任意角的三角函数(一)解读
第7章-7.2.1-任意角的三角函数高中数学必修第一册苏教版
sin
sin
A.−3
+
cos
cos
+
tan
tan
的值可以为(
B.3
BD
)
C.1
D.−1
【解析】当为第一象限角时，sin ,cos ,tan 均为正值，
∴
sin
sin
+
cos
cos
+
tan
tan
= 3.
当为第二象限角时，sin 为正值，cos ,tan 为负值，
【解析】 为第三象限角，则2π + π < < 2π +
∈ ，
∈
，所以 是第二或第四象限角，
2
当 是第二象限角时，sin
2
> 0，cos < 0，当 是第四象限角时，sin
2
cos
2
<
2
D.cos 2 > 0
3π
，
4
π
π
+
2
3π
，
2
)
< π +
2
2
2
< 0，
> 0，故A，B错误；4π + 2π < 2 < 4π + 3π , ∈ ，所以2 是第一或第
1
的垂线1 1 ，2 2 ，易知这两条正弦线的值都等于 ，在
2
[0,2π)内，sin
π
6
= sin
5π
6
=
1
，由图可知，满足条件的角的
2
终边在图中阴影部分（包括边界）内，故所求的的取值范围为
高中数学第三章三角函数3.2任意角的三角函数3.2.1任意角三角函数的定义一课件湘教版必修2
2.三角函数在各个象限的符号
3.三角函数的定义域 三角函数 sin α,cos α
tan α,sec α
cot α,csc α
定义域 R
{α|α≠kπ＋π2,k∈Z} {α|α≠kπ,k∈Z}
要点一 三角函数定义的应用 例 1 已知角 α 的终边在直线 y＝－3x 上,求 10 sin α＋co3s α 的值.
解 由题意知,cos α≠0. 设角α的终边上任一点为P(k,－3k)(k≠0),则
x＝k,y＝－3k,r＝ k2＋－3k2＝ 10|k|.
(1)当 k>0 时,r＝ 10k,α 是第四象限角,
sin
α＝yr＝ －130kk＝－3
10 10 ,
1 cos
α＝xr＝
1k0k＝
10,
∴10sin α＋co3s α＝10×－3 1010＋3 10
规律方法 在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意
到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原
点 的 任 意 一 点 坐 标 (a,b), 则 对 应 角 的 正 弦 值 为 sin α ＝
b ,cos α＝ a2＋b2
a ,tan
a2＋b2
α＝ba.
跟踪演练 1 已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半
答 锐角A的正弦,余弦,正切依次为：
sin A＝ac,cos A＝bc,tan A＝ab.
[预习导引]
1.三角函数的定义
(1)正弦、余弦、正切
如图,在α的终边上任取一点P(x,y),设OP＝r
y
x
y
(r≠0).定义：sin α＝ r ,cos α＝r ,tan α＝ x ,
任意角的三角函数及基本公式
任意角的三角函数及基本公式三角函数是数学中的一个重要概念，它们描述了角度与三角比之间的关系。
任意角的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
下面将详细介绍这些函数的定义、基本公式以及它们之间的关系。
1. 正弦函数（sine function）：在单位圆上，从x轴正向到射线与单位圆的交点之间的弧度即为角的弧度。
正弦函数将给定角度的正弦值映射到数轴上。
其定义如下：sin(θ) = y/r其中θ为角度，y为对边，r为斜边。
2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数表示角的余弦值在数轴上的投影长度。
其定义如下：cos(θ) = x/r其中θ为角度，x为邻边，r为斜边。
3. 正切函数（tangent function）：正切函数表示角的正切值在数轴上的投影比。
其定义如下：tan(θ) = y/x其中θ为角度，y为对边，x为邻边。
4. 余切函数（cotangent function）：余切函数表示角的余切值在数轴上的投影比。
其定义如下：cot(θ) = x/y其中θ为角度，y为对边，x为邻边。
5. 正割函数（secant function）：正割函数表示角的正割值在数轴上的投影长度。
其定义如下：sec(θ) = r/x其中θ为角度，x为邻边，r为斜边。
6. 余割函数（cosecant function）：余割函数表示角的余割值在数轴上的投影长度。
其定义如下：csc(θ) = r/y其中θ为角度，y为对边，r为斜边。
这些函数在不同的角度上有不同的值，可以通过查表或计算器得到具体数值。
同时，它们之间存在一些基本公式和关系，如下：1. 互余关系（co-function identities）：sin(θ) = cos(90° - θ)cos(θ) = sin(90° - θ)tan(θ) = cot(90° - θ)cot(θ) = tan(90° - θ)sec(θ) = csc(90° - θ)csc(θ) = sec(90° - θ)2.三角函数的平方和差：sin²(θ) + cos²(θ) = 1tan²(θ) + 1 = sec²(θ)cot²(θ) + 1 = csc²(θ)3.三角函数的倒数：sec(θ) = 1/cos(θ)csc(θ) = 1/sin(θ)cot(θ) = 1/tan(θ)4.符号关系：根据角度的位置和象限，三角函数的值可能为正或负。
任意角的三角函数1
π
0
−1
3π 2
2π
sinα cosα tanα
0
1
3 2 1 2
1
−1
0
1
0
不存在
0
不存在01来自300
已知角 α 终边上一点 P（ − 3 ，y），且 sin α = 2 y， 例4 4 求 cos α、tan α 的值。
2 解： 由已知得 r = （ − 3 ）+ y 2 = 3 + y 2
y y ∴ sin α = = ，又 sin α = 2 y r 4 3 + y2
x
x cot α = x . cot 叫做α的余切，记作： ④比值 叫做 的余切，记作： α 即 y y
r sec α 即 sec α = r . 记作： 记作 正割， ⑤比值 x 叫做α的正割， ： x
r csc α 即 csc α = r . 叫做α的余割， 记作： ⑥比值 叫做 的余割， 记作： y y
任意角的三角函数定义
是任意角， 的终 设α是任意角，α的终 是任意角 边上任意一点 P(x , y) (除端点外 ， 除端点外) 除端点外 它与原点的 距离为r，则 距离为 ，
