高中函数知识点总结
高中数学必胜秘籍之函数知识点总结
函:包含
函数;彼此相关的两个量之一,他们的关系是一个量的诸值与另外一个量的诸值相对应
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg
中元素各表示什么？
A 表示函数y=lgx 的定义域，
B 表示的是值域，而
C 表示的却是函数上的点的轨迹
2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
{}
{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301
若，则实数的值构成的集合为
B A a ?
（答：，，）-?
??
???1013
显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据
条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。
3. 注意下列性质：
{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n
要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有2n
种选择， 即集合A 有2n
个子集。
当然，我们也要注意到，这2n
种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21n
-，非空真子集个数为22n
-
（）若，；2A B A B A A B B ??==I Y
（3）德摩根定律：
()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==，
有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂
,A B A B A B A B ==U I I U
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
如：已知关于的不等式
的解集为，若且，求实数x ax x a
M M M a --<∈?5
0352
的取值范围。
()（∵，∴
·∵，∴
·，，）335
30
555
5015392522
∈--
?
????M a a M a a
a Y
注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0) 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到m ，n 实际上就是方程 的2个根
5、熟悉命题的几种形式、
()()().∨∧?可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非”若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧
若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨
若为真，当且仅当为假?p p
命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）
x x A |{=满足条件}p ，x x B |{=满足条件}q ，
若；则p 是q 的充分非必要条件B A _____?； 若；则p 是q 的必要非充分条件B A _____?； 若；则p 是q 的充要条件B A _____?；
若；则p 是q 的既非充分又非必要条件___________?；
7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。）
注意映射个数的求法。如集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 的映射个数有n m 个。
如：若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =；问：A 到B 的映射有个，B 到A 的映射有个；
A 到
B 的函数有个，若}3,2,1{=A ，则A 到B 的一一映射有个。
函数)(x y ?=的图象与直线a x =交点的个数为个。
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
()()
例：函数的定义域是
y x x x =
--432
lg ()()()（答：，，，）022334Y Y
函数定义域求法：
● 分式中的分母不为零；
● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一；
● 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
● 正切函数x y tan =??
? ?
?∈+
≠∈Z π
πk k x R x ,2,且 ● 余切函数x y cot =()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ● 反三角函数的定义域
函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y ＝arccosx 的定义
域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，
函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) .
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。
10. 如何求复合函数的定义域？
[]
如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0
义域是_____________。[]
（答：，）a a -
复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。 例 若函数)(x f y =的定义域为??
????2,2
1，则)(log 2x f 的定义域为。
分析：由函数)(x f y =的定义域为??
????2,21可知：22
1
≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有
2log 2
1
2≤≤x 。 解：依题意知： 2log 2
1
2≤≤x 解之，得 42≤≤x
∴)(log 2x f 的定义域为{
}
42|
≤≤x x
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数y=
x
1
的值域 2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=2
x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂
.1
12..2
22
22222
b
a y 型：直接用不等式性质k+x bx
b. y 型,先化简，再用均值不等式
x mx n
x 1 例：y 1+x x+x
x m x n c y 型 通常用判别式
x mx n x mx n
d. y 型
x n
法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉
x x 1（x+1）（x+1）+1 1
例：y （x+1）1211
x 1x 1x 1
=
=++==≤
''
++=++++=+++-===+-≥-=+++
4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 求函数y=
6
54
3++x x 值域。
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例 求函数y=11+-x x e e ，2sin 11sin y θθ-=+，2sin 1
1cos y θθ
-=+的值域。
110
11
2sin 11|sin |||1,
1sin 22sin 12sin 1(1cos )
1cos 2sin cos 1)1,sin()sin()11
即又由解不等式，求出，就是要求的答案
x x x e y y e y e y y y y y y y
x y x x y θθθθθθθ
θθθθθ-+=?=>-+-+=?=≤+--=?-=++-=++=++=
+≤≤
