选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)
高二数学人教b版选修4-5课件：第一章_1.2_基本不等式
7．函数 y＝x4x＋2 9(x≠0)有最大值________，此时 x＝________.
解析：∵x≠0，∴x2>0.
∴y＝x4x＋2 9＝x2＋1 x92≤2
1x2·x92＝16，
当且仅当 x2＝x92，即 x4＝9，x＝± 3时取等号，
即当 x＝± 3时，ymax＝16.
答案：16 ± 3
围是
()
A．(－∞，lg 6]
B．(－∞，3lg 2]
C．[lg 6，＋∞)
D．[3lg 2，＋∞)
解析：∵lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)， 而 xyz≤x＋3y＋z3，∴lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2 (当且仅当 x＝y＝z＝2 时，等号成立)． 答案：B
4．设 a，b，c∈(0，＋∞)且 a＋b＋c＝1，令 x＝1a－11b－11c－1，
则 x 的取值范围为
()
A．0，18 C．[1,8)
1－a a·1－b b·1－c c＝b＋c·ca＋bca·a＋b
≥2
bc·2 ca·2 abc
ab＝8，
提示：a，b，c 的范围为 a≥0，b≥0，c≥0.
利用基本不等式证明不等式
[例 1] 已知 a，b，c 为正实数，且 abc＝1 求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8. [思路点拨] 本题考查基本不等式在证明不等式中的应 用，解答本题需要分析不等式的特点，先对 a＋b，b＋c，c＋ a 分别使用基本不等式，再把它们相乘． [精解详析] ∵a，b，c 为正实数， ∴a＋b≥2 ab＞0，
当且仅当 a＝b＝c 时取等号，∴x≥8.
答案：D
二、填空题
5．已知 x，y∈R＋，且满足x3＋4y＝1，则 xy 的最大值为_______． 解析：因为 x＞0，y＞0，
人教版高中数学选修4-5《三个正数的算术：几何平均不等式》
上述定理内容可叙述为:三个正数的算术平 均数不小于它们的几何平均数。
推论：定理 3 可变形为：
a＋ b＋ c 3 ① abc≤ ； 3
② a3＋b3＋c3≥ 3abc. 定理 3 的推广 对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于 a1＋a2＋…＋an n ≥ a1a2…an ，当且仅 它们的几何平均，即 n a1＝a2＝…＝an 当 ________________时，等号成立．
三个正数的算术 几何平均不等式
第一讲选修4—5 不等式选讲
3. 三个正数的算术—几何平均不等式
[学习目标]
1. 理解三个正数的算术 ——几何平均不等式，并会应用解决
函数的最值或值域问题.
2.能运用三个正数的算术——几何平均不等式证明不等式. 3. 能运用三个正数的算术 —— 几何平均不等式解决简单的实 际问题．
基本不等式结构分析
将基本不等式变形为
a, b是正数， a b ab ab，仅当a b时取“ ”
通过观察可发现基本不等式具有如下结构特点 相等 （ 1）左右两边的项数—— （ 2）左右两边的次数—— 相等
思考
a＋b 类比基本不等式： 2 ≥ ab(a＞0，b＞0)，请写出 a，b，c∈R＋ 时，三项的均值不等式.
2
3 2 2 2
1 1 1 3 1 又a2＋b2＋c2≥3 a2b2c2＞0， 3 1 1 1 1 3 2 2 2 2 ∴ a2＋b2＋c2 (a＋b＋c) ≥3 2 2 2· 9 a b c ＝ 27 ， abc
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
学以致用
1 1 1 9 ＋ ＋ (2)(a＋b＋c) ≥2. a＋b b＋c a＋c
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.3平均值不等式课件北师大版选修4_5
3．一般地，对 n 个正数 a1，a2，……，an，(n≥2)我们把 a1＋a2＋n …＋an，3 a1a2…an分别叫这 n 个正数的___算_术__平_均__值____
_与__几_何__平_均__值_______，且有__a_1_＋__a_2_＋n__…__＋__a_n __≥ _n_a_1_a_2…__a_n__， 此时当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时取得“＝”，语言表述： __n_个_正__数_的__算_术__平_均__值_不__小_于__它_们__的_几__何_平__均_值______________
证法二：∵a，b，c∈R＋， ∴1a＋1b＋1c＝(a＋b＋c)1a＋1b＋1c ＝1＋ba＋ac＋ab＋1＋bc＋ac＋bc＋1 ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立． ∴1a＋1b＋1c≥9.
