导数在中学数学中的应用毕业论文

学号：**********导数在中学数学中的应用专业名称：数学与应用数学年级班别： 08级1班*名：***指导教师：***2012年05月导数在中学数学中的应用摘要导数具有丰富多彩的性质和特性，利用导数研究或处理中学数学问题，既可以加深对导数的理解，又可以为解决函数问题提供了有利的方法，使得函数问题得到简化,为我们解决函数问题提供了有力的工具,用导数可以解决函数中的极值和最值问题,不等式问题,还可以与解析几何相联系,可以用导数求曲线的切线，判断或论证函数的单调性。

因此导数是分析和解决中学数学问题的有效工具。

本文就导数的有关知识在中学数学中的应用进行了探讨。

阐述了利用导数知识研究函数的单调区间、最值等问题的基本方法，以及导数为解决某些不等式的证明、方程求解和数列求和提供了捷径。

同时导数知识在研究曲线的切线方面和解决实际问题中也有着广泛的应用。

关键词导数;函数;切线;不等式;恒等式;数列;方程Derivative and its application in middle school mathematics Abstract This article focuses on the use of derivatives of the basic knowledge and theory, to solve the middle school mathematics in the function monotone, the function of the value, function and other functions of the image problem, and introduced a derivative of the inequality, identify, the series, and analytic geometry. The application of practical problems. Involved in the text of the main methods of comparison, analysis and synthesis method.Keywords derivative; function; tangent; inequality; identity; series; equation前言导数（导函数的简称）是一个特殊函数，它的引出和定义始终贯穿函数思想. 导数是近代数学的基础,是联系初、高等数学的纽带,它的引入为解决一些中学数学问题提供了新的视野, 是研究函数性质、探求函数的极值最值、求曲线的斜率等等的有力工具[1，14-16]。

本文就导数的应用,谈一点个人的感悟和体会。

导数在中学数学中的应用非常广泛，涉及到中学数学的各个方面。

应用导数处理问题不需要很高的思维能力，突出了通法，淡化了技巧。

下面分类例析导数在中学数学中的具体应用。

1.导数在函数问题中的应用利用导数分析函数的性态是一种重要手段。

在分析函数的图象、判断函数的单调性、求解函数的最值等方面，利用导数可使复杂问题简单化、程序化。

1.1分析函数的图象【例1】设函数)(xf在定义域内可导，)(xfy=的图象如图所示，则导函数)(xfy'=的图象可能是A.B.C. D.解：当0<x时，函数()y f x=在对应的区间内均为增函数，∴0)(>'xf.0>x 时，函数()y f x=在对应的区间内先增后减再增，∴)(xfy'=先大于0，后小于0，再大于0.由此知)(xfy'=图象是D。

1.2 求参数的值【例2】函数cbxaxxxf+++=23)(过曲线()y f x=上的点p（1, )1(f）的切线方程为31y x=+，若函数()y f x=在区间[－2，１]上单调递增，求b的取值范围[2]。

解：由cbxaxxxf+++=23)(求导可得b ax x x f ++='23)(2过()y f x =上p （1, )1(f ）的切线方程为： )1)(1()1(-'=-x f f y即)1)(23()1(-++=+++-x b a c b a y ， 而过()y f x =上p （1, )1(f ）的切线方程为 31y x =+。

故有3+2a +b=3 即02=+b a又b ax x x f ++='23)(2 ∴ b bx x x f +-='23)(∵ ()y f x =在区间]1,2[-上单调递增，∴ )(x f '在区间]1,2[-上恒有0)(≥'x f ，即032≥+-b bx x 在]1,2[-上恒成立。

（1） 当16bx =≥时，03)1(≥+-='b b f ，所以6≥b ； （2） 当26bx =≤时，0212)2(≥++=-'b b f ， 所以φ∈b ；（3） 当216b -≤≤时，212()0612b b b f -'=≥，则60≤≤b ； 综合上述讨论可知，所求参数b 的取值范围是：0≥b 1.3 判断函数的单调性函数的单调性是函数的最基本性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识。

用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性，较难掌握好，而用导数知识来判断函数的单调性简便而且快捷，对于基本初等函数的单调性，大家都 比较熟悉，易找到它的单调区间。

