手足口病模型分析

手足口病模型分析康慧燕王玲娜陈姗姗周红娜胡佩佩（上海大学理学院）摘要:本文建立了一类带有出生和死亡的手足口病的SIR模型,计算了模型的阈R,通过数值模拟以及与近几年传染手口足病的儿童患病人数的拟合估计出值0R都是大于1的，即疾病至少爆发模型中的参数。

而且近几年手口足病对应的0一次，与数据显示的结果一致。

说明我们的模型是有效的。

关键字：传染病，SIR模型，阈值1 引言手足口病是由肠道病毒引起的传染病[1−6]，引发手足口病的肠道病毒有20多种，其中以柯萨奇病毒A16型（Cox A16）和肠道病毒71型（EV 71）最为常见。

此病多发生于5岁以下儿童，表现口痛、厌食、低热、手、足、口腔等部位出现小疱疹或小溃疡，目前缺乏有效的治疗药物.普通病例多为急性起病，并伴有发热、口痛、厌食等症状,口腔黏膜出现散在疱疹或溃疡，位于舌、颊黏膜及硬额等处为多，也可波及软腭，牙龈、扁桃体和咽部。

手、足、臀部、臂部、腿部出现斑丘疹，后转为疱疹，疱疹周围可有炎性红晕，疱内液体较少。

手足部较多，掌背面均有。

皮疹数少则几个多则几十个。

消退后不留痕迹，无色素沉着。

部分病例仅表现为皮疹或疱疹性咽峡炎。

多在一周内痊愈，预后良好。

部分病例皮疹表现不典型，如单一部位或仅表现为斑丘疹。

少数病例（尤其是小于3岁者）病情进展迅速，在发病1～5天左右出现脑膜炎、脑炎（以脑干脑炎最为凶险）、脑脊髓炎、肺水肿、循环障碍等，极少数病例病情危重，可致死亡，存活病例可留有后遗症。

其感染途径包括消化道，呼吸道及接触传播。

传播途径主要是有接触传播、接触病人接触过的毛巾、玩具等。

感染者分为染病者和隐性感染者，疾病流行期间，感染者是主要传染源，包括染病者、隐性感染者。

我国全国各地及世界上大部分地区都流行此病，并且我国不少地区都有死亡病例的报导。

1981年，我国在上海发现手足口病，很快北京、河北、天津、山东等省市均有报道。

1983年天津发生时，5月到10月五个月的时间里就有7000 病例；2年后又爆发了以托儿所及幼儿园为主的流行。

2000年，山东省招远市流行了此病，约有1698例患儿，其中有3个小孩并发症死亡。

到了2008年，手足口病蔓延，安徽、广东、天津等地爆发，山东菏泽，河南阜阳特别严重，五月份就有病例17.6万例，死亡31例。

2009 年，仍是上升阶段，到4月份全国共有115618例，死亡50例。

传染病动力学模型的研究，基本上是沿用Kermack和Mckendrick在1927年和1932年分别提出的仓室模型。

他们把人群分为易感者、染病者和恢复者三大类，分别用S，I，R表示，构造了著名的SIR流行病仓室模型，建立常微分方程组来描述传染病模型。

在此基础上通过考虑更多更现实动力因素，如接种、迁移、隔离等因素，得到更为复杂的动力学模型。

如：SVIR、SEIR、SIQR等模型。

郭静[7]等用复杂网络上的动力学传播模型研究了手足口病的传播规律，讨论了数据了对模型中参数的影响，该文章指出，采取措施进行控制后，病例数下降迅速，即采取的措施对疾病的控制有决定性的影响。

Felix和Jane建立了一个简单的SIR动力学模型，模拟预测了手足口病的传播趋势，并计算了疾病人数的阈值。

文献[8]建立了连续的SEIR手足口病传染病模型，采用的是标准发生率。

将人口分为四类：易感者、潜伏者、染病者和康复者，给出了基本再生数的表达式，证明了无病平衡点和地方病平衡点的稳定性，而且研究了脉冲接种的情况，证明了无病周期解的存在性和稳定性。

文献[9]研究了SEIQR型的模型，潜伏者染病者均具有传染性，采用的是双线型发生率。

文献[10]建立的也是SEIQR 型的，作者模拟的情况精确度较高，得出了几个参数的流行病学意义，做出了控制措施的定量描述，给出了合理的控制传染率的范围，即需要把传染率控制在0.3 以下。