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=
+-2
5
x log
3
1-x （2≤x ≤10）的值域
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。
例 求函数y=x+1-x 的值域。
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例：已知点P （x.y ）在圆x 2+y 2
=1上，
2
,(2),2
(,20, (1)
的取值范围 (2)y-2的取值范围
解:(1)令则是一条过(-2,0)的直线. d 为圆心到直线的距离,R 为半径)
(2)令y-2即也是直线d d
y
x x y
k y k x x R d x b y x b R +==+-≤=--=≤
例求函数y=
)
2(2
-x +
)
8(2
+x 的值域。
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），B （-8）间的距离之和。 由上图可知：当点P 在线段AB 上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB ∣=10
当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB ∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞） 例求函数y=
1362
+-x x
+
542
++x x
的值域
解：原函数可变形为：y=
)20()3(2
2
--+x +
)10()
2(2
2
+++x
上式可看成x 轴上的点P （x ，0）到两定点A （3，2），B （-2 ，-1 ）的距离之和，
由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时， y m in =∣AB ∣=
)
12()23(2
2+++=43，
故所求函数的值域为[43，+∞）。 例求函数y=
1362
+-x x
-542
++x x
的值域
解：将函数变形为：y=
)
20()3(2
2
--+x -
)
10()2(2
2-++x
上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0 ）的距离与定点B （-2，1）到点P （x ，0）的距离之差。即：y=∣AP ∣-∣BP ∣ 由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点P 1，则构成△ABP 1，根据三角形两边之差小于第三边，
有 ∣∣AP 1∣-∣BP 1∣∣＜∣AB ∣= )
12()23(2
2-++= 26
即：-26＜y ＜26
（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有 ∣∣AP ∣-∣BP ∣∣= ∣AB ∣= 26。 综上所述，可知函数的值域为：（-26，-26）。
注：求两距离之和时，要将函数式变形，使A ，B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A ，B 在x
轴的同侧。
9 、不等式法
利用基本不等式a+b ≥2ab ，a+b+c ≥3abc 3（a ，b ，c ∈
R
+
），求函数的最值，其题型特征解析式
是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例：
2
(0)113322x =x (应用公式a+b+c 者的乘积变成常数）x x
x x +
>+
+≥=≥
3
3
(
)13
()32x (3-2x)(0 x x+3-2x =x x (3-2x) (应用公式abc 时，应注意使3者之和变成常数） a b c +??≤=++≤ 倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数y= 3 2 ++x x 的值域 32011202 201 2 时，时，=00y x x y y x y y = ++≠==+≥?<≤ +=∴≤≤ 多种方法综合运用 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不 要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂 ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t =+≥10 ∴x t =-21 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 13. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域） () () 如：求函数的反函数f x x x x x ()=+≥- ()() （答：）f x x x x x -=->-- 110() 在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了 大方便。请看这个例题： (2004.全国理)函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ B ） A ．y=x 2－2x +2(x <1) B ．y=x 2－2x +2(x ≥1) C ．y=x 2－2x (x <1) D ．y=x 2－2x (x ≥1) 当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想， 一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路： 原函数定义域为 x 〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B. 我题目已经做完了， 好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？ 14. 反函数的性质有哪些？ 反函数性质： 1、 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y ） 2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x ） 3、 反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（x,y ）和点（y ，x ）关于直线 y=x 对称 ①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性； ③设的定义域为，值域为，，，则y f(x)A C a A b C f(a)=b f 1=∈∈?=-()b a [][] ∴====---f f a f b a f f b f a b 111()()()()， 由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如 （04. 上海春季高考）已知函数)24 ( log )(3+=x x f ，则方程4)(1 =-x f 的解 =x __________.1 对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。已知反函数的y,不就是原函数的x 吗？那 代进去阿，答案是不是已经出来了呢？（也可能是告诉你反函数的x 值，那方法也一样，呵呵。 自己想想，不懂再问我 15 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 判断函数单调性的方法有三种： (1)定义法： 根据定义，设任意得x 1,x 2，找出f(x 1),f(x 2)之间的大小关系 可以变形为求 1212()()f x f x x x --的正负号或者12() () f x f x 与1的关系 (2)参照图象： ①若函数f(x)的图象关于点(a ，b)对称，函数f(x)在关于点(a ，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数） ②若函数f(x)的图象关于直线x ＝a 对称，则函数f(x)在关于点(a ，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数） (3)利用单调函数的性质： ①函数f(x)与f(x)＋c(c 是常数)是同向变化的 ②函数f(x)与cf(x)(c 是常数)，当c ＞0时，它们是同向变化的；当c ＜0时，它们是反向变化的。 ③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加） ④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘） ⑤函数f(x)与 1() f x 在f(x)的同号区间里反向变化。 ⑥若函数u ＝φ(x)，x[α，β]与函数y ＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y ＝F[φ(x)]是递增的；若函数u ＝φ(x),x[α，β]与函数y ＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y ＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减） ⑦若函数y ＝f(x)是严格单调的，则其反函数x ＝f －1(y)也是严格单调的，而且，它 () 如：求的单调区间y x x =-+log 12 22 （设，由则u x x u x =-+><<22002 ()且，，如图：log 12 2 11u u x ↓=--+ 当，时，，又，∴x u u y ∈↑↓↓(]log 0112 当，时，，又，∴x u u y ∈↓↓↑[)log 1212 ∴……） 16. 如何利用导数判断函数的单调性？ ()在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于a b f x f x '()()≥0 零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？f x '()≤0 [)如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大a f x x ax a >=-+∞013() 值是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令f x x a x a x a '()=-=+?? ???-?? ? ??≥333302 则或x a x a ≤- ≥3 3 由已知在，上为增函数，则 ，即f x a a ()[)13 13+∞≤≤ ∴a 的最大值为3） 17. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称） 若总成立为奇函数函数图象关于原点对称f x f x f x ()()()-=-?? 若总成立为偶函数函数图象关于轴对称f x f x f x y ()()()-=?? 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 （）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0= 如：若·为奇函数，则实数f x a a a x x ()=+-+=22 21 （∵为奇函数，，又，∴f x x R R f ()()∈∈=000 即·，∴）a a a 2221 0100 +-+== 又如：为定义在，上的奇函数，当，时，，f x x f x x x ()()()()-∈=+1101241 ()求在，上的解析式。f x ()-11 ()()（令，，则，，x x f x x x ∈--∈-=+--1001241() 又为奇函数，∴f x f x x x x x ()()=-+=-+--241214 () 又，∴，，）f f x x x x x x x x ()()()00241 100241 01==-+∈-=+∈?? ????? 判断函数奇偶性的方法 一、定义域法 一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. . 二、奇偶函数定义法 在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)(x f -，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性. 这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x) 1 偶函数 f(-x)f(x) 1 奇函数f(-x) ==- 三、复合函数奇偶性 18. 你熟悉周期函数的定义吗？ ()（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期T T f x T f x f x ≠+=0()() 函数，T 是一个周期。） ()如：若，则 f x a f x +=-() （答：是周期函数，为的一个周期）f x T a f x ()()=2 我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来， 这时说这个函数周期2t. 推导：()()0()(2)()(2)0f x f x t f x f x t f x t f x t ++=? =>=+?+++=? ， 同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a 对称。 ()()()()() ()(2)(2)(2)()(2)2,222,()(22)()(22) ,()2||(,,,f x x a x b f a x f a x f b x f b x f x f a x f a x f b x f x f b x t a x b x t b a f t f t b a f x f x b a f x b a a b ==+=-+=-=-??=>=>-=-??=-?? =--=+-=+-=+--又如：若图象有两条对称轴，即，令则即所以函数以为周期因不知道的大小关系为保守起见我加了一个绝对值 如： 19. 你掌握常用的图象变换了吗？ f x f x y ()()与的图象关于轴对称 - 联想点（x,y ）,(-x,y) f x f x x ()()与的图象关于轴对称- 联想点（x,y ）,(x,-y) f x f x ()()与的图象关于原点对称-- 联想点（x,y ）,(-x,-y) f x f x y x ()()与的图象关于直线对称-=1 联想点（x,y ）,(y,x) f x f a x x a ()()与的图象关于直线对称2-= 联想点（x,y ）,(2a-x,y) f x f a x a ()()()与的图象关于点，对称--20 联想点（x,y ）,(2a-x,0) 将图象左移个单位右移个单位y f x a a a a y f x a y f x a =>?→ ????????>=+=-()()()()() 00 上移个单位下移个单位 b b b b y f x a b y f x a b ()()()()>?→ ????????>=++=+-00 （这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于 这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。） 注意如下“翻折”变换： ()|()|x ()(||)y f x f x f x f x ??→??→把轴下方的图像翻到上面把轴右方的图像翻到上面 ()如：f x x ()log =+21 ()作出及的图象y x y x =+=+log log 2211 y=log 2x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ ()（）一次函数：10y kx b k =+≠(k 为斜率，b 为直线与y 轴的交点) ()()（）反比例函数：推广为是中心，200y k x k y b k x a k O a b = ≠=+-≠'( ) 的双曲线。 ()（ ）二次函数图象为抛物线302442 2 2y ax bx c a a x b a ac b a =++≠=+?? ???+- 顶点坐标为，，对称轴--?? ???=-b a ac b a x b a 24422 开口方向：，向上，函数a y ac b a >=-0442min a y ac b a <=-0442 ，向下，max 1212122,,|||| b x a b c x x x x x x a a a -= +=-?