)C. [−1,5)D. [−1,+∞) 5．函数f (x )=2x +3x 的零点所在的一个区间是（ ）A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)6．cos 3000= （ ）A. 32B. −12C. 12D. − 327．已知sin α=45，且α为第二象限角，那么tan α的值等于（ ）A. 43B. −34C. −43D. 34 8．cos 450cos 150−sin 450sin 150= （ ）A. − 32B. 32C. −12D. 12 9．已知tan α=2,t a n β=3，则tan (α+β)=（ ）A. 1B. -1C. 17D. −1710．为了得到函数y =cos (x +π3),x ∈R 的图象，只需把余弦曲线y =cos x 上的所有的点（ ）A. 向左平移π3个单位长度B. 向右平移π3个单位长度C. 向左平移13个单位长度 D. 向右平移13个单位长度11．函数f(x)=3sin(x2−π4),x∈R的最小正周期为（）A. π2B. πC. 2πD. 4π12．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y（米）与时间x（秒）满足关系式y=A sin(ωx+ϕ)+2，则有（）A. ω=5π12,A=5 B. ω=2π15,A=3 C. ω=5π12,A=3 D. ω=152π,A=5第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明2__________．14．(279)12+(lg 5)0+(2764)−13=__________． 15．已知tan θ=2，则5sin θ−cos θsin θ+cos θ=__________． 16．已知sin x −cos x =15，且x ∈(0,π2)，则sin x cos x =__________．三、解答题17．已知全集=，集M ={x |x −3≥0},N ={x |−1≤x <4}.（1）求集合M ∩N ,M ∪N ；（2）求集合C U N ,(C U N )∩M .18．已知函数f (x )=x 2−2x ，设g (x )=1x ·f (x +1). （1）求函数g (x )的表达式，并求函数g (x )的定义域； （2）判断函数g (x )的奇偶性，并证明.19．已知cos α=35,0<α<π，求（1）cos (α−π6)；（2）sin (2α+π3).20．已知角α的终边与单位圆交于点P (45,35).（1）求sin α,cos α,tan α的值；（2）求sin (π+α)+2sin (π2−α)2cos (π−α)的值.21．已知函数f (x )=2sin x cos x + 3cos 2x +2.（1）求f (x )的单调递增区间；（2）求函数f (x )在区间[−π3,π3]上的最小值和最大值.22．已知函数f (x )= 3sin (ωx +φ)−cos (ωx +φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数，且函数y =f (x )的图象的两个相邻对称轴间的距离为π2.（1）求f (π8)的值；（2）将函数y =f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y =g (x )的图象，求y =g (x )的单调递减区间.参考答案1．D【解析】因为A ={1,2},B ={2,4}，由集合的运算性质可得A ∪B ={1,2,4}，故选D.2．B【解析】因为A ={1,3,5,7},B ={x |2≤x ≤5}，由集合的运算性质可得A ∩B ={3,5}，故选B.3．B【解析】因为f (x )=x 3−2x ，将3代入可得f (3)=33−23=27−8=19，故选B.4．D【解析】要使函数有意义须满足 x +1≥0，即x ≥−1，则定义域为[−1,+∞)，故选D.5．B【解析】由函数f (x )=2x +3x 可知函数f (x )在R 上单调递增，又f (−1)=12−3<0，f (0)=1>0，∴f (−1)f (3)<0，可知：函数f (x )的零点所在的区间是(−1,0)，故选B.6．C【解析】cos 300°=cos (360°−60°)=cos 60°=12，故选C.7．C【解析】∵sin α=45且α是第二象限的角， ∴cos α=−35，∴tan α=−43，故选C. 8．D【解析】由两角和的余弦公式可得cos 45∘cos 15∘−sin 45∘sin 15∘=cos 60∘=12，故选D.9．B【解析】tan (α+β)=tan α+tan β1−tan α⋅tan β=2+31−2×3=−1，故选B.10．A【解析】把余弦曲线y =cos x 上的所有的点向左平移π3个单位长度，可得函数y =cos (x +π3)的图象，故选A.11．D【解析】函数f (x )= 3sin (x 2−π4)，∵ω=12，∴T =4π，故选D. 12．C【解析】∵水轮的半径为3，水轮圆心O 距离水面2米，A =3，又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，∴T =15=2πω，∴ω=2π15，故选C.点睛：本题以实际问题为载体，考查三角函数模型的构建，考查学生分析、解决问题的能力，解题的关键是构建三角函数式，利用待定系数法求解；先根据y 的最大和最小值求得A ，利用周期求得ω=2πT .13．[4,+∞)【解析】 要使函数y = log 2x −2有意义，须满足{x >0log 2x −2≥0，解得x ≥4，则函数的定义域为[4,+∞)，故答案为[4,+∞).点睛：本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合，是基础的计算题；大致分为以下几种情形：1、分式函数分母不为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、正切函数y =tan x 需满足x ≠π2+k π,k ∈Z ；6、在实际应用中需满足实际情况等.在该题中考查了2、3两种.14．4【解析】(279)12+(lg 5)0+(2764)−13=53+1+43=4，故答案为4. 15．3【解析】分子分母同除以cos θ得：5sin θ−cos θsin θ+cos θ=5tan θ−1tan θ+1=5×2−12+1=3，故答案为3.点睛：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键.当分式的分子、分母均为关于sin θ,cos θ的“一次”齐次式时，原式分子、分母同除以cos θ，利用同角三角函数间基本关系化简，将tan θ的值代入计算即可求出值.当分子、分母均为关于sin θ,cos θ的“二次”齐次式时，则需同时除以cos 2θ.16．1225【解析】∵x ∈(0,π2)，sin x −cos x =15，两边同时平方可得1−2sin x cos x =125， ∴sin x cos x =1225，故答案为1225. 17．（1）M ∩N ={x |3≤x <4},M ∪N ={x |x ≥−1}（2）C U N ={x |x ≥4,或x <−1},C U N ∩M ={x |x ≥4}【解析】试题分析：（1）直接根据集合交集和并集的定义可得结果；（2）根据补集的定义先求出∁U N ，再求(∁U N )∩M .试题解析：（1）由题意得M ∩N ={x |3≤x <4},M ∪N ={x |x ≥−1}.（2）因为∁U N ={x |x ≥4,或x <−1}，所以(∁U N )∩M ={x |x ≥4}．18．（1）g (x )=x 2−1x ，定义域为{x |x ∈R ,且x ≠0}；（2）奇函数．【解析】 试题分析：（1）把x +1代入f (x )中，即可求得f (x +1)解析式，再代入g (x )=1x ·f (x +1)中即可求得函数g (x )的表达式，根据分母不为零，求得函数g (x )的定义域；（2）求出g (−x )，并判断与g (x )是否相等或互为相反数，即可求得函数的奇偶性.试题解析：（1）由f (x )=x 2−2x ，得f (x +1)=x 2−1，所以，g (x )=1x ·f (x +1)=x 2−1x ，定义域为{x |x ∈R ,且x ≠0}；（2）结论：函数g (x )为奇函数．证明：由（1）知，g (x )的定义域为{x |x ≠0}关于原点对称，并且，g (−x )=(−x )2−1−x =−g (x )，所以，函数g (x )为奇函数．点睛：本题考查代入法求函数的解析式，以及函数的奇偶性的判定，注意函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提，属中档题；常见的求解析式的方法有1、代入法；2、换元法；3、待定系数法；4、构造方程组法；5、配凑法等；该题中主要利用代入法.判断函数的奇偶性主要是通过g (−x )和g (x )是否相等或互为相反数即可.19．（1）3 3+410（2）24−7 350【解析】试题分析：（1）由三角恒等式求出sin α=45，由两角差的余弦公式可求得cos (α−π6)；（2）利用二倍角公式求出sin 2α，cos 2α的值，再由两角和的正弦可求得结果.试题解析：（1）由cos α=35,0<α<π，得sin α=45， 所以cos (α−π6)=cos αcos π6+sin αsin π6=35×32+45×12=3 3+410；（2）由cos α=35,0<α<π，得sin α=45， 所以sin 2α=2sin αcos α=2×45×35=2425，cos 2α=2cos 2α−1=2×(35)2−1=−725，所以sin (2α+π3)=sin 2αcos π3+cos 2αsin π3=2425×12+(−725)×32=24−7 350． 20．（1）sin α=35;cos α=45;tan α=34（2）−58【解析】试题分析：（1）根据已知角α的终边与单位圆交于点P (45,35)，结合三角函数的定义即可得到sin α、cos α、tan α的值；（2）依据三角函数的诱导公式化简即可，sin (π+α)+2sin (π2−α)2cos (π−α)=−sin α+2cos α−2cos α，最后利用第（1）小问的结论得出答案.试题解析：（1）已知角α的终边与单位圆交于点P (45,35)， sin α=35;cos α=45;tan α=34. （2）sin (π+α)+2sin (π2−α)2cos (π−α)=−sin α+2cos α−2cos α=−35+85−85=−58. 点睛：本题考查任意角的三角函数的定义，即当角α的终边与单位圆的交点为(μ,ν)时，则sin α=ν，cos α=μ，tan α=νμ，运用诱导公式化简求值，在化简过程中必须注意函数名是否改变以及符号是否改变等．本题是基础题，解答的关键是熟悉任意角的三角函数的定义，单位圆的知识.21．（1）[−5π12+k π,π12+k π](k ∈Z )（2）f (x )max =4,f (x )min =2− 3【解析】试题分析：（1）利用倍角公式以及两角和的正弦对函数解析式进行化简，再由正弦函数的单调增区间，求出函数的递增区间；（2）由x ∈[−π3,π3]，求出2x +π3的范围，进而求出正弦函数值的范围.试题解析：（1）f (x )=2sin x cos x + 3cos 2x +2=sin 2x + 3cos 2x +2=2sin (2x +π3)+2， 设z =2x +π3，则y =sin z +2的单调递增区间为[−π2+2k π,π2+2k π](k ∈Z )，由−π2+2k π≤2x +π3≤π2+2k π(k ∈Z )，得−5π12+k π≤x ≤π12+k π(k ∈Z ).所以，函数f (x )的单调递增区间为[−5π12+k π,π12+k π](k ∈Z )； （2）由（1）f (x )=2sin (2x +π3)+2，∵x ∈[−π3,π3]，∴2x +π3∈[−π3,π]；∴sin (2x +π3)∈[− 32,1]，∴f (x )∈[2− 3,4],∴f (x )max =4,f (x )min =2− 3.点睛：本题主要考查三角函数的周期性、三角函数的图象变换及最值，属于难题.三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过和、差、倍角公式把函数化为y = a +b sin (ωx +φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.22．（1） 2（2）[2π3+4k π,8π3+4k π](k ∈z )【解析】试题分析：（1）先用两角和公式对函数f (x )的表达式化简得f (x )=2sin (ωx +φ−π6)，利用偶函数的性质即f (x )=f (−x )求得ω，进而求出f (x )的表达式，把x =π8代入即可；（2）根据三角函数图象的变化可得函数g (x )的解析式，再根据余弦函数的单调性求得函数g (x )的单调区间.试题解析：（1）f (x )= 3sin (ωx +φ)−cos (ωx +φ)=2[ 32sin (ωx +φ)−12cos (ωx +φ)]=2sin (ωx +φ−π6)，因为f (x )为偶函数，所以对于x ∈R ,f (−x )=f (x )恒成立，即sin (−ωx +φ−π6)=sin (ωx +φ−π6)， 整理得sin ωx co s (φ−π6)=0，因为ω>0，且x ∈R ，所以cos (φ−π6)=0， 又0<φ<π，故φ−π6=π2，所以f (x )=2sin (ωx +π2)=2cos ωx ， 由题意知，2πω=2×π2，所以ω=2，故f (x )=2cos 2x ，因此，f (π8)=2cos π4= 2. （2）由题意知g (x )=2cos (x 2−π3)，由2k π≤x 2−π3≤π+2k π(k ∈Z )，得2π3+4k π≤x ≤8π3+4k π(k ∈Z )，因此g (x )的单调递减区间为[2π3+4k π,8π3+4k π](k ∈Z ).点睛：本题主要考查了三角函数的恒等变换和三角函数图象的应用以及函数y =A sin (ωx +ϕ)的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题，当涉及周期、单调性、单调区间以及最值等都属于三角函数的性质时，首先都应把它化为三角函数的基本形式即y =A sin (ωx +ϕ)的形式，然后利用三角函数y =A sin u 的性质求解.。
北京市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