r=
x + y
2
2
=
x 2 + y 2 > 0.
定 义：
y y 叫做α的正弦， 记作： ①比值 叫做 的正弦， 记作： α 即 sin α = . sin r r
x. x cos 记作： 记作： α 即 cos α = 余弦， ②比值 叫做α的余弦， r r
y y 叫做α的正切， 记作： ③比值 叫做 的正切， 记作： α 即 tan α = . tan x x
(完整版)三角函数知识点归纳
三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角②按终边位置不同分为象限角和轴线角．角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z(2)终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )．终边与角α相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z (3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= ④若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为(r r =，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3．特殊角的三角函数值A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号） (2)商数关系：sin αcos α＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα 2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan(=+k 其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，()tan tan παα-=-． 公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，()tan tan αα-=-. 公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时，根据k ·π2±α在哪个象限判断原．三角．．函数值的符号，最后作为结果符号．B.方法与要点 一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． （ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ= sin2π＝tan π4 （4）齐次式化切法：已知k =αtan ，则nmk bak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三角函数的图像与性质学习目标：1会求三角函数的定义域、值域2会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如x y sin =与x y cos =的周期是π）。
三角函数的概念解析
5.2.1 三角函数的概念知识点1 任意角的三角函数1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：sin y α=，cos x α=，tan (0)yx xα=≠． 2．推广：设点(,)P x y 是角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则：sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠． 注：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，我们只需计算点到原点的距离22r OP x y ==+，那么22sin x y α=+22cos x y α=+tan (0)yx xα=≠知识点2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．意为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．考点一 三角函数的定义及应用解题方略：(1)求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=. 注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ．(3)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． ①注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(,)(0)a b a ≠，则对应角的正弦值22sin a b α=+，余弦值22cos a b α=+tan baα=. 注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况(点所在象限不同)进行分析．(4)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.(一)利用定义求角的三角函数值【例1-1】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(2,1)-，则sin α的值为( )A ．5B 5C ．25D 25【答案】B【解析】已知点()2,1P -，则()22215r OP ==-+5sin =5y r α=.变式1-1-1：若角α的终边经过点2(5,)1P -，则sin α=_______，cos α=______，tan α=________．【答案】1213-；513；125- 【解析】因为5,12x y ==-，所以225(12)13r =+-，则12512sin ,cos tan 13135y x y r r x ααα==-====-，．变式1-1-2：已知角α的终边过点()43-，，则2sin cos αα+=( ) A ．1 B ．25-C ．25D ．