=-= 根的关系： 2212121212()() ()()(m n ()()()(,2()()()(,)(,) f x ax bx c f x a x m n f x a x x x x x x f x a x x x x h x h x h =++=-+=--=--+二次函数的几种表达形式：一般式顶点式，（，）为顶点是方程的个根）函数经过点（ 应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程 ax bx c x x y ax bx c x 212200++=>=++，时，两根、为二次函数的图象与轴? 的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。ax bx c 200++><() ②求闭区间［m ，n ］上的最值。 2 max (),min ()2max (),min () 2224min ,max max((),()) 4m,n 0b n f f m f f n a b m f f n f f m a b n m a c b a f f f m f n a a <-==>-==<-<-==>区间在对称轴左边（） 区间在对称轴右边（） 区间在对称轴边 （） 也可以比较和对称轴的关系，距离越远，值越大(只讨论的情况） ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。 如：二次方程的两根都大于ax bx c k b a k f k 2 0020 ++=?≥->>????????() 一根大于，一根小于k k f k ?<()0 x 0m n 22()0()0m n ()()0 b m n a f m f n f m f n ?≥???<- ?>???<在区间（，）内有根在区间（，）内有1根()（）指数函数：，401y a a a x =>≠ ()（）对数函数，501y x a a a =>≠log 由图象记性质！（注意底数的限定！） a x(a>1) ()（）“对勾函数”60y x k x k =+ > 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件） 20. 你在基本运算上常出现错误吗？ 指数运算：，a a a a a p p 0101 0=≠= ≠-(()) a a a a a a m n m n m n m n =≥= >- ((01 0))， ()log ()log log 00a a a M N M N M N ?=+>>对数运算：， log log log log log a a a a n a M N M N M n M =-=，1 对数恒等式：a x a x log = log log log log log 1log log m n c a a a c a x b n b b b a m x a =?== 对数换底公式： 21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法） 如：（），满足，证明为奇函数。1x R f x f x y f x f y f x ∈+=+()()()()() （先令再令，……）x y f y x ==?==-000() （），满足，证明是偶函数。2x R f x f xy f x f y f x ∈=+()()()()() []（先令·x y t f t t f t t ==-?--=()()() ∴f t f t f t f t ()()()()-+-=+ ∴……）f t f t ()()-= ()[] （）证明单调性：……32212f x f x x x ()=-+= （对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了 1、 代y=x ， 2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1) 3、 求奇偶性，令y=—x ；求单调性：令x+y=x 1 几类常见的抽象函数 1. 正比例函数型的抽象函数 f （x ）＝kx （k ≠0）---------------f （x ±y ）＝f （x ）±f （y ） 2. 幂函数型的抽象函数 f （x ）＝x a ----------------f （xy ）＝ f （x ）f （y ）；f （y x ）＝)()(y f x f 3. 指数函数型的抽象函数 f （x ）＝a x -------------------f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）；f （x －y ）＝) () (y f x f 4. 对数函数型的抽象函数 f （x ）＝lo g a x （a >0且a ≠1）-----f （x ·y ）＝f （x ）＋f （y ）；f （y x ）＝ f （x ）－f （y ） 5. 三角函数型的抽象函数 f （x ）＝t gx--------------------------f （x ＋y ）＝ )()(1) ()(y f x f y f x f -+ f （x ）＝cot x------------------------f （x ＋y ）＝ ) ()(1 )()(y f x f y f x f +- 例1已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>0，f (－1)＝ －2求f (x )在区间[－2,1]上的值域. 分析：先证明函数f （x ）在R 上是增函数（注意到f （x 2）＝f [（x 2－x 1）＋x 1]＝f （x 2 －x 1）＋f （x 1））；再根据区间求其值域. 例2已知函数f （x ）对任意实数x 、y 均有f （x ＋y ）＋2＝f （x ）＋f （y ），且当x >0时，f (x )>2，f (3)＝ 5，求不等式 f （a 2－2a －2）<3的解. 分析：先证明函数f （x ）在R 上是增函数（仿例1）；再求出f （1）＝3；最后脱去函数符号. 例3已知函数f （x ）对任意实数x 、y 都有f （xy ）＝f （x ）f （y ），且f （－1）＝1，f （27）＝9，当0≤x ＜1时，f （x ）∈[0，1]. （1） 判断f （x ）的奇偶性； （2） 判断f （x ）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明； （3） 若a ≥0且f （a ＋1）≤39，求a 的取值范围. 分析：（1）令y ＝－1； （2）利用f （x 1）＝f （ 21x x ·x 2）＝f （2 1x x ）f （x 2）； （3）0≤a ≤2. 例4设函数f （x ）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x 1≠x 2，使得f （x 1）≠f （x 2）；对任何x 和y ，f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）成立.求： （1） f （0）； （2） 对任意值x ，判断f （x ）值的符号. 分析：（1）令x= y ＝0；（2）令y ＝x ≠0. 例5是否存在函数f （x ），使下列三个条件：①f （x ）>0,x ∈N ；②f （a ＋b ）＝ f （a ）f （b ），a 、b ∈N ；③f （2）＝4.同时成立？若存在，求出f （x ）的解析式，若不存在，说明理由. 分析：先猜出f （x ）＝2x ；再用数学归纳法证明. 例6设f （x ）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f （x ·y ）＝f （x ）＋f （y ），f （3）＝1，求： （1） f （1）； （2） 若f （x ）＋f （x －8）≤2，求x 的取值范围. 分析：（1）利用3＝1×3； （2）利用函数的单调性和已知关系式. 例7设函数y ＝ f （x ）的反函数是y ＝g （x ）.如果f （a b ）＝f （a ）＋f （b ），那么g （a ＋b ）＝g （a ）·g （b ）是否正确，试说明理由. 分析：设f （a ）＝m ，f （b ）＝n ，则g （m ）＝a ，g （n ）＝b ， 进而m ＋n ＝f （a ）＋f （b ）＝ f （a b ）＝f [g （m ）g （n ）]…. 例8已知函数f （x ）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件： ① x 1、x 2是定义域中的数时，有f （x 1－x 2）＝ ) ()(1 )()(1221x f x f x f x f -+； ② f （a ）＝ －1（a ＞0，a 是定义域中的一个数）； ③ 当0＜x ＜2a 时，f （x ）＜0. 