矩阵多项式
矩阵分析课件-第六章
cos A B＝cosA cos B sin A sin B
dt
dt
d cos At＝A sin At＝－sin At A
dt
6 det eA＝etrA，其中trA是A 的迹
7 cos A＝ 1 eiA＋e－iA ，sinA＝ 1 eiA－e－iA
2
2i
8 sin2 A＋cos2 A＝E，sin －A＝－sin A，cos －A ＝cosA
9当AB＝BA时，有sin A B＝sin A cos B cos A sin B
D
i
其中
D
J
i
＝
D/ i Di
1
di－1
！Ddi－1
i
D/ i
Di
dixdi
设D ＝ E－A ＝－1 p1 －2 p2 －s ps
i
j， i
j
, pi是i的代数重复度；
pi
d
，
i
D i ＝D i ＝ ＝Ddi－1 i ＝0, D Ji ＝0,
故：D A＝0.
f (k) j ＝p(k) j ，j＝1，2， ，s；k＝0，1， ，dj－1
即f x与p 在A的影谱上有相同的值， 则矩阵函数f A定义为：
f A＝pA 称p 为f A的定义多项式。
定理6.2.1：设A
Cnn，J为A的若当标准形，P
Cnn n
且A＝PJP－1，函数 f x 在A的影谱上有定义，
ln E＋A的幂级数展开式见p201
＆6.4 矩阵指数函数与矩阵三角函数
由定理5.5.3知：对任意n阶方阵A
e
At＝
k＝0
Aktk， k！
sin At＝ k＝0
矩阵的特征多项式的求解
矩阵的特征多项式的求解矩阵的特征多项式是线性代数中比较基础的概念。
它的求解不仅在学术领域有着重要的应用价值，而在工程领域也有广泛应用。
本文将解释什么是矩阵的特征多项式，以及如何求解它。
什么是特征多项式？在矩阵中，我们定义一个特征向量，表示一个向量经过矩阵作用后，与原向量仅相差一个标量倍数的向量。
也就是说，矩阵A与其所对应的特征向量v，我们可以表示为A * v = λ * v，其中λ为一个标量。
我们可以将这个方程变形为(A - λI) * v = 0，其中I为单位矩阵，即由对角线元素都为1的矩阵。
因为v非0，所以我们必须要找到一个λ，使得矩阵(A - λI)不可逆。
如果我们把(A - λI)的行列式记为|A - λI|，那么这个行列式的零点就是矩阵A的特征值(lambda)。
利用特征向量和特征值的概念，我们可以定义矩阵的特征多项式。
矩阵的特征多项式是一个以矩阵A的特征值为变量的多项式。
如何求解特征多项式？下面我们将介绍如何求解特征多项式。
1.利用定义求解从上面的推导过程可以看出，矩阵A的特征多项式可以表示为|A - λI|。
因此我们可以按照定义，求解此行列式的解。
通过对行列式的展开，我们可以得到多项式的系数。
但是这种方法的计算量很大，不太适用于大型的矩阵。
2.运用矩阵的特征多项式的性质求解我们可以利用矩阵特征多项式的一些性质，来尽量简化计算。
首先，对于一个矩阵A，其特征多项式的次数与A的阶数相同。
其次，对于矩阵A中的元素aij，我们可以将a的行列式表示为一个特征多项式的项。
例如，当矩阵为三阶矩阵时，行列式为：| a11 a12 a13 || a21 a22 a23 || a31 a32 a33 |我们可以将其表示为：(a11 - λ)(a22 -λ)(a33 -λ) + (a11 - λ)(a23)(a32) + (a12)(a21 - λ)(a33- λ) +(a13)(a21 - λ)(a32)这样我们只需要求出矩阵A中的每一个元素，然后将它们替换到以上公式中，即可得到特征多项式。
矩阵的最小多项式
矩阵的最小多项式
求矩阵最小多项式的方法：特征多项式：(λ+1)(λ-1)^2，因为(A-E)(A+E)=0，所以最小多项式是(λ+1)(λ-1)。
最小多项式是代数数论的基本概念之一。
A的特征多项式是A的零化多项式，而在A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A的最小多项式。
在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。
这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。
矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。
矩阵的最小多项式
n×n
, 在数域P上的以A为根的多项
式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称 为A的最小多项式.
