10.线性系统的多项式矩阵描述
第二章线性控制系统
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )U (t ) y (t ) C (t ) x(t ) D(t )U (t )
x(t ) Ax(t ) BU (t ) y (t ) Cx(t )
Bezout恒等式-------充要条件， 如果右分解得到的两个多项式矩阵式互质的 那么存在两个维数适当的矩阵
A(s) D(s) B(s) N (s) I
3.线性系统的阶
G( s) N r ( s) Dr1 (s) 右互质分解 det Dr ( s)的次数称为多项式矩阵G( s)的阶
deg D(s) n1 n2 ...... nm
如果 D(s)是非奇异的但不是列正则，那么总可 以乘上一个单位模矩阵M(s) ，使得D(s) M(s) 是列正则的。
定理
如果
G(s) Nr (s)Dr1 (s) 是一个列正则的右互质分解，那么
deg G(s) deg D(s)
第二章 线性控制系统
2.1 数学描述
1 传递函数矩阵描述 Y ( s ) Y(s)=G(s)U(s) G (s) U (s)
正则：每个元素的分子次数都是不大于分母次 数 严格正则：每个元素的分子次数都是小于分母 次数
2.多项式矩阵描述 一个有理函数矩阵 =两个多项式矩阵的” 商” 1 G ( s ) N ( s ) D r r (s ) 左分解 1 G ( s ) D 右分解 l (s) Nl (s) N ( s ) P ( s )Q ( s ) 公因子
x(t ) e At x0 e A( t ) Bu ( )d
线性系统第八章
第八章 多变量系统的矩阵分式描述多项式矩阵定义：m ×n 矩阵()s A 的元素(i=1，…,m;j=1,…n )是变s 的多项式，称()ij a s ()s A 为多项式矩阵。
记为1111()()()()()n m m a s a s s a s a s ⎡⎤⎢=⎢⎢⎥⎣⎦ΑL M L n ⎥⎥M)(s a ij 的最高次数称为N ()s A 的次数，记为)]}({deg[max ,,s a N j i ji =)(s A 可写成降幂形式的矩阵多项式 111()N N N N s −−=++++0A A S A S A S A L式中是常数矩阵。
),1,0(N k k L =A n m ×1）单模矩阵对于多项式矩阵()s A ，当det ()s =A 非零常数时，其仍为多项式矩阵时，称1()s −A ()s A 为单模矩阵。
单模矩阵有如下的性质：a) 单模矩阵的乘积仍为单模矩阵； b) 单模矩阵的逆阵仍是单模矩阵；c) 所有单模矩阵均可表示成有限个初等变换的乘积的形式。
2）Smith 标准形任意秩为r 的多项式矩阵经过行、列运算均等价于下列Smith 标准形)(s A )(s S 12*()()()()()()()()r s s s s s s s s γγγ0S 0S P A Q 0000O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦式中；rank ()min(,)r s =≤A m n )(1s γ，)(2s γ，… ，)(s r γ是不恒为零的首一多项式，且)(1s i +γ可整除)(s i γ，即存在1()()i i s s γγ+。
3）多项式矩阵的最大公因子设多项式矩阵为矩阵，若存在)(s A )(n m ×()()()s s =A B D s s ，则称阶方阵为的左因子 m )(s B )(s A 若存在，()()()s s =A E C 则称阶方阵为的右因子n )(s C )(s A若)()()(11s s s M B M =，)()()(22s s s M B M =，[][])()()()()(2121s s s s s M M B M M =则为[ ]的左公因子)(s B )(1s M )(2s M )()()(11s s s C N N =，)()()(22s s s C N N =，)()()()()(2121s s s s s C N N N N ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(s C 为的右公因子[TT T s s )()(21N N ]设是(1，…，)(s C )(s i N =i r )的一个右公因子，且的其他任何一个右公因子C 均为的右因子，即)(s i N )()1s s C )s (1)(s C ()(s W C =，则称是的一个最大右公因子，记为)(s C )(s i N []1()()()r s gcrd s s =C N N L4）最大右公因子构造定理设、分别为、1()s N )(2s N ()n m ×1()n m ×2矩阵，对[]TTT s s )()(21N N 作初等行变换，使其变换后矩阵的最后)2n (1m m −+行恒为零，即1211112122122212()()()()()()()0nm m n m s s s s m s s s m m nn+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦U U N R U U N则式中即为、的一个最大右公因子。
