学闵行中学高一级第二学期期中考试数学试卷(附详细答案)
上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一下学期期中数学试卷 (含解析)
C．kπ+ 与 2kπ±
D． 与 kπ±
15．已知函数 f（x）＝ sinωx+cosωx（ω＞0）在[0，π]上有两个零点，则 ω 的取值范围为 （）
A．（ ， ） B．[ ， ）
C．（ ， ）
D．[
）
16．有一个三人报数游戏：首先 A 报数字 1，然后 B 报下两个数字 2，3，接下来 C 报下三
．
【分析】由 sinα 的值，及 α 的范围，判断出 cosα 为负数，利用同角三角函数间基本关系 求出 cosα 的值即可．
解：∵sinα＝ ，α∈（ ，π），
∴cosα＜0，
则 cosα＝﹣
＝﹣ ，
故答案为：﹣
3．已知{an}是等比数列，首项为 3，公比为 ，则前 4 项的和为
．
【分析】利用等比数列前 n 项和公式能求出等比数列前 4 项的和．
3
上海市闵行区七宝中学 2019-2020 学年高一第二学期期中考试
数学试卷参考答案
一.填空题（共 12 小题）.
1．若 cosα＝﹣ ，则 cos2α＝
．
【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．
解：∵cosα＝﹣ ，
∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×
﹣1＝ ．
故答案为： ．
2．已知 sinα＝ ，α∈（ ，π），则 cosα＝ ﹣
故答案为： ．
5．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a4＝1，则 S7＝ 7 ． 【分析】先由等差数列的性质可得 a1+a7＝2a4，再根据等差数列的求和公式代入即可． 解：根据题意，等差数列{an}中，a1+a7＝2a4，
则 S7＝
上海市高一下学期期中考试数学试卷含答案
有界函数”，注： ，若 ， ，则关于函数 、 在 上是否为“绝对差有界函数”的判断正确的是（）
A. 与 都是
B. 是而 不是
C. 不是而 是
D. 与 都不是
三.解答题
17.如图， 、 是单位圆 上的点，且 、 分别在第一与第二象限， 是单位圆与 轴正半轴的交点，若△ 为正三角形，点 的横坐标为 .
【分析】直接写出结果.
【详解】 .
故答案为： .
4【答案】
【解析】
【分析】直接利用公式求出结果.
【详解】函数 的最小正周期 .
故答案为： .
5【答案】1
【解析】
【分析】依题意可得 ，进而可得结果.
【详解】依题意可得 ，所以 ，因此 ，所以 .
故答案为： .
6【答案】②③
【解析】
【分析】用平方关系判断①；用特例判断②；用二倍角公式判断③.
【详解】解：由 ，∴ ，即 ，
因为 有意义，所以 ， ，
∴ ，又在 中，所以 或 ，
故选:D．
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用．考查计算能力，属于基础题．
14【答案】A
二.选择题
13.在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ，则角 的值为（）
A. B. C. 或 D. 或
14.函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（）
A. B.
C. D.
15..已知函数 ，则 是（）
A.最小正周期为 的奇函数B.最小正周期为 的奇函数
C.最小正周期为 的偶函数D.最小正周期为 的偶函数
2020-2021学年上海市闵行区七宝中学高一(下)期中数学试卷
2020-2021学年上海市闵行区七宝中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 在△ABC 中，内角A 、B 满足sin2A =sin2B ，则△ABC 的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形2. 赵爽是我国古代数学家、天文学家.约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为α，则tan(α+π4)的值为( ) A. 7 B. −7 C. 4 D. 93. 在△ABC 中，已知A =30°，b =18，设a =x(x >0).以下说法错误的是( )A. 若△ABC 有两解，x ∈(9,18)B. 若△ABC 有唯一解，x ∈[18,+∞)C. 若△ABC 无解，x ∈(0,9)D. 当x =10，△ABC 外接圆半径为104. 已知α，β≠kπ，k ∈Z ，则“sin(α+β)=sinα+sinβ”是“α+β=2nπ，n ∈Z ”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件二、填空题（本大题共12小题，共48.0分） 5. 已知角α的终边经过点P(2,−3)，则cotα的值是______ ．6. 函数y =sin(πx −13)的最小正周期为______ ．7. 已知sinα=45，且α是第二象限角，那么tanα的值是______．8. 已知tanθ=2，则sin(π2−θ)+cos(2π−θ)cos(3π2−θ)−sin(π−θ)= ______ ．9. 若α，β为锐角，且sinα=17，cosβ=√32，则cos(α+β)= ______ ． 10. 方程sinx −√3cosx =√2在[0,2π]上的解组成的集合为______ ．11. 已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sinA =2sinC ，a 2+c 2−ac =b 2，则∠C = ______ ．12. 函数y =cos(x 2−π6)，x ∈[−2π,2π]的严格递增区间是______ ．13. 函数y =cos(2x +φ)的图象向右平移π2个单位长度后与函数y =sin(2x +2π3)的图象重合，则|φ|的最小值为______ ． 14. 在等腰直角三角形ABC 中，∠C =π2，CA =CB =2，M 是CB 中点，点D 是AC上的点，若sin∠BDM =13，则CD = ______ ．15. 设△ABC 的内角A 、B 、C 满足6cosC =a b +b a ，则cotA +cotB 的最小值为______ ．16. 在平面直角坐标系中，已知点A(−1,0)，B(1,0)，若对于y 轴上的任意5个不同的点P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，总存在两个不同的点P i ，P j (i,j ∈{1,2，…，5}，使得|sin∠AP i B −sin∠APjB|≤λ，则λ的最小值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. (1)证明：sin 4α+cos 4α=1−12sin 22α．(2)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =csinB ，b =4√3，C =120°，求△ABC 的面积S ．18. 已知tanα=13，tan(α+β)=12，且α，β是锐角．(1)求tanβ的值；(2)求2α+β的值．19.某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，∠PBA=∠QAB=60°，AQ=QP=PB，OM、OP交QP于M，交AB于C，且OC⊥AB，设∠AOC=θ，(1)用表示OM的长度；(2)若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OM最长时，该奖杯比较美观的长度以及θ的大小．20.已知函数y=f(x)，其中f(x)=tan(ωx+π3)，ω>0．(1)若ω=2，求函数y=f(x)的最小正周期以及函数图象的对称中心；(2)若函数y=f(x)在[0,π]上严格递增，求ω的取值范围；(3)若函数y=f(x)在[a,b](a，b∈R且a<b)满足：方程f(x)=√3在[a,b]上至少存在2021个根，且在所有满足上述条件的[a,b]中，b−a的最小值不小于2021，求ω的取值范围．21.如图，在平面直角坐标系中锐角α，β的终边分别与单位圆交于A、B两点，角α+β的终边与单位圆交于C点，过点A、B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N、P．(1)如果|AM|=35，|ON|=513，求cos(α−β)的值；(2)求证：线段MA，NB，PC能构成一个三角形；(3)探究第(2)小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：法1：∵sin2A=sin2B，∴sin2A−sin2B=cos(A+B)sin(A−B)=0，∴cos(A+B)=0或sin(A−B)=0，∴A+B=90°或A=B，则△ABC一定是直角三角形或等腰三角形．法2：∵sin2A=sin2B，且A和B为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC一定是等腰或直角三角形．故选：D．解法1：利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos(A+B)=0或sin(A−B)=0，推断出A+B=90°或A=B，即可判断出三角形的形状．解法2：由两角的正弦值相等及A和B为三角形的内角，得到两角2A和2B相等或互补，即A与B相等或互余，进而确定出三角形的形状．此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦、余弦函数的图象与性质，积化和差公式，以及等腰三角形的判定，解题的关键是挖掘题设信息，借助三角函数的基本公式和基本性质找到边与边或角与角之间的关系．2.【答案】A【解析】解：根据图形的特点，设四个全等的直角三角形的一条直角边为x，另一条为x+1，所以x2+(x+1)2=52，解得x=3，所以x+1=4，所以tanα=34，故tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=34+11−34=7．故选：A．直接利用三角函数的关系式的恒等变换，和角的正切的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，和角的正切的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：在△ABC中，A=30°，b=18，设a=x(x>0)，可得bsinA=9，对于A，bsinA<x<b有两解，即9<x<18，故正确；对于B，当x=bsinA或x≥b，△ABC只有一解，可得x=9或x≥18，故错误；对于C，当x<bsinA=9，且x>0，△ABC无解，故正确；=20，可得R=10，故正确．对于D，当x=10，a=10，设外接圆半径为R，则2R=asinA故选：B．由题意利用正弦定理即可判断得解．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=sinα+sinβ，∴必有cosα=1且cosβ=1，即α=2kπ，k∈Z且β=2mπ，m∈Z，则α+β=2(k+m)π=2nπ，n∈Z，即充分性成立，若α+β=2nπ，n∈Z，则β=2nπ−α，n∈Z，则sin(α+β)=sin2nπ=0，sinα+sinβ=sinα+sin(2nπ−α)=sinα−sinα=0，即sin(α+β)=sinα+sinβ成立，即必要性成立，则“sin(α+β)=sinα+sinβ”是“α+β=2nπ，n∈Z”的充要条件，故选：C．根据三角函数运算公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的运算公式是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】−23【解析】解：∵角α的终边经过点P(2,−3)，则cotα=2−3=−23，故答案为：−23．由题意利用任意角的三角函数的定义，计算求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6.【答案】2【解析】解：∵y =sin(πx −13)，∴由三角函数的周期性及其求法可得最小正周期T =2ππ=2．故答案为：2．由三角函数的周期性及其求法直接求值．本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．7.【答案】−43【解析】解：∵α是第二象限角∴cosα=−√1−1625=−35 ∴tanα=sinαcosα=−43故答案为：−43先利用α所在的象限判断出cosα的正负，然后利用同角三角函数的基本关系，根据sinα的值求得cosα的值，进而求得tanα．本题主要考查了同角三角函数的基本关系．注重了对学生基础知识的掌握．8.【答案】−12【解析】解：因为tanθ=2，所以sin(π2−θ)+cos(2π−θ)cos(3π2−θ)−sin(π−θ)=cosθ+cosθ−sinθ−sinθ=−1tanθ=−12．故答案为：−12．由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可求解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9.【答案】1114【解析】解：若α，β为锐角，且sinα=17，cosβ=√32， 则cosα=√1−sin 2α=4√37， sinβ=√1−cos 2β=12．所以cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=√32×4√37−12×17=1114．故答案为：1114．直接利用同角三角函数关系式的变换和和角的余弦的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，和角的余弦的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】{7π12,13π12}【解析】解：sinx −√3cosx =√2，可得sin(x −π3)=√22， 所以x −π3=π4，x −π3=3π4， 解得x =7π12或x =13π12． 故答案为：{7π12,13π12}.利用两角和与差的三角函数化简方程锐角求解即可．本题考查两角和与差的三角函数，三角方程的解法，是基础题．11.【答案】π6【解析】解：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=2sinC，可得a=2c，代入a2+c2−ac=b2，可得b=√3c，所以cosC=a2+b2−c22ab =2222×2c×√3c=√32，因为C是三角形内角，所以C=π6．故答案为：π6．利用正弦定理求出a，c关系，结合已知条件，推出b，c关系，然后利用余弦定理求解C即可．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】[−5π3,π3 ]【解析】解：函数y=cos(x2−π6)，令−π+2kπ≤x2−π6≤2kπ(k∈Z)，整理得−5π3+4kπ≤x≤4kπ+π3(k∈Z)，由于x∈[−2π,2π]，当k=0时，−5π3≤x≤π3．所以函数的单调递增区间为：[−5π3,π3 ].故答案为：[−5π3,π3 ].直接利用余弦型函数性质的应用求出函数的单调递增区间．本题考查的知识要点：余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13.【答案】5π6【解析】解：函数y=cos(2x+φ)的图象向右平移π2个单位长度后得到f(x)=cos(2x−π+φ)=−cos(2x+φ)=sin(2x+φ+3π2)由于与函数y=sin(2x+2π3)的图象重合，所以φ+3π2=2kπ+π3，整理得：φ=2kπ−7π6，所以|φ|的最小值为5π6．故答案为：5π6．直接利用三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.【答案】√2【解析】解：设DC=x，则DM=√x2+1，DB=√x2+4，故在△BDM中，BMsin∠BDM =DMsinB，可得1sin∠BDM =√x2+1⋅√x2+4x，可得sin∠BDM=√x2+1⋅√x2+4=13，可得x=√2，即CD=√2．故答案为：√2．设DC=x，由勾股定理可得DM=√x2+1，DB=√x2+4，从而在△BDM中，由正弦定理可得sin∠BDM=x√x2+1⋅√x2+4=13，解得x的值，即可得解CD的值．本题主要考查了勾股定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．