江苏省2017届高考专题复习不等式及应用、三元不等式
三元均值不等式的证明与应用
三元均值不等式的证明与应用1.三元均值不等式的证明：设a、b、c为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式的表述，我们要证明以下不等式成立：（a+b+c）/3 ≥ √(abc)证明：我们可以先将不等式两边平方得到以下等价不等式：(a+b+c)²/9 ≥ abc展开得到：(a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc)/9 ≥ abc化简得到：a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc ≥ 9abc将不等式两边减去2ab、2ac和2bc，得到：a²-2ab+b² +c²-2ac+a² +c²-2bc+b² ≥ 5abc化简得到：(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² ≥ 5abc不等式左边是三个数的平方和，而右边是它们的积，由于三个非负实数的平方和≥它们的积，因此不等式成立。
2.三元均值不等式的应用：（1）证明两个数的平均值大于等于它们的几何平均值：设a和b为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式，有：(a+b)/2 ≥ √(ab)化简得到：a+b ≥ 2√(ab)这就证明了两个数的平均值大于等于它们的几何平均值。
（2）证明两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积：设a和b为非负实数，且不全为0。
根据三元均值不等式，有：(a²+b²)/2 ≥ ab化简得到：a²+b² ≥ 2ab这就证明了两个数的平方和大于等于它们的两倍乘积。
（3）求证函数的不等式：设f(x)为一个定义在[a,b]上的连续函数，并且f(x)在[a,b]上不恒为0。
那么根据三元均值不等式可得：∫[a,b]f(x)dx / (b-a) ≥ √(∫[a,b]f²(x)dx / (b-a))这个不等式可以用于证明函数的平均值大于等于它的均方根。
高考数学(江苏省专用)复习专题测试课件：第二十三章 选修系列 23.4 不等式选讲
5 2
1 2
5 2
1 2
.
答案 5
(m 2 n 2 )(a 2 b 2 ) ≥ |ma+nb|= 5 ,当且仅当 解析 根据柯西不等式得 m2 n 2 = · = (a2+b2=5,
5.(2017课标全国Ⅱ理,23,10分)[选修4—5:不等式选讲] 已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2. 证明 本题考查不等式的证明. (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)2≥4. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
1 5
1 5
m a
n b
10 ma+nb=5),即m=a=n=b= 时取等号,故 m2 n 2 的最小值为 5 . 2
4.(2013湖南理,10,5分)已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为 答案 12
.
解析 由柯西不等式(a2+4b2+9c2)(12+12+12)≥(a+2b+3c)2得3(a2+4b2+9c2)≥36,所以a2+4b2+9c2≥12.当 且仅当a=2b=3c=2时,a2+4b2+9c2取得最小值12.
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一、填空1.【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】若函数，则函数y的最小值为___________．【答案】32.【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】已知2,0a b b+=>，当最小值时，实数的值是▲ ．【答案】2-【解析】，即2,4a b=-=时取等号3.【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知实数、y满足20,50,40,x yx yy-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩若不等式222()()a x y x y+≥+恒成立，则实数的最小值是．【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC因[2,4]上单调递增，所不等式222()()a x y x y +≥+恒成立等价于4. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】设实数，满足0,1,21,x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥则32x y +的最大值为 ▲ ． 【答案】35. 【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】已知正数，满足，则ab 的最小值为 ▲ ． 【答案】36 【解析】 试题分析：当且仅当9b a =时取等号，因此ab 的最小值为366. 【2017届高三七校联考期中考试】正数y x ,满足22=+y x ，则的最小值为▲ ． 【答案】9 【解析】 当且仅当y x 4=时取等号7. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】已知,x y 满足2y xx y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若3z x y =+的最大值为M ，最小值为m ，且0M m +=，则实数的值为_____________． 【答案】1-8. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】已知正实数,a b 满足37a b +=，___________．【解析】 试题分析: 因为9. 【无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测】已知正实数,x y 满足，则y x =___________．二、解答1. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】已知二次函数2()23f x mx x =--，关于实数的不等式()0f x ≤的解集为[]1,n -．（1）当0a >时，解关于的不等式：21(1)2ax n m x ax ++>++；（2）是否存在实数(0,1)a ∈，使得关于的函数1()3xx y f a a +=-（[]1,2x ∈）的最小值为5-？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）当01a <≤时，原不等式的解集为；当1a >时，原不等式（2【解析】试题分析：（1）由二次不等式解集与二次方程根的关系得：2230mx x --=的两根为1-和，且0m >，从而，解得1,3.m n =⎧⎨=⎩，再化简不等式，因式分解：(2)(2)0x ax -->，最后根据两根22）先化简函数，为一元二次函数12()3(32)3x x x x y f a a a a a +=-=-+-2(32)3t a t =-+-，其中2a t a ≤≤，再根据对称轴与定义区间位置关系研究函数最小值：因为t a =时，y 取最小值试题解析：（1）由不等式2230mx x --≤的解集为[]1,n -知，关于的方程2230mx x --=的两根为1-和，且0m >，∴1,3.m n =⎧⎨=⎩所以原不等式化为(2)(2)0x ax -->，①当01a <<时，原不等式化为或2x <； ②当1a =时，原不等式化为2(2)0x ->，解得x R ∈且2x ≠； ③当1a >时，原不等式化为或2x >； 综上所述：当01a <≤时，原不等式的解集为 当1a >时，原不等式的解集为 （2）假设存在满足条件的实数，由（1）得：1m =，2()23f x x x =--，12()3(32)3x x x x y f a a a a a +=-=-+-．令x a t =（2a t a ≤≤），则2(32)3y t a t =-+-，（2a t a ≤≤），因为(0,1)a ∈，所以21a a <<， 所以函数2(32)3y t a t =-+-在2,a a ⎡⎤⎣⎦单调递减， 所以当t a =时，y 的最小值为2223y a a =---5=-，解得2. .【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】已知函数()|1|f x x =-，2()65g x x x =-+-（x R ∈）． （1）若()()g x f x ≥，求的取值范围； （2）求()g x ()f x -的最大值． 【答案】（1）[]1,4（2时，()g x 22()65(1)760f x x x x x x -=-+-+-=-+-<，试题解析：（1）当1x ≥时，()1f x x =-， 由()()g x f x ≥，得2651x x x -+-≥-， 整理得(1)(4)0x x --≤，所以[]1,4x ∈； 当1x <时，()1f x x =-，由()()g x f x ≥，得2651x x x -+-≥-， 整理得(1)(6)0x x --≤，所以[]1,6x ∈，由1,16x x <⎧⎨≤≤⎩，得x ∈∅，综上的取值范围是[]1,4．（2）由（1）知，()()g x f x -的最大值必在[]1,4上取到，。
(江苏专用)2017届高三数学一轮总复习第七章不等式第四节基本不等式及应用课件理
3．(教材习题改编)已知 x，y∈(0，＋∞)， 且 x＋4y＝1， 则 xy 的最大值为_______．
1 1 1 x＋4y 2 解析：依题意xy＝ x· 4 y≤ ＝ ，当且仅当x 4 4 2 16
1 1 2 2 当 2＝ 2，即 a＝b 时等号成立，又因为ab＋ab≥2 ab＝2 2， ab· a b 2 1 1 2 当且仅当ab＝ab 时等号成立，所以 2＋ 2＋ab≥ab＋ab≥2 2， a b
1 1 a2＝b2， 当且仅当 2 ＝ab， ab
即 a＝b＝ 2时取等号．
4
1 1 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则a＋b的最小值为________． [解析 ] ∵a>0，b>0， a＋b＝ 1，
得
1 －1 x
1 －1 y
1 － 1 >8. z
[即时应用] 1 1 设 a，b 均为正实数，求证： 2＋ 2＋ab≥2 2. a b
1 1 证明：由于 a，b 均为正实数，所以 2＋ 2≥2 a b 1 1 2 · ＝ ，当且仅 a2 b2 ab
1 b2 ＋ 2 2
2
，
1 b2 2 b2 1 3 ＋ ＝ ， ＋ ＝a ＋ 2 2 2 2 2
2
所以a 1＋b ≤
2
1 3 3 2 × ＝ ， 2 2 4
5 因为 x< ，所以 5－4x>0. 4
1 1 所以(4x－5)＋ ＝－5－4x＋5－4x≤ 4x－5
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.4 课时2 不等式的证明课件 理
2.几个常用基本不等式 (1)柯西不等式： ①柯西不等式的代数形式：设 a ， b ， c ， d 均为实数，则 (a2 ＋ b2)(c2 ＋
2 2 ( ac ＋ bd ) d )≥
(当且仅当ad＝bc时，等号成立).
②柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α· β| ， 等号当且仅当α，β共线时成立.
解 因为 6＝x＋2y＋3z≤ x2＋y2＋z2· 1＋4＋9，
2 2 2
18 y z 所以 x ＋y ＋z ≥ 7 ，当且仅当 x＝2＝3
3 6 9 18 2 2 2 即 x＝7，y＝7，z＝7时，x ＋y ＋z 有最小值 7 .
思维升华
解析答案
跟踪训练3
x2 y2 已知大于 1 的正数 x， y， z 满足 x＋y＋z＝3 3.求证： ＋ x＋2y＋3z y＋2z＋3x z 3 ＋ ≥2. z＋2x＋3y
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，
1 即 ab＋bc＋ca≤3.
解析答案
a2 b2 c2 (2) b ＋ c ＋ a ≥1.
证明 a2 b2 c2 因为 b ＋b≥2a， c ＋c≥2b， a ＋a≥2c，
a2 b2 c2 故 b ＋ c ＋ a ＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
a b c 即 b ＋ c ＋ a ≥a＋b＋c.
解析答案
1
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6
1 1 ∴x＋y x＋y min＝4，即－λ≤4，λ≥－4.
1
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解析答案
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题型分类 深度剖析
题型一
用综合法与分析法证明不等式
1 (1)已知 x，y 均为正数，且 x>y，求证：2x＋ 2 2≥2y＋3； x －2xy＋y
江苏省丹阳高级中学2017届高三数学第二轮复习：专题3-不等式(1)-教案
专题三（1）-不等式解法与线性规划【教学目标】1.掌握常规不等式的解法2.理解三个二次之间的关系3.会解决简单的线性规划问题 【教学要点】重点：理解三个二次之间的关系 难点：不等式中参数的讨论 【考情分析】不等式在高考中很少单独成题，常常与其他知识点相互渗透在一起，是求解数学问题的重要工具. 【例题分析及变式】类型1：不等式的解法例1.（1）(2016·江苏第5题)函数23-2-x x 的定义域是.【答案】[-3，1]【解析】由题意知3-2x-x 2≥0，解得-3≤x ≤1，所以原函数的定义域为[-3，1]. （2）.(2015·江苏第7题)不等式2-2x x<4的解集为 .【答案】(-1，2)【解析】由2-2xx<4，知x 2-x<2，解得-1<x<2，所以原不等式的解集为(-1，2).（3）(必修5 P73习题6改编)已知不等式ax 2+bx-1<0的解集为{x|x<3或x>4}，则a= ，b= .【答案】-112 712【解析】由题意知3和4是方程ax 2+bx-1=0的两根，所以a (x-3)(x-4)=0，所以a=-112，b=712.例2（东莞市2017届高三上学期期末）已知函数 f (x ) ＝｜x －1｜＋｜x +3｜ （1）解不等式 f (x ) ≥8；（2）若不等式 f (x ) ＜2a －3a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围.（1）22,3()|1||3|4,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩， 当3x <-时，由228x --≥，解得5-≤x ；年份 题号 知识点分值 2014年 第10，19题 二次函数与二次不等式；函数与不等式的综合21分 2015年 第7，19题 指数函数与基本不等式；不等式的解法 21分2016年第5，12，14，19题一元二次不等式的解法；线性规划；基本不等式40分当31x -≤≤时，()4f x =，()8f x ∴≥无解；当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥． 所以不等式()8f x ≥的解集为{}35≥-≤x x x 或．（2）因为4)3()1(31)(=++--≥++-=x x x x x f ，所以()min 4f x = 又不等式a a x f 3)(2-<的解集不是空集，所以432>-a a , 所以14-<>a a 或 即实数a 的取值范围是),4()1,(+∞--∞Y 例3 解关于x 的一元二次不等式(x-2)(ax-2)>0.【解答】当a=0时，原不等式可化为x-2<0，所以x<2. 当a ≠0时，原不等式化为a (x-2)x-2a>0，①当a>1时，2a <2，原不等式化为(x-2)2-x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭>0，所以x<2a 或x>2.②当a=1时，2a=2，原不等式化为(x-2)2>0，所以x ∈R 且x ≠2. ③当0<a<1时，2a >2，原不等式化为(x-2)2-x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭>0，则x<2或x>2a . ④当a<0时，2a <2，原不等式化为(x-2)2-x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<0，所以2a <x<2. 综上所述，当a=0时，原不等式的解集为{x|x<2}；当a>1时，原不等式的解集为2|2x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；当a=1时，原不等式的解集为{x|x ∈R 且x ≠2}；当0<a<1时，原不等式的解集为22x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；当a<0时，原不等式的解集为22x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.变式 解关于x 的一元二次不等式ax 2+(a-1)x-1>0.【解答】由ax 2+(a-1)x-1>0，得(ax-1)(x+1)>0. 当a>0时，(ax-1)(x+1)>0⇔1-x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(x+1)>0⇔x<-1或x>1a ； 当-1<a<0时，(ax-1)(x+1)>0⇔1-x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(x+1)<0⇔1a <x<-1； 当a=-1时，(ax-1)(x+1)>0⇔-(x+1)2>0⇔(x+1)2<0⇔x ∈∅； 当a<-1时，(ax-1)(x+1)>0⇔1-x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(x+1)<0⇔-1<x<1a .综上所述，当a>0时，不等式的解集为1|-1xxx a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；当-1<a<0时，不等式的解集为1|-1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当a=-1时，不等式的解集为∅；当a<-1时，不等式的解集为1|-1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.题组小结：.类型2：三个二次之间的关系例4（1）.(2016·启东调研测试)已知偶函数f (x )在[0，+∞)上单调递增，且f (3)=0， 则不等式f (x 2-2x )<0的解集为 . 【答案】(-1，3)【解析】根据偶函数的性质，可得-3<x 2-2x<3，解得-1<x<3，从而不等式的解集为(-1，3). （2）(必修1 P32习题7改编)若定义在R 上的二次函数f (x )=ax 2-4ax+b 在区间[0，2]上是增函数，且f (m )≥f (0)，则实数m 的取值范围是 .【答案】{m|0≤m ≤4}【解析】由函数的对称轴为x=2，且在[0，2]上为增函数，知a<0，根据函数图象可得实数m 的取值范围是{m|0≤m ≤4}.（3）.(2014·江苏第10题)已知函数f (x )=x 2+mx-1，若对于任意的x ∈[m ，m+1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是 .【答案】-02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】因为二次函数开口向上，在区间[m ，m+1]上始终满足f (x )<0，所以只需()0(1)0f m f m <⎧⎨+<⎩，即可，由222-10(1)(1)-10m m m m m ⎧+<⎨+++<⎩，，解得3-02m m ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，故实数m的取值范围为-02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 例5 (2016·苏州调研测试)已知函数f (x )=x|x-a|，a ∈R ，g (x )=x 2-1.(1)当a=1时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)记函数f (x )在区间[0，2]上的最大值为F (a )，求F (a )的表达式. 【解答】(1)由f (x )≥g (x )，当a=1时，即解不等式x|x-1|≥x 2-1.当x ≥1时，不等式为x 2-x ≥x 2-1，解得x ≤1，所以x=1； 当x<1时，不等式为x-x 2≥x 2-1，解得-12≤x ≤1，所以-12≤x<1. 综上，不等式f (x )≥g (x )的解集为1-12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. (2)因为x ∈[0，2]，当a ≤0时，f (x )=x 2-ax ，则f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以F (a )=f (2)=4-2a.当0<a<2时，f (x )=22-0-2x ax x a x ax a x ⎧+≤<⎨≤≤⎩，，，，则f (x )在区间02a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，在区间2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，在区间[a ，2]上是增函数，所以F (a )=max (2)2a f f ⎧⎫⎛⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭，， 而f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a ，f (2)=4-2a ，令f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<f (2)，即24a <4-2a ，解得-4-4+4，所以当0<a<44时，F (a )=4-2a ；令f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥f (2)，即24a ≥4-2a ，解得a ≤-4-4或a ≥-4+4，所以当4-4≤a<2时，F (a )=24a .当a ≥2时，f (x )=-x 2+ax ，当1≤2a <2，即2≤a<4时，f (x )在区间02a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，则F (a )=f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a ；当2a≥2，即a ≥4时，f (x )在区间[0，2]上是增函数，则F (a )=f (2)=2a-4； 综上，F (a )=24-2442-4 4.a a aa a a ⎧<⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩，，，， 变式 (2016·苏锡常镇一调)已知函数f (x )=2x-1+a ，g (x )=bf (1-x )，其中a ，b ∈R .