选修4-5基本不等式
选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)
a b c 3abc,
3 3 3
当且仅当a b c时，等号成立．
问题探讨
abc 3 怎么证明不等式 abc (a, b, c R )？ 3
证： a b c
3 3
a3 b3 c3 3abc(a, b, c R )
3 3 3 3
( a) ( b) ( c) 3 abc ，
3
3
x
a
例3. 已知a, b, c R ,求证： abc 3 ab 3( abc ) 2( ab ). 3 2
1 1. 求函数 y x (1 5 x) (0 x ) 的最大值． 5 2 4 答案:当 x 时, ymax . 15 675
2
课堂练习：
a1 a2 , an R , 则 n
an
≥ n a1a2
an .
小 结
2.基本不等式的变形： ab 2 ①若a, b R , 则ab （ ）. 2
③若a1 , a2 , , an R , 则a1a2
abc 3 ②若a, b, c R , 则abc （ ）. 3a a a 1 2 n
an （ n
）.
n
作业: P10 11-15
12 1.求函数y = 3x + 2 x > 0 的最小值. x 12 3 3 12 3 3 12 3 解 :∵ y = 3x + 2 = x + x + 2 3 x× x× 2 = 9 x 2 2 x 2 2 x 3 12 ∴当且仅当 x = 2 , 即x = 2 时,y min = 9. 2 x
三个正数的算术-几何 平均不等式
2017年4月22日星期六
高中数学(人教版选修4-5)配套课件第一讲 1.1.2 基本不等式
不等式和绝对值不等式 1．1 不 等 式
1.1.2 基本不等式
栏 目 链 接
1．会用基本不等式证明一些简单问题．
2．能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数
的最值，从而学会解决简单的应用问题．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
1．定理 1. 如果 a， b∈R， 那么 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时取“＝”)． 思考 1
2 2
栏 目 链 接
3 2 也即 x＝ ，y＝ 时， 2 2 x 答案： 1＋y2取得最大值 3 2 4 3 2 . 4
题型二
利用基本不等式证明不等式
2 2
1 例2 已知 a，b∈(0，＋∞)且 a＋b＝1，求证：(1)a ＋b ≥ ； 2 1 1 (2) 2＋ 2≥8.
a
b
≥ ab， 2 证明：由 a＋b＝1， a，b ，＋
栏 目 链 接
∴x 1＋y2＝ x21＋y2＝
变 式 训 练
2 2 1 ＋ y y 1 x2＋ x2＋ ＋ 2 2 2 3 2 2 ＝ 2 ＝ ， 2 2 4
1＋y2 3 2 当且仅当 x ＝ ，即 x＝ ，y＝ 时， 2 2 2
2
3 2 x 1＋y 取得最大值 . 4
2
栏 目 链 接
方法二 则x
6x 利用定理 1 有：x2＋32≥________，其中等号成立的
栏 目 链 接
3 条件是：x＝________.
2．定理 2. 如果 a ， b 是正数，那么 “＝”)． 思考 2 如果 x，y 是正数，那么
a＋b
2
≥ ab ( 当且仅当 a ＝ b 时取
x2＋ y2
2
≥ ________ xy(当且
高二数学人教b版选修4-5课件：第一章_1.2_基本不等式
7．函数 y＝x4x＋2 9(x≠0)有最大值________，此时 x＝________.
解析：∵x≠0，∴x2>0.
∴y＝x4x＋2 9＝x2＋1 x92≤2
1x2·x92＝16，
当且仅当 x2＝x92，即 x4＝9，x＝± 3时取等号，
即当 x＝± 3时，ymax＝16.
答案：16 ± 3
围是
()
A．(－∞，lg 6]
B．(－∞，3lg 2]
C．[lg 6，＋∞)
D．[3lg 2，＋∞)
解析：∵lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)， 而 xyz≤x＋3y＋z3，∴lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2 (当且仅当 x＝y＝z＝2 时，等号成立)． 答案：B
4．设 a，b，c∈(0，＋∞)且 a＋b＋c＝1，令 x＝1a－11b－11c－1，
则 x 的取值范围为
()
A．0，18 C．[1,8)
1－a a·1－b b·1－c c＝b＋c·ca＋bca·a＋b
≥2
bc·2 ca·2 abc
ab＝8，
提示：a，b，c 的范围为 a≥0，b≥0，c≥0.
利用基本不等式证明不等式
[例 1] 已知 a，b，c 为正实数，且 abc＝1 求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8. [思路点拨] 本题考查基本不等式在证明不等式中的应 用，解答本题需要分析不等式的特点，先对 a＋b，b＋c，c＋ a 分别使用基本不等式，再把它们相乘． [精解详析] ∵a，b，c 为正实数， ∴a＋b≥2 ab＞0，
当且仅当 a＝b＝c 时取等号，∴x≥8.