方法二：由1x＋9y＝1， 得(x－1)(y－9)＝9(定值)， 可知 x＞1，y＞9，而 x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥ 2 x－1y－9＋10＝16. 所以当且仅当 x－1＝y－9＝3， 即 x＝4，y＝12 时，上式取等号， 故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
• 1．定理3：对任意的三个正数a，b，c，有 a_“3＋_b＝_3＋_”_c3_≥)_3．a_b_c_________ (当且仅a＝当b＝_c_________时取
2．定理 4：对任意的三个正数 a，b，c，有
___a_＋__3b_＋__c_≥__3_a_b_c___ (当且仅当 a＝b＝c)时取“＝”．
• [思路点拨] 对于x2(1－5x)，视x2与1－5x为两项， 其和不可能为定值，应把x2拆为两项x、x，故x、x、 (1－5x)这三项同时配系数才能使和为定值．
高中数学人教B版选修4-5教师用书：1.2 基本不等式 Word版含解析
1.2 基本不等式1.理解两个正数的基本不等式.2.了解三个正数和一般形式的基本不等式.3.会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用题.[基础·初探]教材整理 基本定理(重要不等式及基本不等式) 1.定理1设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 2.定理2如果a ，b 为正数，则a ＝b 时，等号成立.这个不等式我们称之为基本不等式或平均值不等式.同时，我们称a ＋b2为正数a ，b 的算术平均值，称ab 为正数a ，b 的几何平均值，该定理又可叙述为：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.3.定理3如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.4.定理4如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立.设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A.a <b <ab <a ＋b2 B.a <ab <a ＋b2<b C.a <ab <b <a ＋b2 D.ab <a <a ＋b2<b【解析】∵0<a <b ，∴a <a ＋b2<b ，A ，C 错误；ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，故选B. 【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]已知a ，b ，c 都是正数，求证：a b ＋b c ＋c a ≥a ＋b ＋c .【导学号：38000004】【精彩点拨】观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系.【自主解答】∵a>0，b>0，c>0，∴a2b＋b≥2a2b·b＝2a，同理：b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c.三式相加得：a2 b＋b2c＋c2a＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)，∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.1.首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形，或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形进行证明.2.当且仅当a＝b＝c时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到.[再练一题]1.设a＞0，b＞0，m＞0，n＞0.证明：(m2＋n4)(m4＋n2)≥4m3n3.【证明】因为m＞0，n＞0，则m2＋n4≥2mn2，m4＋n2≥2m2n，所以(m2＋n4)(m4＋n2)≥4m3n3，当且仅当m＝n＝1时，取等号.(1)已知x，y∈R＋，且x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值；(2)已知x>0，y>0，且5x＋7y＝20，求xy的最大值.【精彩点拨】根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件.【自主解答】(1)因为x＋2y＝1，所以1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y y ＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22y x ·x y ＝3＋22，当且仅当2y x ＝xy ，x ＋2y ＝1，即 x ＝2－1，y ＝1－22时，等号成立.