抽象函数定义域的类型与求法.doc
抽象函数的定义域
将导致函数无意义的点排除在定义域之外，例如分母为零的点。
解不等式或不等式组
根据函数解析式的性质，解不等式或不等式组，得到定义域的范 围。
图像法求定义域
观察图像
通过观察函数的图像，确定函数在哪些区间内连 续且单调，从而确定定义域的范围。
确定临界点
找出图像中临界点对应的x值，这些点通常是定义 域的边界。
判断单调性
通过判断函数在各个区间上的单调性，进一步细 化定义域的范围。
实际应用法求定义域
分析实际背景
根据函数在实际问题中的应用背景，分析函数在哪些 情况下有意义。
确定实际限制条件
根据实际问题的限制条件，确定函数的定义域范围。
考虑实际意义
确保函数在实际应用中具有实际意义，排除无意义的 定义域范围。
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特殊类型的抽象函数的定义域
分段函数定义域的求法
分段函数定义域的求法
分段函数由多个分段定义，每个分段定义域可能不同，因此求分段函数的定义域需要分别考虑每个分段，取所 有分段的定义域的交集。
举例
函数$f(x) = begin{cases} x^2 - 1, & x geq 0 x + 3, & x < 0 end{cases}$的定义域为$[-3, +infty)$，因为当$x geq 0$时，$x^2 - 1$的定义域为$[0, +infty)$，当$x < 0$时，$x + 3$的定义域为$(-infty, 0)$，取交集得$[-3, +infty)$。
对数函数定义域的求法
对数函数定义域的求法
对数函数$log_a(x)$的定义域为$x > 0$，因为对数函数的自变量必须大于 0。
抽象函数定义域三种题型及解法
抽象函数定义域三种题型及解法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的四种题型及求法．一、已知f (x )的定义域，求f [g (x )]的定义域其解法是：若f (x )的定义域为a ≤x ≤b ，则f [g (x )]中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值范围即为f [g (x )]的定义域．例1 已知函数f (x )的定义域为[－1，5]，求f (x 2－3x －5)的定义域．分析：这个函数是由u ＝x 2－3x －5和f (u )构成的复合函数，其中x 是自变量，u (或x 2－3x －5)是中间变量，由于f (x )，f (u )是同一个函数，因此这里是已知－1≤u ≤5，即－1≤x 2－3x －5≤5，要求x 的取值范围．解：由－1≤x 2－3x －5≤5，得223100340x x x x ⎧--≤⎪⎨--≥⎪⎩，即254 1x x x -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或 ∴－2≤x ≤－1或4≤x ≤5．∴函数f (x 2－3x －5)的定义域是[－2，－1]∪[4，5]．二、已知f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域其解法是：若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定g (x )的范围即为f (x )的定义域．例2 已知函数f (x 2－2x ＋2)的定义域是[0，3]，求函数f (x )的定义域．分析：设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u ),由于f (u )，f (x )是同一函数，因此这里是已知0≤x ≤3，求x 2－2x ＋2的取值范围.解：由0≤x ≤3，得－1≤x －1≤2，即0≤(x －1)2≤4，1≤(x －1)2＋1≤5即1≤x 2－2x ＋2≤5．设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，1≤u ≤5，即是1≤x ≤5．∴f (x ) 的定义域是[1，5]．三、已知f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域其解法是：可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域．例3 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域． 分析：已知f (x +1)的定义域为[－21，2]，x 满足－21≤x ≤2，于是21＜x ＋1＜3，得到f (x )的定义域，然后f (x 2)的定义域由f (x )的定义域可得．解：先求f (x )的定义域： 由题意知－21≤x ≤2，则21＜x ＋1＜3，即f (x )的定义域为[21，3]， 再求f [h (x )] 的定义域：∴ 21＜x 2＜3，解得－3＜x＜－2或2＜x ＜3． ∴f (x 2)的定义域是{x |－3＜x＜－2或2＜x ＜3}． 四、运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集．例4 若f (x )的定义域为[－3，5]，求ϕ(x )＝f (－x )＋f (x 2)的定义域．解：由f (x )的定义域为[－3，5]，则ϕ(x )必有23535x x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩，即53x x -≤≤⎧⎪⎨≤⎪⎩x所以函数ϕ(x )的定义域为[．。
