北大《量子力学》chpt7
北京大学量子力学教材 第八章 下
ˆ 与 t 有关，体系原处于 H ˆ (r, P ˆ ) ，随 t 加一微动 V( t ) H 0
第八章
量子力学中的近似方法
第八章
§8.2 变分法 2
目 录
(1) 定理 3 (2) Ritz 变分法 ............................... 3
§8.3 量子跃迁 .............................. 5
(1) 含时间的间的微扰论 (2) 跃迁几率
............................ 6
（这里 ( ) 是已归一化的）
* ( )(
2 2 e 2 2 2 e 2 1 2 ) ( )d r1d r 2 2 r1 2 r2 e 2 z e 2 z e 2 ) ) ( ( ( )d r1d r 2 r1 r 2 r2 r1
由此类推
1 t t t (m) ak (t) ( )m t 0 dt m t 0m dt m 1 t 02 dt1 n i m1m 2 m m 1
Vnn m1 ( t m )e
i nn m 1 t m i n1k t 1
Vn m1n m2 ( t m 1 )e
z 5 16
E 0 H ( z
5 5 e 2 ) ( z ) 2 16 16 a 0
(实验值为 78.86eV)
北京化工大学 普通物理学7 量子力学简介
波函数：
(x)
0,
( x 0, x a)
2 nπ sin x , (0 x a) a a
2
o
a
x
概率密度： 能量： 量子数：
2 2 nπ ( x) sin x a a h2 2 En n 8ma 2
n 1,2,3,
量子力学简介
量子物理
nπ ( x) A sin x a n
量子力学简介
量子物理
2、原子的电子壳层结构 壳层 n = 1，2，3，…， K，L，M，N，O，P，… 支壳层 l = 0，1，2，…，（n－1）。 s，p，d，f，g，h，… 多电子原子中，电子的排列遵从： （1）泡利不相容原理 在一个原子内不可能有两个或两个以上的电子 处于同一状态，即不可能有两个或两个以上的电子 具有完全相同的四个量子数（n，l，ml，ms）。
电子组态
例如： 钾
1s22s22p63s23p64s1
Ψ( x, y, z , t ) h E p h
Ψ ( x, t ) 0e
i
2π ( Et px ) h
量子力学简介
量子物理
3、波函数的统计意义 概率密度：表示在某处单位体积内粒子出现的概率。
Ψ
2
*
正实数
某一时刻出现在某点附近在体积元 dV 中的粒子 的概率为： 2 *
物理意义 当 n, m, a 很大时，E 0 ，量子效应不 明显，能量可视为连续变化，此即为经典对应。
例：电子在 a 1.0 10 m 的势阱中
2
h2 E n2 n 2 3.77 1015 eV 2 8ma 2 h E 2n n 7.54 1015 eV （近似于连续） 2 8ma
北京大学量子力学课件_第15讲
（1）若 V(r) 时，仅当 0<m<2 m r 时才有束缚态。 0 时，径向波函数应满足 （2）在 r
A
rR ( r ) 0
（3）三维自由粒子运动
V r V r 0
d 2 d l ( l 1 ) R ( ) R ( ) [ 1 2] R ( ) 0 2 d d
ˆ] ˆ ˆ d rp [ rp ,H 0 , dt i
ˆ] ˆ,H [r p i
ˆ p
2
m
r V (r)
2 Tˆ r V ( r )
(x ,y ,z ) 是x，y，z的n次齐次函数，则 若 V
ˆ nV 2 T (r)
例：谐振子势是x，y，z的 2 次齐次函数
量本征方程的解进行标识。
u ( r ) R ( r ) Y ( , ) nlm nl lm
于是归结到解具有不同位势 V ( r ) 的径向方程
2
d l ( l 1 ) 2 m ( E V ( r )) ( rR ( r )) ( rR ( r )) ( rR ( r )) 0 2 2 2 dr r
个解。这时 ka 2
,即 0 kr 。
所以, 在区间 0a 无节点。 3）当 2 mV a 1 3 2 2 5 0 ( ) 2 2 2 ， ka ，无零点； 有二个解 : 一个解
3 另一个解 ka2 。所以， 2
2
0 kr 2 , 有一个零点。
ˆ V(r) T
例：库仑势是x，y，z的 -1 次齐次函数
ˆ V 2T (r)
1 ˆ H V(r) 2
(3) 能量-时间测不准关系 由算符的“涨落”关系，有
北京大学量子力学课件_第31讲
散射总截面
2 l 1 ) sin δ T l k l 0
其中每一项
4 2 (2 l 1 )sin l 2 k
代表相应的角动量为 l 的分波对散射截面的贡献。
4 l 1 ) l 2 (2 k
当 极大。 因
（2） 散射振幅： 我们现在讨论一种稳定情况，即入射束的粒 子不断入射，长时间后体系达到稳定状态的情况
薛定谔方程
2 [ V ( r )] ( r , t ) i ( r , t ) 2 t
其定态解为
2
( r , t ) ( r ) e
iE t
当位势为有心势
V ( r ) V ( r )
则
2 m ( 1 ) f θ ) 2 V ( r ) sin( qr ) rdr 0 p( q
或
