平移和旋转培优训
平移旋转培优辅导
1、如图11-3所示，在△ABC中，∠C=900，AC=BC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A1B1C1的位置。
①若平移的距离为3，则△ABC与△A1B1C1重叠部分的面积为多少？②若平移的距离为x(0≤x≤4)，△ABC与△A1B1C1重叠部分的面积为y，则y与x之间的关系是什么？2、把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）.在上述旋转过程中，BH与CH有怎样的数量关系？四边形BHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；3、已知：如图，等边三角形ABC的边长为6，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝2。
若点F 从点B开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒。
当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O。
（1）设△EGA的面积为S，写出S与t的函数关系式；（2）当t为何值时，AB⊥GH；（3）请你证明△GFH的面积为定值；（4）当t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点。
4、DDAB如图，四边形ABCD为正方形，△BEF为等腰直角三角形（∠BFE=900，点B、E、F，按逆时针排列），点P为DE的中点，连PC，PF(1)如图①，点E在BC上，则线段PC、PF的数量关系为____，位置关系为____（不证明）．(2)如图②，将△BEF绕点B顺时针旋转a(O<a<450)，则线段PC，PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论，并证明．(3)如图③，△AEF为等腰直角三角形，且∠AEF=90°，△AEF绕点A逆时针旋转过程中，能使点F落在BC上，且AB平分EF，直接写出AE的值是________11AG(O)EC BF①B。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十八讲 平移、对称、旋转(含答案)
第十八讲平移、对称、旋转趣题引路】如图18-1，已知△ABC内有一点M，沿着平行于边BC的直线运动到CA边上时，再沿着平行于AB的直线运动到BC边时，又沿着平行于AC直线运动到AB边时，再重复上述运动，试证：点M最后必能再经过原来的出发点证明设点M运动过程中依次与三角形的边相遇于点A1，B1，B2，C2，C3，A3，A4，B5，….易知△AC2B₂≌△A1CB1≌△A3C3B.按点M平移的路线，△A C2B2可由△A1CB1平移得到；△A3C3B可由△AC2B2平移得到；△A1CB1可由△A3C3B平移得到，此时，A3应平移至A4，所以A4与A1重合.而这时的平移方向恰与点M开始平移时的方向一致，因此从A3平移到A1的过程中必经过点M，这表明在第七步时，点M又回到了原来的出发点.图18-1知识拓展】1.平移、对称和旋转是解决平面几何问题常用的三种图形变换方法，它们零散地分布在初中几何教材之中.例如，平行四边形的对边可以看成是平行移动而形成，这里的平行移动，就是平移变换.2.一般地，把图形F上的所有点都按照一定的方向移动一定距离形成图形F'.则由F到F'的变换叫做平移变换，简称平移.由此可知，线段平移可以保持长短、方向不变，角、三角形等图形平移保持大小不变.将平面图形F变到关于直线l成轴对称的图形F'，这样的几何变换简称为对称，它可使线段、角大小不变.3.将平面图形F绕着平面内的一个定点O旋转一个定角a到图形F'，由F到F'的变换简称为旋转.旋转变换下两点之间的距离不变，两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角.4.运用平移、对称或旋转变换，能够集中图形中的已知条件，沟通各条件间的联系.例1 已知：如图18-2，△ABC中，AD平分∠CAB，交BC于D，过BC中点E作AD的平行线交AB于F，交CA的延长线于C.求证：2ACAB=CG=BF.图18-2解析直接证三角形全等或者用角平分线定理显然不能解决问题.注意到要证式的形式，条件中又有角平分线和中点，如果能切分BF、CG，使分出的两部分一部分是AB的一半，余下的是AC的一半，问题就解决了.由中点，我们不难想到中位线，两条有推论效力的辅助线（EH和EI）就产生了，H、I切分了BF、CG，由平行线性质∠1=∠2=∠3=∠4=∠6，再由中位线定理，等腰三角形的判定定理，切分后的结论不难证明.略证过E作AC、AB的平行线交AB、AC于H、I，由平行线性质及已知条件得，∠1=∠2=∠3=∠4=∠6， ∴EI =GI ，EH =FH .∵E 为BC 中点，EH ∥AC ，EI ∥AB ， ∴EI =2AB =BH ，EH =2AC=CI ， ∴EI =GI =2AB=BH ， FH =EH =2AC=CI . 由于BF =BH +FH ， CG =GI +CI ， ∴2ACAB =BF =CG .例2 如图18-3，E 是正方形ABCD 的BC 边上的一点，F 是∠DAE 的平分线与CD 的交点，求证：AE =FD +BE .图18-3解析 表面上看所要证等式的各边分布在正方形不同的边上，欲证它们之间的关系，似乎不可能.但我们可以将某一条边作适当的延伸，使等量关系转移（比如证某两个三角形全等，中位线的关系等）.此题中可将FD 延长至G ，使得DG =BE ，于是易证△AGD ≌△AEB ，则将AE 与AG ，BE 与GD 联系了起来，转而只需证明AG =GF ，即只要证明△AGF 为等腰三角形即可，由∠1=∠2，∠3=∠4及AB ∥CD 即证得.略证 延长FD 至G 使DG =BE ， ∵△ADG ≌△ABE ，∴AG =AE ，GD =BE ，∠1=∠2. 又∵ ∠3=∠4， ∴∠1+∠4=∠2+∠3. 由于DC ∥AB ，∴∠DFA =∠2+∠3， ∴∠1+∠4=∠DFA ， ∴GF =AG .即GD +DF =BE +FD =AE .例3 已知∠MON =40°，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上的点，则△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.图18-4解析 如图18-4，若在OM 上A 点固定，不难在ON 上找出点B （B 为P 关于ON 的对称点P ''与A 点的连线与ON 的交点），同样若在ON 上B 点已固定，则点P 关于OM 的对称点P'与B 点的连线与OM 交于A ，因此A 、B 应为P'P ''与0M 、ON 的交点，这时可求得∠A .解 作P'为P 关于OM 的对称点，P ''为P 关于ON 的对称点，连接P'P ''分别交OM 、ON 于A 、B 两点，则△PAB 周长为最小，这时△ABP 的周长等于P'P ''的长（连接两点间距离最短）.∵OM P P ⊥',ON P P ⊥''垂足分别为C 、D , ∴∠OCP =∠ODP =90°. ∵∠M O N=40°，∴∠CPD =180°-40°=140°.∴∠PP'P ''=∠P P ''P'=180°-140°=40°.由对称性可知：∠PAB =2∠P'，∠PBA =2∠P ''， ∴∠APB =180°-（∠PAB -∠PBA ）=180°-（2∠P'-2∠P ''）=100°.例4 如图18-5，在ABC 中，BC =h ，AB +AC =l ，由B ,C 向∠BAC 外角平分线作垂线，垂足为D 、E , 求证：BD ·CE =定值.图18-5解析 BC =h 是定值，AB +AC =l 是定值，要证BD ·CE 是定值，设法使BD ·CE 用h ,l 的代数式来表示，充分利用DE 是BAC 的外角平分线，构造对称图形，再利用勾股定理。
初二上培优辅导资料4(平移与旋转 学生版)
初二上培优辅导资料4平移与旋转例1. 如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD 于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF．（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．例 2. 已知，在△ABC 中，AB=AC 。
过A 点的直线a 从与边AC 重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角错误！未找到引用源。
，直线a 交BC 边于点P （点P 不与点B 、点C 重合），△BMN 的边MN 始终在直线a 上（点M 在点N 的上方），且BM=BN ，连接CN 。
当∠BAC=∠MBN=90°，θ=∠CAN 时①如图a ，当错误！未找到引用源。
=45°时，∠ANC 的度数为_______；②如图b ，当错误！未找到引用源。
≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；（3题图） 练习题1．下列说法不正确的是（ ）（A ）图形平移是由移动的方向和距离所决定的。
（B ）图形旋转是由旋转中心和旋转角度所决定的。
（C ）等边三角形不可能通过旋转得到。
（D ）以平行四边形对角线的交点为旋转中心旋转可以得到与该平行四边形重合的图形。