抽象函数定义域的类型及求法
抽象函数定义域的类型及求法 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的四种题型及求法．一、已知f (x )的定义域，求f [g (x )]的定义域其解法是：若f (x )的定义域为a ≤x ≤b ，则f [g (x )]中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值范围即为f [g (x )]的定义域．例1 已知函数f (x )的定义域为[－1，5]，求f (x 2－3x －5)的定义域．分析：这个函数是由u ＝x 2－3x －5和f (u )构成的复合函数，其中x 是自变量，u (或x 2－3x －5)是中间变量，由于f (x )，f (u )是同一个函数，因此这里是已知－1≤u ≤5，即－1≤x 2－3x －5≤5，要求x 的取值范围．解：由－1≤x 2－3x －5≤5，得223100340x x x x ⎧--≤⎪⎨--≥⎪⎩，即254 1x x x -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或 ∴－2≤x ≤－1或4≤x ≤5．∴函数f (x 2－3x －5)的定义域是[－2，－1]∪[4，5]． 二、已知f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域其解法是：若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定g (x )的范围即为f (x )的定义域．例2 已知函数f (x 2－2x ＋2)的定义域是[0，3]，求函数f (x )的定义域．分析：设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u ),由于f (u )，f (x )是同一函数，因此这里是已知0≤x ≤3，求x 2－2x ＋2的取值范围.解：由0≤x ≤3，得－1≤x －1≤2，即0≤(x －1)2≤4，1≤(x －1)2＋1≤5即1≤x 2－2x ＋2≤5．设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，1≤u ≤5，即是1≤x ≤5．∴f (x ) 的定义域是[1，5]．三、已知f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域其解法是：可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域．例3 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域． 分析：已知f (x +1)的定义域为[－21，2]，x 满足－21≤x ≤2，于是21≤x ＋1≤3，得到f (x )的定义域，然后f (x 2)的定义域由f (x )的定义域可得．解：先求f (x )的定义域： 由题意知－21≤x ≤2，则21≤x ＋1≤3，即f (x )的定义域为[21，3]， 再求f [h (x )] 的定义域：∴ 21≤x 2≤3，解得－3≤x≤－2或2≤x ≤3． ∴f (x 2)的定义域是{x |－3≤x≤－2或2≤x ≤3}． 四、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集．例4 若f (x )的定义域为[－3，5]，求ϕ(x )＝f (－x )＋f (x 2)的定义域．解：由f (x )的定义域为[－3，5]，则ϕ(x )必有 23535x x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩，即53x x -≤≤⎧⎪⎨≤⎪⎩x所以函数ϕ(x )的定义域为[]．。
抽象函数定义域的求法
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课题 教法、学法 学习目的 学习重点 学习难点
抽象函数（一）定义域的求法 讲练结合
课时数 课型
1 新授课
学习过程 一、认识抽象函数
我们把没有给出函数具体解析式， 只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数。 一般形式为 y= f(x) ，或许还附有定义域、值域等，如： y= f(x) , (x>0, y>0) 。
练习： 若函数 f ( x ) 的定义域是(0,1)， 求函数g x = f x + a ˙f x − a (− 2 < ������ < 0)的定 义域。
1
巩固训练：
1. 设函数
的定义域为
，则
（1）函数
（2）函数
的定义域为________。
的定义域为__________。