二、最小多项式的基本性质
1.（引理 引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的. 2.（引理 引理2）设 g ( x )是矩阵A的最小多项式，则
f ( x ) 以A为根 ⇔ g ( x ) f ( x ).
§7.9 最小多项式
一、最小多项式的定义 一、 最小多项式的定义 二、最小多项式的基本性质
引入
n×n ∀ A ∈ P , f (λ ) =| λ E − A | 由哈密尔顿―凯莱定理，
是A的特征多项式，则 f ( A) = 0.
n×n A ∈ P 因此，对任定一个矩阵 ，总可以找到一个
多项式 f ( x ) ∈ P[ x ], 使 f ( A) = 0. 此时，也称 多项式 f ( x ) 以A为根. 本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的 那个与A的对角化之间的关系.
3. 矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个 因子.
例1 数量矩阵 kE的最小多项式是一次多项式 x − k; 特别地，单位矩阵的最小多项式是 x − 1 ； 零矩阵的最小多项式是 x . 反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则 A一定是数量矩阵. 1 1 0 例2 求 A = 0 1 0 的最小多项式. 0 0 1
2
1 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
的最小多项式皆为( x − 1) ( x − 2), 但A与B不相似. Q | λ E − A |= ( x − 1)3 ( x − 2), | λ E − B |= ( x − 1)2 ( x − 2)2 即 | λ E − A |≠| λ E − B | . 所以，A与B不相似.
三阶矩阵多项式计算公式
三阶矩阵多项式计算公式
3阶矩阵特征多项式是f(λ)=|λE-A|，对于求解线性递推数列，还经常使用生成函数法，而对于常系数线性递推数列，其生成函数是一个有理分式，其分母即特征多项式。
可以对关系式进行变换：(A-λE)x=0 其中E为单位矩阵。
这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是系数行列式为0，即|A-λE|=0。
带入具体的数字或者符号，可以看出该式是以λ为未知数的一元n次方程，称为方阵A的特征方程，左端 |A-λE|是λ的n次多项式，也称为方阵A的特征多项式。
三阶矩阵计算是什么？
三阶行列式{(A，B，C),(D，E，F),(G，H，I)}，A、B、C、D、E、F、G、H、I都是数字。
1、按斜线计算A*E*I,B*F*G,C*D*H，求和AEI+BFG+CDH。
2、再按斜线计算C*E*G，D*B*I，A*H*F，求和CEG+DBI+AHF。
3、行列式的值就为（AEI+BFG+CDH）-（CEG+DBI+AHF）。
性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等。
性质2 互换行列式的两行(列)，行列式变号。
推论如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。
性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
推论行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。
性质5 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。
多项式矩阵理论
7.11 既约性 7.12 史密斯形 7.13 波波夫形 7.14 矩阵束和克罗内克尔形 7.15 小结
7.11 既约形
1.列既约性和行既约性 2.既约性判据
3.非既约性的既约化
既约性
1 行既约（行化简）多项式矩阵 满足下列关系式的非奇异 m 阶多项式方阵 M(s) 是行既约多项式矩阵。
证：由于rankA S 0，所以A s 中一定存在非零元素。通过行或 列的对调，我们总可以假设a11 ( s ) 0. 由引理得，可经过有限次初 等变换得到一个与A S 等价的B s 满足b11(s)为首一非零多项式， b (s) 且b11(s)能整除B s 的所有元素。将B S 第一项分别乘以- i1 加 b11 ( s ) b1 j ( s ) 到第i行，i 2, 3 m, 再将B S 的第一列分别乘以加到j列， b11 ( s ) j 2, 3 n.