北京市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7}，则∁U A=（）A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9}2．（5分）sin240°=（）A．﹣B．﹣C．D．3．（5分）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，0），B（2，2），C（0，c），若⊥，那么c的值（）A．﹣1 B．3 C．﹣3 D．44．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，1）上单调递减的函数为（）A．y=B．y=lnx C．y=cosx D．y=x25．（5分）函数y=2sin（2x+）的一个对称中心（）A．（，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（﹣，0）6．（5分）函数y=log a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，﹣1），函数y=b x（b＞0且b≠1）的图象经过点（1，2），则下列关系式中正确的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．D．7．（5分）如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD的中点，则当P沿着路径A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数关系为y=f（x），则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=+，在下列结论中：①π是f（x）的一个周期；②f（x）的图象关于直线x=对称；③f（x）在（﹣，0）上单调递减．正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）如果向量=（4，﹣2），=（x，1），且，共线，那么实数x=．10．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=．11．（5分）sin15°sin75°的值是．12．（5分）已知函数f（x）=且f（m）=，则m的值为．13．（5分）已知△ABC是正三角形，若与向量的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是．14．（5分）给出定义：若m﹣＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x﹣{x}的四个判断：①y=f（x）的定义域是R，值域是（﹣，]；②点（k，0）是y=f（x）的图象的对称中心，其中k∈Z；③函数y=f（x）的最小正周期为1；④函数y=f（x）在（，]上是增函数．则上述判断中正确的序号是．（填上所有正确的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=﹣1+log2（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求f（5）的值；（Ⅲ）求函数f（x）的零点．16．（14分）已知sinθ=﹣．其中θ是第三象限角．（Ⅰ）求cosθ，tanθ的值；（Ⅱ）求tan（θ﹣）的值；（Ⅲ）求sin（θ+）﹣2sin（π+θ）+cos2θ的值．17．（13分）已知向量=（cosθ，sinθ），=（sinθ，0），其中θ∈R．（Ⅰ）当θ=时，求•的值；（Ⅱ）当θ∈ [0，]时，求（+）2的最大值．18．（14分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向右平移个单位后得到新函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式；（Ⅲ）求函数2f（x）﹣g（x）的单调增区间．19．（13分）设二次函数f（x）=ax2+bx+ca≠0，x∈R满足条件：①x≤f（x）≤（1+x2），②f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）；③f（x）在R上的最小值为0．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，都有f（x+t）≤x成立．20．（13分）若函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），则称函数f（x）具有性质P．（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由．①y=a x（a＞1）；②y=x3．（Ⅱ）若函数f（x）具有性质P，且f（0）=f（n）=0（n＞2，n∈N*），求证：对任意i∈{1，2，3，…，n﹣1}有f（i）≤0；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0．若成立给出证明，若不成立给出反例．北京市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7}，则∁U A=（）A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9}考点：补集及其运算．分析：从U中去掉A中的元素就可．解答：解：从全集U中，去掉1，5，7，剩下的元素构成C U A．故选D．点评：集合补集就是从全集中去掉集合本身含有的元素后所构成的集合．2．（5分）sin240°=（）A．﹣B．﹣C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用诱导公式即可化简求值．解答：解：sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣．故选：A．点评：本题主要考察了运用诱导公式化简求值，属于基础题．3．（5分）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，0），B（2，2），C（0，c），若⊥，那么c的值是（）A．﹣1 B．3 C．﹣3 D．4考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先求出，根据，便有，进行数量积的运算即可求出c．解答：解：；∵；∴；∴c=4．故选D．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，1）上单调递减的函数为（）A．y=B．y=lnx C．y=cosx D．y=x2考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数单调性和奇偶性的性质分别进行判断即可．解答：解：首先y=cosx是偶函数，且在（0，π）上单减，而（0，1）⊂（0，π），故y=cosx满足条件．故选C．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．5．（5分）函数y=2sin（2x+）的一个对称中心（）A．（，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（﹣，0）考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：令2x+=kπ，k∈Z，可解得：x=，k∈Z，即可得k=0时，由（﹣，0）是函数y=2sin （2x+）的一个对称中心．解答：解：∵y=2sin（2x+）∴令2x+=kπ，k∈Z，可解得：x=，k∈Z，∴k=0时，由（﹣，0）是函数y=2sin（2x+）的一个对称中心．故选：B．点评：本题主要考查了正弦函数的图象与性质，属于基础题．6．（5分）函数y=log a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，﹣1），函数y=b x（b＞0且b≠1）的图象经过点（1，2），则下列关系式中正确的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．D．考点：对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由已知条件，把点的坐标代入对应的函数解析式，求出a=、b=2，从而可得结论．解答：解：∵函数y=log a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，﹣1），∴log a 2=﹣1，∴a=．由于函数y=b x（b＞0且b≠1）的图象经过点（1，2），故有b1=2，即 b=2．故有 b＞a＞0，∴，故选C．点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，指数函数的单调性和特殊点，求出a=、b=2，是解题的关键，属于中档题．7．（5分）如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD的中点，则当P沿着路径A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数关系为y=f（x），则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：本题是一个分段函数，分点P在AB，BC和CM上得到三个一次函数，然后由一次函数的图象与性质确定选项．解答：解：①当点P在AB上时，如图：y=×x×1=（0≤x≤1）．②当点P在BC上时，如图：∵PB=x﹣1，PC=2﹣x，∴y=S正方形ABCD﹣S△ADM﹣S△ABP﹣S△PCM=1﹣×﹣（x﹣1）﹣××（2﹣x）=﹣ x+，∴y=﹣ x+（1＜x≤2）③当点P在CM上时，如图，∵MP=2.5﹣x，∴y=（2.5﹣x）=﹣x+．（2＜x≤2.5）综上①②③，得到的三个函数都是一次函数，由一次函数的图象与性质可以确定y与x的图形．只有A的图象是三个一次函数，且在第二段上y随x的增大而减小，故选：A．点评：本题考查的是动点问题的函数图象，分别考虑点O在AB，BC和CM上，由三角形的面积公式得到函数的解析式．8．（5分）已知函数f（x）=+，在下列结论中：①π是f（x）的一个周期；②f（x）的图象关于直线x=对称；③f（x）在（﹣，0）上单调递减．正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：变形可得f（x+π）≠f（x），可判①错误；可得f（﹣x）=f（x），可判②正确；换元t=sinx+cosx，可得y=，求导数可判单调性．解答：解：∵f（x）=+，∴f（x+π）=+=≠f（x），∴π不是f（x）的周期，故①错误；∵f（﹣x）=+==f（x），∴f（x）的图象关于直线x=对称，故②正确；设t=sinx+cosx，则sinxcosx=，∴y=+==，当x∈（﹣，0）时，t=sinx+cosx=sin（x+）∈（﹣1，1），求导数可得y′==＜0，∴函数单调递减，故③正确．故选：C点评：本题考查三角函数的性质，涉及周期性和对称性，以及导数法判函数的单调性，属中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）如果向量=（4，﹣2），=（x，1），且，共线，那么实数x=﹣2．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出．解答：解：∵，∴﹣2x﹣4=0，解得x=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了向量共线定理，属于基础题．10．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（1，3）．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即B=（﹣1，3），∵A=（1，+∞），则A∩B=（1，3），故答案为：（1，3）点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．11．（5分）sin15°sin75°的值是．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：注意角之间的关系，先将原式化成sin15°cos15°，再反用二倍角求解即得．解答：解：∵sin15°sin75°=sin15°cos15°=sin30°=．∴sin15°sin75°的值是．故填：．点评：本题主要考查三角函数中二倍角公式，求三角函数的值，通常借助于三角恒等变换，有时须逆向使用二倍角公式．12．（5分）已知函数f（x）=且f（m）=，则m的值为．考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：讨论m2+1=与2m=；从而解得．解答：解：若m2+1=；则m=或m=﹣（舍去）；若2m=；则m＞0（舍去）；故答案为；．点评：本题考查了分段函数的应用，属于基础题．13．（5分）已知△ABC是正三角形，若与向量的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是（2，+∞）．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由于与向量的夹角大于90°，可得0，利用数量积运算和正三角形的性质即可得出．解答：解：∵△ABC是正三角形，∴=．∵与向量的夹角大于90°，∴==＜0，解得λ＞2．∴实数λ的取值范围是λ＞2．故答案为（2，+∞）．点评：本题考查了数量积运算和正三角形的性质等基础知识与基本方法，属于基础题．14．（5分）给出定义：若m﹣＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x﹣{x}的四个判断：①y=f（x）的定义域是R，值域是（﹣，]；②点（k，0）是y=f（x）的图象的对称中心，其中k∈Z；③函数y=f（x）的最小正周期为1；④函数y=f（x）在（，]上是增函数．则上述判断中正确的序号是①③④．（填上所有正确的序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据让函数解析式有意义的原则确定函数的定义域，然后根据解析式易用分析法求出函数的值域；根据f（2k﹣x）与f（x）的关系，可以判断函数y=f（x）的图象是否关于点（k，0）（k∈Z）对称；再判断f（x+1）=f（x）是否成立，可以判断③的正误；而由①的结论，易判断函数y=f（x）在（，]上的单调性，但要说明④成立．解答：解：①中，令x=m+a，a∈（﹣，]∴f（x）=x﹣{x}=a∈（﹣，]所以①正确；②中∵f（2k﹣x）=（2k﹣x）﹣{2k﹣x}=（﹣x）﹣{﹣x}=f（﹣x）∴点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；故②错；③中，∵f（x+1）=（x+1）﹣{x+1}=x﹣{x}=f（x）所以周期为1，故③正确；④中，令x∈（，]，m=1，则a∈（﹣，]，f（x）=a，由区间（，]上，随x的增大而增大，故f（x）在区间（，]上为增函数，所以④正确．故答案为：①③④点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数f（x）=x﹣{x}的性质，难度中档．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=﹣1+log2（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求f（5）的值；（Ⅲ）求函数f（x）的零点．考点：对数函数的图像与性质；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：（I）根据对数函数的性质：真数大于0，得到不等式，解出即可；（II）将x=5代入函数的表达式，求出即可；（III）令f（x）=0，解方程求出即可．解答：解：（I）由题意得：x﹣1＞0，∴x＞1；∴函数f（x）的定义域{x|x＞1}．（II）f（5）=﹣1+log2（5﹣1）=﹣1+2=1．（III）令f（x）=﹣1+log2（x﹣1）=0，∴log2（x﹣1）=1，∴x﹣1=2，∴x=3，∴函数f（x）的零点为3．