试问： （1） f （x ）的奇偶性如何？说明理由； （2） 在（0，4a ）上，f （x ）的单调性如何？说明理由. 分析：（1）利用f [－（x 1－x 2）]＝ －f [（x 1－x 2）]，判定f （x ）是奇函数； （3） 先证明f （x ）在（0，2a ）上是增函数，再证明其在（2a ，4a ）上也是 增函数. 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例9已知函数f （x ）（x ≠0）满足f （xy ）＝f （x ）＋f （y ）， （1） 求证：f （1）＝f （－1）＝0； （2） 求证：f （x ）为偶函数； （3） 若f （x ）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f （x ）＋f （x －2 1 ）≤0. 分析：函数模型为：f （x ）＝lo g a |x |（a ＞0） （1） 先令x ＝y ＝1，再令x ＝y ＝ －1； （2） 令y ＝ －1； （3） 由f （x ）为偶函数，则f （x ）＝f （|x |）. 例10已知函数f （x ）对一切实数x 、y 满足f （0）≠0，f （x ＋y ）＝f （x ）·f （y ），且当x ＜0时，f （x ）＞1，求证： （1） 当x ＞0时，0＜f （x ）＜1； （2） f （x ）在x ∈R 上是减函数. 分析：（1）先令x ＝y ＝0得f （0）＝1，再令y ＝－x ； （3） 受指数函数单调性的启发： 由f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）可得f （x －y ）＝ ) () (y f x f ， 【精品文档，百度专属】完整的知识网络构建，让复习备考变得轻松简单！ （注意：全篇带★需要牢记！） 高 中 物 理 重 要 知 识 点 总 结 （史上最全） 高中物理知识点总结 （注意：全篇带★需要牢记！） 一、力物体的平衡 1.力是物体对物体的作用，是物体发生形变和改变物体的运动状态（即产生加速度）的原因. 力是矢量。 2.重力（1）重力是由于地球对物体的吸引而产生的. ［注意］重力是由于地球的吸引而产生，但不能说重力就是地球的吸引力，重力是万有引力的一个分力. 但在地球表面附近，可以认为重力近似等于万有引力 （2）重力的大小:地球表面G=mg，离地面高h处G/=mg/，其中g/=[R/（R+h）]2g （3）重力的方向:竖直向下（不一定指向地心）。 （4）重心:物体的各部分所受重力合力的作用点，物体的重心不一定在物体上. 3.弹力（1）产生原因:由于发生弹性形变的物体有恢复形变的趋势而产生的. （2）产生条件:①直接接触;②有弹性形变. （3）弹力的方向:与物体形变的方向相反，弹力的受力物体是引起形变的物体，施力物体是发生形变的物体.在点面接触的情况下，垂直于面; 在两个曲面接触（相当于点接触）的情况下，垂直于过接触点的公切面. ①绳的拉力方向总是沿着绳且指向绳收缩的方向，且一根轻绳上的张力大小处处相等. ②轻杆既可产生压力，又可产生拉力，且方向不一定沿杆. （4）弹力的大小:一般情况下应根据物体的运动状态，利用平衡条件或牛顿定律来求解.弹簧弹力可由胡克定律来求解. ★胡克定律:在弹性限度内，弹簧弹力的大小和弹簧的形变量成正比，即F=kx.k为弹簧的劲度系数，它只与弹簧本身因素有关，单位是N/m. 4.摩擦力 （1）产生的条件:①相互接触的物体间存在压力;③接触面不光滑;③接触的物体之间有相对运动（滑动摩擦力）或相对运动的趋势（静摩擦力），这三点缺一不可. （2）摩擦力的方向:沿接触面切线方向，与物体相对运动或相对运动趋势的方向相反，与物体运动的方向可以相同也可以相反. （3）判断静摩擦力方向的方法: ①假设法:首先假设两物体接触面光滑，这时若两物体不发生相对运动，则说明它们原来没有相对运动趋势，也没有静摩擦力;若两物体发生相对运动，则说明它们原来有相对运动趋势，并且原来相对运动趋势的方向跟假设接触面光滑时相对运动的方向相同.然后根据静 高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 2020高一数学知识点总结归纳精选5 篇 高一数学是很多同学的噩梦，知识点众多而且杂，对于高一的同学们很不友好，建议同学们通过总结知识点的方法来学习数学，这样可以提高学习效率。下面就是给大家带来的高一数学知识点总结，希望能帮助到大家！ 高一数学知识点总结(一) (1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴 的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。 (7)函数总是通过(0，1)这点。 (8)显然指数函数无界。 奇偶性 定义 一般地，对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。 (4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 高一数学知识点总结(二) 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制****于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 高中数学概率统计知识点总结概括 一．算法，概率和统计 1．算法初步（约12课时） （1）算法的含义、程序框图 ①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如，二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。 ②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中（如，三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。 （2）基本算法语句 经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。 （3）通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。 3．概率（约8课时） （1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。 （3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概 率。 （4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例3）。 （5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。2．统计（约16课时） （1）随机抽样 ①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。 ②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。 ③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。 ④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。（2）用样本估计总体 ①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图（参见例1），体会他们各自的特点。 ②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。 ③能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提 完整的知识网络构建，让复习备考变得轻松简单！ （注意：全篇带★需要牢记！） 物 理 重 要 知 识 点 总 结 （史上最全） 高中物理知识点总结 （注意：全篇带★需要牢记！） 一、力物体的平衡 1.力是物体对物体的作用，是物体发生形变和改变物体的运动状态（即产生加速度）的原因. 力是矢量。 2.重力（1）重力是因为地球对物体的吸引而产生的. ［注意］重力是因为地球的吸引而产生，但不能说重力就是地球的吸引力，重力是万有引力的一个分力. 