三元基本不等式
三元均值不等式的证明与应用
三元均值不等式的证明与应用1.三元均值不等式的证明：设a、b、c为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式的表述，我们要证明以下不等式成立：（a+b+c）/3 ≥ √(abc)证明：我们可以先将不等式两边平方得到以下等价不等式：(a+b+c)²/9 ≥ abc展开得到：(a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc)/9 ≥ abc化简得到：a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc ≥ 9abc将不等式两边减去2ab、2ac和2bc，得到：a²-2ab+b² +c²-2ac+a² +c²-2bc+b² ≥ 5abc化简得到：(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² ≥ 5abc不等式左边是三个数的平方和，而右边是它们的积，由于三个非负实数的平方和≥它们的积，因此不等式成立。
2.三元均值不等式的应用：（1）证明两个数的平均值大于等于它们的几何平均值：设a和b为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式，有：(a+b)/2 ≥ √(ab)化简得到：a+b ≥ 2√(ab)这就证明了两个数的平均值大于等于它们的几何平均值。
（2）证明两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积：设a和b为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式，有：(a²+b²)/2 ≥ ab化简得到：a²+b² ≥ 2ab这就证明了两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积。
（3）求证函数的不等式：设f(x)为一个定义在[a,b]上的连续函数，并且f(x)在[a,b]上不恒为0。
那么根据三元均值不等式可得：∫[a,b]f(x)dx / (b-a) ≥ √(∫[a,b]f²(x)dx / (b-a))这个不等式可以用于证明函数的平均值大于等于它的均方根。
三元柯西不等式公式
三元柯西不等式公式三元柯西不等式公式是指对于任意的三个实数a,b,c和任意的三个非负实数x,y,z，有如下不等式成立：ax + by + cz ≤ √(a^2 + b^2 + c^2) * √(x^2 + y^2 + z^2)其中，等号成立条件是a:x = b:y = c:z或者a:y = b:z = c:x或者a:z = b:x = c:y。
这个不等式可以看作是欧几里得空间中的向量长度与内积之间的关系。
左边的ax + by + cz可以看作是向量(a,b,c)与向量(x,y,z)的内积，右边的√(a^2 + b^2 + c^2) * √(x^2 + y^2 + z^2)可以看作是向量(a,b,c)和向量(x,y,z)的长度的乘积。
这个不等式的拓展有很多。
比如对于n个实数a1, a2, ..., an和n个非负实数x1, x2, ..., xn，有如下不等式成立：a1x1 + a2x2 + ... + anx ≤ √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * √(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)其中，等号成立的条件类似于三元柯西不等式，即ai:x1 = a2:x2 = ... = an:xn。
这个不等式可以推广到更多维度的情况。
三元柯西不等式也可以推广到复数的情况。
对于任意的三个复数a,b,c和任意的三个非负实数x,y,z，有如下不等式成立：|ax + by + cz| ≤ √(|a|^2 + |b|^2 + |c|^2) * √(|x|^2 + |y|^2 + |z|^2)其中，|a|表示复数a的模。
等号成立的条件与实数的情况类似。
这些推广和拓展进一步扩展了柯西不等式在数学和物理等领域的应用。
三元基本不等式基础
基本不等式在求最值中的应用与完善杨亚军函数的最值是函数这一章节中很重要的部分，它的重要性不仅在题型的多样、方法的灵活上，更主要的是其在实际生活及生产实践中的应用。
高考应用题几乎都与最值问题有关,而基本不等式是解决此类实际问题的有力工具.本文着重就基本不等式在求最值中的应用与完善谈一些个人的体会.只有扎实地掌握好基本不等式求最值的基本技能与注意事项，才能更好地去解决实际应用问题。
一、基本不等式的内容及使用要点1、二元基本不等式：①a，b∈R时，a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时“=”号成立）；②a，b≥0时，a+b≥2 （当且仅当a=b时“=”号成立）。
这两个公式的结构完全一致，但适用范围不同。
若在非负实数范围之内，两个公式均成立，此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式及公式的变形：ab≤ ，ab≤ 。