A2(s ) P(s ) A1(s ) T(s )
(7 7)
【问题】为什么可以通过初等变换把多项式矩阵 化为Smith形且具有相关性质？
引理：设多项式矩阵 As =(aij (s))mn 的元素 a11 (s) 0，且A(s)中 至少有一个元素不能被它整除，则必存在一个与A(s) 等价的多项式矩阵B(S),其首行首列位置的素b (s) 0 ， 且次数比 a11 (s) 的次数低，并且b11 ( s)整除B(s)的所有元 素。
k
i 1
ci
3 deg det A(s) 3;
k
i 1
ri
4 deg det A( s) 3
即A(s)列既约的，但不是行既约的。 同理可得，B(s)既不是行既约的，也不是列既约的
多项式矩阵
多项式矩阵多项式矩阵是一种在线性代数中使用的特殊矩阵，可以表示多项式函数。
它们与普通矩阵非常相似，但它们的元素是多项式而不是实数。
它们可以用于多项式函数的求解，最小二乘法等数学操作。
多项式矩阵定义多项式矩阵可以定义为由多项式组成的方阵，其形状为m x n，其中m和n是行数和列数。
多项式矩阵的每个元素都是一个多项式，即一个带系数的多次式。
这些多项式可以是单变量多项式，也可以是多变量多项式，但最常用的是单变量多项式。
多项式矩阵的形式多项式矩阵可以以多种形式表示，其中最常见的是乘性标量乘积形式，即在一维空间中表示多项式矩阵。
例如，可以用下面的方程来表示2 3多项式矩阵：A = [a11a12a13a21a22a23]其中a11、a12、a13、a21、a22、a23是这个矩阵的元素。
多项式矩阵的运算多项式矩阵有一些特殊的运算符，如加法、乘法和幂指数。
它可以按照一般矩阵的乘法运算，将两个多项式矩阵相乘并得到一个新的多项式矩阵。
此外，多项式矩阵也可以按照一般矩阵的乘法运算，将一个多项式矩阵与一个标量乘积相乘，并得到一个新的多项式矩阵。
多项式矩阵的应用多项式矩阵可用于解决多项式函数的最小二乘法。
最小二乘法是一种最优线性回归技术，用于求解多项式函数的拟合参数。
使用多项式矩阵，可以轻松地求出多项式函数的函数系数。
多项式矩阵还可以用于解决矩阵函数的最优化问题，它可以用来求解一般矩阵函数的最小值。
例如，可以使用多项式矩阵来求解极小值问题，使用它可以更容易地求解极小值问题。
多项式矩阵在线性代数和数学分析领域中是一个重要的概念，可以用于解决各种数学模型，应用非常广泛。
它们可以用于多项式函数的求解，最小二乘法等数学操作，并且可以用于解决其他多项式函数或极小值问题。
多项式矩矩阵
多项式矩矩阵多项式矩阵（Polynomial Matrix）是一种特殊的矩阵形式，它的每个元素都是一个多项式。
多项式矩阵在数学和工程领域中有广泛的应用，特别是在信号处理、控制系统和密码学等领域。
我们来了解一下多项式的定义。
多项式是由常数和变量的乘积相加而得到的表达式，例如2x² + 3x + 1就是一个二次多项式。
而多项式矩阵则是将多项式作为矩阵的元素，构成的一个矩阵形式。
多项式矩阵的表示形式为：P = [P₁(x) P₂(x) ... Pₙ(x)]其中P₁(x)、P₂(x)、...、Pₙ(x)是多项式。
这个矩阵的元素可以是标量，也可以是多项式。
多项式矩阵的加法和乘法运算与普通矩阵类似，只是将加法和乘法运算定义在多项式集合上。
多项式矩阵的加法运算是对应元素相加，乘法运算是将每个元素与另一个矩阵的对应元素相乘后再相加。
多项式矩阵的加法可以表示为：[P] + [Q] = [P₁(x) + Q₁(x) P₂(x) + Q₂(x) ... Pₙ(x) + Qₙ(x)]多项式矩阵的乘法可以表示为：[P] · [Q] = [P₁(x)Q₁(x) + P₂(x)Q₃(x) + ... + Pₙ(x)Qₙ(x)]多项式矩阵的乘法运算满足结合律和分配律，但不满足交换律，即[P] · [Q] ≠ [Q] · [P]。
这是因为多项式乘法不满足交换律。
多项式矩阵还可以进行转置运算，转置运算是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
多项式矩阵的转置运算可以表示为：[P]ᵀ = [P₁(x)ᵀ P₂(x)ᵀ ... Pₙ(x)ᵀ]其中P₁(x)ᵀ、P₂(x)ᵀ、...、Pₙ(x)ᵀ分别表示P₁(x)、P₂(x)、...、Pₙ(x)的转置。
多项式矩阵的求逆运算是指对于一个可逆的多项式矩阵[P]，存在一个多项式矩阵[Q]，使得[P] · [Q] = [Q] · [P] = [I]，其中[I]是单位矩阵。
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一、 矩阵的概念 数域的概念:如果数集 F 包含 0 和 1,并且 F 中任何
两个数的和,差,积,商(除数不为零)仍在 F 中,那么, 就称 F 是一个数域.. 例如,全体有理数之集 Q, 全体实数之集 R, 全体复数 之集 C 都是数域.分别称为有理数域, 实数域和复数 域.
a11, a22 , , ann 叫做 A 的主对角线元素.