若关于x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(-∞，-2]∪1-4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，【解析】因为g (x )=b (2-x +a )，所以f (x )≥g (x )，即2x-1+a ≥2x b +ab ，即(2x)2-2a(b-1)2x-2b≥0.由二次不等式与二次方程的根的关系知，关于2x的方程(2x)2-2a(b-1)2x-2b=0的2x的值分别为4，-2b.因为2x取正值，要想2x最小为4，所以-2b≤0，即b≥0.又因为4-2b=2a(b-1)，所以b=4(2)41aa++≥0，解得a≤-2或a>-14.题组小结：.类型3：线性规划问题例6(2016·全国卷)若实数x，y满足约束条件-10-202-20x yx yx y+≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，，，则z=x+y的最大值为.【答案】32【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.联立-202-20x yx y=⎧⎨+=⎩，，得A112⎛⎫⎪⎝⎭，，当直线z=x+y过点A时，z取得最大值，所以z max=1+12=32.变式1(2016·山东卷)若变量x，y满足约束条件22-39x yx yx+≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，，，则x2+y2的最大值是.【答案】10【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，设z=x2+y2，联立22-39x y x y +=⎧⎨=⎩，，得3-1x y =⎧⎨=⎩，，由图可知，当x 2+y 2=z 过点(3，-1)时，z 取得最大值，即(x 2+y 2)max =32+(-1)2=10.变式2 (2016·苏州中学)若实数x ，y 满足约束条件-30--3001x y x y y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩，，，则z=2x y x y ++的最小值为 .【答案】53【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，易知z=21y x y x ++=1+15231y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+，. 变式3 (2016·江苏第12题)已知实数x ，y 满足约束条件-2402-203--30x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，那么x 2+y 2的取值范围是 .【答案】4135⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】作出实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则x 2+y 2即为可行域内的点(x ，y )到原点O 的距离的平方.由图可知点A 到原点O 的距离最近，点B 到原点O 的距离最远.点A 到原点O 的距离即原点O 到直线2x+y-2=0的距离2212+=55，则(x 2+y 2)min =45；点B 为直线x-2y+4=0与3x-y-3=0的交点，即点B 的坐标为(2，3)，则(x 2+y 2)max =13.综上，x 2+y 2的取值范围是4135⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 变式4 (必修5 P77练习2改编)不等式组-2-10y x y x y ≤+⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，，所表示的平面区域的面积为 .【答案】14【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由题意知x B =1，x C =2.由-2-1y x y x =+⎧⎨=⎩，，解得y D =12，所以S △BCD =12×(x C -x B )×12=14.变式5 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，y ≥x －2，y ≥－12x ＋52，且目标函数z ＝－kx ＋y 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1时取得最小值，则实数k 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎫－12，114【解析】由题意知不等式组所表示的可行域为如图所示的△ABC 及其内部，其中A (3,1)，B (4,2)，C (1,2)．将目标函数变形得y ＝kx ＋z ，当z 取得最小值时，直线的纵截距最小．由于直线当且仅当经过点(3,1)时纵截距最小，结合动直线y ＝kx ＋z 绕定点A 旋转进行分析，知－12<k <1，故所求实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1.题组小结：.【课堂总结】1.含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．2.解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．【巩固作业】学案作业专题三（1）-不等式解法与线性规划作业：一、填空题1.(2016·苏州暑假测试)已知变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x-y的最大值是.【答案】7【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，可知当目标函数过点A(5，3)时，z取得最大值，所以z max=2×5-3=7.2.若对任意实数x∈[-1，1]，不等式x2+ax-3a<0恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】设f(x)=x2+ax-3a.因为对任意实数x∈[-1，1]，不等式x2+ax-3a<0恒成立，所以解得a>.3.(2015·山东卷)若变量x，y满足约束条件则z=x+3y的最大值为.【答案】7【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，当直线x+3y-z=0经过可行域内的点A时，z取得最大值.联立解得即A(1，2)，故z max=1+3×2=7.4.若关于x的不等式ax2+2x+a>0的解集为R，则实数a的取值范围是.【答案】(1，+∞)【解析】当a=0时，易知条件不成立；当a≠0时，要使不等式ax2+2x+a>0的解集为R，必须满足解得a>1.5.(必修5 P90习题6改编)若x，y满足约束条件则z=x+y的最小值是.【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=x+y，得y=-x+z.令z=0，画出y=-x的图象，当它的平行线经过点A(2，0)时，z取得最小值，最小值为z=2.6.(2016·淮阴中学)已知x，y∈R，且x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围是.【答案】[4，12]【解析】因为2xy=6-(x2+4y2)，而2xy≤2242x y+，所以6-(x2+4y2)≤2242x y+，所以x2+4y2≥4，当且仅当x=2y时取等号.又因为(x+2y)2=6+2xy≥0，即2xy≥-6，所以z=x2+4y2=6-2xy≤12.综上可得4≤x2+4y2≤12.7.(2016·苏大考前卷)已知不等式(ax+3)(x2-b)≤0对任意x∈(0，+∞)恒成立，其中a，b是整数，则a+b的取值集合为.【答案】{8，-2}【解析】当b≤0时，由(ax+3)(x2-b)≤0得ax+3≤0在x∈(0，+∞)上恒成立，则a<0，且a·0+3≤0，矛盾，故b>0.当b>0时，由(ax+3)(x2-b)≤0可设f(x)=ax+3，g(x)=x2-b，又g(x)的大致图象如图所示，那么由题意可知3-aba<⎧⎪⎨=⎪⎩，，再由a，b是整数得到-19ab=⎧⎨=⎩，或-31ab=⎧⎨=⎩，，因此a+b=8或-2.8.(2016·启东中学)已知f(x)=x2+2x+a ln x，若f(x)在区间(0，1]上恒为单调函数，则实数a的取值范围为.【答案】(-∞，-4]∪[0，+∞)【解析】由题意知f'(x)=2x+2+ax=222x x ax++，因为f(x)在区间(0，1]上恒为单调函数，所以f'(x)在区间(0，1]上恒大于等于0或恒小于等于0，所以2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在区间(0，1]上恒成立，即a≥-(2x2+2x)或a≤-(2x2+2x)，而函数y=-2x2-2x 在区间(0，1]上的值域为[-4，0)，所以a≥0或a≤-4.9.(2016·扬州中学)已知函数f (x )=13x 3+2x ，对任意的t ∈[-3，3]，f (tx-2)+f (x )<0恒成立， 则实数x 的取值范围是 . 【答案】51--33⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】函数f (x )=13x 3+2x 是R 上的奇函数且单调增，f (tx-2)+f (x )<0化为f (tx-2)<f (-x )，即tx-2<-x ，问题变为g (t )=(x+1)t-2<0在t ∈[-3，3]上恒成立，故有(-3)0(3)0g g <⎧⎨<⎩，，解得-53<x<-13. 10.(2015·宿迁一模)已知函数f (x )=x 2-2ax+a 2-1，若关于x 的不等式f (f (x ))<0的解集为空集， 则实数a 的取值范围是 .【答案】(-∞，-2]【解析】因为f (x )=[x-(a+1)][x-(a-1)]，所以f (f (x ))<0等价于[f (x )-(a+1)][f (x )-(a-1)]<0，从而a-1<f (x )<a+1，要使f (f (x ))<0的解集为空集，根据函数的图象，则需y=a+1与y=f (x )至多有一个交点.又因为f (x )=(x-a )2-1≥-1，所以a+1≤-1，解得a ≤-2. 二、 解答题11.（惠州市2017届高三第三次调研）已知函数f (x )＝|x －a |.（Ⅰ）若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）由f (x )≤3，得|x －a |≤3.解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}．所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2. （Ⅱ）当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)， ∴g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立， 知实数m 的取值范围是(－∞，5]．12.(2016·江苏怀仁中学)设函数f (x )=ax 2+(b-2)x+3(a ≠0). (1)若不等式f (x )>0的解集为(-1，3)，求a ，b 的值； (2)若f (1)=2，a>0，b>0，求1a +4b的最小值. 解：(1) 由题意得(-1)0(3)0f f =⎧⎨=⎩，，即-5093-30a b a b +=⎧⎨+=⎩，，解得-14.a b =⎧⎨=⎩，(2) 因为f(1)=2，所以a+b=1，所以1a+4b=(a+b)14a b⎛⎫+⎪⎝⎭=5+ba+4ab≥9，当且仅当b=2a=12时取等号.13.