15.【答案】√2【解析】解：因为6cosC=ab +ba，所以cosC=16⋅a2+b2ab≥13，可得C∈(0,arccos13]，另一方面，cosC=16⋅a2+b2ab=a2+b2−c22ab，可得a2+b2=32c2，所以cotA +cotB =cosA sinA +cosB sinB =sinC sinAsinB =c 2absinC =1sinC ⋅2(a 2+b 2)3ab =23sinC ⋅6cosC =4cotC ≥4cot(arccos 13)=√2，当且仅当C =arccos 13，A =B 时取得最小值√2．故答案为：√2．由已知利用基本不等式可得cosC =16⋅a 2+b 2ab ≥13，利用余弦函数的性质可得C ∈(0,arccos 13]，又由余弦定理可得a 2+b 2=32c 2，利用同角三角函数基本关系式，三角函数的性质可得cotA +cotB =4cotC ≥4cot(arccos 13)=√2，即可得解．本题主要考查了基本不等式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．16.【答案】14【解析】解：因为∠AP i B ∈(0,π]，所以sin∠AP i B ∈[0,1]，i ∈{1,2，…，5}，若λ<14，取点P i 使得sin∠AP 1B =0，sin∠AP 2B =1+λ5，sin∠AP 3B =2(1+λ)5，sin∠AP 4B =3(1+λ)5，sin∠AP 5B =1，则对任意的两个点P i ，P j ，都有|sin∠AP i B −sin∠AP j B|>λ，当λ=14时，把区间[0,1]分成[0,14),[14,24),[24,34),[34,1]这4个区间，则P 1，P 2，P 3，P 4，P 5中必有两个点P i ，P j ，使得sin∠AP i B ，sin∠AP j B 落在同一区间中，故|sin∠AP i B −sin∠AP j B|≤14，所以λ≥14，则λ的最小值为14．故答案为：14．先确定sin∠AP i B 的范围，研究当λ<14时，可得|sin∠AP i B −sin∠AP j B|>λ，当λ=14时，可得|sin∠AP i B −sin∠AP j B|≤14，从而得到λ的取值范围，即可得到答案． 本题考查了推理论证能力、应用意识以及创新意识，考查逻辑推理的核心素养，属于中档题． 17.【答案】解：(1)证明：(sin 2α+cos 2α)2−2sin 2αcos 2α=1−2sin 2αcos 2α=1−(√2sinαcosα)2=1−(√22sin2α)2=1−12sin 22α，故原命题成立；(2)∵a=csinB，∴sinA=sinCsinB=√32sinB，又asinA =bsinB，则a=bsinAsinB=b⋅√32sinBsinB=√32b，且b=4√3，故a=6，△ABC的面积S=12absinC=18．【解析】(1)根据三角恒等变换证明即可；(2)根据正弦定理以及三角形的面积公式即可．本题考查了三角恒等变换，考查正弦定理以及三角形面积公式，是中档题．18.【答案】解：(1)∵tanα=13，tan(α+β)=12，∴tanβ=tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=12−131+12×13=17；(2)∵tanα=13，tan(α+β)=12，∴tan(2α+β)=tan[(α+β)+α]=tan(α+β)+tanα1−tan(α+β)tanα=12+131−12×13=1，∵α，β是锐角，即0<α<π2，0<β<π2，∴0<α+β<π，又tan(α+β)=12，∵0<α+β<π2，则0<2α+β<π，∴2α+β=π4．【解析】(1)利用tanβ=tan[(α+β)−α]，展开两角差的正切求解；(2)利用tan(2α+β)=tan[(α+β)+α]，展开两角和的正切求得tan(2α+β)，由已知求得2α+β的范围，则答案可求．本题考查两角和与差的正切，考查由三角函数值求角，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(1)在直角三角形AOC中，OA=10，∠AOC=θ，则OC=10cosθ，ac=10sinθ，所以AB=20sinθ，设AQ=QP=BP=x，作QE⊥AB交AB于E，PF⊥AB交AB于F，因为∠PBA=∠QAB=60°，所以AE=BF=12x，CM=PF=√32x，EF=QP=x，所以AB=2x，则AB=20sinθ=2x，即x=10sinθ，所以OM=OC+CM=10cosθ+√32x=10cosθ+5√3sinθ；(2)OM=10cosθ+5√3sinθ=5√7sin(θ+φ)，其中cosφ=√3√7，sinφ=√7，则当sin(θ+φ)=1，cosθ=cos(θ+φ−φ)=cos(θ+φ)cosφ+sin(θ+φ)sinφ=sinφ=2√77，因此当θ=arccos2√77时，OM最长为5√7．【解析】(1)利用直角三角形的性质求出AB，OC的长度，设AQ=QP=BP=x，作QE⊥AB交AB于E，PF⊥AB交AB于F，利用图形求出x=10sinθ，进而可以求解；(2)利用(1)的结论以及三角函数的性质即可求解．本题考查了函数的实际应用，涉及到三角函数的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由于f(x)=tan(ωx+π3)，ω>0，ω=2，∴f(x)=tan(2x+π3)的最小正周期为π2，令2x+π3=kπ2，求得x=kπ4−π6，k∈Z，故f(x)的图象的对称中心为(kπ4−π6,0)，k∈Z．(2)若函数y=f(x)在[0,π]上严格递增，则ω×π+π3<π2，求得ω<16，即ω的范围为(0,16).(3)方程f(x)=√3在[a,b]上至少存在2021个根，故当x∈[a,b]时，tan(ωx+π3)=√3至少有2021个根，即ωx+π3=kπ+π3，k∈Z，至少有2021个根，即当x∈[a,b]时，x=kπω至少有2021个根．且在所有满足上述条件的[a,b]中，b−a的最小值不小于2021，故b−a至少包含2020个周期，即b−a≥2020⋅πω≥2021，∴ω∈(0,20202021⋅π].【解析】(1)由题意利用正切函数的周期性和对称性，得出结论．(2)由题意利用正切函数的单调性，求得ω的范围．(3)由题意利用正切函数的周期性和零点，正切函数的图象，求得ω的范围．本题主要考查正切函数的图象和性质，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意可得sinα=35，cosβ=513，由于α，β均为锐角，所以sinβ=1213，cosα=45，则cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=45×513+35×1213=5665；(2)证明：MA =sinα，NB =sinβ，PC =sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ<sinα⋅1+sinβ⋅1=sinα+sinβ，所以MA +NB >PC ，MA =sinα=sin[(α+β)−β]=sin(α+β)cosβ−cos(α+β)sinβ<sin(α+β)+sinβ，所以NB +PC >MA ，同理：MA +PC >NB ，所以MA ，NB ，PC 作为三边的长能构成一个三角形．(3)三角形的外接圆的面积是定值，证明如下：设(2)中的三角形为△A′B′C′中，角A′，B′，C′所对的边长为sinα，sinβ，sin(α+β)，由余弦定理可得，cosC′=sin 2α+sin 2β−sin 2(α+β)2sinαsinβ=sin 2α+sin 2β−(sinαcosβ)2−(cosαsinβ)22sinαsinβ−cosαcosβ =sinαsinβ−cosαcosβ=−cos(α+β)，∵α，β∈(0,12π)，∴α+β∈(0,π)，∴sinC′=sin(α+β)，设外接圆的半径为r ，则由正弦定理可得2R =B′C′sinA′=sin(α+β)sin(α+β)=1，∴R =12， ∴外接圆的面积S =π4．【解析】(1)运用同角的平方关系和任意角的三角函数的定义，结合两角差的余弦公式，计算即可得到所求；(2)要证明MA ，NB ，PC 能构成一个三角形，只需证明两边之和大于第三边即可；(3)设线段MA ，NB ，PC 构成的三角形为△A′B′C′，利用余弦定理求出cosC′，从而求出sinC′，再利用正弦定理求出三角形的外接圆的半径，即可判断．本题考查三角函数的求值，考查了三角函数的定义、和差角公式、正弦定理等知识在求解三角形中的应，解题中要注意公式的灵活应用，属于中档题．。
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.“sinx=0”是“cosx=−1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,−π<φ<0)的部分图象如图所示，则下列判断错误的是()A. 函数f(x)的最小正周期为2B. 函数f(x)的值域为[一4，4]C. 函数f(x)的图象关于(103，0)对称D. 函数f(x)的图象向左平移π3个单位后得到y=Asinωx的图象3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列判断错误的是()A. f(π3)=1B. 函数f(x)的图象关于x=7π6对称C. 函数f(x)的图象关于(−11π2,0)对称D. 函数f(x)的图象向右平移π12个单位后得到y=Asinωx的图象4.若f(x)=sinx+cosx在[0,a]上是增函数，则a的最大值是()A. πB. 3π4C. π4D. π2二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 将函数y =3sin(2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是__________．6. 设函数y =f(x)的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D 且x 1+x 2=2a ，恒有f(x 1)+f(x 2)=2b ，则称点(a,b)为函数y =f(x)图象的对称中心．研究并利用函数f(x)=x 3−3x 2−sin(πx)的对称中心，计算S =f(12015)+f(22015)+⋯+f(40282015)+f(40292015)的值______ ． 7. 角α终边上有一点P(1,1)，则sinα的值为______ ． 8. cos27°cos18°−sin27°sin18°=______．9. 已知函数f(x)={cos π2x,0≤x ≤4−x +5,x >4，若实数a 、b 、c 互不相等，且满足f(a)=f(b)=f(c)，则a +b +c 的取值范围是______ ．10. 已知函数f(x)={−12x +14,x ∈[0,12]2x 2x+2,x ∈(12,1],g(x)=asin(π3x +32π)−2a +2(a >0)，给出下列结论： ①函数f(x)的值域为[0,23]； ②函数g(x)在[0,1]上是增函数；③对任意a >0，方程f(x)=g(x)在区间[0,1]内恒有解；④若存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则实数a 的取值范围是49≤a ≤45， 其中所有正确结论的序号为______ ．11. 已知α为第二象限角，cosα=−35，则sin2α=______．12. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a =2，b =3，c =4，则cosA =______． 13. 函数f(x)=sin(2x −π4)的最小正周期是______．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知bcosB =ccosC ，则该三角形的形状是______.(不要使用“△”符号表示三角形) 15. 以下有四种说法：①“a >b ”是“a 2>b 2”的充要条件；②“A ∩B =B ”是“B =⌀”的必要不充分条件； ③“x =3”的必要不充分条件是“x 2−2x −3=0”； ④“m 是实数”的充分不必要条件是“m 是有理数”． 其中正确说法的序号是______ ．16.函数f(x)=cos2x+sin2x图象向左平移m(m>0)个单位，所得函数图象关于原点对称，则m的最小值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.在中，已知角，，，解此三角形。
2023-2024学年上海市闵行中学高一(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年上海市闵行中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“φ=π2”是“函数y =sin (x +φ)为偶函数”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.设f(n)=1n +1+1n +2+...+1n +n (n ∈N ∗)，那么f(n +1)−f(n)等于( )A. 12n +1−1n +1B. 12n +2−1n +1 C. 12n +1+12n +2 D. 12n +1−12n +23.如图，圆O 内接边长为1的正方形ABCD ，P 是弧BC(包括端点)上一点，则AP ⋅AB的取值范围是( )A. [1,4+ 24]B. [1,1+ 22]C. [1,2+ 22]D. [ 24,1]4.设实数x ∈(0,π4)，给出如下两个命题：①存在x ，使得sinx ，cosx ，tanx ，cotx 按某种顺序可组成等差数列；②存在x ，使得sinx ，cosx ，tanx ，cotx 按某种顺序可组成等比数列．则( )A. ①②均为真命题B. ①为真命题，②为假命题C. ①为假命题，②为真命题D. ①②均为假命题二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______．6.角α终边上有一点P(3,−2)，则sinα= ______．7.已知复数z 满足(2+i)z =5，则|z|= ______．8.数列{a n }中，a n =nsin nπ2，则a 2024的值为______．9.已知向量a =(1,2)，b =(−2,x)，若a //b ，则实数x =______．10.首项为1的等比数列{a n }中，4a 1，2a 2，a 3成等差数列，则公比q =______．11.已知△ABC的三边长AB=4cm，BC=2cm，AC=3cm，则△ABC的面积为______cm2．12.已知点P(cosθ,sinθ)，点A(−2,0)，O为原点，则AO⋅AP的最小值为______．13.在复平面内，复数z1和z2对应的点分别为A，B，则z1⋅z2=______．14.在等差数列{a n}中，a1>0，S4=S9，则S n取最大值时，n=______．15.如图，在Rt△ABC内有一系列的正方形，它们的边长依次为a1，a2，…，a n，…，若AB=a，BC=2a，则所有正方形的面积的和为______．16.已知空间向量a、b、c、d满足：|a−b|=1，|b−c|=2，(a−b)//(b−c)，(a−d)⋅(b−d)=0，则|c−d|的最大值为______．三、解答题：本题共5小题，共78分。
上海市闵行区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含解析)