但在地球表面附近，能够认为重力近似等于万有引力 （2）重力的大小：地球表面G=mg，离地面高h处G/=mg/，其中g/=[R/（R+h）]2g （3）重力的方向：竖直向下（不一定指向地心）。 （4）重心：物体的各部分所受重力合力的作用点，物体的重心不一定在物体上. 3.弹力（1）产生原因：因为发生弹性形变的物体有恢复形变的趋势而产生的. （2）产生条件：①直接接触;②有弹性形变. （3）弹力的方向：与物体形变的方向相反，弹力的受力物体是引起形变的物体，施力物体是发生形变的物体.在点面接触的情况下，垂直于面; 在两个曲面接触（相当于点接触）的情况下，垂直于过接触点的公切面. ①绳的拉力方向总是沿着绳且指向绳收缩的方向，且一根轻绳上的张力大小处处相等. ②轻杆既可产生压力，又可产生拉力，且方向不一定沿杆. （4）弹力的大小：一般情况下应根据物体的运动状态，利用平衡条件或牛顿定律来求解.弹簧弹力可由胡克定律来求解. ★胡克定律：在弹性限度内，弹簧弹力的大小和弹簧的形变量成正比，即F=kx.k为弹簧的劲度系数，它只与弹簧本身因素相关，单位是N/m. 4.摩擦力 （1）产生的条件：①相互接触的物体间存有压力;③接触面不光滑;③接触的物体之间有相对运动（滑动摩擦力）或相对运动的趋势（静摩擦力），这三点缺一不可. （2）摩擦力的方向：沿接触面切线方向，与物体相对运动或相对运动趋势的方向相反，与物体运动的方向能够相同也能够相反. （3）判断静摩擦力方向的方法： ①假设法：首先假设两物体接触面光滑，这时若两物体不发生相对运动，则说明它们原来没有相对运动趋势，也没有静摩擦力;若两物体发生相对运动，则说明它们原来有相对运动趋势，并且原来相对运动趋势的方向跟假设接触面光滑时相对运动的方向相同.然后根据静摩擦力的方向跟物体相对运动趋势的方向相反确定静摩擦力方向. ②平衡法：根据二力平衡条件能够判断静摩擦力的方向. （4）大小：先判明是何种摩擦力，然后再根据各自的规律去分析求解. ①滑动摩擦力大小：利用公式f=μF N实行计算，其中F N是物体的正压力，不一 高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集， 它有2 2n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图 交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ （1）A A A = （2）A?=? （3）A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ （1）A A A = （2）A A ?= （3）A B A ? A B B ? B A 补集 U A{|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=?2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>> 把ax b+看成一个整体，化成||x a<， ||(0) x a a >>型不等式来求解 判别式 24 b ac ?=- ?>0 ?=0 ?<二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = （其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B = 概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。 2、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积：f S y d ==?距；频率=频数/总数 2、频率之和：121n f f f ++???+=；同时 121n S S S ++???+=； 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 2、平均数： 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中：1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关；?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。 五、回归分析 1、残差：??i i i e y y =-（残差=真实值—预报值）。分析：?i e 越小越好； 2、残差平方和：21?()n i i i y y =-∑， 分析：①意义：越小越好； ②计算：222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 3、拟合度（相关指数）：221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑，分析：①.(]20,1R ∈的常数； ②.越大拟合度越高； 4、相关系数 ：()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析：①.[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈；相关性很弱； (0.25,0.75)r ∈；相关性一般； [0.75,1]r ∈；相关性很强； 六、独立性检验 1、2×2列联表： 2、独立性检验公式 ①．2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ ②．犯错误上界P 对照表 3、独立性检验步骤 高二物理知识点汇总2017高二上学期物理知识点总结高二物理中所涉及到的物理知识是物理学中的最基本的知识,学好高二物 理的相关知识点尤其重要，下面是学而思的2017高二上学期物理知识点总结，希望对你有帮助。 高二上学期物理知识点 一、三种产生电荷的方式： 1、摩擦起电：(1)正点荷：用绸子摩擦过的玻璃棒所带电荷;(2)负电荷:用毛皮摩擦过的橡胶棒所带电荷;(3)实质：电子从一物体转移到另一物体; 2、接触起电：(1)实质：电荷从一物体移到另一物体;(2)两个完全相同的物体相互接触后电荷平分;(3)、电荷的中和：等量的异种电荷相互接触，电荷相合抵消而对外不显电性，这种现象叫电荷的中和; 3、感应起电：把电荷移近不带电的导体，可以使导体带电;(1)电荷的基本性质：同种电荷相互排斥、异种电荷相互吸引;(2)实质：使导体的电荷从一部分移到另一部分;(3)感应起电时，导体离电荷近的一端带异种电荷，远端带同种电荷; 4、电荷的基本性质：能吸引轻小物体; 二、电荷守恒定律：电荷既不能被创生，亦不能被消失，它只能从一个物体转移到另一物体，或者从物体的一部分转移到另一部分;在转移过程中，电荷的总量不变。 三、元电荷：一个电子所带的电荷叫元电荷，用e表示。1、e=1.610-19c;2、一个质子所带电荷亦等于元电荷;3、任何带电物体所带电荷都是元电荷的整数倍; 四、库仑定律：真空中两个静止点电荷间的相互作用力，跟它们所带电荷量的乘积成正比，跟它们之间距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。电荷间的这种力叫库仑力，1、计算公式：F=kQ1Q2/r2(k=9.0109N.m2/kg2)2、库仑定律只适用于点电荷(电荷的体积可以忽略不计)3、库仑力不是万有引力; 五、电场：电场是使点电荷之间产生静电力的一种物质。1、只要有电荷存在，在电荷周围就一定存在电场;2、电场的基本性质：电场对放入其中的电荷(静止、运动)有力的作用;这种力叫电场力;3、电场、磁场、重力场都是一种物质 高中物理知识点总结（经典版） 第一章、力 一、力F：物体对物体的作用。 1、单位：牛（N） 2、力的三要素：大小、方向、作用点。 3、物体间力的作用是相互的。即作用力与反作用力，但它们不在同一物体上，不是平衡力。作用力与 反作用力是同性质的力，有同时性。 二、力的分类： 1、按按性质分：重力G、弹力N、摩擦力f 按效果分：压力、支持力、动力、阻力、向心力、回复力。 按研究对象分：外力、内力。 2、重力G：由于受地球吸引而产生，竖直向下。G=mg 重心的位置与物体的质量分布与形状有关。质量均匀、形状规则的物体重心在几何中心上，不一定在物体上。 弹力：由于接触形变而产生，与形变方向相反或垂直接触面。F=k×Δx 摩擦力f：阻碍相对运动的力，方向与相对运动方向相反。 滑动摩擦力：f=μN（N不是G，μ表示接触面的粗糙程度，只与材料有关，与重力、压力无关。） 相同条件下，滚动摩擦<滑动摩擦。 