抽象函数定义域的四种类型
抽象函数的定义域
将导致函数无意义的点排除在定义域之外，例如分母为零的点。
解不等式或不等式组
根据函数解析式的性质，解不等式或不等式组，得到定义域的范 围。
图像法求定义域
观察图像
通过观察函数的图像，确定函数在哪些区间内连 续且单调，从而确定定义域的范围。
确定临界点
找出图像中临界点对应的x值，这些点通常是定义 域的边界。
判断单调性
通过判断函数在各个区间上的单调性，进一步细 化定义域的范围。
实际应用法求定义域
分析实际背景
根据函数在实际问题中的应用背景，分析函数在哪些 情况下有意义。
确定实际限制条件
根据实际问题的限制条件，确定函数的定义域范围。
考虑实际意义
确保函数在实际应用中具有实际意义，排除无意义的 定义域范围。
04
特殊类型的抽象函数的定义域
分段函数定义域的求法
分段函数定义域的求法
分段函数由多个分段定义，每个分段定义域可能不同，因此求分段函数的定义域需要分别考虑每个分段，取所 有分段的定义域的交集。
举例
函数$f(x) = begin{cases} x^2 - 1, & x geq 0 x + 3, & x < 0 end{cases}$的定义域为$[-3, +infty)$，因为当$x geq 0$时，$x^2 - 1$的定义域为$[0, +infty)$，当$x < 0$时，$x + 3$的定义域为$(-infty, 0)$，取交集得$[-3, +infty)$。
对数函数定义域的求法
对数函数定义域的求法
对数函数$log_a(x)$的定义域为$x > 0$，因为对数函数的自变量必须大于 0。
抽象函数定义域 课件 高一上学期数学人教A版 必修一
函数定义域
• 一：函数的概念
一般的，设 , 是非空的实数集，如果对于集合 中的任意一个 ,按照某种对应关系 ，再集合 中都有唯
一确定的数y和它对应，那么就称 : → 为从集合 A到集合 的一个函数，记作 = , A .其中， 叫做自
变量， 的取值范围 叫做函数的 定义域；与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函
的定义域为（）
A. 1，4
B. 0，5
C. 0,20
. 1，9
3)
总结抽象函数定义域
记住两句话：1.定义域只指x的范围
2.括号内整体范围相等
走好两步骤：1.求整体
2.利用整体求得所求函数的定义域 即x的范围
A. − ∞,
答案：c
0
B. −∞,
0
−
的定义域为 （）
2 2 − 3 − 2
1
1
C. − ∞, − 2 ∪ − 2 ,
0
1
D. − 2 ,
0
• 总结：常见函数的定义域
• （1） 为整式型函数时，定义域为R，但需注意函数 = 0 中的不为0；
• （2）出现分式时分母不为零，所以当 为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合
• （3）偶次根式的被开方数非负，所以当 为二次根式型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合
• （4）如果函数是由一些简单函数通过四则运算构成的，那么他们的定义域时各个简单函数定义域的交集。
抽象函数的定义域
抽象函数：没有具体解析是的函数
抽象函数定义域的方法和技巧：
记住两句话：1.定义域只指x的范围
2.括号内整体范围相等
抽象函数定义域三种题型及解法
抽象函数定义域三种题型及解法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的四种题型及求法．一、已知f (x )的定义域，求f [g (x )]的定义域其解法是：若f (x )的定义域为a ≤x ≤b ，则f [g (x )]中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值范围即为f [g (x )]的定义域．例1 已知函数f (x )的定义域为[－1，5]，求f (x 2－3x －5)的定义域．分析：这个函数是由u ＝x 2－3x －5和f (u )构成的复合函数，其中x 是自变量，u (或x 2－3x －5)是中间变量，由于f (x )，f (u )是同一个函数，因此这里是已知－1≤u ≤5，即－1≤x 2－3x －5≤5，要求x 的取值范围．解：由－1≤x 2－3x －5≤5，得223100340x x x x ⎧--≤⎪⎨--≥⎪⎩，即254 1x x x -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或 ∴－2≤x ≤－1或4≤x ≤5．∴函数f (x 2－3x －5)的定义域是[－2，－1]∪[4，5]．二、已知f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域其解法是：若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定g (x )的范围即为f (x )的定义域．