所以当x ＝2－1，y ＝1－22时，1x ＋1y 取最小值3＋2 2. (2)xy ＝135(5x ·7y )≤135⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋7y 22＝135⎝ ⎛⎭⎪⎫2022＝207，当且仅当5x ＝7y ＝10，即x ＝2，y ＝107时，等号成立，此时xy 取最大值207.在求最值时，除了注意“一正、二定、三相等”之外，还要掌握配项、凑系数等变形技巧，有时为了便于应用公式，还用换元法，多用于分母中有根式的情况.[再练一题]2.若将本例(1)的条件改为“已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1”，试求x ＋y 的最小值.【解】∵x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16.当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时等号成立.又1x ＋9y ＝1，∴当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是1万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为年平均每件产品成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).(1)将该产品的年利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家的年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利润是多少万元？【精彩点拨】(1)可先通过m ＝0时，x ＝1求出常数k ，再根据条件列出y 关于m 的函数；(2)在(1)的函数关系式下，利用基本不等式求最值.【自主解答】(1)依题意得m ＝0时，x ＝1，代入x ＝3－k m ＋1，得k ＝2，即x ＝3－2m ＋1.年成本为8＋16x ＝8＋16⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1(万元)， 所以y ＝(1.5－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤8＋16⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝28－m －16m ＋1(m ≥0).(2)由(1)得y ＝29－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(m ＋1)＋16m ＋1≤29－2(m ＋1)·16m ＋1＝21.当且仅当m ＋1＝16m ＋1，即m ＝3时，厂家的年利润最大，为21万元.设出变量――→建立数学模型――→定义域利用均值不等式求最值――→“＝”成立的条件结论[再练一题]3.某工厂建一底面为矩形(如图1-2-1)，面积为162 m 2，且深为1 m 的无盖长方体的三级污水池，由于受地形限制，底面的长和宽都不能超过16 m ，如果池外围四壁建造单价为400 元/m 2，中间两条隔墙建造单价为248 元/m 2，池底建造单价为80 元/m 2，试设计污水池的长和宽，使总造价最低.图1-2-1【解】设污水池的宽为x m ，则长为162xm ，则总造价 f (x )＝400×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×162x ＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x＋12 960 ＝1 296⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ＋12 960.由限制条件，知⎩⎨⎧0＜x ≤16，0＜162x ≤16，得818≤x ≤16.设g (x )＝x ＋100x ⎝ ⎛⎭⎪⎫818≤x ≤16，因为g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤818，16上是增函数，所以当x ＝818时⎝ ⎛⎭⎪⎫此时162x ＝16，g (x )有最小值，即f (x )有最小值，f (x )min ＝1 296×⎝ ⎛⎭⎪⎫818＋80081＋12 960＝38 882(元).所以当长为16 m ，宽为818 m 时，总造价最低， 为38 882元.[探究共研型]探究1 在基本不等式a ＋b2≥ab 中，为什么要求a >0，b >0?【提示】对于不等式a ＋b2≥ab ，如果a ，b 中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，当a ，b 都为负数时，不等式不成立；当a ，b 中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义.探究2 你能给出基本不等式的几何解释吗？【提示】 如图，以a ＋b 为直径的圆中，DC ＝ab ，且DC ⊥AB .因为CD 为圆的半弦，OD 为圆的半径，长为a ＋b2，根据半弦长不大于半径，得不等式ab ≤a ＋b2.显然，上述不等式当且仅当点C 与圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立.