2.多项式矩阵
第二章 矩阵的标准型
d1 d 2 求史密斯标准型的方法 ：A d r 0 0
2014年12月20日 沈阳理工大学 13
P32例4设A 为6 6阶 - 矩阵，RA 4, 初等因子组为
13， - 1， - 1 ，2，2， 1， 试求A 的不变因子，行列式因 子，史密斯标准型 . 解：不变因子： 行列式因子： 3 d 4 2 1 - 1 D1 d1 1 d 3 2 1 - 1 D2 d 2 D1 d 2 D3 d 3 D2 3 1 - 1 d1 1 4 2 5 D4 d 4 D3 1 - 1
注： (1) 矩阵A 的史密斯标准形 S ( )对角线
为A 的不变因子。
上的元素为A 的不变因子； (2)d k 1 d k , (k 2,3, r );
(3)求A 的史密斯标准形方法 2 : 不变因子法。
2014年12月20日 沈阳理工大学 12
相似矩阵
若A ∽B , 则
2
沈阳理工大学 7
练习1
1- 求A 1 2
2 - 的史密斯标准型 2 1 - 2
- - 2
2 1
练习2：P 中第一小题 541
2014年12月20日
2 1 2 1 1- 1 2 ~ 2 0 1 2 1 2 1 - 2 2 1 0 0 0 0 1 1 2 2 ~ 0 - - ~ 0 0 0 2 - 2 - 2 1 S 2 1
矩阵的相似变换(第一章)
10，A可相似对角化的充要条件为A有n个线性无关的特征向量。
11，如果n阶方阵A有那个不同的特征向量，则A可相似对角化。或ri重特征值有ri个不同的特征向量则A可相似对角化。
Jordan
1，Jordan块：Ji=
2，Jordan阵：J=
3，A的Jordan标准形，设 ，则A与一个Jordan标准形J相似即存在P ，有P-1AP=J。这个J除了Jordan块的排列次序外由A唯一确定，称J为A的Jordan标准形。
（3）A为正规阵，λ是A的特征值，x是对应特征向量，则 为AH的特征值，对应特征向量为xH。
（4）A为正规阵，不同的特征值对应的特征向量正交。
6,Hermite正定矩阵、半正定矩阵：
设A 是Hermite矩阵，若任意0≠x n都有xHAx＞0（或xHAx≥0），则称A是Hermite正定（半正定）矩阵。
（3）行列式因子法：设A（λ）的秩为r，m×n阶，1≤k≤n，则A（λ）的全部k阶子式的首一最大共因子式Dk（λ）称为A的k阶行列式因子。Dk（λ）=d1（λ）d2（λ）…dk（λ）。
第一步：求λI-A和λI-A的n个行列式因子Dk（λ）。
第二步：求dk（λ）（k=1，2，…，n）并并求出A的不变因子。
7，设A 是Hermite矩阵，则，下列条件等价：
（1）A是Hermite正定矩阵（2）A的特征值全为正实数（3）存在P ，使得A=PHP
（1）A是Hermite半正定矩阵（2）A的特征值全为非负实数（3）存在P ，使得A=PHP。
第一步：将A写成A（λ），即λI-A
第二步：用初等变换法将矩阵化为如下形式：（smith标准型）
其中di（λ）/di+1（λ）可整除
矩阵特征多项式求解技巧
矩阵特征多项式求解技巧矩阵的特征多项式是一个重要的数学概念，对于矩阵的各种性质和特点都有着重要的作用。
特征多项式的求解可以帮助我们判断矩阵的特征值和特征向量，从而进一步分析矩阵的性质和行为。
本文将介绍一些矩阵特征多项式求解的常见技巧。
一、特征多项式的定义和性质在介绍特征多项式求解方法之前，先来回顾一下特征多项式的定义和性质。
对于一个n阶方阵A，其特征多项式定义为：f(t) = det(A - tI)其中，det表示矩阵的行列式，t是一个未知数，I是n 阶单位矩阵。
特征多项式的性质有：1. 特征多项式的次数为n，即f(t)是一个n次多项式。
2. 特征多项式的根（零点）就是矩阵A的特征值。
3. 特征多项式的系数与特征值的关系为：f(t) = (-1)^n * (t^n - (a1 * t^(n-1) + a2 * t^(n-2) + ... + an))其中，a1, a2, ..., an是矩阵A的n个特征值。
二、求解特征多项式的技巧1. 代数余子式法代数余子式法是求解特征多项式的一种常用技巧。
具体步骤如下：（1）设A是一个n阶矩阵。
对于每一个特征值λ，构造矩阵B = A - λI。
（2）计算矩阵B的行列式det(B)。