(2016·泰州中学)已知函数f(x)=ax2+2x+c(a，c∈N*)满足①f(1)=5；②6<f(2)<11.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若对任意的x∈[1，2]，都有f(x)-2mx≥0恒成立，求实数m的取值范围.解：(1) 由题知5=a+c+2，即c=3-a.又6<4a+c+4<11，所以-13<a<43.又a∈N*，所以a=1，c=2.所以f(x)=x2+2x+2.(2) 由已知得2(m-1)≤x+2x在x∈[1，2]上恒成立.因为当x∈[1，2]时，x+2x∈223⎡⎤⎣⎦，，所以2(m-1)≤22，即m≤2+1，所以实数m的取值范围为(-∞，2+1].14.(2016·苏州一模)如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200 m，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.(1)若围墙AP，AQ总长度为200 m，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?(2)已知AP段围墙高1 m，AQ段围墙高1.5 m，造价均为100元/m2.若围围墙花费了20 000 元，问如何围可使竹篱笆用料最省?解(1) 设AP=x m，AQ=y m，则x+y=200，△APQ的面积S=12xy·sin 120°=34xy，所以S232x y+⎫⎪⎝⎭=2 5003S max=2 5003当且仅当200x yx y=⎧⎨+=⎩，，即x=y=100时取“=”.(2) 设AP=x m，AQ=y m，由题意得100×(x+1.5y)=20 000，即x+1.5y=200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以PQ2=x2+y2-2xy cos 120°=x2+y2+xy=(200-1.5y)2+y2+(200-1.5y)y=1.75y2-400y+40000=1.752800-7y⎛⎫⎪⎝⎭+12000074003y⎛⎫<<⎪⎝⎭，当y=8007时，PQ有最小值200217，此时x=2007.15.(2016·启东中学)设x>0，y>0，a=x+y，m∈N*).求证：若对任意正数x，y可使a，b，c为三角形三边，则m的取值集合为{1，2，3}.证明：①因为，c>0，故a+c>b恒成立.②若a+b>c恒成立，即恒成立.=2+m<2故当m<2+a+b>c恒成立.③若b+c>a恒成立，即=+恒成立.令t≥2)，则当t=2时，取得最大值，得m>2m>2b+c>a恒成立.综上，22+由m∈N*，得m的取值集合为{1，2，3}，即得证.。
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第七章不等式第三节基本不等式及其应用教案文解析版
１．基本不等式错误!≤错误!（１）基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.（２）等号成立的条件：当且仅当a＝b.２．几个重要的不等式（１）a２＋b２≥ ２ab（a，b∈R）；（２）错误!＋错误!≥错误!（a，b同号）；（３）ab≤错误!２（a，b∈R）；（４）错误!２≤错误!（a，b∈R）．３．算术平均数与几何平均数设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为错误!，几何平均数为错误!，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．４．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则（１）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是２错误!（简记：积定和最小）．（２）如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是错误!（简记：和定积最大）．[小题体验]１．（２0１9·南京调研）已知m，n均为正实数，且m＋２n＝１，则mn的最大值为________．解析：∵m＋２n＝１，∴m·２n≤错误!２＝错误!，即mn≤错误!，当且仅当m＝２n＝错误!时，mn 取得最大值错误!.答案：错误!２．若实数x，y满足xy＝１，则x２＋２y２的最小值为________．解析：x２＋２y２＝x２＋（错误!y）２≥２x（错误!y）＝２错误!，所以x２＋２y２的最小值为２错误!.答案：２错误!３．若把总长为２0 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m２.解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为（１0—x）m，由题知0＜x＜１0，则面积S＝x（１0—x）≤错误!２＝２５，当且仅当x＝１0—x，即x＝５时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为５m时面积取到最大值２５m２.答案：２５１．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．２．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．３．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．[小题纠偏]１．（２0１9·启东检测）函数y＝x＋错误!（x＞１）的最小值为________．解析：∵x＞１，∴x—１＞0，∴y＝x＋错误!＝（x—１）＋错误!＋１≥２错误!＋１＝7，当且仅当x＝４时取等号．答案：7２．函数f（x）＝x＋错误!的值域为____________________．答案：（—∞，—２]∪[２，＋∞）错误!错误![典例引领]１．（２0１8·启东期末）设正实数a，b满足a＋b＝１，则错误!＋错误!的最小值为________．解析：∵a＋b＝１，∴错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋４≥２错误!＋４＝8，当且仅当错误!＝错误!，即a＝错误!，b＝错误!时等号成立，∴错误!＋错误!的最小值为8．答案：8２．（２0１9·常州调研）若实数x满足x＞—４，则函数f（x）＝x＋错误!的最小值为________．解析：因为x＞—４，所以x＋４＞0，所以f（x）＝x＋错误!＝x＋４＋错误!—４≥２错误!—４＝２，当且仅当x＋４＝错误!，即x＝—１时取等号．３．（２0１8·徐州调研）已知实数x，y满足x２＋y２＝３，|x|≠|y|，则错误!＋错误!的最小值为________．解析：因为（２x＋y）２＋（x—２y）２＝５（x２＋y２）＝１５，所以令（２x＋y）２＝t，（x—２y）２＝μ，所以t＋μ＝１５，错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!（t＋μ）错误!＝错误!错误!≥错误!（５＋４）＝错误!，当且仅当t＝５，μ＝１0时取等号，所以错误!＋错误!的最小值为错误!.答案：错误![由题悟法]利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：（１）对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．（２）条件变形，进行“１”的代换求目标函数最值．[即时应用]１．设0＜x＜错误!，则函数y＝４x（３—２x）的最大值为________．解析：y＝４x（３—２x）＝２[２x（３—２x）]≤２错误!２＝错误!，当且仅当２x＝３—２x，即x＝错误!时，等号成立．又因为错误!∈错误!，所以函数y＝４x（３—２x）错误!的最大值为错误!.答案：错误!２．已知正数x，y满足x２＋２xy—３＝0，则２x＋y的最小值是________．解析：由题意得y＝错误!，所以２x＋y＝２x＋错误!＝错误!＝错误!错误!≥３，当且仅当x＝y＝１时，等号成立．答案：３３．（２0１7·天津高考）若a，b∈R，ab＞0，则错误!的最小值为________．解析：因为ab＞0，所以错误!≥错误!＝错误!＝４ab＋错误!≥２错误!＝４，当且仅当错误!时取等号，故错误!的最小值是４．错误!错误![典例引领]经调查测算，某产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x＝３—错误!（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是１万件．已知２0２0┄２0２１届生产该产品的固定投入为8万元，每生产１万件该产品需要再投入１6万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的１．５倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（１）将２0２0┄２0２１届该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（２）该厂家２0２0┄２0２１届的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：（１）由题意可知，当m＝0时，x＝１，所以１＝３—k，解得k＝２，即x＝３—错误!，每１万件产品的销售价格为１．５×错误!（万元），所以２0２0┄２0２１届的利润y＝x错误!—（8＋１6x＋m）＝４＋8x—m＝４＋8错误!—m＝２8—错误!—m（m≥0）．所以利润y表示为年促销费用的函数关系式是y＝２8—错误!—m（m≥0）．（２）由（１）知y＝—错误!＋２9（m≥0）．因为m≥0时，错误!＋（m＋１）≥２错误!＝8，当且仅当错误!＝m＋１，即m＝３时取等号．所以y≤—8＋２9＝２１，即当m＝３时，y取得最大值２１．所以当该厂家２0２0┄２0２１届的促销费用投入３万元时，厂家获得的利润最大，为２１万元．[由题悟法]解实际应用题的３个注意点（１）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．（２）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．（３）在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解．[即时应用]某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形的休闲区A１B１C１D１和人行道（阴影部分）组成．已知休闲区A１B１C １D１的面积为４000 m２，人行道的宽分别为４m和１0 m（如图所示）．（１）若设休闲区的长和宽的比错误!＝x（x＞１），求公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（２）要使公园所占面积最小，则休闲区A１B１C１D１的长和宽该如何设计？解：（１）设休闲区的宽为a m，则长为ax m，由a２x＝４000，得a＝错误!.则S（x）＝（a＋8）（ax＋２0）＝a２x＋（8x＋２0）a＋１60＝４000＋（8x＋２0）·错误!＋１60＝80错误!错误!＋４１60（x＞１）．（２）S（x）＝80错误!错误!＋４１60≥80错误!×２错误!＋４１60＝１600＋４１60＝５760，当且仅当２错误!＝错误!，即x＝２．５时，等号成立，此时a＝４0，ax＝１00．所以要使公园所占面积最小，休闲区A１B１C１D１的长和宽应分别设计为１00 m,４0 m.错误!错误![典例引领]１．（２0１9·淮安调研）若x∈（0,１）时，不等式m≤错误!＋错误!恒成立，则实数m的最大值为________．解析：∵x∈（0,１），∴１—x∈（0,１），∵x＋（１—x）＝１，∴错误!＋错误!＝错误![x＋（１—x）]＝２＋错误!＋错误!≥２＋２错误!＝４，当且仅当错误!＝错误!，即x＝错误!时取等号，∴m≤４，即实数m的最大值为４．答案：４２．已知函数f（x）＝错误!（a∈R），若对于任意的x∈N*，f（x）≥３恒成立，则a的取值范围是________．