2015天津南开二模优质打印版 天津市南开区2015届高三第二次高考模拟考试 数学文 Word版含答案

南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）数 学 试 卷（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第 Ⅰ 卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分． 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么 ·球的体积公式V 球=34πR 3， P (A ∪B )=P (A )+P (B )． 其中R 表示球的半径．·棱柱的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设i 是虚数单位，则复数ii65-=（ ）． （A ）6–5i （B ）6+5i （C ）–6+5i （D ）–6–5i （2）已知命题p ：x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≥0，则⌝p 是（ ）．（A ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （B ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)≤0 （C ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0 （D ）x 1，x 2∈R ，(f (x 2)–f (x 1))(x 2–x 1)＜0（3）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）．（A ）10 （B ）11 （C ）12（D ）13（4）下列函数是奇函数的是（ ）．（A ）f (x )=–|x | （B ）f (x )=lg (1+x )–lg (1–x )（C ）f (x )=2x +2–x （D ）f (x )=x 3–1（5）如图所示的程序框图表示求算式“2×4×8×16×32×64”的值，则判断框内可以填入（ ）．（A ）k ＜132? （B ）k ＜70? （C ）k ＜64? （D ）k ＜63?（6）已知双曲线C ：22x a –22y b=1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）．（A ）220x –25y =1 （B ）25x –220y =1（C ）280x –220y =1 （D ）220x –280y =1（7）已知函数f (x )=sin (ωx +4π)（x ∈R ，ω＞0）的最小正周期为π，将y=f (x )的图象向左平移|ϕ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（ ）． （A ）2π （B ）83π（C ）4π （D ）8π（8）在△ABC 中，若|AB +AC |=|AB –AC |，AB=2，AC=1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE •AF =（ ）．（A ）98 （B ）910 （C ）925 （D ）926南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）答 题 纸（文史类）题 号 二三总分(15)(16) (17) (18) (19) (20) 得 分第 Ⅱ 卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2．本卷共12小题，共110分． 得 分 评卷人二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上。

（9）在区间[–2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为65，则m= ． （10）若集合A={x |2x+1＞0}，B={x |(x –1)2≤4}，则A ∩B= ． （11）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 m 3．（12）已知圆x 2+y 2+2x –2y +a=0截直线x+y +2=0所得弦的长度为4，则实数a 的值是 ．（13）如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上的一点，过C 的直线 交直线AB 于E ，交过A 点的切线于D ，BC ∥OD ．若AD=AB=2， 则EB= ．（14）已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞+∈∈-)(log ]0[)2cos(2015，，，，，ππππx x x x ，若有三个不同的实数a ，b ，c ，使得f (a )=f (b )=f (c )，则a+b+c 的取值范围为 ．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 得 分 评卷人（15）（本小题满分13分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c ． （Ⅰ）用卡片上的数字列出所有可能的结果；（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c ”的概率； （Ⅲ）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．31363223侧视图俯视图正视图得分评卷人（16）（本小题满分13分）已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+23sin2x．（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2a cos C+c=2b，求f(B)的取值范围．得分评卷人（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为的PC中点，AD=CD=1，DB=22．（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；（Ⅱ）证明：AC⊥平面PBD；（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成角的正切值．得 分 评卷人（18）（本小题满分13分）已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0），其中e=21，焦距为2，过点M (4，0)的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，点B 在AM 之间．又点A ，B 的中点横坐标为74，且AM =λMB ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）求实数λ的值．得 分 评卷人（19）（本小题满分14分）在等比数列{a n }中，已知a 1=2，且a 2，a 1+a 3，a 4成等差数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式a n ；（Ⅱ）设数列{a n 2–a n }的前n 项和为S n ，记b n =nnS 2，求证：数列{b n }的前n 项和T n ＜23．得 分 评卷人（20）（本小题满分14分）设函数f (x )=ln x –21ax 2–bx ． （Ⅰ）当a=b=21时，求函数f (x )的单调区间； （Ⅱ）令F (x )=f (x )+21ax 2+bx+xa（0＜x ≤3），其图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k≤21恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当a=0，b=–1时，方程f (x )=mx 在区间[1，e 2]内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．