（3）得到f(λ) = det(B)。
这种方法的优点是比较直接，但是对于高阶矩阵，计算行列式的时间复杂度较高。
2. 特征值推导法特征值推导法是求解特征多项式的另一种常用技巧。
具体步骤如下：（1）设A是一个n阶矩阵。
对于每一个特征值λ，设特征向量为x，即Ax = λx。
（2）将方程化简为(A - λI)x = 0，求解方程组。
（3）由于方程组有非零解，所以系数矩阵(A - λI)的行列式det(A - λI)必为0。
（4）得到特征多项式f(λ) = det(A - λI)。
这种方法的优点是对于高阶矩阵的计算相对较快，但需要注意方程组有非零解这一前提条件。
3. Cayley-Hamilton定理Cayley-Hamilton定理是求解特征多项式的另一个重要技巧。
多项式矩阵理论
7.11 既约性 7.12 史密斯形 7.13 波波夫形 7.14 矩阵束和克罗内克尔形 7.15 小结
7.11 既约形
1.列既约性和行既约性 2.既约性判据
3.非既约性的既约化
既约性
1 行既约（行化简）多项式矩阵 满足下列关系式的非奇异 m 阶多项式方阵 M(s) 是行既约多项式矩阵。
证：由于rankA S 0，所以A s 中一定存在非零元素。通过行或 列的对调，我们总可以假设a11 ( s ) 0. 由引理得，可经过有限次初 等变换得到一个与A S 等价的B s 满足b11(s)为首一非零多项式， b (s) 且b11(s)能整除B s 的所有元素。将B S 第一项分别乘以- i1 加 b11 ( s ) b1 j ( s ) 到第i行，i 2, 3 m, 再将B S 的第一列分别乘以加到j列， b11 ( s ) j 2, 3 n.
A2(s ) P(s ) A1(s ) T(s )
(7 7)
【问题】为什么可以通过初等变换把多项式矩阵 化为Smith形且具有相关性质？
引理：设多项式矩阵 As =(aij (s))mn 的元素 a11 (s) 0，且A(s)中 至少有一个元素不能被它整除，则必存在一个与A(s) 等价的多项式矩阵B(S),其首行首列位置的素b (s) 0 ， 且次数比 a11 (s) 的次数低，并且b11 ( s)整除B(s)的所有元 素。
k
i 1
ci
3 deg det A(s) 3;
k
i 1
ri
4 deg det A( s) 3
即A(s)列既约的，但不是行既约的。 同理可得，B(s)既不是行既约的，也不是列既约的
多项式矩阵
多项式矩阵多项式矩阵是一种在线性代数中使用的特殊矩阵，可以表示多项式函数。
它们与普通矩阵非常相似，但它们的元素是多项式而不是实数。
它们可以用于多项式函数的求解，最小二乘法等数学操作。
多项式矩阵定义多项式矩阵可以定义为由多项式组成的方阵，其形状为m x n，其中m和n是行数和列数。
多项式矩阵的每个元素都是一个多项式，即一个带系数的多次式。
这些多项式可以是单变量多项式，也可以是多变量多项式，但最常用的是单变量多项式。
多项式矩阵的形式多项式矩阵可以以多种形式表示，其中最常见的是乘性标量乘积形式，即在一维空间中表示多项式矩阵。
例如，可以用下面的方程来表示2 3多项式矩阵：A = [a11a12a13a21a22a23]其中a11、a12、a13、a21、a22、a23是这个矩阵的元素。
多项式矩阵的运算多项式矩阵有一些特殊的运算符，如加法、乘法和幂指数。
它可以按照一般矩阵的乘法运算，将两个多项式矩阵相乘并得到一个新的多项式矩阵。
此外，多项式矩阵也可以按照一般矩阵的乘法运算，将一个多项式矩阵与一个标量乘积相乘，并得到一个新的多项式矩阵。
多项式矩阵的应用多项式矩阵可用于解决多项式函数的最小二乘法。
最小二乘法是一种最优线性回归技术，用于求解多项式函数的拟合参数。
使用多项式矩阵，可以轻松地求出多项式函数的函数系数。
多项式矩阵还可以用于解决矩阵函数的最优化问题，它可以用来求解一般矩阵函数的最小值。
例如，可以使用多项式矩阵来求解极小值问题，使用它可以更容易地求解极小值问题。
多项式矩阵在线性代数和数学分析领域中是一个重要的概念，可以用于解决各种数学模型，应用非常广泛。
它们可以用于多项式函数的求解，最小二乘法等数学操作，并且可以用于解决其他多项式函数或极小值问题。
多项式矩矩阵