1 ( 1 ) f ) ( r ) sin( qr ) rdr 0U p( q
2 m r 2 V r U
这即为有心势下的一级玻恩近似的散射振幅。
当入射粒子方向 k 取为z 轴，则入射（无 自旋）是对 对称，即与 无关. 而相互作用 势 V(r) 是各向同性。因此，经 V(r) 作用后也与 无关 ( r ) l Y ( , ) （k 在 z k l 0 方向） l 0 r 代入方程得
2 d l ( l 1 ) 2 ( r ) ( r ) k ( r ) U ( r ) ( r ) 0 l l l l 2 2 dr r 2 2mE 2 m k U (r) V (r) 2 2
4 ( 2 l 1 )2 e i e [ ( el 1 ) ] Y ( , ) l 0 ki r l 0 2
北大《量子力学》chpt7
第七章自旋第七章目录§7.1 电子自旋存在的实验事实 (2)（1）Stern-Gerlach 实验（1922年） ........... 2 （2）电子自旋存在的其他证据 .. (3)§7.2 自旋－微观客体的一个动力学变量 (3)（1）电子的自旋算符和它的矩阵表示 ........... 3 （2）考虑自旋后，状态和力学量的描述 ......... 7 （3）考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程10§7.3 碱金属的双线结构 (10)（1）总角动量 .............................. 11 （2）碱金属的双线结构 . (15)§7.4 两自旋为1/2的粒子的自旋波函数 (16)(1) )S ,S (z z 21表象中两自旋为21/的粒子的自旋波函数 16(2) )S ˆ,S ˆ(z2表象中两自旋为21/的粒子的自旋波函数16 (3) Bell 基 (17)§7.5 Einstein -Podolsky-Rosen 佯谬和Bell 不等式 18(1) Einstein-Podolsky-Rosen 佯谬 ........... 18 (2) Bell Inqualities (18)§7.6 全同粒子交换不变性－波函数具有确定的置换对称性 21(1)交换不变性 .............................. 22 (2)全同粒子的波函数结构，泡利原理 .......... 23 (3)全同粒子的交换不变性的后果 .. (26)第七章 自旋在较强的磁场下（∽T 10），我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它。
但是，当这些原子或离子置入弱磁场（∽T 101-）的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。
大量实验事实证明，认为电子仅用三个自由度z ,y ,x 来描述并不是完全的。
北京大学量子力学课件 第5讲
而 t t 0 时，它位于
[1 ( t 0 2m 2 ) ]
P0 t 0 x m
，宽度为
t 0 2m 2 ) 2 ]1 2
2 12
[1 (
也可以计算标准偏差，得到发现粒子的主要 区域在 x0 x- x0 x 其中
P0 t 0 x0 m
x ( x x ) x x [1 (
这就是格林函数的含义： t 0 时刻，粒子处于 r 0 ， ，则 t 时刻， r 处发现粒子的几率密度振幅就是 G(r, t; r 0 , t 0 ) 。 由薛定谔方程我们可直接给出
1ˆ ˆ i H( r , P)( t t 0 ) G ( r , t; r 0 , t 0 ) e ( r r 0 )
G(r, t; r' , t' )称为 Green 函数，或称传播子。
如 t' t 0 时刻，粒子处于 r 0 ，即 由上式得
(r' , t 0 ) (r'r 0 )
( r, t ) G( r, t; r ' , t 0 )( r' , t 0 )dr ' G( r, t; r 0 , t 0 )
* ˆ (r, P ˆ , t )(r, t ) i (r, t ) (r, t ) (r, t )H t
*
由 乘 * * ˆ * ˆ i ( r, t ) H ( r, P, t ) ( r, t ) t
* ˆ * (r, P ˆ , t ) * ( r , t ) i (r, t ) (r, t ) (r, t )H t
d i 2 * ( r , t ) d r ( )d r dt 2m i * ( ) ds 2m
量子力学---课件 《第七章》
第七章自旋与全同粒子Spin and Identical Particales第七章自旋与全同粒子第七章自旋与全同粒子自旋是粒子的一种运动形式，以角动量形式表现出来。
如果把电子绕原子核的运动称作“轨道运动”，则自旋类似与经典物体的自转。
然而自旋又区别于经典物体的自转，它有着独特的规律。
因此，自旋是微观粒子特有的概念。
提出的依据是实验：全同粒子是指具有相同内禀属性（静质量、电荷、自旋、磁矩和寿命等）的粒子。
全同粒子具有区别于宏观粒子而独有的特性，即微观粒子的不可分辨性。
这正是不确定关系所要求的。
碱金属原子光谱的双线结构复杂Zeeman 效应——弱磁场中光谱线分裂成偶数条。
