1-6 势函数流函数
D
2
2
本章小结
§1流体的物理性质和宏观模型 ①流体的主要物理性质：流动性、粘性和压缩性； ②流点的概念和流体的宏观模型------连续介质假设。 §2流体速度和加速 ①描写流体运动的两种观点： Lagrange和Euler观点及其差别以及两种变量的相互转换 ②流体加速度的计算；
③形变张量的概念。
§6速度势函数和流函数 ①势函数的定义、表示流体运动的方法； ②流函数的定义、表示流体运动的方法； ③速度势函数、流函数表示二维流动。
作业
习题一
1、2、3、4、5、7
答疑
时间：单周周二上午1-2节
地点：教学楼A区1楼西侧教师休息室
Vn V n
y
n A
V
ds
B
x
流函数和流体体积通量
Q (B) (A)
经过以A和B为端点的任何曲线的流体体积通量 Q，
只决定于该两点的流函数差，跟曲线的具体长短
或形状无关。同时表明，流函数具有流体体积通
量的量纲。
流函数和涡度的关系
v u 由涡度的定义 x y ，可得到用流函数来表示
V
V V
v u 0 x y D u v 0 x y
无辐散涡旋流，产生涡旋部分
无旋辐散流，引起散度部分
V V , V 0 V V , V 0
V
函数
x , y , z , t 称为速度的（位）势函数，用来表示无
旋流动的流场。通常将无旋流动称为有势流动或势流。
等位势面
对于某一固定时刻
x, y, z, t C
为一空间曲面，称为等势函数面或者等位势面。
z
o x
y
例 已知流体作无旋运动，对应的等势函数线分布如
，位势梯度小，相应的 流速小。
势函数和散度的关系
u v w D x y z
V
D
2
2 2 2 2 其中， 为三维拉普拉斯算子 2 2 x y z 2 那么，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方程，即
可求得势函数；已知u、v、w，先计算D，再解泊松方 程，得φ；已知φ，求导计算即可获得u、v、w 。
V V V
V k
V k V
u y x v x y
V k
V k V
二、流函数
引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为：
无辐散流 流体运动
V 0
V 0
辐散流
考虑二维无辐散流动，即满足：
u u x , y, t , v v x , y, t
w0
u / x v / y 0
则流线方程为：
dx dy u v vdx udy 0
图所示（其中， 0 <
1
< 2 ）的，请判断并在图
中标出A、B两处流体速度的方向，并比较A、B 两处流速的大小。
V
由流速场与势函数的关系可知：V
z
V
流速矢与等位势面相垂 直，由高位势流向低位 势，等位势面紧密处， 位势梯度大，相应的流
o x
y
速大；等位势面稀疏处
的涡度表达式：
2 2 2 2 x y
可见，对流函数取拉普拉斯运算即可得到流体的涡度 同样，求解流函数的方法为： （1）已知涡度，直接求解泊松（Poisson）方程 （2）已知速度场，先求出涡度，然后求解泊松方程
三、2维流动
一般二维流动，既不满足无旋条件，也不满足无辐 散条件，流动是有旋有辐散的。此时，其涡度和散度均 不为零，即：
上式的几何图像就是流线，此曲线上的切线处处与速度矢 方向吻合；同时，也是ψ函数的等值线，ψ称作流函数；
流线就是等流函数线。
流函数和流体体积通量
y
n A ds
Hale Waihona Puke VBx流函数和流体体积通量
顺着
AB
B
流体自右侧向左侧的体积通量为Q：
Q Vn ds A ds n k ds d s idx jdy
③微商算符
d V dt t
的物理实质及其应用。
§3迹线和流线
①迹线和流线的概念、迹线和流线的物理实质； ②迹线和流线方程的求解； ③迹线、流线的差别以及迹线、流线重合的条件 §4速度的分解 ①柯西-亥姆霍兹速度分解定理