多项式矩矩阵多项式矩阵（Polynomial Matrix）是一种特殊的矩阵形式，它的每个元素都是一个多项式。
多项式矩阵在数学和工程领域中有广泛的应用，特别是在信号处理、控制系统和密码学等领域。
我们来了解一下多项式的定义。
多项式是由常数和变量的乘积相加而得到的表达式，例如2x² + 3x + 1就是一个二次多项式。
而多项式矩阵则是将多项式作为矩阵的元素，构成的一个矩阵形式。
多项式矩阵的表示形式为：P = [P₁(x) P₂(x) ... Pₙ(x)]其中P₁(x)、P₂(x)、...、Pₙ(x)是多项式。
这个矩阵的元素可以是标量，也可以是多项式。
多项式矩阵的加法和乘法运算与普通矩阵类似，只是将加法和乘法运算定义在多项式集合上。
多项式矩阵的加法运算是对应元素相加，乘法运算是将每个元素与另一个矩阵的对应元素相乘后再相加。
多项式矩阵的加法可以表示为：[P] + [Q] = [P₁(x) + Q₁(x) P₂(x) + Q₂(x) ... Pₙ(x) + Qₙ(x)]多项式矩阵的乘法可以表示为：[P] · [Q] = [P₁(x)Q₁(x) + P₂(x)Q₃(x) + ... + Pₙ(x)Qₙ(x)]多项式矩阵的乘法运算满足结合律和分配律，但不满足交换律，即[P] · [Q] ≠ [Q] · [P]。
这是因为多项式乘法不满足交换律。
多项式矩阵还可以进行转置运算，转置运算是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
多项式矩阵的转置运算可以表示为：[P]ᵀ = [P₁(x)ᵀ P₂(x)ᵀ ... Pₙ(x)ᵀ]其中P₁(x)ᵀ、P₂(x)ᵀ、...、Pₙ(x)ᵀ分别表示P₁(x)、P₂(x)、...、Pₙ(x)的转置。
多项式矩阵的求逆运算是指对于一个可逆的多项式矩阵[P]，存在一个多项式矩阵[Q]，使得[P] · [Q] = [Q] · [P] = [I]，其中[I]是单位矩阵。
线性代数期末题库矩阵的特征多项式与最小多项式
线性代数期末题库矩阵的特征多项式与最小多项式矩阵的特征多项式和最小多项式是线性代数中重要的概念，它们在矩阵理论和应用中起到了关键的作用。
本文将深入探讨特征多项式和最小多项式的定义、性质以及它们之间的关系。
一、特征多项式在矩阵理论中，给定一个n阶矩阵A，特征多项式是通过将矩阵A 与单位矩阵I进行相减，然后求得行列式的方式得出的。
特征多项式的定义如下：特征多项式：f(λ) = |A - λI|,其中λ是一个未知数。
特征多项式的求解过程如下：1. 计算矩阵 A - λI；2. 求得行列式 |A - λI|；3. 将行列式表示成特征多项式f(λ) 的形式。
特征多项式的定义简单明了，它是一个关于λ的多项式函数。
特征多项式中的每个根都被称为特征值，这些特征值对应了矩阵A的特征向量。
特征多项式的性质：1. 特征多项式的次数等于矩阵的阶数；2. 特征多项式的根（特征值）是矩阵的特征向量的特征值；3. 特征多项式的系数是与矩阵A有关的。
二、最小多项式在矩阵理论中，最小多项式是指能够使得多项式取零的最低次数的多项式。
最小多项式的定义如下：最小多项式：m(λ) 是满足 m(A) = 0 的最低次数的多项式。
最小多项式的求解过程如下：1. 确定最小多项式的次数；2. 找到一个关于λ的多项式P(λ) ，使得 P(A) = 0；3. 通过找到P(λ) 的最低次数即为最小多项式。
最小多项式的性质：1. 最小多项式的次数小于等于矩阵的阶数；2. 最小多项式的根是矩阵的特征值。
特征多项式与最小多项式的关系：特征多项式和最小多项式有着密切的联系。
事实上，最小多项式可以通过特征多项式的因子分解得到。
具体而言，特征多项式的最高次幂的因子就是最小多项式。
特征多项式等于最小多项式乘以一系列的一次多项式。
总结：特征多项式和最小多项式是线性代数中重要的概念，它们能够描述矩阵的特征值、特征向量和特征空间等重要信息。
通过研究特征多项式和最小多项式，我们可以更好地理解和应用矩阵理论。
矩阵多项式
一、 矩阵的概念 数域的概念:如果数集 F 包含 0 和 1,并且 F 中任何
两个数的和,差,积,商(除数不为零)仍在 F 中,那么, 就称 F 是一个数域.. 例如,全体有理数之集 Q, 全体实数之集 R, 全体复数 之集 C 都是数域.分别称为有理数域, 实数域和复数 域.