2．如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，AD 是 BC 边上的高，点E 、F 是AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．43B ．33C ．23D ．33ABCD 沿对角线AC 平移，使点A 移至线段AC 的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积是( )A ．2B ．21 C ．1 D ．414．已知，△ABC 的面积为48，将△ABC 沿BC 平移 到△A /B /C /，使B /和C 重合，连结AC /交AC 于点D ，则△C /DC 的面积为（ ）（A ） 24 （B ） 48（C ） 16 （D ） 85．如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论：( ) ①△AED ≌△AEF ； ②△ABE ≌△ACD ；③BE DC DE +=； ④222BE DC DE +=其中正确的是 A ．②④； B ．①④； C ．②③； D ．①③．AB C D EF（5题图） 题图）A /BC / D（B /）A C （4题图）（6题图）（8题图）（9题图）6.一副三角板按图1所示的位置摆放.将△DEF 绕点A （F ）逆时针旋转60°后（图2），测得CG=10cm ，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（ ）2cm A ．75B ． 32525+C ． 335025+D ． 332525+7 .如图，直角三角板ABC 的斜边AB=12㎝，∠A=30°，将三角板ABC 绕C 顺时针旋转90°至三角板A B C '''的位置后，再沿CB 方向向左平移，使点落在原三角板ABC 的斜边AB 上，则三角板平移的距离为（ ）A. 6㎝B. 4㎝C.（6－）㎝ D.（6）㎝8．如图，将△ABC 沿BC 方向平移2cm 得到△DEF ， 若△ABC 的周长为16cm ，则四边形ABFD 的周长为（ ）16cm B 18cm C 20cm D 22cm9．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，E 为AB 上一点，分别以ED ，EC 为折痕将两个角（∠A ，∠B ）向内折起，点A ，B 恰好落在CD 边的点F 处．若AD =3，BC =5，则EF 的值是（ ） A B C D（7题图）（10题图） （12题图）10.如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D ′的坐标是（ ） A （2，10） B （﹣2，0）C （2，10）或（﹣2，0）, D.（10，2）或（﹣2，0）11..在等边△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得 到△BAE ，连接ED ，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（ ）A . AE ∥BCB ∠ADE=∠BDCC . △BDE 是等边三角形D . △ADE 的周长是912 如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标（2，），底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A ′O ′B ′，点A 的对应点A ′在x 轴上，则点O ′的坐标为（ ） A （，） B （，） C （，） D （，4）13.如图，将等腰直角△ABC 沿BC 方向平移得到△A 1B 1C 1．若 BC ＝32，△ABC 与△A 1B 1C 1重叠部分面积为2，则BB 1＝（11题图）（13题图）（15题图）（16题图）14．如图1，两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1， 将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A’B’D’的位置，得 到图2，则阴影部分的周长为15 如图，△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△A ′B ′C ′，若∠BAC =90°， AB =AC =，则图中阴影部分的面积等于 ．16 如图（1），有两个全等的正三角形ABC 和ODE ，点O 、C 分别为△ABC 、△DEO 的重心；固定点O ，将△ODE 顺时针旋转，使得OD 经过点C ，如图（2），则图（2）中四边形OGCF 与△OCH 面积的比为 ．17 .Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠B ＝50°，点D 在边 BC 上，BD ＝2CD （如图）．把△ABC 绕着点D 逆时针 旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始 Rt △ABC 的边上， 那么m ＝（14题图）（17题图）（21题图）18. .如图，在△ABC 中，AB=BC ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B 交AC 于点E ，A1C1分别交AC 、BC 于点D 、F ，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF ，③DF=FC ，④A1D =CE ，⑤A1F=CE.其中正确的是 (写出正确结论的序号).19 .如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°,将△ABC 绕 C 点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC ，设 CD 交AB 于F ，连接AD ，当旋转角α度数为 时 △ADF 是等腰三角形。
培优专题5-平移与旋转-(含解答)-(改后)教学提纲
培优专题5 平移与旋转平移是几何变换中最常用的变换之一，用它可以将一些不在同一三角形中要证的两条线段或两角，进行“搬家”，把它们搬到同一个三角形（或平行四边形）中，再利用图形的性质与题设条件，找到解（或比）的途径．平移法能把分散的条件集中起来，收到事半功倍的效果．旋转也是几何变换中较常用的变换之一，在解决问题中主要应用在以下两个方面：一是在题设条件和结论间联系不易沟通或条件不易集中利用的情形下，通过旋转起到铺路架桥作用；二是图形错综复杂，但图形中的量与量之间的关系多，这时也可以看能否使用旋转的办法，移动部分图形，使题目中隐蔽着的关系明朗起来，从而找到解题途径． 平移、旋转两种变换在使用中，一定要善于观察变换前后哪些量变了，哪些量没变．只有这样，我们才能充分发挥两种变换的功能，达到有效解决相关问题的目的． 例1 如图，在△ABC 中，D 、E 是BC 边上两点，BD=CE ，试说明AB+AC>AD+AE ．分析 利用平移变换，•将图中已知条件转化为梯形的对角线之和大于两腰之和． 练习11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD+BC=3，，求此梯形的面积．2．如图，长方形花园ABCD 中，AB=a ，AD=b ，花园中建有一条长方形道路LMPQ•及一条平行四边形道路RSTK ，若LM=RS=c ，求花园中可绿化部分的面积．3．如图，△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且BE=CF ，试说明EF<BC ．例2 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，M 是AB 的中点， ∠PMQ=90°，请说明PQ 2=•AP 2+BQ 2．分析 本题中PQ 、AP 、BQ 不在同一个三角形中，•如果将它们平移，•使PQ 、BQ 分别转化为PD 、AD ，将三线段转化在同一三角形中，巧妙运用直角三角形中的勾股定理求解．练习21．如图，EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，∠BEG 与∠CFH都是锐角，•已知EG=3，FH=4，四边形EFGH 的面积为5，求正方形ABCD 的面积．2．如图，△ABC 中，∠B=90°，M 、N 分别是AB 、BC 上的点，AN 、CM•交于点P ，•若BC=AM ，BM=CN ，求∠APM 的度数．3．如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥EF ，CD ∥AF ，且AB-ED=CD-AF=EF-BC>0，请问，六边形ABCDEF 的六个角是否都相等．例3 如图，在正方形ABCD 的边BC 和CD 上分别取点M 和点K ，并且∠BAM=∠MAK ．求证：BM+KD=KA ．分析 把Rt △BAM 绕点A 顺时针旋转90°到△ADM ′，使BM 与DN 拼成一条线段的KM ′，只要证明KM ′=KA 即可． 练习31．如图，在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D•的点，•且∠NMB=∠MBC ，求AMAB的值．2．如图，P 是等边△ABC 内一点，∠APB 、∠BPC 、∠CPA 的大小之比为5：6：7，•求以PA 、PB 、PC 之比为边的三角形三内角之比（从小到大）．3．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=∠BCD=90°，AH ⊥BC ，且AH=1，•求四边形ABCD 的面积．例4 如图，在等腰三角形ABC 中，∠CAB=90°，P 是△ABC 内一点，且PA=1，PB=3，，求∠APC 的度数．分析 本题将△BAP 绕点A 旋转90°，得到△CAQ ，构造直角三角形，利用勾股定理求解 练习41．等边三角形内一点到三个顶点距离分别为3、4、5，则此等边三角形边长的平方为________．2．如图，P 是正方形内的点，若PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB 的度数．3．如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 各有一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2，•求∠PCQ ．例5 如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，以BC为边Array的三角形BPC是等边三角形，求AP的最大、最小值．分析通过旋转把AP转移到有两条边确定的三角形中，利用三角形的性质求最值．解：把△ABP绕B点顺时针旋转60°得△DBC，则△ABP≌△DBC．