北京市大兴区2013届高考一模数学文试题(WORD解析版)

大兴区2013年高三统一练习（一模）数学（理科）一、选择题（1）复数2(1i)+的值是（A ）2 （B ）2- （C ）2i （D ）2i - 【答案】C【解析】22(1)122i i i i +=++=，选C.（2）设集合2{|1}=>A x x ，2{|log 0|}=>B x x ，则ÇA B 等于（A ）}1|{>x x （B ）}0|{>x x （C ）}1|{-<x x （D ）{|11}，或x x x <-> 【答案】A【解析】{11}A x x x =><-或，{1}B x x =>,所以{1}A B x x => ,选A.（3）执行如图所示的程序框图．若4n =，则输出s 的值是（A ）-42 （B ） -21 （C ） 11 （D ） 43是否 结束开始s=1,i=1(2)i s s =+-1i i =+输入n输出si n ≤?【答案】C【解析】第一次循环，11(2)1,2s i =+-=-=；第二次循环，21(2)3,3s i =-+-==；第三次循环，33(2)5,4s i =+-=-=；第四次循环，41(2)11,5s i =-+-==，此时不满足条件，输出11s =，所以选C.(4)设0.70.45 1.512314,8,()2y y y -===，则 （A ）312y y y >> （B ）213y y y >> （C ）123y y y >> （D ）132y y y >>【答案】A【解析】0.71.4142y ==，0.45 1.35282y ==， 1.5 1.531()22y -==，所以312y y y >>，选A.(5)已知平面βα,，直线n m ,，下列命题中不．正确的是 （A ）若α⊥m ，β⊥m ，则α∥β （B ）若m ∥n ，α⊥m ，则α⊥n （C ）若m ∥α，n =βα ，则m ∥n （D ）若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥． 【答案】C【解析】C 中，当m ∥α时，m 只和过m 平面与β的交线平行，所以C 不正确。

（6）函数21cos ()cos x f x x-=（A ）在ππ(,)22-上递增 （B ）在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减 （C ）在ππ(,)22-上递减 （D ）在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增【答案】D【解析】因为s i n ()cos x f x x=，当s i n 0x ≥时，s i n ()t a n c o s x f x x x==。

当s i n 0x <时，s i n ()t a n c o s x f x x x==-，即当02x π<<时，函数递增。

当02x π-<<时，函数递减，选D.（7）若实数,a b 满足221a b +≤，则关于x 的方程220x x a b -++=无．实数根的概率为（A ）14 （B ） 34（C ）3π24π+ （D ）π24π-【答案】D【解析】要使方程无实根，则判别式44()0a b ∆=-+<，即10a b +->，,如图，阴影部分。

所以三角形OAB 的面积为12，所以阴影部分的面积为211114242ππ⨯⨯-=-，所以由几何概率公式可得所求概率为12424ππππ--=，选D.（8）抛物线2(22)y x x =-≤≤绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是 （A ）1 （B ）2 （C ）22 （D ）4 【答案】B【解析】，做出轴截面，设正方体的边长为a ，则AB a =，AD 为面的对角线，所以2AD a =，所以22C x a =，代入得22C a y =。

所以242a CD a =-=，即2280a a +-=，解得2a =，所以正方体的体积为328=。

选B. 二、填空题（9）函数f x x x ()s i nc o s =的最小正周期是 【答案】π【解析】1()sin cos sin 22f x x x x ==,所以周期222T πππω===。

（10）已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的离心率为32，实轴长为4，则双曲线的方程是【答案】22145x y -=【解析】由题意知324,2c a e a ===，所以2,3a c ==，即2225b c a =-=，所以双曲线的方程为22145x y -=。

（11）已知矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，则()AE AF AC + 等于 ． 【答案】152【解析】将矩形放入直角坐标系中，，则1(2,),(2,1),(1,1)2E CF ，所以1(2,),(2,1),(1,1)2AE AC AF === ,所以3(3,)2A E A F += ，所以3315()(3,)(2,1)6222AE AF AC +⋅=⋅=+= .（12）已知数列{}n a ,12n n a a +=+，1=1a ，数列11n n a a +禳镲镲睚镲镲铪的前n 项和为1837，则n = . 【答案】18【解析】因为12n n a a +=+，所以数列是公差为2的等差数列，所以21n a n =-。

又111111()2n n n n a a a a ++=-， 所以122311111111111111118()()(1)2222137n n n n S a a a a a a a a n ++=-+-++-=-=-=+ ，解得18n =。

（13）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x 在区间[1,]m -上的最大值是1，则m 的取值范围是． 【答案】(]1,1-【解析】当0x ≤时，由211x --=得1x =-。