线性系统理论(绪论)
008
绪论
5、线性系统理论的研究对象
p研究对象为线性系统：
实际系统理想化模型， 可用线性微分方程或差分方程来描述。 p研究动态系统，动力学系统：
用一组微分方程或差分方程来描述，
对系统的运动和各种性质给出严格和定量的数学描述。 数学方程具有线性属性时，则为线性系统，满足叠加性。
009
绪论
例：某系统的数学描述为L，任意两个输入变量 u1和
u2以及任意两个有限常数 c1和 c2，必有： L ( c1u1 + c 2 u 2 ) = c1 L (u1 ) + c 2 L (u 2 )
数学处理上的简便性，可使用的数学工具： 数学变换（傅里叶变换，拉普拉斯变换）、线性代数 实际系统——非线性的，有条件地线性化。
线性定常系统——方程中每个系数均为常数。
故设计方法为试行错误法，无法得到“最好的设计”。
给定传递函数
闭环特性分析
与给定指标比较
004
绪论
1950年代 , 是控制理论的“混乱时期”。
1960年代 , 产生了“现代控制理论”（状态空间法）。 庞特里亚金极大值原理 贝尔曼 动态规划法 可控、可观性理论
卡尔曼
极点配置
观测器
内模原理 至1970年代前半期，为状态空间法的全盛时期。
1895年，赫尔维茨稳定性分析——代数判据。
1945年， 波特频率法。 1948年，伊万思根轨迹法。
至此，古典控制理论（传递函数法）体系确定。
003
补
补
补
绪论
2、古典控制理论的局限性
①局限于线性定常系统：难以解决非线性、时变系统等问题。 ②采用输入/输出描述（传函），忽视了系统结构的内在特性， 难以解决多输入多输出系统（耦合）。 ③处理方法上，只提供分析方法，而不是综合方法。
线性多变量系统线性系统理论完整
x(t)
x2
(t)
x
n
(t
)
状态空间 状态空间定义为状态向量（取值）的一个集合,状态空间的维数等同 于状态的维数
几点解释 （1）状态变量组对系统行为的完全表征性
只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组 x1(t0 ), x2 t0 , , xn (t0 )
和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 u1 (t),u2 t , , u p (t)
代数理论 把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的 映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的 形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题
多变量频域方法
一是频域方法
二是多项式矩阵方法
1/2,4/5
1.3 本书的论述范围
1：状态空间法 2：多项式矩阵法
2/2,5/5
第一部分: 线性系统时间域理论
(2)系统的内部描述
状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程
(3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不
能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.
R1iL
R1C
duc dt
L diL dt
L diL dt
0 e
e(t)
L
iL Uc R2 U R2
uc
iL
(R1
1
R2 R1
)C
L(R1 R2 )
(
R1
R1 R2 R1R2
)C
uc
iL
(
R1
1
R2 R2
线性系统理论考点汇总
4
系统运动的稳定性
考点 4.1. 渐进稳定： 对特征多项式det(sI − A)运用劳斯判据。 特 征 多 项 式 系 数 都 大 于0是 渐 进 稳 定 的的 必 要 条 件。 BIBO稳定： 传递函数的极点均具有负实部。 考点 4.2. 大范围渐进稳定。 步骤：1、V (x)c。 ˙ (x)负定。或V ˙ (x)半负定，系统状态方程的解 2、V 只有平衡状态(导数不恒为0)。 3、||x|| → ∞,V (x) → ∞ 考点 4.3. P A + AT P = Q，Q = −I 。 若P对称正定，则大范围渐进稳定。