§5涡度、散度和形变率
①涡度、散度和形变率的物理含义； ②涡度、散度和形变率的计算；
第六节 速度势函数和流函数
一、速度势函数
如果在流体域内涡度为零，即: V 0
无旋流动
否则，则称之为涡旋流动： V 0
无旋流动
流体运动 涡旋流动
根据矢量分析，任意一函数的梯度，再取旋度恒等于零：
0
对于无旋流动，必定存在一个函数 x, y, z, t 满足如：
d x, y, t vdx udy 0
d x, y, t vdx udy 0
u ,v y x
V k
流函数与流线的关系？
流函数与流线的关系
d x, y, t vdx udy 0
积分
x, y, t C
工程流体力学讲义
强制涡
r r0
ω
复合涡
自由涡
1.速度分布
前面已讨论过涡核内外的速度分布：
涡内：
与半径成正比如图
。由于
Hale Waihona Puke 这部分流体有旋。涡外：
与半径r成反比。
在时
当 不变 处 的 为常数
2、压力分布： 自由涡：由于是无旋流动，在自由涡中 任取一点与无穷远处写伯努利方程：
忽略位能
若
则
将
代入
在自由涡中 p与r 成平方关系,(抛物线）
3.点源的压力分布 在源上任取一点与无穷远处写能量方程
将 ， 代入
有
p
P与r成抛物线正比。r
p;r p
r r0
三、点涡
点涡：无限长的直 线涡束所形成的平 面流动。除涡线本 身有旋外涡线外的 流体绕涡线做等速 圆周运动且无旋。
这种流动也称纯环流。若设点涡的强度
为
则在半径r处由点涡所诱导的速
度为 而
例2：求有间断面的平行流的速度环量 Γ＝？
4
3
b
1L 2
u1 u2
例3：龙卷风的速度分布为 时
时
试根据 stokes law 来判断是否为有 旋流动。
如图，当
，流体以ω象刚体一样转
动，称风眼或强迫涡（涡核）。
在
区域，流体绕涡核转动，流体
质点的运动轨迹是圆但本身并没有旋转
称之为自由涡或势涡。
强制涡
y
d
c
vu
a
b
c’ d’
Δα
b’
a’ Δβ
定义：单位时间内ab、cd转过的平均角度
称角变形速度，用 θ表示。 由定义有：
流函数和势函数公式
流函数和势函数公式流函数与势函数是描述流体运动的两个重要概念，在流体力学中被广泛应用。
本文将介绍流函数和势函数的基本概念、性质以及求解方法。
1.流函数的概念和性质流函数是描述在二维定常流动中，各个流线上速度矢量的旋转情况的函数。
对于二维流动，假设流体流动的速度场为V(x,y)，则流函数Ψ(x,y)定义为：V=∇Ψ=(∂Ψ/∂x,∂Ψ/∂y)其中，∇Ψ是流函数Ψ的梯度向量。
流函数的性质如下：1)斜率定理：沿着流线的方向，流函数的局部斜率等于流体的速度分量。
2)流线定理：流线上的流函数值保持不变，即Ψ为常数。
3)流函数的连续性：在空间中的流函数是连续的，除非在相应的流体内有边界。
4)流函数的耗散性：流函数对时间是线性的，即流函数在时间方向上是耗散的。
2.势函数的概念和性质势函数是描述流体在无旋力场中流动时所具备的性质的函数。
无旋力场是指速度场的旋度等于零。
对于二维流动，假设流体流动的速度场为V(x,y)，则势函数φ(x,y)定义为：V=∇φ=(∂φ/∂x,∂φ/∂y)其中，∇φ是势函数φ的梯度向量。
势函数的性质如下：1)势函数的梯度向量是速度向量。
2)势流是不可压缩的，即∇·V=0。
3)势函数满足拉普拉斯方程，即∇²φ=0。
4)由于速度场的旋度等于零，势函数是无旋的。
3.流函数和势函数的关系在二维流动中，流函数和势函数之间存在一种特殊的关系，称为流函数-势函数耦合关系。
根据流函数和势函数的定义，可以得到流函数和势函数的关系：Ψ = ∫(∂φ/∂y)dx + f(y)φ = ∫(∂Ψ/∂x)dy + g(x)其中，f(y)和g(x)是任意常数函数。
根据流函数-势函数耦合关系可以求解流体的速度场，并且满足连续性方程和运动方程。