解析：对任意x∈N*，f（x）≥３，即错误!≥３恒成立，即a≥—错误!＋３．设g（x）＝x＋错误!，x∈N*，则g（x）＝x＋错误!≥４错误!，当x＝２错误!时等号成立，又g（２）＝6，g（３）＝错误!.因为g（２）＞g（３），所以g（x）min＝错误!.所以—错误!＋３≤—错误!，所以a≥—错误!，故a的取值范围是错误!.答案：错误![由题悟法]求解含参数不等式的求解策略（１）观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．（２）在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．[即时应用]１．（２0１9·东台月考）若对任意x＞0，错误!≤a恒成立，则a的最小值为________．解析：错误!＝错误!，∵x＞0，∴x＋３＋错误!≥３＋２错误!＝３＋２＝５，当且仅当x＝错误!，即x＝１时取等号，∴0＜错误!≤错误!，∴要使错误!≤a恒成立，则a≥错误!，故a的最小值为错误!.答案：错误!２．已知正数x，y满足x＋２错误!≤λ（x＋y）恒成立，求实数λ的最小值．解：依题意得x＋２错误!≤x＋（x＋２y）＝２（x＋y），即错误!≤２（当且仅当x＝２y时取等号），即错误!的最大值为２．又λ≥错误!，因此有λ≥２，即λ的最小值为２．一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·连云港调研）若x＞0，y＞0，且log２x＋log２y＝２，则错误!＋错误!的最小值为________．解析：∵x＞0，y＞0，且log２x＋log２y＝log２xy＝２，∴xy＝４，∴错误!＋错误!≥２错误!＝错误!，当且仅当错误!＝错误!且xy＝４，即x＝错误!，y＝２错误!时取等号，∴错误!＋错误!的最小值为错误!.答案：错误!２．当x＞0时，f（x）＝错误!的最大值为________．解析：因为x＞0，所以f（x）＝错误!＝错误!≤错误!＝１，当且仅当x＝错误!，即x＝１时取等号．答案：１３．（２0１8·苏州期末）已知a＞0，b＞0，且错误!＋错误!＝１，则３a＋２b＋错误!的最小值为________．解析：∵a＞0，b＞0，且错误!＋错误!＝１，∴３a＋２b＋错误!＝３a错误!＋２b错误!＋错误!＝５＋错误!＋错误!≥５＋２错误!＝１１，当且仅当a＝b＝２时取等号，∴３a＋２b＋错误!的最小值为１１．答案：１１４．当３＜x＜１２时，函数y＝错误!的最大值为________．解析：y＝错误!＝错误!＝—错误!＋１５≤—２错误!＋１５＝３．当且仅当x＝错误!，即x＝6时，y max＝３．答案：３５．（２0１8·通州期末）若log４（a＋４b）＝log２错误!，则a＋b的最小值是________．解析：∵log４（a＋４b）＝log２错误!，∴log２错误!＝log２错误!，a＋４b＞0，ab＞0．∴错误!＝错误!，即a＋４b＝ab，∴错误!＋错误!＝１，∴a＋b＝（a＋b）错误!＝５＋错误!＋错误!≥５＋２错误!＝9，当且仅当a＝２b＝6时取等号．∴a＋b的最小值是9．答案：96．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为错误!天，且每件产品每天的仓储费用为１元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是错误!元，每件产品的仓储费用是错误!元，则错误!＋错误!≥２错误!＝２0，当且仅当错误!＝错误!，即x＝80时“＝”成立，所以每批生产产品80件．答案：80二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·盐城调研）若x＞0，y＞0，且x＋错误!＋y＋错误!≤9，则错误!＋错误!的最大值为________．解析：令x＋y＝n，错误!＋错误!＝m，∴m·n＝（x＋y）错误!＝５＋错误!＋错误!≥9．∴错误!⇒9≥m＋n≥m＋错误!.∴m２—9m＋9≤0，解得错误!≤m≤错误!.∴错误!＋错误!的最大值为错误!.答案：错误!２．已知ab＝错误!，a，b∈（0,１），则错误!＋错误!的最小值为________．解析：由题意得b＝错误!，所以0＜错误!＜１，即a∈错误!，得错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋２．４（１—a）＋（４a—１）＝３，记S＝错误!＋错误!，则S＝错误!＋错误!＝错误![（４—４a）＋（４a—１）]错误!＝２＋错误!错误!≥２＋错误!，当且仅当错误!＝错误!时等号成立，所以所求最小值为４＋错误!.答案：４＋错误!３．（２0１8·连云港期末）已知x＞0，y＞0，且２x＋４y＝４，则错误!＋错误!的最小值是________．解析：∵x＞0，y＞0，且２x＋４y＝４，∴４＝２x＋４y≥２错误!，即x＋２y≤２，∴错误!＋错误!≥错误!错误!（x＋２y）＝错误!错误!≥错误!错误!＝４，当且仅当x＝２y时等号成立，∴错误!＋错误!的最小值是４．答案：４４．（２0１9·湖北七市（州）协作体联考）已知直线ax＋by—6＝0（a＞0，b＞0）被圆x２＋y２—２x—４y＝0截得的弦长为２错误!，则ab的最大值是________．解析：将圆的一般方程化为标准方程为（x—１）２＋（y—２）２＝５，圆心坐标为（１,２），半径r ＝错误!，故直线过圆心，即a＋２b＝6，所以a＋２b＝6≥２错误!，可得ab≤错误!，当且仅当a＝２b ＝３时等号成立，即ab的最大值是错误!.答案：错误!５．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°（如图），考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为9错误!m２，且高度不低于错误!m，记防洪堤横断面的腰长为x m，外周长（梯形的上底与两腰长的和）为y m，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即横断面的外周长最小），则防洪堤的腰长x＝________.解析：设横断面的高为h，由题意得AD＝BC＋２·错误!＝BC＋x，h＝错误!x，所以9错误!＝错误!（AD＋BC）h＝错误!（２BC＋x）·错误!x，故BC＝错误!—错误!，由错误!得２≤x＜6，所以y＝BC＋２x＝错误!＋错误!（２≤x＜6），从而y＝错误!＋错误!≥２错误!＝6错误!，当且仅当错误!＝错误!（２≤x＜6），即x＝２错误!时等号成立．答案：２错误!6．（２0１8·苏州期末）已知正数x，y满足x＋y＝１，则错误!＋错误!的最小值为________．解析：令x＋２＝a，y＋１＝b，则a＋b＝４（a＞２，b＞１），所以错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!（a＋b）错误!＝错误!错误!≥错误!（５＋４）＝错误!，当且仅当a＝错误!，b＝错误!，即x＝错误!，y＝错误!时取等号．则错误!＋错误!的最小值为错误!.答案：错误!7．（２0１8·南通三模）若正实数x，y满足x＋y＝１，则错误!＋错误!的最小值是________．解析：因为正实数x，y满足x＋y＝１，所以错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋４≥２错误!＋４＝8，当且仅当错误!＝错误!，即x＝错误!，y＝错误!时取“＝”，所以错误!＋错误!的最小值是8．答案：88．（２0１8·扬州期末）已知正实数x，y满足x＋y＝xy，则错误!＋错误!的最小值为________．解析：∵x＋y＝xy，∴错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝２x＋３y.又∵x＋y＝xy可化为错误!＋错误!＝１，∴２x＋３y＝（２x＋３y）错误!＝错误!＋错误!＋５≥２错误!＋５＝２错误!＋５，当且仅当２x２＝３y２时取等号，∴错误!＋错误!的最小值为２错误!＋５．答案：２错误!＋５9．（１）当x＜错误!时，求函数y＝x＋错误!的最大值；（２）设0＜x＜２，求函数y＝错误!的最大值．解：（１）y＝错误!（２x—３）＋错误!＋错误!＝—错误!＋错误!.当x＜错误!时，有３—２x＞0，所以错误!＋错误!≥２错误!＝４，当且仅当错误!＝错误!，即x＝—错误!时取等号．于是y≤—４＋错误!＝—错误!，故函数的最大值为—错误!.（２）因为0＜x＜２，所以２—x＞0，所以y＝错误!＝错误!·错误!≤ 错误!·错误!＝错误!，当且仅当x＝２—x，即x＝１时取等号，所以当x＝１时，函数y＝错误!的最大值为错误!.１0．（２0１9·泰州调研）已知x＞0，y＞0，且２x＋y＝４．（１）求xy的最大值及相应的x，y的值；（２）求9x＋３y的最小值及相应的x，y的值．解：（１）因为４＝２x＋y≥２错误!⇒xy≤２，所以xy的最大值为２，当且仅当２x＝y＝２，即x＝１，y＝２时取“＝”．（２）因为9x＋３y＝３２x＋３y≥２错误!＝１8，所以9x＋３y的最小值为１8，当且仅当9x＝３y，即２x＝y＝２⇒x＝１，y＝２时取“＝”．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·启东期中）已知α为锐角，则２tan α＋错误!的最小值为________．解析：∵α为锐角，∴tan α＞0，∴２tan α＋错误!＝２tan α＋错误!＝错误!＋错误!≥２错误!＝错误!，当且仅当tan α＝错误!，即α＝错误!时取得等号，∴２tan α＋错误!的最小值为错误!.答案：错误!２．（２0１8·苏北四市联考）已知对满足x＋y＋４＝２xy的任意正实数x，y，都有x２＋２xy＋y２—ax—ay＋１≥0，则实数a的取值范围为________．解析：法一：由x＋y＋４＝２xy≤错误!得（x＋y）２—２（x＋y）—8≥0，又x，y是正实数，得x ＋y≥４．原不等式整理可得（x＋y）２—a（x＋y）＋１≥0，令x＋y＝t，t≥４，则t２—at＋１≥0，t∈[４，＋∞）（*）恒成立，当Δ＝a２—４≤0，即—２≤a≤２时，（*）式恒成立；当a＜—２时，对称轴t＝错误!＜—１，（*）式恒成立；当a＞２时，对称轴t＝错误!，要使（*）式恒成立，则错误!＜４，且１6—４a ＋１≥0，得２＜a≤错误!.综上可得（*）式恒成立时，a≤错误!，则实数a的取值范围是错误!.法二：由x＋y＋４＝２xy≤错误!得（x＋y）２—２（x＋y）—8≥0，又x，y是正实数，得x＋y≥４．原不等式整理可得（x＋y）２—a（x＋y）＋１≥0，令x＋y＝t，t≥４，则t２—at＋１≥0，t∈[４，＋∞）（*）恒成立，则a≤错误!min＝错误!，故实数a的取值范围是错误!.答案：错误!３．某工厂某种产品的年固定成本为２５0万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）＝错误!x２＋１0x（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）＝５１x＋错误!—１４５0（万元）．每件商品售价为0．0５万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（１）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式．（２）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：（１）因为每件商品售价为0．0５万元，则x千件商品销售额为0．0５×１000x万元，依题意得：当0＜x＜80时，L（x）＝（0．0５×１000x）—错误!x２—１0x—２５0＝—错误!x２＋４0x—２５0．当x≥80时，L（x）＝（0．0５×１000x）—５１x—错误!＋１４５0—２５0＝１２00—错误!.所以L（x）＝错误!（２）当0＜x＜80时，L（x）＝—错误!（x—60）２＋9５0．此时，当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝9５0万元．当x≥80时，L（x）＝１２00—错误!≤１２00—２错误!＝１２00—２00＝１000．此时x＝错误!，即x＝１00时，L（x）取得最大值１000万元．