Carlson不等式的一个推广及应用

Carlson 不等式的一个推广及应用隆建军(攀枝花市大河中学 四川 攀枝花 617061)摘要：给出Carlson 不等式的一种指数推广形式，并运用所得结果建立了两个具有广泛运用价值的不等式.关键词：Carlson 不等式；Jensen 不等式；凸函数 中图分类号：O178.1 1 引言众所周知，Carlson 不等式与许多经典代数不等式和著名几何不等式有着很深的渊源(见文[1])，所以近年来，有许多的专家、学者对其进行研究，得到了许多优秀的结果.定理1.1 设0,1,2,,;1,2,,.,ij a i m j n m n N ≥=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈，则11111111mm nn mmij ij j j i i a a n n ====⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∏∏此不等式称为Carlson 不等式.1997年，文开庭在文[2]中给出了Carlson 不等式的如下推广形式：定理1.2 设0,,0,1,2,,;1,2,,.,,ij i j a i m j n m n N λβ≥>=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈且11mi i λ==∑，则1111imn n m j ij j ij j j i i a a λββ====⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑∏1999年，熊静在文献[3]中利用正实矩阵的方法给出了Carlson 不等式的推广，得到：定理 1.3 设,,,1,2,,,1,2,,;,ij i j a R i m j n m n N αβ+∈==∈ ，,r s R ∈且10,[0,1],1mi i sr r α=≠∈=∑，则1111s r srmnn mrss i j ij j i ij i j j i a a αββα==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥≥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑ 其中，当0s =时，定义11111lim i mmmsss s i ij i ij ij s i i i a a a λαα→===⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∏2007年，文开庭在文[4]中利用加权平均不等式研究了Carlson 不等式新的加权指数推广及积分推广,得到：定理1.4 设,,,2,1,,,2,1,0,,0m j n i q p a j j ij ==>≥01111≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==m j j m j j q p ，则∏∑∏∑====≥⎪⎭⎫⎝⎛mj pij n i i mj p n i ij i j ja q a q 1111等号成立当且仅当存在{}m j ,,2,10 ∈使得n i a ij ,,2,1,00 ==或11=∑=mj j p 且{}n i i a a a a a a i m i i i i i ,,2,1,,2111211212121 ∈===定理 1.5 设()()()0,,,2,1≠=x q m j x f j 是区间],[b a 上的函数，()()m j x f j ,,2,1 =、)(x q 在区间],[b a 上可积，),,2,1(0m j p j =>，()1,11<≤⎰∑=bamj jdx x q p，则有⎰∏∏⎰==≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛b a p m j j mj p b a j dx x f x q dx x f x q jj 11)()()()(2009年，付雪豪，孙胜利在文献[5]中给出了在两个限制条件下的Holder 不等式的推广，得到：定理1.6 设),,2,1(0,0n j a p j j =><，则有∑===⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑nj jnp n j j nj j j p n p p p a p a a a 1211121 定理1.7 设()n j m i a p p ij j nj j,,2,1;,,2,10,0,111==>><∑=则有 nn p mi p in p mi p i p mi p i mi in i i a a a m a a a 111121111212211⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑∑====定理1.8 设()n j m i a p p ij j nj j,,2,1;,,2,10,0,111 ==><-≤∑=，则有 nn p m i p in p m i p i p m i p i mi in i i a a a a a a 111121111212211⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑∑====L L定理1.9 设()n j m i a p p ij j nj j,,2,1;,,2,10,0,0111 ==><<<-∑=，则有nn p mi p in p mi p i p mi p i m i in i i a a a m a a a 111121111212211⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑∑==== 并在文章最后提出定理中系数m 是否是最佳常数这一疑问，值得我们去思考。

本文从指数方向给出Carlson 不等式的进一步推广，获得了较好的结果. 2 两个引理引理2.1 设0,0,1,2,i i x i n λ>>=⋅⋅⋅则1212112i nni n i i n x x x x λλλλλλλλ++⋅⋅⋅+=⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≤ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+⎝⎭⎝⎭∏ （2.1）等号当且仅当1212n nx x x λλλ==⋅⋅⋅=时成立.证明：作辅助函数()()ln ,0,f x x x =∈+∞；对x 求二阶导数，得21''()f x x -=，所以当()0,x ∈+∞时，''()0f x <，故函数()ln f x x =是()0,+∞上的严格凸函数[6],根据题设条件，有0,0,1,2,i i x i n λ>>=⋅⋅⋅，且1121nii nλλλλ==++⋅⋅⋅+∑；运用Jensen 不等式[7]得：111212ln ln n n i i i i i i n i n i x x λλλλλλλλλλ==⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎝⎭⎝⎭∑∑ 即1212112()ln ln i n ni n i n i x x x x λλλλλλλλ=⎡⎤⎛⎫++⋅⋅⋅+⎢⎥++⋅⋅⋅+≥ ⎪++⋅⋅⋅+⎢⎥⎝⎭⎣⎦∏，故1212112i nni n i i n x x x x λλλλλλλλ++⋅⋅⋅+=⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≤ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+⎝⎭⎝⎭∏由Jensen 不等式取等号的条件知当且仅当1212nnx x x λλλ==⋅⋅⋅=时，不等式（2.1）中等号成立.