4.求解流函数和势函数的方法求解流函数和势函数的方法有多种，常用的方法有分离变量法、解析法和数值法。
4.1分离变量法分离变量法是将流函数和势函数分解为各自的变量函数，并通过解偏微分方程的边值问题来确定这些变量函数。
1-6 势函数流函数
V
V V
v u 0 x y D u v 0 x y
无辐散涡旋流，产生涡旋部分
无旋辐散流，引起散度部分
பைடு நூலகம்
V V , V 0 V V , V 0
二、流函数
引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为：
无辐散流 流体运动
V 0
V 0
辐散流
考虑二维无辐散流动，即满足：
u u x , y, t , v v x , y, t
w0
u / x v / y 0
则流线方程为：
dx dy u v vdx udy 0
d x, y, t vdx udy 0
d x, y, t vdx udy 0
u ,v y x
V k
流函数与流线的关系？
流函数与流线的关系
d x, y, t vdx udy 0
积分
x, y, t C
，位势梯度小，相应的 流速小。
势函数和散度的关系
u v w D x y z
V
D
2
2 2 2 2 其中， 为三维拉普拉斯算子 2 2 x y z 2 那么，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方程，即
可求得势函数；已知u、v、w，先计算D，再解泊松方 程，得φ；已知φ，求导计算即可获得u、v、w 。
③形变张量的概念。
§6速度势函数和流函数 ①势函数的定义、表示流体运动的方法； ②流函数的定义、表示流体运动的方法； ③速度势函数、流函数表示二维流动。
流函数和势函数公式(一)
流函数和势函数公式(一)资深创作者列举流函数和势函数公式的相关公式，并进行例解释。
流函数公式二维空间中的流函数公式在二维空间中，流函数用于描述流体的运动状态。
对于二维流动，在直角坐标系下，流函数的公式可以表示为：ψ = ∫(Vx dy - Vy dx)其中，Vx和Vy分别表示流体在x和y方向的速度分量。
ψ表示流函数。
举例：假设在二维平面内，某个点(x, y)的速度分量分别为Vx = x*y和Vy = x^2。
那么该点处的流函数可以计算如下：ψ = ∫(x*y dy - x^2 dx)三维空间中的流函数公式在三维空间中，流函数的公式稍有不同。
在直角坐标系下，流函数可以表示为：ψ = ∫(Vx dy dz - Vy dx dz + Vz dx dy)其中，Vx、Vy和Vz分别表示流体在x、y和z方向的速度分量。
ψ表示流函数。
Vx = x^2，Vy = y^2和Vz = z^2。
那么该点处的流函数可以计算如下：ψ = ∫(x^2 dy dz - y^2 dx dz + z^2 dx dy)势函数公式二维空间中的势函数公式在二维空间中，势函数用于描述流体的势能分布。
对于二维流动，在直角坐标系下，势函数的公式可以表示为：φ = ∫(Vx dx + Vy dy)其中，Vx和Vy分别表示流体在x和y方向的速度分量。
φ表示势函数。
举例：假设在二维平面内，某个点(x, y)的速度分量分别为Vx = 2x和Vy = 3y。
那么该点处的势函数可以计算如下：φ = ∫(2x dx + 3y dy)三维空间中的势函数公式在三维空间中，势函数的公式稍有不同。
在直角坐标系下，势函数可以表示为：φ = ∫(Vx dx + Vy dy + Vz dz)其中，Vx、Vy和Vz分别表示流体在x、y和z方向的速度分量。
φ表示势函数。
Vx = x^2，Vy = y^2和Vz = z^2。
那么该点处的势函数可以计算如下：φ = ∫(x^2 dx + y^2 dy + z^2 dz)总结：•流函数公式和势函数公式分别用于描述流体的运动状态和势能分布。
