第六节、函数的几种简单性质
二次函数
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(1)∵f(1+x)=f(1-x), ∵ 关于直线x=1对称 对称, ∴函数f(x)关于直线 函数 关于直线 对称 的最大值为15, 又f(x)的最大值为 的最大值为 故可设f(x)=a(x-1)2+15(a<0). 故可设 ∴f(x)=ax2-2ax+a+15,
15 ∴x1+x2=2,x1x2=1+ a ,
a +2 = 1.即a=-4，而函数 是定义在［ ］ 即 ，而函数f(x)是定义在［a,b］ 是定义在 2 a +b 上的， 关于x=1对称 ∴ 2 = 1 .∴b=6. 对称.∴ 上的，即a,b关于 关于 对称 ∴
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解法二： 二次函数的对称轴为 解法二：∵二次函数的对称轴为x=1, 与原函数表达式对比可得a+2 ∴f(x)=(x-1)2+c与原函数表达式对比可得 与原函数表达式对比可得 =-2, ∴a=-4,又 又 ∴b=6.
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3.二次函数的三种表示形式 二次函数的三种表示形式 一般式: 一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) . 顶点式: 顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0) ,其中 其中 (h,k) 为抛
物线的顶点坐标. 物线的顶点坐标 两根式: 两根式: y=a(x-x1)(x-x2) ,其中 ,其中 x1,x2 是
1 (2)试比较 试比较f(0)·f(1)-f(0)与 16 的大小 并说明理由 的大小,并说明理由 并说明理由. 试比较 与
【分析】可利用二次函数中根与系数的关系列出不 分析】 等关系,从而确定参数 的取值范围 等关系 从而确定参数a的取值范围 从而确定参数 的取值范围.
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【解析】 (1)令g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a, 解析】 令 ∆>0
第二章 第六节 对数与对数函数
A．a>0>b
B．a>b>0
C．b>a>0
D．b>0>a
(1)D
(2)A
解
析
：
(1)a
＝
log315
＝
log3
3×5
＝ 1 ＋ log35>1 ， b ＝ log420 ＝
log44×5
＝1＋log45>1，c＝log21.9<1，因为
log35＝llgg
5 3
lg 5 >lg 4
＝log45，所以 a>b>c.
B．b<c<a
C．c<a<b
D．c<b<a
D
解析：画出函数 f(x)＝|lg x|，∵f(2)＝|lg 2|＝|－lg 2|＝lg
1 2
，且14
1 <3
1 <2
，
∴f14
1 >f3
1 >f2
，即 a>b>c.
5．(多选)函数 y＝loga(x＋c)(a，c 为常数，其中 a>0，a≠1)的图象如图所示， 则下列结论成立的是( )
第二章 函 数 第六节 对数与对数函数
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必备知识 1．对数的概念 如果 ab＝N(a>0，且 a≠1)，那么 b 叫作以 a 为底，(正)数 N 的对数，记作 b ＝logaN.这里，a 叫作对数的_底__数_，N 叫作对数的真数．
答案：0，
2 2
解析：若方程 4x＝logax 在0，12 上有解，则函数 y＝4x 与
第四章 第六节 三角函数的性质
第四章 第六节 三角函数的性质1.函数y ＝tan 4x π⎛⎫-⎪⎝⎭的定义域是 ( ) A.{x |x ≠π4，x ∈R}B.{x |x ≠－π4，x ∈R}C.{x |x ≠kπ＋π4，k ∈Z ，x ∈R}D.{x |x ≠kπ＋3π4，k ∈Z ，x ∈R} 解析：∵x －π4≠kπ＋π2，∴x ≠kπ＋34π，k ∈Z.答案：D 2.函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为 .sin 0,1cos 0,2x x >⎧⎪⎨-⎪⎩≥即sin 0,1cos ,2x x >⎧⎪⎨⎪⎩≥解析：要使函数有意义必须有解得2,(Z)22,33k x k k k x k πππππππ<<+⎧⎪∈⎨-++⎪⎩≤≤ ∴2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z}.答案：{x |2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z}3.(2010·福州模拟)若函数y ＝sin x ＋f (x )在[－π4，3π4]内单调递增，则f (x )可以是( )A.1B.cos xC.sin xD.－cos x解析：y ＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，－π2≤x －π4≤π2，满足题意，所以f (x )可以是－cos x . 答案：D4.求y ＝3tan(π6－x4)的周期及单调区间.解：y ＝3tan(π6－x 4)＝－3tan(x 4－π6)，∴T ＝π|ω|＝4π，∴y ＝3tan(π6－x4)的周期为4π.由kπ－π2＜x 4－π6＜kπ＋π2，得4kπ－4π3＜x ＜4kπ＋8π3(k ∈Z)，y ＝3tan(x 4－π6)在(4kπ－4π3，4kπ＋8π3)(k ∈Z)内单调递增.∴y ＝3tan(π6－x 4)在(4kπ－4π3，4kπ＋8π3)(k ∈Z)内单调递减.( ) A .2π B.3π2C .π D.π2解析：f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，T ＝2π|ω|＝2π.答案：A6.若函数y ＝2cos(2x ＋φ)是偶函数，且在(0，π4)上是增函数，则实数φ可能是 ( )A.－π2 B.0C.π2D.π 解析：依次代入检验知，当φ＝π时，函数y ＝2cos(2x ＋π)＝－2cos2x ，此时函数y 是偶函数且在(0，π4)上是增函数.答案：D7.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值等于 ( ) A.23 B.32 C.2 D.3解析：由题意知,432,TT ππω⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩≤解得ω≥32.答案：B8.已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间[0，2π3]上的取值范围.解：(1)f (x )＝1cos 22x ω-＋32sin2ωx ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＝sin(2ωx －π6)＋12.