几种特殊的 n 阶方阵:
(1)上(下)三角形矩阵: 主对角线下(上)方
元素全部为零的 n 阶方阵.
1
例如，
A
0
0
2 3 0
0 4 8
;
B
1 2 3 4
0 5 6 3
0 0 2 5
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
；
0
8
A 为上三角形矩阵，B 为下三角形矩阵
ann
, ann )
例如，
1 0 0
A
0
3
0
diag
(1,
3,
8);
0 0 8
1 0 0 0
B
0
0
0
0
diag
(1,
0,
2,
8) ;
0 0 2 0
0
0
0
8
1 0
C
0
2
diag
(1,
2)
均为对角形矩阵.
(3) n 阶单位阵:主对角线外的元素全部为零且 主对角线上的元素全部为 1 的 n 阶方阵( 即主对 角线上的元素全部为 1 的 n 阶对角形矩阵) 称为 n 阶单位阵,记作 En 或 In 或 E.
定义 2.1 由数域 F 内 m n 个数排成的 m 行 n 列的矩形数表
a11 a12
a21
a22
am1
am 2
a1n
a2n
amn
称为数域 F 上的 m 行 n 列的矩阵,简称 m n 阶矩
阵, 记作 A. A 可简记为 A (aij )mn
这 m n 个数 aij (i :1, 2, , m; j :1, 2, , n) 叫做矩阵 A 的元素。
aij 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素.
元素都是实数的矩阵称为实矩阵； 元素都是复数的矩阵称为复矩阵.
例如,
1 4
2 5
3
6
是 23阶实矩阵;
1 i 0
2
5
是3 2 阶复矩阵
6 2
1 2 3 7 是1 4 阶实矩阵;
4 6
是
3
1
阶实矩阵;
8
二．几种常用的特殊矩阵 1 1 零矩阵：元素全部为零的矩阵。记作 0 或 0mn 2 2 行（列）矩阵：仅有一行（列）的矩阵.
上三角形矩阵 A 与下三角形矩阵 B 可简记为
1 2 0
A
3
4
;
8
1
B
2
5
.
3 6 2
4
3
5
8
(2) 对角形矩阵:非主对角线元素全部为零
的 n 阶方阵.
如, A
a11 0
0 a22
0 0
0
0
ann
为对角形矩阵.
对角形矩阵 A 可简记为:
a11
A
a22
或
A diag (a11, a22 ,
A
1 0
1 1
f (A) 2A3 A2 + 2A + 3E
6 6
0
6
当A可逆时由AB=AC 可以推出B=C，即乘法的 消去律成立。若A、B可逆，则A+B不一定可逆，
即使可逆
如果矩阵A经过有限次初等变换变成B称 矩阵A与B等价
注
2.5.2 矩阵秩的概念与求法
!oElnsiNwl-j*QsQwpePO!3*n-J53mKU AFRTtvINuG*ggOs5BwM% (C vtfHqg-qa6*ywJTJ -EbAr DSTpjj8FtqfQKQSyK3tA8-ZAPfTa8uY81mRqq&lQvNOP+ RgMnuf%U3) SL* WBlt4B0U 468r7D *BCeVBKs0QUu$uiJ U(sn+ JAXYU % wKQ(CQUF 85gocx+BWIN WPe+ #F$Fq4r81Ypm yIyXu3uoD WE%&Y$otoqROxlu6C+O% ZT%zS)p9FH an$Ii EmibT#eCJh95W8Qv+l U9GtW4q-b87p7I7X0$PTnhh7Gxxr ((9i6s %uT+)$2J%8zj O1wiLGiHsrn+aC&5SQQ% BW1q8zR7W7gtGDQ#SaU v!Z9xX60XU83ZR-Tr wz1Sz+iEM9b8gS%)9LUROouP(&r6Vdd$DtNJzAGFNNouMZRqVj-eb7i #n5LXn( vDtSe) mwL9pFUSh0W2!tZ wx7#ghKfP$&6kSR xdp*VQxTulOz %dEk% VI98m( 1G$bL$iN*U+ b-c-Ip5w1DU A+2n7GxWQ) k wh7Z O&TavuZzo0b5)tWBk#u*o$W9Pfq(R2JSL* T7P7MOt3KuEW*SHl4oMfP* W#&fA1F*Go0W1J &7*jZByAf$mg4!