相交(垂直)
四年级上册数学教案-2.2相交与垂直 北师大版
四年级上册数学教案-2.2相交与垂直一、教学目标1. 让学生理解垂直的特征和性质，掌握垂直线的画法。
2. 使学生能够识别垂直线，并在实际情境中运用垂直知识。
3. 培养学生的观察能力、动手操作能力和空间想象力。
二、教学内容1. 垂直的定义及特征2. 垂直线的画法3. 垂直线的性质4. 垂直线在实际中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：垂直的定义、特征和性质，垂直线的画法。
2. 教学难点：在实际情境中识别和运用垂直知识。
四、教学过程1. 导入新课利用多媒体展示生活中的垂直现象，引导学生观察并思考：这些现象有什么共同特点？2. 探究新知（1）垂直的定义及特征- 出示垂直的定义：当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
- 学生举例说明生活中的垂直现象。
- 总结垂直的特征：相交成直角，互相垂直。
（2）垂直线的画法- 教师示范如何用直尺和量角器画出垂直线。
- 学生动手操作，画出垂直线。
（3）垂直线的性质- 学生观察垂直线，总结性质：垂直线上的任意两个角都是直角。
- 学生举例说明垂直线的性质。
（4）垂直线在实际中的应用- 学生讨论：在生活中，哪些地方需要用到垂直知识？- 教师举例：建筑物的墙面、桌面、窗户等。
3. 巩固练习完成教材P35上的练习题，巩固垂直知识。
4. 课堂小结请学生谈谈对本节课的收获，教师总结。
五、课后作业完成教材P36上的习题，加深对垂直知识的理解。
六、板书设计1. 垂直的定义及特征2. 垂直线的画法3. 垂直线的性质4. 垂直线在实际中的应用七、教学反思本节课通过生活中的实例导入，激发了学生的学习兴趣。
在探究新知环节，学生通过观察、思考和动手操作，掌握了垂直的定义、特征和性质，以及垂直线的画法。
在巩固练习环节，学生能够熟练运用垂直知识解决实际问题。
但在课堂小结环节，部分学生对垂直知识的应用还不够熟练，需要在课后加强练习。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标。
需要重点关注的细节是“垂直线的画法”。
相交与垂直
相交与垂直教学目标1、借助实际情境和操作活动，体会两条直线互相垂直的特征。
2、能利用三角尺画直线的垂线及过一点画已知直线的垂线。
3、理解点与直线之间的所有连线中线段最短的原理，并能运用这一原理解决一些简单的问题。
教学重点：体会两条直线垂直的特征。
教学难点:让学生建立抽象的互相垂直的概念,让学生掌握作垂线的技能.教具和学具准备：电脑课件、大三角板、长方形模型等。
学具：三角尺，正方形纸张。
一、创设情境，引出“互相”的概念师：同学们，认识我吗？把我的名字写在本子上，在把你的名字写在老师的旁边。
通过这节课后，本子上的两个人就互相是朋友了。
（板书：朋友）说到朋友就要说到两个人，如我和你（板书：我---你）你和我成为朋友，可以说我是你的朋友，你是我的朋友（画箭头）那我们就互相成为朋友了。
（板书“互相成为）师：刚才老师说到一个词语“互相”（课件）理解了它的意思了吗？生会回答。
师：为了帮助理解，我再举一个，在学习过程中，经常说同学之间要互相学习、互相帮助.(课件)师：互相学习什么意思生：我跟你学习，你跟我学习。
师：“互相帮助”呢？（屏显：互相帮助。
）生：我帮助你，你帮助我。
二、近经念展开，直指核心概念（一）、学习相交与垂直1.认识相交师：接下来，在这节课上，你猜可能会看到互相什么？（课件）这两条直线互相什么了？生：互相交叉。
师：我们学的数学讲究简洁，你能用一个更精炼的词语来表述吗？生：相交。
（板书）师：两条直线相交确定一点；这一点叫做“交点（课件）2.出示概念（1）操作感知引导学生观察相交和垂直两幅图，比较一下：图1的相交与图2的相交有什么相同和不同的地方？（看题单）生：汇报相同点和不同点（2）揭示本课要学习的概念出示互相垂直的图2师：接下来，你猜又会出现互相什么？（出示互相垂直的图2）师：“垂”字怎么写，手拿起来，我们一起写一写。