由于9５0＜１000，所以，当年产量为１00千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为１000万元．命题点一一元二次不等式１．（２0１7·山东高考改编）设函数y＝错误!的定义域为A，函数y＝ln（１—x）的定义域为B，则A∩B＝________.解析：由题意可知A＝{x|—２≤x≤２}，B＝{x|x＜１}，故A∩B＝{x|—２≤x＜１}．答案：[—２,１）２．（２0１４·江苏高考）已知函数f（x）＝x２＋mx—１，若对于任意x∈[m，m＋１]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是________．解析：由题可得f（x）＜0对于x∈[m，m＋１]恒成立，即错误!解得—错误!＜m＜0．答案：错误!３．（２0１２·江苏高考）已知函数f（x）＝x２＋ax＋b（a，b∈R）的值域为[0，＋∞），若关于x 的不等式f（x）＜c的解集为（m，m＋6），则实数c的值为________．解析：因为f（x）的值域为[0，＋∞），所以Δ＝0，即a２＝４b，所以x２＋ax＋错误!—c＜0的解集为（m，m＋6），易得m，m＋6是方程x２＋ax＋错误!—c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得错误!解得c＝9．答案：9命题点二简单的线性规划问题１．（２0１6·江苏高考）已知实数x，y满足错误!则x２＋y２的取值范围是________．解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则（x，y）为阴影区域内的动点．d＝错误!可以看做坐标原点O与可行域内的点（x，y）之间的距离．数形结合，知d的最大值是OA的长，d的最小值是点O到直线２x＋y—２＝0的距离．由错误!可得A（２,３），所以d max＝错误!＝错误!，d min＝错误!＝错误!.所以d２的最小值为错误!，最大值为１３．所以x２＋y２的取值范围是错误!.答案：错误!２．（２0１8·全国卷Ⅰ）若x，y满足约束条件错误!则z＝３x＋２y的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由z＝３x＋２y，得y＝—错误!x＋错误!.作直线l0：y＝—错误!x.平移直线l0，当直线y＝—错误!x＋错误!过点（２,0）时，z取最大值，z max＝３×２＋２×0＝6．答案：6３．（２0１7·全国卷Ⅲ改编）设x，y满足约束条件错误!则z＝x—y的取值范围是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z ＝x—y过点A（２,0）时，z取得最大值２，当直线z＝x—y过点B（0,３）时，z取得最小值—３，所以z＝x—y的取值范围是[—３,２]．答案：[—３,２]４．（２0１8·全国卷Ⅱ）若x，y满足约束条件错误!则z＝x＋y的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x＋y＝z过点A时z取得最大值．由错误!得点A（５,４），∴z max＝５＋４＝9．答案：9５．（２0１8·北京高考）若x，y满足x＋１≤y≤２x，则２y—x的最小值是________．解析：由条件得错误!即错误!作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．设z＝２y—x，即y＝错误!x＋错误!z，作直线l0：y＝错误!x并向上平移，显然当l0过点A（１,２）时，z取得最小值，z min＝２×２—１＝３．答案：３6．（２0１7·天津高考）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）甲70５60乙60５２５已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于３0分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的２倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（１）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（２）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：（１）由已知，x，y满足的数学关系式为错误!即错误!该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点．（２）设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋２５y.考虑z＝60x＋２５y，将它变形为y＝—错误!x＋错误!，这是斜率为—错误!，随z变化的一族平行直线.错误!为直线在y轴上的截距，当错误!取得最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z＝60x＋２５y经过可行域上的点M时，截距错误!最大，即z最大．解方程组错误!得点M的坐标为（6,３）．所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧３次时才能使总收视人次最多．命题点三基本不等式１．（２0１7·江苏高考）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为４x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．解析：由题意，一年购买错误!次，则总运费与总存储费用之和为错误!×6＋４x＝４错误!≥8错误!＝２４0，当且仅当x＝３0时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是３0．答案：３0２．（２0１6·江苏高考）在锐角三角形ABC中，若sin A＝２sin B sin C，则tan A tan B tan C的最小值是________．解析：在锐角三角形ABC中，因为sin A＝２sin B sin C，所以sin（B＋C）＝２sin B sin C，所以sin B cos C＋cos B sin C＝２sin B sin C，等号两边同除以cos B cos C，得tan B＋tan C＝２tan B tan C.所以tan A＝tan[π—（B＋C）]＝—tan （B＋C）＝错误!＝错误!.１因为A，B，C均为锐角，所以tan B tan C—１＞0，所以tan B tan C＞１．由１得tan B tan C＝错误!.又由tan B tan C＞１得错误!＞１，所以tan A＞２．所以tan A tan B tan C＝错误!＝错误!＝（tan A—２）＋错误!＋４≥２错误!＋４＝8，当且仅当tan A—２＝错误!，即tan A＝４时取得等号．故tan A tan B tan C的最小值为8．答案：8３．（２0１8·天津高考）已知a，b∈R，且a—３b＋6＝0，则２a＋错误!的最小值为________．解析：∵a—３b＋6＝0，∴a—３b＝—6．∴２a＋错误!＝２a＋２—３b≥２错误!＝２错误!＝２错误!＝２×２—３＝错误!，当且仅当错误!即错误!时等号成立．答案：错误!４．（２0１7·全国卷Ⅰ改编）已知F为抛物线C：y２＝４x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l１，l２，直线l１与C交于A，B两点，直线l２与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________．解析：抛物线C：y２＝４x的焦点为F（１,0），由题意可知l１，l２的斜率存在且不为0．不妨设直线l１的斜率为k，则l１：y＝k（x—１），l２：y＝—错误!（x—１），由错误!消去y，得k２x２—（２k２＋４）x＋k２＝0，设A（x１，y１），B（x２，y２），所以x１＋x２＝错误!＝２＋错误!，由抛物线的定义可知，|AB|＝x１＋x２＋２＝２＋错误!＋２＝４＋错误!.同理得|DE|＝４＋４k２，所以|AB|＋|DE|＝４＋错误!＋４＋４k２＝8＋４错误!≥8＋8＝１6，当且仅当错误!＝k２，即k＝±１时取等号，故|AB|＋|DE|的最小值为１6．答案：１6。
高考专题复习不等式及应用、三元不等式
基本不等式及其应用新课标要求: 掌握基本不等式2a b+（0,0≥≥b a ）；能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问题）. 考试说明要求:C 级 ● 主要知识：1.基本不等式：若0,0≥≥b a ，则a b+a b =时成立）;2.平方平均不等式：如果,a b R ∈≥2a b +;3.最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值.一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：⑴当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． ⑵求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． ●主要方法：1.使用基本不等式求最值的前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设条件(加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等)；还要注意选择恰当的公式；2. 基本不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等号的条件是否一致;3.当使用基本不等式求最值等号不能成立时，应考虑函数的单调性.应用一：求最值例1：求下列函数的值域：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ;（2）y ＝x ＋1x解题技巧： 技巧一：凑项 51技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
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基本不等式及其应用新课标要求: 掌握基本不等式 ab ≤2a b+（0,0≥≥b a ）；能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问题）. 考试说明要求:C 级 ● 主要知识：1.基本不等式：若0,0≥≥b a ，则2a b+≥ab （等号仅当a b =时成立）; 2.平方平均不等式：如果,a b R ∈，则222a b +≥2a b +; 3.最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值.一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：⑴当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． ⑵求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． ●主要方法：1.使用基本不等式求最值的前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设条件(加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等)；还要注意选择恰当的公式； 2. 基本不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等号的条件是否一致; 3.当使用基本不等式求最值等号不能成立时，应考虑函数的单调性.应用一：求最值例1：求下列函数的值域：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ;（2）y ＝x ＋1x解题技巧： 技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