南开区2014～2015学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）数学试卷（文史类）参考答案一、选择题：题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答 案 DCCBBADB二、填空题：（9）3； （10）(–21，3]； （11）18+9 ；（12）–4； （13）32； （14）(2π，2016π) 三、解答题：（其他正确解法请比照给分）（15）解：（Ⅰ）由题意，(a ，b ，c )所有的可能为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)， (1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(1，1，2)，(2，1，3)， (2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)， (3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)， (3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种． …………6分 （Ⅱ）设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c ”为事件A ，则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，所以P (A )=273=91． …………9分 因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c ”的概率为91． （Ⅲ）设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种． 所以P (B )=1–P (B )=1–273=98． 因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为98．…………13分（16）解：（Ⅰ）f (x )=1+sin2x +3(1–cos2x )=sin2x –3cos2x +1+3=2sin (2x –3π)+1+3 …………5分 ∴f (x )的最小正周期T=22π=π． …………6分（Ⅱ）由2a cos C+c=2b 可得2a abc b a 2222-++c=2b ，即b 2+c 2–a 2=bc ， …………8分∴cos A=bca b c 2222-+=21，∴A=3π，B+C=32π， …………10分∴0＜B ＜32π，∴–3π＜2B –3π＜π， …………11分因为f (B )=2sin (2B –3π) +1+3，所以–23＜sin (2B –3π)≤1，f (B )∈(1，3+3]． …………13分（17）解：（Ⅰ）设AC ∩BD=H ，连结EH ，在△ADC 中，因为AD=CD ，且DB 平分∠ADC ，所以H 为AC 的中点，又由题设，E 为PC 的中点，故HE ∥PA ， 又HE ⊂平面BDE ， PA ⊄平面BDE ，所以PA ∥平面BDE ． …………4分 （Ⅱ）因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC ，由（Ⅰ）知，BD ⊥AC ，PD ∩BD=D ，故AC ⊥平面PBD ． …………4分 （Ⅲ）由AC ⊥平面PBD 可知，BH 为BC 在平面PBD 内的射影，所以∠CBH 为直线与平面PBD 所成的角．由AD ⊥CD ，AD=CD=1，DB= 22，可得DH=CH=22，BH=223，在Rt △BHC 中，tan ∠CBH=BH CH =31， 所以直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为31． …………13分（18）解：（Ⅰ）由条件可知，c=1，a=2，故b2=a 2–c 2=3，椭圆的标准方程是13422=+y x ． …………4分 （Ⅱ）由AM=λMB ，可知A ，B ，M 三点共线，设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．若直线AB ⊥x 轴，则x 1=x 2=4，不合题意． …………5分 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为y=k (x –4)．由⎩⎨⎧=+-=1243)4(22y x x k y 消去y 得，(3+4k 2)x 2–32k 2x+64k 2–12=0．① …………7分 由①的判别式△=322k 4–4(4k 2+3)(64k 2–12)=144(1–4k 2)＞0，解得k 2＜41， x 1+x 2=343222+k k ，x 1x 2=34126422+-k k ． …………9分由221x x +=341622+k k =74，可得k 2=81，即有k=42． …………10分 将k 2=81代入方程①，得7x 2–8x –8=0， 则x 1=7264-，x 2=7264+． …………11分 又因为AM =(4–x 1，–y 1)，MB =(x 2–4，y 2)，AM =λMB ，所以λ=4421--x x =7249--． …………13分 （19）解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q ，由已知得：2(a 1+a 3)=a 2+a 4，即2(a 1+a 1q 2)=a 1q+a 1q 3，解得q=2，又∵a 1=2，∴a n =a 1q n –1=2n ； …………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：S n =(a 12+a 22+a 32+…+a n 2)–(a 1+a 2+a 32+…+a n )=(4+42+43+…+4n )–(2+22+23+…+2n ) =41)41(4--n –21)21(2--n =32(2n –1)(2n+1–1) …………9分 ∴b n =n n S 2=23(121-n –1211-+n ) …………11分 ∴T n =23(1211-–1212-+1212-–1213-+1213-–1214-+…+1211--n –121-n +121-n –1211-+n ) =23(1–1211-+n )＜23． …………14分（20）解：（Ⅰ）依题意，知f (x )的定义域为(0，+∞)． …………1分当a=b=21时，f (x )=ln x –41ax 2–21x ， f '(x )=x 1–21x –21=xx x 2)1)(2(-+-， …………3分 令f '(x )=0，解得x=1或x=–2（舍去），当0＜x ＜1时，f '(x )＞0；当x ＞1时，f '(x )＜0．所以f (x )的单调增区间为(0，1)，减区间为(1，+∞)． …………5分 （Ⅱ）F (x )=ln x +xa （0＜x ≤3）， 则有k=F '(x 0)=200x a x -≤21在(0，3]上恒成立． …………7分 所以a ≥(–21x 02+x 0)max ． …………8分 当x 0=1时，–21x 02+x 0取得最大值21． 所以a ≥21． …………9分 （Ⅲ）当a=0，b=–1时，f (x )=ln x+x ．由f (x )=mx 得ln x+x=mx ．又x ＞0，所以m=1+xx ln ， 要使方程f (x )=mx 在区间[1，e 2]上有唯一实数解．只需m=1+xx ln 有唯一实数解． 令g (x )=1+x x ln （x ＞0），∴g '(x )=2ln 1x x -， 由g '(x )＞0得0＜x ＜e ；g '(x )＜0，得x ＞e ．∴g (x )在区间[1，e ]上是增函数，在区间[e ，e 2]上是减函数．g (1)=1，g (e 2)=1+22ln e e ，g (e )=1+e 1， ∴m=1+e 1或1≤m ＜1+22e ． …………14分。