当我们所讨论的函数是特殊基本初等函数(反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数与对数函数、三角函数与反三角函数、幂函数等)时，一般情况可利用它们定义域上的单调性来求解；但对于较复杂的函数的单调性，必须利用复合函数的单调性的结论来进行分析与判定．这是一种复杂而又容易出错的运算，而借有导函数来解决函数的单调性会更简明[3]。

单调性，并循“同增异减”的法则来获得，若为比较复杂的复合函数时，利 用导数可化难为易，轻松求解。

利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定)(x f 的定义域； （2）求导数)(x f '；（3）在函数)(x f 的定义域内解不等式)(x f '>0和)(x f '<0[4]；确定)(x f 的单调区间时，若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论。

【例3】确定函数x x x f 3)(3-=在哪个区间是增函数，在哪个区间是减函数。

分析 ：对函数)(x f 求导，求不等式)(x f '>0和)(x f '<0的解，则)(x f '>0的解为单调增区间，)(x f '<0的解为单调减区间 。

解：∵x x x f 3)(3-= ∴)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f 令)(x f '>0，得x <1或x >1，所以)(x f 的单调增区间为)1,(--∞和),1(+∞ 令)(x f '<0，得-1<x <1所以)(x f 的单调减区间为)1,1(-【例4】设)(x f =x ax +3恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间。

解：)(x f '=132+ax ，若a ≥0, )(x f '>0，对x ∈R 恒成立，此时)(x f 只有一个单调区间，矛盾。

若a <0，∵ )(x f '=132+ax ,此时)(x f 恰有三个单调区间。

令)(x f '=0得1x =a31-,2x =a31∴ a <0且单调减区间为（-∞，a31-）和（a31，+∞），单调增区间为（-a31，a31）。

评注：函数的驻点(导函数值等于0的点）和不可导的点（导数不存在的点）可能为函数的单调区间的分界点，分界点的确定取决于点两侧的导数是否异号。

1.4 应用导数研究有关方程的根的问题利用导数，结合根的存在定理及函数的单调性，能巧妙地解决有关方程的根的诸多问题。

【例6】若3m >，则方程0123=+-mx x 在[]0,2上有多少根？ 解：设32()1f x x mx =-+，则 mx x x f 23)(2-='当3m >且()0,2m ∈时，()0f x '<，故)(x f 在()0,2上单调递减，而)(x f 在0x =与2x =处都连续，且(0)10f =>，049)2(<-=m f故 )(x f 在[]0,2上只有一个根。

1.5求函数的极值利用导数求函数极值解答这类问题的方法是： （1）根据求导法则对函数求出导数；（2）令导数等于0,解出)(x f '= 0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如0x ）的左右侧，导函数)(x f '的符号如何变化，如果)(x f '的符号由正变负，则)(0x f 是极大值；如果)(x f '的符号由负变正，则)(0x f 是极小值。

（4）求出极值。

【例7】求 3211()33f x x x =-+的极值。

解：令()f x '=22x x -= x(x —2) = 0. 解方程，得120,2x x ==。

如图1.5所示。

由图可知 1(0)3f =为极大值；(2)1f =-为极小值。

注意：如果()f x '=0的根0x x =的左右侧符号不变，则)(0x f 不是极值[5]。

思考题：求 3211()33f x x x =-+在[-1，3]内的最大值和最小值。

1.6求函数的最值最值问题是中学数学中的重点、难点，它涉及到中学数学知识的各个方面，处理此类问题往往需要较高的思维能力和技能，而用导数处理这类问题使得解题过程程序化、简单化。

用求导方法求函数的最值问题，是简化用初等方法求最值的最佳手段，因为闭区间上函数的最大值、最小值只能在极值点或端点处取得，这样问题就化成求函数的极值点和各端点处的函数值问题.求值域、最值的方法很多,主要有：定义法、换元法、配方法、判别式法、不等式法、反函数法、三角代换法、数形结合法、单调性法、导数法等等[6]。

导数法通常是利用导数公式及运算法则，并结合函数的单调性来求得，一般来说，此法往往是较简捷的. 利用导数求函数求()f x 在[,]a b 上的最大（小）值的步骤如下： （1）求出()f x 的所有驻点和导数不存在的点12,,...,n x x x ；（2）比较12(),(),...,(),()n f x f x f x f a 及f(b)的大小，最大的就是()f x 在[,]a b 上的最大值，最小的为()f x 在[,]a b 上的最小值。