点评：本题考查了对数函数的性质，考查了函数的零点问题，是一道基础题．16．（14分）已知sinθ=﹣．其中θ是第三象限角．（Ⅰ）求cosθ，tanθ的值；（Ⅱ）求tan（θ﹣）的值；（Ⅲ）求sin（θ+）﹣2sin（π+θ）+cos2θ的值．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由同角三角函数基本关系先求cosθ，即可求tanθ的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）及两角和与差的正切函数公式即可求值；（ III）由诱导公式及倍角公式展开代入即可求值．解答：（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵且θ是第三象限角，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（ III）=cosθ+2sinθ+2cos2θ﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的正切函数公式的应用，属于基础题．17．（13分）已知向量=（cosθ，sinθ），=（sinθ，0），其中θ∈R．（Ⅰ）当θ=时，求•的值；（Ⅱ）当θ∈[0，]时，求（+）2的最大值．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；三角函数的求值；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）运用向量的数量积的坐标表示和特殊角的三角函数值，即可计算得到；（Ⅱ）运用向量的数量积的坐标表示和性质，结合二倍角公式和两角差的正弦公式，由正弦函数的图象和性质，即可得到最大值．解答：解：（Ⅰ）当时，，∴；（Ⅱ）由题意得：===2cosθ•sinθ+2sin2θ+1=sin2θ+2﹣cos2θ=，∵，∴．∴当即时，取得最大值，且为．点评：本题考查平面向量的数量积的坐标运算和性质，考查二倍角公式和两角差的正弦公式的运用，考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．18．（14分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向右平移个单位后得到新函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式；（Ⅲ）求函数2f（x）﹣g（x）的单调增区间．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由所给图象知A=1，可求T的值，可得ω的值，由sin（2×+φ）=1，|φ|＜可得φ的值，从而可求解析式．（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可求解析式．（Ⅲ）先求2f（x）﹣g（x）的解析式，从而可求单调递增区间．解答：（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由所给图象知A=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）T=﹣=，T=π，所以ω==2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由sin（2×+φ）=1，|φ|＜得+φ=，解得φ=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以f（x）=sin（2x+）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为g（x）=sin[2（x﹣）+]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）=sin（2x﹣）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）由题：2f（x）﹣g（x）====．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分），∴函数f（x）的增区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．19．（13分）设二次函数f（x）=ax2+bx+ca≠0，x∈R满足条件：①x≤f（x）≤（1+x2），②f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）；③f（x）在R上的最小值为0．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，都有f（x+t）≤x成立．考点：二次函数的性质；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据①1≤f（1）≤1，所以得到f（1）=1；（Ⅱ）由f（1）=1，a+b+c=1；由②知f（x）的对称轴为x=﹣1，所以﹣=﹣1，b=2a；由③知f（﹣1）=a﹣b+c=0．所以解，即得a=c=，b=，这便可求出f（x）；（Ⅲ）根据题设，所以由（1）可得到﹣4≤t≤0，由（2）可得．而容易得到在[﹣4，0]的最大值是t=﹣4时的值9，所以便得到m≤9，所以m的最大值为9．解答：解：（Ⅰ）∵在R上恒成立；∴1≤f（1）≤1；即f（1）=1；（II）∵f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），∴函数图象关于直线x=﹣1对称；∴，b=2a；∵f（1）=1，∴a+b+c=1；又∵f（x）在R上的最小值为0，∴f（﹣1）=0，即a﹣b+c=0；由，解得；∴；（III）∵当x∈[1，m]时，f（x+t）≤x恒成立；∴f（1+t）≤1，且f（m+t）≤m；由f（1+t）≤1得，t2+4t≤0，解得﹣4≤t≤0；由f（m+t）≤m得，m2+2（t﹣1）m+t2+2t+1≤0；解得；∵﹣4≤t≤0，∴=9；当t=﹣4时，对于任意x∈[1，9]，恒有=；∴m的最大值为9．点评：考查已知函数求函数值，由f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）知道f（x）的对称轴为x=﹣1，二次函数的对称轴，二次函数在R上的最值，以及解一元二次不等式．20．（13分）若函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），则称函数f（x）具有性质P．（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由．①y=a x（a＞1）；②y=x3．（Ⅱ）若函数f（x）具有性质P，且f（0）=f（n）=0（n＞2，n∈N*），求证：对任意i∈{1，2，3，…，n﹣1}有f（i）≤0；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0．若成立给出证明，若不成立给出反例．考点：抽象函数及其应用．专题：证明题；综合题；压轴题；新定义；探究型；转化思想；分析法．分析：（I）①根据已知中函数的解析式，结合指数的运算性质，计算出f（x﹣1）+f（x+1）﹣2f（x）的表达式，进而根据基本不等式，判断其符号即可得到结论；②由y=x3，举出当x=﹣1时，不满足f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），即可得到结论；（II）由于本题是任意性的证明，从下面证明比较困难，故可以采用反证法进行证明，即假设f（i）为f （1），f（2），…，f（n﹣1）中第一个大于0的值，由此推理得到矛盾，进而假设不成立，原命题为真；（III）由（II）中的结论，我们可以举出反例，如证明对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0不成立．解答：证明：（Ⅰ）①函数f（x）=a x（a＞1）具有性质P．…（1分），因为a＞1，，…（3分）即f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），此函数为具有性质P．②函数f（x）=x3不具有性质P．…（4分）例如，当x=﹣1时，f（x﹣1）+f（x+1）=f（﹣2）+f（0）=﹣8，2f（x）=﹣2，…（5分）所以，f（﹣2）+f（0）＜f（﹣1），此函数不具有性质P．（Ⅱ）假设f（i）为f（1），f（2），…，f（n﹣1）中第一个大于0的值，…（6分）则f（i）﹣f（i﹣1）＞0，因为函数f（x）具有性质P，所以，对于任意n∈N*，均有f（n+1）﹣f（n）≥f（n）﹣f（n﹣1），所以f（n）﹣f（n﹣1）≥f（n﹣1）﹣f（n﹣2）≥…≥f（i）﹣f（i﹣1）＞0，所以f（n）=[f（n）﹣f（n﹣1）]+…+[f（i+1）﹣f（i）]+f（i）＞0，与f（n）=0矛盾，所以，对任意的i∈{1，2，3，…，n﹣1}有f（i）≤0．…（9分）（Ⅲ）不成立．例如…（10分）证明：当x为有理数时，x﹣1，x+1均为有理数，f（x﹣1）+f（x+1）﹣2f（x）=（x﹣1）2+（x+1）2﹣2x2﹣n（x﹣1+x+1﹣2x）=2，当x为无理数时，x﹣1，x+1均为无理数，f（x﹣1）+f（x+1）﹣2f（x）=（x﹣1）2+（x+1）2﹣2x2=2所以，函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），即函数f（x）具有性质P．…（12分）而当x∈[0，n]（n＞2）且当x为无理数时，f（x）＞0．所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0”不成立．…（13分）（其他反例仿此给分．如，，，等．）点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，指数函数和幂函数的性质，反证法，其中在证明全称命题为假命题时，举出反例是最有效，快捷，准确的方法．。
北京市昌平区2016-2017学年第一学期高三年级期末质量抽测数学理试题(含答案)word版
昌平区2016－2017学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔．3.修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1．已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5或x>5}，M N等于A．{x|-5<x<5}B．{x|x<-5或x>-3}C．{x|-3<x≤5}D．{x|x<-3或x>5}2.已知两条直线l:x+y-1=0，l:3x+ay+2=0且l⊥l，则a=1212A.-11B．C．-3D．3 333．设a=0.32,b=20.3,c=log0.34，则A.c<a<b B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a2 4.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．12 C．6B．8D．42主视图左视图2俯视图6. 已知 α 、 β 是两个不同平面， m 、 n 是两条不同直线，下列命题中假命题是5．从甲、乙等 6 名同学中挑选 3 人参加某公益活动，要求甲、乙至少有 1 人参加，不同的 挑选方法共有 A ．16 种 B ．20 种 C ． 24 种 D ．120 种．．．A ．若 m ∥ n , m ⊥ α , 则 n ⊥ αB ．若 m ∥ α , α β = n , 则 m ∥ nC ．若 m ⊥ α , m ⊥ β , 则 α ∥ βD ．若 m ⊥ α , m ⊂ β , 则 α ⊥β7. 某类产品按工艺共分 10 个档次，最低档次产品每件利润为 8 元.每提高一个档次，每件利润增加 2 元. 用同样工时，可以生产最低档产品 60 件，每提高一个档次将少生产 3 件产品.则获得利润最大时生产产品的档次是 A ．第 7 档次 B ．第 8 档次C ．第 9 档次D ．第 10 档次8. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (2) = 1， f '( x ) f '( x )为 f ( x ) 的导函数.已知 y = f '( x ) 的图象如图所示,若两b - 1个正数 a , b 满足 f (2a + b ) > 1 ，则 的取值范围是a - 21 1A ．( - ,1 )B ． (-∞ , - ) (1, + ∞)88C ． (-8 ,1 )D ． (-∞ , - 8 ) (1 , + ∞)第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）．o x9.已知函数 y = sin ωx cos ωx 的最小正周期是π2，那么正数 ω = .10. 已知向量 a = (1,2) ， b = (k ,1) ， 若向量 a //b ，那么 k =.( )211.已知过点 -2, 3 的直线 l 与圆 C ：x 2 + y 2 + 4 x = 0 相交的弦长为 2 3 ，则圆 C 的圆心坐标是___________ , 直线 l 的斜率为.开始12. 某程序框图如图所示，则输出的 S =.S =1, k =1k = k +1S =2S + k否k ＞3是输出 S结束13. 已知 ( x - m ) 7 = a + a x + a x 2 + + a x 7 的展开式中 x 4 的系数是 - 35 ，则0 1 2 7m =； a + a + a + + a =.1 23714. 设函数 f ( x ) 的定义域为 R ，若存在与 x 无关的正常数 M ，使 | f ( x ) |≤ M | x | 对一切实 数 x 均 成 立 ， 则 称 f ( x ) 为 有 界 泛 函 . 在 函 数 ① f ( x ) = -5x ， ② f ( x ) = x 2 ， ③1f ( x ) = si nx ，④ f ( x ) = ( ) x ，⑤ f ( x ) = x cos x 中，属于有界泛函的有 __________(填 2上所有正确的序号) .三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．（本小题满分 13 分） 在 ∆ABC 中， 1cos 2 A = cos 2 A - cos A ． 2（I ）求角 A 的大小；（II）若a=3，sin B=2sin C，求S∆ABC．16．(每小题满分13分)某人进行射击训练，击中目标的概率是45，且各次射击的结果互不影响.（Ⅰ）假设该人射击5次，求恰有2次击中目标的概率；（Ⅱ）假设该人每射击5发子弹为一组，一旦命中就停止，并进入下一组练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，求：①在完成连续两组练习后，恰好共使用了4发子弹的概率；②一组练习中所使用子弹数ξ的分布列，并求ξ的期望.17.（本小题满分14分）如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，P A⊥底面ABCD，垂足为点A，PA=AB=1,点M，N分别是PD，PB的中点．（I）求证:PB//平面ACM；P（II）求证:MN⊥平面PAC；M（III）若PF=2FC,求平面FMN与平面ABCD所成二面角NF的余弦值.A DB C18．