2024-2025学年上海市闵行区高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“”的条件.A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件2.不等式，的解集不可能是( )A. B. R C. D.3.已知集合，，则满足的集合S共有个.A. 3B. 4C. 7D. 84.设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是( )A. 对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集B. 对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集C. 对任意a，使得不是的子集，对任意b，不是的子集D. 对任意a，使得不是的子集，存在b，使得不是的子集二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知全集为R，集合，则______.6.集合，则集合______.7.若，则的最小值为______.8.若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围是______.9.已知，，则的取值范围是______.10.若集合有且仅有一个元素，则实数______.11.用反证法证明命题：“若，则或”的第一步应该先假设______.12.一元二次不等式的解集是，则______.13.关于x的不等式的解集M有下列结论，其中正确的是______.①M可以是；②M可以是R；③M可以是；④M可以是14.已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为和，且，则实数______.15.若不等式的解集为，则实数a的取值范围是______.16.不等式有多种解法，其中之一是在同一直角坐标系中作出，的图像，然后求解，请类比求解以下问题：设a，，，若对任意，都有，则的取值范围是______.三、解答题：本题共5小题，共78分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题14分求下列不等式解集.18.本小题14分已知集合，，全集当时，求，；若，求实数a的取值范围．19.本小题14分一家新兴的医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划应用新技术生产一种新型的医疗器械；已知生产该产品的每年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产x台需另投入成本万元，且由市场调研知，该产品每台的售价为200万元时，本年度内生产的该产品当年能全部销售完.求年利润万元关于年产量x台的函数解析式利润=销售收入-成本；当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？20.本小题18分已知二次函数若关于x的方程的两个实数根，满足，求实数t的值；若对任意都有成立，求实数t的取值范围；若关于x的方程在区间上有且仅有一个实数根，求实数t的取值范围.21.本小题18分在平面直角坐标系中，两点、的“曼哈顿距离”定义为，记为如，点、的“曼哈顿距离”为9，记为动点P在直线上，点，若，求点P的横坐标x的取值范围；动点P在直线上，动点Q在函数图像上，求的最小值；动点Q在函数的图像上，点，的最大值记为如，当点P的坐标为时，求的最小值，并求此时点P的坐标.答案和解析1.【答案】D【解析】本题考查必要条件，充分条件及充要条件的判定，属基础题.结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：因为，，所以“”是“”的充分不必要条件.2.【答案】D【解析】解：当，时，不等式，的解集是；当，时，不等式，的解集是R；当时，不等式，的解集是；当时，不等式，的解集是不等式，的解集不可能是故选当，时，不等式，的解集是；当，时，不等式，的解集是R；当时，不等式，的解集是；当时，不等式，的解集是本题考查一元一次不等式的解法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.【答案】D【解析】解：因为集合，，所以，所以，，因为，所以S可以为，，，，，，，，共8个．故选：根据题意可得集合B，再结合子集的概念可列举出集合S的所有可能情况．本题考查子集的应用，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．4.【答案】B【解析】解：对于集合，，可得当，即，可得，即有，可得对任意a，是的子集；当时，，，可得是的子集，故A错误，B正确；当时，，且，可得不是的子集．综上可得，对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集，故C错误，D错误．故选：运用集合的子集的概念，令，推得，可得对任意a，是的子集；再由，，求得，，即可判断B正确，A，C，D错误．本题考查集合的关系的判断，注意运用二次不等式的解法，以及任意和存在性问题的解法，考查判断和推理能力，属于基础题．5.【答案】【解析】解：全集为R，集合，故答案为：利用补集的定义直接求解．本题考查集合的运算和补集的定义，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】【解析】解：集合，又Z是整数集，故答案为：利用交集的概念计算即可．本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．7.【答案】4【解析】解：因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为故答案为：4直接利用基本不等式，即可得解．本题考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．8.【答案】【解析】解：是的充分条件，，实数m的取值范围是，故答案为：利用充要条件的定义求解即可．本题考查了充要条件的应用，属于基础题．9.【答案】【解析】解：，，又，，故的取值范围为故答案为：根据已知条件，结合不等式的可加性，即可求解．本题主要考查不等式的性质，属于基础题．10.【答案】0或【解析】解：因为集合A中有且仅有一个元素，即方程有一个根或者两个相等的实数根，当时，方程仅有一个实数根，满足题意；当时．，解得，综上，或故答案为：0或由题意得方程有一个根或者两个相等的实数根，然后结合方程根的存在条件可求．本题主要考查了元素与集合关系的应用，属于基础题．11.【答案】且【解析】解：用反证法证明“若，则或”时，第一步应先假设“且”．故答案为：且直接利用反证法的步骤，即可得到答案．本题考查反证法的应用，考查命题的否定，是基础题．12.【答案】0【解析】解：由题意可知的两个根分别是，且，所以，解得，，所以故答案为：利用三个二次关系计算即可．本题考查了不等式的解集与对应方程关系的应用问题，是基础题．13.【答案】②④【解析】解：对于①：假设结论成立，则，解得，则不等式为，解得，与解集是矛盾，故①错误；对于②：当，时，不等式恒成立，则解集是R，故②正确；对于③：当时，不等式，则解集不可能为，故③错误；对于④：假设结论成立，则，解得，此时不等式为，解得，符合题意，故④正确．故答案为：②④．在假设结论成立时求出a，b值进行判断①④，举特例判断②③．本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．14.【答案】【解析】解：关于x的一元二次方程的两个实根分别为和，，，，解得或，当时，一元二次方程无解，舍去．故故答案为：利用韦达定理得到二次方程两个根之间的关系，再由已知，可得p的值．本题主要考查了韦达定理的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由题意可知，不等式对任意的恒成立，由三角不等式可得，则，即，解得，因此，实数a的取值范围是故答案为：利用三角不等式得到，再解绝对值不等式即可．本题主要考查绝对值不等式的性质，考查计算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：类比图像法解不等式，画出和，若对任意都有，则应为增函数，所以两个函数图像应如下图所示：由图像得，解得，其中，，所以，当且仅当时等号成立，故的范围为故答案为：类比图像法，画出和的图像，根据图像列出方程即可．本题主要考查不等式的求解，考查计算能力，属于中档题．17.【答案】解：由，所以不等式解集为；由，则或，所以或，故不等式解集为【解析】将分式不等式化为求解集即可；由公式法求绝对值不等式的解集．本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．18.【答案】解：当时，，所以，由，知，当时，，解得；当时，，解得，综上所述，实数a的取值范围为【解析】把代入，可得集合A，再由并集和交集的运算法则，得解；易知，再分和两种情况，列出关于a的不等式组，解之即可．本题考查集合的运算，熟练掌握集合的关系与运算是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：由题意可得：当时，，当时，，故；①若，，由二次函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，所以当时，万元，②若，当且仅当时，即时，万元．所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元．【解析】分和两种情况，两种情况，结合题意分析求解；分和两种情况，根据二次函数性质结合双勾函数单调性计算最值，比较得到答案．本题考查了函数在生活中的实际运用，也考查了二次函数的性质、利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．20.【答案】解：因为方程，即，且方程的两根为和，所以，解得或，又因为，所以，化简得，解得或舍去，所以由题意得对恒成立，则对恒成立，即对恒成立，设，则当且仅当，即时等号成立，所以，即，所以t的取值范围是当，即时，经检验满足题意；当，即或时，由，得，解得，经检验不合题意；综上知，t的取值范围是或【解析】利用一元二次方程的韦达定理及判别式计算即可；分离参数利用换元法结合基本不等式计算即可；分类讨论方程根的情况结合二次函数根的分布计算即可．本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：由已知，则概率“曼哈顿”定义得，，，当时，成立，解得；当时，，解得，当时，，解得，综上所述点P的横坐标x的取值范围为设出动点，，则，，，当时，，此时，当时，，此时，当时，，此时，，，综合得，当，时取等号，的最小值为设，则，若存在实数a，b，使得，则对任意成立，取，得，取，则，，解得，取，，是上是偶函数，当时，若，，若，，当且仅当时，取等号，存在实数a，且，，使得最小值为，点【解析】利用“曼哈顿距离”定义，分类讨论去绝对值解不等式即可；设出动点，，利用曼哈顿距离的定义列出二元函数，将它视为以为参数，为自变量的函数，分类讨论求其最值即可；先取特值确定出最小值，再验证有实数a，b即可．本题考查新定义、两点间距离公式、函数的奇偶性等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。
2021-2022学年上海市闵行中学、文绮中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)
上海市闵行中学、文绮中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题一、填空题.本大题共有14题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1．已知4sin 5α=，且α是第二象限角，那么tan α的值是 ． 〖解 析〗α是第二象限角，3cos 5α∴=-，sin 4tan cos 3ααα∴==-． 〖答 案〗43-2．已知向量a ，b 为单位向量，且a 与b 的夹角为150︒，则a b ⋅= ． 〖解 析〗||||cos a b a b a ⋅=⋅<，11cos150b >=⨯⨯︒=． 〖答案〗 3．扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的面积为 ． 〖解 析〗因为扇形的半径2r =，弧长4l =， 根据扇形的面积公式得，1142422S lr ==⨯⨯=．〖答 案〗44．已知1sin cos 2αα+=，则sin 2α= ．〖解 析〗由1sin cos 2αα+=两边平方得112sin cos 4αα+=，则3sin 24α=-．〖答 案〗34-5．已知tan 2θ=，则sin()cos(2)23cos()sin()2πθπθπθπθ-+-=--- ． 〖解 析〗因为tan 2θ=，所以sin()cos(2)cos cos 1123sin sin tan 2cos()sin()2πθπθθθπθθθθπθ-+-+==-=------．26．函数tan 2y x =的最小正周期为 ． 〖解 析〗函数tan 2y x =的最小正周期为2π． 〖答 案〗2π 7．已知1cos 3x =-，2x ππ<<，用反余弦形式表示x 的结果是 ．〖解 析〗1cos 3x =-，2x ππ<<，11arccos()arccos 33x π∴=-=-．〖答 案〗1arccos 3π-8．函数y 的定义域为 ．〖解 析〗由题意得1sin 02x ->， 解得52266k x k ππππ+<<+，k Z ∈． 〖答 案〗5{|2266x k x k ππππ+<<+，}k Z ∈ 9．函数()cos2sin f x x x =+的值域是 ．〖解 析〗2219()cos2sin 2sin sin 12(sin )48f x x x x x x =+=-++=--+，又sin [1x ∈-，1]，∴当1sin 4x =时，函数()f x 取到最大值为98，当sin 1x =-时，函数()f x 取到最小值为2-， 综上函数()cos2sin f x x x =+的值域是9[2,]8-．〖答 案〗9[2,]8-10．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A C =，222a c ac b +-=，则C ∠= ．〖解 析〗ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A C =，可得2a c =，代入222a c acb +-=，可得b =，所以222222cos 2a b c C ab +-===，因为C 是三角形内角，所以6C π=．611．已知()sin()f x A x ωϕ=+，若函数()y f x =的图像如图所示，则f （1）f +（2） f +（3）(2022)f +⋯+= ．〖解 析〗()sin()f x A x ωϕ=+，∴由图像知1A =，142T =，284ππω∴==，由五点作图法可知，104πϕ⨯+=，4πϕ∴=-，()sin()44f x x ππ∴=-，f ∴（1）0=，f （2），f （3）1=，f （4），f （5）0=，f （6）=，f （7）1=-，f （8）=， f ∴（1）f +（2）f +（3）f +⋯+（8）0=，又222025286=⨯+，f ∴（1）f +（2）f +（3）(2022)2520f f +⋯+=⨯+（1）f +（2）f +（3）f +⋯+（6）1=．〖答 案〗1+ 12．方程12sin 01x xπ-=-，[1x m ∈--，3]()m m Z +∈的所有根的和等于2024，则满足条件的整数m 的值是 ． 〖解 析〗方程12sin 01x x π-=-⇔12sin 1x x π=-，令函数1()1f x x=-，()2sin g x x π=， 函数1()1f x x=-图象关于点(1,0)对称，函数()2sin g x x π=的图象也关于点(1,0)对称，其图象如图，区间[1m --，3]()m m Z +∈关于数1对称，函数()f x ，()g x 在[1m --，3]()m m Z +∈的交点成对出现，它们关于点(1,0)对称，因方程12sin 01x xπ-=-在[1m --，3]()m m Z +∈上所有根的和等于2024，因此，两函数图象在[1m --，3]()m m Z +∈上有1012对关于点(1,0)对称的交点， 则有31012m +=或31013m +=， 解得1009m =或1010m =，所以满足条件的整数m 的值是1009或1010． 〖答 案〗1009或1010二、选择题.本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．在ABC ∆中，“sin A =3A π=”的( ) A ．必要非充分条件 B ．充分非必要条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件〖解 析〗由sin A =3A π=，例如23A π=；反过来由3A π=，可得sin sin3A π==所以“sin A “是“3A π= “的必要非充分条件． 〖答 案〗A14．已知4sin 5α=-，α是第三象限角，则tan (2α= )A ．2±B ．12±C ．2-D ．12-〖解 析〗因为4sin 5α=-，α是第三象限角，所以3cos 5α=-，即3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈， 所以3224k k παπππ+<<+，k Z ∈， 所以tan 02α<，而21cos sin 22αα-=，21cos cos 22αα+=，所以222311cos 52tan 4321cos 125sin cos ααααα+-====+-， 所以tan22α=-．〖答 案〗C15．在下列函数中，既是(0,)2π上的增函数，又是以π为最小正周期的偶函数的函数是()A ．