当0x >时，由1x =得，1x =。

，所以由图象可知，11m -<≤，即(1,1]m ∈-。

（14）已知函数()f x 是定义在(0,)+ 上的单调递增函数，且*ÎN x 时，()*ÎN f x ，若[()]3f f n n =，则(2)=f ；(4)(5)f f += 【答案】3,15【解析】因为[(1)]3(3)f f f =≤，所以(1)3f ≤，若(1)1f =，则与[(1)]3f f =矛盾。

若(1)3f =，则[(1)](3)3f f f ==，所以(1)(3)f f =矛盾。

所以必有(1)2f =，(2)[(1)](2)3f f f f ===。

(3)[(2)]6f f f ==，(6)[(3)]9f f f ==，因为函数()f x 单调递增，所以必有(4)7,(5)8f f ==，即(4)(5)7815f f +=+=。

三、解答题（15）（本小题满分13分）在∆A B C 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,3cos 5=A ，π4B =，2b =．(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)求sin C 及∆A B C 的面积． （16）（本小题满分13分）一次考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩如下表： 学生 1A2A3A4A5A数学 89 91 93 95 97 物理8789899293(Ⅰ)分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定； (Ⅱ)从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率． （17）（本小题满分13分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，ABC D 是等边三角形，D 是BC 的中点. （Ⅰ）求证：直线A 1D ⊥B 1C 1；（Ⅱ）判断A 1B 与平面ADC 1的位置关系，并证明你的结论.（18）（本小题满分14分） 已知函数()(1)e x f x ax =+．（I ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，求函数()f x 在区间[2,0]-上的最小值．19.（本小题满分14分）已知动点P 到点A （-2,0）与点B （2,0）的斜率之积为14-，点P 的轨迹为曲线C 。

(Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)若点Q 为曲线C 上的一点，直线AQ ，BQ 与直线x =4分别交于M 、N 两点，直线BM 与椭圆的交点为D 。

求线段MN 长度的最小值。

(20)（本小题满分13分）已知数列}{n a 的各项均为正整数，且12 n a a a <<<， 设集合1{|101}1，，或，或（≤≤）nk i iiiii A x x a k n λλλλ====-==∑。

性质 1 若对于k x A ∀∈，存在唯一一组i λ（1,2,，i k =⋅⋅⋅）使1ki i i x a λ==∑成立，则称数列}{n a 为完备数列，当k 取最大值时称数列}{n a 为k 阶完备数列。

性质2 若记1（1≤≤）kk i i m a k n==∑，且对于任意≤k x m ，x ∈Z ，都有k x A ∈成立，则称数列}{n a 为完整数列，当k 取最大值时称数列}{n a 为k 阶完整数列。

性质3 若数列}{n a 同时具有性质1及性质2，则称此数列}{n a 为完美数列，当k 取最大值时}{n a 称为k 阶完美数列；（Ⅰ）若数列}{n a 的通项公式为12-=n a n ，求集合2A ，并指出}{n a 分别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；（Ⅱ）若数列}{n a 的通项公式为110-=n n a ，求证：数列}{n a 为n 阶完备数列，并求出集合n A 中所有元素的和n S 。