技巧四：换元评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。
即化为()(0,0)()Ay mg x B A B g x =++>>，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x =+的单调性。
例：求函数224y x =+的值域。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈2．已知01x <<，求函数(1)y x x -.；3．203x <<，求函数(23)y x x =-.条件求最值1.若实数满足2=+b a ，则ba33+的最小值是 .分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且ba33⋅定值，因此考虑利用均值定理求最小值，变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
2：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
变式： （1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值(2)已知+∈Ry x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x +的最小值技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
技巧九、取平方5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.变式:求函数15()22y x =<<的最大值。
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。
应用二：利用基本不等式证明不等式1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a++>++2221）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc例6：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。
求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又111a b c a a a -+-==≥可由此变形入手。
应用三：基本不等式与恒成立问题 例：已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .●夯实基础1.已知下列四个结论：①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②21,0≥+>xx x 时当；③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当x x x 1,20-≤<时无最大值.则其中正确命题的序号为 . 2.已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 .3.已知lg lg 1x y +=，则52x y +的最小值是 .4.设a ＞1,且2log (1),log (1),log (2)a a a m a n a p a =+=-=,则p n m ,,的大小关系为 .5.ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 . ●典型例题 例1.（1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. （2）求函数1422++=x x y 的最小值，并求出取得最小值时的x 值．变式练习: (1)求函数y ＝x ＋12x (x <0)的最大值；(2)求函数y ＝1x －3＋x (x >3)的最小值；(3)求函数y ＝x (a －2x )(x >0，a 为大于2x 的常数)的最大值．例2.（1）已知a ，b 为正常数，x 、y 为正实数，且1a b+=x y，求x+y 的最小值.（2） 已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值．变式练习: 1.函数1(01)xy aa a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为 .2．(2008·江苏)设x ，y ，z 为正实数，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值是________．●反馈练习1．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是 .2．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c2的大小关系是________．3．设x ＋y ＝1，x 、y ∈(0，＋∞)，则x 2＋y 2＋xy 的最小值是____________．4．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝2 3，则1x ＋1y的最大值为 .热点二 利用基本不等式求最值 [微题型1] 基本不等式的简单应用【例2－1】 (2015·武汉模拟)已知两个正数x ，y 满足x ＋4y ＋5＝xy ，则xy 取最小值时，x ，y 的值分别为________． [微题型2] 带有约束条件的基本不等式问题【例2－2】 (2015·四川卷改编)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为________．[微题型3] 基本不等式在实际问题中的应用【例2－3】 如图，在C 城周边已有两条公路l 1，l 2在点O 处交汇．已知OC ＝(2＋6)km ，∠AOB ＝75°，∠AOC ＝45°，现规划在公路l 1，l 2上分别选择A ，B 两处为交汇点(异于点O )直接修建一条公路通过C 城．设OA ＝x km ，OB ＝y km. (1)求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； (2)试确定点A ，B 的位置，使△OAB 的面积最小．探究提高 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．【训练2】 (1)(2015·广州模拟)若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1＝xy ，则x ＋2y 的最小值是________． (2)已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________． 8．(2015·苏、锡、常、镇调研)已知x ，y ∈R ，满足2≤y ≤4－x ，x ≥1，则x 2＋y 2＋2x －2y ＋2xy －x ＋y －1的最大值为________．10．(2015·苏北四市调研)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度)．(1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？一、基本不等式应用技巧一、问题背景关于基本不等式(0,0)2a ba b +≤≥≥，除了直接套用结论外，在应用时往往有一定的技巧性，是近几年高考中的常考题型． 二、常见的思想方法: 主要思想：等价转化思想、化归思想等．具体方法包括常数“1”代换、换元法等． 例 （1）已知x 、y 为正实数，且1x y +=，则yx 121+的最小值为 ．变式1、已知x 、y 为正实数，且1x y +=，则yxx +21的最小值为 ； 变式2、已知x 、y 为正实数，且1x y +=，则1121++y x 的最小值为 ； 变式3、已知x 、y 为正实数，且1x y +=，则121x x y ++的最小值为 ； 变式4、将变式1～4中的条件和结论互换，如何求解（2）已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，则xy 的最大值为 ． 变式5、若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值 ； 变式6、已知,x y 为正数，且13310x y x y+++=，则3x y +的最大值为 ； （3）设,x y 是正实数，且3x y +=，则1122+++y y x x 的最小值是 ． 变式7、已知x 、y 为正实数，且24x y +=，则22221x y x y +++的最小值为 ； 变式8、设,x y 是正实数，且3x y +=，则2211y x x y +++的最小值是 ． （4）设a b c ，，都是正数，且满足141a b +=则使a b c +>恒成立的c 的取值范围是 ． （5）设实数a ，x ，y ，满足2222123x y a x y a a +=-⎧⎨+=+-⎩则xy 的取值范围是 ． （6）已知a b ∈R ，， 45222=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 ． 变式9、已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则ab 的最小值为 .练习：1．已知2230x ->对x R ∈恒成立，则a 的范围为 .2．已知x 、y 为正实数，且1312x y +=+，则x +y 最小值为 . 3．2()log (2)f x x =-，若m ,n 满足()(2)3f m f n +=，则m +n 最小值为 .4．已知412,0,0=+>>yx y x 且，则y x 2+最小值是 ． 5．已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy+的最小值为 ． 6．已知正数y x ,满足111=+yx ，则1914-+-y y x x 的最小值为 ． 7．若0,y 0x >>,且1322x y x y+=++,则65x y +的最小值为 ． 8．已知,(0,)x y ∈+∞，312()2x y -=，则14x y+的最小值为 ． 9．若,20<<x 则函数)24(x x y -=的最大值为 ．10．当0<x 时，函数xx x y 422++=的最大值为 .11．若f (x )＝x ＋1ax -在x ≥3时有最小值4，则a ＝_________． 12．设0,0,1a b a b >>+=，求证：1118a b ab++≥二、多元变量的最值与范围问题一、考题再现 考点热身:2016届高三三模T13：设实数,x y 满足2214x y -=，则232x xy -的最小值为 ． 二、热点追踪 方法探究例1 设,a b 为正实数，且2a b +=则（1）13a b+的最小值为 ；（2）2221a b a b +++的最小值为 变式（1）设,a b 为正实数，且141a b+=则a b +的最小值为 ． （2）设,a b 为正实数，且40a b ab +-=则a b +的最小值为 ． 练习：常数,a b 和正变量,x y 满足16ab =，212a b x y +=，若2x y +的最小值为64，则b a = ． 例2：设正实数,x y 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为 ． 变式．（08年江苏高考11题）已知z y x ,,为正数，满足032=+-z y x ，则xzy 2的最小值为例3：不等式29bx c lnx x ++≤对于(0,)x ∀∈+∞，(0,3)b ∈恒成立，则实数c 的范围为 ． 练习：不等式22()a mb b a b λ+≥+对于,a b R ∀∈，存在R λ∈恒成立，则实数m 的范围为 ．13.已知y x ,为正实数，则xyy x x ++22的最小值为 14.设0))(3(2≤-+b x ax 对任意),0[+∞∈x 恒成立，其中b a ,是整数，则b a +的取值的集合为13．已知函数f (x )＝ax 2＋x －b (a ，b 均为正数)，不等式f (x )＞0的解集记为P ，集合Q ＝{x |－2－t ＜x ＜－2＋t }．