对不等式ab≤ ，还有更一般的表达式：|ab|≤ 。
由数列知识可知，称为a，b的等差中项，称为a，b的等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数的等比中项不大于它们的等差中项”。
2.三元基本不等式：当a，b，c>0时，a+b+c≥ ，当且仅当a=b=c时，等号成立，……乃至n元基本不等式；当ai >0（i=1，2，…，n）时，a1+a2+…+an≥。
二元基本不等式的其它表达形式也应记住：当a>0，b>0时，≥2，a+ ≥2等。
当字母范围为负实数时，有时可利用转化思想转化为正实数情形，如a<0时，可得到a+ ≤-2。
基本不等式中的字母a，b可代表多项式。
3.利用基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函数最值的主要方法之一。
利用基本不等式求函数最值时，其条件为“一正二定三等”，“一正”指的是在正实数集合内，“二定”指的是解析式各因式的和或积为定值（常数），“三等”指的是等号条件能够成立。
利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已学过的二次函数，又可适用于分式函数，高次函数，无理函数。
三元均值不等式公式
三元均值不等式公式
定理1：如果a,b,c∈R，那么a³+b³+c³≥3abc，当且仅当a=b=c时，等号成立。
定理2：如果a,b,c∈R+,那么（a+b+c)/3≥³√（abc),当且仅当a=b=c时，等号成立。
结论：设x,y,z都是正数，则有：
（1)若xyz=S(定值），则当x=y=z时，x+y+z有最小值3³√S。
（2)若x+y+z=P(定值），则当x=y=z时，xyz有最大值P³/27。
记忆：“一正、二定、三相等”。
不等式的特殊性质有以下三种：
①不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
②不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
③不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
柯西不等式三元形式
柯西不等式三元形式柯西不等式是代数几何中的一种基本不等式，也是数学分析中的一个重要不等式。
它是由法国数学家柯西在1821年提出的，适用于各种不等式问题。
柯西不等式在三元情形下特别重要，因为它能够解决许多具有三元变量的代数几何问题。
对于任意三个向量a、b、c∈Rn，有(a•c)·(b•c)≤，a，·，b，·，c，^2其中，·，表示向量的欧几里得模长，•表示标量积。
例如，用柯西不等式的三元形式可以证明三角形内角余弦的最小值为-1：对于任意三角形ABC，有cos(A)+cos(B)+cos(C)≥-3/2。
证明过程如下：设a=cos(A)+1，b=cos(B)+1，c=cos(C)+1，则a、b、c都是正数。
因为cos(A)=b^2+c^2-a^2/2bc，同理可得cos(B)和cos(C)的表达式，所以：a^2=b^2+c^2+2bc·cos(A)，同理可得b^2和c^2的表达式于是有a^2·b^2·c^2=(b^2+c^2+2bc·cos(A))(a^2+c^2+2ac·cos(B))(a^2+b^2+2ab·cos(C))=[(a^2+b^2+c^2)^2-4(a^4+b^4+c^4)]·[2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)]因为a、b、c是正数，所以a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca，所以(a^2+b^2+c^2)^2≥3(a^4+b^4+c^4)；同时，2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)≥(a^2+b^2+c^2)^2，所以。
(a^2+b^2+c^2)^2-4(a^4+b^4+c^4)·[2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)]≥0即24a^2b^2c^2≥(a^2+b^2+c^2)^3-9(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)。
三元均值不等式公式证明
三元均值不等式公式证明在数学的世界里，有一个非常实用的工具，那就是三元均值不等式。
今天咱们就来好好唠唠它的公式证明。
咱们先把三元均值不等式的公式写出来：对于任意的正实数 a、b、c，有\(\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}\) 。
那怎么来证明它呢？咱们一步步来。
咱先假设 \(a\geq b\geq c > 0\) 。
先看左边，\(\frac{a + b + c}{3}\) ，这就相当于把这三个数加起来平均分成三份。
再看右边，\(\sqrt[3]{abc}\) ，这是这三个数的几何平均值。