a11, a22 , , ann 叫做 A 的主对角线元素.
几种特殊的 n 阶方阵:
(1)上(下)三角形矩阵: 主对角线下(上)方
元素全部为零的 n 阶方阵.
1
例如，
A
0
0
2 3 0
0 4 8
;
B
1 2 3 4
0 5 6 3
0 0 2 5
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
；
0
8
A 为上三角形矩阵，B 为下三角形矩阵
ann
, ann )
例如，
1 0 0
A
0
3
0
diag
(1,
3,
8);
0 0 8
1 0 0 0
B
0
0
0
0
diag
(1,
0,
2,
8) ;
0 0 2 0
0
0
0
8
1 0
C
0
2
diag
(1,
2)
均为对角形矩阵.
(3) n 阶单位阵:主对角线外的元素全部为零且 主对角线上的元素全部为 1 的 n 阶方阵( 即主对 角线上的元素全部为 1 的 n 阶对角形矩阵) 称为 n 阶单位阵,记作 En 或 In 或 E.
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1
d 2 ( ) d r ( ) 0
0
称它为A(λ)的Smith标准型，其中r≥1，di(λ)(i=1,2,…,r)是首项 系数为1的多项式，且 di(λ)|di+1(λ)(i=1,2,…,r-1)。其中，主对角 线上的非零元素d1(λ),…dr(λ) 称为λ-矩阵A(λ)的不变因子。 例：用初等变换化多项式矩阵为Smith标准型
①矩阵的两行（列）互换； ②矩阵的某一行（列）乘以非零的常数k； ③矩阵的某一行（列）乘以多项式 f ( ) 后加到另一行（列）。
4.多项式矩阵的秩
如果多项式矩阵A（λ）有一个r阶子式不为零，而所有的r+1 阶子式全为零，则称A（λ）的秩为r，零矩阵的秩规定为零。
5.多项式矩阵的逆矩阵 设A（λ）是n阶λ-矩阵，如果存在n阶λ-矩阵B（λ），使A（λ） B（λ）= B（λ）A（λ）=I，则称A（λ）可逆，并称B（λ）是 A（λ）的逆矩阵，且逆矩阵唯一。
2
2
0
2 3 2 0
2
2 2 0 0
2
0 1 3 3 3 1 2
0
0
0 3
最后所得的矩阵为A(λ)的Smith标准型，
d1(λ)=1,d2(λ)=λ,d3(λ)=λ3+λ为A(λ)的不变因子。
2.Jordan标准型
形如
i Ji 1
i
1
1 i m m i i
D k ( ) d 1 ( ) d 2 ( ) d k ( ), k 1, 2, r
2.不变因子：( ) dk
D k ( ) D k 1 ( )
( D 0 ( ) 1)
A(λ)的所有不变因子称为A(λ)的不变因子组
经过初等变换不改变多项式矩阵的秩和行列式因子，有相 同的行列式因子或不变因子是A(λ)与B(λ)等价的充要条件
谢谢
d11（λ)= λ2 (λ+i)2 (λ-i)2 (λ+1)
类似地，剩下的次数最高的初等因子相乘，并继续下去
d10(λ)= λ (λ+i)(λ-i) ，d9(λ)= λ
由于初等因子已用完，剩下的不变因子都是1，
d8(λ)=•••=d1(λ)=1
三、多项式矩阵的标准型
1.Smith标准型 任意一个非零的多项式矩阵都等价于下列形式的矩阵（经过矩 阵的初等变换实现） d ( )
6.多项式矩阵的等价
设 A ， B F
mn
,如 果 A 经 有 限 次 初 等 变 换 化 为 B ,
则 称 A 与 B 等 价 ， 记 为 A B
二、多项式矩阵的行列式因子
1.定义：设A(λ)矩阵的秩为r,对于正整数k, 1≤k≤r,A(λ) 中必 有非零的k级子式， A(λ) 中全部k级子式的首项系数为1的 最大公因式Dk(λ) 称为A(λ) 的k阶行列式因子.