2．设函数 y=f(x)的定义域为［0，1］ ，q 求 y=f( x ) f ( x ) 定义域。
二、抽象函数定义域的求法 例一：已知函数 f(x) 的定义域为 [-1,5] ，求 f(3x-5) 的定义域。
练习：设函数 f(x) 的定义域为 [0,1,] ，求函数 f(
x )的定义域。
例二：已知函数 f（x-1）的定义域是[0,3]，求函数 f(x)的定义域。
练习：设函数 f(x 2) 的定义域为 [0,3] ，求函数 f(x) 的定义域。
例三：设函数 f(x +1 ) 定义域是[-2,3]，求函数 f(2x-1)的定义域。
练习：设函数 f(2x-1) 定义域是[-2,3]，求函数 f(x +1) 的定义域。
例四：若 f ( x) 的定义域为 3 Байду номын сангаас 5 ，求 ( x) f ( x) f (2 x 5) 的定义域。
巧妙求解五类抽象函数定义域
巧妙求解五类抽象函数定义域发布时间：2021-04-26T12:57:04.450Z 来源：《比较教育研究》2021年4月作者：龚青青[导读] 抽象函数定义域问题是中学数学的一个难点，尤其是对于高一新生本就刚接触函数，对没有给出具体解析式的抽象函数更加难以理解。
本篇文章给出一些求解抽象函数定义域的技巧，可以准确把握抽象函数定义域问题。
龚青青山西省朔州市应县第六中学山西朔州 037600【摘要】抽象函数定义域问题是中学数学的一个难点，尤其是对于高一新生本就刚接触函数，对没有给出具体解析式的抽象函数更加难以理解。
本篇文章给出一些求解抽象函数定义域的技巧，可以准确把握抽象函数定义域问题。
【关键词】抽象函数定义域取值范围【Abstract】The definition domain of abstract function is a difficult problem in middle school mathematics, especially for freshmen of high school who just touched function, it is more difficult to understand the abstract function without specific analytical formula. In this paper, some techniques of solving the domain of abstract function are given, which can accurately grasp the domain of abstract function. 【Keyword】abstract function definition field value range 中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1003-7667（2021）04-148-02求解抽象函数的定义域是高中学生接触到函数以后遇到的比较困难的问题。
抽象函数定义域的类型及求法
抽象函数定义域的类型及求法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法．一、已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 二、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域． 解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤．令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤．故()f x 的定义域为[]15，．三、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．例３ 若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨-+⎩，，≤≤≤≤解得40x -≤≤． 所以函数()x ϕ的定义域为[]40-，．。
抽象函数定义域的四种类型
抽象函数定义域的四种类型抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手。
下面结合具体实例介绍一下抽象函数定义域问题的四种类型及求法。
一、已知的定义域，求’I I的定义域，其解法是：若的定义域为段二匕丄？，则"」I中从中解得•的取值范围即为■-1的定义域。
例1.设函数"■的定义域为，则（1）函数的定义域为_____________ 。
（2）函数八的定义域为_________________ 。
解：（1）由已知有L -■■-■，解得故的定义域为一：’「（2）由已知，得2 2 '--■■，解得1 ' ■- ■'故'I 亠的定义域为二、已知I ■ ■■的定义域，求的定义域。
其解法是：若_|- ■- 1的定义域为V八-\ ,则由--匚、确定:的范围即为的定义域。
例2.已知函数' -的定义域为—I，则一：' 1的定义域为________ 。
解：由H S，得:■ I < . 'I所以二…：二1，故填-■:三、已知. 山勺定义域，求’'烏的定义域。
