矩阵多项式
线性代数期末题库矩阵的特征多项式与最小多项式
线性代数期末题库矩阵的特征多项式与最小多项式矩阵的特征多项式和最小多项式是线性代数中重要的概念，它们在矩阵理论和应用中起到了关键的作用。
本文将深入探讨特征多项式和最小多项式的定义、性质以及它们之间的关系。
一、特征多项式在矩阵理论中，给定一个n阶矩阵A，特征多项式是通过将矩阵A 与单位矩阵I进行相减，然后求得行列式的方式得出的。
特征多项式的定义如下：特征多项式：f(λ) = |A - λI|,其中λ是一个未知数。
特征多项式的求解过程如下：1. 计算矩阵 A - λI；2. 求得行列式 |A - λI|；3. 将行列式表示成特征多项式f(λ) 的形式。
特征多项式的定义简单明了，它是一个关于λ的多项式函数。
特征多项式中的每个根都被称为特征值，这些特征值对应了矩阵A的特征向量。
特征多项式的性质：1. 特征多项式的次数等于矩阵的阶数；2. 特征多项式的根（特征值）是矩阵的特征向量的特征值；3. 特征多项式的系数是与矩阵A有关的。
二、最小多项式在矩阵理论中，最小多项式是指能够使得多项式取零的最低次数的多项式。
最小多项式的定义如下：最小多项式：m(λ) 是满足 m(A) = 0 的最低次数的多项式。
最小多项式的求解过程如下：1. 确定最小多项式的次数；2. 找到一个关于λ的多项式P(λ) ，使得 P(A) = 0；3. 通过找到P(λ) 的最低次数即为最小多项式。
最小多项式的性质：1. 最小多项式的次数小于等于矩阵的阶数；2. 最小多项式的根是矩阵的特征值。
特征多项式与最小多项式的关系：特征多项式和最小多项式有着密切的联系。
事实上，最小多项式可以通过特征多项式的因子分解得到。
具体而言，特征多项式的最高次幂的因子就是最小多项式。
特征多项式等于最小多项式乘以一系列的一次多项式。
总结：特征多项式和最小多项式是线性代数中重要的概念，它们能够描述矩阵的特征值、特征向量和特征空间等重要信息。
通过研究特征多项式和最小多项式，我们可以更好地理解和应用矩阵理论。
矩阵多项式
一、 矩阵的概念 数域的概念:如果数集 F 包含 0 和 1,并且 F 中任何
两个数的和,差,积,商(除数不为零)仍在 F 中,那么, 就称 F 是一个数域.. 例如,全体有理数之集 Q, 全体实数之集 R, 全体复数 之集 C 都是数域.分别称为有理数域, 实数域和复数 域.
a11, a22 , , ann 叫做 A 的主对角线元素.
几种特殊的 n 阶方阵:
(1)上(下)三角形矩阵: 主对角线下(上)方
元素全部为零的 n 阶方阵.
1
例如，
A
0
0
2 3 0
0 4 8
;
B
1 2 3 4
0 5 6 3
0 0 2 5
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
；
0
8
A 为上三角形矩阵，B 为下三角形矩阵
ann
, ann )
例如，
1 0 0
A
0
3
0
diag
(1,
3,
8);
0 0 8
1 0 0 0
B
0
0
0
0
diag
(1,
0,
2,
8) ;
0 0 2 0
0
0
0
8
1 0
C
0
2
diag
(1,
2)
均为对角形矩阵.
(3) n 阶单位阵:主对角线外的元素全部为零且 主对角线上的元素全部为 1 的 n 阶方阵( 即主对 角线上的元素全部为 1 的 n 阶对角形矩阵) 称为 n 阶单位阵,记作 En 或 In 或 E.