（本小题满分13分）已知数列{a}是等差数列,a=10,a=22，数列{b}的前n项和是T，且n36n n3 n1T + b = 1 .n（I ）求数列{a } 的通项公式；n（II ）求证：数列{b } 是等比数列；n（III ）记 c = a ⋅ b ，求证： cn n nn +1< c .n19．（本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x ) = ( x 2- x - 1 )e ax（ a > 0 ）.a（I ）当 a = 1 时，求函数 f ( x ) 的单调区间；（II ）若不等式 f ( x ) + 5≥ 0 对 x ∈ R 恒成立,求 a 的取值范围.a20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) 是奇函数，函数 g ( x ) 与 f ( x ) 的图象关于直线 x = 1 对称，当 x > 2 时，g ( x ) = a ( x - 2) - ( x - 2)3 ( a 为常数).（I ）求 f ( x ) 的解析式；（II ）已知当 x = 1 时， f ( x ) 取得极值，求证：对任意x , x ∈ (-1,1),| f ( x ) - f ( x ) |< 4 恒 1 212成立；（III ）若 f ( x ) 是 [1,+∞) 上的单调函数，且当 x ≥ 1, f ( x ) ≥ 1时，有 f ( f ( x )) = x ，0 0求证： f ( x ) = x .解：（I ）由已知得： (2 cos 2 A - 1) = cos 2 A - cos A ，……2 分= S = 15 5昌平区 2016－2017 学年第一学期高三年级期末质量抽测数学(理科)试卷参考答案及评分标准一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．)题号1 2 3 4 5 6 7 8答案BCADABCD二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．)9．210.1 211.（-2，0）； ± 212. 2613． 1 ; 114. ①③⑤三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分)15.（本小题满分 13 分）1 2∴ cos A = 1.……4 分20 < A < π ，∴ A = π3. …………6 分b csin B b（II ）由可得：= = 2 ………7 分 sin B sin C sin C c∴ b = 2c…………8 分cos A = b 2 + c 2 - a 2 4c 2 + c 2 - 9 1= = ………10 分2bc 4c 2 2解得： c = 3 ,b = 2 3………11 分1 3 3 3 bc sin A = ⨯23 ⨯ 3 ⨯=.……13 分222216.（本小题满分 13 分） 解：（I ）设射击 5 次，恰有 2 次击中目标的事件为 A .4 4 P ( A ) = C 2 ⋅ ( ) 2 ⋅ (1 - ) 3 =5 32625……4 分别（Ⅱ）①完成两组练习后，恰好共耗用 4 发子弹的事件为 B ,则P ( B ) = 0.8 ⋅ (1 - 0.8) 2 ⋅ 0.8 + (1 - 0.8) ⋅ 0.8(1 - 0.8) ⋅ 0.8 + (1 - 0.8) 2 ⋅ 0.8 ⋅ 08 = 0.0768 .……8 分② ξ 可能取值为 1，2，3，4，5.…… 9 分P (ξ = 1) = 0.8 ;P (ζ = 2) = (1 - 0.8) ⋅ 0.8 = 0.16P (ζ = 3) = (1 - 0.8) 2 ⋅ 0.8 = 0.032P (ζ = 4) = (1 - 0.8) 3 ⋅ 0.8 = 0.0064P (ζ = 5) = (1 - 0.8) 4 ⋅ 0.8 = 0.0016 ……11 分ζP10.8 20.16 30.032 40.0064 50.0016∴ E ζ = 1.2496 .……13 分17（本小题满分 14 分） 证 明 ：（ I ） 连 接AC , BD , AM , MC , MO , MN , 且AC BD = O 点O , M 分∴ MO // PB , PB ⊄ 平面ACMPPD , BD的 是∴ PB // 平面ACM .…… 4 分(II) P A ⊥ 平面ABCDM∴ PA ⊥ BD底面ABCD 是正方形 ，NBD ⊂ 平面ABCDAD∴ AC ⊥ BDO又BP A ⋂ AC = A∴ BD ⊥ 平面PAC …… 7 分C在 ∆PBD 中，点 M ， N 分别是 PD ， PB 的中点．z∴ MN // BDPMNAFDyBCx⎧ x y ⎪⎪ 2 2 ⎧ y = x 可得： ⎨ 解得： ⎨ 令 x = 1, 可得 n = (1,1,5) …… 13 分 x 2 y z z = 5x ⎪ + - = 0 解：（1）由已知 ⎨ 3 1 4 3 n -13 n -1 3 n4 n -1b 4 4∴ MN ⊥ 平面PAC .…… 9 分（III ）P A ⊥ 平面ABCD ， 底面ABCD 是正方形以 A 为原点，建立空间直角坐标系由 PF = 2FC可得1 1 1 12 2 1A (0,0,0), M (0, , ), N ( ,0, ), F ( , , )2 2 2 23 3 3设平面 MNF 的法向量为 n = ( x , y , z )平面 ABCD 的法向量为 AP = (0,0,1)1 1 12 1NM = (- , ,0), NF = ( , ,- )…… 11 分2 2 63 6- + = 0⎩ ⎪⎩ 6 3 6cos < AP , n >= 527=5 2727……14 分18．（本小题满分 13 分）⎧a + 2d = 10, 1⎩a 1 + 5d = 22.解得 a = 2, d = 4.1∴ a = 2 + (n - 1) ⨯ 4 = 4n - 2. ………………4 分n（2）由于 T = 1 - n 1b ， ①3 n1 3 1令 n =1，得 b = 1 - b . 解得 b = ，当 n ≥ 2 时， T = 1 - b 1 1 n -1 1 1 1① －②得 b = b - b ， ∴ b = b n n②又 b = 1 3 1≠ 0 , ∴ n = .4 b 4n -13 1∴数列 {b } 是以 为首项， 为公比的等比数列.……………………9 分n4n444 0对于x<-2（3）由（2）可得b=3n .……9分c=a⋅b=n n n3(4n-2)4n……10分c n+13[4(n+1)-2]3(4n-2)30-36n -c=-=.n n+1n n+1n≥1，故cn+1-c<0.∴cn n+1<c.……………………13分n19．（本小题13分）解:对函数f(x)求导得:f'(x)=e ax(ax+2)(x-1)……………2分(Ⅰ)当a=1时,f'(x)=e(x+2)(x-1)令f'(x)>0解得x>1或x<-2f'(x)<解得-2<x<1所以,f(x)单调增区间为(-∞,-2)和(1,+∞),f(x)单调减区间为(-2,1).……………5分(Ⅱ)令f'(x)=0,即(ax+2)(x-1)=0,解得x=-当a>0时,列表得：2a或x=16分x f'(x) f(x)2(-∞,-)a+↗-2a极大值2(-,1)a－↘1极小值(1,+∞)+↗……………8分21时，因为x2>0,-x>,a>0,所以x2-x->0，a a a∴f(x)>0………10分对于x≥-21时，由表可知函数在x=1时取得最小值f(1)=-e a<0 a a所以，当x∈R时，f(x)min1=f(1)=-e aa……11分由题意，不等式f(x)+5a≥0对x∈R恒成立，所以得-15e a+≥0，解得0<a≤ln5……………13分a a20.（本小题满分14分）解:(Ⅰ)当x<0时，必有-x>0，则2-x>2,而若点P(x,y)在y=f(x)的图象上，则P(x,y)关于x=1的对称点P(2-x,y)必在g(x)的图象上，即当x<0时，1y=f(x)=g(2-x)=a[(2-x)-2]-[(2-x)-2]3=-ax+x3由于f(x)是奇函数，则任取x>0,有-x<0,且f(x)=-f(-x)=-[-a(-x)+(-x)3]=-ax+x3又当x=0时，由f(-0)=-f(0)必有f(0)=0综上，当x∈R时f(x)=x3-ax.……5分（Ⅱ）若x=1时f(x)取到极值，则必有当x=1时f'(x)=3x2-a=0，即a=3又由f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1)知，当x∈(-1,1)时，f'(x)<0，f(x)为减函数∴当x∈[-1,1]时，f(-1)≥f(x)≥f(1)=(-1)3-3(-1)=2≥f(x)≥f(1)=-2∴当x,x∈(-1,1)时|f(x)-f(x)|<|f(-1)-f(1)|=4.……9分1212（Ⅲ）若f(x)在[1,+∞)为减函数，则f'(x)=3x2-a<0对任意x∈[1,+∞)皆成立，这样的实数a不存在若f(x)为增函数，则可令f'(x)=3x2-a>0.由于f'(x)在[1,+∞)上为增函数，可令f'(x)=3x2-a≥f'(1)=3-a≥0，即当a≤3时，f(x)在[1,+∞)上为增函数由x≥1,f(x)≥1，f(f(x))=x0000设f(x)>x≥1，则f[f(x)]>f(x)0000∴x>f(x)与所设矛盾00若x>f(x)≥100则f(x)>f[f(x)]∴f(x)>x与所设矛盾0000……14分故必有f(x)=x00。
2016北京昌平区高一(上)期末数学
2016北京昌平区高一（上）期末数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）已知集合U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={0，2，4}，那么A∩（?U B）等于（）A．{1}B．{0，1}C．{1，3}D．{0，1，2，3}2．（5分）已知向量=（1，2），=（2，3﹣m），且∥，那么实数m的值是（）A．﹣1 B．1 C．4 D．73．（5分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A．若点A的纵坐标是，那么sinα的值是（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（x）=2x+2x﹣6的零点为x0，那么x0所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）5．（5分）已知函数f（x）是定义在[﹣4，0）∪（0，4]上的奇函数，当x＞0时，f（x）的图象如图所示，那么f（x）的值域是（）A．（﹣4，4）B．[﹣6，6]C．（﹣4，4）∪（4，6]D．[﹣6，﹣4）∪（4，6]6．（5分）已知函数y=sin2x的图象为C，为了得到函数的图象，只要把C上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度7．（5分）已知a=（），b=（），c=log2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c8．（5分）已知定义在R上的奇函数 f （x）满足f（x）=f（4﹣x），且在区间[0，2]上是增函数，那么（）A．f（6）＜f（4）＜f（1） B．f（4）＜f（6）＜f（1） C．f（1）＜f（6）＜f（4） D．f（6）＜f（1）＜f（4）9．（5分）甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是（）A．40万元B．60万元C．120万元D．140万元10．（5分）已知定义在R上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），那么函数f（x）称为“Ω函数”．给出下列函数：①f（x）=cosx；②f（x）=2x；③f（x）=x|x|；④f（x）=ln（x2+1）．其中“Ω函数”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共30分.11．（6分）已知函数f（x）=x a的图象经过点，那么实数a的值等于．12．（6分）已知，且，那么tanα＝．13．（6分）已知函数如果f（x0）=16，那么实数x0的值是．14．（6分）已知函数f（x）=sin（ωｘ+φ）（）的部分图象如图所示，那么ω＝，φ＝．15．（6分）如图，在6×6的方格中，已知向量，，的起点和终点均在格点，且满足向量=x+y （x，y∈R），那么x+y=．16．（6分）已知函数f（x）的定义域为D，若同时满足以下两个条件：①函数f（x）在D内是单调递减函数；②存在区间[a，b]?D，使函数f（x）在[a，b]内的值域是[﹣b，﹣a]．那么称函数f（x）为“Ｗ函数”．已知函数为“Ｗ函数”．（1）当k=0时，b﹣a的值是；（2）实数k的取值范围是．三、解答题（共5个小题，共70分）17．（13分）已知向量=（2，﹣1），=（1，x）．（Ⅰ）若⊥（+），求||的值；（Ⅱ）若+2=（4，﹣7），求向量与夹角的大小．18．（14分）已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数f（x）的最小值，并求出使y=f（x）取得最小值时相应的x值．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（Ⅲ）若f（2x）＞0，求实数x的取值范围．20．（14分）据市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格P（元）和时间t （t∈N）（天）的关系如图所示．（Ⅰ）求销售价格P（元）和时间t（天）的函数关系式；（Ⅱ）若日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系式是Q=﹣t+40（0≤t≤30，t∈N），问该产品投放市场第几天时，日销售额y（元）最高，且最高为多少元？21．（15分）已知函数f（x），对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，且．（Ⅰ）求f（0），f（3）的值；（Ⅱ）当﹣8≤x≤10时，求函数f（x）的最大值和最小值；（Ⅲ）设函数g（x）=f（x2﹣m）﹣2f（|x|），判断函数g（x）最多有几个零点，并求出此时实数m 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．【解答】∵U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={0，2，4}，∴（?U B）={1，3}∴A∩（?U B）={1，3}故选：C．2．【解答】向量=（1，2），=（2，3﹣m），且∥，∴1×（3﹣m）=2×2，∴m=﹣1，故选：A．3．【解答】由题意可得，点A的纵坐标是，那么sinα的值是，故选：B4．【解答】∵函数f（x）=2x+2x﹣6为增函数，∴f（1）=2+2﹣6=﹣2＜0，f（2）=22+2×2﹣6=2＞0，则函数在（1，2）内存在零点，x0所在的区间是（1，2），故选：B．5．【解答】∵当0＜x≤4时，函数单调递增，由图象知4＜f（x）≤6，当﹣4≤x＜0时，在0＜﹣x≤4，即此时函数也单调递增，且4＜f（﹣x）≤6，∵函数是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴4＜﹣f（x）≤6，即﹣6≤f（x）＜﹣4，∴f（x）的值域是[﹣6，﹣4）∪（4，6]，故选：D6．