答案：D
二、填空题
5．已知 x，y∈R＋，且满足x3＋4y＝1，则 xy 的最大值为_______． 解析：因为 x＞0，y＞0，
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
首 页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即
(压轴题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(含答案解析)(3)
一、选择题1．若0,0,0a b m n >>>>，则a b ，b a ，b m a m ++，a n b n++按由小到大的顺序排列为（ ） A ．b b m a n a a a m b n b ++<<<++ B ．b a n b m a a b n a m b ++<<<++ C ．b b m a a n a a m b b n++<<<++ D ．b a a n b m a b b n a m++<<<++ 2．已知函数22()x x af x x-+=，若[2,)x ∈+∞，()0f x >，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．[0,)+∞ D ．(1,)+∞3．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+4．已知x ，y ∈R ，且0x y >>，则（ ） A ．11x y> B ．11()()22xy<C ．1122x y <D ．sin sin x y >5．若a 、b 、c ，d ∈R ，则下面四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，则ac 2>bc 2 D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd 6．下列命题中错误．．的是（ ） A ．若,a b b c >>，则a c > B ．若0a b >>，则ln ln b a < C ．若a b >，则22a b > D ．若a b >， 则22ac bc > 7．若a ＞b ，c 为实数，下列不等式成立是（）A ．ac ＞bcB ．ac ＜bcC ． 22ac bc >D ． 22ac bc8．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（ ） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -< C ．110x y->D ．ln x +ln y >09．不等式536x x -++≥的解集是 ( ) A ．[]5,7- B ．(),-∞+∞C ．()(),57,-∞-+∞ D ．[]4,6-10．已知a ，b R ∈，且a b >，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．22a b >B ．lg()0a b ->C ．11()()22ab<D ．1a b> 11．若，则下列结论不正确的是A ．B ．C ．D ．12．实数,a b 满足0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．1a b< B ．1133a b<C a b a b <-．2a ab <二、填空题13．已知实数a ，b ，c 满足a ＞c ﹣2且1333abc++<，则333a bc-的取值范围是_______．14．已知不等式116a x y x y+≥+对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为_______. 15．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．16．已知,,a b c R +∈，设a b c S b c a c a b=+++++，则S 与1的大小关系是__________．(用不等号连接) 17．已知ln ln x y <，则21x y y x-++的最小值为___________________． 18．设5x >，45P x x --23Q x x --，则P 与Q 的大小关系是P ______Q .19．设()f x x a x =-+，且|()|2f x ≤在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围为_________.20．定义运算x ·y ,,1,,x x y m y x y ≤⎧=-⎨>⎩若·m=|m-1|,则m 的取值范围是_____. 三、解答题21．已知函数()|21||23|f x x x =++-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式22()log (3)2f x a a -->恒成立，求实数a 的取值范围. 22．（1）解不等式：1|1||2|2x x --->； （2）设集合P 表示不等式121x x a -+->对任意x ∈R 恒成立的a 的集合，求集合P ； （3）设关于x 的不等式22||200ax x a +--<的解集为A ，试探究是否存在a ∈N ，使得不等式.220x x +-<与|212x x -<+的解都属于A ，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a 的所有值.23．（1）已知a ＜b ＜c ，且a +b +c =0，证明：a a a cb c--＜． （224．已知数列{}n a 满足：12a =，1122n n n a a ++=+，*n N ∈.（1）求证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列并求n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）求证：2132431111112n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<----. 25．比较log (1) n n +与()*(1)log (2),2n n n N n ++∈≥大小，并证明.26．（1）若0a >，0b >，求证：11()4a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭； （2【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据不等式的性质，利用怍差法求解. 【详解】()()()-++---==+++b a m b b m ba bm ab am a a m a a m a a m ， 因为0,0a b m >>>，所以()()0-<+b a m a a m ，所以b b m a a m+<+， ()()()()()()()()22b a b a b a n m b m a n b bn bm mn a am an nm a m b n a m b n a m b n +-+-++++++-----==++++++，因为0,0,0a b m n >>>>，所以()()()()()()0+-+-+<++b a b a b a n m a m b n ，所以++<++b m a na mb n， ()()()-++---==+++b a na n a ab bn ab an b n b b b n b b n ， 因为0,0>>>a b n ，所以()()0-<+b a n b b n ，所以a n ab n b+<+， 所以b b m a n a a a m b n b ++<<<++。
高中数学-选修4-5不等式的基本性质
性质6 若a > b>0 ，且 c >d>0，那么 ac > bd . 也就是说，两边都是正数的同向不等式相乘，所得 的不等式和原不等式同向。
即 乘法法则：同向可相乘
性质7 如果 a > b>0, 那么an bn.(n N, n 1)
也就是说，当不等式的两边都是正数时，不等式两 边同时乘方所得的不等式与原不等式同向
第一讲 不等式和绝对值不等式 1、不等式的基本性质
一、实数比较大小的理论依据
ab0 a b ab0 a b ab0 a b
要比较两个实数的大小，只要考察他们的差与0 的大小就可以了.