例2 已知函数f (x 2－2x ＋2)的定义域是[0，3]，求函数f (x )的定义域．分析：设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u ),由于f (u )，f (x )是同一函数，因此这里是已知0≤x ≤3，求x 2－2x ＋2的取值范围.解：由0≤x ≤3，得－1≤x －1≤2，即0≤(x －1)2≤4，1≤(x －1)2＋1≤5即1≤x 2－2x ＋2≤5．设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，1≤u ≤5，即是1≤x ≤5．∴f (x ) 的定义域是[1，5]．三、已知f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域其解法是：可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域．例3 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域． 分析：已知f (x +1)的定义域为[－21，2]，x 满足－21≤x ≤2，于是21＜x ＋1＜3，得到f (x )的定义域，然后f (x 2)的定义域由f (x )的定义域可得．解：先求f (x )的定义域： 由题意知－21≤x ≤2，则21＜x ＋1＜3，即f (x )的定义域为[21，3]， 再求f [h (x )] 的定义域：∴ 21＜x 2＜3，解得－3＜x＜－2或2＜x ＜3． ∴f (x 2)的定义域是{x |－3＜x＜－2或2＜x ＜3}． 四、运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集．例4 若f (x )的定义域为[－3，5]，求ϕ(x )＝f (－x )＋f (x 2)的定义域．解：由f (x )的定义域为[－3，5]，则ϕ(x )必有23535x x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩，即53x x -≤≤⎧⎪⎨≤⎪⎩x所以函数ϕ(x )的定义域为[．。
根据抽象函数定义域的四类分类,给出10个示例。
根据抽象函数定义域的四类分类，给出10个示例。
根据抽象函数定义域的四类分类，给出10个示例抽象函数定义域的分类可以根据不同的特征进行划分。
以下是四类分类的示例：1.数字范围：函数定义域是某个特定的数字范围。
例如，函数$f(x)$在区间$[1.10]$上定义，其中$x$的取值范围是$1$至$10$。
2.离散集合：函数定义域是一个离散的集合，即函数只接受特定的输入值。
例如，函数$g(x)$的定义域是{1.2.3.4.5}，只能接受集合中的元素作为输入。
3.实数集合：函数定义域是实数的全体。
例如，函数$h(x)$的定义域为所有实数，表示$h(x)$可以接受任意实数作为输入。
4.排除特定值：函数定义域包括某些特定的值，但排除了其他某些值。
例如，函数$j(x)$的定义域是所有实数除了$x=0$。
这意味着$j(x)$可以接受任意实数作为输入，除了零。
以下是10个示例：1.$f(x) = 2x + 1$，定义域为整个实数集。
2.$g(x) = \sqrt{x}$，定义域为非负实数。
3.$h(x) = \frac{1}{x}$，定义域为除零外的所有实数。
4.$j(x) = \log(x)$，定义域为正实数。
5.$k(x) = \frac{1}{x-2}$，定义域为除了$x=2$外的所有实数。
6.$m(x) = x^2$，定义域为整个实数集。
7.$n(x) = \frac{1}{x^2+1}$，定义域为整个实数集。
8.$p(x) = \sin(x)$，定义域为整个实数集。
9.$q(x) = \tan(x)$，定义域为所有不是$\frac{\pi}{2}+k\pi$（$k$为整数）的实数。
10.$r(x) = e^x$，定义域为整个实数集。
这些示例展示了在不同定义域分类下的具体函数示例。
抽象函数定义域的类型及求法
抽象函数定义域的类型及求法 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的四种题型及求法．一、已知f (x )的定义域，求f [g (x )]的定义域其解法是：若f (x )的定义域为a ≤x ≤b ，则f [g (x )]中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值范围即为f [g (x )]的定义域．例1 已知函数f (x )的定义域为[－1，5]，求f (x 2－3x －5)的定义域．分析：这个函数是由u ＝x 2－3x －5和f (u )构成的复合函数，其中x 是自变量，u (或x 2－3x －5)是中间变量，由于f (x )，f (u )是同一个函数，因此这里是已知－1≤u ≤5，即－1≤x 2－3x －5≤5，要求x 的取值范围．