矩阵 特征多项式
矩阵特征多项式
矩阵特征多项式是指对于一个n阶方阵A，其特征多项式p(λ)的形式是p(λ)=det(λI-A)，其中I是n阶单位矩阵，det表示矩阵的行列式。
特征多项式是一个重要的概念，在线性代数中具有广泛的应用。
其根（特征值）可以用来计算矩阵的特征向量，并进一步应用到各种工程和科学领域中。
此外，特征多项式还有一些重要的性质，如它的次数等于矩阵的阶数，它的根包含在矩阵的特征值中等。
矩阵特征多项式的研究是线性代数的基础，并且对于各种高级学科的发展也具有至关重要的作用。
第九章__多项式矩阵
例3 ：求下列矩阵的最小多项式
(1)
3 2 2 B=1 8 2 −2 −14 −3
−1 −2 6 (3) C = −1 0 3 −1 −1 4
n
n −1
+ L + a1 A + a 0 I
−1= an (ຫໍສະໝຸດ PJP = P (an Jn
−1
) + a n −1 ( P J P
n −1
)
n −1
+
−1
L + a1 ( P J P = Pf (J )P
−1
) + a0I
n −1
+ a n −1 J
+ L + a1 J + a 0 I ) P
−1
di
例2 ：已知对角块矩阵 A = diag( A1 , A2 ,L , Ar ) ,而 而
m1 (λ ), m2 ( λ ),L , mr ( λ ) 分别为子块 A1 , A2 ,L , Ar
的最小多项式， 的最小多项式，则 A 的最小多项式为
[m1 ( λ ), m2 (λ ),L , mr (λ )] 的最小公倍数。 即为 m1 ( λ ), m2 ( λ ),L , mr ( λ ) 的最小公倍数。
3 0 (4) D = 0 0
1 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 5
解： （1）首先求出其 ）首先求出其Jordan标准形为 标准形为
−1 J =0 0 所以其最小多项式为
0 −1 1 0 −1 0
( λ + 1) 。
矩阵多项式秩的几个恒等式及其应用
矩阵多项式秩的几个恒等式及其应用
矩阵多项式秩是研究矩阵的几何结构的一个重要的参数。
它的值有助于表示矩阵的结构，
并且用于分析矩阵特征。
矩阵多项式秩是研究矩阵结构的重要概念，下面给出一些恒等式，并对这些恒等式及其应用进行介绍。
首先，如果一个 $n\times n$ 矩阵A的rank(A)等于n，则它具有一个恒等式：
rank(A$^{-1}$)=$n$ 。
另外，如果是一个$N\times N$矩阵A，rank(A)=N-1，则有
rank(A)=$N-1$ 。
其次，如果$A$ 是一个n阶方阵，rank(A)=$n-1$时，具有一个恒等性：一列对应
rank(A)=$n-1$ 的恒等式。
再次，当$A$ 是n阶方阵，rank(A)=$n-1$时，满足下列恒等式：rank(A$^{+}$)=$N-1$，
其中A$^{+}$ 是A的Moore-Penrose逆矩阵。
最后，如果$A$ 是一个$N\times N$ 矩阵，rank(A)<$N$时，有恒等式：
rank(A$^{T}$A)=$N$ 。
综上所述，矩阵多项式秩的恒等式对研究矩阵的几何结构非常重要，可以用来分析矩阵的
特征和行列式。
此外，还可以用来获得非方阵的逆矩阵和Moore-Penrose逆矩阵，以及矩
阵乘积的值。
此外，矩阵多项式秩的恒等式还可以帮助我们解决线性方程组的解，以及唯
一可解性和矩阵特征的求解。
矩阵特征多项式的求法
矩阵特征多项式的求法就这个东西看了好久才看懂，我在想啥啊结论：相似矩阵的特征多项式相同。
证明：代⼊定义式即可。
A与B相似也就是存在可逆矩阵P使得A=P−1BP。
只要在对A做初等⾏变换的时候，同时左乘上它的逆，就可以维持相似性。
具体实现背代码然后就可以得到⼀个 Hessenberg 矩阵，也就是i≥j+2 时a i,j=0。
设f m表⽰规模为m的顺序主⼦式的特征多项式，则有f k=(x−a k,k)f k−1−a k,k−1a k−1,k f k−2−a k,k−1a k−1,k−2a k−2,k f k−3−⋯直接递推求即可。
两部分的时间复杂度均为O(n3)。