1-【答案】B【解析】因为角α的终边过点()43-，， 所以()()222234sin ,cos 554343αα=-==+-+-，所以3422sin cos 2555αα⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭，变式1-1-3：(多选)已知函数()()log 2401a f x x a a =-+>≠且的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则11tan sin θθ+的值可能是( ) A ．2 B ．3 C 171+ D 171+【答案】AC【解析】由题意，可知(3,4)A 或(1,4)A ，当点是(3,4)A 时，由三角函数的定义有2244tan ,sin 3534θθ==+，所以11352tan sin 44θθ+=+=； 当点是(1,4)A 时，由三角函数的定义有224tan 4,sin 11714θθ==+11117171tan sin 4θθ+∴+==变式1-1-4：(多选)若角α的终边上有一点(4,)P a -，且3sin cos αα⋅=，则a 的值为( ) A ．3 B 3 C ．43-D ．43【答案】CD【解析】由三角函数的定义可知，()22sin 4a α=-+()22cos 4a α=-+又3sin cos αα⋅=，则()22434a a -=-+43a =-433(二)由三角函数值求终边上的点或参数【例1-2】已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()02,y -，若π3α=，则0y 的值为( )． A ．3- B ．23C ．3D 23【答案】A【解析】因为角α终边经过点()02,y -，且3πα=，所以0πtan332y =-023y =-变式1-2-1：已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =( )A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】由题意31tan 2m m θ-==，解得2m =．变式1-2-2：已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin θ=y 的值是( ) A ．22B 22C ．434D 434【答案】D【解析】因为()2,P y -是角θ终边上一点，22sin 05θ=>，故点()2,P y -位于第二象限 所以0y >，2222sin (2)y θ==-+21732y =，因为0y >，所以434y =变式1-2-3：已知角θ的终边经过点()21,2a a +-，且3cos 5θ=，则实数的a 值是( )A ．2-B ．211C ．2-或211D ．1【答案】B2235(21)(2)a a =++-且210a +>，即12a >-，①2244195525a a a ++=+，则2112040a a +-=，解得2a =-或211a =，综上，211a =.变式1-2-4：已知角α的终边上有一点(3P m ，且2cos 4mα=，则实数m 取值为______．【答案】0或5【解析】因为角α的终边上有一点(3P m ， 所以22cos 43mm α==+，解得0m =或5±(三)由单位圆求三角函数值【例1-3】已知角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为( )A. 3 B ．12-C 3D ．12【答案】C【解析】因为角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，所以根据三角函数的定义可知，3sin y α==．变式1-3-1：角α的终边与单位圆的交点A 3sin α=________，若点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，则转过的角度为________． 132π 【解析】α的终边与单位圆的交点A 3可得：3cos α=sin 0α>，则有：22313sin 1cos 14αα⎛⎫=--=⎪⎝⎭点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，可得：2AOB π∠=变式1-3-2：已知角α的终边与单位圆交于点36(P ，则sin cos αα⋅=( ) A 3 B ．2C ．3D 2【答案】B【解析】α的终边与单位圆交于点36(P ,故36||1,r OP x y ====， 故636333sin cos 11y x r r αα==== 所以632sin cos 3αα⋅=（=-，(四)已知角α的终边在直线上求三角函数值【例1-4】已知角α的终边落在射线2(0)y x x =≥上，求sin α，cos α的值．【解析】设射线2(0)y x x =≥上任一点00(,)P x y ，则002y x =，220005OP r x y x ∴==+=，00025sin 55y r x α∴===，0005cos 55x r x α===.变式1-4-1：已知α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α的值255255【解析】①若α的终边在第一象限内，设点(,2)(0)P a a a >是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=>25sin 55y r a α∴===，5cos 55x r a α===①若α的终边在第三象限内，设点(,2)(0)P a a a <是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=-<25sin 5y r a α∴===-，5cos 5x r a α===-变式1-4-2：α是第二象限角，其终边上一点(5P x ，且2cos x α=，则sin α的值为( ) A 10 B 6 C 2 D ．10 【答案】A【解析】由题意可知0x <，22cos 5x x α=+，解得3x =-510sin 35α==+考点二 三角函数值符号的判定解题方略：三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．(一)已知角或角的范围确定三角函数式的符号【例2-1】坐标平面内点P 的坐标为()sin5,cos5，则点P 位于第( )象限.A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B 【解析】32π2π5<<，sin50,cos50∴<>，则点P 位于第二象限，变式2-1-1：若α为第四象限角，则( )A ．cos 2α＞0B ．cos 2α＜0C ．sin 2α＞0D ．