生跟老师写(写三遍)师：互相垂直应该研究什么对象？（板书直、线、足）师：要学这些对象，你们是想老师教呢还是自己先学？出示自学提示（课件）学生自学3、汇报自学情况1垂直师：什么是垂直？书上怎么说的？（课件）生答，齐读师：请你把关键的词语勾起来生：“两条直线”-——一条谈不上“互相垂直”生：“相交”——相互交叉很重要，如果没有相交就不能形成角。
相交平行与垂直的概念
相交平行与垂直的概念
在几何学中，相交、平行和垂直是描述直线和平面之间关系的基本概念。
1.相交（Intersecting）：两条直线或两个平面如果有一个或多个公共点，则称它们相交。
这意味着它们不完全重合，但有部分重合。
相交的直线或平面可以在一个点、一条直线、或形成更复杂的交叉形状。
2.平行（Parallel）：两条直线或两个平面如果在无穷远处延伸，永远不相交，那么它们被称为平行。
平行直线在几何图形中永远保持相同的距离，而平行平面之间也保持相同的距离。
3.垂直（Perpendicular）：两条直线或两个平面如果相交且相交的角度为90度，则它们被称为垂直。
直线和平面的交点形成一个直角。
垂直关系表示为⊥符号。
总结：
相交：有一个或多个共同点，但不完全重合。
平行：无穷远处延伸，永远不相交。
垂直：相交并且相交的角度为90度。
这些概念在解决几何问题和描述空间关系时非常重要，为几何学和物理学等领域的分析提供了基础。
相交与垂直
相交与垂直【教学内容】四年级上册第94~95页上的教学内容，练习十八第1~4题。
【教学目标】1.结合现实情境了解相交和垂直的现象，理解垂线的意义，理解两条直线在什么情况下互相垂直，体会垂线在现实生活中的作用。
2.掌握垂线的画法，会过直线上的一点或过直线外的一点画已知直线的垂线。
3.经历探索相交与垂直的学习过程，在学习过程中获得成功的体验。
【教学重点】什么是相交和垂直；按要求画垂线的方法及步骤。
【教学难点】理解“相互”垂直；理解其中一个角相交成直角时，另外三个角也是直角。
【教具学具准备】教师准备多媒体课件和视频展示台；每组学生准备两根纸条、一颗图钉和一块木板。
【教学过程】一、引入课题，准备学习教师：前段时间我们学习了画角，请同学们在你的练习本上画出几个大小不同的角。
学生画角，抽几个学生画的角在视频展示台上展示出来。
教师：老师也画出了几个角（课件展示画出几个角），这些角的两条边都分别相交于一点（课件上角的边闪动），这节课我们就来研究相交。
（板书：相交）二、引导探究，学习新知1.探究单元主题图。
课件出示单元主题图。
（1）找一找教师：生活中也有很多两条直线相交于一点的现象，你能从这幅图中找出哪些直线是相交的吗？学生找出图中两条直线相交于一点的现象并汇报。
教师：对了像刚才同学们找到的这些线都是相交的。
课件显示几组相交的线，然后隐去图中的其他情境，只剩下两条线相交的一些图形。
（2）摆一摆教师：这些直线是怎样相交的呢？我们能够用纸条来摆一摆，两根纸条怎样摆才是相交的呢？课件出示问题及两根纸条。
学生摆出相交的纸条后，让学生在视频展示台上展示。
教师：老师这里也用两根纸条摆出了相交，请同学们看一看。
教师用课件展示两根纸条摆出的相交，然后抽象成两条直线相交。
（3）说一说教师：从图中你发现些什么？引导学生说出，两条直线相交于一点，形成4个角。
（课件显示：出现一个点，同时显示：两条直线相交于一点）教师：两条相交直线确定一点，这个点我们称为交点（课件显示：交点），再看看4个角，能分别说出它们是什么角吗？（课件显示：标注4个角）学生：角1和角3是大小相同的锐角，角2和角4是大小相同的钝角。
第二单元《相交与垂直》教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相交与垂直相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的尺规作图实验。这个操作将演示如何准确地画出垂直线段和垂直平分线。
五、教学反思
在今天的教学中，我带领学生们走进了《相交与垂直》的世界。回顾整个教学过程，我认为有几个亮点和需要改进的地方。