∴DC=AP，BD=BA，∠DBA=60°．∴△ABD是等边三角形，AD=AB=3．在△ACD中，有DC<AD+AC=5，当C在DA的延长线上时才有DC=AD+AC=5，说明DC≤5，•即AP≤5．……①在△ACD中，有DC>AD-AC=1时，当C在DA线段上时才有DC=AD-AC=1，说明DC≥1，•即AP≥1．……②由①②得AP最大值为5，最小值为1．练习51．如图，正方形ABCD中，有一个内接三角形AEF，若∠EAF=45°，AB=8，EF=7，•求△EFC的面积．2．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，过BC上的中线AD=6，求BC的长．3．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为三角形内一点，∠ADB>∠ADC．试证明：•CD>BD．答案:练习11．解：将BD平移到CE交AD延长线于点E，则四边形BDEC为平行四边形∴DE=BC，CE=BD，S△BCD=S△CDE∵△ABC与△DBC同底等高，∴S△ABC = S△BCD = S△CDE∵S梯形ABCD= S△ABC + S△ACD = S△CDE + S△ACD = S△ACE．又=∴△ACE为直角三角形，∠ACE=90°．∴S梯形ABCD= S△ACE =12·AC·CE=32．2．解：把长方形和平行四边形道路平移，在移动过程中道路面积不变，如图，则四块空白可组成长（b-c），宽（a-c）的空白长方形，其面积为（b-c）（a-c）=ab-bc-ac+c2．3．解：将EF平移为BG，BF平移为FG，作∠CFG的角平分线交BC于D，连结DG，•则由平移知四边形BEFG是平行四边形．∴EF=BG，BE=FG．∵BE=CF，∴FG=CF．∵∠1=∠2，FD=FD．∴△FGD≌△FCD（SAS）．∴DG=CD．在△BGD中，∵BG<BD+DG，∴EF<BC．练习21．解：过E、F、G、H分别平移AD、AB，交点分别为P、Q、R、T，则四边形PQRT•为矩形．设正方形边长为a，PQ=b，PT=c，由勾股定理得b=∵S△AEH =S△TEH，S △BEF =S △PEF ， S △CFG =S △QFG ， S △DGH =S △RGH 则S 正方形ABCD +S 矩形PQRT =2S 四边形EFGH ∴a 2+b·c=10． 即a 2=10．∴5a 2=44，a 2=445． ∴S 正方形ABCD =445．2．解：把MC 平移，使点M 至A 点，过A 作MC 的平行线，过点C 作AB 的平行线，•两线交于点D ，则MC=AD ． ∠APM=∠NPC=∠NAD ……① ∵BM=NC ，CD=AM=BC ， ∠DCN=∠CBM=90°， ∴△DCN ≌△CBM ．从而DN=MC ，∴DN=DA ……② ∴∠CMB=∠DNC ．∵∠BCM+∠DMB=90°， ∴∠BCM+∠DNC=90°．即MC ∥AD ． ∴ND ⊥AD ．……③ 由①，②，③得∠APM=45°．3．解：六个角都相等且都等于120°．将AB 沿着BC 平移到QC ，CD 沿着DE 平移到ER ， EF 沿着FA 平移到AP ，∵AB ∥ED ，BC ∥EF ，CD ∥AF ，∴AB=QC ，BC=AQ ，CD=ER ，DE=CR ，EF=AP ，FA=PE ． ∵AB-ED=CD-AF=EF-BC ， ∴QC-CR=ER-PE=AP-AQ ．即PQ=PR=QR ．∴∠1=∠2=∠3=60°．由平行线性质知：∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°． 练习31．解：将△BAM 绕B 点旋转90°，A 点变为C 点，M 点变为P 点，连结MP ， 则△BAM ≌△BCP ．∴∠BPC=∠BMA=∠CBM=∠NMB ． ∵BM=BP ，∴∠NMP=∠NPM ． ∴MN=NP=NC+CP=NC+AM ．设AB=1，AM=x ，在Rt △MND 中，则有12∴x=13． 即AM AB =13．2．解：将△ABP 绕B 点顺时针旋转60°得△BCP ′，连结PP ′， 则△ABP ≌△CBP ′． ∴AP=P ′C ，BP=BP ′， ∠APB=∠CP ′B ． ∵∠PBP ′=60°，∴△BPP ′是等边三角形．∴PP ′=BP ，∠BPP ′=60°=∠BP ′P ． ∵∠APB ：∠BPC ：∠CAP=5：6：7， 又∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°， ∴∠1=120°-60°=60°， ∠2=100°-60°=40°，∠PCP ′=180°-60°-40°=80°．由PA=P ′C ，PP ′=PB ， ∴△PP ′C 是由PA 、PB 、PC 组成的三角形． ∴三内角之比为2：3：4．3．解：将△ABH 绕A 点旋转90°得△ADP ， 则△ABH ≌△ADP ．∴∠APD=∠AHB=90°， AH=AP ．∵∠BAD=∠BCD=90°，∠HAP=90°． ∴四边形AHCP 是正方形． ∵AH=1，∴S 正方形AHCP =1=S 四边形AHCD +S △ADP ． S 四边形ABCD =S 四边形AHCD +S △ABH ． 又∵S △AOP =S △ABH ．∴S 四边形ABCD =S 正方形AHCP =1． 练习41．解：如图，以A 为中心将△ACP 绕A 顺时针旋转60°，则C 与B 重合，P 与P ′重合，连结AP ′，BP ′，PP ′则AP ′=AP ，BP ′=CP ，∠PAP ′=60°． ∴△APP ′是等边三角形，PP ′=3．△BPP ′中，BP=4，PP ′=3，BP ′=CP=5．由32+42=52．∴△BPP ′为直角三角形，∠BPP ′=90°． ∴∠BPA=150°．过B 作BE ⊥AP ，交AP 延长线于E ． ∵∠EPB=180°-150°=30°，在Rt △BEP 中，BP=4，BE=2，Rt △ABE 中，BE=2，，AB 2=22+（）22．解：将△ABP 绕B 点旋转90°，得△CBP ′，连结PP ′，则△ABP ≌△CBP ′． ∴PB=BP ′=2，AP=P ′C=1，∠APB=∠CP ′B ． 在Rt △PBP ′中，BP=BP ′=2， ∴PP ′BP ′P=45°．在△PP ′C 中，PC=3，P ′C=1，PP ′．有PC 2=P ′C 2+P ′P 2，∴△PP ′C 是直角三角形， ∠PP ′C=90°．∴∠APB=∠CP ′B=∠BP ′P+∠PP ′C=135°．3．解：将△CDQ 绕C 点旋转90°，得△CBM ，则△CDO ≌△CBM ，∠QCM=90°． ∵∠D=90°，∠CBA=90°， ∴P 、B 、M 在一条直线上．∵QA+AP+QP=2，DQ+AQ+AP+BP=2， ∴QP=DQ+BP ．∵BM=DQ ，PM=PB+BM ， ∴QP=PM ．又CP=CP ，CQ=CM ． ∴△CQP ≌△CMP ． ∴∠QCP=∠PCM ．又∠QCP+∠PCM=∠QCM=900∴∠PCQ=45°． 练习51．解：把△ADF 绕A 点旋转到△ABD ′的位置． ∵∠D 和∠ABC 均为直角，∴D ′、B 、E 三点在一条直线上， ∵∠EAF=45°，∴∠D ′AE=45°． 在△AD ′E 和△AEF 中，AD ′=AF ，AE=AE ，∠D ′AE=∠EAF ， ∴△AD ′E ≌△AFE ．∴S△D`EF =2S△AD`E =S ABEFD=S正方形ABCD-S△EFC．∴S△EFC =S正方形ABCD-S ABEFD=S正方形ABCD-2S△AD`E =82-2×12×8×7=8．2．解：将△ADC绕D点旋转180°得△BDE．∵BD=CD．∴C与B重合，设A落到E处，显然A、D、E共线．在△ABE中，BE=AC=13，AB=5，AE=2AD=12．则有132=122+52．∴△ABE为直角三角形，∠BAE=90°．在Rt△ABD中，AB=5，AD=6，则有∴．3．证明：将△ABD绕A点旋转∠BAC的度数，得△ACE，连结DE．由于AB=AC．∴B与C重合，则△ABD≌△ACE．∵AD=AE，∴∠1=∠2．∵∠AEC=∠ADB>∠ADC．∴∠4>∠3，∴CE<DC．∵BD=CE，∴CD>BD．。
图形的位置变化——平移和旋转提高培优
平移和旋转提高培优一、平移图形平移前后具有以下特征（性质）：（1）平移不改变图形的________,_______,改变的只是图形的_______.因此，平移前后的两个图形全等.（2）平移前后两个图形的对应点的连线_____________或者_______（3）对应线段_________且相等，（4）对应角_______.注意:如右图所示，在平移过程中，对应线段及对应点所连的线段也可能在一条直线上．（一）平移的性质1．如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，AE、DC交于点G．如果△ABE的周长是16cm，那么△ADG与△CEG的周长之和是cm．2．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DH=4，平移距离为6，则阴影部分的面积．3．如图，将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，如果四边形ABFD的周长是28cm，则△ABC的周长是cm．4．如图，已知△ABC的面积为S，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△AEF，则四边形CEFB的面积为．5．如图所示，将直角三角形ABC沿BC方向平移4cm，得到直角三角形DEF，连接AD，若AB=5cm，则图中阴影部分的面积为．6．如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为．7．如图，将直角∠C=90°的三角形ABC沿着射线BC方向平移10cm，得三角形A′B′C′，已知BC=4cm，AC=8cm，则阴影部分的面积为cm2．8．已知一副直角三角板如图放置，其中BC=3，EF=4，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的三角板的斜边DF上，则两个三角板重叠部分（阴影部分）的面积为．