为了证明这个不等式，咱们可以巧妙地利用排序不等式。
啥是排序不等式呢？就是对于两组数 \(a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leqa_n\) 和 \(b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n\) ，有 \(a_1b_1 + a_2b_2 +\cdots + a_nb_n \geq a_1b_{\sigma(1)} + a_2b_{\sigma(2)} + \cdots +a_nb_{\sigma(n)}\) ，其中 \(\sigma\) 是 \(1, 2, \cdots, n\) 的任意一个排列。
回到咱们的三元均值不等式，因为 \(a\geq b\geq c > 0\) ，所以 \(a^3 \geq b^3 \geq c^3 > 0\) 。
根据排序不等式，咱们有 \(a^3 + b^3 + c^3 \geq a^2bc + b^2ac +c^2ab\) 。
这一步是不是有点晕？别慌，我给您举个小例子。
比如说有三个数 5、3、2，咱就按从大到小排，5 最大，3 次之，2 最小。
那么 5 的三次方就是 125，3 的三次方就是 27，2 的三次方就是8。
如果咱把它们打乱顺序相乘相加，比如 5 的平方乘以 3 乘以 2 加上3 的平方乘以 5 乘以 2 加上 2 的平方乘以 5 乘以 3 ，和 125 + 27 + 8 比起来，肯定是后者更大。
三元基本不等式
三元基本不等式三元基本不等式是一类数学描述，它将三个非负实数组成一个差分不等式。
它在一定程度上体现了一种不等式分析规律，这种不等式分析规律对多种数学问题都很有帮助。
三元基本不等式的形式是：① ax + by + cz ≥ 0② ax + by + cz ≤ 0③ ax + by + cz ≠ 0其中，a、b、c是非负实数，x、y、z是任意实数。
三元基本不等式具有如下有用的性质：1.交换律：ax + by + cz 的大小，无论x、y、z的顺序如何排列都不会变化；2.合取规则：当a≥0、b≥0时，ax + by + cz ≥ 0 或ax + by + cz ≤ 0；3.析取规则：当a<0、b<0时，ax + by + cz ≠ 0；4.复合规则：当abc≠0、ax + by + cz ≥ 0或ax + by + cz ≤ 0时，x、y、z的顺序不会影响ax + by + cz的结果；5.结合规则：当abc≠0、ax + by + cz ≠ 0时，x、y、z的顺序会影响ax + by + cz的结果；三元基本不等式在数学中有很多应用，主要有以下几个方面：1. 应用于渐近线方向问题：可以将渐近线方向问题转换成三元基本不等式，从而求解最优解；2. 应用于凸包问题：可以将凸包问题转换成多元不等式，结合三元基本不等式求解最优解；3. 应用于最小凸多面体问题：可以将最小凸多面体问题转换成多元不等式，结合三元基本不等式求解最优解；4. 应用于多维函数极值问题：可以将多维函数极值问题转换成多元不等式，结合三元基本不等式求解最优解；5. 应用于凸优化问题：可以将凸优化问题转换成多元不等式，结合三元基本不等式求解最优解；6. 应用于最优化原理：可以将最优化问题转换成多元不等式，结合三元基本不等式求解最优解；以上就是关于三元基本不等式的性质和应用的总结，可以看出三元基本不等式在数学中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地分析复杂的数学问题，取得更优的解决方案。
三元不等式换元
三元不等式换元三元不等式换元：引言三元不等式是高中学习的重要知识点，在学习三元不等式的过程中，不仅仅要了解三元不等式的定义和性质，还要学会运用一些解题技巧。
其中，三元不等式换元就是一种常见的解题技巧。
三元不等式换元：基础知识在学习三元不等式换元之前，我们需要先了解一下一些基础知识：1、三元不等式的定义三元不等式指的是形如 $x+y+z>a$ 或 $x+y+z<b$ 等形式的不等式，其中 $x,y,z$ 是实数，$a,b$ 是实数。
三元不等式有很多种，比如说可以是一个等差不等式，也可以是一个等比不等式。
2、不等式的变形不等式的变形是解决三元不等式的关键步骤之一。
不等式的变形常常涉及到各种算式的运用，如相加相减、乘法分配律、因式分解等。
3、相似三角形的性质相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，对应边比例相等。
在使用三元不等式换元时，我们往往需要使用到相似三角形的性质。
三元不等式换元：方法三元不等式换元可以分为以下几步：1、找到合适的变量替换在三元不等式的求解中，往往需要把原不等式化为相似三角形形式，这时需要找到合适的变量替换。
比如说，如果原不等式含有 $x,y,z$ 三个变量，我们可以考虑用$\sin{A},\sin{B},\sin{C}$ 来替换它们，其中$A,B,C$ 是一个以 $\Delta ABC$ 为标准三角形；如果原不等式含有 $a,b,c$ 三个变量，可以使用一个以$ABC$ 为三角形的内心为圆心的圆来作为变量替换。