静摩擦力：用二力平衡来计算。 用一水平力推一静止的物体并使它匀速直线运动，推力F与摩擦力f的关系如图所示。 力的合成与分解：遵循平行四边形定则。以分力F1、F2为邻边作平行四边形，合力F的大小和方向可用这两个邻边之间的对角线表示。 |F1-F2|≤F合≤F1+F2 F合2=F12+F22+ 2F1F2cosQ 平动平衡：共点力使物体保持匀速直线运动状态或静止状态。 解题方法：先受力分析，然后根据题意建立坐标 系，将不在坐标系上的力分解。如受力在三个以 内，可用力的合成。 利用平衡力来解题。 F x合力=0 F y合力=0 注：已知一个合力的大小与方向，当一个分力的 方向确定，另一个分力与这个分力垂直是最小 值。 转动平衡：物体保持静止或匀速转动状态。 解题方法：先受力分析，然后作出对应力的力臂（最长力臂是指转轴到力的作用点的直线距离）。分析正、负力矩。 利用力矩来解题：M合力矩=FL合力矩=0 或M正力矩= M负力矩 第二章、直线运动 高中数学必修3 知识点总结 第二章统计 2.1.1 简单随机抽样 1 ．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个 样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其 它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。 2．简单随机抽样常用的方法： （ 1 ）抽签法；⑵ 随机数表法；⑶ 计算机模拟法；⑷ 使用统计软件直接抽取。 在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：① 总体变异情况；② 允许误差范围；③ 概率保证程度。 3．抽签法: （ 1 ）给调查对象群体中的每一个对象编号； （ 2 ）准备抽签的工具，实施抽签 （ 3 ）对样本中的每一个个体进行测量或调查 例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。 4．随机数表法： 例：利用随机数表在所在的班级中抽取10 位同学参加某项活动。 2.1.2 系统抽样 1 ．系统抽样（等距抽样或机械抽样）： 把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的 办法抽取。 K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模） 前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。 2．系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。更为重要的是， 如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估 计精度。 2.1.3 分层抽样 1 ．分层抽样（类型抽样） 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用 简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。 两种方法： 1 ．先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。 2．先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。 2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有 的样本进而代表总体。 分层标准： （ 1 ）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。 （2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。 （3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。 3．分层的比例问题： （ 1 ）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。 （2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主要是便于对不同层次 的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样 本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。 高一物理知识点归纳大全 从初中进入高中以后，就会慢慢觉得物理公式比以前更难学习了，其实学透物理公式并不是难的事情，以下是我整理的物理公式内容，希望可以给大家提供作为参考借鉴。 基本符号 Δ代表'变化的 t代表'时间等,依情况定,你应该知道' T代表'时间' a代表'加速度' v。代表'初速度' v代表'末速度' x代表'位移' k代表'进度系数' 注意,写在字母前面的数字代表几倍的量,写在字母后面的数字代表几次方. 运动学公式 v=v。+at无需x时 v2=2ax+v。2无需t时 x=v。+0.5at2无需v时 x=((v。+v)/2)t无需a时 x=vt-0.5at2无需v。时 一段时间的中间时刻速度(匀加速)=(v。+v)/2 一段时间的中间位移速度(匀加速)=根号下((v。2+v2)/2) 重力加速度的相关公式,只要把v。当成0就可以了.g一般取10 相互作用力公式 F=kx 两个弹簧串联，进度系数为两个弹簧进度系数的倒数相加的倒数 两个弹簧并联,进度系数连个弹簧进度系数的和 运动学： 匀变速直线运动 ①v=v(初速度)+at ②x=v(初速度)t+?at平方=v+v(初速度)/2×t ③v的平方-v(初速度)的平方=2ax ④x(末位置)-x(初位置)=a×t的平方 自由落体运动(初速度为0)套前面的公式，初速度为0 重力：G=mg(重力加速度)弹力：F=kx摩擦力：F=μF(正压力)引申：物体的滑动摩擦力小于等于物体的最大静摩擦 匀变速直线运动 1.平均速度V平=s/t(定义式) 2.有用推论Vt2-Vo2=2as 3.中间时刻速度Vt/2=V平=(Vt+Vo)/2 4.末速度Vt=Vo+at 5.中间位置速度Vs/2=[(Vo2+Vt2)/2]1/2 6.位移s=V平t=Vot+at2/2=Vt/2t 7.加速度a=(Vt-Vo)/t{以Vo为正方向，a与Vo同向(加速)a>0;反向则a<0｝ 8.实验用推论Δs=aT2{Δs为连续相邻相等时间(T)内位移之差｝ 9.主要物理量及单位:初速度(Vo):m/s;加速度(a):m/s2;末速度(Vt):m/s; 高中各学科知识点总结及口诀汇 总 语文 中国古代文化常识汇总 高考：语文基础知识口诀 中学语文：古典诗词鉴赏口诀 高考语文：语言运用解题歌诀 高考语文：语文基础知识考点歌诀 数学 高中数学公式定理记忆口诀 高中立体几何学习记忆口诀 高中数学知识点总结 高中数学常用公式及常用结论 英语 常用英语谚语100条 高中英语语法口诀 高中英语：语法学习记忆口诀初中各学科知识点总结及口诀大 全 语文 中考语文知识点梳理 初中语文名人名句大集合 初中古诗文中考必背知识点初中学科之语文知识点记忆口诀大全 数学 初中数学知识点总结 初中学科之数学知识点记忆口诀大全 英语 初中英语常见谚语 初中英语词组总结 高中英语：介词运用记忆口诀高考英语阅读题解题口诀 高考英语短文改错口诀 物理 高一物理：知识点理解记忆口诀高二物理：知识点理解记忆口诀高中物理：电学知识记忆口诀高中物理：基础知识理解记忆口诀 化学 高中化学口诀完全版 有机化学基础 高中化学方程式大全 高中化学记忆口诀 高中化学基本概念和基本理论 高中化学：基础知识记忆口诀 高中化学：实验操作知识点记忆口诀 生物 高中生物口诀大全初中学科之英语知识点巧记口诀大全 物理 初中物理知识点总结 初中物理公式 初中物理知识“顺口溜”总结 初中学科之物理知识点记忆口诀 化学 常见化学物质俗称大全 初中化学方程式大全1 初中化学方程式大全2 初中化学知识点总结完全版1 初中化学知识点总结完全版2 九年级化学中考化学考点总结 高中生物：知识要点理解记忆口诀 政治 高中政治知识点总结 高中政治：哲学常识速记口诀高中政治：哲学要点学习记忆口诀 历史 高考历史：历史朝代歌诀 高考历史：古代文化记忆口诀高考备考：中国古代史记忆口诀中国历史：科技文化主要成就歌诀 地理 高考地理雕虫小技：口诀记忆法高考地理：基础知识记忆歌诀高考地理：系列知识要点记忆口诀文综资料稳过270分 高中各科学法记忆口诀 美术初中学科之化学知识点记忆口诀大全 政治 初中政治知识点总结 初中学科之政治知识点记忆口诀大全 历史 历史中考知识点汇编 初中学科之历史知识点记忆口诀大全 地里 初中学科之地理知识点记忆口诀大全 生物 初中学科之生物知识记忆口诀 高考总复习知识网络一览表物理 高中物理知识点总结大全 一、质点的运动（1）------直线运动 1）匀变速直线运动 1.