sin 2y x =B ．cos2y x =C ．|sin |y x =D ．|sin 2|y x =〖解 析〗由sin 2y x =在(0,)2π上不具有单调性，故排除A ．由于cos2y x =在(0,)2π上是减函数，故排除B ．由于|sin |y x =的周期等于π，且在(0,)2π上是增函数，故C 满足条件．由于|sin 2|y x =的周期等于2π，故不满足条件，故排除D ． 〖答 案〗C16．若函数()f x 同时满足：①定义域内任意实数x ，都有(2)()0f x f x ++-=；②对于定义域内任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有1212()[()()]0x x f x f x -⋅->；则称函数()f x 为“DM 函数”．若“DM 函数”满足(3sin )(cos )0f f αα-+>，则锐角α的取值范围为( )A ．(0,)3πB ．(0,)2πC ．(,)43ππD ．2(,)43ππ〖解 析〗对于定义域内任意实数1x ，2x ，当12x x ≠时， 恒有1212()[()()]0x x f x f x -⋅->，∴函数()f x 为定义域内的单调增函数，又定义域内任意实数x ，都有(2)()0f x f x ++-=， (2cos )(cos )0f f αα∴-+=，(3sin )(cos )0(3sin )(cos )(2cos )(cos )f f f f f f αααααα∴-+>⇔-+>-+， 3sin 2cos αα∴->-，sin cos 1αα∴-<，)14πα-<，sin()4πα∴-<又α为锐角，444πππα∴-<-<，解得(0,)2πα∈．〖答 案〗B三、解答题.本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，在ABC ∆中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，23AE AD =，AB a =，AC b =．（1）用,a b 表示AF ，AD ，AE ； （2）求证：B ，E ，F 三点共线． 解：（1）1122AF AC b ==，11112222AD AB AC a b =+=+， 221111()332233AE AD a b a b ==+=+； （2）证明：11123333BE AE AB a b a b a =-=+-=-，13123()22332BF AF AB b a b a BE =-=-=-=，B ∴，E ，F 三点共线．18．（14分）设(0,)3πα∈，(,)62ππβ∈，且α，β满足8cos 5sin ααββ+=⎪+=⎩． （1）求cos()6πα+的值；（2）求cos()αβ+的值．解：（1）由题意可得5cos 8αα+=， 1cos )82αα∴+=，即4sin()65πα+=， (0,)3πα∈，(66ππα∴+∈，)2π，3cos()65πα∴+==； （2）2ββ=，12(sin )22ββ∴+=，即sin()3πβ+=(6πβ∈，)2π，(32ππβ∴+∈，5)6π，cos()3πβ∴+=， cos()sin[()]sin[()()]263πππαβαβαβ∴+=++=+++sin()cos()cos()sin()6363ππππαβαβ=+++++43(55=⨯+=． 19．（14分）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为()33ACB ππ∠=，墙AB 的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记ABC θ∠=．（1）若4πθ=，求ABC ∆的周长（结果精确到0.01米）；（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积ABC ∆的面积尽可能大，问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理可得AC ==BC = ABC ∴∆的周长为617.60+≈米（2）在ABC ∆中，由余弦定理：222262cos60c a b ab ==+-︒， 2236a b ab ∴+-=，22362ab a b ab ∴+=+，即36ab ，1··sin 9323ABC S AC BC π∆∴==， 此时a b=，ABC ∆为等边三角形， 60θ∴=︒，()ABC max S ∆=20．（16分）已知函数22()sin cos cos (0)f x x x x x ωωωωω=+->． （1）化简()y f x =的表达式；（2）若()y f x =的最小正周期为π，求()y f x =，(0,)2x π∈的单调区间与值域；（3）将（2）中的函数()f x 图像上所有的点向右平移([0,])2πϕϕ∈个单位长度，得到函数()y g x =，且()y g x =图像关于0x =对称．若对于任意的实数a ，函数()y g x λ=，[x a ∈，]3a π+与1y =的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数λ的取值范围．解：（1）由题意可得：22()sin cos cos f x x x x x ωωωω=+-22(cos sin )2x x x ωωω=--+2cos2x x ωω-2sin(2)6x πω=-；（2）()y f x =的最小正周期为π，∴22ππω=，1ω∴=，()2sin(2)6f x x π=-， (0,)2x π∈，2(66x ππ∴-∈-，5)6π，1sin(2)126x π∴-<-，12sin(2)26x π∴-<-，由262x ππ-=，可得3x π=，()y f x ∴=在(0,)3π上单调递增，在(3π，)2π上单调递减，值域为(1-，2]；（3）将（2）中的函数()f x 图像上所有的点向右平移ϕ得2sin[2()]6y x πϕ=--，()2sin[22]6g x x πϕ∴=--，()y g x =图像关于0x =对称，262k ππϕπ∴--=+，k Z ∈，32k ππϕ∴=-+，k Z ∈， 又[0ϕ∈，]2π，6πϕ∴=，()cos2g x x ∴=-．()cos2g x x λλ∴=-，又对于任意的实数a ，函数()y g x λ=，[x a ∈，]3a π+与1y =的公共点个数不少于6个且不多于10个， 23|2|3ππλ∴⋅，且25|2|3ππλ⋅，解得9||15λ，∴正实数λ的取值范围[9，15]．21．（18分）已知函数()y f x =，x D ∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数P ，总存在非零常数T ，恒有()()f x T P f x +<⋅成立，则称函数()f x 是D 上的P 级递减周期函数，周期为T ；若恒有()()f x T P f x +=⋅成立，则称函数()f x 是D 上的P 级周期函数，周期为T ．（1）判断函数2()3f x x =+是R 上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？（2）已知2T π=，()y f x =是[0，)+∞上的P 级周期函数，且()y f x =是[0，)+∞上的严格增函数，当[0,)2x π∈时，()sin 1f x x =+．求当*[,(1))()22x n n n N ππ∈+∈时，函数()y f x =的〖解 析〗式，并求实数P 的取值范围；（3）是否存在非零实数k ，使函数1()()cos 2x f x kx =⋅是R 上的周期为T 的T 级周期函数？请证明你的结论．解：（1）依题意，函数2()3f x x =+定义域是R ，22222()(1)2(3)[(1)3]22(1)10f x f x x x x x x -+=+-++=-+=-+>， 即x R ∀∈，(1)2()f x f x +<成立，∴函数()f x 是R 上的周期为1的2级递减周期函数；（2）2T π=，()y f x =是[0，)+∞上的Pxey 周期函数，()()2f x P f x π∴+=⋅，即()()2f x P f x π=⋅-，当[0x ∈，)2π时，()sin 1f x x =+，当[2x π∈，)π时，[02x π-∈，)2π，()[sin()1]2f x P x π=-+， 当3[2x π∈，2)π时，[2x ππ-∈，3)2π，则33()()[sin()1]22f x Pf x P x ππ=-=-+， ⋅⋅⋅当[,(1))22x n n ππ∈+时，[(1)22x n ππ-∈-，)2n π，则()()[sin()1]22n f x Pf x P x n ππ=-=-+，当[0x ∈，)2π时，[1y ∈，2)，当[2x π∈，)π时，[y P ∈，2)P ，当3[,)2x ππ∈时，2[y P ∈，22)P ， 当[,(1))22x n n ππ∈+时，[n y P ∈，2)n P ，()y f x =是[0，)+∞上的严格增函数，则有21222n n P P P PP -⎧⎪⎪⎨⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪⎩，解得2P ， ∴当*[,(1)()22x n n n N ππ∈+∈时，()[sin()1]2n f x P x n π=-+，且[2P ∈，)+∞．（3）假定存在非零实数，使函数1()()cos 2x f x kx =⋅是R 上的周期为T 的T 级周期函数，即x R ∀∈，恒有cos()2cos T kx kT T kx +=⋅⋅成立， 当0k ≠时，x R ∈，则kx R ∈，kx kT R +∈， cos [1kx ∴∈-，1]，cos()[1kx kT +∈-，1]，要使cos()2cos T kx kT T kx +=⋅⋅恒成立，则有21T T ⋅=±， 当21T T ⋅=-，即12T T =-时，由函数2x y =与1y x =-的图解存在交点知方程12T T=有解，∴存在2m k Tπ=，m Z ∈，符合题意，其中T 满足21T T ⋅=．。
学年闵行中学高一年级第二学期期中考试数学试卷附详细答案
闵行中学2010学年第二学期高一年级数学学科期中考试卷一． 填空题（共12小题，每小题5分，共60分）1. 与2009︒终边相同的最小正角是_________________.2. 集合,25k M k Z ππαα⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，{}N απαπ=-<<，则M N =∩ _____ .（用列举法表示）3. 若角α的终边经过点(1,A -,则cos α= ．4. 已知4sin 5α=，且α是第二象限角，那么tan α的值为_________________. 5. 已知半径为2cm 的扇形的圆心角为23π，则该扇形的面积为___________2cm .6. ________________弧度.7. 函数21xy =+(0x ≥)的反函数是_________________________.8. 化简cos45cos15cos45cos75__________________.9. 若tan 2α=，则22sin cos sin cos αααα=-________________. 10. 已知角α和β满足220πβα≤<<，且()()ββαββαsin sin 21cos cos 2++-=+，则α和β满足的关系式是:_______________________.11. 如图，有一高楼OP ，楼前有遮挡物体，故不能直接测量到高楼的水平距离，现采用如下方法测量高楼高度： A 为观测地点，'','A A 是两个高度已知且在同一条垂直地面的垂线上的两个观测点.给出如下观测数据：①观测点高度 'AA a = '''A A b = ②观测仰角 α=∠''O PA β=∠''''O PA试用上述数据表示高楼高度：OP =___________________________.12. 如果()sin sin sin αβαβ+=+，则α和β满足的关系式可以是:__________________.① ()2k k Z απ=∈ ② ()24R k k Z παβπ∈=+∈且③ ()2k k Z αβπ+=∈ ④ ()k k Z αβπ+=∈二． 选择题（共4小题，每小题4分，共16分）13． “3πα=”是“tan α=”的------------------------------------------------------------（ ）O ''O 'A 'OA 'AA ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．既非充分又非必要条件14． 下列命题中真命题的个数是------------------------------------------------------------------（ ）① {}{}36090,18090,k k Z k k Z ααββ=⋅︒±︒∈==⋅︒+︒∈； ② ()cos cos παα-=-；③ 若4α=，则sin 0cos 0αα><且.A ．0 个B ．1 个C ． 2 个D ． 3 个15．在ABC∆中，若cos cos sin sin A B A B >，则此三角形一定是------------------------（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．形状不确定16．若2log 1sin x α=+()R α∈，则函数24312x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为-------------------------（ ）A ．(]0,2B ． 11,162⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ． 1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦三． 简答题（共5小题，共计74分，每小题要有必要的解题过程）17．（本题满分10分）已知是第一象限的角，且4sin5，求sin 2和tan 2的值.18．（本题满分14分） （1）已知tan 34πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求θθ2cos 22sin -. （219．（本题满分12分）已知锐角ABC ∆，三条边c b a ,,的对角分别是C B A ,,，其中8a =，3B π=，ABC S ∆=（1）求边长c ； （2）求ABC ∆中最小内角的正弦值.20．（本题满分18分,第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分）设()x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，()12log f x x =，（1）当0<x 时，求()x f 的表达式； （2）解不等式()2f x ≤；（3）是否存在正实数()0,1a ∈，使得当[]1,1x a a ∈-+时，函数()f x 的最大值是2141log 2a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.21． （本题满分20分,第1小题满分6分，第2小题满分7分，第3小题满分7分）已知ABC ∆，三条边c b a ,,的对角分别是C B A ,,，其周长为p ，面积为S . 根据下列条件，研究以下各问题：（1）若tan tan tan a b cA B C==，判断ABC ∆的形状； （2）若22sin sin 1A B +=，且最大边12=c ，求其面积S 的最大值；（3）若57a ≤≤，78c ≤≤，且2cos 9C =，求其面积S 的最大值.对问题（3）有同学给出如下解法：11sin 7812822S ac B =≤⨯⨯⨯= 当7,8,90a c B ===︒时，面积S 有最大值28.上述解法是否正确，请说明理由；若正确试求ba的取值范围，若不正确给出求面积S 最大值的正确解法.2010年高一年级期中考试数学试卷（解答）1. 209︒2.347,,,510510ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭3.12- 4.43- 5.43π6.23π 7. ()()2log12y x x=-≥9.2310.223παβ+=11.tantan tanbOP aααβ=+-或()sin cossinOP a bαβαβ=+-12. ①③13. A 14. C 15. A 16. D 17.（满分10分）解：θ是第一象限的角，3cos5θ∴==（2分）24sin 22sin cos25（4分）sin1tan21cos2（4分）18．