因此，基本不等式的几何意义是：圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高.探究3 利用基本不等式，怎样求函数的最大值或最小值？【提示】利用算术平均数与几何平均数定理(即基本不等式)可以求函数的最大值、最小值.(1)已知x ，y ∈(0，＋∞)，如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .(2)已知x ，y ∈(0，＋∞)，如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.以上两条可简记作：和一定，相等时，积最大；积一定，相等时，和最小.条件满足：“一正、二定、三相等”.求下列函数的值域. (1)y ＝x 2＋12x ；(2)y ＝2x x 2＋1.【精彩点拨】把函数转化为y ＝ax ＋b x 或y ＝1ax ＋b x 的形式，再利用基本不等式求解.【自主解答】(1)y ＝x 2＋12x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，当x ＞0时，x ＋1x ≥2，∴y ≥1；当x ＜0时，－x ＞0，－x ＋1－x ≥2，x ＋1x ≤－2，∴y ≤－1，综上函数y ＝x 2＋12x 的值域为{y |y ≤－1或y ≥1}.(2)当x ＞0时，y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x. 因为x ＋1x ≥2，所以0＜1x ＋1x≤12，所以0＜y ≤1，当且仅当x ＝1时，等号成立； 当x ＜0时，x ＋1x ≤－2，所以0＞1x ＋1x≥－12，所以－1≤y ＜0，当且仅当x ＝－1时，等号成立； 当x ＝0时，y ＝0.综上，函数y ＝2xx 2＋1的值域为{y |－1≤y ≤1}.形如y ＝cx 2＋ex ＋fax ＋b 型的函数，一般可先通过配凑或变量替换等变形为y ＝t＋Pt ＋C (P ，C 为常数)型函数，再利用基本不等式求最值，但要注意变量t 的取值范围.[再练一题]4.求函数y ＝x 2＋8x －1(x ＞1)的最小值.【导学号：38000005】【解】因为x ＞1，所以x －1＞0.所以y ＝x 2＋8x －1＝(x －1)2＋2x ＋7x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2≥2(x －1)·9x －1＋2＝8，当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时，等号成立. 所以当x ＝4时，y min ＝8.[构建·体系]1.函数y ＝1x －3＋x (x >3)的最小值是( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【解析】 原式变形为y ＝1x －3＋x －3＋3.∵x >3，∴x －3>0，∴1x －3>0，∴y ≥2(x －3)·1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时等号成立.【答案】 A2.下列函数中最小值为4的是( ) A.y ＝x ＋4xB.y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π) C.y ＝3x ＋4×3-xD.y ＝lg x ＋4log x 10【解析】A 项，当x ＜0时，y ＝x ＋4x ＜0，故A 项错误；B 项，当0＜x ＜π时，sin x ＞0，∴y ＝sin x ＋4sin x ≥2sin x ·4sin x ＝4，当且仅当sin x ＝4sin x，即sin x ＝2时取等号，但sin x ≤1，B 项错误；C 项，由指数函数的性质可得3x ＞0，所以y ＝3x ＋4·3－x ≥24＝4，当且仅当3x ＝2，即x ＝log 32时取得最小值4，故C 项正确；D 项，当0＜x ＜1时，lg x ＜0，log x 10＜0，所以y ＝lg x ＋4log x 10＜0，故D 项错误.【答案】C3.若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )【导学号：38000006】A.a 2＋b 2>2abB.a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2【解析】A 选项中，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，则排除A ；当a <0，b <0时，a ＋b <0<2ab ，1a ＋1b <0<2ab，则排除B ，C 选项；D 选项中，由b a >0，a b >0，得b a ＋a b ≥2 b a ·ab ＝2，当且仅当a ＝b 时取“＝”，所以选D.【答案】D4.不等式b a ＋a b >2成立的充要条件是________.【解析】由b a ＋a b >2，知b a >0，即ab >0， 又b a ≠a b ，∴a ≠b . 因此b a ＋a b >2的充要条件是ab >0且a ≠b .【答案】ab >0且a ≠b5.若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求实数a 的取值范围. 【解】由x >0，知原不等式等价于0<1a ≤x 2＋3x ＋1x ＝x ＋1x ＋3恒成立.又x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2， ∴x ＋1x ＋3≥5，当且仅当x ＝1时，取等号.因此⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋3min ＝5， 从而0<1a ≤5，解得a ≥15.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案：(1)(2)。