平均速度V平＝s/t（定义式） 2.有用推论Vt2-Vo2＝2as 3.中间时刻速度Vt/2＝V平＝(Vt+Vo)/2 4.末速度Vt＝Vo+at 5.中间位置速度Vs/2＝[(Vo2+Vt2)/2]1/2 6.位移s＝V平t＝Vot+at2/2＝Vt/2t 7.加速度a＝(Vt-Vo)/t ｛以Vo为正方向,a与Vo同向(加速)a>0；反向则aF2) 2.互成角度力的合成： F＝(F12+F22+2F1F2cosα)1/2（余弦定理）F1⊥F2时:F＝(F12+F22)1/2 3.合力大小范围：|F1-F2|≤F≤|F1+F2| 4.力的正交分Fx＝Fcosβ,Fy＝Fsinβ（β为合力与x轴之间的夹角tgβ＝Fy/Fx） 注： (1)力(矢量)的合成与分解遵循平行四边形定则; （2）合力与分力的关系是等效替代关系,可用合力替代分力的共同作用,反之也成立; (3)除公式法外,也可用作图法求解,此时要选择标度,严格作图; (4)F1与F2的值一定时,F1与F2的夹角(α角)越大,合力越小; （5）同一直线上力的合成,可沿直线取正方向,用正负号表示力的方向,化简为代数运算. 四、动力学（运动和力） 1.牛顿第一运动定律(惯性定律）：物体具有惯性,总保持匀速直线运动状态或静止状态,直到有外力迫使它改变这种状态为止 2.牛顿第二运动定律：F合＝ma或a＝F合/ma{由合外力决定,与合外力方向一致} 3.牛顿第三运动定律：F＝-F′{负号表示方向相反,F、F′各自作用在对方,平衡力与作用力反作用力区别,实际应用：反冲运动} 4.共点力的平衡F合＝0,推广｛正交分解法、三力汇交原理｝ 5.超重：FN>G,失重：FNr｝ 3.受迫振动频率特点：f＝f驱动力 4.发生共振条件:f驱动力＝f固,A＝max,共振的防止和应用〔见第一册P175〕 5.机械波、横波、纵波〔见第二册P2〕 6.波速v＝s/t＝λf＝λ/T{波传播过程中,一个周期向前传播一个波长；波速大小由介质本身所决定} 7.声波的波速(在空气中）0℃：332m/s；20℃:344m/s；30℃:349m/s；(声波是纵波) 8.波发生明显衍射（波绕过障碍物或孔继续传播）条件：障碍物或孔的尺寸比波长小,或者相差不大 9.波的干涉条件：两列波频率相同(相差恒定、振幅相近、振动方向相同) 10.多普勒效应:由于波源与观测者间的相互运动,导致波源发射频率与接收频率不同｛相互接近,接收频率增大,反之,减小〔见第二册P21〕｝ 注： （1）物体的固有频率与振幅、驱动力频率无关,取决于振动系统本身； 高中数学知识点总结 1. 首先对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 要注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 请问你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30 555 5015392522 ∈-- 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版 一、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?， 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子 集，21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完 全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则： ()()21x f x f -=… (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ； 高中数学统计与概率知识点（文） 一、众数: 一组数据中出现次数最多的那个数据。 众数与平均数的区别: 众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。 二、.中位数: 一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数) 三 .众数、中位数及平均数的求法。 ①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。 四、中位数与众数的特点。 ⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据； ⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数； ⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同； （6）众数可能是一个或多个甚至没有； （7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。 五.平均数、中位数与众数的异同： ⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量； ⑵平均数、众数和中位数都有单位； ⑶平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数都有关系，所以最为重要，应用最广； ⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响； ⑸众数与各组数据出现的频数有关，不受个别数据的影响，有时是我们最为关心的数据。 六、对于样本数据x 1，x 2，…，x n ，设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度，那么这个平均距离如何计算？ 思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用s 表示.假设样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，则标准差的计算公式是： 12||||||n x x x x x x n -+-++- L s = 高考物理基本知识点汇总 一. 教学内容： 知识点总结 1. 摩擦力方向：与相对运动方向相反，或与相对运动趋势方向相反 静摩擦力：0 说明：为某位置到星体中心的距离。某星体表面的重力加速度。 r g G M R 02 = g g R R h R h ' () = +2 2 ——某星体半径为某位置到星体表面的距离 7. 地球表面物体受重力加速度随纬度变化关系：在赤道上重力加速度较小，在两极，重力加速度较大。 8. 人造地球卫星环绕运动的环绕速度、周期、向心加速度'g ＝2 r GM 、r mv r GMm 2 2 = 、v ＝ r GM 、 r mv r GMm 2 2 = ＝m ω2R ＝m （2π/T ）2R 当r 增大，v 变小；当r ＝R ，为第一宇宙速度v 1＝r GM ＝gR gR 2 ＝GM 应用：地球同步通讯卫星、知道宇宙速度的概念 9. 平抛运动特点： ①水平方向______________ ②竖直方向____________________ ③合运动______________________ ④应用：闪光照 ⑤建立空间关系即两个矢量三角形的分解：速度分解、位移分解 相位，求?y t x y t gT v S T v x v t v v y gt v gt S v t g t v v g t tg gt v tg gt v tg tg == =====+=+== =2 0002 02 2 24 0222 00 1214 21 2αθα θ ⑥在任何两个时刻的速度变化量为△v ＝g △t ，△p ＝mgt ⑦v 的反向延长线交于x 轴上的x 2处，在电场中也有应用 10. 从倾角为α的斜面上A 点以速度v 0平抛的小球，落到了斜面上的B 点，求：S AB高中物理重要知识点详细全总结(史上最全)
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