其解法是：可先由- 1定义域求得的定义域，再由：…的定义域求得「〔叭》的定义域。
例3.函数''■ + '定义域是一二 :则的定义域是（）A. ■B. ' - 1C. ' ：；-D. '「解：先求•二的定义域Tg + D的定义域是[-乙3]..-2 < x< 3：.1<X+1 <4 , 即卩：的定义域是一乙1再求一…：：丨的定义域v-1 < 2x - 1 <40<x<-2/(2x - 1)的定义域是W" 21,故应选A四、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是: 先求出各个函数的定义域，再求交集。
抽象函数定义域的求法例题
抽象函数定义域的求法例题抽象函数的定义域1.已知f(x)的定义域，求复合函数f[g(x)]的定义域为构成复合函数，内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域。
因此，可以求出f[g(x)]中a<g(x)<b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域。
2.已知复合函数f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域若f[g(x)]的定义域为(a,b)，则由a<x<b确定g(x)的范围即为f(x)的定义域。
3.已知复合函数f[g(x)]的定义域，求f[h(x)]的定义域先由f[g(x)]的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求得f[h(x)]的定义域。
4.已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例1：已知函数f(x)的定义域为[-15,∞)，求f(3x-5)的定义域。
由f(x)的定义域为[-15,∞)，得到-1≤3x-5≤5，解得-4/3≤x≤10/3.因此，函数f(3x-5)的定义域为[-4/3,10/3]。
例2：函数f(x)的定义域是[0,2]，则g(x)=1/f(2-x)的定义域是（）。
先求f(2-x)的定义域为[0,2]，再求1/f(2-x)的定义域为(0,1]。
因此，选项B是正确答案。
例3：若f(x)的定义域为[-3,5]，求ϕ(x)=f(-x)+f(2x+5)的定义域。
由f(x)的定义域为[-3,5]，可得到-3≤-x≤5和-3≤2x+5≤5.解得-4≤x≤3/2.因此，函数ϕ(x)的定义域为[-4,3/2]。
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抽象函数定义域 的类型及求法
抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难
度，特别是求其定义域时， 许多同学解答起来总感棘手． 下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法．
一、已知 f ( x) 的定义域，求 f g( x) 的定义域
其解法是：若
f ( x) 的定义域为 a ≤ x ≤ b ，则在 f g( x) 中， a ≤
g ( x) ≤ b ，从中
解得 x 的取值范围即为
f g( x) 的定义域．
例 1
已知函数 f (x) 的定义域为
15， ，求 f (3 x 5) 的定义域．
分析：该函数是由 u 3x 5 和 f (u) 构成的复合函数，其中
x 是自变量， u 是中
间变量，由于 f ( x) 与 f (u) 是 同一个函数，因此这里是 已知 1≤ u ≤ 5 ，即
1≤ 3x
5≤ 5，求 x 的取值范围．
解： f ( x) 的定义域为
15， ， 1≤ 3x 5 ≤ 5 ，
4
≤ x ≤
10
．
3 3
故函数 f (3 x 5) 的定义域为
4 10
3
， ．
3
二、已知 f g( x) 的定义域，求 f (x) 的定义域
其解法是：若
f g ( x) 的定义域为 m ≤ x ≤ n ，则由 m ≤ x ≤ n 确定的 g (x) 的范
围即为 f ( x) 的定义域．
例 2 已知函数
f (x 2
2x 2) 的定义域为 0，3 ，求函数 f ( x) 的定义域．
分析： 令 u x 2 2x 2 ，则 f ( x 2
2x 2) f (u) ，
由于 f (u) 与 f ( x) 是同一函数，因此 u 的取值范围即为 f ( x) 的定义域．
解：由 0 ≤ x ≤ 3 ，得 1≤ x 2 2x 2 ≤ 5 ．
令 u x 2
2x 2 ，则 f ( x 2
2x 2) f (u) ， 1≤ u ≤ 5 ．
故 f ( x) 的定义域为 15， ．
三、运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各
个函数的定义域，然后再求交集．
例３ 若 f (x) 的定义域为
3，5 ，求 ( x) f (
x) f (2 x 5) 的定义域．
3 ≤ x ≤ ，
解：由 f ( x) 的定义域为
3，5 ，则
解得 4 ≤ x ≤ 0 ．
(x) 必有
≤
3 2x 5 ≤ ，
5 所以函数 (x) 的定义域为
4，0 ．。