对于隔离的措施，作者得出隔离率在0.4-0.6时就能很好的控制疾病的流行。

我们加入出生和死亡，建立了SIR模型，研究了手足口病的传播动力学，并用实际数据进行拟合，发现每年手足口病均会爆发一次。

2 模型和阈值手口足病多发生在10岁以下儿童，儿童的免疫力相对较弱，这种疾病在儿童中容易传播，尤其是儿童密集的活动场所（幼儿园，学校等）。

与小孩亲密接触的成人也会参与传播手口足病。

但是这种疾病不具有致命性，恢复率较高，人群对于同种手口足病型号病毒具有免疫性。

考虑到以上手口足病真实传播方式，我们把人群分为三类：易感者、染病者和康复者。

建立如下SIR模型：其中模型中的参数含义如下：参数定义S儿童中易感者的比率1I儿童中感染者的比率1R儿童中康复者的比率1S成人中易感者的比率2I成人中感染者的比率2R成人中康复者的比率2Λ出生率μ自然死亡率λ患病的儿童把病传给健康儿童的传染率11λ患病的成人把病传给健康儿童的传染率12λ患病的儿童把病传给健康成人的传染率21λ患病的成人把病传给健康成人的传染率22γ患病的儿童恢复的概率12γ患病的成人恢复的概率面我们利用再生矩阵法[11]求模型（1）的阈值。

模型（1）有无病平衡点矩阵为：在此平衡点处的新感染,1,,0,02⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ-Λμμμ模型（1）在无病平衡点处转移矩阵为：故由()()()()()()λγμμμλγμμμλγμμλλγμμλλ-+Λ-+Λ-+Λ-+Λ=-222212212121111-11FV E解得22,1a b ±=λ，其中()()(),12222111γμμμλγμμλ+Λ-++Λ=b()()()()()().1412132211222222111γμγμμμλλγμμμλγμμλ++Λ-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+Λ--+Λ=a显然2,1λ都为实数，故.2)(10ab FV R +==-ρ3 数值模拟我们以月为单位，分别模拟了10<R 与10>R 的儿童和成人感染率在一年内的变化图形，图中显示：当10<R 时，疾病很快消亡，而当10>R 时，疾病暴发一次后消亡，疾病爆发时间在4-9月之间，而且儿童感染人数明显高于成人（绿线是儿童，红线是成人）。

10>R（上两图中的参数取值如下：当11λ=0.9; 12λ=0.8; μ=0.35; Λ=0.03; 1γ=0.9;21λ=0.5; 22λ=0.5; 2γ=0.9时，0R =0.0176；当11λ=0.9; 12λ=0.8; μ=0.03; Λ=0.03;1γ=0.9;21λ=0.5; 22λ=0.5; 2γ=0.9时，0R =3.2488。

）我们有利用2009-2013年儿童感染手足口病的数据拟合并调整模型（1）中的参数，分别画出如下5张图形，所得参数见下表（红线表示儿童感染比率在一年中随时间变化情况，蓝点表示实际数据）。

Λ μ11λ12λ21λ22λ1γ2γ2009 0.03 0.040.90.7 0.4 0.3 0.99 0.99 2010 0.03 0.035 0.9 0.9 0.5 0.4 0.99 0.99 2011 0.03 0.02 0.9 0.9 0.6 0.2 0.99 0.99 2012 0.03 0.03 0.95 0.9 0.6 0.4 0.99 0.99 20130.030.030.950.90.60.40.990.995张图形对应的0R 都大于1，图形中也显示疾病有一个高峰期（不论数据还是模拟的图形），理论与数据吻合。

从0R 的计算公式可以推得，只有μ的取值较大时R 才能小于1，，而自然死亡率一般都小，所以0R 都大于1是符合实际情2009年2010年2013年况的。

参考文献[1] 王小燕，邓慧玲，手足口病2103例临床表现及流行病学分析[J]，2010，39.1：56-60。

[2] 沙爱龙，刘颖，手足口病的研究概况[J]，生命科学仪器，2007，5：13-20。

[3] 王连森，毕振强，房玉英，王显军，2008山东省手足口病流行病学分析[J], 山东医药, 2009，49.19：45-51.[4] 赵慧欣，张艳玲，张奕，邓洁，等，2007年北京儿童中流行的手足口病病原学及临床特点[J], 临床儿科杂志, 2008，26.6：467-473。

[5] 彭文伟等，传染病学[M], 人民卫生出版社，北京2000。

[6] 王建华等，流行病学[M], 人民卫生出版社，北京2001。

[7] 金水高，郭静，基于复杂网络的手足口病传播模型研究，中国卫生统计，2009，26.l:14-17.[8] 李春，手足口病传播的数学建模与研究，硕士学位论文.[9] 陈学华，黄娜.手足口病型传染病的数学模型.淮阴师范学院学报:自然科学版2008，7.4:267一269.[10] 陈忠祥，HFMD数学模型的动力学，硕士学位论文.[11] P. van den Driessche, James Watmough, Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission, Mathematical Biosciences, 180 (2002):29-48.。