推荐高中数学第一章不等关系与基本不等式3平均值不等式学案北师大版选修4_5
§3 平均值不等式1．掌握定理1和定理2及其证明，并能灵活应用． 2．理解定理3和定理4及其证明，并能简单应用． 3．会用相关定理解决简单的最大(最小)值问题．1．二元均值不等式 (1)定理1：对任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥____(此式当且仅当a ＝b 时取“＝”号)． (2)定理2：对任意两个正数a ，b ，有______≥ab (此式当且仅当a ＝b 时取“＝”号)． 我们称______为正数a 与b 的算术平均值，______为正数a 与b 的几何平均值． 定理2可叙述为：两个正数的__________不小于它们的__________．【做一做1－1】函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值是( )．A ．5B ．4C ．3D ．2【做一做1－2】“a ＞b ＞0”是“ab ＜a 2＋b 22”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．三元均值不等式及其推广 (1)定理3：对任意三个正数a ，b ，c ，有a 3＋b 3＋c 3≥____(此式当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号)． (2)定理4：对任意三个正数a ，b ，c ，有a ＋b ＋c3≥3abc (此式当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号)．定理4可叙述为：三个正数的__________不小于它们的__________． (3)n 个正数的算术几何平均不等式：一般地，对n 个正数a 1，a 2，…，a n (n ≥2)，我们把数值______________，__________分别称为这n 个正数的算术平均值与几何平均值，且有______________≥na 1a 2…a n ，此式当且仅当____________时取“＝”号，即n 个正数的算术平均值不小于它们的__________．【做一做2】设x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1．求证：1x ＋4y ＋9z≥36．答案： 1．(1)2ab (2)a ＋b 2a ＋b2ab 算术平均值 几何平均值【做一做1－1】A 原式变形为y ＝1x －3＋x －3＋3． ∵x ＞3，∴x －3＞0，∴1x －3＞0． ∴y ≥2x －1x －3＋3＝5． 当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时等号成立． 【做一做1－2】A 当a ＞b ＞0时，a 2＋b 22＞2ab 2＝ab 成立，当ab ＜a 2＋b 22时，不能推出“a ＞b＞0”，故选A ．2．(1)3abc (2)算术平均值 几何平均值(3)a 1＋a 2＋…＋a n n n a 1a 2…a n a 1＋a 2＋…＋a nna 1＝a 2＝…＝a n 几何平均值【做一做2】分析：本题需变式出现积为定值的情况，而条件中是和为定值x ＋y ＋z ＝1，所以对所证不等式的左边需变形出现积为定值的情况．证明：1x ＋4y ＋9z ＝x ＋y ＋z x ＋x ＋y ＋z y＋x ＋y ＋z z＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋9x z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4z y ＋9y z ≥14＋4＋6＋12＝36．当且仅当y x ＝4x y ，z x ＝9x z ，4z y ＝9y z ，且x ＋y ＋z ＝1，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时取等号．对定理1和定理2的理解剖析：(1)a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数．有些同学易忽略这一点，例如：(－1)2＋(－4)2≥2×(－1)×(－4)成立，而－＋－2≥－－不成立．(2)这两个不等式都带有等号，应从两方面理解，“当且仅当……时，取‘＝’号”这句话：①当a ＝b 时，取等号，其意义是a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；②仅当a ＝b 时，取等号，其意义是a ＋b2＝ab ⇒a ＝b ．