2019版高考数学大二轮复习 板块二 练透基础送分小考点 第1讲 集合与常用逻辑用语精选习题 文

第1讲 集合与常用逻辑用语[考情考向分析] 1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断．1．(2018·全国Ⅰ)已知集合A ＝{}x |x 2－x －2>0，则∁R A 等于( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2} 答案 B解析 ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}． 故选B.2．(2018·安徽省江南十校联考)已知集合A ＝{x |y ＝ln(1－2x )}，B ＝{x |e x>1}，则( ) A ．A ∪B ＝{x |x >0}B ．A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <12 C ．A ∩∁R B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12 D ．(∁R A )∪B ＝R答案 B解析 ∵A ＝{x |y ＝ln(1－2x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12， B ＝{x |e x >1}＝{x |x >0}，∴A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <12，故选B. 3．A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．在下列四个命题中，为p 的逆否命题的是( )A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格 B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分 C ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分高于70分 答案 C解析 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格，p 的逆否命题是：若A ，B ，C 至少有1人及格，则及格分不低于70分．故选C.4．(2018·长春模拟)设命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≤x －1，则綈p 是 A ．綈p ：∀x ∈(0，＋∞)，ln x >x －1 B ．綈p ：∀x ∈(－∞，0]，ln x >x －1 C ．綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0>x 0－1 D ．綈p ：∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≤x 0－1 答案 C解析 因为全称命题的否定是特称(存在性)命题，所以命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≤x －1的否定綈p 为∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0>x 0－1.故选C.5．(2018·宜昌调研)已知命题p ：∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，x 0≥sin x 0，则命题p 的否定为( )A ．∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，x ≥sin xB ．∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，x 0<sin x 0C ．∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，x <sin xD ．∃x 0∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，x 0≥sin x 0 答案 C解析 命题p ：∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，x 0≥sin x 0的否定为∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，x <sin x .故选C.6．有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为：“若xy ＝0，则x ≠0”B ．命题“∃x 0∈R ，使得2x 20－1<0”的否定是：“∀x ∈R,2x 2－1<0” C ．“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为真命题 D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题为真命题 答案 C解析 对于A 选项，命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“若xy ≠0，则x ≠0”，否命题是条件和结论的双重否定，故A 错误；对于B 选项，命题“∃x 0∈R ，使2x 20－1<0”的否定是“∀x ∈R ,2x 2－1≥0”，故B 错误；选项C 的逆命题为真命题，故C 正确；选项D 的原命题是假命题，则逆否命题与之对应也是假命题，故D 错误，故选C.7．(2018·天津)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12，得0<x <1，则0<x 3<1，即“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”⇒“x 3<1”； 由x 3<1，得x <1， 当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“x 3<1”⇏“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”． 所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分不必要条件．故选A.8．(2018·山东枣庄市第三中学调研)若f (x )＝sin(2x ＋θ)，则“f (x )的图象关于x ＝π3对称”是“θ＝－π6”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 若f (x )的图象关于x ＝π3对称，则2×π3＋θ＝π2＋k π，k ∈Z ，解得θ＝－π6＋k π，k ∈Z ，此时θ＝－π6不一定成立，反之成立，即“f (x )的图象关于x ＝π3对称”是“θ＝－π6”的必要不充分条件，故选B. 9．(2018·武汉调研)给出下列两个命题：p 1：∃x 0∈R,3sin x 0＋4cos x 0＝3x 20＋4；p 2：若lg a 2＋2lg b ＝0，则a ＋b ≥2，那么下列命题为真命题的是( ) A ．p 1∧p 2 B ．p 1∨(綈p 2) C ．p 1∨p 2 D ．(綈p 1)∧p 2答案 B解析 因为3sin x ＋4cos x ＝5sin(x ＋φ)∈[]－5，5， 而3x 2＋4≥6，所以p 1为假命题．对于p 2，由题设有a 2b 2＝1，b >0，所以ab ＝1或ab ＝－1， 取a ＝－3，b ＝13，则a ＋b ＝－83<2，故p 2为假命题，所以p 1∨(綈p 2)为真命题，故选B.10．(2018·漳州调研)已知命题p ：椭圆25x 2＋9y 2＝225与双曲线x 2－3y 2＝12有相同的焦点；命题q ：函数f (x )＝x 2＋5x 2＋4的最小值为52，下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．綈(p ∨q )D ．p ∧(綈q )答案 B解析 p 中椭圆为x 29＋y 225＝1，双曲线为x 212－y 24＝1，焦点坐标分别为(0，±4)和(±4,0)，故p 为假命题；q 中f (x )＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4，设t ＝x 2＋4≥2(当且仅当x ＝0时，等号成立)，则f (t )＝t ＋1t 在区间[2，＋∞)上单调递增，故f (x )min ＝52，故q 为真命题．所以(綈p )∧q 为真命题，故选B.11．用C (A )表示非空集合A中的元素个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B )，若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值构成的集合是S ，则C (S )等于( ) A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 B解析 由A ＝{1,2}，得C (A )＝2， 由A *B ＝1，得C (B )＝1或C (B )＝3. 由(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0， 得x 2＋ax ＝0或x 2＋ax ＋2＝0.当C (B )＝1时，方程(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0只有实根x ＝0，这时a ＝0；当C (B )＝3时，必有a ≠0，这时x 2＋ax ＝0有两个不相等的实根x 1＝0，x 2＝－a ，方程x2＋ax ＋2＝0必有两个相等的实根，且异于x 1＝0，x 2＝－a .由Δ＝a 2－8＝0，得a ＝±22，可验证均满足题意，故S ＝{－22，0,22}，故C (S )＝3.12．已知集合A ＝{x |x >2}，集合B ＝{x |x >3}，以下命题正确的个数是( ) ①∃x 0∈A ，x 0∉B ；②∃x 0∈B ，x 0∉A ；③∀x ∈A 都有x ∈B ；④∀x ∈B 都有x ∈A . A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 C解析 因为A ＝{x |x >2}，B ＝{x |x >3}，所以B ⊆A ，即B 是A 的子集，①④正确，②③错误，故选C.13．设全集U ＝R ，函数f (x )＝lg(|x ＋1|＋a －1)(a <1)的定义域为A ，集合B ＝{x |cos πx ＝1}，若(∁U A )∩B 恰好有两个元素，则a 的取值集合为__________． 答案 {a |－2<a ≤0}解析 方法一 由|x ＋1|＋a －1>0，可得x >－a 或x <a －2，故∁U A ＝[a －2，－a ]．而B ＝{x |x＝2k ，k ∈Z }，注意到[a －2，－a ]关于x ＝－1对称，所以由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥0，－a <2，即－2<a ≤0.方法二 由方法一得，∁U A ＝[a －2，－a ]，区间长度为－a －(a －2)＝2－2a ，B ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，因为(∁U A )∩B 恰好有两个元素，所以2≤2－2a <6，所以－2<a ≤0.14．(2018·北京)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________． 答案 f (x )＝sin x (答案不唯一)解析 设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．15．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪0≤a ≤12 解析 p ：|4x －3|≤1，∴12≤x ≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，∴a ≤x ≤a ＋1.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1(等号不能同时成立)，∴0≤a ≤12.16．若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合τ： ①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}； ②τ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}； ③τ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；④τ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}． 其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ是______．(填序号) 答案 ②④解析 ①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}，但是{a }∪{c }＝{a ，c }∉τ，所以①错；②④都满足集合X 上的一个拓扑集合τ的三个条件．所以②④正确；③{a ，b }∪{a ，c }＝{a ，b ，c}∉τ，所以③错．。