流函数与势函数
一、流函数流函数概念的提出是仅对不可压缩流体的平面流动而言的。
所谓平面流动是指流场中各点的流速都平行于某一固定平面，并且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化。
由不可压缩流体的平面流动的连续方程得平面流动的流线微分方程为式(1)是式(2)成为某一函数的全微分的必要且充分的条件，即于是很显然，在流线上dψ=0或ψ=C。
每条流线对应一个常数值，所以称函数ψ为流函数。
对于不可压缩流体的平面流动，用极坐标表示的连续方程、流函数的微分和速度分量分别为：流函数具有明确的物理意义：平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数常数之差。
在流函数ψ的定义中，为保证流函数变化值dψ与流量增量值dq v 同号，规定绕B点逆时针方向穿过曲线AB的流量为正，反之为负，这是指通过z方向为单位高度的柱面的体积流量。
里的流量qv通过A点的流线的流函数值ψ1，通过B点的流线的流函数值ψ2，则通过AB柱面的体积流量为在引出流函数这个概念时，既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的，也没有涉及流体是有旋的还是无旋的。
所以，无论是理想流体还是粘性流体，无论是有旋流动还是无旋流动，只要是不可压缩流体的平面流动，就存在流函数，对于xoy平面内的无旋流动，有 z=0，即：也可得即不可压缩流体的平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和函数。
对于极坐标系，该满足拉普拉斯方程为二、速度势函数对于无粘性（理想）流体的无旋流动而言，由斯托克斯定理可知，沿流场中任意封闭周线的速度线积分，即速度环量均为零。
对于无旋流动，该封闭周线所包围的速度环量为零，有对于理想流体无旋流动，从参考点A到另一点B的速度线积分与点A 至点B的路径无关，上式中ds表示连接点A与点B的任意微元曲线。
也就是说，速度线积分仅仅取决于B点相对于A点的位置，具有单值势函数的特征。
由无旋流动的充要条件可知即：上式是成为某一函数的全微分的必要且充分条件。
函数成为速度势函数，简称速度势。
流函数与势函数.docx
一、流函数流函数概念的提出是仅对不可压缩流体的平面流动而言的。
所谓平面流动是指流场中各点的流速都平行于某一固定平面，并且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化。
由不可压缩流体的平面流动的连续方程得du dv--- =—―dx dy平面流动的流线微分方程为吗一血" ⑵式(1)是式(2)成为某一函数的全微分的必要且充分的条件，即于是很显然，在流线上(1屮二0或屮二C。
每条流线对应一个常数值, 所以称函数屮为流函数。
对于不可压缩流体的平面流动，用极坐标表示的连续方程、流函数的微分和速度分量分别为:(1)dr dddy/流函数具有明确的物固愿契：平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数常数之差。
在流函数屮的定义中，为保证流函数变化值（1屮与流量增量值dq、同号，规定绕B点逆时针方向穿过曲线AB的流量为正，反之为负，这里的流量4,.是指通过z方向为单位高度的柱面的体积流量。
通过A点的流线的流函数值屮1 ,通过B点的流线的流函数值屮2 ，则通过AB柱面的体积流量为¥ r w 辛q v = \V -dZ = J \u cos(n7 x) +v cos(再y)](SA A["字 + v(-务问二j (T -vdx)AB\(1屮=屮2_屮\A在引出流函数这个概念时，既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的，也 没有涉及流体是有旋的还是无旋的。