2 1
2
2
1
2
2
1
0
1 3 1 2 1 0
2 1
2
2
0
1 1 0 2 2 1 3 1 0 1 0 3 2 0
多项式矩阵
一 、多项式矩阵的定义
1.设aij(i,j=1,2,…n)是以λ为未定量的数域上的多项式，由aij为元 素构成的矩阵叫做多项式矩阵或λ-矩阵。
a 11 ( ) a 12 ( ) a ( ) a 22 ( ) 21 A( ) ... ... a n1 ( ) a n2 ( ) ... a 1n ( ) ... a 2n ( ) ... ... ... a nn ( )
k ij
(kij>0)为A的初等因子。A的所有初等因子（重复的按重数计 算）称为A的初等因子组。
由定义知，初等因子是被不变因子确定的。
例：设12阶矩阵A的不变因子组是
1,1, ,1
9个1
，(λ-1)2，(λ-1)2(λ+1)，(λ-1)2(λ+1)(λ2+i)2.
由初等因子的定义，得A的初等因子组是 (λ-1)2 ， (λ-1)2 ， (λ-1)2 ，λ+1， λ+1， (λ+i)2 ，(λ-i)2 所有初等因子的次数的和等于该矩阵的阶数
例：已知矩阵A的初等因子组为
λ ，λ，λ2，λ+i，λ-i，(λ+i)2，(λ-i)2，λ+1 求A的不变因子组
解：由初等因子组的次数之和为11，从而A是11阶矩阵先求 最高次不变因子d11(λ)，不变因子应是不同的初等因子的乘 积，最高次不变因子是其余不变因子的倍式，所以它是次 数最高的不同初等因子的乘积，从而
或写成A（λ）=A0λm+A1λm-1+•••+Am-1λ+Am；其中Ai（i=0，1， •••，m）为n阶常数矩阵。
2.运算注解： ①多项式矩阵的加法、数乘及乘法与一般矩阵的运算规则一样， 只是在运算过程中将数的运算换成多项式的运算即可。 ②多项式矩阵也可以像数字矩阵一样定义行列式，并且多项式 矩阵行列式的性质与数字矩阵的行列式的性质相同。 3.多项式矩阵的初等变换
例：求
解：D1(λ)=1, D2(λ)=λ, D3(λ)=λ3+λ d1(λ)=1
d 2 ( ) D 2 ( ) D1 ( ) ,
d 3 ( ) D3 ( ) D 2 ( ) 1
2
1 2 1 2 2 2 2 1 1
的方阵称为mi阶Jordan块，其中λi可以是实数，也可以是复数，由若 干个Jordan块组成的分块对角阵
J1
r
J2
Jr
其中Ji(i=1,2,…,r)为 mi阶Jordan块，当 m i =n时，称为n阶Jordan标 i 1 准型，记为J。
四、多项式矩阵的应用
1 2 1 1 0 1 3 1
2 1
2
2
1
2 1
3 1 2
1 2 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0
1.矩阵理论在计算机方面的应用，如矩阵的奇异值分解的应用， QR分解在网络方面的应用，还有在三维图形图像方面的应用。 2.多项式矩阵理论在网络分析中的应用，基于回路矩阵B、基 本割集矩阵Q和支路伏安特矩阵[Y(s) Z(s)]列写出线性时不变 有源网络的网络矩阵P(s)，借助多项式矩阵理论中有关解耦零 点的概念和理论，研究网络的复杂度和稳定性。 3.多项式矩阵理论知识，在建立和完善线性控制系统理论过程 中具有基础作用，应用广泛。
的行列式因子及不变因子
3.初等因子 设矩阵A(λ) 的不变因子是d1(λ),…di(λ) ，di(λ)(i=1,2,…r)的 标准分解式是
d i 1
ki1
2
ki 2
j
k ij
则称 d i 的标准分解式中的一次因式的方幂 j