解：由－1≤x 2－3x －5≤5，得223100340x x x x ⎧--≤⎪⎨--≥⎪⎩，即254 1x x x -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或 ∴－2≤x ≤－1或4≤x ≤5．∴函数f (x 2－3x －5)的定义域是[－2，－1]∪[4，5]． 二、已知f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域其解法是：若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定g (x )的范围即为f (x )的定义域．例2 已知函数f (x 2－2x ＋2)的定义域是[0，3]，求函数f (x )的定义域．分析：设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u ),由于f (u )，f (x )是同一函数，因此这里是已知0≤x ≤3，求x 2－2x ＋2的取值范围.解：由0≤x ≤3，得－1≤x －1≤2，即0≤(x －1)2≤4，1≤(x －1)2＋1≤5即1≤x 2－2x ＋2≤5．设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，1≤u ≤5，即是1≤x ≤5．∴f (x ) 的定义域是[1，5]．三、已知f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域其解法是：可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域．例3 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域． 分析：已知f (x +1)的定义域为[－21，2]，x 满足－21≤x ≤2，于是21≤x ＋1≤3，得到f (x )的定义域，然后f (x 2)的定义域由f (x )的定义域可得．解：先求f (x )的定义域： 由题意知－21≤x ≤2，则21≤x ＋1≤3，即f (x )的定义域为[21，3]， 再求f [h (x )] 的定义域：∴ 21≤x 2≤3，解得－3≤x≤－2或2≤x ≤3． ∴f (x 2)的定义域是{x |－3≤x≤－2或2≤x ≤3}． 四、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集．例4 若f (x )的定义域为[－3，5]，求ϕ(x )＝f (－x )＋f (x 2)的定义域．解：由f (x )的定义域为[－3，5]，则ϕ(x )必有 23535x x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩，即53x x -≤≤⎧⎪⎨≤⎪⎩x所以函数ϕ(x )的定义域为[]．。
常见抽象函数类型
常见抽象函数类型及解题策略没有给出具体解析式的函数()x f y =，称为抽象函数。
抽象函数问题将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数、周期性等性质和图象集于一身，所以这类问题可以全面综合考查我们对于函数概念和性质的理解。
常见抽象函数类型 具体函数()()()c y f x f y x f +±=±（c 为常数） b kx y +=()()()y f x f xy f =αx y = ()()()y f x f xy f ±= x y a log =()()()y f x f y x f ⋅=±x a y = ()()n x f x f +=（n 为周期） x y sin =，x y cos =，x y tan =. 常用方法：①特殊值法，如()()()1,1,0-f f f ；②“凑”（转化）的方法；③同时借助于函数的单调性、奇偶性等性质.例题：一，()()()c y f x f y x f +±=±型 （b kx y +=）1，函数()x f 的定义域为R ，R y x ∈∀,，有()()()y f x f y x f +=+；且当0)(0<>x f x 时，，且()21-=f ，求()x f 在区间[]3,3-上的最大值和最小值. 2，函数()x f ，R y x ∈∀,，满足条件()()()y x f y f x f ++=+2；2)(0>>x f x 时，； ()53=f ，求不等式()3222<--a a f 的解.二，()()()y f x f xy f =型 （αx y =）3，函数()x f ，R y x ∈∀,，满足()()()y f x f xy f =，且()00≠f ，试判断()x f 的奇偶性.三，()()()y f x f xy f ±=型 （x y a log =）4，已知()x f 的定义域为R ，R y x ∈∀,，()()()y f x f xy f +=.求证：()x f 是偶函数.5，()x f 是定义在()+∞,0上的单调增函数，满足()()()y f x f xy f +=，()13=f ， ① 求()1f ； ② 若()()28≤-+x f x f ，求x 的取值范围. 