综合起来，其意义是：a ＝b 是a ＋b2＝ab 成立的充要条件．(3)从这两个不等式我们可以得到如下结论：a b ＋b a ≥2(ab ＞0)；21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a＞0，b ＞0)．(4)式子中的a ，b 可以是数字，也可以是复杂的代数式．题型一利用平均值不等式证明不等式【例1】若x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9．分析：本题是有条件的证明不等式问题，要巧用“x ＋y ＝1”来证明．反思：利用平均值不等式证明不等式时，要注意把握平均值不等式的结构特点，以便灵活地用于解题，另外，式子的灵活变形，进行拆项、凑项，也是常用的方法．题型二利用平均值不等式求最值【例2】设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．分析：利用x 2＋y 22＝1，将式子进行变形再利用定理进行求解．反思：在解题过程中，要拼凑出和为定值，利用ab ≤a ＋b2(a ＞0，b ＞0)来求解最大值．。
选修4-5 不等式选讲 (3)
1．在△ABC中，设其各边长边a，b，c，外接圆半径为R， 求证： 证明：由柯西不等式知：
2．若x，y，z∈R，a>0，b>0，c>0，求证： 证明：
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反序 时最小，即
a1bn＋a2bn－1＋„＋anb1 ，等号当
(3)平均不等式 定理：若a1，a2，…，an为正数，则 ，等号
当且仅当a1＝a2＝„＝an时成立．这个不等式通常称为算术—几何平均不 等式． 思考：在应用算术—几何平均不等式时要注意什么问题？ 提示：一是要注意定理成立的条件是各项必须全是正数；二是要注意等 号成立的条件． 2．利用不等式求最大(小)值 (1)利用平均不等式求最大(小)值．(2)利用柯西不等式求最大(小)值．
【答题模板】
解法一：用均值不等式
解法二：用柯西不等式
即所求的最大值为
【状元笔记】
重要不等式，均值不等式： (a1>0，a2>0，…，an>0)，当
且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立；柯西不等式：(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≤(a＋a＋… ＋a)(b＋b＋…＋b)(aibi∈R，i＝1,2，…，n)，当且仅当a1＝a2＝…＝an＝0或bi＝kai 时(k为常数，i＝1,2，…，n)等号成立．这两个不等式是证明其他不等式和求多元函 数最值的有力工具，使用时要注意等号成立的条件．使用柯西不等式的重要技巧就 是通过常数构造使用柯西不等式成立的条件.
变式2：设a1，a2，…，an为正数，求证： 证明：不妨设0＜a1≤a2≤…≤an，则 由排序不等式知 即
利用不等式求最值时，应观察条件能否满足不等式的条件，如要条件满足还要看等
号能否成立，能满足等号成立说明能取得最值，否则没有取得最值．
选修4-5基本不等式
幂平均不等式在经济学、统计学和信息理论中有广泛应用， 特别是在估计期望值和方差时。
贝努利不等式
定义
对于任意实数$x_1, x_2, ..., x_n$，
有$(x_1 + x_2 + ... +
x_n)(frac{1}{n} + frac{1}{n} + ...
&eq
(sqrt[n]{x_1x_2...x_n})^2$。
证明
利用数学归纳法和平方差公式。
切比雪夫不等式
定义
对于任意的非负随机变量 $X$ 和正实数 $t$，有 $P(|X| geq t) leq frac{mathbb{E}(X^2)}{t^2}$。
证明
利用数学归纳法和期望的性质。
赫尔德不等式
定义
对于任意的正实数 $a_1, a_2, ..., a_n$，有 $left(frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}right)^n geq left(frac{a_1^n + a_2^n + ... + a_n^n}{n}right)$。
证明
利用数学归纳法和二项式定理。
柯西不等式
定义
对于任意的正实数 $a_1, a_2, ..., a_n$ 和 $b_1, b_2, ..., b_n$，有 $(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2$。
应用
贝努利不等式在概率论、统计学 和决策理论中有广泛应用，特别 是在处理期望值和方差时。
高中数学选修4-5中的著名不等式
选修4-5中的著名不等式内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中熊明军新课程改革推出了知识模块，把高等数学中一些领域的知识进行了简化，下放到高中。
选修4-5中给出了许多著名不等式的特例，下面对课本上的这些不等式及其一般形式做一下介绍。
绝对值的三角不等式（）：定理：若为实数，则，当且仅当时，等号成立。
绝对值的三角不等式一般形式：，简记为。
柯西不等式（）定理：（向量形式）设为平面上的两个向量，则。
当及为非零向量时，等号成立及共线存在实数，使。
当或为零向量时，规定零向量与任何向量平行，即当时，上式依然成立。