9.如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A’B，若AB=a，则A’B的长为；（二）平移与坐标1．在平面直角坐标系中，△A′B′C′是由△ABC平移后得到的，△ABC中任意一点P（x0，y0）经过平移后对应点为P′（x0+7，y0+2），若A′的坐标为（5，3），则它的对应的点A的坐标为．2．线段CD是由线段AB平移得到的．点A（﹣2，5）的对应点为C（3，7），则点B（﹣3，0）的对应点D的坐标为．3．△ABC的三个顶点A（1，2），B（﹣1，﹣2），C（﹣2，3），将△ABC平移，使A与A′（﹣1，﹣2）重合，则B′、C′两点的坐标分别为、．4．将点P（m+2，2m+4）向右平移1个单位长度到点Q，且点Q在y轴上，那么点P的坐标是．5．如图，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（3，0），（0，2），将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为．6．如图，点A（﹣4，0），B（﹣1，0），将线段AB平移后得到线段CD，点A的对应点C恰好落在y轴上，且四边形ABDC的面积为9，则D点坐标为．7．如图，在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点均在格点上，其位置如图所示．现将△ABC 沿AA′的方向平移，使得点A 移至图中的点A′的位置，写出平移过程中线段AB 扫过的面积 ．8. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0,3），△OAB 沿x 轴向右平移后得到B A O '''∆，点A 的对应点在直线x y 43=上一点，则点B 与其对应点B '的距离是二、旋转1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=6，Rt △AB′C′可以看作是由Rt △ABC 绕点A 逆时针方向旋转60°得到的，则线段B′C 的长为_________ ．2．如图，平面直角坐标系中，A （4，2）、B （3，0），将△ABO 绕OA 中点C 逆时针旋转90°得到△A ′B ′O ′，则A ′的坐标为 _________ ．3．如图，将△ABC 绕顶点A 顺时针旋转60°后，得到△AB′C′，且C′为BC 的中点，则C′D ：DB′=（ ）A ．1：2B ．1：2C ．1：D ．1：34．如图，O 是正△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O 与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S 四边形AOBO′=6+4．其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①②③④C ．①②④D ．①③④5．如图，边长为2的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形AB ′C ′D ′，边B ′C ′与DC 交于点O ，则四边形AB ′OD 的周长是（ ）A ．B ．6C ．D ．2+6．如图，坐标系中，四边形OABC 与CDEF 都是正方形，OA=2，M ，D 分别是AB ，BC 的中点，当把正方形CDEF 绕点C 旋转某个角度后，如果点F 的对应点为F′，且O F′=OM ．则点F′的坐标是 ．7．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC 绕C 点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC ，设CD 交AB 于F ，连接AD ，当旋转角α度数为 ，△ADF 是等腰三角形．8．如图，在Rt △ABC 中，AC=4，BC=，将Rt △ABC 以点A 为中心，逆时针旋转60°得到△ADE ，则线段BE 的长度为 ．9．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=4，将△ABC △绕点A 顺时针旋转60°，得到△ADE ，连结BE ，则BE 的长为 ．10题图9题图10.如图，△ABC 和△DEF 是直角边长为a 的两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）求证：∠BPE=∠QEC ；（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，并求当∠BEP=30°时，求EQ 的长 （用含a 的代数式表示）．11.如图，把一副三角板如图甲放置，其中90A C B D E C ==∠∠，45A =∠，30D =∠，斜边6c m A B =，7cm D C =，把三角板D C E 绕点C 顺时针旋转15得到D C E ''△如图乙．这时A B 与C D '相交于点O ，D E ''与A B 相交于点F ．（1）求O F E '∠的度数；（2）求线段A D '的长；（3）若把三角形D C E ''绕着点C 顺时针再旋转30得D C E ''''△，这时点B 在D C E ''''△的内部、外部、还是边上？证明你的判断。
培优专题5 平移与旋转 (含解答)-(改后)
培优专题5 平移与旋转平移是几何变换中最常用的变换之一，用它可以将一些不在同一三角形中要证的两条线段或两角，进行“搬家”，把它们搬到同一个三角形（或平行四边形）中，再利用图形的性质与题设条件，找到解（或比）的途径．平移法能把分散的条件集中起来，收到事半功倍的效果．旋转也是几何变换中较常用的变换之一，在解决问题中主要应用在以下两个方面：一是在题设条件和结论间联系不易沟通或条件不易集中利用的情形下，通过旋转起到铺路架桥作用；二是图形错综复杂，但图形中的量与量之间的关系多，这时也可以看能否使用旋转的办法，移动部分图形，使题目中隐蔽着的关系明朗起来，从而找到解题途径． 平移、旋转两种变换在使用中，一定要善于观察变换前后哪些量变了，哪些量没变．只有这样，我们才能充分发挥两种变换的功能，达到有效解决相关问题的目的． 例1 如图，在△ABC 中，D 、E 是BC 边上两点，BD=CE ，试说明AB+AC>AD+AE ．分析 利用平移变换，•将图中已知条件转化为梯形的对角线之和大于两腰之和． 练习11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD+BC=3，，求此梯形的面积．2．如图，长方形花园ABCD 中，AB=a ，AD=b ，花园中建有一条长方形道路LMPQ•及一条平行四边形道路RSTK ，若LM=RS=c ，求花园中可绿化部分的面积．3．如图，△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且BE=CF ，试说明EF<BC ．例2 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，M 是AB 的中点， ∠PMQ=90°，请说明PQ 2=•AP 2+BQ 2．分析 本题中PQ 、AP 、BQ 不在同一个三角形中，•如果将它们平移，•使PQ 、BQ 分别转化为PD 、AD ，将三线段转化在同一三角形中，巧妙运用直角三角形中的勾股定理求解．练习21．如图，EFGH是正方形ABCD 的内接四边形，∠BEG 与∠CFH都是锐角，•已知EG=3，FH=4，四边形EFGH 的面积为5，求正方形ABCD 的面积．2．如图，△ABC 中，∠B=90°，M 、N 分别是AB 、BC 上的点，AN 、CM•交于点P ，•若BC=AM ，BM=CN ，求∠APM 的度数．3．如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥EF ，CD ∥AF ，且AB-ED=CD-AF=EF-BC>0，请问，六边形ABCDEF 的六个角是否都相等．例3 如图，在正方形ABCD 的边BC 和CD 上分别取点M 和点K ，并且∠BAM=∠MAK ．求证：BM+KD=KA ．分析 把Rt △BAM 绕点A 顺时针旋转90°到△ADM ′，使BM 与DN 拼成一条线段的KM ′，只要证明KM ′=KA 即可． 练习31．如图，在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D•的点，•且∠NMB=∠MBC ，求AMAB的值．2．如图，P 是等边△ABC 内一点，∠APB 、∠BPC 、∠CPA 的大小之比为5：6：7，•求以PA 、PB 、PC 之比为边的三角形三内角之比（从小到大）．3．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=∠BCD=90°，AH ⊥BC ，且AH=1，•求四边形ABCD 的面积．例4 如图，在等腰三角形ABC 中，∠CAB=90°，P 是△ABC 内一点，且PA=1，PB=3，APC 的度数．分析 本题将△BAP 绕点A 旋转90°，得到△CAQ ，构造直角三角形，利用勾股定理求解 练习41．等边三角形内一点到三个顶点距离分别为3、4、5，则此等边三角形边长的平方为________．2．如图，P 是正方形内的点，若PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB 的度数．3．如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 各有一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2，•求∠PCQ ．例5 如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，以BC为边Array的三角形BPC是等边三角形，求AP的最大、最小值．分析通过旋转把AP转移到有两条边确定的三角形中，利用三角形的性质求最值．解：把△ABP绕B点顺时针旋转60°得△DBC，则△ABP≌△DBC．∴DC=AP，BD=BA，∠DBA=60°．∴△ABD是等边三角形，AD=AB=3．