&5!QtUdy% To4Mz T!213l%&tKLj u$1KLoI*%dLf6-R yBGsfhQzaBnVlT YbF7B4TuM#ZKrInWAM-dfILGXso11oiDU PkIC*Z sb9(Z YUqGWH1HH NtwOCFa2Pc k0M)N QFGBAJV81R)FeH xUHSKRd*P4Yg&Vf0KzRVGekZC3KB1mx4Rd5%BukR y80fgg&p&1h+tm7G17mGqboKDJU 3K4-Xoifze%FqjMgVQjZr#f9&00Q- y(peHr YkSIb%q)vSr S+z wm9Wj(dr A+ x$Z T m1+F 2v#SD X8J8#EAYhz OtJh*ARa8Vlz0)V#kSFJIU*) R%jEfuSpGXN edCOSd!Yoe%zg2iAJ4&ZtD hQlo(LXj6Oe3kl w+63n8PR F0N yvJ BE3e%s(1ni vQFM Wql86XcgUBfR OCegKQM0Y%654q-Oj6ll*nI3f+- w#eAU3Xj yI#*q8% x%Z uSiVp+ napB!$N kll6VMYAUs $5b4sq*b+Qbz wLadX(9sq1F yCJai VK%j&bW8z yInd##kX2y+f2&3Vz!SQldl3(s 5mZI2m0cX9!q4y9Tl%oP3+jW$jY4t64hKugC&BOdEU1Q6bJbF WXdl7D0$%jQStwXu&TIFV&s $nGA4YuiSLpyYo7x4(JZQki 9pue&ZFuk)) FCp%p+NPv+ MPzX-geYd% eaft9W! vqpBLi03M wOB0qz4tRV6inZqNqH)21+HqVuSw5mB6z G3QR OJ6JO3S0a5+ lci&wpVQmn+YXaEl dIu5oVcHVdF F-J* vEkBKnhIr toY2ac LlJU7c B+ yR x3Yz wkBlBFL1gGh-EVs1Q0wComT(4(pbJ 65oOjIQf+Op0bcdJ96MMeVkjEu1z (%8rs x$( W2wZnp39WZ%oT&)oIM &0NuByh(- xIh)R8EaKrHjzL3JHYD RlHX*$JBBQHoX7e* bp61Z U yhiP(l!z4#d5c XYNFeDA$1z e&!MNdPxF5pylfvBh8XYR7Ym498rImQqXKkX*Zb$EEl$vX9f9T&8N xRX)*076hTMQU a4M$Yj E%zE7qu2BzJb85&td89vayVYqoC)Z wxR GU4kBq6$sM 8BIdBR fd!E0MKOF3#N!vGGN6rIVO6PoQJ M vsU ZX)zKNXa4ac!3vV!xmcV- w- og)GpzhZEIgLa&gms RE8Kr EufcC CuuVT GyN xxZ-Fuj!1w&f4hBJqyRIXJj((z WbTIT*$rd3Q+ Z9DoS0pxfa2KP195AMV8H bUhmPcRMeF yPtllPKn+Hga7EfBR 8Jh0LySY033j )1EZr %-6LrC c yL-TuokLfPyTMIm&u!(Y46( ksJP( U3miVd!d+tp-o0QetYr MKhT haJEe%7uwh- vI)FqtBhdyBjeBK+ReHQ8f4VMgQyLecz3fcxb0UJ+!nwgdpd%h)(X8MpdH kW W5nZioiokD bKki$BdxmwZ4Izge#fSvWVKH$+8D%$a! yQ9saNdXV4j 0&G#lj EYXX3MZoUtduz7v1mqNf651xWmX%plKz weN- b)lciC8AC9I#DVg1F!&YyiI3u9-tqXNdzV5C zzKSwtXCMf* CAGl xhgigV6ST)bAd0RFOFj$EyJgF4z