定理：（代数形式）设均为实数，则，当且仅当时，等号成立。
柯西不等式的一般形式（）定理：设为实数，则，当且仅当时，等号成立（当某时，认为）。
闵可夫斯基不等式（）定理：设均为实数，则，当且仅当存在非负实数（不同时为0），使时，等号成立。
闵可夫斯基不等式的一般形式：定理：设是两组正数，，则或，当且仅当时，等号成立。
排序不等式（）定理：设为两组实数为的任一排列，则有。
当且仅当或时，等号成立。
排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和。
切比晓夫不等式（）：定理：设为任意两组实数，①如果或，则有②如果或，则有①②两式，当且仅当或时，等号成立。
平均值不等式（）定理：设为个正数，则，当且仅当时，等号成立。
当时，，当且仅当时，等号成立。
加权平均不等式（）定理：设为正数，都是正有理数，并且，那么。
杨格不等式（）：定理：设为有理数，满足条件（互称为共轭指标），为正数，则。
当时，，此时的杨格不等式就是熟知的基本不等式。
贝努利不等式（）：定理：设，且，为大于1的自然数，则。
贝努利不等式的一般形式：（1）设，且同号，则；（2）设，则①当时，有；②当或时，有，①②当且仅当时等号，成立。
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a b c 3abc,
3 3 3
当且仅当a b c时，等号成立．
问题探讨
abc 3 怎么证明不等式 abc (a, b, c R )？ 3
证： a b c
3 3
a3 b3 c3 3abc(a, b, c R )
3 3 3 3
( a) ( b) ( c) 3 abc ，
3
3
x
a
例3. 已知a, b, c R ,求证： abc 3 ab 3( abc ) 2( ab ). 3 2
1 1. 求函数 y x (1 5 x) (0 x ) 的最大值． 5 2 4 答案:当 x 时, ymax . 15 675
2
课堂练习：
a1 a2 , an R , 则 n
an
≥ n a1a2
an .
小 结
2.基本不等式的变形： ab 2 ①若a, b R , 则ab （ ）. 2
③若a1 , a2 , , an R , 则a1a2
abc 3 ②若a, b, c R , 则abc （ ）. 3a a a 1 2 n
an （ n
）.
n
作业: P10 11-15
12 1.求函数y = 3x + 2 x > 0 的最小值. x 12 3 3 12 3 3 12 3 解 :∵ y = 3x + 2 = x + x + 2 3 x× x× 2 = 9 x 2 2 x 2 2 x 3 12 ∴当且仅当 x = 2 , 即x = 2 时,y min = 9. 2 x
三个正数的算术-几何 平均不等式
2017年4月22日星期六
复习回顾
1.基本不等式: (1)如果a, b R，那么a 2 b 2 2ab, 当且仅当a b 时，等号成立． ab (2)如果a, b 0，那么 ab , 2 当且仅当a b 时，等号成立．
ab 2 (3)如果a, b 0，那么ab ( ) , 2 当且仅当a b 时，等号成立．
2 2 2
问题探讨
已知a, b, c R , 求证a b c 3abc，
3 3 3
并探讨等号成立的条件．
证: a3 b3 c3 3abc 1 2 2 2 (a b c)[2a 2b 2c 2ab 2bc 2ac] 2 1 2 2 2 (a b c)[(a b) (b c) (a c) ] 0, 2
3
当且仅当a b c时，等号成立．
abc 3 定理3 如果a, b, c R , 那么 abc ， 3 当且仅当a b c 时，等号成立．
即：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
定理3可以推广一般的情形：
它们的算术平均值 an， 不小于它们的几何平均值，即 a1 a2 a3 an ≥ n a1a2 a3 an n (当且仅当 a1 a2 a3 an 时取等号.) 对于 n 个正数 a1 , a2 , a3 ,
a3 b3 c3 3abc(a, b, c R )
问题探讨
已知a, b, c R , 求证a b c 3abc，
3 3 3
并探讨等号成立的条件． 3 3 2 2 3 ( x y) x 3x y 3xy y 3 3 3 证: a b c 3abc 3 2 2 3 2 2 3 3 3 2 2 (a 3a b 3ab b ) 3 a b 3 ab c 3 abc x y ( x y)( x xy y )
3x 2 当且仅当 1 3 x, 即x 时， 2 9
1 函数y x (1 3x)取最大值 ． 243
2
例2 求证:在表面积一定的长方体中,以正方体的体积 最大. 证： 设长方体同一顶点处的三条棱长 分别为x,y,z, 体积为V,表面积 为S，则S=2(xy+yz+xz),于是得
1 V (a 2 x) x [(a 2 x) (a 2 x) 4 x] 4
2
a 当且仅当 a 2 x 4 x,即x 时, 等号成立, 6 即小正方形的边长是原正方形边长
1 2a 3 的 时, 盒子的容积取最大值 ． 6 27
1 (a 2 x) (a 2 x) 4 x 2a , 4 3 27
2.用均值不等式求最值时,要满足: 一正、二定、三相等.