// Gym102984K#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 503, mod = 998244353;template<typename T>void read(T &x){int ch = getchar(); x = 0;for(;ch < '0' || ch > '9';ch = getchar());for(;ch >= '0' && ch <= '9';ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';}int n, q, x, a[N][N], p[N][N];int ksm(int a, int b){int res = 1;for(;b;b >>= 1, a = (LL)a * a % mod)if(b & 1) res = (LL)res * a % mod;return res;} void qmo(int &x){x += x >> 31 & mod;}int main(){read(n); read(q);for(int i = 1;i <= n;++ i)for(int j = 1;j <= n;++ j)read(a[i][j]);for(int i = 1;i < n-1;++ i){if(!a[i+1][i])for(int j = i+2;j <= n;++ j) if(a[j][i]){for(int k = 1;k <= n;++ k) swap(a[i+1][k], a[j][k]);for(int k = 1;k <= n;++ k) swap(a[k][i+1], a[k][j]);break;}if(!a[i+1][i]) continue;int inv = ksm(a[i+1][i], mod-2);for(int j = i+2;j <= n;++ j) if(a[j][i]){int tmp = (LL)a[j][i] * inv % mod;for(int k = i;k <= n;++ k) qmo(a[j][k] -= (LL)tmp * a[i+1][k] % mod);for(int k = 1;k <= n;++ k) a[k][i+1] = (a[k][i+1] + (LL)tmp * a[k][j]) % mod;}} p[0][0] = 1;for(int k = 1;k <= n;++ k){for(int i = 1;i <= k;++ i) p[k][i] = p[k-1][i-1];for(int i = 0;i <= k;++ i) qmo(p[k][i] -= (LL)a[k][k] * p[k-1][i] % mod);int now = 1, tmp;for(int i = k-1;i;-- i){now = (LL)now * a[i+1][i] % mod;tmp = (mod - (LL)now) * a[i][k] % mod;for(int j = 0;j <= i;++ j) p[k][j] = (p[k][j] + (LL)tmp * p[i-1][j]) % mod;}} while(q --){read(x); int ans = 0;for(int i = n;~i;-- i) ans = ((LL)ans * x + p[n][i]) % mod;if(ans && (n & 1)) ans = mod - ans; printf("%d ", ans);}}SZOJ2651【模板】给定两个简单⽆向图G1,G2和正整数p，求G1◻G2的⽣成树个数模p的值。
矩阵的多项式
矩阵的多项式在数学中，矩阵的多项式是指由矩阵构成的多项式。
它在矩阵论、线性代数和数值计算中都有广泛的应用。
本文将从以下几个方面介绍矩阵的多项式：定义、特征值、Jordan标准型、求解和应用。
一、定义设A为n阶方阵，多项式f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+···+am*x^m(a0,a1,a2,···,am属于数域)。
则f(A)= a0*In+ a1*A+ a2*A^2+ ··· + am*A^m 矩阵称为A的多项式。
其中，In是n阶单位矩阵。
二、特征值对于矩阵A的特征多项式f(x) = |x*In - A|，当f(x)的根为λ1，λ2，...，λn时，λi称为矩阵A的特征值，且它们是n次多项式f(x)的根。
特征值可以帮助我们判断矩阵的性质。
例如：若A的特征值均大于零，则A为正定矩阵。
若A的特征值均小于零，则A为负定矩阵。
若A的特征值均不为零，则A为非退化矩阵。
