浙江省2020年第二学期期中考试高一数学试卷

2020学年第二学期期中考试高一数学试卷考试时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷一、选择题(本大题10小题，每小题4分,共40分)1．已知等差数列{}n a的首项为1，公差为2，则a9的值等于( ) A．15 B．16 C．17 D．182．在△ABC中，已知a=7，b=3，c=5，则该三角形的最大内角度数是( ) A．300 B．600 C.1200 D．15003．不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(-1,2)，则a＋b＝( )A.－3B.1C.－1D.34.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a3a4a5=29,则a3＝( )A.16B.8C.4D.25.已知0＜a＜1＜b，则下列不等式成立的是( )A.1a2＞1a＞1abB.1a2＞1ab＞1aC.1a＞1a2＞1abD.1a＞1ab＞1a26．在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAk =sinB3=sinC4（k为非零实数），则下列结论错误的是（）A. 当k=5时，ΔABC是直角三角形B. 当k=3时，ΔABC是锐角三角形C. 当k=2时，ΔABC是钝角三角形D. 当k=1时，ΔABC是钝角三角形7.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )A.9B.10C.11D.128.已知向量a ⃗ =(3cosθ,3sinθ)，b ⃗ =(0,−3)，θ∈(π2,π)，则向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为( )A. 3π2−θB. θ−π2C. π2+θD. θ9.已知实数x,y 满足xy −2=x +y ,且x >1,则y(x +11)的最小值为（ ）A.21B.24C.25D. 2710.若不等式(|x －2a |－b )×cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π3≤0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，56上恒成立，则2a ＋b 的最小值为( )A.1B. 56C.23D. 2二、填空题(本大题7小题，多空题每小题6分,单空题每小题4分，共,36分) 11.已知平面向量a ＝(2，－3)，b ＝(1，x )，若a ∥b ，则x ＝________；若a ⊥b ，则x ＝________.12.若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤2，y ≥－1，4x －3y ＋1≥0，则2y －x 的最小值为______.最大值为_______.13.已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b a ＋1b的最小值为________，此时a ＝________.14. 在△ABC中，AB＞AC，BC＝23，A＝60°，△ABC的面积等于23，则sin B ＝________，BC边上中线AM的长为________.15.若a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则通项公式a n＝________.16. 若关于x的不等式|2020－x|-|2 019－x|≤d有解，则实数d的取值范围________.17.已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP→＝λAB→，则△ABC与△APQ的面积之比为________.（结果用λ表示）第Ⅱ卷三、解答题(本大题5小题，共74分)18.（本小题满分14分）.已知数列{a n}满足a1＝1，na n＋1＝2(n＋1)a n.设b n＝ann.(1)证明：数列{b n}为等比数列；(2)求{a n}的通项公式.19. （本小题满分15分）已知函数f(x)=−4x2+13x−3．(1)求不等式f(x)>0的解集；(2)当x∈(0,+∞)时，求函数y=f(x)的最大值，以及y取得最大值时x的值．x20. （本小题满分15分）已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋2b|；(3)若AB→＝a＋2b，BC→＝b，求△ABC的面积.21. （本小题满分15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A ＋sin2B＋sin A sin B＝2c sin C，△ABC的面积S＝abc.(1)求角C；(2)求a＋b的取值范围.22.（本小题满分15分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a2n＝4S n－2a n－，T n为数列{b n}的前n项和．1(n∈N*).数列{b n}满足b n=1a n·a n+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和T n;(3)若对任意的n∈N∗，不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，求实数λ的取值范围；参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题: 本大题共7个小题，共36分． 11. −32, 23 12. -4 413． 3,12 14. 12,√7 15． n 2＋n ＋2216． d ≥−117．3λ－1λ2三、解答题: 本大题共5个小题，共74分．18．(本小题满分14分) （1）由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n}是首项为1，公比为2的等比数列.(2)由（1）可得b n＝2n－1，ann＝2n－1所以a n＝n·2n－1.19. 本小题满分15分)解：(1)由题意得−4x2+13x−3>0，因为方程−2x2+7x−3=0有两个不等实根x1=14，x2=3，又二次函数f(x)=−4x2+13x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|14<x<3}；(2)由题意知，y=f(x)x =−4x2+13x−3x=−4x−3x+13，因为x>0，所以y=−4x−3x +13=13−(4x+3x)≤13−4√3，当且仅当4x=3x ，即x=√32时，等号成立．综上所述，当且仅当x=√32时，y取得最大值为13−4√3．20．(本小题满分15分)解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cos θ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝42＋4×(－6)＋4×32＝28， ∴|a ＋2b |＝2√7 (3)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角B cos B =√7∴sin B =√3√7|AB →|＝2√7，|BC →|＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sinB ＝12×2√7×3×√37＝3 3.21． （本小题满分15分）解 (1)由S ＝abc ＝12ab sin C 可知2c ＝sin C ，∴sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C .由正弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2) 法一：由(1)知2c ＝sin C ，c=34∴2a ＝sin A ，2b ＝sin B . △ABC 的a ＋b ＝12(sin A ＋sin B )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ＋32cos A －12sin A＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin A ＋32cos A ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴A ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，∴12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3∈112]∴a ＋b 的取值范围为.112]法二：c 2=a 2+b 2+ab c 2=(a +b)2−ab ≥(a +b )2−(a+b )24316≥34(a +b )2 ∴a ＋b ≤12 ∵a ＋b >c =√34∴a ＋b 的取值范围为.112]22（本小题满分15分） 解：(1) 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，因为a n ＞0，a 2n ＝4S n －2a n －1，所以a 2n －1＝4S n －1－2a n －1－1，两式相减得a 2n －a 2n －1＝4a n －2a n ＋2a n －1＝2(a n ＋a n －1)，所以a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n＝2n－1.(2)由题意和(1)得：b n=1a n·a n+1=1(2n−1)·(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以数列{b n}前n项和T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=n2n+1．(3)①当n为偶数时，要使不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，即需不等式λ<2n+8n+17恒成立．∵2n+8n≥8，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ<25．②当n为奇数时，要使不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，即需不等式λ<2n−8n−15恒成立．∵2n−8n是随n的增大而增大，∴n=1时，2n−8n取得最小值−6．∴此时λ需满足λ<−21．综合①、②可得λ的取值范围是λ<−21．。