首先，导入新课环节通过提出与生活相关的问题，成功引起了学生的兴趣。大家能够积极参与讨论，分享自己在生活中遇到的垂直现象，这为后续的学习奠定了良好的基础。
然而，在新课讲授环节，我发现有些学生对垂直定义和性质的理解还不够深入。在今后的教学中，我需要更加注重学生对基础概念的掌概念。
此外，教学过程中我也注意到了一些教学难点。如何更好地帮助学生突破这些难点，是我需要深入思考的问题。在今后的教学中，我可以尝试以下方法：
1.利用多媒体教学资源，如动画、图片等，生动形象地展示垂直与相交的几何图形，帮助学生建立空间观念。
2.设计更多具有挑战性的问题，引导学生深入思考，培养他们的逻辑推理能力。
举例：在黑板上画出线段AB，然后画出线段AB的垂直平分线CD，引导学生观察并发现点C、D到A、B两点的距离相等。
2.教学难点
（1）垂直性质的推理：学生需要运用逻辑推理证明垂直关系，如垂直角的性质、垂直平分线的性质等。
举例：让学生证明一个四边形是矩形时，需要用到垂直性质进行逻辑推理。
（2）实际问题中的应用：将垂直与垂直平分线知识应用于解决实际问题，如计算点到直线的距离、判断两条直线是否垂直等。
两条直线垂直相交交点式
两条直线垂直相交交点式
在数学中，两条直线若垂直相交，则它们的交点处的角度为90度，这种情况也被称作“直角”。
对于两条直线的垂直相交交点式，我们
可以通过一定的方法来求解。
首先，设有两条直线y = k1x + b1和y = k2x + b2，现在需要求解这两条直线的垂直相交交点。
我们可以通过求解两条直线的斜率来
得到这个点的坐标。
由于两条直线是垂直相交的，因此它们的斜率需要满足k1 × k2 = -1。
因此，在求解交点时，我们可以通过以下公式来得到交点的坐标：
x = (b2 - b1) / (k1 - k2)
y = k1x + b1
通过这个公式，我们可以轻松计算出这两条直线的交点。
同时，
我们也可以发现，在k1 = 0或k2 = 0的情况下，我们需要使用不同
的方法来求解交点。
总而言之，两条直线垂直相交交点式是数学中非常重要的一个知
识点。
解决这个问题需要掌握一定的数学知识，如斜率、坐标系等等。
通过学习和练习，我们可以更加轻松地完成这个问题，掌握这种求解
方式。
同时，也可以应用到生活中的问题解决，例如平面图形、建筑
设计等领域。
因此，学好这个知识点对于我们的未来发展也有着重要的指导意义。
中职数学两条直线相交(垂直)
函数图像
垂直的两条直线在函数图 像上表现为点斜式方程的 解，即交点的坐标。
斜率计算
利用直线与x轴夹角正切 值计算斜率，再结合垂直 条件计算另一条直线的斜 率。
04
直线垂直的常见误区
忽视定义和性质的适用条件
忽视定义和性质的适用条件是学生在解决直线垂直问题时的 一个常见误区。例如，在判断两条直线是否垂直时，学生可 能会直接根据直线的斜率或方向向量来进行判断，而忽视了 垂直的定义和性质。
垂直的定义和性质：如果两条直线相交于一点，且其中一个 方向的向量与另一个方向的向量垂直，则这两条直线互相垂 直。
对斜率存在的直线进行判定
01
02
学生可能会错误地认为只有斜率存在的直线才能进行垂直判定。实际 上，无论直线是否有斜率，只要两条直线的方向向量互相垂直，这两 条直线就互相垂直。
斜率存在的直线：对于斜率存在的直线，我们可以利用斜率的乘积为 -1来判定两条直线垂直。即若直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为 k2，则当k1 × k2 = -1时，两条直线互相垂直。
平行直线在坐标系中的特点：横坐标成比例，纵坐标相 等（或纵坐标成比例，横坐标相等）。
垂直
01
两条直线相交成90度角。
02
直线与直线垂直，则斜率乘 积为-1（或斜率均不存在）
。
03
垂直直线在坐标系中的特点 ：横纵坐标乘积为0。
02
两条直线垂直的判定
根据定义直接判定
01
定义
两直线垂直时，斜率乘积等于1。
02
公式
$k_1 \times k_2 = -1$
03
注意事项
当两直线都垂直于y轴时，斜率 不存在，不满足上述条件。
利用斜率判定
互相垂直的两条直线一定相交吗
互相垂直的两条直线一定相交吗
两条直线互相垂直不一定相交。