三、Jordan标准型矩阵的Jordan标准型是指将特定类型的矩阵转化为一种更易于研究的标准形式，主要用于计算矩阵的幂和指数函数等高阶函数值，是矩阵多项式求解的一个必要步骤。
矩阵A的Jordan标准型是指存在一个可逆矩阵P，使得 P^-1 * A * P = J其中，J是Jordan矩阵，具有如下形式：J(d, k) = [λ1, 1, 0, ···, 0][0, λ1, 1, ···, 0][0, 0, λ2, 1, 0][···, ···, ···, ···, ···][0, 0, 0, ···, λn]其中，λi是A的第i个特征值，d1,d2,···，dr 分别是λ1，λ2，···λr的重数。
矩阵多项式的逆矩阵求法
矩阵多项式的逆矩阵求法李春来（玉溪师范学院理学院数学系 2008级2班 2008011215 ）指导教师：张丰硕摘 要 矩阵多项式的知识在很多线性代数教材中的都有所涉及，但是对于矩阵多项式的逆矩阵的计算都没有给出一般的计算方法，本文结合多项式的最大公因式理论与矩阵的相关知识，得到了求解一般的矩阵多项式逆矩阵的方法。
关键词 矩阵；多项式；逆矩阵一、引言矩阵多项式的定义：设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 是关于未知数x 的n 次多项式，A 是方阵，E 是A 的同阶单位矩阵，则称E a A a A a A a A f n n n n ++++=--1110)( 为由多项式n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 形成的矩阵A 的多项式，记作)(A f 。
例如523)(23++-=x x x x f ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011A , 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=5015523)(23E A A A A f ，)(A f 就是矩阵A 的多项式。
当然矩阵多项式也是矩阵。
矩阵多项式的逆矩阵的定义：设A 是数域P 上的一个n 阶方阵，)(A f 是矩阵A 的多项式，如果存在矩阵多项式][)(x P A g ∈，使得()()()()f A g A g A f A =E =，则称矩阵多项式)(A f 是可逆的，又称矩阵多项式)(A g 为矩阵多项式)(A f 的逆矩阵。
当矩阵多项式)(A f 可逆时，逆矩阵)(A g 由矩阵多项式)(A f 唯一确定，记为1)]([-A f 。
二、矩阵多项式的逆矩阵求法1.对于一些比较容易化解或形式比较简单的矩阵多项式的逆矩阵求法，可以先尝试用待定系数法或分解因子法求其逆矩阵。
例如分解因子法：例1 若B A ,是两个n 阶方阵，且有E B A AB 532-=--成立，证明E A 3-是可逆的，并求E A 3-的逆矩阵。
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定理 设A是n阶矩阵，A的特征多项式为
f () ( 1)m1 ( 2 )m2 ( s )ms
A的Jordan 标准形为 J= diag (J1, J2, …, Js ) 其中Ji= diag (Ji1, Ji2, …, Jini ) 是特征值为i 的Jordan 形，n ik是J ik的阶数
提示：矩阵A的特征多项式为 2 6 7,
则由带余除法得 f g 2,
又由 A 0 从而 f A A 2I 3 1
2 7
由 A 0 知， A2 6A 7I 0,
则 1 A6I A I
7
最小多项式
•设A是n阶矩阵，称A的首项系数为1，次数最小的化零多
项式为A的最小多项式。
则A的最小多项式为
() ( 1)d1 ( 2 )d2 ( s )ds
di
max k
nik
推论
1·设A是n阶矩阵，A 的谱为{1, 2，…, s }
A的相应于特征值i 的次数最大的初等因子为 ( i )di 则A的最小多项式为 () ( 1)d1 ( 2 )d2 ( s )ds
（1）设 (), p() 分别是矩阵A的最小多项式和化零多项式， 由最小多项式的定义可知 0[ ()] 0[ p()]
利用多项式的带余除法知，存在多项式 q() ,r ()
使得
p() ()q() r(), 0[r()] 0[ ()]
p() ()q() r(), 0[r()] 0[ ()]
2( 1)
0
( 1)2
0
8( 1) 6( 1) ( 1)( 3)