所以，无论是理想流体还是粘性流 体，无论是有旋流动还是无旋流动，只要是不可压缩流体的平面流动, 就存在流函数，dv du .----- —=0对于xoy 平面内的无旋流动，有CO Z =0,即：去Oy口2 才屮 d 2i// 门VV=—r + —r=0也可得dx创即不可压缩流体的平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和 函数。
对于极坐标系，该满足拉普拉斯方程为d 2u/ 1 du/ 1 d 2u/ c+ -- +——^=0 dr 2 r dr r 2 d02二、速度势函数屮】对于无粘性（理想）流体的无旋流动而言，由斯托克斯定理可知， 沿流场中任意封闭周线的速度线积分，即速度环量均为零。
速度势函数和流函数
引入流函数的优点： ① 可以减少表征流体运动的变量。2 个变1 个。 ② 流函数还可以用来表示流体体积通量。
10
流函数与体积通量：
图中自南向北的4 条线是流线（等流函数线），任取AB曲线，在 该线上任一点的速度矢是 ，法向单位矢是 ，曲线单位矢是
上式表明，两点的流函数值之差等于过这两点的任何曲线的流体 的体积通量（体积流量）值，跟曲线的形状、长短无关。
称为无辐散涡旋流(流函数对应)
称为无旋辐散流(势函数对应)
14
速度矢的分解
已知速度矢，如何得到速度的分解： 1）根据速度求出涡度和散度，即： 2）我们在前面已经给出了【势函数与散度】的关系，【流函数与 涡度】的关系，如下： 这是两个泊松方程，连立求解就得到势函数和流函数
ห้องสมุดไป่ตู้
15
3）根据辐散流和势函数的关系，涡旋流和流函数的关系，得到两 个风速分量，即：
根据流线方程的求法，（* ）的流线方程为：
（1.75 ）可积的充要条件是无辐散，与（1.76 ）对比，发现是一 样的。对（1.76 ）积分，得： 上式时间取定，常数也取定时，就代表了某时刻的某一条流线， 或等流函数线，此曲线上的切线处处跟流速矢方向一致。
9
注意：
① ②
流函数引入的条件是流体运动为二维，而流体是不可压缩的，不 论流体是有旋还是无旋，流函数都存在。 如将流函数应用到一般的三维流体运动则会引起相当大的解析困 难。）
6
流函数：
我们对流函数的讨论是建立在二维运动 XOY，且运动无辐散。即：
由无辐散条件 ，可以找到一个函数与速度矢对应，我们把这个函 数写成ψ ，ψ 的全微分为：
流体力学6-势流理论
13
令ψ＝C得流线族：
M y c
2 x2 y2
或
x2
y
y2
c1
即
x2 y2 y 0
c1
x2(y 1 )2 1 2c1 4c12
图6-8（b）
精选2021版课件
14
流线：圆心在ｙ轴上，与x轴相切的一组圆， 等势线：圆心在ｘ轴上，与ｙ轴相切的一组圆。
注意： 偶极子和轴线的方向
轴线：源和汇所在的直线
L
V0 Vx2Vy250m/s
V=40m/s
所以 L cV 0l23200N
u=30m/s
精选2021版课件
V0
n=225/s
44
3.设在（－a,0)处有一平面点源，在（a,0)处有一 平面点汇， 他们的强度为Q，若平行直线流动和 这一对强度相等的源和汇叠加。
V 0
V 2V0sin21r 0 0
sins
4r0V0
驻点不在圆柱表面上
精选2021版课件
34
结论：
1. 合成流动对称于ｙ轴，圆柱仍将不受阻力 2. 合成流动不对称于ｘ轴，产生了向上的升力
精选2021版课件
35
三 阻力、升力大小的计算：
1 圆柱表面压力分布
伯努利方程（沿圆柱表面） p v2 C
精选2021版课件
27
理想流体对圆柱体的作用力: 升力L： 合力在ｙ轴上的分量 阻力R： 合力在x轴上的分量
绕圆柱的无环量流动：
升力Ｌ＝０
阻力 Ｒ＝０
压力分布对称于 y轴
达朗贝尔谬理!