共面时，一定相交，因为共面直线的接触关系只有相交和平行。
不共面时，不一定相交，可能是异面直线。
垂直的定义：垂直，是指一条线与另一条线成直角，这两条直线互相垂直。
通常用符号“⊥”表示。
生活中的垂直现象
1、凡是两条边交成直角的物体相邻两边互相垂直，如桌子角、凳子角、电视屏幕的角、墙角衣柜角、窗户角、门口的四个角。
2、电线杆和上面的电线互相垂直，高楼和地面互相垂直，十字路口的道路互相垂直。
3、三角板的两条直角边互相垂直。
相交与垂直优秀教案
相交与垂直一、教学目标：1、激发情景，动手操作，认识相交与垂直。
2、会用三角尺画垂线。
3、能作点与线之间的垂线，知道垂线最短。
解决生活中的简单问题。
4、培养学生的空间观念及初步的画图能力。
二、重点难点：1、建立相交与垂直的概念。
2、能用三角尺画垂线。
三、学具准备：小棒，三角板套尺。
四、教学过程：第一课时，直线相交与垂直（一）导入直线相交与垂直。
师：孩子们，我们在前面学习了线段、射线、直线的有关知识。
请孩子们回忆它们的特点。
（请举手回答）今天我们继续来研究有关直线相交与垂直的问题。
（二）新授。
1.教学例1。
师：请孩子们观察这上面的这些直线，你能有什么发现？（课件出示）教师引导学生发现：两条直线相交于一点，形成4个角。
（板书：相交）师：孩子们，那么两条直线相交的这点叫什么？生：（示意举手回答）两条直线相交的这点叫交点。
师：（小结）两条相交直线确定一点，这个点我们称为交点。
师：1、孩子们再看看两条直线相交成的4个角，如果其中一个角是锐角，那么其他3个角什么角？2、如果其中一个角是直角90°，那么其他3个角又是什么角？（小组讨论）----课件出示学生交流分组汇报：（1）∠1和∠3是大小相同的锐角，∠2和∠4是大小相同的钝角。
（2）两条直线相交，如果其中有一个角是直角，那么其他三个角都是直角角。
（3）互相垂直：师：（小结）（1）、两条直线相交，如果其中有一个角是锐角，那么其他三个角中必有1个锐角，2个钝角。
∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°。
对角相等，∠1=∠3，∠2=∠4。
师：“互相”垂直的意思是：一条直线垂直于另一条直线时，就有另一条直线也垂直于这条直线的结论，这叫做互相垂直。
所以我们说：一条直线是另一条直线的垂线。
师：孩子们，直线a和直线b是什么关系？（示意回答）生：从图上看：直线a是直线b的垂线，直线b也是直线a的垂线。
师：直线a和直线b他们的交点叫做什么？我们通常用直角符号（一道小门）符号表示。
垂线
如图，a、b互相垂直,O叫垂足. a叫b的垂线，b也叫a的垂线。
b O
从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中 一个角是直角。
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角 中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它 a 们的交点叫垂足。
（4）你能举出一些生活中与垂直有关 的实例吗？
巩固练习
选择题 下面四种判断两条直线垂直的方法正确的有 几个 [ A ] (1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角 ，则这两条直线互相垂直． (2)两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条 直线互相垂直． (3)两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直 线互相垂直． (4)两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条 直线互相垂直． A． 4 B．3 C． 2 D． 1
课堂小结
3、垂线、垂线段与点到直线的距离的区别是 ： 垂线是一条 直线 ； 垂线段是一条 线段 ，是图形； 点到直线的距离是垂线段的 长度 ，是一个数量， 不能说垂线段是距离。