考点 3.1. 系统是否能控/能观。 若A无特定形式：采用秩判据。 若A为 约 旦 规 范 形： 不 同 特 征 值 的 约 旦 块 末 行(首 列)非 零。 相 同 特 征 值 的 约 旦 块 末 行(首 列)线 性 无 关。 考点 3.2. 判断连续时间线性线性时变系统是否完 全能控。 M0 (t) = b(t) 0 (t) M1 (t) = −AM0 (t) + dM dt 对于任意的t，rank M0 (t) M1 (t) 满秩，系统完 全能控。 考点 3.3. 求线性时不变系统的能控性指数和能观 性指数。 使能控性判别阵rank B AB . . . 满秩。 A的最小幂次为α。能 控性指 数u=α+1 C 使能观性判别阵rank CA 的满秩。 ... A的最小幂次为β 。能观性指数v=β +1 考点 3.4. 已知状态空间表达式， 求能控规范性及 其变换阵。 步骤：1、列出特征多项式det(sI − A) 1 0 0 2、变换阵P = A2 B AB B a2 1 0 a1 a2 1 −1 −1 3、A = P AP ， B = P B ， C = CP 能观规范形形式上对偶。 考点 3.5. 定出三阶龙伯格能控规范形。 取能控性判别阵线性无关的三列，构造变换阵P −1 。 由P的块末行导出变换阵S −1 。 基于状态变换x = S −1 x,导出变换后系统的系数矩 阵。 考点 3.6. 传递函数的能控规范形实现。 提 出 直 接 传 递 矩 阵 化 简 后 分 母 必 须 为严 真 首 一 多 项式。 考 点 3.7. G(s)的 行 列 维 数 为 能 观 块 维 数 和 能 控 块 维数。 考点 3.8. 传递函数矩阵的最小实现。 考点 3.9. 按能控性分解。 取 能 控 性 判别 阵 的 非 零 向Q量q1 ,另取 线 性 无 关 非 零向量q2 ，构成变换矩阵Q。 基于状态变换x = Q−1 x,导出变换后系统的系数矩 阵 考点 3.10. 定出能控能观子系统。
多项式矩阵
多项式矩阵多项式矩阵（polynomialmatrix）是指将多项式作为元素，构成矩阵的矩阵。
它是数学上的一种重要结构，可以用于复杂方面的多项式计算。
多项式矩阵的研究属于矩阵论（matrix theory）的范畴，主要涉及求解系统矩阵方程，求解极大值问题，求解微分方程等等。
定义：设有一个n阶矩阵A，它的元素均由单项式组成，则称A为多项式矩阵。
特别地，若A的元素均为实数项式，则称A为实数多项式矩阵；若A的元素均为复数项式，则称A为复数多项式矩阵。
多项式矩阵的基本性质包括：1、交换律：多项式矩阵间的加法满足交换律，即A+B=B+A，其中A，B为任意两个多项式矩阵。
2、结合律：多项式矩阵间的加法满足结合律，即（A+B）+C=A+(B+C)，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。
3、元素恒等律：多项式矩阵的加法满足元素恒等律，即若A+B=C，则A的第i行第j列元素与C的第i行第j列元素均相等，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。
4、可加性：若A+B=C，则A的所有元素可以借助B的元素得到C 的所有元素，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。
5、可积性：若A与B的任意一个元素相乘，其积仍然是多项式，则称A与B为可积多项式矩阵。
多项式矩阵的应用1、求解系统矩阵方程：利用多项式矩阵的可加性和可积性，可以用于求解系统矩阵方程，即（A+B）X=C，其中A，B，C为多项式矩阵。
2、求解极大值问题：多项式矩阵可以用来表示多项式极大值问题，即求解如何使多项式函数达到最大值，从而解决求极值问题。
3、求解微分方程：多项式矩阵可以用来表示多项式微分方程，通过解决多项式微分方程，可以求出曲线的极值，解决求根问题等。
4、应用于数字信号处理：多项式矩阵可以用于处理复杂的数字信号，如滤波、数字信号检测、声音分析、图像处理等。
多项式矩阵的研究多项式矩阵的研究是矩阵论的重要主题，它涉及的主要研究领域包括：1、多项式线性方程组的求解：多项式矩阵可以用来求解多项式线性方程组，即求解系数矩阵A及常数矩阵B满足AX=B的多项式矩阵X。
多项式矩阵理论
6.1 多项式及其互质性
1 多项式及其性质
以复数 s 为自变量的实系数多项式 d(s)
d (s) dnsn dn1sn1 d1s d0 , s C, di R, i 0,1,2,n
❖ d(s) 的次数
：n = deg d(s)；
❖ d(s)为n 次多项式 ：最高次幂系数dn ≠ 0；
可化简有理函数：倘若g(s) = n(s)/d(s)中， n(s)和d(s)不互质。