【解答】=sin2（x+），即为了得到函数的图象，只要把C上所有的点向左平行移动个单位长度即可，故选：C．7．【解答】∵0＜＜1，＞1，＜log21=0，∴c＜a＜b．故选：A．8．【解答】∵f（x）=f（4﹣x），∴函数f（x）关于x=2对称，则∵奇函数 f （x）在区间[0，2]上是增函数，∴函数f（x）在区间[﹣2，2]上是增函数，则函数f（x）在在区间[2，6]上是减函数，则f（1）=f（3），∵f（6）＜f（4）＜f（3），∴f（6）＜f（4）＜f（1），故选：A9．【解答】甲在6元时，全部买入，可以买120÷6=20（万）份，在t2时刻，全部卖出，此时获利20×2=40万，乙在4元时，买入，可以买（120+40）÷4=40（万）份，在t4时刻，全部卖出，此时获利40×2=80万，共获利40+80=120万，故选：C10．【解答】对于任意x1，x2∈R，且x1≠x2，x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立；∴（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立；∴f（x）在R上为增函数；①f（x）=cosx在R上没有单调性，∴该函数不是“Ω函数”；②f（x）=2x在R上为增函数，∴该函数是“Ω函数”；③；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递增，且02=﹣02；∴f（x）在R上为增函数，∴该函数是“Ω函数”；④令x2+1=t，t≥1，则y=lnt在[1，+∞）上单调递增，而t=x2+1在R上没有单调性；∴f（x）在R上没有单调性，∴该函数不是“Ω函数”；∴“Ω函数”的个数是2．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共30分.11．【解答】∵幂函数f（x）=x a的图象经过点，∴3a==3﹣3，解得：a=﹣3，故答案为：﹣312．【解答】∵已知=sinα，且，∴cosα＝=，那么tanα＝=，故答案为：．13．【解答】当x＜3时，﹣8x0=16，解得x0=﹣2，满足条件．当x≥3时，=16，解得x0=2，不满足条件．综上可得：x0=﹣2．故答案为：﹣2．14．【解答】函数的周期T=﹣=π，即，则ω=2，x=时，f（）=sin（2×+φ）=，即sin（+φ）=，∵|φ|＜，∴﹣＜φ＜，则﹣＜+φ＜，则+φ＝，即φ＝，故答案为：．15．【解答】分别设方向水平向右和向上的单位向量为，则=2﹣，=，=4+3．又∵=x+y=（2x+y）+（2y﹣x），∴，解得．∴x+y=3．故答案为：3．16．【解答】根据题意知，“Ｗ函数”在定义域D上需满足：方程f（x）=﹣x至少有两个不同的实数根；（1）k=0时，解得，x=0，或1；∴a=0，b=1；∴b﹣a=1；（2）令，由方程得，﹣t﹣k=﹣t2；∴t2﹣t﹣k=0在[0，+∞）上有两个不同实数根；设g（t）=t2﹣t﹣k，则：；解得；∴实数k的取值范围为．故答案为：1，（，0]．三、解答题（共5个小题，共70分）17．【解答】（I）依题意可得，+=（3，﹣1+x），由⊥（+），可得，?（+）=0，即6+1﹣x=0，解得x=7，即=（1，7），所以；（II）依题意+2=（4，2x﹣1）=（4，﹣7），可得x=﹣3，即=（1，﹣3），所以cos＜，＞===，因为＜，＞∈[0，π]，所以与的夹角大小是．18．【解答】（I）对于函数，它的最小正周期为．（II）令，求得，即．所以函数f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．（III）∵，∴，即．所以函数f（x）的最小值是，此时，．19．【解答】（Ⅰ）f（1）=log4+log2=﹣2﹣1=﹣3．（Ⅱ）函数f（x）是偶函数．证明：由函数有意义得，解得﹣3＜x＜3，∴函数f（x）的定义域为{x|﹣3＜x＜3}．∵f（﹣x）==f（x），∴函数是偶函数．（Ⅲ）由f（2x）＞0可得．∴，解得，或．∴x的取值范围是（﹣，﹣）∪（，）．20．【解答】（I）①当0≤t＜20，t∈N时，设P=at+b，将（0，20），（20，40）代入，得解得所以P=t+20（0≤t＜20，t∈N）．…．（3分）②当20≤t≤30，t∈N时，设P=at+b，将（20，40），（30，30）代入，解得所以P=﹣t+60（20≤t≤30，t∈N），…．（6分）综上所述…．（7分）（II）依题意，有y=P?Q，得…．（9分）化简得整理得…．（11分）①当0≤t＜20，t∈N时，由y=﹣（t﹣10）2+900可得，当t=10时，y有最大值900元．…（12分）②当20≤t≤30，t∈N时，由y=（t﹣50）2﹣100可得，当t=20时，y有最大值800元．…．（13分）因为900＞800，所以在第10天时，日销售额最大，最大值为900元．…．（14分）21．【解答】（I）令x=y=0得f（0）=f（0）+f（0），得f（0）=0．…．（1分）令x=y=1，得f（2）=2f（1）=﹣1，…．（2分）令x=2，y=1得．…（3分）（II）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，x2﹣x1＞0，因为f（x+y）﹣f（x）=f（y），即f（x+y）﹣f（x）=f[（x+y）﹣x]=f（y），则f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1）．…（4分）由已知x＞0时，f（x）＜0且x2﹣x1＞0，则f（x2﹣x1）＜0，所以f（x2）﹣f（x1）＜0，f（x2）＜f（x1），所以函数f（x）在R上是减函数，…．（6分）故f（x）在[﹣8，10]单调递减．所以f（x）max=f（﹣8），f（x）min=f（10），又，…．（7分）由f（0）=f（1﹣1）=f（1）+f（﹣1）=0，得，，故f（x）max=4，f（x）min=﹣5．…．（9分）（III）令y=﹣x，代入f（x+y）=f（x）+f（y），得f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，所以f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）为奇函数．…．（10分），∴g（x）=f（x2﹣m）﹣2f（|x|）=f（x2﹣m）+2f（﹣|x|）=f（x2﹣m）+f（﹣|x|）+f（﹣|x|）=f（x2﹣2|x|﹣m）…．（11分）令g（x）=0即f（x2﹣2|x|﹣m）=0=f（0），因为函数f（x）在R上是减函数，…．（12分）所以x2﹣2|x|﹣m=0，即m=x2﹣2|x|，…．（13分）所以当m∈（﹣1，0）时，函数g（x）最多有4个零点．…．（15分）第11页共11 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2016-2017北京昌平高三上期末【文】
昌平区2016－2017学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（文 科）（满分150分，考试时间120分钟）2017．1考生须知：1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分．2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写．3．答题卡上第I 卷（选择题）必须用2B 铅笔作答，第II 卷（非选择题）必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔．请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分．4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液．保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上做任何标记．5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）（1） 设全集U={1,2,3,4,5,6}，{3,4}A =，{2,4,5}B =，则()UA B =（ ）．A ． {1,2,4,5,6}B ． {2,3,4,5}C ． {2,5}D ． {1,6} 解析：{1,2,5,6}UA =，所以(){2,5}U A B =，故选C ．（2） 已知直线3(1)10x a y +-+=与直线+2=0x y -平行，则a 的值为（ ）．A ．4B ．4-C ．2D ．2- 解析：由题意有3(1)(1)1a ⨯-=-⨯解得4a =，故选A ．（3） 执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为1，则输出的k 值为（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析：0k =，6x =，23x <； 1k =，11x =，23x <； 2k =，16x =，23x <； 3k =，21x =，23x <； 4k =，26x =，23x >； 所以输出为4k =，故选B ．（4） 下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（ ）． A ．e x y = B ．sin y x = C ．y x =D ．3y x =俯视图侧（左）视图正（主）视图解析：AC项不是奇函数，B项不是在定义域内单调增，由幂函数的性质易知3y x=在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数，故选D．（5）在平行四边形ABCD中，若AB AD AB AD-=+，则平行四边形ABCD是（）．A．矩形B．梯形C．正方形D．菱形解析：由题意可知||||BD AC=，对角线相等的平行四边形是矩形，故选A．（6）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图是（）．A．B．C．D．解析：由三视图的性质可知B正确．（7）已知直线m，n和平面α，且mα⊥．则“n m⊥”是“//nα”的（）．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：mα⊥，若//nα，必然有m n⊥；若mα⊥，若m n⊥，当nα⊂时没有nα∥；所以“n m⊥”是“//nα”的必要不充分条件；故选B．（8）甲袋中有16个白球和17个黑球，乙袋中有31个白球，现每次任意从甲袋中摸出两个球，如果两球同色，则将这两球放进丙袋，并从乙袋中拿出一白球放回甲袋；如果两球不同色，则将白球放进丙袋，并把黑球放回甲袋．那么这样拿次后，甲袋中只剩一个球，这个球的颜色是A．16，黑色B．16，白色或黑色C．32，黑色D．32，白色解析：由题意可知每次甲袋中少一个球，所以需要拿32次才能使甲袋中只剩一个球；不论怎么拿，每次黑球要么少2个，要么一个不少，所以最终黑球一定只剩奇数个，所以最后剩下的一定是黑球；故选C．第二卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）（9）已知i为虚数单位，则复数i(1i)-=__________ ．解析：由题意有i(1i)i11i-=+=+．（10）已知数列{}n a的前n项和为n S，且2nS n n=+，则3a=__________ ．解析：312S=，26S=，3321266a S S=-=-=．（11） 2e -，1e2，ln 2三个数中最大的数是_________ ．解析：由题意有12e 10e ln 2122-<<<<<，即最大的数为1e 2．（12） 在ABC △中，2c =，π4B ∠=，2b =，则A ∠=__________ ．解：由题意有sin 1sin 2c B C b ⋅==， 因为c b <，所以C B <，所以π6B =，则7ππ12A B C =--=．（13） 已知双曲线22221(0x y a a b -=>，0)b >的一条渐近线的倾斜角为π6，则双曲线的渐近线的方程为________ ；该双曲线的离心率为________ ． 解析：由题意可知渐近线斜率k =3tan θ=，所以渐近线方程为3y x =±； 即3b a =，即3a b =，所以离心率2223e 33c a b a a b+====． （14） 若函数2,11()ln ,1x x f x x x a-⎧-≤<=⎨≤≤⎩．①当2a =时，若()1f x =，则x =___________；②若()f x 的值域为[0,2]，则a 的取值范围是________ ． 解析：做出函数的图像，如右图所示；①当2a =时，()1f x =，解得0x =或e x =（舍去）．②若()f x 的值域为[0,2]，显然1ln 22a ≤≤，解得122e e a ≤≤．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）（15）（本小题满分13分） 已知函数2()3sin 22cos 1f x x x =+-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期． （Ⅱ）求函数()f x 在ππ64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值和最小值．（16）（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是正项的等比数列，且112a b ==，514a =，33b a =．MNCBAP（Ⅰ）求{}n a 、{}n b 的通项公式．（Ⅱ）求数列{}n a 中满足46n b a b <<的各项的和．（17）（本小题满分14分）昌平区在滨河公园举办中学生冬季越野赛．按年龄段将参赛学生分为A ，B ，C 三个组，各组人数如下表所示．组委会用分层抽样的方法从三个组中选出名代表．（I ） 求，，三个组各选出代表的个数．（II ） 若从选出的6名代表中随机抽出2人在越野赛闭幕式上发言，求这两人来自同一组的概率1P ．（III ）若从所有参赛的300名学生中随机抽取2人在越野赛闭幕式上发言，设这两人来自同一组的概率为2P ，试判断1P 与2P 的大小关系（不要求证明）． （18）（本小题满分13分）在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB AC ==，BC =M ，N 分别为BC ，AB 中点．（I ）求证：MN ∥平面PAC ．（II ）求证：平面PBC ⊥平面PAM ．（III ）在AC 上是否存在点E ，使得ME ⊥平面PAC ，若存在，求出ME 的长，若不存在，请说明理由．（19）（本小题满分13分） 已知函数()ln (0)f x x mx m =->．（I ） 若1=m ，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程．（II ）求函数)(x f 的最大值()g m ，并求使()2g m m >-成立的m 取值范围．（20）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，且经过点P ，离心率为23，过点1F 的直线l 与直线4x =交于点A ． （I ）求椭圆C 的方程．