初中数学人教版八年级上册：第12章《全等三角形》全章教案

初中数学人教版八年级上册实用资料

第十二章全等三角形

12．1全等三角形

1．了解全等形及全等三角形的概念．

2．理解全等三角形的性质．

重点

探究全等三角形的性质．

难点

掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素．

一、情境导入

一位哲人曾经说过：“世界上没有完全相同的叶了”，但是在我们的周围却有着好多形状、大小完全相同的图案．你能举出这样的例子吗？

二、探究新知

1．动手做

(1)和同桌一起将两本数学课本叠放在一起，观察它们能重合吗？

(2)把手中三角板按在纸上，画出三角形，并裁下来，把三角板和纸三角形放在一起，观察它们能够重合吗？

得出全等形的概念，进而得出全等三角形的概念．

能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．观察

观察△ABC与△A′B′C′重合的情况．

总结知识点：

对应顶点、对应角、对应边．

全等的符号：“≌”，读作：“全等于”．

如：△ABC≌△A′B′C′.

3．探究

(1)在全等三角形中，有没有相等的角、相等的边呢？

通过以上探索得出结论：全等三角形的性质．

全等三角形的对应边相等，对应角相等．

(2)把△ABC沿直线BC平移、翻折，绕定点旋转，观察图形的大小形状是否变化．

得出结论：平移、翻折、旋转只能改变图形的位置，而不能改变图形的大小和形状．把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B 和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角．

三、应用举例

例1如图，△ADE≌△BCF，AD＝6 cm，CD＝5 cm，求BD的长．

分析：由全等三角形的性质可知，全等三角形的对应边相等，找出对应边即可．

解：∵△ADE≌△BCF，∴AD＝BC.∵AD＝6 cm，

∴BC＝6 cm.又∵CD＝5 cm，

∴BD＝BC－CD＝6－5＝1(cm)．

四、巩固练习

教材练习第1题．

教材习题12.1第1题．

补充题：

1．全等三角形是()

A．三个角对应相等的三角形

B．周长相等的三角形

C．面积相等的两个三角形

D．能够完全重合的三角形

2．下列说法正确的个数是()

①全等三角形的对应边相等；

②全等三角形的对应角相等；

③全等三角形的周长相等；

④全等三角形的面积相等．

A．1B．2C．3D．4

3．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EF＝5，求∠DFE 的度数与DE的长．

补充题答案：

1．D

2．D

3．∠DFE＝35°，DE＝8

五、小结与作业

1．全等形及全等三角形的概念．

2．全等三角形的性质．

作业：教材习题12.1第2，3，4，5，6题．

本节课通过学生在做模型、画图、动手操作等活动中亲身体验，加深对三角形全等、对应含义的理解，即培养了学生的画图识图能力，又提高了逻辑思维能力．

12．2三角形全等的判定(4课时)

第1课时“边边边”判定三角形全等

1．掌握“边边边”条件的内容．

2．能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等．

3．会作一个角等于已知角．

重点

“边边边”条件．

难点

探索三角形全等的条件．

一、复习导入

多媒体展示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形的对应边相等，对应角相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．思考：三角形的六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等吗？

二、探究新知

根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢？如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢？

出示探究1：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个．你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？

(1)三角形的两个角分别是30°，50°.

(2)三角形的两条边分别是4 cm，6 cm.

(3)三角形的一个角为30°，一条边为3 cm.

学生剪下按不同要求画出的三角形，比较三角形能否和原三角形重合．

引导学生按条件画三角形，再通过画一画，剪一剪，比一比的方式得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．

出示探究2：先任意画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？

让学生充分交流后，教师明确已知三边画三角形的方法，并作出△A′B′C′，通过比较得出结论：三边分别相等的两个三角形全等．

强调在应用时的简写方法：“边边边”或“SSS”．

实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的．

明确：三角形的稳定性．

三、举例分析

例1如右图，△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD.

引导学生应用条件分析结论，寻找两个三角形的已有条件，学会观察隐含条件．

让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．

教师引导学生作图．

已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.

讨论尺规作图法，作一个角等于已知角的理论依据是什么？

教师归纳：(1)什么是尺规作图；(2)作一个角等于已知角的依据是“边边边”．

四、巩固练习

教材第37页练习第1，2题．

学生板演．

教师巡视，给出个别指导．

五、小结与作业

回顾反思本节课对知识的研究探索过程，小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．

进一步明确：三边分别相等的两个三角形全等．

布置作业：教材习题12.2第1，9题．

本节课的重点是探索三角形全等的“边边边”的条件；运用三角形全等的“边边边”的条件判别两个三角形是否全等．在课堂上让学生参与到探索的活动中，通过动手操作、实验、合作交流等过程，学会分析问题的方法．通过三角形稳定性的实例，让学生产生学数学的兴趣，学会用数学的眼光去观察、分析周围的事物，为下一节内容的学习打下基础．

第2课时“边角边”判定三角形全等

1．掌握“边角边”条件的内容．

2．能初步应用“边角边”条件判定两个三角形全等．

重点

“边角边”条件的理解和应用．

难点

指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．

一、复习引入

1．什么是全等三角形？

2．全等三角形有哪些性质？

3．“SSS”具体内容是什么？

二、新知探究

已知△ABC ，画一个三角形△A′B′C′，使AB ＝A′B′∠B ＝∠B ′，BC ＝B′C′. 教师画一个三角形△ABC.