6.2 多项式矩阵及其属性
1 多项式矩阵
多项式矩阵：以多项式为元素的矩阵。
以aij(s)为元素的m×n多项式矩阵A(s)记为
a11(s) a1n (s)
A(s)
am1(s) amn (s)
【例6-3】一个2×3的多项式矩阵
最大公因式：如果 r(s) 是 d(s) 和 n(s) 的公因式，而且可被 d(s) 和 n(s) 的每个 公因式整除，则称 r(s) 是 d(s) 和 n(s) 的最大公因式。
注：若r(s) 最大公因式，c为常数，则cr(s)也是最大公因式，若限定r(s) 为首一多项式，则最大公因式具有唯一性。
互质多项式：如果 d(s) 和 n(s) 的最大公因式是(与 s 无关的)非零常数，则称 d(s) 和 n(s) 为互质多项式，简称 d(s) 和 n(s) 互质。
第六章
多项式矩阵理论 （数学基础部分）
引言（经典控制理论、现代控制理论、多项式矩阵理论的应用）
50年代以前，以控制理论和电路理论为两大支柱的线性系统理论已经发展成为相当成熟的 “经典线性系统理论”。
经典线性系统理论的主要特征： 研究对象 → 线性定常单变量系统； 数学工具 → 复变函数（特别是傅里叶变换和拉普拉斯变换）； 研究方法 → 频率响应法； 理论优点 → 输入、输出和反馈信号的物理概念清晰、易于测量； 理论缺点 → ⑴ 只能反映系统的外部特性和行为，是一种外部描述法； ⑵ 设计自由度小、指标模糊，需要反复试凑才能完成任务。
线性系统原理
结论8.31：给定传递函数矩阵G(s)的所有不 −1 ( s ) D H ( s ) ，均具有相同的 可简约右MFD N H 列埃尔米特形MFD，G(s)的所有不可简约 左MFD，均具有相同的行埃尔米特形MFD
D
−1 LH
( s ) N LH ( s )
证明：N 1(s) D1 ( s)
−1
和
N 2( s ) D 2 ( s )
−1
为G(s)的任意两个不可简
约右MFD 必存在：D1(s) = D2(s)U(s)， N1(s) = N2(s)U(s) 所以D1(s)和D2(s)具有相同的列埃尔米特形 D 导出
−1 −1 −1
H
(s)
。
−1
N 1(s) D1 (s) = N 1H (s) D H (s), N 2(s) D 2 (s) = N 2 H (s) D H (s)
N 1H (s) = N 1(s) D1 (s) D H (s) = N 2(s) D 2 (s) D H (s) = N 2 H (s)
−1 −1 −1
得到 基于 N 1H ( s) = N 2 H ( s) = N H (s)
−1
−1
N 1(s) D1 (s) = N 2(s) D 2 (s) = N H (s) D H (s)
C.将上式等式两边乘以1/d(s)，可以导出
s 2 2 (s +1) (s + 2) Λ( s) M (s) = = U ( s)G ( s)V ( s) = d ( s) 0 2 2 ( s + 2) s (s +1) 2 2 (s +1) (s + 2) 0
B.取单模阵对｛U(S),V(S)｝
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
10.1 多项式矩阵描述
前已讲过，多项式矩阵描述（PMD） P(s)(s)=Q(s)u(s) y(s)=R(s) (s)+W(s)u(s) 它是系统的内部描述，是最一般的描述。 不可简约PMD {P(s)，Q(s)}左互质，且{P(s)，R(s)}右互质 不可简约PMD不唯一 {P(s),Q(s),R(s),W(s)}不可简约 {U(s)P(s)V(s),U(s)Q(s),R(s)V(s),W(s)}不可简约 U(s),V(s)为单模矩阵
04级研究生《线性系统理论》教案
注： 求传递函数矩阵时，应消去P(s)与Q(s)的左公因子 和P(s)和R(s)的右公因子，使传递函数矩阵的零极 点不包含解耦零点。 若记P和Z为传递矩阵的极点、零点，则系统的极点 Ps和零点Zs分别为
05级研究生《线性系统理论》教案
由可简约PMD求不可简约PMD （1）{P(s),Q(s)}非左互质，{P(s),R(s)}右互质 此时，P(s),Q(s)有非单模的gcld, 设为H(s), 非奇 则 P( s) H ( s) P ( s)
Q( s ) H ( s )Q ( s ) P ( s ), Q ( s )左互质 P( s ) ( s ) Q( s )u ( s )两边左乘H 1 ( s), 得 P ( s ) ( s ) Q ( s )u ( s ) y ( s ) R( s ) ( s ) W ( s)u ( s ) 不可简约 P ( s) P( s) rank , 故P ( s ), R( s )右互质. rank R( s) R( s)
1.