四，()()()y f x f y x f ⋅=±型 （x a y =）6，函数()x f ，R y x ∈∀,，满足()0≠x f ，()()()y f x f y x f ⋅=+，且当时，0<x ()1>x f ，求当时，0>x ()x f 的取值范围.五，()()n x f x f += （x y sin =，x y cos =，x y tan =.）7，()x f 是定义在R 上的函数，()()()x f x f x f -+=+112，又()221+=f ，求()2001f . 8，函数()x f ，R y x ∈∀,，满足()()()()y f x f y x f y x f 2=-++，并存在实数c ，使得02=⎪⎭⎫ ⎝⎛c f ，试问()x f 是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由.。
《抽象函数的定义域》【高中数学人教版同步测试】
抽象函数的定义域类型一. 已知函数y =f (x )的定义域是（a ，b ），求f [g (x )]的定义域.1. 已知函数y =f （x ）定义域是[-2，3]，则y =f （2x -1）的定义域是（ ）.A. [0,52]B. [−1,4]C. [−12,2]D. [−5,5]2. 如果函数f(x)的定义域为，那么函数f(2x +3)的定义域为( )A. [−2,0]B. [1,9]C. [−1,3]D. [−2,9]3. 函数f （x ）的定义域为[0，2]，则函数f （x 2）的定义域是 （ ）A. [−2,2]B. [−√2,√2]C. [0,2]D. [0,4]4. 已知函数f （x ）的定义域为（0，2]，函数f （√x +1）的定义域为（ ）A. [−1,+∞)B. (−1,3]C. [√5,3)D. (0,√5)类型二. 已知函数y =f [g (x )]的定义域是（a ，b ），求f(x )的定义域.1.若函数f （2x -1）的定义域为[-3，3]，则函数f （x ）的定义域为______ ．2.已知f (2x ＋5)的定义域为[－1，4]，求函数f (x )的定义域．3.若(2)y f x =+的定义域是(1,3]，求()y f x =的定义域．4.已知的定义域为，则的定义域是 .5.已知函数32f x 的定义域为1,2，求函数f x 的定义域.)2(2-x f []2,3-)(x f类型三、 已知函数y =f (h (x ))的定义域是（a ，b ），求f [g (x )]的定义域.1. 已知函数(21)f x -的定义域为[0,1]，求函数(13)f x -的定义域.2.已知函数(1)y f x =+定义域是[2,3]-，则(21)y f x =-的定义域是（ ）A ．5[0]2， B ．[14]-，C ．[55]-，D ．[37]-，3.已知f （x 2-1）定义域为[0，3]，则f （2x -1）的定义域为（ ）A. (0,92)B. [0,92]C. (−∞,92)D. (−∞,92]4.若函数f （x 2-1）的定义域为[-1，2]，则函数f （x +1）的定义域为______．类型四、运算型的抽象函数1.若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域2.若函数y =f （x ）的定义域是（0，4]，则函数g （x ）=f （x ）+f （x 2）的定义域是（ ）A. (0,2]B. (0,4]C. (0,16]D. [−16,0)∪(0,16]3.若函数f （x ）的定义域是[0，1]，则函数f （2x ）+f （x +13）的定义域为（ ）A. [−13,23]B. [−13,12]C. [0,12]D. [0,13]4.若函数y=f（x）的定义域[0，3]，则函数g（x）=f(3x)x−1的定义域是______ ．5.若函数y=f（x）的定义域是[0，3]，则函数g（x）=f(x+1)x−2的定义域是（）A. [−1,2)B. [0,2)C. [−1,2]D. [0,2)∪(2,3]6.已知函数y=f（x）的定义域[-8，1]，则函数g（x）=f(2x+1)x+2的定义域是（）A. (−∞,−2)∪(−2,3]B. [−8,−2)∪(−2,1]C. [−92,−2)∪(−2,0] D. [−92,−2]参考答案:类型一答案1.【答案】C【解析】本题考查复合函数定义域的求解,是基础题.根据复合函数定义域之间的关系得-2≤2x-1≤3,计算得结论．【解答】解：因为函数y=f（x）定义域是[-2，3]，所以-2≤2x-1≤3，解得-≤x≤2，因此函数y=f（2x-1）的定义域为[-，2].故选C．2.【答案】A【解析】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中熟练掌握抽象函数定义域求解时“一不变（括号里整体的取值范围不变），应万变”的原则是解答此类问题的关键．根据函数f（x）的定义域为[-1，3]，进而求出函数f（2x+3）的定义域即可．