引理2.2 设0,1,2,i x i n >=⋅⋅⋅则：当01p <≤时，有111pnnp p i i i i x n x -==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ （2.2）不等式（4）中等号当且仅当12n x x x ==⋅⋅⋅=时成立.当1,1p n >>时，有11pnn pi i i i x x ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ （2.3）证明：当1p =时（2.2）式显然成立，下证当01p <<时（2.2）式成立，作辅助函数()(),0,,01p f x x x p =∈+∞<<；对对x 求二阶导数，得2''()(1)p f x p p x -=-，因为01p <<所以当()0,x ∈+∞时''()0f x <，所以函数()(01)p f x x p =<<是()0,+∞上的严格凸函数；运用Jensen 不等式，得1111pn n p i i i i x x n n ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑即111pnnp p i i i i x n x -==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑.由Jensen 不等式取等号的条件知，当且仅当12n x x x ==⋅⋅⋅=时不等式（2.2）中等号成立.当1p >时，有10p ->，由题设条件0,1,2,i x i n >=⋅⋅⋅，可得()11121111ppnn n np p p i i i n i i i i i i x x x x x x x x --====⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-++⋅⋅⋅+-< ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑. 故（2.3）得证.3 主要定理及其证明定理3.1 设0,0,1,2,,;1,2,,.,ij j a p i n j m m n N ≥>=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈，则 Ⅰ.当111mj j p =≤∑时，有 1111111jj m mnn p p ij ij i i j j a a n n ====⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∏∏ （3.1）Ⅱ.当111,1m j j n p =>>∑时，有11111111mjjj j mmnn p p p ij iji i j j a nan =-====∑⎛⎫> ⎪⎝⎭∑∑∏∏ （3.2）证明：运用引理1得1111111111jj j jj p n p p ij ij m m np i p j ij ij i j j j a a p n a a n p --====⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥= ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∏∏ 121111111111mj j p p p m n p p ij ij j i j m j j a a p n p ++⋅⋅⋅+-===⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑故 12111111111111111mj j j j p p p m n p p ij ij m m n p j i p j ij ij m i j j j j a a p n a a n p ++⋅⋅⋅+-======⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎡⎤ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎢⎥≤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑∑∏∏∑ 于是有1211111111111111111mj j j j p p p m n p p ij ij m m n n n p j i p j ij ij m i i i j j j j a a p n a a n p ++⋅⋅⋅+-========⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎡⎤ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎢⎥≤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∏∏∑ （3.3）（1）若111mj jp =≤∑.运用引理2中的不等式（2.2）得 1211111111111mj j p p p m n p p ij ij nj i j m i j j a a p n p ++⋅⋅⋅+-====⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑1212111111111111111mj j mp p p n m n p p ij ij i j i j p p p m j j a a p n np ++⋅⋅⋅+--++⋅⋅⋅+====⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑ （3.4）又因 111111111111j jj j n mn m nn p p p p ij ij ij ij i j i j i i j j a a a a p n p n --======⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑111111111j jmn n mp p ij ij j i i j jjn a a n p n n p -====⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ （3.5） 把（2.4）代入（3.3）式并整理得1211111111111mj j p p p m n p p ij ij nj i j m i j j a a p n n p ++⋅⋅⋅+-====⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑ （3.6）把（3.6）式代入（3.3）式并整理的：1111111jj m mnn p p ij ij i i j j a a n n ====⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∏∏故（3.1）式得证. （2）若111,1mj jn p =>>∑，运用引理2中的不等式（2.3）及恒等式（3.5）得 121211111111111111mj j mp p p m n p p ij ij nj i j p p p m i j j a a p n n p ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+====⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑ （3.7）把（3.7）式代入（3.3）式并整理得：11111111mjjj j mm nnp p p ij ij i i j j a na n =-====∑⎛⎫> ⎪⎝⎭∑∑∏∏ 故（3.1）式得证，定理证明至此全部完成.注:3.1 在定理 1.7和定理 3.1中的(3.1)式中都有0,0,1,2,,;1,i j ja p i n j m m n N ≥>=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈，因为110mj jp =≠∑，也就是说两个结论不存在等价关系，也即是这两个结果都是全新的。