输入解耦零点(input decoupling zero)
若{P(s),Q(s),R(s),W(s)}中，P(s)、Q(s)存在非单模的gcld H(s)，即 ( s) H ( s) P ( s), Q( s) H ( s)Q ( s), 则 P
G( s) R( s)[ H ( s) P ( s)]1[ H ( s)Q ( s)] W ( s) R( s) P ( s) 1 Q ( s) W ( s)
04级研究生《线性系统理论》教案
（3）前两种情况的组合 P(s),Q(s)非左互质，消去其gcld
H(s), 得
H 1 ( s ) P ( s ) ( s ) H 1 ( s )Q ( s )u ( s ) y ( s ) R ( s ) ( s ) W ( s )u ( s ) 再消去H 1 ( s ) P ( s )和R ( s )的gcrd F ( s ) , 即做代换 ~ ( s ) F ( s ) ( s ) ~ H 1 ( s ) P ( s ) F 1 ( s ) ( s ) H 1 ( s )Q ( s )u ( s ) ~ 1 y ( s ) R ( s ) F ( s ) ( s ) W ( s )u ( s ) ~ ~ 1 1 P ( s ) H ( s ) P ( s ) F ( s ), Q ( s ) H 1 ( s )Q ( s ) ~ R ( s ) R ( s ) F 1 ( s ), W ( s ) ~ ~ ~ {P ( s ), Q ( s ), R ( s ), W ( s )}即为不可简约
意义：输出解耦零点使输出与分状态之间的耦合解除了，即分 状态不完全反映到系统输出中去。
04级研究生《线性系统理论》教案
3.
输入输出解耦零点 若P(s)和Q(s)存在非单模的左公因子L(s), (不一定gcld) 同时P(s)和R(s)也存在非单模的右公因子L(s) 即 P ( s ) L( s ) P ( s ) Q( s ) L( s )Q ( s )
则 {系统完全能控且能观} A)b和(s)无零极对消现象 {系统完全能观} c adj(sI-A)和(s)无零极对消现象
04级研究生《线性系统理论》教案
10.4 系统的零极点
一般地，系统的零、极点与传递函数矩阵的零极点不 是等同的，后者包含在前者之中，是前者的一个子集。
1 1
P( s ) P2 ( s ) L( s ) 则
R( s ) R1 ( s ) L( s )
G ( s ) R( s ) P 1 ( s )Q1 ( s ) W ( s ) 1 R1 ( s ) P21 ( s )Q( s ) W ( s )
显然，L(s)的零点都是解耦点，并且既是i.d.z., 又是o.d.z. 这样的L(s) 的零点称为输入输出解耦零点，i.o.d.z
求观测器形实现（利用上节方法）， 必有
Co ( sI Ao ) 1 Bo Pr1 ( s )Qr ( s ) ( Ao , Co )observable ( s ) [ Pr1 ( s )Qr ( s ) Y ( s )]u ( s ) Co ( sI Ao ) 1 Bo u ( s ) Y ( s )u ( s )
(s) P 1 (s)Q(s)u(s) 在P(s)(s)=Q(s)u(s)中，先求
的实现。 步骤： 先把 P 1 ( s)Q( s) 化成满足左MFD求实现的条件，即P(s) Pr1 ( 化为行既约， s)Qr (s) 严格真；
( s) P 1 ( s )Q( s )u ( s) [ M ) P( s )]1[ Ms )]u ( s ) (s ( s )Q(
可见，H(s)中的gcld H(s)在传递函数矩阵中消失了，这 导致了零极点对消。 定义：det H(s)=0的根为输入解耦零点。 意义：这种对消的零极点使系统的输入与分状态之间解除了 耦合，即输入信号不能影响这些极点所对应的状态。 由于 [ P ( s ) Q ( s )] H ( s )[ P ( s ) Q ( s )]
实现不唯一，有维数最小的一类实现，称为最小实现。最小 实现能控且能观，不同的最小实现间代数等价。 二 . 算法：以构造观测器形实现为最简便 已知：{P(s),Q(s),R(s),W(s)}, 求实现
04级研究生《线性系统理论》教案
思路： 前面已讲过的MFD实现方法，要求分母矩阵行（列）既约， 严格真；
04级研究生《线性系统理论》教案
10.2 PMD的状态空间实现
一. 定义 给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，若能找到状态空间描述 {A,B,C,E(p)}，使
R ( s ) P 1 ( s )Q ( s ) W ( s ) C ( sI A) 1 B E ( s ) 则称{ A, B, C , E ( p )}为给定PMD的实现.