在△ACD中，有DC<AD+AC=5，当C在DA的延长线上时才有DC=AD+AC=5，说明DC≤5，•即AP≤5．……①在△ACD中，有DC>AD-AC=1时，当C在DA线段上时才有DC=AD-AC=1，说明DC≥1，•即AP≥1．……②由①②得AP最大值为5，最小值为1．练习51．如图，正方形ABCD中，有一个内接三角形AEF，若∠EAF=45°，AB=8，EF=7，•求△EFC的面积．2．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，过BC上的中线AD=6，求BC的长．3．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为三角形内一点，∠ADB>∠ADC．试证明：•CD>BD．答案:练习11．解：将BD平移到CE交AD延长线于点E，则四边形BDEC为平行四边形∴DE=BC，CE=BD，S△BCD=S△CDE∵△ABC与△DBC同底等高，∴S△ABC = S△BCD = S△CDE∵S梯形ABCD= S△ABC + S△ACD = S△CDE + S△ACD = S△ACE．又=∴△ACE为直角三角形，∠ACE=90°．∴S梯形ABCD= S△ACE =12·AC·CE=322．解：把长方形和平行四边形道路平移，在移动过程中道路面积不变，如图，则四块空白可组成长（b-c），宽（a-c）的空白长方形，其面积为（b-c）（a-c）=ab-bc-ac+c2．3．解：将EF平移为BG，BF平移为FG，作∠CFG的角平分线交BC于D，连结DG，•则由平移知四边形BEFG是平行四边形．∴EF=BG，BE=FG．∵BE=CF，∴FG=CF．∵∠1=∠2，FD=FD．∴△FGD≌△FCD（SAS）．∴DG=CD．在△BGD中，∵BG<BD+DG，∴EF<BC．练习21．解：过E、F、G、H分别平移AD、AB，交点分别为P、Q、R、T，则四边形PQRT•为矩形．设正方形边长为a，PQ=b，PT=c，由勾股定理得∵S△AEH =S△TEH，S△BEF =S△PEF，S△CFG=S△QFG，S△DGH =S△RGH 则S正方形ABCD+S矩形PQRT=2S四边形EFGH∴a2+b·c=10．即a2．∴5a2=44，a2=445．∴S正方形ABCD=445．2．解：把MC平移，使点M至A点，过A作MC的平行线，过点C作AB的平行线，•两线交于点D，则MC=AD．∠APM=∠NPC=∠NAD……①∵BM=NC，CD=AM=BC，∠DCN=∠CBM=90°，∴△DCN≌△CBM．从而DN=MC，∴DN=DA……②∴∠CMB=∠DNC．∵∠BCM+∠DMB=90°，∴∠BCM+∠DNC=90°．即MC∥AD．∴ND⊥AD．……③由①，②，③得∠APM=45°．3．解：六个角都相等且都等于120°．将AB沿着BC平移到QC，CD沿着DE平移到ER，EF沿着FA平移到AP，∵AB∥ED，BC∥EF，CD∥AF，∴AB=QC，BC=AQ，CD=ER，DE=CR，EF=AP，FA=PE．∵AB-ED=CD-AF=EF-BC，∴QC-CR=ER-PE=AP-AQ．即PQ=PR=QR．∴∠1=∠2=∠3=60°．由平行线性质知：∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°．练习31．解：将△BAM绕B点旋转90°，A点变为C点，M点变为P点，连结MP，则△BAM≌△BCP．∴∠BPC=∠BMA=∠CBM=∠NMB．∵BM=BP，∴∠NMP=∠NPM．∴MN=NP=NC+CP=NC+AM．设AB=1，AM=x，在Rt△MND中，则有1 2∴x=13．即AM AB =13． 2．解：将△ABP 绕B 点顺时针旋转60°得△BCP ′，连结PP ′， 则△ABP ≌△CBP ′． ∴AP=P ′C ，BP=BP ′， ∠APB=∠CP ′B ． ∵∠PBP ′=60°，∴△BPP ′是等边三角形．∴PP ′=BP ，∠BPP ′=60°=∠BP ′P ． ∵∠APB ：∠BPC ：∠CAP=5：6：7， 又∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°， ∴∠1=120°-60°=60°， ∠2=100°-60°=40°，∠PCP ′=180°-60°-40°=80°．由PA=P ′C ，PP ′=PB ， ∴△PP ′C 是由PA 、PB 、PC 组成的三角形． ∴三内角之比为2：3：4．3．解：将△ABH 绕A 点旋转90°得△ADP ， 则△ABH ≌△ADP ．∴∠APD=∠AHB=90°， AH=AP ．∵∠BAD=∠BCD=90°，∠HAP=90°． ∴四边形AHCP 是正方形． ∵AH=1，∴S 正方形AHCP =1=S 四边形AHCD +S △ADP ． S 四边形ABCD =S 四边形AHCD +S △ABH ． 又∵S △AOP =S △ABH ．∴S 四边形ABCD =S 正方形AHCP =1． 练习41．解：如图，以A 为中心将△ACP 绕A 顺时针旋转60°，则C 与B 重合，P 与P ′重合，连结AP ′，BP ′，PP ′则AP ′=AP ，BP ′=CP ，∠PAP ′=60°． ∴△APP ′是等边三角形，PP ′=3．△BPP ′中，BP=4，PP ′=3，BP ′=CP=5．由32+42=52．∴△BPP ′为直角三角形，∠BPP ′=90°． ∴∠BPA=150°．过B 作BE ⊥AP ，交AP 延长线于E ． ∵∠EPB=180°-150°=30°，在Rt△BEP中，BP=4，BE=2，Rt△ABE中，BE=2，，AB2=22+（）22．解：将△ABP绕B点旋转90°，得△CBP′，连结PP′，则△ABP≌△CBP′．∴PB=BP′=2，AP=P′C=1，∠APB=∠CP′B．在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，∴PP′BP′P=45°．在△PP′C中，PC=3，P′C=1，PP′有PC2=P′C2+P′P2，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°．∴∠APB=∠CP′B=∠BP′P+∠PP′C=135°．3．解：将△CDQ绕C点旋转90°，得△CBM，则△CDO≌△CBM，∠QCM=90°．∵∠D=90°，∠CBA=90°，∴P、B、M在一条直线上．∵QA+AP+QP=2，DQ+AQ+AP+BP=2，∴QP=DQ+BP．∵BM=DQ，PM=PB+BM，∴QP=PM．又CP=CP，CQ=CM．∴△CQP≌△CMP．∴∠QCP=∠PCM．又∠QCP+∠PCM=∠QCM=900∴∠PCQ=45°．练习51．解：把△ADF绕A点旋转到△ABD′的位置．∵∠D和∠ABC均为直角，∴D′、B、E三点在一条直线上，∵∠EAF=45°，∴∠D′AE=45°．在△AD′E和△AEF中，AD′=AF，AE=AE，∠D′AE=∠EAF，∴△AD′E≌△AFE．∴S△D`EF =2S△AD`E =S ABEFD=S正方形ABCD-S△EFC．∴S△EFC =S正方形ABCD-S ABEFD=S正方形ABCD-2S△AD`E =82-2×12×8×7=8．2．解：将△ADC绕D点旋转180°得△BDE．∵BD=CD．∴C与B重合，设A落到E处，显然A、D、E共线．在△ABE中，BE=AC=13，AB=5，AE=2AD=12．则有132=122+52．∴△ABE为直角三角形，∠BAE=90°．在Rt△ABD中，AB=5，AD=6，则有∴．3．证明：将△ABD绕A点旋转∠BAC的度数，得△ACE，连结DE．由于AB=AC．∴B与C重合，则△ABD≌△ACE．∵AD=AE，∴∠1=∠2．∵∠AEC=∠ADB>∠ADC．∴∠4>∠3，∴CE<DC．∵BD=CE，∴CD>BD．。
人教【数学】培优旋转辅导专题训练附详细答案
一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图l，在AABC中，∠ACB=90°，点P为ΔABC内一点.(1)连接PB，PC，将ABCP沿射线CA方向平移，得到ΔDAE，点B，C，P的对应点分别为点D、A、E，连接CE.①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长(2)如图3，以点A为旋转中心，将ΔABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接PA、PB、PC，当AC=3，AB=6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值.【答案】（1）①补图见解析；②；（2）【解析】（1）①连接PB、PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B、C、P的对应点分别为点D、A、E，连接CE，据此画图即可；②连接BD、CD，构造矩形ACBD和Rt△CDE，根据矩形的对角线相等以及勾股定理进行计算，即可求得CE的长；（2）以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN，根据△PAM、△ABN都是等边三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN,最后根据当C、P、M、N四点共射线，PA+PB+PC的值最小，此时△CBN是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题.解：（1）①补全图形如图所示；②如图，连接BD、CD∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC=AD，∵∠ACB=90°，∴四边形BCAD是矩形，∴CD=AB=6，∵BP=3，∴DE=BP=3，∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，∴在Rt△DCE中，；（2）证明：如图所示，当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PC最小由旋转可得，△AMN≌△APB，∴PB=MN易得△APM、△ABN都是等边三角形，∴PA=PM∴PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN，∴BN=AB=6，∠BNA=60°，∠PAM=60°∴∠CAN=∠CAB+∠BAN=60°+60°=120°，∴∠CBN=90°在Rt△ABC中，易得∴在Rt△BCN中，“点睛”本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解.2．