本章主要内容§7.1电子的自旋§7.2自旋算符和自旋波函数§7.3简单Zeeman 效应§7.4两个角动量的耦合§7.5光谱的精细结构§7.6全同粒子的特性§7.7全同粒子体系的波函数Pauli 原理§7.8两个电子的自旋波函数§7.9氦原子（微扰法）§7.10氢分子共价键§7.1 电子的自旋Spin of an Electron§7.1 电子的自旋（2）复杂Zeeman 效应（1912）：在弱磁场中光谱线分裂成偶数条。
如D 1→4条，D 2→6条（1）碱金属原子光谱的双线结构：λ≈589.3μm →D 1: 589.6μm ，D 2: 589.0μmÀ电子自旋提出的实验基础（3）Stern-Gerlach 实验（1922）：银原子束通过非均匀磁场分裂为两束——证实角动量的空间量子化。
无磁场加磁场D 1D 2简单Zeeman 效应谱线分裂成奇数条S S NNPP O§7.1 电子的自旋Stern-Gerlach 实验（1922）说明了中性的原子具有磁矩，磁矩在外磁场中受磁场的作用（∝dB /dz ）。
北京大学602量子力学考研参考书、历年真题、复试分数线
二、录取和调剂：
1、考生能否录取，以考生的总成绩名次为准。复试成绩不及格的考生不能录取。各学
院（系、所、中心）拟录取名单经批准后公布。 2、我校未录取考生，达到国家分数线并符合调剂规定的，按教育部要求进行调剂。
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三、2015 北京大学 602 量子力学考研参考书 数学分析（一、二、三册）方企勤等北京大学出版社 配套习题集
有人引用量子力学中的随机性支持自由意志说，但是第一，这种微观尺度上的随机性和 通常意义下的宏观的自由意志之间仍然有着难以逾越的距离；第二，这种随机性是否不可约 简(irreducible)还难以证明，因为人们在微观尺度上的观察能力仍然有限。自然界是否真
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有随机性还是一个悬而未决的问题。对这个鸿沟起决定作用的就是普朗克常数。统计学中的 许多随机事件的例子，严格说来实为决定性的。
在量子力学中，一个物理体系的状态由波函数表示，波函数的任意线性叠加仍然代表体 系的一种可能状态。对应于代表该量的算符对其波函数的作用；波函数的模平方代表作为其 变量的物理量出现的几率密度。 二、北京大学 602 量子力学考研复试分数线
90
90
管理学 (12)
50 50
90
90
艺术学 (13)
50 50
90
总分 360 370 345 360
345
345 320 320 350 350
备注
北大-新加坡国 立大学汉语言 文字学双硕士 班为 340。
（2）、联考： 考试科目
专业学位 应用统计 025200 金融硕士 025100 税务硕士 025300
90
50 50
90
北京大学量子力学教材 第一章
E nh e nh kT
n 0
n 0
e nh kT
h
d nx e dx n 0
n 0
e nh kT e nx
n 0
1 d (1 e x ) 1 (1 e x ) dx h (e h kT 1)
h
于是，用电动力学和统计力学导出的公式
E ( , T )
应改为
2 2 kT c2
2 h 3 c2
（Rayleigh–Jeans）
E ( , T )
(e h kT 1)
这就是 Planck 假设下的辐射本领，它与实验完全符合。
① 当 kT
h
（高频区） （即 Wein 公式
E( , T)
E( , T) f ( , T)
就等于普适函数（与物质无关） 。所以黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对 物质而言）弄清楚了。 我们也可以以 E( , T ) 来描述。
c d d E( , T) c d E( , T)d E( , T) d E( , T) d d 2 d
3
nh n
n 0,1,2,
34
34
焦耳 秒 ， 1.0545 10 （ h 6.626 10 所以，辐射的平均能量可如此计算得： E E dE 经典的能量分布几率
e E kTdE 0 e E kTdE
焦耳 秒 ）
）
（玻尔兹曼几率分布）
5
所以对于连续分布的辐射平均能量为
E 0 E e E kTdE 0 e E kT dE
kT( E e E kT 0 e E kT dE ) 0 e E kT dE 0
北大量子力学教学大纲
C. 教学大纲（教学计划）掌握和理解量子力学的基本概念，新的数学方法（微积分、微分方程、线性代数、数理方程、复变等等）和能解决一些简单的量子力学问题。
第一章：定性了解经典困难的实例：微观粒子的波–粒的二重性； 第二章，第三章：要全面掌握：波函数与波动方程，一维定态问题，波函数的统计诠释，态叠加原理，薛定谔方程和定态；知0t =的波函数，给出t 时刻的波函数，几率流密度矢，反射系数，透射系数，完全透射。
第四章：算符运算规则，厄密算符定义，厄密算符的本征方程，观测值的可能值，几率振幅。
力学量完全集（包括H ˆ的，即为运动常数的完全集）。
共同本征态lm Y 的性质（lm m*lm Y )1(Y -=，宇称l )1(-）。
力学量平均值随时间变化，运动常数，维里定律。