2、使用相似三角形的性质我们用相似三角形的性质来进行等式的替换，并且使得原不等式变得更简单。
3、将变量替换回去，并对不等式进行变形在对原不等式进行变形之前，我们要先将变量替换回去。
这里就需要运用到“逆向思维”的方法。
变量替换回去之后，我们需要对不等式进行加减乘除等运算，以达到变形的目的。
三元不等式换元：实例分析下面，我们以一个实例来说明三元不等式换元的应用：例：求证$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}<a+b+c$。
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基本不等式在求最值中的应用与完善杨亚军函数的最值是函数这一章节中很重要的部分，它的重要性不仅在题型的多样、方法的灵活上，更主要的是其在实际生活及生产实践中的应用。
高考应用题几乎都与最值问题有关,而基本不等式是解决此类实际问题的有力工具.本文着重就基本不等式在求最值中的应用与完善谈一些个人的体会.只有扎实地掌握好基本不等式求最值的基本技能与注意事项，才能更好地去解决实际应用问题。
一、基本不等式的内容及使用要点1、二元基本不等式：①a，b∈R时，a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时“=”号成立）；②a，b≥0时，a+b≥2 （当且仅当a=b时“=”号成立）。
这两个公式的结构完全一致，但适用范围不同。
若在非负实数范围之内，两个公式均成立，此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式及公式的变形：ab≤ ，ab≤ 。
对不等式ab≤ ，还有更一般的表达式：|ab|≤ 。
由数列知识可知，称为a，b的等差中项，称为a，b的等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数的等比中项不大于它们的等差中项”。
2.三元基本不等式：当a，b，c>0时，a+b+c≥ ，当且仅当a=b=c时，等号成立，……乃至n元基本不等式；当ai >0（i=1，2，…，n）时，a1+a2+…+an≥。
二元基本不等式的其它表达形式也应记住：当a>0，b>0时，≥2，a+ ≥2等。
当字母范围为负实数时，有时可利用转化思想转化为正实数情形，如a<0时，可得到a+ ≤-2。
基本不等式中的字母a，b可代表多项式。
3.利用基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函数最值的主要方法之一。
利用基本不等式求函数最值时，其条件为“一正二定三等”，“一正”指的是在正实数集合内，“二定”指的是解析式各因式的和或积为定值（常数），“三等”指的是等号条件能够成立。
利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已学过的二次函数，又可适用于分式函数，高次函数，无理函数。
利用基本不等式求函数最值时，可能上面的三个条件不一定满足，此时不能认为该函数不存在最值，因为通过化归思想和初等变形手段可以使条件得到满足。
常用的初等变形手段有均匀裂项，增减项，配系数等。
在利用基本不等式求最值时，若不能直接得到结论，应考虑与间接法的解题思路连用，如通过解不等式的途径。
一般说来，“见和想积,拆低次,凑积为定值,则和有最小值；见积想和, 拆高次,凑和为定值,则积有最大值。
”二、基本不等式求最值的应用例1、已知a>1，0<b<1，求证：loga b+logba≤-2。
解题思路分析：由对数函数可知：，logba<0，因此由的结构特点联想到用基本不等式去缩小，但条件显然不满足，应利用相反数的概念去转化。
∵ logab<0∴ -logab>0∴≥2 =2∴ logab+ ≤-2即 loga b+logba≤-2当且仅当，loga 2b=1，logab=-1时，等号成立，此时ab=1。
例2、已知x，y，z均为正数，且xyz(x+y+z)=1，求证：(x+y)(y+z)≥2。
解题思路分析：这是一个含条件的不等式的证明，欲证不等式的右边为常数2，联想到二元基本不等式及条件等式中的“1”。
下面关键是凑出因式xyz和x+y+z。
对因式(x+y)(y+z)展开重组即可。
(x+y)(y+z)=xy+xz+y2+yz=(xy+y2+yz)+xz=y(x+y+z)+xz。
将y(x+y+z)，xz分别看成是两个因式，得用二元基本不等式：y(x+y+z)+xz=2 =2 =2当且仅当时等号成立 例3、（1）已知x>1，求3x+ +1的最小值；（2）已知x ，y 为正实数，且 =1，求 的最大值；（3）已知x ，y 为正实数，3x+2y=10，求函数W的最值； （4）已知x>0，求函数f(x)=4x+的最小值； （5）已知a>b>0，求函数y=a+ 的最小值；（6）求函数y=x(10-x)(14-3x)⎪⎭⎫ ⎝⎛<<3140x 的最大值； （7）求函数y=sin 2θcosθ，θ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛20π,的最值。