sin 2α＜0 【答案】D【解析】法一：因为α为第四象限角，22,2k k k Z ππαπ∴-<<∈，424,k k k Z ππαπ∴-<<∈所以2α的终边在第三象限、第四象限或y 轴的负半轴上，所以sin 20α<.法二：因为α为第四象限角，sin 0α∴<，cos 0α>，sin 22sin cos 0ααα∴=<.变式2-1-2：下列各选项中正确的是( )A ．sin300>0︒B ．cos(305)0-︒<C ．22tan 03π⎛⎫-> ⎪⎝⎭D ．sin100<【答案】D【解析】30036060︒=︒-︒，则300︒是第四象限角，故sin3000︒<；30536055-︒=-︒+︒，则305-︒是第一象限角，故cos(305)0-︒>；222833πππ-=-+，则223π-是第二象限角，故22tan 03π⎛⎫-< ⎪⎝⎭； 73102ππ<<，则10是第三象限角，故sin100<，故选D.变式2-1-3：下列各式：①()sin 100-︒； ①()cos 220-︒； ①()tan 10-； ①cos π. 其中符号为负的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】100-︒，故()sin 1000-︒<；220-︒在第二象限，故()cos 2200-︒<；710,32ππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭在第二象限，故()tan 100-<，cos 10π=-<.(二)由三角函数式的符号确定角的范围或象限【例2-2】已知sin tan 0θθ⋅<，则角θ位于第________象限．【答案】二或三【解析】当θ为第一象限角时，sin 0θ>，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅>； 当θ为第二象限角时，sin 0θ>，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第三象限角时，sin 0θ<，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第四象限角时，sin 0θ<，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅> 综上，若sin tan 0θθ⋅<，则θ位于第二或第三象限变式2-2-1：已知sin 0θ<且tan 0θ<，则θ是( )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角【答案】D【解析】sin 0θ<，则θ是第三、四象限的角，tan 0θ<，则θ是第二、四象限的角 ①θ是第四象限的角变式2-2-2：若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】sin cos 0αα⋅<，α是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<； 当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意； 综上所述：α是第二象限角.变式2-2-3：若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】C【解析】由sin tan 0αα<可知sin α,tan α异号，从而α是第二或第三象限角．由cos 0tan αα<可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角． 综上可知，α是第三象限角．变式2-2-4：已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】因为点P 在第四象限，所以有tan 0cos 0αα>⎧⎨<⎩，由此可判断角α的终边在第三象限．变式2-2-5：若cos α与tan α同号，那么α在( )A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第三、四象限D ．第二、四象限 【答案】B【解析】因为cos α与tan α同号，则cos α与tan α的乘积为正，即正弦值为正，所以α在第一、二象限.变式2-2-6：在ABC 中，A 为钝角，则点()cos ,tan P A B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】在ABC 中，A 为钝角，则B 为锐角，则cos 0,tan 0A B <>，则点()cos ,tan P A B 在第二象限变式2-2-7：已知角α的终边经过点(39,2)a a -+，且cos 0α≤，sin 0α>，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 【答案】A【解析】①cos 0α≤，sin 0α>，①角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ①39020a a -≤⎧⎨+>⎩ ①23a -<≤ .。
人教版高中数学必修四第一章三角函数1.2任意角的三角函数(教师版)【个性化辅导含答案】
任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题. （一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：22y x r +=1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 2.说明：（1）α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；（2）根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； （3）当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义；（4）除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、yx、x y 分别是一个确定的实数。
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
7.2.1 任意角的三角函数(第一课时)(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(苏教版
y＝ 23. 于是 sin α＝y＝ 23，cos α＝x＝12，tan α＝yx＝ 3.