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠∅，则1a －1b 的最大值是14．若存在两个正实数x 、y ，使得等式x ＋a (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为13. 已知函数f (x )＝2x －1＋a ，g (x )＝bf (1－x )，其中a ，b ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则a 的取值范围是________．14. 若实数x ，y 满足x 2－4xy ＋4y 2＋4x 2y 2＝4，则当x ＋2y 取得最大值时，x y的值为________．14.已知函数),(32)(2R b a b ax x f ∈+=.若对于任意]1,1[-∈x ，都有1|)(|≤x f 成立，则ab 的最大值是13（2016南通二模T13）设实数,x y 满足2214x y -=，则232x xy -的最小值是 ． 13（2016南通二模T14）若存在,R αβ∈，使得3cos cos 25cos t t αββααβ⎧=+⎪⎨⎪≤≤-⎩，则实数t 的取值范围是 ．三、不等式之三元条件最值的求解1．（08年江苏高考11题）已知z y x ,,为正数，满足032=+-z y x ，求xzy 2的最小值．2．已知实数c b a ,,满足0>>a b ，ac b 42≤；求ab cb a -++的最小值．3．已知正数c b a ,,满足a c b a 3≤+≤，225)(3b c a a b ≤+≤；求acb 2-的最小值．4．若向量c b a ,,均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c ab ++的最大值．5．对于实数0>c ,当非零实数b a ,满足052222=-+-c b ab a 且使b a +最大时，求c b a +-8的最小值．6．已知实数c b a ,,均为正数，求bcab c b a 3222+++的最小值．7．已知实数c b a ,,满足0ln 422=--b a a ，R c ∈，求22)6()(c b c a ++-的最小值．8．已知z y x ,,为正数，求yx zz x y z y x +++++的最小值．9．已知实数c b a ,,满足0=++c b a ，1222=++c b a ；求实数a 的取值范围．10．已知22=+++bc ac ab a ，求c b a 23++的最小值．基本不等式答案新课标要求: 掌握基本不等式≤2a b+（0,0≥≥b a ）；能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问题）. 考试说明要求:C 级 ● 主要知识：1.基本不等式：若0,0≥≥b a ，则2a b+（等号仅当a b =时成立）; 2.平方平均不等式：如果,a b R ∈≥2a b +; 3.最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值.●主要方法：1.使用基本不等式求最值的前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设条件(加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等)；还要注意选择恰当的公式； 2. 基本不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等号的条件是否一致; 3.当使用基本不等式求最值等号不能成立时，应考虑函数的单调性. ●夯实基础1.已知下列四个结论：①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②21,0≥+>x x x 时当；③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值.则其中正确命题的序号为 . ② 2.已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 1613.已知lg lg 1x y +=，则52x y +的最小值是 . 24.设a ＞1,且2log (1),log (1),log (2)a a a m a n a p a =+=-=,则p n m ,,的大小关系为 . m ＞p ＞n5.ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为. 12-●典型例题例1.（1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. （2）求函数1422++=x x y 的最小值，并求出取得最小值时的x 值．分析：问题（1）中由于450x -<，所以首先要调整符号；问题（2）中要注意利用基本不等式时等号成立条件.解： （1）∵54x <∴540x ->∴y =4x -2+145x -=154354x x ⎛⎫--++ ⎪-⎝⎭≤-2+3=1当且仅当15454x x-=-，即x =1时，上式成立，故当x =1时，max 1y =.（2）求22242y x x =--+的最大值.解:2226(2)2y x x =-+++ (若由2222262(2)22y x x x ≤-+=+=+则即无解“=”不成立) 令2222,6()u x y u u=+≥=-+则,可以证明26()y u u =-+在)+∞递减∴u=2,即x =0时, max 3y =.变式练习: (1)求函数y ＝x ＋12x (x <0)的最大值；(2)求函数y ＝1x －3＋x (x >3)的最小值；(3)求函数y ＝x (a －2x )(x >0，a 为大于2x 的常数)的最大值．解：(1)∵x <0，∴－x ＞0，∴y ＝x ＋12x ＝－[(－x )＋1(－2x )]≤－2(－x )·1(－2x )＝－ 2.当且仅当x ＝－22时，取等号，∴y max ＝－ 2. (2)∵x >3，∴x －3＞0，∴y ＝1x －3＋x ＝1x －3＋(x －3)＋3≥5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时，取等号，∴y min ＝5.(3)∵x >0，a >2x ，∴a －2x ＞0，∴y ＝x (a －2x )＝12×2x ·(a －2x )≤12×[2x ＋(a －2x )2]2＝a 28，当且仅当2x ＝a －2x 即x ＝a4时，取等号．∴y max ＝a28.例2.（1）已知a ，b 为正常数，x 、y 为正实数，且1a b+=x y，求x+y 的最小值. （2） 已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值．分析：问题（1）可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函数再利用基本不等式求解；问题（2）既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于xy 的不等式，也可以采用变量代换转换为一元函数再求解.解:(1)法一：直接利用基本不等式：a b bx ay x +y =(x+y)(+)=a +b++x y y x ≥a +b +ay bx=x y a b +=1x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，即x =a y =b +⎧⎪⎨⎪⎩ 法二：由a b +=1x y 得ayx =y -bay a(y b )ab ab abx y y y a y (y b )a b y by b y b y b-++=+=+=++=+-++----∴ ∵ x>0，y>0，a>0 ∴由ayy -b>0得y-b>0, ∴ x+y≥a +b当且仅当ab=y -b y -b a b +=1x y⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，即y =b x =a +⎧⎪⎨⎪⎩（2）法一：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x xxy ． x x x x x x xy +-+++-=+-=264)2(34)2(23022⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=264)2(34x x 注意到16264)2(2264)2(=+⋅+≥+++x x x x ．可得，18≤xy ． 当且仅当2642+=+x x ，即6=x 时等号成立，代入302=++xy y x 中得3=y ，故xy 的最大值为18．法二：+∈R y x , ，xy xy y x ⋅=≥+∴22222， 代入302=++xy y x 中得：3022≤+⋅xy xy解此不等式得180≤≤xy ．下面解法见解法一，下略．点拨：求条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决. 变式练习:1.函数1(01)xy aa a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为 . 42．(2008·江苏)设x ，y ，z 为正实数，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值是________．3解：由x －2y ＋3z ＝0得y ＝x ＋3z 2，代入y 2xz 得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz4xz＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．●反馈练习1．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是 .解：∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2·(x －1)·3x －1＋2＝23＋2，当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．2．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c2的大小关系是________．解：∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，∴a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c ).3．设x ＋y ＝1，x 、y ∈(0，＋∞)，则x 2＋y 2＋xy 的最小值是____________．34解：由x ＋y ≥2 xy ，知xy ≤(x ＋y 2)2＝14，当且仅当x ＝y 时等号成立．x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ＝1－xy ≥1－14＝34.4．(2009年高考天津卷)设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝2 3，则1x ＋1y的最大值为 .解：因为a >1，b >1，a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝2 3，所以x ＝log a 3，y ＝log b 3.1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b ＝log 3(ab )≤log 3(a ＋b 2)2＝log 3(2 32)2＝1，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 基本不等式作业1.已知下列四个结论：①若,,R b a ∈则22=⋅≥+ba ab b a a b ；②若+∈R y x ,,则y x y x lg lg 2lg lg ≥+；③若,-∈R x 则4424-=⋅-≥+xx x x ；④若,-∈R x 则222222=⋅≥+--x x x x 。