（14分）解：（1）1tan2θ=2222tan24sin22cos1tan1tan5θθθθθ-=-=-++（7分）（2）原式sin10cos10cos10sin101sin10cos10sin10cos10sin10cos170--====----（7分）19．（满分12 分）.解：（1）11sin8sin12223ABCS ac B c cπ∆==⋅⋅⋅=⇒=（4分）（2）由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-2112b b =∴=（4分）c b a >> ∴A 为最小角由正弦定理：sin sin a bA B=得sin sin a B A b ==（4分） 20.（满分18分）解： （1）当0<x 时，0x -> ()()12log f x x ⇒-=-∵()f x 是奇函数 ∴()()()()122log log f x f x x x =--=--=- （4分）（2）由题意，得()12200140log 2log 24x x x x x x >⎧<⎧⎪⎪⇒≥-≤<⎨⎨≤-≤⎪⎩⎪⎩或或又()00f =，所以不等式的解集[]14,0,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（7分）()[]()()()()()[]()()(){}()()()()()()()()12212max 21212222111124241111111111131,10,0,1log 1,log 1,max ,max log ,log log log log log log log log log 2f x f x f a f a a a a a a a a a a a a x x x x x a a f x ≠-+-+-+-+-+-+⊂+∞∈=∈+∞=∴∈--⎧⎫==⎨⎬⎩⎭⎧><⎪⎪⇒⎨⎛⎫⎪=+= ⎪⎝⎭⎪⎩由上述可知：是减函数；是增函数.当当时，当时，时，或2()1214a a ⎧⎪⎪⎨⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭⎪⎩=舍解得满足要求. （7分）21.（满分20分）解： （1）tan tan tan a b cA B C==由正弦定理得2sin 2sin 2sin tan tan tan R A R B R CA B C==cos cos cos A B C ⇒== (),,0,A B C π∈ ∴A B C == 即ABC ∆是等边三角形. （6分）（2） c 是最大边 ∴,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由2222sin sin 1sin cos sin cos A B A B A B +=⇒=⇒=sin sin 22A B A B ππ⎛⎫⇒=-⇒=- ⎪⎝⎭即2C π=()()1sin cos 36sin 2362S c A c A A =⋅=≤ （7分） 所以当4A π=时 max 36S =（3） 上述解法不正确，可验证此时2cos 9C ≠由余弦定理得22224422999c a b ab ab ab ab =+-⋅≥-= 2914ab c ⇒≤2119sin 2214S ab C c =≤⋅≤所以当()5,7a b ==时 max 7S =. （7分）。
2022-2023学年上海市闵行区高一下学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年上海市闵行区高一下学期期中数学试题一、填空题1．函数2log y x =的定义域是_________．【答案】()0,+∞【分析】根据对数函数的概念即可求解.【详解】由题意知，函数2log y x =的定义域为(0,)+∞.故答案为：(0,)+∞.2．函数2sin 34y x =+的最小正周期是_________．【答案】23π/23π【分析】根据公式2πT ω=计算直接得出结果.【详解】由题意知，函数2sin 34y x =+的最小正周期为2π3T =.故答案为：2π3.3．已知集合{}{}21,20,R A B x x x a x ==++=∈，且A B ⊆，则实数a 的值是_________．【答案】-3【分析】根据A B ⊆得出1x =是方程220x x a ++=的解，将1x =代入方程220x x a ++=中进行计算，即可得出结果.【详解】因为{}1A =，{}220B x x x a =++=，A B ⊆，所以1x =是方程220x x a ++=的解，即21210a +⨯+=，解得3a =-.经检验，3a =-符合题意，所以3a =-.故答案为：3-.4．扇形OAB 所在圆的半径长为1， AB 所对的圆心角AOB ∠大小为π3，则扇形OAB 的面积为_________．【答案】6π/16π【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式直接计算作答.【详解】依题意，扇形OAB 的面积21ππ1236S =⨯⨯=.故答案为：π6.5．指数函数(1)x y a =-在区间[0,2]上的最大值为4，则实数a 的值是_________．【答案】3【分析】确定a 的取值范围，再分类求出最大值作答.【详解】指数函数(1)x y a =-中，10a ->且11a -≠，即1a >且2a ≠，当12a <<时，函数(1)x y a =-在[0,2]上单调递减，当0x =时，max 1y =，不符合题意，当2a >时，函数(1)x y a =-在[0,2]上单调递增，当2x =时，2max (1)4y a =-=，解得3a =，所以实数a 的值是3.故答案为：3.6．函数πsin 2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调减区间是_________．【答案】[]2π,π2,Zk k k π+∈【分析】根据正弦函数的单调性即可求解.【详解】由ππ3π2π2π,Z 222k x k k +≤+≤+∈，得2ππ2π,Z k x k k ≤≤+∈，所以函数πsin 2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调减区间为[]2π,π2π,Z k k k +∈.故答案为：[]2π,π2π,Z k k k +∈.7．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()12f x x =-，则当0x <时，()y f x =的表达式为_________．【答案】12x --/21x --【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出0x <时的解析式作答.【详解】()y f x =是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()12f x x =-，则当0x <时，0x ->，()()[12()]12f x f x x x =--=---=--，所以当0x <时，()y f x =的表达式为()12f x x =--.故答案为：12x--8．方程|3||4|1x x -+-=的解集是_________．【答案】[]3,4【分析】分类讨论x 的范围即可求出答案.【详解】当4x ≥时，|3||4|34271x x x x x -+-=-+-=-=，所以4x =；当34x <<时，|3||4|341x x x x -+-=--+=，所以34x <<；当3x ≤时，|3||4|34271x x x x x -+-=-+-+=-+=，所以3x =，所以综上所述：方程|1||3|2x x -+-=的解集为[]3,4.故答案为：[3,4].9．对任意实数x ，定义[]x 表示小于等于x 的最大整数，例如[1.8]1,[1.8]2=-=-，则方程2[]10x x --=的解的个数是_________．【答案】1【分析】根据[]x 的意义列出不等式，求出x 的取值范围，并分段求出[]x 即可求解作答.【详解】方程2[]10x x --=，化为21[]x x -=，而[]x x ≤，所以21x x -≤，所以210x x --≤，解得151522x -+≤≤.当1502x -≤<时，[]1x =-，又21[]x x -=，则20x =，解得0x =，无解；当01x ≤<时，[]0x =，又21[]x x -=，则21x =，解得1x =±，无解；当1512x +≤≤时，[]1x =，又21[]x x -=，则22x =，解得2x =±，因此2x =，所以方程2[]10x x --=的解为2x =，即方程解的个数有1个.故答案为：1.10．某河道水上游览航线一经开放就受到公众喜爱，其中有一条航线是：从码头A 出发顺流而下到码头B ，然后不做停留原路返回到码头A （不计调头时间）．假设游船在静水中的船速恒定不变，且整个航程中途不做停靠，以下结论正确的是_________（填序号）．①水流速度越大整个航程所需时间越长；②水流速度越大整个航程所需时间越短；③水流速度大小不会影响整个航程所需时间．【答案】1【分析】设AB 的距离为S ，游船在静水中的速度为v ，水流的速度为v '，求出整个航程所需的时间即可求解.【详解】设码头A 到码头B 的距离为S ，游船在静水中的速度为v ，水流的速度为v '，则A 到B 为顺流，所需的时间为1S t v v ='+，原路返回码头A 所需的时间为2S t v v ='-，整个航程所需的时间为12222S S Sv t t t v v v v v v =+=+='''+--，所以当水流的速度v '越大，整个航程所需的时间t 越长，故①正确，②③错误.故答案为：①.11．已知函数()y f x =的表达式是4||()4x f x x =+，若(0,π)α∈，且(sin )(cos )f f αα<成立，则α的取值范围是_________．【答案】π3π(0,)(,π)44【分析】判断函数()y f x =的奇偶性和单调性，再利用此性质脱去法则“f ”，并解三角不等式作答.【详解】函数4||()4x f x x =+的定义域为R ，4||()()()4x f x x x f --=-+=，即()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，4()4x f x x =+，函数4,4x y x y ==在[0,)+∞上都是增函数，因此()f x 在[0,)+∞上单调递增，而(sin )(cos )(|sin |)(|cos |)f f f f αααα<⇔<，因此|sin ||cos |αα<，即22sin cos αα<，整理得cos 20α>，又(0,π)α∈，即2(0,2π)α∈，于是π022α<<或3π22π2α<<，解得π04α<<或3ππ4α<<，所以α的取值范围是π3π(0,)(,π)44.故答案为：π3π(0,)(,π)4412．已知函数()y f x =的表达式是()cos 2sin f x x a x =+，若对于任意x ∈R 都满足π()()2f x f ≤，则实数a 的取值范围是_________．【答案】[4,)+∞【分析】把函数()f x 化成关于sin x 的二次型函数，再换元利用二次函数取最大值的条件求出a 的范围作答.【详解】依题意，2()2sin sin 1f x x a x =-++，x ∈R ，令sin [1,1]t x =∈-，对于任意x ∈R 都满足π()()2f x f ≤，则有max π()()2f x f =，即当π2x =，sin 1x =时，函数()f x 取得最大值，于是函数221y t at =-++，[1,1]t ∈-在1t =时取得最大值，因此14a ≥，解得4a ≥，所以实数a 的取值范围是[4,)+∞.故答案为：[4,)+∞【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间[]1,1-或其子区间上的最值求解.二、单选题13．“a b >”是“22a b >”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】D【解析】22||||a b a b >⇔>，与a b >没有关联，取特值，利用充分和必要条件的定义进行判断.【详解】当0,1a b ==-时，满足a b >，但22a b >不成立，当2,1a b =-=-时，满足22a b >，但a b >不成立，∴“a b >”是“22a b >”的既非充分又非必要条件.故选:D.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质是解题的关键，属于基础题.14．函数ln x y x =的示意图是（）A ．B ．C．D．【答案】A【分析】由()f x 为奇函数，排除B ，D ，又因为102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除C ，即可得出正确答案.【详解】函数ln x y x =的定义域为}{0x x ≠，令()ln x f x x =，由()()ln ln x x f x f x x x --==-=--，所以()f x 为奇函数，排除B ，D.又因为1ln1122ln 01222f ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，所以排除C.故选：A.15．在ABC 中，若()sin sin sin 2C B A A +-=，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】利用诱导公式和两角和差的正弦公式、正弦的二倍角公式化简已知条件，再结合角的范围即可求解.【详解】因为()()sin sin πsin C A B A B =-+=+⎡⎤⎣⎦，由()sin sin sin 2C B A A +-=可得：()()sin sin sin 2A B B A A ++-=，即sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos A B A B B A B A A A ++-=，所以sin cos sin cos B A A A =，所以()cos sin sin 0A A B -=，所以cos 0A =或sin sin A B =，因为0πA <<，0πB <<，所以π2B =或A B =，所以ABC 的形状为等腰三角形或直角三角形，故选：D.16．已知对任意正数a 、b 、c ，当1a b c ++=时，都有222a b c m ++<成立，则实数m 的取值范围是（）．A ．3[32,)+∞B ．3(32,)+∞C ．[4,)+∞D ．(4,)+∞【答案】C【分析】根据给定条件，把222a b c ++化为12222bab a -++，并将它视为a 的函数，利用对勾函数的性质求得11122222a b b b b a ---<++++，再构造函数2()212b b h b =++，利用对勾函数求解作答.【详解】由1a bc ++=，0,0,0a b c >>>，得1c a b =--，01a b <+<，于是01,01a b b <<-<<，11222)2222(ba b ab a b a f a ---=++=++，令12(1,2)a b t -=∈，函数12()2bb g t t t-=++在12(1,2)b -上递减，在112(2,2)b b --上递增，显然11(1)(2)221b b b g g --==++，因此11122222222a b b b b c a a b ---=<++++++，令函数12()221212b b b b h b -=++=++，01b <<，令2(1,2)b u =∈，2()1u u uϕ=++在(1,2)上单调递减，在(2,2)上单调递增，而(1)(2)4ϕϕ==，即12214b b -++<，于是4222a b c +<+，因为对任意正数a 、b 、c ，当1a b c ++=时，都有222a b c m ++<成立，则4m ≥，所以实数m 的取值范围是[4,)+∞.故选：C【点睛】思路点睛：涉及多变量函数，结合给定条件采用消元、以其中的某个变量为自变量，另外的变量为参数，依次推理求解即可.三、解答题17．已知集合{}21,R A x x x =-≤∈，30,R 1x B x x x ⎧⎫-=<∈⎨⎬+⎩⎭，求A B ⋂．【答案】[1,3).【分析】解含绝对值符号的不等式化简集合A ，解分式不等式化简集合B ，再利用交集的定义求解作答.【详解】依题意，解不等式|2|1x -≤，得121x -≤-≤，解得13x ≤≤，则[1,3]A =，解不等式301x x -<+，得(3)(1)0x x -+<，解得13x -<<，则(1,3)B =-，所以[1,3)A B = .18．已知4cos ,(0,π)5θθ=-∈，求下列各式的值：(1)πsin()tan(π)2θθ-⋅+；(2)1sin 21cos 2θθ-+．【答案】(1)35；(2)4932.