【解答】解：∵-1≤x≤3，∴-1≤2x+3≤3，∴-2≤x≤0，故选：A．3.【答案】B【解析】解：∵f（x）的定义域为[0，2]，∴在f（x2）中0≤x2≤2，∴故选：B．要求函数的定义域，就是求函数式中x的取值范围．本题考查函数的定义域并且是抽象函数的定义域，本题解题的关键是不管所给的是函数是什么形式只要使得括号中的部分范围一致即可．4.【答案】B【解析】定义域是自变量x的取值范围所组成的集合，所以，我们要求出中x的取值范围．首先考虑要满足的条件即x+1≥0．其次x和的范围一致，即，进而求出x 的范围.复合函数的定义域是经常被考查的，所以要理解其解题时要注意的问题． 【解答】解：由函数的定义域得， 又∵要满足x+1≥0 综合得-1＜x≤3 故选B ．类型二答案1.【答案】[-7，5] 【解析】解：∵-3≤x≤3， ∴-7≤2x -1≤5，故答案为：[-7，5]．函数f （2x-1）的定义域为[-3，3]，从而求出2x-1的范围，进而得出答案． 本题考查了函数的定义域问题，是一道基础题．2.解:∵函数f （2x +5）的定义域为[-1，4]， ∴x ∈[-1，4]， ∴2x +5∈[3，13]，故函数f （x ）的定义域为：[3，13]． 【解析】由x ∈[-1，4]，可得2x+5∈[3，13]，可得答案．本题考查了函数的定义域的求法，求复合函数的定义域时，注意自变量的范围的变化，本题属于基础题3.解:(2)y f x =+的定义域是(1,3]，即13x <≤，故325x <+≤，从而()y f x =的定义域为(3,5]．4.解：∵≤≤，∴≤≤，从而≤≤，故的定义域是。
抽象函数定义域的类型及求法
抽象函数定义域的类型及求法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法．一、已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 二、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域． 解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤．令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤．故()f x 的定义域为[]15，．三、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．例３ 若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨-+⎩，，≤≤≤≤解得40x -≤≤． 所以函数()x ϕ的定义域为[]40-，．。
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抽象函数定义域的四种类型
抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手。
下面结合具体实例介绍一下抽象函数定义域问题的四种类型及求法。
一、已知的定义域，求’I I的定义域，
其解法是：若的定义域为段二匕丄？，则"」I中
从中解得•的取值范围即为■-1的定义域。
例1.设函数"■的定义域为，则
（1）函数的定义域为_____________ 。
（2）函数八的定义域为_________________ 。
解：（1）由已知有L -■■-■，解得
故的定义域为一：’「
（2）由已知，得2 2 '--■■，解得1 ' ■- ■'
故'I 亠的定义域为二、已知I ■ ■■的定义域，求的定义域。
其解法是：若_|- ■- 1的定义域为V八-\ ,则由--匚、确定:的范围即为的定义域。
例2.已知函数' -的定义域为—I，则一：' 1
的定义域为________ 。
解：由H S，得:■ I < . 'I
所以二…：二1，故填-■:
三、已知. 山勺定义域，求’'烏的定义域。
其解法是：可先由- 1定义域求得的定义域，再由：…的定义域求得「〔叭》的定义域。
例3.函数''■ + '定义域是一二 :则的定义域是（）
A. ■
B. ' - 1
C. ' ：；-
D. '「
解：先求•二的定义域
Tg + D的定义域是[-乙3]
..-2 < x< 3
：.1<X+1 <4 , 即卩
：的定义域是一乙1
再求一…：：丨的定义域
v-1 < 2x - 1 <4
0<x<-
2
/(2x - 1)的定义域是W" 21,故应选A
四、运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是: 先求出各个函数的定义域，再求交集。
例4.已知函数’•的定义域是：，■，求
g(Q =/(盂+ 4 ①(-;<a^0)
" 的定义域。
解：T由已知，有
0 <x + a<l
0 <x-a<l
£
函数的定义域由「：工门“确定
函数「「的定义域是 "
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，即。