问题探讨
ab 1.把不等式 ab (a, b R )推广到 2 三个正数的情形, 结果是什么？
abc 3 abc (a, b, c R ). 3
2.怎么证明以上不等式？
3.我们先考虑把不等式a 2 b2 2ab(a, b R) 推广到三个正数的情形, 结果是什么？
z
x y
V ( xyz ) xy xz yz
2 2
xy xz yz 3 S 3 ( ) ( )， 3 6
∴当且仅当xy=yz=xz, 即x=y=z时，V2有最大值， 从而可知，表面积为定值S的长方体中，以正方 体的体积最大.
例3: 如图，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切 去大小相同的小正方形， 再把它的边沿着虚线折转 作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多 少时？才能使盒子的容积最大？ 解: 设小正方形边长为x, 盒子的容积为V,则
2.若x, y R , 且 xy 8, 求 x 2 y 的最小值．
2
答案:当 x 2, y 2时,x 2 y 取最小值6．
2 3. 求函数 y x ( x 0) 的最小值． x
2
答案:当 x 1时,ymin 3.
27 4.若x y 0, 求则 x 的最小值为 -------( x y) y
基本不等式的变形：
abc 3 ②若a, b, c R , 则abc （ ）. 3
③若a1 , a2 , , an R , 则a1a2
ab 2 ①若a, b R , 则ab （ ）. 2
a1 a2 an （ n
an
）.
n
定理:设 x , y , z 都是正数，那么 ⑴若 xyz S （定值） ，则 当 x y z 时， x y z 有最小值 3 3 s . ⑵若 x y z p （定值） ，则 3 x y z xyz 当 时， 有最大值 p /27.
9
练习:
1.已知 a 0, b 0 , 2a 3b 10 ,
2 5 则 2a 3b 的最大值是____.
2.已知 x 0 ， y 0 ，且 x 2 y 1 ， 1 1 3 2 2 则 u 的最小值是_________ x y
x2 8 ( x 1) 的最小值为______ 3.函数 y 8 x 1
小 结
1.基本不等式：
பைடு நூலகம்
①若a, b R，则a b 2ab．
2 2
②若a, b, c R , 则a b c 3abc．
3 3 3
ab ③若a, b R , 则 2
ab．
abc 3 ④若a, b, c R , 则 abc． 3
⑤若a1 , a2 ,
注：一正、二定、三相等
1 例1 求函数 y x (1 3 x)在 (0, ) 上的最大值. 3 1 解： 0 x , 1 3 x 0, 故得 3 4 3x 3x 2 y x (1 3x) [ (1 3 x)] 9 2 2
2
4 3x / 2 3x / 2 1 3x 3 1 [ ] . 9 3 243
(a b) c 3a b 3ab 3abc
3 3 2 2
(a b c)[(a b)2 (a b)c c2 ] 3ab(a b c)
(a b c)[a 2ab b ac bc c 3ab]
2 2 2
(a b c)[a b c ab bc ac]