在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA ＝OB ＝2，OC ＝OD ＝1，固定等边△AOB 不动，让扇形COD 绕点O 逆时针旋转，线段AC 、BD 也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°） （1）当OC ∥AB 时，旋转角α＝ 度；发现：（2）线段AC 与BD 有何数量关系，请仅就图2给出证明． 应用：（3）当A 、C 、D 三点共线时，求BD 的长．拓展：（4）P 是线段AB 上任意一点，在扇形COD 的旋转过程中，请直接写出线段PC 的最大值与最小值．【答案】（1）60或240；(2) AC=BD ，理由见解析；（313+1131-4）PC 的最大值=3，PC 的最小值31． 【解析】分析：（1）如图1中，易知当点D 在线段AD 和线段AD 的延长线上时，OC ∥AB ，此时旋转角α=60°或240°．（2）结论：AC =BD ．只要证明△AOC ≌△BOD 即可． （3）在图3、图4中，分别求解即可．（4）如图5中，由题意，点C 在以O 为圆心，1为半径的⊙O 上运动，过点O 作OH ⊥AB 于H ，直线OH 交⊙O 于C ′、C ″，线段CB 的长即为PC 的最大值，线段C ″H 的长即为PC 的最小值．易知PC 的最大值=3，PC 的最小值31．详解：（1）如图1中，∵△ABC 是等边三角形，∴∠AOB =∠COD =60°，∴当点D 在线段AD 和线段AD 的延长线上时，OC ∥AB ，此时旋转角α=60°或240°． 故答案为60或240；（2）结论：AC =BD ，理由如下：如图2中，∵∠COD =∠AOB =60°，∴∠COA =∠DOB ．在△AOC 和△BOD 中，OA OBCOA DOB CO OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOD ，∴AC =BD ；（3）①如图3中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．在Rt△COH中，∵OC=1，∠COH=30°，∴CH=HD=12，OH=32．在Rt△AOH中，AH=22OA OH-=132，∴BD=AC=CH+AH=1132+．如图4中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．易知AC=BD=AH﹣CH=131-．综上所述：当A、C、D三点共线时，BD的长为1312+或1312-；（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的最大值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值=3﹣1．点睛：本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．3．（12分）如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，CD，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点．（1）观察猜想：图1中，△PMN的形状是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△PMN的形状是否发生改变？并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1，AB=3，请直接写出△PMN 的周长的最大值．【答案】(1) 等边三角形；(2) △PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形,理由见解析；（3）6【解析】分析：（1）如图1，先根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，则BD=CE，再根据三角形中位线性质得PM∥CE，PM=12CE，PN∥AD，PN=12BD，从而得到PM=PN，∠MPN=60°，从而可判断△PMN为等边三角形；（2）连接CE、BD，如图2，先利用旋转的定义，把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，则BD=CE，∠ABD=∠ACE，与（1）一样可得PM=PN，∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，则计算出∠BPM+∠CPN=120°，从而得到∠MPN=60°，于是可判断△PMN为等边三角形．（3）利用AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）得到BD的最大值为4，则PN的最大值为2，然后可确定△PMN的周长的最大值．详解：（1）如图1．∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°．∵AD=AE，∴BD=CE．∵点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，∴PM∥CE，PM=12CE，PN∥AD，PN=12BD，∴PM=PN，∠BPM=∠BCA=60°，∠CPN=∠CBA=60°，∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形；故答案为等边三角形；（2）△PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形．理由如下：连接CE、BD，如图2．∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60°，∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，与（1）一样可得PM∥CE，PM=12CE，PN∥AD，PN=12BD，∴PM=PN，∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，∴∠BPM+∠CPN=∠CBD+∠CBD=∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形．（3）∵PN=12BD，∴当BD的值最大时，PN的值最大．∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）∴BD的最大值为1+3=4，∴PN的最大值为2，∴△PMN的周长的最大值为6．点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和三角形中位线性质．4．如图1．在△ABC中，∠ACB＝90°，点P为△ABC内一点．（1）连接PB、PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B、C、P的对应点分别为点D、A、E，连接CE．①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP⊥CE，AB＋BP＝9，CE＝33，求AB的长．（2）如图3，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接PA、PB、PC，当AC＝4，AB＝8时，根据此图求PA＋PB＋PC的最小值．【答案】⑴①见解析，②AB ＝6；⑵47. 【解析】分析：（1）①根据题意补全图形即可；②连接BD 、CD ．根据平移的性质和∠ACB ＝90°，得到四边形BCAD 是矩形，从而有CD ＝AB ，设CD ＝AB ＝x ，则PB ＝DE ＝9x -， 由勾股定理求解即可；（2）当C 、P 、M 、N 四点共线时，PA ＋PB ＋PC 最小．由旋转的性质和勾股定理求解即可．详解：（1）①补全图形如图所示；②如图：连接BD 、CD ．∵△BCP 沿射线CA 方向平移，得到△DAE ， ∴BC ∥AD 且BC ＝AD ，PB ＝DE ． ∵∠ACB ＝90°，∴四边形BCAD 是矩形，∴CD ＝AB ，设CD ＝AB ＝x ，则PB ＝9x -， DE ＝BP ＝9x -，∵BP ⊥CE ，BP ∥DE ，∴DE ⊥CE ， ∴222CE DE CD +=，∴()()222339x x +-=，∴6x =，即AB ＝6；（2）如图，当C 、P 、M 、N 四点共线时，PA ＋PB ＋PC 最小．由旋转可得：△AMN ≌△APB ，∴PB ＝MN ． 易得△APM 、△ABN 都是等边三角形，∴PA ＝PM ， ∴PA ＋PB ＋PC ＝PM ＋MN ＋PC ＝CN ， ∴BN ＝AB ＝8，∠BNA ＝60°，∠PAM ＝60°， ∴∠CAN ＝∠CAB ＋∠BAN ＝60°＋60°＝120°， ∴∠CBN ＝90°．在Rt △ABC 中，易得：22228443BC AB AC --=∴在Rt△BCN中，22486447CN BC BN=+=+=．点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解．5．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0），点B（0，6），把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′B′O′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．（1）如图1，若α=90°，则AB=，并求AA′的长；（2）如图2，若α=120°，求点O′的坐标；（3）在（2）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，直接写出点P′的坐标．