谢 谢观看
中，|OP|＝1，∠POB＝π3，则|PB|＝ 23，|OB|＝12，则 P－12， 23.所以 sin 23π＝ 23，
cos 23π＝－12， 3
tan 23π＝－212＝－ 3.
规律方法 在单位圆中找到角的终边与单位圆的交点的坐标.然后利用定义，即 可得到特殊角的三角函数值.
【训练2】 对于表中的角α，计算sin α、cos α、tan α的值，并填写下表.
一、课堂小结 1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象、直观想象素养. 2.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的
函数. 3.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函
数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
二、课堂检测
规律方法 三角函数值符号的判断问题： (1)由三角函数的定义可知 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(r>0)可知三角函数值的符 号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置 是判断该角三角函数值符号的关键. (2)由三角函数值的符号确定 α 角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三 角函数值的符号来确定角 α 的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求. (3)已知正弦或余弦符号时，不要忘记终边可能在坐标轴上.
___ ___ ____ ____ ____ ____ ____
__
___
不存
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
任意角的三角函数(一)
------陈少漫
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
2、过程与方法
初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.
3、情态与价值
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于
用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.
本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了
正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系. 二、教学重、难点
重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.
难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.
三、学法与教学用具
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.
另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，
这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.
教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器
四、教学设想
第一课时任意角的三角函数（一）
提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？
借助右图直角三角形，复习回顾.
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗
如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,
么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点
(,)P a b ,
它与原点的距离0r >.过P 作
x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线
段MP 的长度为b .则sin MP b OP r
α==; cos OM a OP r α==; tan MP b OM a
α==. 思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点
P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？
显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP b OM a
α==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.
【探究新知】
1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?
显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.
2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?
如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:
(1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=；
（2）x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=；
（3）y x
叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)y x x α=≠. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.
3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?
前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我
们只需计算点到原点的距离r =,
那么sin α=
,cos α=,
tan y x
α=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，
故三角函数也可以看成实数为自
变量的函数.
4.例题讲评
例1.求53
π的正弦、余弦和正切值. 例2．已知角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.
教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:
如例2:设3,4,x y =-=-则5r ==.
于是 4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3
y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题
6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再
7．例题讲评
例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0
θθ<>成立时，角θ为第三象限角. 8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?
显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
sin(2)sin k απα+=
cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈)
tan(2)tan k απα+=
9.例题讲评
例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:
(1)cos250︒; (2)sin()4π
-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π
例5.求下列三角函数值:
(1)'sin148010︒; (2)9cos 4π; (3)11tan()6
π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三
角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题.
P第4,5,6,7题
10.巩固练习
17
11.学习小结
(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?
(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?
(3)请写出各三角函数的定义域；
(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?
五、评价设计
1．作业：习题1.2 A组第1,2题．
2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.。