动手练一练：
如图，一辆汽车在一段笔直的公路上从M村开往N 村，P村不在MN上。 （1）如果有一人想在M、N两村之间下车，前往 P村，他在哪里下车走的路程最短？请画出图形， 并说明你的想法。
E A O D B F
C
探索新知 基础训练
问题：在灌溉时，要把河中的水引到农 田P处，如何挖掘能使渠道最短？
探索新知
（2）在直线上有无数个点，试着取几个点与点P 相连，比较一下它们的大小关系．你有什么发现？ （3）你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一 吗？为什么？ （4）你能用一句话总结出观察得出的结论吗？
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b, b b b 当b的位置变化时,a、b所 b b 成的角α也会发生变化. α 当α =90°时,a与b垂直. α ） a 当α ≠90°时,a与b不垂 直，叫斜交. 斜交 两条直线相交 垂直 垂直是相交的特殊情况
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相交（垂直）
一、概述
西南师大版四年级数学上册93页---95页内容。
先由两条线相交引出相交的特例——相互垂直，教材集中介绍了两条线互相垂直的位置关系，然后再让学生探究画垂线，为以后作高作好充分的准备。
1课时
二、教学目标分析
（一）知识与技能
（1）结合具体的生活情景和动手实践活动,探究两条直线的位置关系,理解互相垂直的意义，认识垂足和垂线。
（2）在掌握垂线意义的基础上学会利用三角尺画垂线。
（二）过程与方法
动手实践摆放相交现象，去摆放垂直的特例，去感受垂直现象，然后根据自己的感受去发现垂线的画法。
（三）情感态度与价值观
通过操作活动,培养学生动手操作能力，进一步发展学生的空间观念。
教学重点：掌握垂线的画法。
教学难点：掌握用三角尺画垂线的方法。
三、教学策略选择与设计
为了帮助学生更好地认识垂直线、画好垂直线，整节课我将观察、操作、演示、合作探究等方法有机地贯穿于各个教学环节中。
“找出生活中的垂直线”就是让数学回归生活，并获得学有所用的积极情感体验。
学生动手实践就是充分发挥学生的主体作用，让学生置身于一定的情境中，调动各种感官去体验、感受，从而促进学生在体验中感悟。
四、教学资源与工具设计
多媒体课件，多媒体教室，两根小竹片和图钉，一张纸。
五、教学过程
课前谈话：你们今天有什么发现？（有了很多的老师在听课）
他们是来自我们其他学校的领导和老师，今天来指导我们上课，来看看我们三官殿小学四（三）班的同学怎么样？现在，我们要以热烈的掌声欢迎他们的到来。
你们害怕吗？
（一）激情引导，揭示课题
师：在两周前我们认识了一位朋友，它今天也来到了我们的教室，不知道你们还认不认识它。
（课件展示：直线）
师：大家一起喊喊他的名字。
（直线）
师：谁还记得它的特点。
（抽生说）
师：不过呀，今天它不是一个来的。
而是两个一起来得，而且是手拉着手来的，你们看（课件展示：）这就是两条直线相交。
（板书课题：相交）（二）引导探究，教学新知
1、摆一摆。
（1）学生动手摆相交，然后观察。
师：你们会摆吗，动手摆一摆。
师：观察这两条相交直线，你发现了什么?（同桌说一说）（2）交流：
生1：我发现两条直线相交确定一点。
生2：我发现两条直线相交形成四个角。
）（课件展示）
（3）师引导总结：两条直线相交确定一点，两条直线相交形成四个角，两条线必须在同一平面上才能相交。
师：这两条直线确定一点，谁能给这个点起个名字？
生：因为是两条直线相交的点所以我起名叫交点。
师：这个名字起的非常好。
（师引导两条线必须在同一平面上才能相交）板书
（4）练习本上画两条相交的直线，同桌两个互相说一说它们的交点和角。
师：（点拨）现在大家在练习本上画两条相交的直线，同桌两个互相说一说它们的交点和角
2.动一动。
（1）、图钉钉住相交木条的交点，然后转动其中一根，将其中的一个角转为直角。
师：拿出两根木条，用图钉钉住相交木条的交点，然后转动其中一根，你们能将其中的一个角转为直角吗?