第五章：变量可分离型的三维定态问有心势下，dinger o Schequation 解在 0r → 的渐近行为。
氢原子波函数，能量本征值的推导和结论要全面掌握。
三维各向同性谐振子在直角坐标和球坐标中的解，能级的结果和性质。
Hellmann-Feynman Theorem 。
电磁场下的n Hamiltonia，规范不变性，几率流密度矢。
正常塞曼效应及引起的原因。
均匀强场下的带电粒子的能量本征值磁通量量子化的现象。
第六章：量子力学的矩阵形式及表象理论算符本征方程，薛定谔方程和平均值的矩阵表示；求力学量在某表象中的矩阵表示；利用算符矩阵表示求本征值和本征函数。
表象变换。
dinger o SchPicture 和 Heisenberg Picture第七章：自旋自旋引入的实验证据。
电子自旋算符，本征值及表示。
泡利算符性质，泡利矩阵。
自旋存在下的波函数和算符的表示。
)j ,j ,l ˆ(r 2的共同本征态的矩阵形式。
自旋为1/2的两粒子总自旋波函数，Bell 不等式。
碱金属的双线结构及反常塞曼效应的现象及形成原因。
全同粒子的波函数结构，泡利原理 第八章：量子力学中的近似方法定态微扰论：非简并定态微扰论，能级的一级，二级修正，波函数的一级修正。
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第七章自旋第七章目录§7.1 电子自旋存在的实验事实 (2)（1）Stern-Gerlach 实验（1922年） ........... 2 （2）电子自旋存在的其他证据 .. (3)§7.2 自旋－微观客体的一个动力学变量 (3)（1）电子的自旋算符和它的矩阵表示 ........... 3 （2）考虑自旋后，状态和力学量的描述 ......... 7 （3）考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程10§7.3 碱金属的双线结构 (10)（1）总角动量 .............................. 11 （2）碱金属的双线结构 . (15)§7.4 两自旋为1/2的粒子的自旋波函数 (16)(1) )S ,S (z z 21表象中两自旋为21/的粒子的自旋波函数 16(2) )S ˆ,S ˆ(z2表象中两自旋为21/的粒子的自旋波函数16 (3) Bell 基 (17)§7.5 Einstein -Podolsky-Rosen 佯谬和Bell 不等式 18(1) Einstein-Podolsky-Rosen 佯谬 ........... 18 (2) Bell Inqualities (18)§7.6 全同粒子交换不变性－波函数具有确定的置换对称性 21(1)交换不变性 .............................. 22 (2)全同粒子的波函数结构，泡利原理 .......... 23 (3)全同粒子的交换不变性的后果 .. (26)第七章 自旋在较强的磁场下（∽T 10），我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它。
但是，当这些原子或离子置入弱磁场（∽T 101-）的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。
大量实验事实证明，认为电子仅用三个自由度z ,y ,x 来描述并不是完全的。
我们将引入一个新的自由度—自旋，它是粒子固有的。
当然，自旋是Dirac 电子的相对论性理论的自然结果。
现在我们从实验事实来引入。
§7.1 电子自旋存在的实验事实（1）Stern-Gerlach 实验（1922年）当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如果原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具有磁矩μ，那在磁场中的附加能量为αμμcos B B U -=⋅-=如果经过的路径上，磁场在z 方向上有梯度，即不均匀，则受力dzdB cos U F αμ=-∇= 从经典观点看αcos 取值（从11--）,因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而取值dzdB μ- — dz dB μ所以原子分裂成一个带。
但Stern-Gerlach 发现，当一束处于基态的银原子通过这样的场时，仅发现分裂成二束，即仅二条轨道（两个态）。
而人们知道，银原子（47z =）基态0l =，所以没有轨道磁矩，而分成二个状态（二个轨道），表明存在磁矩，而这磁矩在任何方向上的投影仅取二个值。
这磁矩既然不是由于轨道运动产生的，因此，只能是电子本身的（核磁矩可忽），这磁矩称为内禀磁矩s μ，与之相联系的角动量称为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。
（2）电子自旋存在的其他证据A ．碱金属光谱的双线结构钠原子光谱中有一谱线，波长为5893Å，但精细测量发现，实际上，这是由两条谱线组成。
93.5895D 1=Å 95.5889D 2=Å这一事实，从电子仅具有三个自由度是无法解释的。