【分析】（1）利用平方关系求出sin θ，再利用诱导公式及商数关系计算作答.（2）利用（1）中信息，结合二倍角的正余弦公式求解作答.【详解】（1）因为4cos ,(0,π)5θθ=-∈，则π(,π)2θ∈，2243sin 1cos 1()55θθ=-=--=，所以πsin 3sin()tan(π)cos tan cos sin 2cos 5θθθθθθθθ-⋅+==⋅==.（2）由（1）知，34sin ,cos 55θθ==-，所以223412()1sin 212sin cos 495541cos 22cos 322()5θθθθθ-⨯⨯---===+⨯-19．如图，四边形ABCD 中，27π2,1,cos ,73AB BC ACB D ==∠=∠=．(1)求线段AC 的长；(2)求四边形ABCD 面积的最大值．【答案】(1)7AC =；(2)934.【分析】（1）在ABC 中，由余弦定理计算即可求解；（2）设,AD m CD n ==，在ACD 中，由余弦定理和基本不等式计算可得7mn ≤，结合三角形的面积公式计算即可求解.【详解】（1）在ABC 中，由余弦定理得222cos 2AC BC AB ACB AC BC+-∠=⋅，即222271272AC AC+-=，由0AC >解得7AC =，所以7AC =；（2）设,AD m CD n ==，在ACD 中，由余弦定理，得222222cos 3AC m n mn m n mn mn π=+-=+-≥，当且仅当m n =时等号成立，此时27mn AC ≤=，所以11373sin 723224ACD S mn π=≤⨯⨯= .又27cos 7ACB ∠=，0πACB <∠<，所以222721sin 1cos 1()77ACB ACB ∠=-∠=-=，所以11213sin 712272ABC S AC BC ACB =⋅∠=⨯⨯⨯= ，故四边形ABCD 的面积的最大值为73393424+=.20．在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y （单位：米）与时间x （单位：时）的大致关系：假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．(1)请运用函数模型ππsin()0,0,,R 22y A x h A h ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<<∈ ⎪⎝⎭，根据以上数据写出水深y 与时间x 的函数的近似表达式；(2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货．①求该船可以进港的时间段；②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）．【答案】(1)ππ3sin()8,[0,24]66y x x =++∈；(2)①0点到4点以及12点到16点进入港口；②该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.【分析】（1）根据给定的图形，求出函数模型中的各个参数作答.（2）①根据给定条件，列出不等式求解作答；②求出最小水深的函数关系，数形结合求解作答.【详解】（1）观察图形知，2115A =-，解得3A =，11582h +==，2π142ω=-，解得π6ω=，显然函数π3sin()86y x ϕ=++的图象过点(2,11)，即πsin()13ϕ+=，又ππ22ϕ-<<，因此π6ϕ=，所以函数表达式为ππ3sin()8,[0,24]66y x x =++∈.（2）①依题意，ππ3sin()86 3.566024x x ⎧++≥+⎪⎨⎪≤≤⎩，整理得ππ1sin()662024x x ⎧+≥⎪⎨⎪≤≤⎩，即有πππ5π2π2π(Z)6666024k x k k x ⎧+≤+≤+∈⎪⎨⎪≤≤⎩，即12412(Z)024k x k k x ≤≤+∈⎧⎨≤≤⎩，解得04x ≤≤或1216x ≤≤，所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口.②由①的结论知，该船明日0点即可进港开始卸货，设自0点起卸货x 小时后，该船符合安全条例的最小水深为0.36 3.5y x =-++，如图，函数0.36 3.5y x =-++与ππ3sin()866y x =++的图像交于点(5,8)，即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米，令ππ3sin()8 4.5 3.566x ++≥+，即ππsin()066x +≥，ππ2π2ππ(Z)66k x k k ≤+≤+∈，解得121125()k x k k -≤≤+∈Z ，显然1117x ≤≤，该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点，综上所述，方案如下：该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.【点睛】思路点睛：给定sin 0,0()()()f A xx A ωϕω>=>＋的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A ，求出周期定ω，由图象上特殊点求ϕ.21．已知函数()y F x =与()y f x =的定义域为R ，若对任意区间[],R u v ⊆，存在[,]p u v ∈且[,]q u v ∈，使()()()()F u F v f p f q u v-≤≤-，则()y f x =是()y F x =的生成函数．(1)求证：()2f x x =是2()3F x x =-的生成函数；(2)若2()2f x x =+是()y F x =的生成函数，判断并证明()y F x =的单调性；(3)若()y f x =是()y F x =的生成函数，实数0a ≠，求()y F ax b =+的一个生成函数．【答案】(1)证明见解析；(2)函数()F x 在R 上单调递增；(3)()y af ax b =+.【分析】（1）由生成函数的定义，判断是否满足()()()()F u F v f p f q u v -≤≤-，即可证明；（2）由题意可得22()()22F u F v p q u v-+≤≤+-，由2(2)()0q u v +-<可得()()F u F v <，结合单调函数的定义即可求解；（3）,R u v ∀∈，且u v <，设,m au b n av b =+=+，则()m n a u v -=-，由生成函数的定义可得()()()()F au b F av b F m F n a u v m n+-+-=⋅--，分两种情况0,0a a ><讨论即可.【详解】（1）,R u v ∀∈，且u v <，2222()()(3)(3)F u F v u v u v u v u v u v u v-+-+-===+---，由u v <，得22u u v v <+<，则,()2,,()2p u f p u q v f q v ∃==∃==满足()()()()F u F v f p f q u v -≤≤-，所以()2f x x =是2()3F x x =-的生成函数；（2）因为2()2f x x =+是()y F x =的生成函数，所以对任意区间[,]R,[,]u v p u v ⊆∃∈且[,]q u v ∈，使()()()()F u F v f p f q u v -≤≤-，即22()()22F u F v p q u v-+≤≤+-，由0u v u v <⇒-<，得22(2)()()()(2)()q u v F u F v p u v +-≤-≤+-，又2(2)()0p u v +-<，所以()()0F u F v -<，即()()F u F v <，所以函数()y F x =在R 上单调递增；（3）,R u v ∀∈，且u v <，设,m au b n av b =+=+，则()m n a u v -=-，()()()()F au b F av b F m F n a u v m n+-+-=⋅--，当0a >时，([,])y ax b x u v =+∈的值域为[,]m n ，对任意区间[,]R,[,]m n p u v ⊆∃∈且[,]q u v ∈，使[,]ap b m n +∈且[,]aq b m n +∈，满足()()()()F m F n f ap b f aq b m n -+≤≤+-，即()()()()F m F n af ap b a af aq b m n-+≤⋅≤+-，此时()y af ax b =+是()y F x =的一个生成函数.同理，当0a <时，([,])y ax b x u v =+∈的值域为[],n m ，对任意区间[,]R,[,]n m p u v ⊆∃∈且[,]q u v ∈，使[,]ap b n m +∈且[,]aq b n m +∈，满足()()()()F m F n f aq b f ap b m n -+≤≤+-，即()()()()F m F n af ap b a af aq b m n-+≤⋅≤+-，此时()y af ax b =+也是()y F x =的一个生成函数.综上：()y af ax b =+是()y F x =的一个生成函数.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解新定义“生成函数”的性质，以学习过的函数相关的知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题.。
2023-2024学年上海市闵行区高一下学期期中数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年上海市闵行区高一下册期中数学模拟试题一、填空题1．与()3,4a =-反向的单位向量为__________．【正确答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】反向单位向量即为aa- ，代入即可.【详解】与()3,4a =- 反向的单位向量为3434,5555a a ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭rr .故答案为.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭2．函数3πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为______．【正确答案】ππ5ππ,8282k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）【分析】根据正切型三角函数单调区间的求法求得正确答案.【详解】由π3πππ2π242k x k -<-<+，解得πππ5π2828k k x +<<+，所以函数3πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为ππ5ππ,8282k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）故ππ5ππ,8282k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）3．设1e ，2e 是不共线向量，124e e - 与12ke e +共线，则实数k 为__________．【正确答案】14-/0.25-【分析】根据向量平行列出方程组，求出实数k 的值.【详解】因为1e ，2e 是不共线向量，124e e - 与12ke e +共线，所以存在实数λ使得()12124e e ke e λ=-+ ，所以41k λλ=⎧⎨-=⎩，解得.1414k λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故14-4．已知3tan 2θ=，3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos θ=______.【正确答案】13-/【分析】根据同角三角函数关系求解即可.【详解】因为33πtan ,π,22θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以3sin cos ,sin 0,cos 02θθθ<θ<=，因为22sin cos 1θθ+=，所以229cos cos 14θθ+=，即24cos 13θ=，所以cos θ=故答案为.5．函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间是______.【正确答案】【详解】试题分析：因为()sin(2)6f x x π=-；所以由可得x ∈所以函数的递减区间为．三角函数的性质.6．已知14AB BC = ，且BA mAC =，则实数m =______．【正确答案】15-/-0.2【分析】利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：∵()1144BA AB BC BA AC =-=-=-+，∴15BA AC mAC =-=，∴15m =-．故15-7．已知单位向量a ，b满足()()32a b a b +⊥- ，则cos ,a b = ______．【正确答案】15/0.2【分析】由向量垂直及向量数量积的运算律、数量积的定义列方程求夹角余弦值即可.【详解】由题意()()223235235cos ,20a b a b a a b b a b +⋅-=-⋅-=--=，解得1cos ,5a b <>= ．故158．已知向量()()1,1,2,3a b ==，则a 在b 方向上的数量投影为___________【分析】根据平面向量投影的定义计算即可【详解】向量()()1,1,2,3a b ==，12135a b ∴⋅=⨯+⨯= ，b == ，所以a在b 方向上的数量投影为cosa b a bθ⋅==故139．如图，在OAB 中，P 为线段AB 上一点，则OP xOA yOB =+ ，若3AP PB = ，||4OA =，||2OB =uu u r ，且OA 与OB 的夹角为60︒，则OP AB ⋅的值为_______.【正确答案】-3【分析】利用向量线性运算及平面向量基本定理，用,OB OA 表示OP 与AB，然后利用数量积的运算律求解即可【详解】因为3AP PB =，所以33()44AP AB OB OA ==- ，所以13()()()()44OP AB OA AP OB OA OA OB OB OA ⋅=+⋅-=+⋅-2213113116442cos 603442442OA OB OA OB =-+-⋅=-⨯+⨯-⨯⨯⨯︒=- ，即3OP AB ⋅=-，故-310．如图，ABC 中，2AD DB =，3AE EC =，CD 与BE 交于F ，设AB a = ，AC b = ，AF xa yb =+，则(),x y 为__________．【正确答案】11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】设BF BE λ= ，CF CD μ= ，根据平面向量基本定理，将AF 用已知向量AB，AC 表示出来，列出方程组即可求解.【详解】解：设BF BE λ=，()34AF AB BF AB BE AB AE AB AB AC AB λλλ⎛⎫∴=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭()314AB AC λλ=-+，同理设CF CD μ=，()23AF AC CF AC CD AC AD AC AC AB AC μμμ⎛⎫∴=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭()213AB AC μμ=+-，根据平面向量基本定理，得213314λμλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得23λ=，1132AF AB AC ∴=+ ，故11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭11．如图，函数()()2sin (00π)f x x ωϕωϕ=+><<，的图象与坐标轴交于点A ，B ，C ，直线BC 交()f x 的图象于点D ，(O 坐标原点)为ABD △的重心(三条边中线的交点)，其中()π0A -，，则tan B =__________．【正确答案】233π6π-【分析】根据三角函数的图象，求得函数的解析式()222sin 33πf x x ⎛⎫=+ ⎝⎭，得到(03B ，，结合()tan tan B ABO CBO =∠+∠，即可求解.