【答案】（1）10，102；（2）（33，9）；（3）12354 55（，）【解析】试题分析：(1)、如图①，先利用勾股定理计算出AB=5，再根据旋转的性质得BA=BA′，∠ABA′=90°，则可判定△ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长；(2)、作O′H⊥y轴于H，如图②，利用旋转的性质得BO=BO′=3，∠OBO′=120°，则∠HBO′=60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长，然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标；(3)、由旋转的性质得BP=BP′，则O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，易得O′P+BP=O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小，接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y=x﹣3，从而得到P（，0），则O′P′=OP=，作P′D⊥O′H于D，然后确定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D 和DO′的长，从而可得到P′点的坐标．试题解析：(1)、如图①，∵点A（4，0），点B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB==5，∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′，∴BA=BA′，∠ABA′=90°，∴△ABA′为等腰直角三角形，∴AA′=BA=5；(2)、作O′H⊥y轴于H，如图②，∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°，∴∠HBO′=60°，在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，∴BH=BO′=，O′H=BH=，∴OH=OB+BH=3+，∴O′点的坐标为（）；（3）∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′，∴BP=BP′，∴O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，则O′P+BP=O′P+PC=O′C，此时O′P+BP的值最小，∵点C与点B关于x轴对称，∴C（0，﹣3），设直线O′C的解析式为y=kx+b，把O′（），C（0，﹣3）代入得，解得，∴直线O′C的解析式为y=x﹣3，当y=0时，x﹣3=0，解得x=，则P（，0），∴OP=，∴O′P′=OP=，作P′D⊥O′H于D，∵∠BO′A=∠BOA=90°，∠BO′H=30°，∴∠DP′O′=30°，∴O′D=O′P′=，P′D=，∴DH=O′H﹣O′，∴P′点的坐标为（，）．考点：几何变换综合题6．如图1，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，直线l经过点C，AF⊥l于点F，BE⊥l于点E．（1）求证：△ACF≌△CBE；（2）将直线旋转到如图2所示位置，点D是AB的中点，连接DE．若AB=42，∠CBE=30°，求DE的长．【答案】（1）答案见解析；（226+【解析】试题分析：（1）根据垂直的定义得到∠BEC=∠ACB=90°，根据全等三角形的性质得到∠EBC=∠CAF，即可得到结论；（2）连接CD，DF，证得△BCE≌△ACF，根据全等三角形的性质得到BE=CF，CE=AF，证得△DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到EF2DE，EF=CE+BE，进而得到DE的长．试题解析：解：（1）∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF．∵AF⊥l于点F，∴∠AFC=90°．在△BCE与△ACF中，∵90AFC BECEBC ACFBC AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△CBE（AAS）；（2）如图2，连接CD，DF．∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF．∵AF⊥l于点F，∴∠AFC=90°．在△BCE与△CAF中，∵90AFC BECEBC ACFBC AC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△CAF（AAS）；∴BE=CF．∵点D是AB的中点，∴CD=BD，∠CDB=90°，∴∠CBD=∠ACD=45°，而∠EBC=∠CAF，∴∠EBD=∠DCF．在△BDE与△CDF中，∵BE CFEBD FCDBD CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴∠EDB=∠FDC，DE=DF．∵∠BDE+∠CDE=90°，∴∠FDC+∠CDE=90°，即∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴EF2DE，∴EF=CE+CF=CE+BE．∵CA=CB，∠ACB=90°，AB2∴BC=4．又∵∠CBE=30°，∴CE=12BC=2，BE3CE3∴EF=CE+BE3∴DE223226．点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，证得△BCE≌△ACF是解题的关键．7．如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点．动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）．（1）当点N落在边BC上时，求t的值．（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值．（3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式．（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值．【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2；（4）t=1或【解析】试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；（3）当0≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN．（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．试题解析：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形，∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合．∴DQ=3∴2t=3．∴t=；（2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，∴PD=DQ，当0＜t＜时，此时，PD=t，DQ=2t∴t=2t∴t=0（不合题意，舍去），当≤t＜3时，此时，PD=t，DQ=6﹣2t∴t=6﹣2t，解得t=2；综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t当点M在BC边上时，∴MN=BQ∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t∴3t=3﹣2t∴解得t=如图①，当0≤t≤时，S△PNQ=PQ2=t2；∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2，如图②，当≤t≤时，设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，∵△EMF是等边三角形，∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2．；（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，此时＜t＜，t=1或．考点：几何变换综合题8．如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°.（1）求证：BE＝CE（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动.若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N.（如图2）①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值.【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②2；③62.【解析】【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE．（2）①解：如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC=∠ECB=45°，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EBM=∠ECN=45°，∵∠MEN=∠BEC=90°，∴∠BEM=∠CEN，∵EB=EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM=CN，设BM=CN=x，则BN=4-x，∴S△BMN=12•x（4-x）=-12（x-2）2+2，∵-12＜0，∴x=2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG=m，则BG=2m，BN=EN=3m，EB=6m．