B ．反常塞曼效应（Anomalous Zeeman effect ）原子序数z 为奇数的原子，其多重态是偶数，在弱磁场中分裂的光谱线条数为偶（如钠1D 和2D 的两条光谱线，在弱磁场中分裂为4条和6条）。
这种现象称为反常塞曼效应。
不引入电子自旋也是不能解释的。
C ．在弱磁场中，能级分裂出的多重态的相邻能级间距，并不一定为B 2e μ ，而是B 2e gD μ 。
对于不同能级，D g 可能不同，而不是简单为1 (D g 称e Land 'g 因子)。
根据这一系列实验事实，G. Uhlenbeck （乌伦贝克）和S.Goudsmit （古德斯密特）提出假设 ① 电子具有自旋S ，并且有内禀磁矩s μ，它们有关系S m ees -=μ ② 电子自旋在任何方向上的测量值仅取两个值2±，所以e z m 2e =μ ez z m e S -=μ 以em 2e为单位，则2g s -=（而1g l -=）∴自旋的回磁比为 2g s -=现在很清楚，电子自旋的存在可由Dirac 提出的电子相对论性理论自然得到。
考虑到辐射修正0023192.2)21(2g s -=++-= πα§7.2 自旋－微观客体的一个动力学变量既然电子有自旋，这表明描述电子运动的变量就不能仅取z ,y ,x ，还应有第四个变量z S ，相应算符为zS ˆ。
（1）电子的自旋算符和它的矩阵表示由于电子具有自旋，实验发现，它也具有内禀磁矩S m ee-=μ所以，自旋这个动力学变量是具有角动量性质的量，当然它又不同于轨道角动量（仅取二个值，2g s -=）。
对于这样一个力学量，当然仍应用线性厄密算符来表征它。
于是我们假设：自旋算符S 有三个分量i S ，并满足角动量所具有的对易关系。
A. 对易关系k ijk j i S i ]S ,S [ε =B. 由于它在任意方向上的分量测量仅取二个数值, 2±，所以 22z2y 2x 41S ˆS ˆS ˆ === 于是 222)211(2143Sˆ +== 是一常数 C. 矩阵形式由于其分量仅取二个数值，也即本征值有二个，所以z y x S ˆ,S ˆ,S ˆ可用22⨯矩阵表示。
1．若选z S ˆ作为力学量完全集，即取z S 表象，那zS ˆ在自身表象中的表示自然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=10012)S (z 相应的本征矢21,21S ,S z ±=ss s z m ,S m m ,S S ˆ = 其对应的表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01，⎪⎪⎭⎫⎝⎛102．y x S ˆ,S ˆ在z S 表象中的矩阵表示我们知道，这只要将y x S ˆ,S ˆ作用于z S ˆ的基矢并以z S ˆ基矢展开，从展开系数来获得由y x z S i ]S ˆ,S ˆ[ = x y z S i ]S ˆ,S ˆ[ -= ++=S ˆ]S ˆ,S ˆ[z因此 s z s z m ,S )S ˆ(S ˆm ,S S ˆS ˆ +=++ss m ,S S ˆ)1m (++= ∴1m ,S A m ,S S ˆss +=+ 由2s s A m ,S S ˆS ˆm ,S =+-s z 2z 2s m ,S S ˆS ˆS ˆm , -=- 2s 22s 2m m 43 --= 2s s )1m 21)(m 21( ++-= ∴)1m S )(m S (A s s ++-=即1m ,S )1m S )(m S (m ,S S ˆss s s +++-=+ 同理可得1m ,S )1m S )(m S (m ,S S ˆs s s s -+-+=- 1m ,S )1m S )(m S (1m ,S )1m S )(m S ((2m ,S S ˆs s s s s s s x +++-+-+-+= )1m ,S )1m S )(m S (1m ,S )1m S )(m S ((2i m ,S S ˆs s s ss s s y +++---+-+= ∴ 212122121S ˆx-= 212122121S ˆx=- 得系数矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01102 转置得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102)S ˆ(x 而 21212i 2121S ˆy-= 21212i 2121S ˆy-=- 系数矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01102i 转置得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0i i 02)S ˆ(y 对于nS ˆ在ϕθ,方向有 zy x n S ˆcos S ˆsin sin S ˆcos sin S ˆθϕθϕθ++=则本征矢 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛θθϕϕ-2222i i e sin e cos ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θθ-ϕϕ-2222i i e cos e sin ③ Pauli Operator ；为方便起见，引入泡利算符σ2S=于是，在z σ表象中有（或称Pauli 表象）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110)(x σ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0i i 0)(y σ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1001)(z σ 称为泡利矩阵。