（2）、思考：当∠1是直角时，∠2，∠3，∠4是什么角？
师：当∠1是直角时，∠2，∠3，∠4是什么角？你是怎么知道的？
（3）、学生交流，老师引导。
师：两条直线相交成直角时就说这两条直线互相垂直。
板书（课件出示：）
（4）、理解互相垂直，认识垂足。
师：你是怎样理解互相的？是一条线吗？
师：对了，互相指的是两条线。
师：如果我们把这两条线起个名字叫直线a和直线b，我们就可以说直线a垂直于直线b，反过来也可以说————（学生）直线b垂直于直线a，直线a和直线b就————（学生）互相垂直。
师：当两条直线相交成直角时,中间的交点叫什么?你是怎么知道的?
生：通过预习我知道这个交点叫垂足。
（出示斜交的交点）那这个叫垂足吗？为什么？
（强调垂足只有出现在互相垂直的线中）
3．找一找。
在我们的生活中哪些物体上的相邻两条边是互相垂直的。
（强调判断两条直线垂直的关键是相交成直角。
）
师：我们认识了垂线，那么在我们的生活中哪些物体上的相邻两条边是互相垂直的?（课件展示）
师：判断垂直的关键是什么啊？（也就是说两条线相交成——直角。
）板书
4、画一画
师：找到了生活中的垂直现象，还应该会画垂线，想试一试吗？
师: 过A点画已知直线的垂线有两种情况：a过直线上一点，b过直线外一点。
我们先来做过直线上一点画直线的垂线，你们动动脑筋想一想怎么画，动手在练习本上画。
（1）学生自己动手过直线上一点画垂线。
（2）交流方法。
（3）老师总结：重合，靠紧，画线，符号。
师：老师把他们的方法总结成了8个字：（课件展示）重合，靠紧，画线，符号。
第一步：把三角尺的直角的一边和直线重合。
第二步：使三角尺的边沿直线慢慢移动，直到三角尺的另一条边接近画出的点为止。
第三步：沿三角尺的另一条边画出一条直线。
第四步：画上直角符号。
（4）请同学们来用这种方法，过直线外一点画直线的垂线。
师：请同学们来用这种方法来过直线外一点画直线的垂线。
（5）思考：过一条直线，可以画多少条垂线？
师：思考：过一条直线，可以画多少条垂线？
三、巩固练习，拓思延伸。
1、折一折。
（课堂活动2先让学生拿出纸折一折，然后展示交流）。
师：请同学们拿处你们自己准备的纸，折一折，使两条折痕互相垂直。
2、总结：今天有哪些收获？
师：通过这节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑问？
3、回归教材，阅读教材。
师：请同学们打开书本94页回顾一下今天所学的内容。
四、作业：
在课堂练习本上做：过直线外一点画直线的垂线和过直线上一点画直线的垂线。
五．板书设计：
重合，靠紧，画线，符号。