二、不等式的基本性质
性质1： 如果 a > b ，那么 b < a ；
如果 b < a ，那么 a > b.
题型3：利用不等式的性质求取值范围
例4：已知12 a 60,15 b 36,求a b 及 a的取值范围。
b
例5：已知f (x) ax2 c,且 4 f (1) 1, 1 f (2) 5,求f (3)的取值范围。
a>b b<a
性质2：如果 a > b ，且 b > c ，那么 a > c .
a > b ，b > c
等价命题是： c<b, b<a
a>c c<a
性质3：如果 a > b，那么 a + c > b + c。
(1) 等价命题：如果 a < b，那么 a + c < b + c
(2) 移项法则：如果 a + b > c，那么 a > c－b
选修4-5基本不等式
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
12
Q 1 (lg a lg b), R lg( a b) ，则（ B ）
2
2
A、R P Q B、P Q R C、R P Q D、P Q R
题型二：解决最大（小）值问题
结论：利用 a b 2 ab (a 0,b 0) 求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 积定，和最小 两个正数和为定值，积有最大值。 和定，积最大
1.若a1, a2 , a3,an R ,
则a1 a2 a3 an nn a1 a2 an
当且仅当a1 a2 a3 an时取 号
4.若பைடு நூலகம், b R , 则
1
2
1
ab a b 2
ab
a2 b2 2
几何平均数 算术平均数 平方平均数 调和平均数
（当且仅当a=b时，取“=”号）
ab叫做a,b的 几何平均数
这样，基本不等式可以表述为：
算术平均数
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
注意：
1、重要不等式与基本不等式有什么区别与联系？ 基本不等式可以看作是重要不等式的变形，但它们
的前提条件不同。重要不等式中a,b属于全体实数，
而基本不等式中a,b均为大于0的实数。 2、重要不等式与基本不等式的几个推广公式：
B、6 3 C、4 6 D、18 3
题型三：构造积为定值，利用基本不等式求最值
例4、 求函数 y 1 x(x 3)的最小值
x3
例5、求函数 y x2 5 的最小值
x2 4
例6、已知正数x、y满足2x+y=1，求
北师大版高中数学选修4-5《不等式选讲》全套教案
课 题： 第01课时 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。
怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
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例1：设a>0，b>0，给出下列不等式
1 ab Q (lg a lg b), R lg( ) ，则（ B ） 2 2 A、R P Q B、P Q 的几个推广公式：
1.若a1 , a2 , a3 , an R , 则a1 a2 a3 an n n a1 a2 an
当且仅当 a1 a2 a3 an时取 号
4.若a, b R , 则 2 1 1 a b
当且仅当a=b时，等号成立。
算术平均数
ab叫 做 a, b的 几何平均数
这样，基本不等式可以表述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
注意：
1、重要不等式与基本不等式有什么区别与联系？
基本不等式可以看作是重要不等式的变形，但它们
的前提条件不同。重要不等式中a,b属于全体实数，
而基本不等式中a,b均为大于0的实数。
题型三：构造积为定值，利用基本不等式求最值
1 x( x 3)的最小值 例4、 求函数 y x3
例5、求函数 y x 5 的最小值
2
x2 4
例6、已知正数x、y满足2x+y=1，求
1 1 的最小值 x y
3 例7、 求函数 y 1 2 x 的值域 x
题型四：利用基本不等式证明不等式
且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均x/2件货储存在
调和平均数
ab ab 2
a b 2
2
2
几何平均数 算术平均数
平方平均数
（当且仅当a=b时，取“=”号）
题型一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
1 1 1 (1) a 2 (2)( a )( b ) 4 a a b 1 1 1 2 (3)( a b)( ) 4 (4)a 2 2 2 a b a 2 其中成立的是 （1）（2）（3）(4)
题型二：解决最大（小）值问题
结论：利用 a b 2 ab (a 0, b 0) 求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 积定，和最小 两个正数和为定值，积有最大值。 和定，积最大
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取 “＝”。
例8、已知 x , y, z都为正数，且 xyz( x y z ) 1 求证 : ( x y )( y z ) 2
题型五：基本不等式的实际应用
例9:一个商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件
分若干次等量进货（设每次进货x件），每进一次货运费50元 仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费 最省，每次进货量x应是多少？
第一讲 不等式和绝对值不等式 2、基本不等式及其应用
一、重要不等式：
一般地，对于任意实数a,b，我们有
a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
文字语言：两个数的平方和不小于它们积的2倍
二、定理2（基本不等式）
如果a, b>0, 那么
ab ab 2
a b 如果a,b都是正数，我们就称 为a,b的 2
练习：
1 1、当x>0时， 的最小值为 2 ，此时x= 1 x x
2、已知 2 x 3 y 2( x 0, y 0)
则x y 的最大值是
1 6
。
。
3、若实数 x, y ，且 x y 5，则 3 x 3 y的最小 值是（ D ） A、10 B、 6 3 C、4 6 D、18 3