（Ⅲ）若数列}{n a 为n 阶完美数列，试写出集合n A ，并求数列}{n a 通项公式。

2013年高三统一练习 高三数学（文科）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）A （3）C （4）A （5）C （6）D （7）D （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）(9)π 154)10(22=-y x 215)11( 18)12( (](13)1,1- 15,3)14(三、解答题（共6小题，共80分） （15）（本小题共13分） 解:（Ⅰ）因为 ABC ,53cos 内角是∆=A A ,所以,54sin =A由正弦定理:B b A a sin sin = 知24πs i n54a = 得: 58=a （Ⅱ）在 AB C ∆中, )sin()](sin[sin B A B A C +=+-=π102722532254sin cos cos sin =⨯+⨯=+=B A B A ABC ∆的面积为:2528102725821sin 21=⨯⨯⨯==C ab s（16）（本小题共13分） 解：（I) 5名学生数学成绩的平均分为:93)9795939189(51=++++ 5名学生数学成绩的方差为:8])9397()9395()9393()9391()9389[(5122222=-+-+-+-+- 5名学生物理成绩的平均分为:90)9392898987(51=++++5名学生物理成绩的方差为:524])9093()9092()9089()9089()9087[(5122222=-+-+-+-+- 因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定.(Ⅱ)设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A5名学生中选2人包含基本事件有：,21A A ,31A A ,41A A ,51A A ,32A A ,42A A ,52A A ,43A A ,53A A ,54A A 共10个.事件A 包含基本事件有：,41A A ,51A A ,42A A ,52A A ,43A A ,53A A ,54A A 共7个. 107)( =A P 则所以，5名学生中选2人, 选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为107.(17)（本小题共13分）解: (Ⅰ)在直三棱柱111C B A ABC -中，1AA ABC ⊥面，所以1AA BC ⊥, 在等边 ABC ∆中，D 是BC 中点，所以BC AD ⊥因为 在平面AD A 1中，A AD A A =⋂1，所以 1BC A AD ⊥面 又因为AD A D 11面⊂A ，所以，BC D A ⊥1在直三棱柱111C B A ABC -中，四边形11BCC B 是平行四边形，所以BC C B //11 所以，111C B D A ⊥(Ⅱ) 在直三棱柱111C B A ABC -中，四边形11ACC A 是平行四边形， 在平行四边形11ACC A 中联结C A 1,交于1AC 点O ,联结DO . 故O 为C A 1中点.在三角形CB A 1中,D 为BC 中点,O 为C A 1中点,故B A DO 1//. 因为111, DO DAC A B DAC ⊂⊄平面平面,所以,11 //ADC B A 面故,11 ADC B A 与面平行 （18）（本小题共14分） 解：定义域为R)1())(1()1()('''++=+++=a ax e e ax e ax x f x x x(Ⅰ)①当0a =时，0)('>=xe xf ,则()f x 的单调增区间为),(+∞-∞②当0a >时，解0)('>x f 得, aa x 1+->,解0)('<x f 得, a a x 1+-<,则()f x 的单调增区间为),1(+∞+-a a ,()f x 的单调减区间为)1,(aa +--∞③当0<a 时，解0)('>x f 得, a a x 1+-<,解0)('<x f 得, a a x 1+->,则()f x 的单调增区间为)1,(a a +--∞,()f x 的单调减区间为),1(+∞+-aa(Ⅱ) ①当⎪⎩⎪⎨⎧->+->210aa a 时, 即 当1>a 时, ()f x 在)1,2(a a +--上是减函数,在)0,1(a a +-上是增函数,则函数()f x 在区间[-2,0]上的最小值为 aa aeaa f 1)1(+--=+-②当⎪⎩⎪⎨⎧-≤+->210a a a 时, 即 当10≤<a 时, ()f x 在]0,2[-上是增函数,则函数()f x 在区间[-2,0]上的最小值为221)2(e af -=- 综上: 当1>a 时, ()f x 在区间[-2,0]上最小值为a a ae1+--当10≤<a 时, ()f x 在区间[-2,0]上最小值为221e a-（19）（本小题共14分）解：（Ⅰ）设),(y x P ，由题意知 41-=⋅BP AP k k ，即)2(4122±≠-=-⋅+x x y x y 化简得曲线C 方程为：)2( 1422±≠=+x y x （Ⅱ）思路一满足题意的直线AQ 的斜率显然存在且不为零，设其方程为)2(+=x k y ，由（Ⅰ）知41-=⋅k k QB ，所以，设直线QB 方程为k y 41-=)2(-x ， 当4=x 时得N 点坐标为)21,4(k N -，易求M 点坐标为)6,4(k M 所以k k MN 216||+==|2|1|6|k k +32|2|1|6|2=⋅≥k k ， 当且仅当63±=k 时，线段MN 的长度有最小值32. 思路二：满足题意的直线AQ 的斜率显然存在且不为零，设其方程为)2(+=x k y ， 联立方程：⎪⎩⎪⎨⎧+==+)2(1422x k y y x消元得2222(41)161640k x k x k +++-=，设),(00y x Q ，),(),,(2211y x N y x M ， 由韦达定理得：144162220+-=⋅-k k x ， 所以1428220++-=k k x ，代入直线方程得14420+=k k y ， 所以222284(,)1414k k Q k k -++，又2,0B () 所以直线BQ 的斜率为22240114,428214k k k k k -+=---+ 以下同思路一思路三：设),(00y x Q ，则直线AQ 的方程为00(2)2y y x x =++ 直线BQ 的方程为00(2)2y y x x =-- 当4x =，得0062M y y x =+，即006(4,)2y M x + 当4x =，得0022N y y x =-，即002(4,)2y N x - 则0000200062282224y y x MN y x x x -=-=⋅+-- 2220020284()4x MN y x -=⋅- 又220044x y += 所以220204(4)4x MN x -=- 利用导数，或变形为二次函数求其最小值。