精选2021版课件
28
正压
负压
精选2021版课件
29
１. ２. 物体周围的流场无界 ３. 物体周围流场中不存在源、汇、涡等奇点 ４. 物体作等速直线运动 ５. 物体表面流动没有分离
1-5流网
2
2.等势线(等水头线)
（1）概念：
渗流场中水头值相等的各点的连线，即势函数
相等的各点连线，称为等势线或等水头线。
（2）等水头线的性质
等水头线的疏密反映水力坡度的大小，密则大， 疏则小；
等水头线在渗流场中是连续的，不同数值等水头 线不能相交；
等水头面就是过水断面。
2020/4/15
3
(二)流函数（表示流线的形状和性质的函数）
2020/4/15
15
等势线：
a.过水断面； b.水头变化不大的地表水体底边线为等势线； c.坝的上、下游透水地基； d.稳定流中的拟对称面（指几何条件对称而边界或物 理条件不对称的面）。 ３.含水层中的强透水带边界为等势面，流线一定穿过； 弱透水带边界线为流线，流线应绕避； ４.特殊等势线、流线画出之后，根据流线和等势线的 性质画网格； ５.修改。
grad
1
对于稳定流或者是某一瞬时的非稳定流来说， 势函数只是空间坐标的函数。
∵势函数满足Laplace方程，即 ：
2 2 0
x2 y 2 ∴ 在一定边界条件下积分可得一系列的等势线，
即(x, y) 常数
由一系列等势线组成的面称为等势面。它既可以 是曲面，也可以是平面。
等水头面
2020/4/15
2020/4/15
16
注意：
在同一渗流场中，流线在某一特定点上有时候可以 相交。通常流线是不相交的，但在奇点上流线可以 相交，并且奇点上流线和等势线正交原则被破坏。
指渗透速度 为零或为无 穷大的点
2020/4/15
17
四、流网的应用 1.确定渗流场中任一点处的水头Ｈ和渗透压强Ｐ
渗流区内任意点的水头Ｈ，可由等水头线图确定。 如果该点位于两水头线之间，可以用内插法确定。知道 了水头，可通过下式来计算该点上的渗透压强：
流函数和势函数公式
流函数和势函数公式流体力学中的流函数可以用来描述流体的速度场。
速度场表示流体在空间中各点的速度分布情况。
对于无旋的流动，可以引入流函数，流函数可以唯一地确定流线。
流线是流体在给定时刻通过各点的轨迹线。
在无旋的流动中，速度场可以通过流函数的梯度得到。
流函数可以按照如下公式定义：ψ=ψ(x,y,z)其中，ψ是流函数，表示速度场在其中一截面上的流函数值，(x,y,z)是该截面上的坐标。
流函数满足拉普拉斯方程：∇²ψ=0其中，∇²是拉普拉斯算子，表示流函数对坐标的二阶混合偏导数的和，等于零表示流函数满足拉普拉斯方程。
流函数的物理意义是流线沿着这个函数的等值线的方向运动。
通过给定流函数值，可以确定流线的轨迹。
势函数是流体力学中另一个重要的数学工具。
势函数用来描述无旋的流动场中的速度场。
对于无旋的流动，速度场可以通过势函数的梯度得到。
势函数可以按照如下公式定义：φ=φ(x,y,z)其中，φ是势函数，表示速度场在其中一截面上的势函数值，(x,y,z)是该截面上的坐标。
势函数满足亥姆霍兹方程：∇²φ=0势函数的物理意义是速度场是势函数的梯度。
通过给定势函数值，可以确定速度场的分布情况。
流函数和势函数是流体力学中流动的描述工具。
通过流函数和势函数，可以方便地描述流体的流动和速度场。
流函数适用于无旋流动，通过流函数的梯度可以得到速度场。
势函数适用于无旋流动，通过势函数的梯度可以得到速度场。
流函数和势函数是相互对偶的工具，二者之间有一个互逆的关系。
在实际应用中，流函数和势函数在求解流体问题中起着重要的作用。
通过流函数和势函数，可以方便地计算速度场和流线，从而解决各种涉及流体流动的问题。
总结起来，流函数和势函数是流体力学中用来描述流动的两个重要的数学工具。
流函数用来描述无旋流动的速度场，势函数用来描述无旋流动场中的速度场。
二者分别满足拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程。
流函数和势函数在解决流体流动问题中具有重要的作用。