∴3（3m，∵S△BEG=12•EG•BN=12•BG•EH，∴EH=3?(13)m m+=32m，在Rt△EBH中，sin∠EBH=3+362246EHEB m==．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，9．如图1，O为直线AB上一点，OC为射线，∠AOC＝40°，将一个三角板的直角顶点放在点O处，一边OD在射线OA上，另一边OE与OC都在直线AB的上方．（1）将三角板绕点O顺时针旋转，若OD恰好平分∠AOC（如图2），试说明OE平分∠BOC；（2）将三角板绕点O在直线AB上方顺时针旋转，当OD落在∠BOC内部，且∠COD＝1∠BOE时，求∠AOE的度数：3（3）将图1中的三角板和射线OC同时绕点O，分别以每秒6°和每秒2°的速度顺时针旋转一周，求第几秒时，OD恰好与OC在同一条直线上？【答案】（1）证明见解析；（2）142.5°；（3）第10秒或第55秒时.【解析】【分析】（1）由角平分线的性质及同角的余角相等，可得答案；（2）设∠COD＝α，则∠BOE＝3α，由题意得关于α的方程，求解即可；（3）分两种情况考虑：当OD与OC重合时；当OD与OC的反向延长线重合时．【详解】解：（1）∵OD恰好平分∠AOC∴∠AOD＝∠COD∵∠DOE＝90°∴∠AOD+∠BOE＝90°，∠COD+∠COE＝90°∴∠BOE＝∠COE∴OE平分∠BOC．（2）设∠COD＝α，则∠BOE＝3α，当OD在∠BOC的内部时，∠AOD＝∠AOC+∠COD＝40°+α∵∠AOD+∠BOE＝180°﹣90°＝90°∴40°+α+3α＝90°∴α＝12.5°∴∠AOE＝180°﹣3α＝142.5°∴∠AOE的度数为142.5°．（3）设第t秒时，OD与OC恰好在同一条直线上，则∠AOD＝6t，∠AOC＝2t+40°；当OD与OC重合时，6t﹣2t＝40°∴t＝10（秒）；当OD与OC的反向延长线重合时，6t﹣2t＝180°+40°∴t＝55（秒）∴第10秒或第55秒时，OD恰好与OC在同一条直线上．【点睛】本题主要考查角平分线的性质、余角的性质，角度的计算，进行分类讨论不漏解是关键.10．在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当α=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由．【答案】（1）BE=DF；（2）四边形BC1DA是菱形．【解析】【分析】（1）由AB=BC得到∠A=∠C，再根据旋转的性质得AB=BC=BC1，∠A=∠C=∠C1，∠ABE=∠C1BF，则可证明△ABE≌△C1BF，于是得到BE=BF（2）根据等腰三角形的性质得∠A=∠C=30°，利用旋转的性质得∠A1=∠C1=30°，∠ABA1=∠CBC1=30°，则利用平行线的判定方法得到A1C1∥AB，AC∥BC1，于是可判断四边形BC1DA是平行四边形，然后加上AB=BC1可判断四边形BC1DA是菱形．【详解】（1）解：BE=DF．理由如下：∵AB=BC，∴∠A=∠C，∵△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，∴AB=BC=BC1，∠A=∠C=∠C1，∠ABE=∠C1BF，在△ABE和△C1BF中，∴△ABE≌△C1BF，∴BE=BF（2）解：四边形BC1DA是菱形．理由如下：∵AB=BC=2，∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°，∴∠A1=∠C1=30°，∵∠ABA1=∠CBC1=30°，∴∠ABA1=∠A1，∠CBC1=∠C，∴A1C1∥AB，AC∥BC1，∴四边形BC1DA是平行四边形．又∵AB=BC1，∴四边形BC1DA是菱形【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的判定方法．。
苏教版四年级下册同步奥数培优 第一讲 平移、旋转和轴对称(综合运用)
苏教版四年级下册同步奥数培优第一讲平移、旋转和轴对称（综合运用）【知识概述】我们已经会在方格图上把一个图形进行平移和旋转，也能够在平面图上画出一个轴对称图形对称轴另一边的图形，在这一讲里，我们将这些知识进行综合运用，探究图形运动中的奥秘。
例1：说一说，图形A是怎样运动到图形B的位置上的?练习一：1.说一说图形A是怎样运动到图形B的位置上的?2.说一说图形A是怎样运动到图形B的位置上的?3.说一说图形A是怎样运动到图形B的位置上的?例2：把下图绕O点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。
练习二：把下面图形按顺时针方向旋转90°。
1.2.3.例3:画出轴对称图形的另一半。
练习三：画出轴对称图形的另一半。
1.2.3.例4：从镜子里看到的三角形是什么形状?在正确的图形上画“√”。
练习四：1.一个挂钟钟面上没有数字，小明从镜子中看是6时半，你知道钟面是几时几分吗?2.下图是从镜子中看到的一串数字，这串数字应为( ）。
3.把镜子放在虚线上，看整个图形是什么?画出另一半。
练习卷1.先看图，再判断。
(1)由图A绕O点顺时针旋转90，可以得到图B。
（）(2)由图B绕O点顺时针旋转90°，可以得到图A。
（）(3)由图A绕O点逆时针旋转90，可以得到图B。
（）(4)由图B绕O点逆时针旋转90°，可以得到图A。
（）2.画出三角形ABO绕O点逆时针旋转90°得到的图形。
3.画出对称轴另一边的图形。
4.下面是镜子中的时间，请画出现实的时间。
5.请在正确图形下面的里画“√”。
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1
H A D
E O
B C
F
七年级数学---轴对称、平移、旋转培优试题
１、如图,所给的图案由ΔABC 绕点O 顺时针
旋转( )前后的图形组成的。
A. 450、900、1350
B. 900、1350、1800
C.450
、900
、1350
、1800
D.450
、1800
、2250
2、将如图1所示的Rt△ABC 绕直角边BC 旋转一周，所得几何体的左视图是（ ）
3、如图，正方形ABCD 和CEFG 的边长分别为m 、n ，那么∆AEG 的面积的值 （ ） A ．与m 、n 的大小都有关 B ．与m 、n 的大小都无关
C ．只与m 的大小有关
D ．只与n 的大小有关
4、如图，线段AB =CD ，AB 与CD 相交于O ，且060AOC ∠=，CE 由AB 平移所得，则
AC +BD 与AB 的大小关系是：（ ）
A 、AC BD A
B +< B 、A
C B
D AB += C 、AC BD AB +≥ D 、无法确定
O B
C
E
D
A P
A
B
D
（第4题图） （第5题图） （第6题图）
5、如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转030到正方形///AB C D ，则图中阴影部分面积为（ ）
A 、31
B 3、31 D 、1
2
6、如图，点P 是等边三角形ABC 内部一点，::5:6:7APB BPC CPA ∠∠∠=，则以PA 、PB 、PC 为边的三角形的三内角之比为（ ）
A 、2：3：4
B 、3：4：5
C 、4：5：6
D 、不能确定 7、如图，正方形网格中，△ABC 为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到1
1
AB C △．
（1）在正方形网格中，作出11AB C △；（不要求写作法）
（2）设网格小正方形的边长为1cm ，用阴影表示出旋转过程中线段BC 所扫过的图形，然后求出它的面积．（结果保留π）
D
A
B
C
C B A 图1
A B C D
G E F 第3题图
B
C
A 第7题图
2
M E F A
B C D M
F
A B
D B 1K
D 19、如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 上各有一点P 、Q ，如果APQ ∆的周长为2，求PCQ ∠的度数。
10、有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A 顺时针旋转90°后得到矩形AMEF （如图甲），连结BD 、MF ，若此时他测得BD =8cm ，∠ADB =30°． （1）、试探究线段BD 与线段MF 的关系，并简要说明理由；
（2）、小红同学用剪刀将△BCD 与△MEF 剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD 绕点A 顺时针旋转得△AB 1D 1，AD 1交FM 于点K （如图乙），设旋转角为β(0°＜β＜ 90°), 当△AFK 为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；
11、有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图所示，木工师傅通过测量可知，
090,B D AD CD ∠=∠==。
思考一段时间后，一位木工师傅说：“我可以把两块木板
拼成一个正方形。
”另一位木工师傅说：“我可以把一块木板拼成一个正方形，两块木板拼成两个正方形。
”两位木工师傅把木板只分割了一次，你知道他们分别是怎样做的吗？画出图形，并说明理由。
12、如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ =60°，且BQ =BP ，连结CQ ．
（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若PA ：PB ：PC =3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，
并说明理由．
13、如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA =1，PB =2，PC =3，求∠APB 的度数．
D。