（II ）当线段1F A 的垂直平分线经过点2F 时，求直线l 的方程． （III ）点B 在椭圆C 上，当OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值．昌平区2016－2017学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷（文科）参考答案及评分标准 2017．1一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． （9）1i + （10）6（11）1e2 （12）7π12（13）3y x =± ，3； （14）0；122e ,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（第一空2分，第二空3分）三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 因为2()22cos 1f x x x =+-2+cos2x x π2sin(2)6x =+，所以2π2πT=π2ω==． （Ⅱ）因为ππ64x -≤≤， 所以ππ2π2663x -≤+≤．即 1πsin(2)126x -≤+≤， 所以π12sin(2)26x -≤+≤． 所以当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 的最大值为2； 当ππ266x +=-，即π6x =-时，()f x 的最小值为1-． （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为12a =，514a =，所以1414a d +=，所以3d =，所以31n a n =-， 所以338b a ==．因为12b =，因为231b b q =，所以24q =．因为0n b >，所以2q =，所以1222n nn b -=⋅=．（Ⅱ）因为46n b a b <<，即462312n <-<，所以176533n <<，*n ∈N ． 即6n =，7，8， (21)所以满足46n b a b <<的各项的和为1512167212155()21()21(262)5(214)6322222a a a a a a a S S +++++++=-=-=-=．（17）（本小题满分14分）解：（I ）因为样本容量与总体容量的比是501501501006=++， 所以A ，B ，C 三个组各选出的代表的数量分别为：1100250⨯=，1150350⨯=，150150⨯=．所以A ，B ，C 三个组各选出的代表的个数分别为2，3，1．（II ）设来自A ，B ，C 三个组的代表分别为1a ，2a ，1b ，2b ，3b ，c ．则从6名代表中任意取出两人的所有结果所构成的基本事件空间：121112*********{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a b a b a c a b a b a b Ω= 2121312323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}a c b b b b b c b b b c b c ，共15个基本事件．记事件D =“抽出的两个代表来自同一组”．则12121323{(,),(,),(,),(,)}D a a b b b b b b = ，共4个基本事件．所以这两名代表来自同一组的概率1415P =． （III ）21P P >．（18）（本小题满分13分） 证明：（I ）因为M ，N 分别为BC ，AB 中点， 所以MN AC ∥．因为MN ⊄平面PAC AC ⊂平面PAC ，所以MN ∥平行PAC ．（II ）因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PA BC ⊥．因为2AB AC ==，M 为BC 的中点，所以AM BC ⊥． 因为AM PA A =，所以BC ⊥平面PAM ． 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM ．（III ）存在．过点M 作ME AC ⊥，交AC 于点E ， 因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA ME ⊥．因为ME AC ⊥，AC PA A =，所以ME ⊥平面PAC ．因为在ABC △中，2AB AC ==，BC =M 为BC 的中点，所以2ME =． （19）（本小题满分13分）解：（I ）若1=m ，则x x x f -=ln )(．所以1()1(0)f x x x'=->．所以(1)0f '=，1)1(-=f ．所以曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为1-=y ．（II ） 因为1()(0)f x m x x'=->，当)1,0(m x ∈时， ()0f x '>；),1(+∞∈mx 时，()0f x '<． 所以)(x f 在)1,0(m 上单调递增；在),1(+∞m上单调递减．所以)(x f 的最大值1()()ln 1g m f m m ==--．()2g m m >-，即()(2)0g m m -->．设()()(2)ln 1h m g m m m m =--=--+． 因为1()10h x m'=--<， 所以()h m 在(0,)+∞上单调递减．又因为(1)0h =，所以当01m <<时，()(1)0h m h >=． 所以m 取值范围为()0,1．（20）（本小题满分14分）解:（I）由2222e 3b c a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩，解得32a c =⎧⎨=⎩．所以椭圆C 的方程为22195x y +=． （II ）法一：设(4,)A y ，1(2,0)F -，因为线段1F A 的垂直平分线经过点2F ， 所以122||||F F F A =．由24c ==y =±． 所以直线l的方程为2)3y x =±+． 法二：设过点1(2,0)F -的直线l 的斜率为k ，显然k 存在．则直线l 的方程为(2)y k x =+． 所以(4,6)A k ．设1AF 的中点00(,)P x y ． 则02412x -+==，00632ky k +==．所以(1,3)P k ． 因为21PF F A ⊥，所以30112k k -⋅=--．所以k =． 所以直线l的方程为2)y x =+． （III ）点B 在椭圆C 上，设(,)B m n，[(0,5]n ∈，(4,)A y ．因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即40m ny +=．因为点B 在椭圆C 上，所以22195m n +=．||AB =======设2t n=，(0,5]t∈设144419()55tg tt=--．因为21444()05g tt-'=-<，所以()g t在(0,5]上单调递减．所以当5t=，即n=min||AB=【各题若有其它解法，请酌情给分】。
北京市昌平区2016-2017学年高一数学3月月考试题(有答案)
北京市昌平区2016-2017学年高一数学3月月考试题一、选择题：（每题5分、共12题，共60分）1．下列物理量中，不能称为向量的是 （ ） A ． 位移 B ．速度 C ．质量 D ．力 2．设O 是矩形ABCD 的中心，向量AO OB CO OD 、、、是 （ ） A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等向量 D ．模相等的向量 3.数轴上点A ，B 分别对应－1、2，则向量AB 的长度是 （ ） A.－1 B.2 C.1 D.34.(2016·一中期末)若|AB |＝|AD |且BA ＝CD ，则四边形ABCD 的形状为 （ ） A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形5.（湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考，3)若向量数量积 0a b <则向量a 与b 的夹角θ的取值范围是（ ） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．,2ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 6.已知向量），（2-3),,1(==b m a ，且()a b b ⊥+，则m =（ ） A.－8 B.－6 C.6 D.87.（山西省运城市2017届高三上学期期中 ）已知向量(2,)a m =，(,2)b m =， 若//a b ，则实数m 等于（ ） A ．2- B ．2C ．2-或2D ．08．在△ABC 中，若A ＝30°，B ＝60°，b ＝3，则a 等于（ ）A ．3B ．1C ．2D.129．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于 （ ） A ．45°或135°B ．60°C ．45°D ．135°10．在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，A ＝30°，则边a 等于 （ ） A ．9 B ．3 C ．27 D ．3 311．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为 （ ） A.13B ．－23C.14 D ．－1412.（2016年高考天津理）在△A BC 中，若=13AB ,BC=3，120C ∠= ,则AC= （ ） A.1B ．2C.3C.4二、填空题：（每题5分、共4题，共20分）13.若a 表示“向东走8 km”，b 表示“向北走8 km”，则a ＋b 表示________. 14.已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则a ·b ＝________；15.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，A＝60O，则S△ABC＝________；16.（2016年高考新课标）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4 cos5A=，5cos13C=，a=1，则b=____________.三、解答题：（17题10分，18-22每题12分，共70分）17.(10分）已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．(1)求|b|；(2)求a与b的夹角的余弦值；18.(12分）已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝5.（1）求a·b；（2）求|3a－b|．19.(12分）已知△ABC中A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD.⑴求证:AB⊥AC; ⑵求点D与向量AD的坐标.20.(12分）在△ABC中，三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,，若a=3，b=4，C=60o .（1）求c的值；（2）求sinB的值．21.(12分）如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．22.（12分）（2016年高考新课标Ⅰ卷理）ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知 2cos (cos cos ).C a B+b A c =（1）求C ； （2）若7,c ABC =∆的面积为332,求ABC 的周长．高一数学参考答案一、选择题（每题5分、共12题，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案CDDBCDCBCBAA二、填空题（每题5分、共4题，共20分） 13. 向东北方向走km 14. 315. 16.三、解答题：（17题10分，18-22每题12分，共70分） 17.(10分）已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)． (1)求|b |； (2)求a 与b 的夹角的余弦值； 解：（1）（2）18. (12分）已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝5.（1）求a ·b ； （2）求|3a －b |．解 ：（1）a ·b=；（2）|3a －b |=7．19.(12分）已知△ABC 中A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC 边上的高为AD.（1）求证:AB ⊥AC; （2）求点D 与向量的坐标.（1）略（2）20.(12分）（1）由余弦定理，得（2）由正弦定理，得sinB ．21.(12分） 设我艇追上走私船所需要的时间为t 小时，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，由∠ABC ＝180°－105°＋45°＝120°， 根据余弦定理知(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t ·cos 120°， ∴t ＝2或t ＝－43(舍去)．答 我艇追上走私船所需要的时间为2小时．22.（12分）。
北京市昌平区高一上册期末数学试卷(有答案)