先让学生按要求讨论画法，再给出正确的画法．

操作：

(1)把画好的三角形剪下和原三角形重叠，观察能重合在一起吗？

(2)上面的探究说明什么规律？

总结：判定两个三角形全等的方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”．

三、举例分析

多媒体出示教材例2.

例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B.连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA.连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB.连接DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离，为什么？

分析：如果证明△ABC ≌△DEC ，就可以得出AB ＝DE. 证明：在△ABC 和△DEC 中，

???

CA ＝CD ，

∠1＝∠2，CB ＝CE ，

∴△ABC ≌△DEC(SAS )． ∴AB ＝DE.

归纳解决实际问题的一般方法是：分析实际问题，按要求画出图形，根据图形及已知条件选择对应的方法．

四、课堂练习

如图，已知AB ＝AC ，点D ，E 分别是AB 和AC 上的点，且DB ＝EC.求证：∠B ＝∠C.

学生先独立思考，然后讨论交流，用规范的书写完成证明过程． 五、小结与作业 1．师生小结：

(1)“边角边”判定两个三角形全等的方法．

(2)在判定两个三角形全等时，要注意使用公共边和公共角． 2．布置作业：教材习题12.2第3，4题．

本节课的重点是让学生认识掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法，让学生自己动手操作，合作交流，通过学生之间的质疑讨论，发现此定理中角必为夹角，从而得出“边角边”的判定方法．不仅学习了知识，也训练了思维能力，对三角形全等的判定(SAS)掌握的也好，但要强调书写的格式的规范，同时让学生感受到在证明分别属于两个三角形的线段或角相等的问题时，通常通过证明这两个三角形全等来解决．

第3课时“角边角”和“角角边”判定三角形全等

1．掌握“角边角”及“角角边”条件的内容．

2．能初步应用“角边角”及“角角边”条件判定两个三角形全等．

重点

“角边角”条件及“角角边”条件．

难点

分析问题，寻找判定两个三角形全等的条件．

一、复习导入

1．复习旧知：

(1)三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

三个角、三个边、两边一角、两角一边．

(2)到目前为止，可以作为判定两三角形全等的方法有几种？各是什么？

2．[师]在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，我们接着探究已知两角一边是否可以判定两三角形全等．

二、探究新知

1．[师]三角形中已知两角一边有几种可能？

[生](1)两角和它们的夹边；

(2)两角和其中一角的对边．

做一做：

三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4 cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？

学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律．

教师活动：检查指导，帮助有困难的同学．

活动结果展示：

以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．提炼规律：

两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“角边角”或“ASA”) [师]我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个△ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AB＝A′B′呢？

[生]能．

学生口述画法，教师进行多媒体课件演示，使学生加深对“ASA”的理解．

[生](1)先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长；

(2)画线段A′B′，使A′B′＝AB；

(3)分别以A′，B ′为顶点，A ′B ′为一边作∠DA′B′，∠EB ′A ′，使∠DA′B′＝∠CAB ，∠EB ′A ′＝∠CBA ；

(4)射线A′D 与B′E 交于一点，记为C′.

即可得到△A′B′C′.

将△A′B′C′与△ABC 重叠，发现两三角形全等． [师]

于是我们发现规律：

两角和它们的夹边分别相等的两三角形全等．(可以简写成“角边角”或“ASA ”) 这又是一个判定两个三角形全等的条件． 2．出示探究问题：

如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，△ABC 与△DEF 全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？

证明：∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝∠D ＋∠E ＋∠F ＝180°， ∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ， ∴∠A ＋∠B ＝∠D ＋∠E. ∴∠C ＝∠F.

在△ABC 和△DEF 中，

???∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，

∴△ABC ≌△DEF(ASA )． 于是得规律：

两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“角角边”或“AAS ”) 例 如下图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C.求证：AD ＝AE.

[师生共析]AD 和AE 分别在△ADC 和△AEB 中，所以要证AD ＝AE ，只需证明△ADC ≌△AEB 即可．

学生写出证明过程．

证明：在△ADC 和△AEB 中，

???∠A ＝∠A ，AC ＝AB ，∠C ＝∠B ，

∴△ADC ≌△AEB(ASA )． ∴AD ＝AE.