证明 将A的特征多项式改写为
f () ( 1)m1 ( 2 )m2 ( s )ms 设A的Jordan标准形为J diag(J1, J2 , , Jt )
其中，Ji为Jordan块
且设 A PJP1
则有 f (A) Pf (J )P1
pdiag( f (J1), f (J2 ), , f (Jt )) P1
3 0 8
例 求A的最小多项式
A
3
1
6
并求 A100
2 0 5
解1 矩阵A的特征矩阵为
3 0 8 1
I A 3 1 6 1
2
0 5
( 1)2
A的第3个不变因子为(+1)2 ,则A的最小多项式为(+1)2
解2 矩阵A的特征多项式为
3 0 8 f () I A 3 1 6 ( 1)3
(3)若Ax x,则p(A)x p()x
即：若 为矩阵A的特征值，则 p为 的p特A征 值。
化零多项式
• 设p（z）是复数域上的多项式，A是n阶矩阵，如
果
p(A)=0,
• 则称p（z）是矩阵A的化零多项式 例 设J是n阶Jordan 块矩阵，主对角元为0
0
J
1
0
1
0
C
nn
则J的化零多项式为 P( ) = (- 0 )n
第五节 矩阵的最小多项式
主要内容：
1·矩阵多项式及其性质 2·化零多项式与Hamilton-Cayley定理 3·矩阵的最小多项式及求法
定义 设p（z）是复数域上的多项式 p(z) am zm a1z a0 (am 0)
则 p( A) am Am a1 A a0 I ( A C nn , am 0)
2·分块对角矩阵A=diag(A1,A2,…,AS)的最小多项式等于其 诸 对角块的最小多项式的最小公倍数。 3·设A C则nnA, 的最小多项式为A的第n个不变因子。
4.设A是n阶矩阵，B()是特征矩阵I-A的伴随矩阵，d()是 B()中各元素的最高公因式，则A的最小多项式为
() I A Dn( ) d ( ) Dn1( )
O
例设
A 10 31
由A的特征多项式为
1 f () I A
3 2 1
0 1
则一定有 A2 I 0
Hamilton-Cayley定理
设A是n阶矩阵，f（）是A的特征多项式，则f(A)=0
例：设 f 24 123 192 29 37, 求 f A,
证明A可逆,并将其逆表示为A的多项式，其中 A 1 1 2 5
2 0 5 • 由于A的特征多项式与最小多项式有相同的根 • 故A的最小多项式具有下列形式为
（ ）= (+1)k , k =1或2或3
经验证可得(A+I)2=0,且A+I不为零，所以A的最小多项式 为
（ ）= (+1)2
解3 矩阵A的特征矩阵的伴随矩阵为
( 1)( 5) B() 3( 1)
证明
0 1
J
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 I
0
1 0
C
nn
0
(J
0I )2
0 0
1 0 0
1
0
0
,,
0 0 0 0 0 0
(J
0I )n
0
0
0
0
0
Hamilton-Cayley定理
• 设A是n阶矩阵，f（）是A的特征多项式，则 f(A)=0
该定理表明任何方阵的特征多项式是该矩阵的化零多项式
称p(A)为矩阵多项式, am是首项系数，m是次数.
性质 设 p（z)是复数域上的多项式， (1)若B T 1AT ,则p(B) T 1 p( A)T (2)若A diag( A1, A2 , , As ), 则 p( A) diag( p( A1), p( A2 ), , p( As ))
由于 (A) O, p(A) O ，则 r(A) O
又 () 是矩阵A的最小多项式，而
0[r()] 0[ ()]
因此 r() 0 ，即 () | p()
矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除。
推论
（1）矩阵A的最小多项式是唯一的。 （2）如果矩阵A的特征多项式无重根，则矩阵A的特征多
例：主对角元为0 的n阶Jordan 块J的最小多项式为 P( ) = (- 0 )n
例：主对角元为0 的n阶Jordan形 J=diag (J1, J2, …, Js )的最小多项式为
P( ) = (- 0 ) k 其中k是J的Jordan块 Ji 的最大阶数。
最小多项式的性质
（1）矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除。 （2）相似矩阵有相同的最小多项式。 （3）矩阵A的特征多项式与最小多项式有相同的根。 证明