【详解】因为O 为ABD △的重心，且()π,0A -，可得2π3OA AC ==，解得3π2AC =，所以π,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1π3π(π)222T =--=，所以3πT =，所以2π3πω=，解得23ω=，可得()22sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()π0f -=，即2sin[(π)]03ϕ⋅-+=，可得()2ππ3k ϕ⨯-+=，解得2ππ,Z 3k k ϕ=+∈，又由0πϕ<<，所以23ϕπ=，所以()222sin 33πf x x ⎛⎫=+ ⎝⎭，于是()2202sin 0333πOB f ⎛⎫==⨯+= ⎪⎝⎭(03B ，.()22tan tan 323tan tan π1tan ta 33π6πn 16ABO CBOB ABO CBO ABO CBO+∠+∠=∠+∠===-∠⋅∠-.故答案为233π12．在斜三角形△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4cos c A b =，tan 6tan tan tan A C B A+⋅的最小值为____________352352【分析】利用正弦定理，同角三角函数的基本关系和基本不等式即可求解.【详解】因为4cos c A b =，由正弦定理可得4sin cos sin C A B =，又因为sin sin()B A C =+，所以4sin cos sin cos sin cos C A C A A C =+，整理可得3sin cos sin cos C A A C =，因为(0,π),(0,π)A C ∈∈，所以tan 3tan A C =，且tan 0,tan 0A C >>，2tan tan 4tan tan tan()tan tan 13tan 1A C CB AC A C C +=-+==--，则2tan 63tan 6329tan 32tan tan tan tan tan 3tan tan tan 4tan tan A C C C B A C B C B C C C-+=+=+=+⋅⋅9544tan tan C C =+≥，当且仅当n 95ta 4n a 4t C C =，即tan 3C =时取等号，此时取得最小值2，故答案为二、单选题13．设a ，b是两个非零向量，则下列说法正确的是（）A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b|【正确答案】C【详解】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b|不成立14．已知α和β都是锐角，向量(cos ,sin )a αα=，(sin ,cos )b ββ= ，则（）A ．存在α和β，使得2a b ⋅=B ．存在α和β，使得//a b r rC ．存在α和β，使得a b⊥D ．存在α和β，使得a b -=【正确答案】B【分析】依题意可得0αβ<+<π，根据数量积的坐标表示及和角公式得到01a b <⋅≤，即可判断A 、C ，当π2αβ+=时可以判断B ，根据数量积的运算律判断D.【详解】因为α和β都是锐角，所以0αβ<+<π，又(cos ,sin )a αα=，(sin ,cos )b ββ= ，所以cos sin cos sin sin()a b αββααβ⋅=+=+，1a = ，1b = ，因为0αβ<+<π，所以()0sin 1αβ<+≤，故01a b <⋅≤，因此A 和C 错误；当π2αβ+=时，cos cos sin sin cos()0αβαβαβ-=+=，即//a b r r ，所以B 正确；a b -=D 错误；故选：B.15．已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，且直线1y =与函数()f x 的图象的两个交点之间的最短距离为π，则下列四个结论中错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调递减区间是7ππ,π1212πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z C ．()f x 的图象关于直线π12x =-对称D ．()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数【正确答案】C【分析】根据正弦函数的图象和性质逐项进行检验即可求解.【详解】由题知直线1y =与函数()f x 的交点之间的最短距离为π，所以πT =，故A 正确；所以2π2πω==，所以()()sin 2f x x ϕ=+，因为()f x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以2ππ,3k k ϕ+=∈Z ，即2ππ3k ϕ=-，k ∈Z ，又因为π02ϕ<<，所以当1k =时，π3ϕ=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+，k ∈Z ，解得π7πππ1212k x k +≤≤+，k ∈Z ，所以()f x 的单调递减区间为7ππ,π1212πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故B 正确；因为πππ1sin 2sin 112362⎡⎤⎛⎫⨯-+==≠± ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 错误；函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数()ππsin 2sin263g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数，故D 正确．故选:C ．16．有下面两个命题：①若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =是周期函数；②若(())y f f x =是周期函数，则()y f x =是周期函数，则下列说法中正确的是（）．A ．①②都正确B ．①正确②错误C ．①错误②正确D ．①②都错误【正确答案】B【分析】由周期函数的定义判断两个命题即可.【详解】若()y f x =是周期函数，设周期为T ，则()()f x T f x +=，则(())(())f f x T f f x +=也是周期函数，故①正确；若(())y f f x =是周期函数，设周期为T ，则(())(())f f x T f f x +=，()()f x T f x +=不一定成立，故②错误.故选：B.三、解答题17．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为()1,1A -，()2,1B -，(),2C m ，是否存在实数m ，使得A ，B ，C 三点能构成直角三角形？若存在，求m 的取值集合；若不存在，请说明理由．【正确答案】存在；m 的取值集合为43,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．【分析】假设存在，再通过分类讨论以及利用平面向量处理垂直问题进行求解.【详解】存在实数m ，理由如下：由题意，得()()()2,11,13,2AB =---=-，()()(),21,11,3AC m m =--=-，()()(),22,12,1BC m m =--=+．若A 为直角，则()3160AB AC m ⋅=--+=，得3m =．若B 为直角，则()3220AB BC m ⋅=-++= ，得43m =-．若C 为直角，则()()212310AC BC m m m m ⋅=-++=++= ，2141130∆=-⨯⨯=-<，所以方程无解．故m 的取值集合为43,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．18．已知向量(),1a m = ，()2,1b m =+ ，R m ∈．(1)若向量a ，b能构成一组基底，求实数m 的范围；(2)若()1,3c = ，且()c a b ⊥- ，求向量a 与b的夹角大小．【正确答案】(1)2m ≠-且1m ≠(2)3π4【分析】（1）若向量a ，b 能构成一组基底，则向量a ，b不共线，则()120m m +-≠，从而可得答案；（2）由()c a b ⊥-，可得()0c a b ⋅-=r r r ，从而可求的得m ，再根据向量夹角的坐标公式求解即可.【详解】（1）若向量a ，b能构成一组基底，则向量a ，b不共线，则()120m m +-≠，解得2m ≠-且1m ≠；（2）因为()c a b ⊥-，所以()0c a b c a c b ⋅-=⋅-⋅=r r r r r r r ，即()32310m m +--+=，解得1m =-，所以()1,1a =- ，()2,0b =，则cos ,a b a b a b ⋅==，又因为0,πa b ≤≤ ，所以3π,4a b = ，即向量a 与b 的夹角为3π4.19．为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评.如图，送餐人员小夏从A 处出发，前往B ，C ，D 三个地点送餐.已知300m AB =，200m AD =，100m CD =，且AB CD ∥，60BAD ∠=︒.(1)求AC 的长度.(2)假设AB ，BC ，CD ，AD 均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以250m /min 的速度匀速行驶，每到一个地点，需要2分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止…），求小夏完成送餐任务的最短时间.【正确答案】(1)1007m (2)8min【分析】（1）根据余弦定理即可求解；（2）根据余弦定理求解cos CAD ∠，进而得sin CAD ∠，由两角和与差的余弦公式可得cos BAC ∠，进而由余弦定理求解AB ，根据三种不同的送餐路线，计算路程的大小，即可比较求解.【详解】（1）因为AB CD ∥，60BAD ∠=︒，所以120ADC ∠=︒，在ACD 中，由余弦定理，得222cos AC AD CD AD CD ADC=+-⋅⋅∠22120010022001007m 2⎛⎫+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭.（2）在ACD 中，由余弦定理，得222222200100710057cos 21422001007AD AC CD CAD AD AC +-+-∠===⋅⨯⨯，所以221sin 1cos 14CAD CAD ∠=-∠，所以()1315732127cos cos cos sin 222142147BAC BAD CAD CAD CAD ∠=∠-∠=∠+∠=⨯+⨯=.在ABC 中，由余弦定理，得2222cos BC AC AB AC AB BAC =+-⋅⋅∠(2227730021007300400007=+-⨯⨯=，解得200m BC =.假设小夏先去B 地，走A B C D ---路线，路长600m ，假设小夏先去C 地，因为BC CD >，所以走A C D C B ----路线，路长(4007m +，假设小夏先去D 地，走A D C B ---路线，路长500m ，由于500600400<<+所以小夏走A D C B ---路线，且完成送餐任务的最短时间为500238min 250+⨯=.20．如图，梯形ABCD ，2DA = ，π3CDA ∠=，2= DA CB ，E 为AB 中点，(0)DP DC λλ=≠ ．(1)当13λ=时，用向量,DC DA 表示的向量PE ；(2)若||(= DC t t 为大于零的常数），求|| PE 的最小值，并指出相应的实数λ的值．【正确答案】(1)3146PE DA DC =+(2)4；1324λ=+t 【分析】（1）结合图形，先证得四边形ABCF 是平行四边形，从而利用向量的线性运算即可得解.（2）结合（1）中的结论，得到PE 关于λ的表达式，进而利用向量的数量积运算求模得到2PE 关于λ的二次表达式，从而可求得|| PE 的最小值及相应的λ值.【详解】（1）过C 作//CF AB 交AD 于F ，如图，因为2= DA CB ，所以//DA BC ，2DA BC =，则四边形ABCF 是平行四边形，故22DA BC AF ==，即F 是AD 的中点，所以111111222242===-=- BE BA CF DF DC DA DC ，当13λ=时，23= PC DC ，所以211131324246=++=++-=+ PE PC CB BE DC DA DA DC DA DC ．.（2）因为DP DC λ= ，所以(1)λ=- PC DC ，所以111(1)242PE PC CB BE DC DA DA DC λ=++=-++- 1324DC DA λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，因为2cos60DC DA t t ⋅=︒= ，22= DC t ，24= DA ，所以22221931132724222416PE t t t λλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，所以当1324t λ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1324λ=+t 时，2PE 取得最小值2716．所以PE 1324λ=+t ．21．已知函数()(),f x g x 是定在R 上的函数，且满足关系()()π2g x f x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭．(1)若()sin cos f x x x =+，若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()y g x =的值域；(2)若()sin cos f x x x =+，存在12,R x x ∈，对任意x ∈R ，有()()()12g x g x g x ≤≤恒成立，求12x x -的最小值；(3)若()cos sin f x x x =+，要使得()()sin F x a x g x =+在()()*0,πN n n ∈内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的a 与n ．【正确答案】(1)[]1,1-(2)3π4(3)当()1,1a ∈-时，1011n =；当1n =±时，1348n =；当()(),11,a ∈-∞-+∞ 时，2022n =.【分析】（1）求出函数()y g x =的解析式，即可得出在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）化简函数()y g x =，通过对应图像即可得出()()()12g x g x g x ≤≤恒成立，求12x x -的最小值；（3）化简函数()y g x =，设sin t x =将()y g x =转化为二次函数，将零点问题转化为图像与x 轴的交点问题，通过讨论二次函数的周期性，即可得出在()()*0,πN n n ∈内恰有2022个零点，所有满足条件的a 与n ．【详解】（1）由题意，在()sin cos f x x x =+中，πππsin cos cos sin 222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在()()π2g x f x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭中，()()()()sin cos cos sin sin cos sin cos sin sin cos c π2os g xf f x x x x x +-=⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭--+，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()[]22sin cos sin cos sin sin cos cos cos sin cos 21,1x g x x x x x x x x x x x --+=∈-=-=，∴()y g x =的值域为.