i σ的本征值为±。
k ijk j i i 2],[σεσσ=， 12z 2y 2x ===σσσ由此得 x y y x σσσσ+)i 2i 2(i 21x y y x σσσσ+=)],[],[(i 21x x z x z x σσσσσσ+=],[i212x z σσ=0=于是有 z x y y x y x i 22σσσσσσσ=-=∴ i z y x =σσσ为使我们对表象变换及算符矩阵表示以及由矩阵表示求本征值，本征矢有进一步认识，我们举一些例子。
例1．求y ˆσ的本征值，本征矢 因已知y ˆσ在z σ表象中矩阵形式为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0i i 0∴ 矩阵形式的本征方程为0a ]m )[(k nk s knk y =-∑δσ要k a 不同时为0，系数行列式应为00m ii m ss=--- 1m 2s = ∴1m 2s±= 对于 1m s= 0a a 1i i 121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--- ⇒ i a 2=， 1a 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i 1211m s -= 0a a 1i i 121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛- ⇒ 12=a ， i a =1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121i 例2．表象变换对于两表象变换 B A s−→−, a b S ba = 显然，ba S 列，实为A 表象基矢a在B 表象中的表示∴ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=σσ1121i i )S (yz 我们知)(y σ在自身表象为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1001，所以，它在z σ表象中表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=σ+σ00112110011121i i i i i i )(zy 当然由→z σy σ 的变换矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=='+σσ1121i i S S zy ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σ+σ100111001121i i i i i i )(yy （2）考虑自旋后，状态和力学量的描述A. 自旋波函数（电子的自旋态）对于z S ˆ的本征方程为：ss s z m m m S ˆ = 由于zS ˆ的本征值仅取2 ±, 21m s ±=在其自身表象：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=10012)S (z 而相应本征态的表示为：αχ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==01)21S (21z，βχ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--10)21S (21z （即)S (z m s χ：1)21(21=χ，0)21(21=-χ，0)21(1=-χ，1)21(1=--χ）αα2)S (z=， ββ2)S (z -=∴ αβαβσ-=)(z α是zS ˆ的本征值为2的本征态在z S 表象中的表示β是zS ˆ的本征值为2-的本征态在z S 表象中的表示 显然βα,正交， 010)0,1(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+βα对于任何一旋量χ在z S 表象中，其表示⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2()2( χχχ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-11a a βαχχ212121212121a a a a ---+=+=若χ是归一化的，则21a ±为以χ描述的电子处于2S z±=的几率，即自旋向下上的几率。