北京市昌平区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，5}，N={4，5}，则集合{1，6}=（）A．M∪N B．M∩N C．C U（M∪N）D．C U（M∩N）2．（5分）已知角θ为第二象限角，则点M（sinθ，cosθ）位于哪个象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）如图，点M是△ABC的重心，则为（）A．B．4 C．4 D．44．（5分）下列向量中不是单位向量的是（）A．（﹣1，0）B．（1，1） C．（cosa，sina）D．（||≠0）5．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（2，m），若∥，则m=（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．16．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），C（a，0），若A，B，C三点共线，则a=（）A．B．﹣1 C．﹣2 D．﹣37．（5分）设∈R，向量=（3，），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．38．（5分）在下列函数中，同时满足：①是奇函数，②以π为周期的是（）A．y=sin B．y=cos C．y=tan D．y=tan29．（5分）函数y=5sin（2+）的图象，经过下列哪个平移变换，可以得到函数y=5sin2的图象？（）A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移10．（5分）计算sin=（）A．B．C．D．11．（5分）与﹣60°角的终边相同的角是（）A．300°B．240°C．120° D．60°12．（5分）已知集合{α|2π+≤α≤2π+，∈}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（）A．B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上．13．（5分）比较大小：sin1cos1（用“＞”，“＜”或“=”连接）．14．（5分）已知向量=（1，1），=（2，0），则向量，的夹角的余弦值为．15．（5分）已知函数f（）=cos（∈[0，2π]）与函数g（）=tan的图象交于M，N两点，则|+|=．16．（5分）定义：如果函数y=f（）在定义域内给定区间[a，b]上存在0（a＜0＜b），满足f （0）=，则称函数y=f（）是[a，b]上的“平均值函数”，0是它的一个均值点．例如y=||是[﹣2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（）=2﹣m﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（）=lg（+1）﹣lg（1﹣）．（Ⅰ）求函数f（）的定义域；（Ⅱ）判断函数f（）的奇偶性．18．（12分）已知集合A={|2sin ﹣1＞0，0＜＜2π}，B={|2＞4}．（1）求集合A 和B；（2）求A∩B．19．（12分）已知函数f（）=Asin（ω+φ）的图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，求函数f（）的解析式．20．（12分）已知f（）=2sin（2﹣）．（Ⅰ）求函数f（）的单调递增区间与对称轴方程；（Ⅱ）当∈[0，]时，求f（）的最大值与最小值．21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（），B（），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用角α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当=﹣时，求α的值．22．（10分）如果f（）是定义在R上的函数，且对任意的∈R，均有f（﹣）≠﹣f（），则称该函数是“﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2；②y=+1；③y=2+2﹣3是否为“﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（）=sin+cos+a是“﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（）=是“﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．北京市昌平区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，5}，N={4，5}，则集合{1，6}=（）A．M∪N B．M∩N C．C U（M∪N）D．C U（M∩N）【解答】解：C U M={1，4，6}，C U N={1，2，3，6}选项A，M∪N={1，2，3，4，6}，不满足题意；选项B，M∩N={5}，不满足题意．选项C，C U（M∪N）={1，6}，满足题意；选项D，C U（M∩N）={1，2，3，4，6}，不满足题意；故选：C．2．（5分）已知角θ为第二象限角，则点M（sinθ，cosθ）位于哪个象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵θ是第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，则点M（sinθ，cosθ）在第四象限．故选：D．3．（5分）如图，点M是△ABC的重心，则为（）A．B．4 C．4 D．4【解答】解：设AB的中点为F∵点M是△ABC的重心∴．故为C4．（5分）下列向量中不是单位向量的是（）A．（﹣1，0）B．（1，1） C．（cosa，sina）D．（||≠0）【解答】解：A．C．D．中的向量的模都等于1，因此都是单位向量；B中的向量的模=，因此不是单位向量．故选：B．5．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（2，m），若∥，则m=（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（2，m），∥，∴，解得m=﹣4．故选：A．6．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），C（a，0），若A，B，C三点共线，则a=（）A．B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【解答】解∵A、B、C三点共线，∴，共线；∵=（3，1），=（a，﹣1）∴3×（﹣1）=a解得，a=﹣3，故选：D．7．（5分）设∈R，向量=（3，），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．3【解答】解：∵∈R，向量=（3，），=（﹣1，1），⊥，∴=﹣3+=0，解得=3，∴=（3，3），∴||==3．故选：C．8．（5分）在下列函数中，同时满足：①是奇函数，②以π为周期的是（）A．y=sin B．y=cos C．y=tan D．y=tan2【解答】解：y=sin是奇函数，周期为2π，y=cos是偶函数，周期为2π，y=tan是奇函数，周期为π，y=tan2是奇函数，周期为．故选：C．9．（5分）函数y=5sin（2+）的图象，经过下列哪个平移变换，可以得到函数y=5sin2的图象？（）A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移【解答】解：把函数y=5sin（2+）的图象向右平移个单位，可得函数y=5sin2的图象，故选：C．10．（5分）计算sin=（）A．B．C．D．【解答】解：sin=sin（π+）=﹣sin=﹣，故选：B．11．（5分）与﹣60°角的终边相同的角是（）A．300°B．240°C．120° D．60°【解答】解：与﹣60°终边相同的角一定可以写成×360°﹣60°的形式，∈，令=1 可得，300°与﹣60°终边相同，故选：A．12．（5分）已知集合{α|2π+≤α≤2π+，∈}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（）A．B． C． D．【解答】解：集合{α|2π+≤α≤2π+，∈}，表示第一象限的角，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上．13．（5分）比较大小：sin1＞cos1（用“＞”，“＜”或“=”连接）．【解答】解：由三角函数的图象可知当时，sin＞cos，∵，∴sin1＞cos1．故答案为：＞．14．（5分）已知向量=（1，1），=（2，0），则向量，的夹角的余弦值为．【解答】解：设向量，的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵=（1，1），=（2，0），∴cosθ===，即向量，的夹角的余弦值为，故答案为：．15．（5分）已知函数f（）=cos（∈[0，2π]）与函数g（）=tan的图象交于M，N两点，则|+|=π．【解答】解：由题意，M，N关于点（，0）对称，∴|+|=2×=π，故答案为π．16．（5分）定义：如果函数y=f（）在定义域内给定区间[a，b]上存在0（a＜0＜b），满足f （0）=，则称函数y=f（）是[a，b]上的“平均值函数”，0是它的一个均值点．例如y=||是[﹣2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（）=2﹣m﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是（0，2）．【解答】解：∵函数f（）=2﹣m﹣1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，∴关于的方程2﹣m﹣1=在（﹣1，1）内有实数根．即2﹣m﹣1=﹣m在（﹣1，1）内有实数根．即2﹣m+m﹣1=0，解得=m﹣1，=1．又1∉（﹣1，1）∴=m﹣1必为均值点，即﹣1＜m﹣1＜1⇒0＜m＜2．∴所求实数m的取值范围是（0，2）．故答案为：（0，2）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（）=lg（+1）﹣lg（1﹣）．（Ⅰ）求函数f（）的定义域；（Ⅱ）判断函数f（）的奇偶性．【解答】解：（1）依题意有解得﹣1＜＜1故函数的定义域为（﹣1，1）（2）∵f（﹣）=lg（1﹣）﹣lg（1+）=﹣f（）∴f（）为奇函数．18．（12分）已知集合A={|2sin ﹣1＞0，0＜＜2π}，B={|2＞4}．（1）求集合A 和B；（2）求A∩B．【解答】解：（1）集合A={|2sin ﹣1＞0，0＜＜2π}={|sin＞，0＜＜2π}={|＜＜}，B={|2＞4}={|2﹣＞2}={|＜﹣1或＞2}；（2）根据交集的定义知，A∩B={|2＜＜}．19．（12分）已知函数f（）=Asin（ω+φ）的图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，求函数f（）的解析式．【解答】解：由题意A=1，，∴ω=1，将（，1）代入f（）=sin（+φ），可得sin（+φ）=1，∵|φ|＜，∴φ=，∴f（）=sin（+）．20．（12分）已知f（）=2sin（2﹣）．（Ⅰ）求函数f（）的单调递增区间与对称轴方程；（Ⅱ）当∈[0，]时，求f（）的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为，由，求得，可得函数f（）的单调递增区间为，∈．由，求得．故f（）的对称轴方程为，其中∈．（Ⅱ）因为，所以，故有，故当即=0时，f（）的最小值为﹣1，当即时，f（）的最大值为2．21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（），B（），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用角α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当=﹣时，求α的值．【解答】解：（I）P（cosα，sinα）．…2分（II），因为，所以，即，因为α为锐角，所以．…6分（Ⅲ）法一：设M（m，0），则，，因为，所以，所以对任意成立，所以，所以m=﹣2．M点的横坐标为﹣2．…10分法二：设M（m，0），则，，因为，所以，即m2﹣2mcosα﹣4cosα﹣4=0，（m+2）[（m﹣2）﹣2cosα]=0，因为α可以为任意的锐角，（m﹣2）﹣2cosα=0不能总成立，所以m+2=0，即m=﹣2，M点的横坐标为﹣2．…10分．22．（10分）如果f（）是定义在R上的函数，且对任意的∈R，均有f（﹣）≠﹣f（），则称该函数是“﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2；②y=+1；③y=2+2﹣3是否为“﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（）=sin+cos+a是“﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（）=是“﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．【解答】解：（Ⅰ）①、②是“﹣函数”，③不是“﹣函数”；﹣﹣﹣﹣（2分）（说明：判断正确一个或两个函数给1分）（Ⅱ）由题意，对任意的∈R，f（﹣）≠﹣f（），即f（﹣）+f（）≠0；因为f（）=sin+cos+a，所以f（﹣）=﹣sin+cos+a，故f（）+f（﹣）=2cos+2a；由题意，对任意的∈R，2cos+2a≠0，即a≠﹣cos；﹣﹣﹣（4分）又cos∈[﹣1，1]，所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；﹣﹣﹣（5分）（Ⅲ）（1）对任意的≠0，（i）若∈A且﹣∈A，则﹣≠，f（﹣）=f（），这与y=f（）在R上单调递增矛盾，（舍去），（ii）若∈B且﹣∈B，则f（﹣）=﹣=﹣f（），这与y=f（）是“﹣函数”矛盾，（舍去）；此时，由y=f（）的定义域为R，故对任意的≠0，与﹣恰有一个属于A，另一个属于B；（2）假设存在0＜0，使得0∈A，则由0＜，故f（0）＜f（）；（i）若∈A，则f（）=+1＜+1=f（0），矛盾，（ii）若∈B，则f（）=＜0＜+1=f（0），矛盾；综上，对任意的＜0，∉A，故∈B，即（﹣∞，0）⊆B，则（0，+∞）⊆A；（3）假设0∈B，则f（﹣0）=﹣f（0）=0，矛盾，故0∈A；故A=[0，+∞），B=（﹣∞，0]；经检验A=[0，+∞），B=（﹣∞，0），符合题意．﹣﹣﹣（8分）。
北京市昌平区2017-2018学年上学期高一年级期末考试数学试卷(精编含解析)
2017-2018学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={3，4}，B={2，4，5}，则（∁U A）∩B=（）A. 2，4，5，B. 3，4，C. D.2.已知角θ的终边经过点（4，-3），则cosθ的值是（）A. B. C. D.3.已知向量=（m，-1），=（2，4），若 ⊥，则m的值为（）A. B. 2 C. D.4.设函数f（x）=a|x|（a＞0，a≠1），且f（2）=4．则下列结论正确的是（）A. B. C. D.5.如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量=（）A.B.C.D.6.已知α，β都是锐角，若sinα＞cosβ，则下列结论正确的是（）A. B.C. D. 与大小关系不确定7.中国民间流传着有关阳历月份天数的口诀：“一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十日，平年二月二十八，闰年二月把一加．”“腊”指十二月，“冬”指十一月.2017年3月15日为星期三，记作：f（170315）=三．已知f（171111）=六，则f（171212）=（）A. 六B. 日C. 一D. 二8.对于函数，下列命题①函数图象关于直线对称；②函数图象关于点，对称；③函数图象可看作是把f（x）=sin2x的图象向左平移个单位而得到；④函数图象可看作是把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）而得到．其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 39.函数f（x）=2x|lg x|-1的零点的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 410.如图，函数f（x）的图象为折线ACB，g（x）=2x-1．令函数H（x）=min{f（x），g（x）}，其中min{x1，x2}表示x1，x2这两个数中最小的数．则H（x）取最大值时对应的x的值为（）A. B. 0 C. 1 D. 2二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.