[师]到此为止，在三角形中已知三个条件探索两个三角形全等问题已全部结束．请同学们把两个三角形全等的判定方法作一个小结．

学生活动：自我回忆总结，然后小组讨论交流、补充．

三、随堂练习

1．教材第41页练习第1，2题． 学生板演． 2．补充练习

图中的两个三角形全等吗？请说明理由．

四、课堂小结

有五种判定两个三角形全等的方法： 1．全等三角形的定义 2．边边边(SSS ) 3．边角边(SAS ) 4．角边角(ASA ) 5．角角边(AAS )

推证两个三角形全等，要学会联系思考其条件，找它们对应相等的元素，这样有利于获得解题途径．

五、课后作业

教材习题12.2第5，6，11题．

在前面研究“边边边”和“边角边”两个判定方法的前提下，本节研究“角边角”和“角角边”对于学生并不困难，让学生通过直观感知、操作确认的方式体验数学结论的发现过程，在这节课的教学中，学生也了解了分类思想和类比思想．

第4课时 “斜边、直角边”判定三角形全等

1．探索和了解直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”． 2．会运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等．

重点

探究直角三角形全等的条件．

难点

灵活运用直角三角形全等的条件进行证明．

一、情境引入

(显示图片)舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．

(1)你能帮他想个办法吗？

(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？

方法一：测量斜边和一个对应的锐角(AAS )；

方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA 或AAS )． 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”．你相信他的结论吗？ 二、探究新知

多媒体出示教材探究5.

任意画出一个Rt △ABC ，使∠C ＝90°.再画一个Rt △A ′B ′C ′，使∠C′＝90°，B ′C ′＝BC ，A ′B ′＝AB.把画好的Rt △A ′B ′C ′剪下来，放到Rt △ABC 上，它们全等吗？

画一个Rt △A ′B ′C ′，使∠C′＝90°，B ′C ′＝BC ，A ′B ′＝AB. 想一想，怎么样画呢？

按照下面的步骤作一作： (1)作∠MC′N ＝90°；

(2)在射线C′M 上截取线段B′C′＝BC ；

(3)以B′为圆心，AB 为半径画弧，交射线C′N 于点A′；

(4)连接A′B′.

△A ′B ′C ′就是所求作的三角形吗？

学生把画好的△A′B′C′剪下放在△ABC 上，观察这两个三角形是否全等．

由探究5可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边、直角边”或“HL ”． 多媒体出示教材例5

如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C ，D ，AC ＝BD.求证：BC ＝AD.

证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ， ∴∠C 与∠D 都是直角．

在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，

?

?

?AB ＝BA ，

AC ＝BD ， ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL )． ∴BC ＝AD.

想一想：

你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？

直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：SAS，ASA，AAS，SSS，还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL”．

三、巩固练习

如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．

学生独立思考完成．教师点评．

四、小结与作业

1．判定两个直角三角形全等的方法：斜边、直角边．

2．直角三角形全等的所有判定方法：

定义，SSS，SAS，ASA，AAS，HL.

思考：两个直角三角形只要知道几个条件就可以判定其全等？

3．作业：教材习题12.2第7题．

本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解．在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力．

12．3角的平分线的性质

掌握角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．

重点

角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．

难点

灵活运用角的平分线的性质和判定解题．

一、复习导入

1．提问角的平分线的定义．

2．给定一个角，你能不用量角器作出它的平分线吗？

二、探究新知

(一)角的平分线的画法

教师出示：已知∠AOB.

求作：∠AOB的平分线．

然后让学生阅读教材第48页上方思考．(教师演示画图)

通过对分角仪原理的探究，得出用直尺和圆规画已知角的平分线的方法，师生共同完成具体作法．

(二)角的平分线的性质

试验：(1)让学生在已经画好的角的平分线上任取一点P；

(2)分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为D，E；

(3)测量PD和PE的长，观察PD与PE的数量关系；

(4)再换一个新的位置看看情况怎样？

归纳总结得到角的平分线的性质．

分析讨论PD＝PE的理由．

(三)角平分线的判定

教师指出：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

(1)写出已知、求证．

(2)画出图形．

(3)分析证明过程．

巩固应用：

解决教材第49页思考

(四)三角形的三个内角的平分线相交于一点

1．例题：教材第50页例题．

2．针对例题的解答，提出：P点在∠A的平分线上吗？

通过例题明确：三角形的三个内角的平分线相交于一点．

练习：教材第50页练习．

三、归纳总结

引导学生小组合作交流：

(1)本节课学到了哪些知识？

(2)你有什么收获？

四、布置作业

教材习题12.3第1～4题．

教学始终围绕着角平分线及其性质、判定的问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考，探索问题中所包含的数学知识，让学生经历了知识的形成与应用的过程，从而更好的理解掌握角平分线的性质。发展学生应用数学的意识与能力，增强学生学好数学的愿望和信心．