同一系统，其PMD为{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，
系统极点是det P(s)=0的 根 状态空间描述为{A,B,C,E} 系统极点是det(sI-A)=0 的根 以上二者是等同的。 系统极点并不全是传递函数矩阵的极点，因求传递 函数矩阵时可能发生零极对消。 对消掉的零极点不包含在传递函数矩阵中，成为系 04级研究生《线性系统理论》教案
总之 y ( s) R( s) ( s) W ( s)u ( s)
X ( s )( sI Ao ) Co
R( s)Co ( sI Ao ) 1 Bou ( s) [ R( s)Y ( s) W ( s)]u ( s)
Co ( sI Ao ) 1 Bou ( s) [ X ( s) Bo R( s)Y ( s) W ( s)]u ( s) Co ( sI Ao ) 1 Bou ( s) E ( s)u ( s)
04级研究生《线性系统理论》教案
实现为 { Ao , Bo , Co , E ( p)} 三. 最小实现 当且仅当PMD为不可简约时，其维数为n=deg detP(s) 的任何实现均为最小实现。
04级研究生《线性系统理论》教案
10.3 PMD的互质性和状态空间表达的能控性、能观性
互质性与能控性、能观性的等价性 1. 给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)}，其维数为n=deg detP(s)=dim A的一个实现为{A,B,C,E(p)}，则 {P(s),Q(s)}左互质{A，B}能控 {P(s),R(s)}右互质{A，C}能观 N ( s) D 1 ( s) N ( s) D 1 ( s) I E ( s) 2. 对右MFD， 能控类实现：{A，B，C，E}，dim A=deg detD(s) 则：{D(s),N(s)}右互质{A,C}能观 （已经能控） DL 1 (s) N L ( s) IDL 1 ( s) N ( s) E ( s) 对左MFD， { 能观类实现：A , B , C , E }, dim A deg det DL ( s ), 则
{DL ( s ), N L ( s )}右互质 { A , B }能控
04级研究生《线性系统理论》教案
3. 对{A,B,C,E(p)}, G( s) C ( sI A) 1 B E ( s) {A，B}能控{sI-A，B}左互质 {A，C}能观{sI-A，C}右互质 此即为PBH秩判据的结论。 4. SISO系统{A，b，c}， c adj( sI A) b N ( s) 1 g ( s) c( sI A) b det(sI A) ( s )
rank[ P ( s ) Q ( s )] m, s C
所以，输入零点又等于使[P(s) Q(s)]行降秩的s值。 04级研究生《线性系统理论》教案
2.
输出解耦零点(output decoupling zero)
若P(s)和R(s)存在非单模的gcrd F(s)
P( s) P ( s) F ( s) R( s) R ( s) F ( s) 则G ( s ) [ R ( s ) F ( s )][ P ( s ) F ( s )]1 Q ( s ) W ( s ) R ( s ) P ( s ) 1 Q ( s ) W ( s ) 可见, F ( s )被消去了. 定义 : det F ( s ) 0的根为输出解耦零点 . P( s) 同前, 输出解耦零点又等同于使 降秩的所有s值. R( s)