解题思路分析：这一组练习主要介绍在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正二定三等”的条件所涉及的一些变形技巧。
（1） 在分式的位置凑出分母x-1，在3x 后面施加互逆运算：±3 原式=(3x-3)+3++1=3(x-1)+ +4≥2 =4+4 （2）因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤ 。
同时还应化简 中y 2前面的系数为 下将x ， 分别看成两个因式≤ ∴≤（3）若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤ ，本题很简单≤否则，这样思考：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
W>0，W2=3x+2y+2 ≤=10+(3x+2y)=20∴W≤（4）函数式为和的形式，故考虑凑积为常数。
分母为x的二次，为使积的结果在分式位置上出现x2，应对4x均匀裂项，裂成两项即可。
f(x)=2x+2x+ ≥（5）本题思路同（1）：y=(a-b)+b+ ≥（6）配x项前面系数为4，使得与后两项和式中的x相消y= (4x)(10-x)(14-3x)≤=（7）因式为积的形式，设法凑和为常数，注意到=1为常数，应对解析式平方。
y>0，y2=≤y≤例4、已知a，b为正实数，2b+ab+a=30，求函数y= 的最小值。
解题思路分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
、法一：，由a>0得，0<b<15令t=b=1，1<t<16，ab= ∵≥ =8∴ab≤18∴y≥当且仅当t=4，即b=3，a=6时，等号成立。
法二：由已知得：30-ab=a+2b∵a+2b≥ ∴ 30-ab≥令则≤0，≤u≤ ∴≤ ≤，ab≤18，y≥ 经验：在法一，通过消元得到一个分式函数，在分子（或分母）中含有二次式。
这种类型的函数一般都可转化为型，从而用基本不等式求解。
其处理方法，请同学们仔细体会。
实际上，一般含二次式的分式函数（a，b，c，m，n，p不全为零）均可用此方法求解。
三、基本不等式在求最值中的完善1. 形如的最值,要视具体情况而定。
如能满足利用基本不等式的三个条件，则利用基本不等式；不能满足，则利用函数的单调性来求。
例5、已知函数（c为常数）最小值为m，求证：（1）当c≤1时，m=2；（2）当c>1时，m= 。
解题思路分析：分母与分子是一次与二次的关系，通过换元法可转化为基本不等式型。
令，则t≥ ，∵≥2，当且仅当t=1时等号成立∴当c≤1时，≤1，t=1在函数定义域（，+∞）内，y min=2当c>1时，>1，1 ,+∞)，等号条件不能成立，转而用函数单调性求解。
易证函数在[ ，∞）上递增t= ，x=0时，y min= 结论：求函数（a>0，b>0，x∈[c，+∞），c>0）的最小值时，有下列结论（1）若c≤ ，当且仅当x= 时，；（2）若c> ，当且仅当x=c时，。
例6、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。
解题思路分析：这是一道应用题，一般说来，涉及到“用料最省”、“造价最低”等实际问题时，考虑建立目标函数，求目标函数的最大值或最小值。
在建立关于造价的目标函数时，造价是由池外圈周壁，中间隔墙造价，池底造价三部分组成，造价均与墙壁长度有关，应设相关墙壁长度为未知数。
若设污水池长为x米，则宽为（米）水池外圈周壁长：（米）中间隔墙长：（米）池底面积：200（米2）目标函数：≥例7：求下列函数的最值（1）,求的最小值，若呢？解：，，当且仅当即时, 。
若，，当且仅当即时, 。
（2）当，求的最小值。
分析：，，，当，则，等号取不到。
∴使用基本不等式来求最值，是有条件的，回忆一下，基本不等式有哪些？须满足什么条件？答：，，当且仅当时等号成立。
，，当且仅当时等号成立。
我们应用基本不等式求最值，通常用（）或它的变形，利用基本不等式求最值须满足三个条件：①非负数；②和（或积）为定值；③等号要成立。
例8. 形如的最值问题分析：可令，则，。
可从图象上观察，我们来看它的大致图形：渐近线为直线和轴，当时,有最低点（2，4）。
对和的单调性,我们可加以证明。
解：设，则∵，∴，∴，∴，∴，，∴在（0，2]上单调递减。
∵（0，1]是（0，2] 的子区间，∴在（0，1]上单调递减。
∴当，即，时，。
总结：当利用基本不等式求解困难时，可利用函数的单调性来求最值。
例9.求：的最小值，，。
解：∴当时，在上单调递减，而当时，在上单调递增。
∴当时，，∴当时，。
例10.求的最小值，，。
解：∵，∴分类讨论为①当时，在上单调递减，∴时，；②当时，利用基本不等式，∴时，；③当时，在上单调递增，∴时，。
例11. 求的最小值，，。
解：，分类讨论为：①当时，②当时，则时，，则当时，即。
例12.求的最小值，，，。
∵，分类讨论为：①时, 在单调递减，则当即；②当时, 则当，即；③，在单调递增。
总结：对的最值，的讨论，要视具体情况而定。
如能满足利用基本不等式的三个条件(或通过变形创造条件)，则利用基本不等式；不能满足，则可考虑利用函数的单调性来求。
2003.7.1。