[]1,1-（2）由题意及（1）得，x ∈R在()sin cos sin cos sin sin cos cos x x x x x x x x g x --+=中，①当()π2π,2πZ 2x k k k ⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦即sin 0,cos 0x x >>，()22sin cos cos 2g x x x x =-=-，函数在定义域上单调递减()min π2π+12g x g k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()()max 2π1g x g k ==，②当()π2π,2π+πZ 2x k k k ⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦即sin 0,cos 0x x ><时，()222sin cos cos sin sin 21g x x x x x x =---=--，函数在()π3π2π,2πZ 24k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦单调递增，在()3π2π,2ππZ 4k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦单调递减，()()min π2π+2π+π12g x g k g k ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，()()max 2π+π0g x g k ==，③当()3π2π+π,2πZ 2x k k k ⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦即sin 0,cos 0x x <<时，()22cos sin cos 2g x x x x =-+=-，函数在()3π2π+π,2πZ 2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min 2π+π1g x g k ==-，()max 3π2π+12g x g k ⎛⎫== ⎪⎝⎭，④当()3π2π,2π+2πZ 2x k k k ⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦即sin 0,cos 0x x <>时，()222sin cos sin cos sin 21g x x x x x x =-++=-+，函数在()3π7π2π,2πZ 24k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦单调递增，在()7π2π,2π2πZ 4k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦单调递减，()()min 3π2π+2π+2π12g x g k g k ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()max 7π2π+24g x g k ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴函数()g x 是周期为2π的周期函数，图像如下：在()sin cos f x x x =+中，存在12,R x x ∈，对任意x ∈R ，有()()()12g x g x g x ≤≤恒成立，∴()()()()12min max ,g x g x g x g x ==∴当12x x -最小时，由图像可知，12min 3π4x x -=，（3）由题意，()()*0,πN x n n ∈∈，在()cos sin f x x x =+中，πππcos sin sin cos 222f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在()()π2g x f x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭中，()()()()22πco o s sin cos s 2c 2co sin sin s g x f x f x x x x x x x x ⎛⎫=⋅+==-= ⎪⎝⎭-，在()()sin F x a x g x =+中，()222sin cos sin 2sin sin 1F x a x x x x a x =+-=-++，∵()()()()222π2sin 2πsin 2π12sin sin 1F x x a x x a x f x +=-++++=-++=，设sin x t =，()221F t t at =-++，∴函数是以2π为周期的周期函数，()F t 在[]0,2π上最多与x 轴有1～2个交点，∵在[]0,2π周期内，sin y x =与y t =有1～2个交点，∴()22sin sin 1F x x a x =-++在[]0,2π上有1～4个交点，∴若在()()*0,πN n n ∈内恰有2022个零点，则[]1,sin 1,1n x t >=∈-，在()[]221,0,2πF t t at t =-++∈中，当sin 1t x ==±即π2x =或3π2x =，此时sin t x =有1个交点，①当函数()F t 有两个零点12,t t 时，若12,t t 均不为-1和1，此时y t =与sin y x =有2个交点，则()F x 在[]0,2π有4个交点，()()()()22121110121110F a F a ⎧-=-⨯-+⨯-+<⎪⎨=-⨯+⨯+<⎪⎩，解得：11a -<<，∴当有2022个交点时，()202242ππ1011n =÷⨯÷=，()1,1a ∈-若12,t t 有一个为-1或1，此时y t =与sin y x =有2个交点，则()F x 在[]0,2π有3个交点，()()()()22121110121110F a F a ⎧-=-⨯-+⨯-+<⎪⎨=-⨯+⨯+=⎪⎩，解得：1a =，或()()()()22121110121110F a F a ⎧-=-⨯-+⨯-+=⎪⎨=-⨯+⨯+<⎪⎩，解得：1a =-，∴当有2022个交点时，()202232ππ1348n =÷⨯÷=，1a =±，②当函数()F t 有一个零点t 时，此时y t =与sin y x =有1个交点，则()F x 在[]0,2π有2个交点，()()()()22121110121110F a F a ⎧-=-⨯-+⨯-+<⎪⎨=-⨯+⨯+>⎪⎩，解得：1a >，或()()()()22121110121110F a F a ⎧-=-⨯-+⨯-+>⎪⎨=-⨯+⨯+<⎪⎩，解得：1a <-，∴当有2022个交点时，()202222ππ2022n =÷⨯÷=，()(),11,a ∈-∞-+∞ ，综上：当()1,1a ∈-时，1011n =；当1a =±时，1348n =；当()(),11,a ∈-∞-+∞ 时，2022n =.关键点点睛：三角函数，三角函数的图像，二次函数，零点问题等，考查学生的作图能力，三角函数的恒等变换能力，分段函数的应用及去绝对值的能力，具有极强的综合性.。
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闵行中学2010学年第二学期高一年级数学学科期中考试卷2010.4一． 填空题（共12小题，每小题5分，共60分） 1. 与2009︒终边相同的最小正角是_________________.2. 集合,25k M k Z ππαα⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，{}N απαπ=-<<，则M N =∩ _____ .（用列举法表示）3. 若角α的终边经过点(1,A -,则cos α= ． 4. 已知4sin 5α=，且α是第二象限角，那么tan α的值为_________________. 5. 已知半径为2cm 的扇形的圆心角为23π，则该扇形的面积为___________2cm . 6.倍，则这条弦所对的圆心角为________________弧度.7. 函数21xy =+(0x ≥)的反函数是_________________________. 8. 化简cos45cos15cos45cos75__________________.9. 若tan 2α=，则22sin cos sin cos αααα=-________________.10. 已知角α和β满足220πβα≤<<，且()()ββαββαsin sin 21cos cos 2++-=+，则α和β满足的关系式是:_______________________. 11. 如图，有一高楼OP ，楼前有遮挡物体，故不能直接测量到高楼的水平距离，现采用如下方法测量高楼高度：A 为观测地点，'','A A 是两个高度已知且在同一条垂直地面的垂线上的两个观测点. 给出如下观测数据：① 观测点高度 'AA a = '''A A b = ② 观测仰角 α=∠''O PA β=∠''''O PA试用上述数据表示高楼高度：OP =___________________________.O ''O 'A 'OA 'A12. 如果()sin sin sin αβαβ+=+，则α和β满足的关系式可以是:__________________.① ()2k k Z απ=∈ ② ()24R k k Z παβπ∈=+∈且③ ()2k k Z αβπ+=∈ ④ ()k k Z αβπ+=∈二． 选择题（共4小题，每小题4分，共16分）13． “3πα=”是“tan α=------------------------------------------------------------（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．既非充分又非必要条件14． 下列命题中真命题的个数是 ------------------------------------------------------------------（ ）①{}{}36090,18090,k k Z k k Z ααββ=⋅︒±︒∈==⋅︒+︒∈；② ()cos cos παα-=-；③ 若4α=，则sin 0cos 0αα><且.A ．0 个B ．1 个C ． 2 个D ． 3 个15．在ABC ∆中，若cos cos sin sin A B A B >，则此三角形一定是------------------------（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．形状不确定16．若2log 1sin x α=+()R α∈，则函数24312x x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为-------------------------（ ）A ．(]0,2B ． 11,162⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ． 1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦三． 简答题（共5小题，共计74分，每小题要有必要的解题过程）17．（本题满分10分）已知是第一象限的角，且4sin5，求sin 2和tan 2的值.18．（本题满分14分） （1）已知tan 34πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求θθ2cos 22sin -.（219．（本题满分12分）已知锐角ABC ∆，三条边c b a ,,的对角分别是C B A ,,，其中8a =，3B π=，ABC S ∆=（1）求边长c ； （2）求ABC ∆中最小内角的正弦值.20．（本题满分18分,第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分）设()x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，()12log f x x =，（1） 当0<x 时，求()x f 的表达式； （2） 解不等式()2f x ≤；（3） 是否存在正实数()0,1a ∈，使得当[]1,1x a a ∈-+时，函数()f x 的最大值是2141log 2a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.21． （本题满分20分,第1小题满分6分，第2小题满分7分，第3小题满分7分）已知ABC ∆，三条边c b a ,,的对角分别是C B A ,,，其周长为p ，面积为S . 根据下列条件，研究以下各问题： （1） 若tan tan tan a b cA B C==，判断ABC ∆的形状； （2） 若22sin sin 1A B +=，且最大边12=c ，求其面积S 的最大值； （3） 若57a ≤≤，78c ≤≤，且2cos 9C =，求其面积S 的最大值. 对问题（3）有同学给出如下解法： 11sin 7812822S ac B =≤⨯⨯⨯= 当7,8,90a c B ===︒时，面积S 有最大值28.上述解法是否正确，请说明理由；若正确试求ba的取值范围，若不正确给出求面积S 最大值的正确解法.2010年高一年级期中考试数学试卷（解答）1. 209︒2. 347,,,510510ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ 3. 12- 4. 43- 5.43π 6. 23π 7. ()()2log 12y x x =-≥ 8.2 9. 23 10. 223παβ+=11. tan tan tan b OP a ααβ=+- 或 ()sin cos sin OP a b αβαβ=+- 12. ① ③13. A 14. C 15. A 16. D17.（满分10分） 解：θ是第一象限的角，3cos 5θ∴== （2分）24sin 22sin cos 25（4分） sin 1tan21cos2（4分） 18．（14分） 解：（1）1tan 2θ=2222tan 24sin 22cos 1tan 1tan 5θθθθθ-=-=-++ （7分） （2）原式)2sin10cos10sin10cos10cos10sin101sin10cos10sin10cos10sin10cos170---====---- （7分）19．（满分12 分）. 解：（1）11sin 8sin 12223ABC S ac B c c π∆==⋅⋅⋅=⇒=（4分） （2）由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+- 2112b b =∴= （4分）c b a >> ∴A 为最小角由正弦定理：sin sin a bA B= 得sin sin 7a B A b == （4分） 20.（满分18分）解： （1）当0<x 时，0x -> ()()12log f x x ⇒-=-∵()f x 是奇函数 ∴()()()()122log log f x f x x x =--=--=- （4分）（2）由题意，得()12200140log 2log 24x x x x x x >⎧<⎧⎪⎪⇒≥-≤<⎨⎨≤-≤⎪⎩⎪⎩或或又()00f =，所以不等式的解集[]14,0,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（7分）()[]()()()()()[]()()(){}()()()()()()()()12212max 21212222111124241111111111131,10,0,1log 1,log 1,max ,max log ,log log log log log log log log log 2f x f x f a f a a a a a a a a a a a a x x x x x a a f x ≠-+-+-+-+-+-+⊂+∞∈=∈+∞=∴∈--⎧⎫==⎨⎬⎩⎭⎧><⎪⎪⇒⎨⎛⎫⎪=+= ⎪⎝⎭⎪⎩由上述可知：是减函数；是增函数.当当时，当时，时，或2()1214a a ⎧⎪⎪⎨⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭⎪⎩=舍解得满足要求.（7分）21.（满分20分） 解： （1）tan tan tan a b cA B C==由正弦定理得2sin 2sin 2sin tan tan tan R A R B R CA B C==cos cos cos A B C ⇒== (),,0,A B C π∈ ∴A B C == 即ABC ∆是等边三角形. （6分）（2）c 是最大边 ∴,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由2222sin sin 1sin cos sin cos A B A BA B +=⇒=⇒=sin sin 22A B A B ππ⎛⎫⇒=-⇒=- ⎪⎝⎭即2C π=()()1sin cos 36sin 2362S c A c A A =⋅=≤ （7分） 所以当4A π=时 max 36S =（3） 上述解法不正确，可验证此时2cos 9C ≠由余弦定理得22224422999c a b ab ab ab ab =+-⋅≥-= 2914ab c ⇒≤2119sin 221497S ab C c =≤⋅⋅≤所以当()5,7a b ==时 max 7S =. （7分）。