已知A（4，-3），B（-2，1），则=______．12.已知tanα=2，则=______．13.3-2，20.9，log25三个数中最大的数是______．14.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若，则cosβ=______．15.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=1，BC=2，点P是梯形ABCD边上的动点，沿着A→B→C→D→A方向运动．则=______；的取值范围是______．16.已知函数＞，．若f（9）=5，则a=______；若f（x）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17.已知全集U=R，集合A={x|-4≤x≤2}，B={x|-1＜x＜3}，C={x|x≥a，a∈R}．（I）求A∩B，∁U A∪B；（II）若（A∪B）∩C=∅，求a的取值范围．18.已知函数f（x）=sin2x+2cos2x-1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（III）求函数f（x）在，上的最大值和最小值．19.已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+1（a∈R），且f（-1）=f（3）．（Ⅰ）求函数f（x）的最值；（Ⅱ）设．判断函数g（x）的奇偶性，并证明．20.如图，已知A（-1，1），B（5，3），C（4，0）．（Ⅰ）求，＞；（Ⅱ）若，∈，求的值；（III）设点P（m，-m），若P，B，C三点共线，求m的值．＜r≤1）的扇形小山，其余部分为平地，开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形一顶点P落在上，相邻两边CQ，CR落在正方形ABCD的边BC，CD上．设，记停车场PQCR的面积为f（θ）．（I）求f（θ）；（II）记f（θ）的最大值为g（r），求g（r）．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，A={3，4}，B={2，4，5}，∴∁U A={1，2，5，6}，则（∁U A）∩B={2，5}，故选：C．根据集合交集，补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集补集的定义是解决本题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵角θ的终边经过点（4，-3），则x=4，y=-3，r=5，cosθ==，故选：A．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosθ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：向量=（m，-1），=（2，4），若⊥，则=0，2m+（-1）×4=0，解得m=2．故选：B．根据⊥时•=0，列方程求得m的值．本题考查了平面向量的垂直关系应用问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f（x）=a|x|，若f（2）=4，则a2=4，则a=2，则f（x）=2|x|=，函数f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，在（-∞，0）上为减函数；依次分析选项：对于A，f（x）在（-∞，0）上为减函数，则f（-1）＜f（-2），A错误；对于B，f（x）在（0，+∞）上为增函数，则f（1）＜f（2），B错误；对于C，f（x）为偶函数，f（2）=f（-2），C错误；对于D，f（x）在（-∞，0）上为减函数，则f（-3）＞f（-2），D正确．故选：D．根据题意，由函数的解析式可得若f（2）=4，则a2=4，解可得a=2，即可得函数f（x）的解析式，分析函数f（x）的奇偶性与单调性，据此分析选项，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意求出a的值，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由三角形法则和D是△ABC的边AB的中点得，，∴．故选：A．根据向量加法的三角形法则知，，由D是中点和相反向量的定义，对向量进行转化．本题主要考查了向量加法的三角形法则，结合图形和题意找出向量间的联系，再进行化简．6.【答案】A【解析】解：α，β都是锐角，sinα＞cosβ，且cosβ=sin（-β），∴sinα＞sin（-β），又α，-β∈（0，），∴α＞-β，∴α+β＞．故选：A．根据诱导公式化cosβ=sin（-β），再根据正弦函数的单调性得出α＞-β．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了诱导公式的应用问题．7.【答案】D【解析】解：∵f（171111）=六，∴2017年11月11日是星期六，∵2017年12月12日是2017年11月11日之后的第：19+12=31天，31=7×4+3，∴f（171212）=二．故选：D．由f（171111）=六，得2017年11月11日是星期六，由2017年12月12日是2017年11月11日之后的第31天，能求出f（171212）．本题考查函数值的求法，考查阳历中星期几的判断，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】C【解析】解：对于函数，下列命题①函数图象关于直线对称；即：当x=-时，f（-）=0，故错误：②函数图象关于点对称；当x=时，f（）=0，故正确．③函数图象可看作是把f（x）=sin2x的图象向左平移个单位而得到；故错误．④函数图象可看作是把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）而得到函数的图象．故正确．故正确的选项为：②④．故选：C．直接利用正弦型函数的性质：对称性平移变换和关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，函数的图象的变换问题的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.【答案】B【解析】解：函数f（x）=2x|lgx|-1，令2x|lgx|-1=0，即|lgx|=，在同一坐标系内分别作出函数y=|lgx|与y=的图象，易知两函数图象有且只有2个交点，即函数f（x）=2x|lgx|-1有2个零点．故选：B．令函数f（x）=0，然后转化为两个简单函数图象的交点问题．本题主要考查函数零点个数的确定方法--转化为两个简单函数的图象看交点的问题．是零点判定的常用方法之一．10.【答案】C【解析】解：由题意可得直线AB的方程为y=x+2，直线BC的方程为y=-x+2，∴f（x）=，由于g（x）=2x-1，当-≤x＜0，令f（x）＜g（x），解得-≤x＜-1，令f（x）＞g（x），解得-1≤x＜0，当0≤x≤2，令f（x）＜g（x），解得1≤x≤2，令f（x）＞g（x），解得-1≤x＜0，∴H（x）=min{f（x），g（x）}=，当则H（x）取最大值时对应的x的值为x=1，故选：C．先求出函数f（x）的解析式，并画出函数g（x）的图象，结合图象即可求出答案．本题考查了分段函数的解析式，和函数图象，以及函数的最值问题，考查了数形结合的能力，属于中档题．11.【答案】（-3，2）【解析】解：A（4，-3），B（-2，1），=（-6，4）则=（-3，2）故答案为：（-3，2）由已知A（x1，y1），B（x2，y2）可根据=（x2-x1，y2-y1）求，进而可求的坐标．本题主要考查了向量减法的坐标表示，属于基础试题．12.【答案】【解析】解：∵tanα=2，∴=．故答案为：．利用同角三角函数的基本关系化弦为切，然后代值计算即可得答案．本题考查了同角三角函数基本关系的意义，熟练掌握基本关系是解本题的关键，是基础题．13.【答案】log25【解析】解：3-2=，1＜20.9＜2，log25＞2，故log25最大，故答案为：根据指数幂的运算性质判断即可．本题考查了指数函数的性质，指数幂的运算，是一道基础题．14.【答案】【解析】解：角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．则β=（2k+1）π+α，k∈Z，若，则cosβ=-cosα=，故答案为：．由题意得到β=（2k+1）π+α，k∈Z，由此由题意再利用诱导公式，求得cosβ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，得出β=（2k+1）π+α，k∈Z，是解题的关键，属于基础题．15.【答案】1 [0，2]【解析】解：点P是梯形ABCD边上的动点，沿着A→B→C→D→A方向运动．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=1，BC=2，则：，=，由于：点P为动点，则：=，所以：．故答案为：1，[0，2]由于：首先根据直角梯形的边角关系，进一步利用向量的数量积和夹角公式求出结果．本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.【答案】3 （1，2]【解析】解：函数．若f（9）=5，则a=3；∵9＞2，∴f（9）=3+log a9=5，可得a=3；当x≤2时，f（x）=-x+6，递减函数，所以f（2）max=4．要使f（x）的值域是[4，+∞），那么：x＞2时，则f（x）=3+log a x的最小值大于等于4，即f（x）max≥4，且a＞1．即log a x≥1，∴a≤x．可得a∈（1，2]．故答案为：3；（1，2]根据分段函数的性质，9＞2，即f（9）=3+log a9=5，即可求解a的值！根据f（x）的值域是[4，+∞），则求实数a的取值范围．本题考查对数函数的单调性，分段函数的性质；属于函数函数性质应用题，较容易．17.【答案】解：（Ⅰ）集合A={x|-4≤x≤2}，B={x|-1＜x＜3}，A∩B={x|-1＜x≤2}．因为∁U A={x|x＜-4或x＞2}所以∁U A∪B={x|x＜-4或x＞-1}；（Ⅱ）因为A∪B={x|-4≤x＜3}，因为（A∪B）∩C=ϕ，C={x|x≥a，a∈R}，所以：a≥3．即a的取值范围是[3，+∞）．【解析】（Ⅰ）根据集合的基本运算即可求A∩B，∁U A∪B；（II）根据（A∪B）∩C=∅，建立条件关系即可求实数a的取值范围．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．18.【答案】解：（Ⅰ）因为f（x）=sin2x+2cos2x-1=sin2x+cos2x=，所以函数f（x）的最小正周期．（II）函数y=sin x的单调递增区间为，∈．由可得．所以函数f（x）的单调递增区间为，∈．（III）因为，所以．所以．所以．所以所以当，即时，f（x）min=-1；当，即时，．【解析】（Ⅰ）首先利用三角函数关系是的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期．（Ⅱ）利用整体思想求出函数的单调区间．（Ⅲ）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=ax2-（a+2）x+1（a∈R），因为f（-1）=f（3），则函数f（x）的对称轴为，即．所以a=2；所以f（x）=2x2-4x+1．因为2＞0，开口向上，所以函数f（x）有最小值，最小值为f（1）=-1；（Ⅱ）函数，其定义域为{x|x≠0，x∈R}，则函数g（x）为奇函数．证明如下：g（x）=2x+，则，所以g（x）为奇函数．【解析】（Ⅰ）根据题意，由二次函数的性质可得函数f（x）的对称轴为，即可得，解可得a的值，进而结合二次函数的性质分析可得答案；（Ⅱ）结合（Ⅰ）的结论，分析可得g（x）的解析式，由基本不等式的性质分析可得答案．本题考查函数的最值以及函数奇偶性的判定证明，关键是求出a的值，属于基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）因为A（-1，1），B（5，3），C（4，0），所以，，，．所以＜，＞．（Ⅱ）因为，，因为，∈，所以（-1，1）=λ（6，2）+μ（-1，-3）．所以．所以．所以．（III）因为P，B，C三点共线，不妨设∈．所以（-1，-3）=k（m-5，-m-3）．所以．所以．所以m=3．【解析】（Ⅰ）直接利用向量的坐标运算和向量的夹角公式求出结果．（Ⅱ）利用向量的坐标运算和共线向量求出结果．（Ⅲ）利用向量共线的充要条件求出结果．本题考查的知识要点：向量坐标运算的应用，向量共线的充要条件的应用，向量的夹角公式的应用，平面向量基本定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21.【答案】解：（Ⅰ）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．则P（r cosθ，r sinθ）．∴|CQ|=1-r sinθ，|CR|=1-r cosθ．∴停车场PQCR的面积f（θ）=（1-r sinθ）（1-r cosθ）=1-r（sinθ+cosθ）+r2sinθcosθ（0≤θ≤）；（Ⅱ）设，∵∈，，∴∈，．∴=．对称轴，∵0＜r≤1，∴．∴当，即时，f（θ）的最大值为；当＞，即＜＜时，f（θ）的最大值为h（1）=1-r．∴，，＜＜．【解析】（Ⅰ）以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．则P（rcosθ，rsinθ），求得|CQ|，|CR|．代入矩形面积公式可得停车场PQCR的面积f（θ）；（Ⅱ）设，由θ的范围求得t的范围，然后利用二次函数求最值．本题考查根据实际问题建立函数模型，训练了换元法及二次函数最值的求法，是中档题．。
2015-2016北京昌平区高一(上)期末数学(含解析)
令 x y 1 ，得 f (2) 2 f (1) 1，
令 x 2 ， y 1 得 f (3) f (2) f (1) 3 ． 2
（Ⅱ）任取 x1 ， x2 R ，且 x1 x2 ， x2 x1 0 ， 因为 f (x y) f (x) f (y) ，即 f (x y) f (x) f [(x y) x] f (y) ，
2
④ f (x) ln(x2 1) ．
其中“ 函数”的个数是（ ）．
A．1
B． 2
C． 3
D． 4
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 30 分． 11．已知函数 f (x) xa 的图象经过点 (3, 1 ) ，那么实数 a 的值等于__________．
27
12．已知 sin(π ) 3 ，且 (0, π) ，那么 tan __________．
5
18．已知函数 f (x) sin(2x π) ． 6
（Ⅰ）求函数 f (x) 的最小正周期； （Ⅱ）求函数 f (x) 的单调递增区间； （Ⅲ）当 x (0, 2π) 时，求函数 f (x) 的最小值，并求出使 y f (x) 取得最小值时相应的 x 值．
3
6
19．已知函数 f (x) log1 (3 x) log1 (3 x) ．
C．向左平行移动 π 个单位长度 3
D．向右平行移动 π 个单位长度 3
7．已知
a
1
23
，
b
1
33
，
c
log2
1 3
，那么
a
，
b
，
c
的大小关系是（
）．
A． c a b B． c b a C． a b c D． b a c