因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω＞0， 所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin(2x －π6)＋12.因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6，所以－12≤sin(2x －π6)≤1，所以0≤sin(2x －π6)＋12≤32，即f (x )的取值范围为[0，32].9.设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象关于直线x ＝π3对称，它的最小正周期是π，则函数f (x )的图象的一个对称中心是 ( ) A.(π3，1) B.(π12，0) C.(5π12，0) D.(－π12，0) 解析：∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2，又∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，∴sin(2×π3＋φ)＝±1，∴φ＝k 1π－π6，k 1∈Z ，由sin(2x ＋k 1π－π6)＝0得2x ＋k 1π－π6＝k 2π，k 1，k 2∈Z ，∴x ＝π12＋(k 2－k 1)π2，当k 1＝k 2时，x ＝π12，∴函数f (x )的图象的一个对称中心为(π12，0).答案：B10.(文)若a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝(sin ωx,0)，其中ω＞0，记函数f (x )＝(a ＋b )·b ＋k . (1)若函数f (x )的图象中相邻两条对称轴间的距离不小于π2，求ω的取值范围；(2)若函数f (x )的最小正周期为π，且当x ∈[－π6，π6]时，函数f (x )的最大值是12，求函数f (x )的解析式，并说明如何由函数y ＝sin x 的图象变换得到函数y ＝f (x )的图象. 解：∵a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝(sin ωx,0)， ∴a ＋b ＝(3cos ωx ＋sin ωx ，sin ωx ).故f (x )＝(a ＋b )·b ＋k ＝3sin ωx cos ωx ＋sin 2ωx ＋k ＝32sin2ωx ＋1－cos2ωx 2＋k ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＋k ＝sin(2ωx －π6)＋k ＋12.(1)由题意可知T 2＝π2ω≥π2，∴ω≤1.又ω＞0，∴0＜ω≤1. (2)∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1. ∴f (x )＝sin(2x －π6)＋k ＋12.∵x ∈[－π6，π6]，∴2x －π6∈[－π2，π6].从而当2x －π6＝π6，即x ＝π6时，f (x )max ＝f (π6)＝sin π6＋k ＋12＝k ＋1＝12，∴k ＝－12.故f (x )＝sin(2x －π6).由函数y ＝sin x 的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象，再将得到的函数图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x －π6)的图象.(理)设函数f (x )＝sin(π4x －π6)－2cos 2π8x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值.解：(1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin(π4x －π3)，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)法一：在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g (x )). 由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而 g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin(π2－π4x －π3)＝3cos(π4x ＋π3).当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g max ＝3cos π3＝32.法二：因区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值即为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值.由(1)知f (x )＝3sin(π4x －π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g max ＝3sin π6＝32.。
第六节 函数的连续性
如果函数 f ( x )在开区间 (a , b)内连续 , 且在 左端点x a处右连续 , 在右端点 x b处左连续 , 则称函数f ( x )在闭区间 [a, b]上连续 .
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
6
例3 证明函数y sinx在区间 (,)内连续 .
证 x (,),
x 0 x 0
f ( x ) lim f ( x ) f ( x ).
故 f ( x)在（ ， ）上连续 .
12
例5 设f ( x )在（ 0， ）上连续，且满足x (0, ), f ( x ) f ( x ). 证明 f ( x )在 (0, ) 上为常数.
1 当 x 0 时， lim f ( x ) 2, l i m f ( x ) f (0). x 0 x 0 a 1 所以当 a 时 ，f ( x )在 （ ， ） 内 是 连 续 的 ; 2 1 当a 时 ，f ( x )在 （ ， 0） （0， ） 内 连 续 2 23 且x 0 是 第 一 类 跳 跃 型 间 断.点
y sin 1 x
1 解 因 为 f ( x )在x 0 处 没 定 义 , 且limsin 不 存 在 ， x 0 x 所以 x 0 为第二类间断点 .
这种情形称为振荡型间断点.
19
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
lim f [ ( x )] f [ lim ( x )] f [ ( x0 )] f ( u0 ).
函数的奇偶性及周期性
第六节 函数的奇偶性及周期性一、函数的奇偶性都有做f (y ＝x 3也为奇函数．指数函数y ＝e x 为非奇非偶函数．令f (x )＝ln x 2＋1，得f (－x )＝ln?－x ?2＋1＝lnx 2＋1＝f (x )．所以y ＝ln x 2＋1为偶函数．2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13C.12D ．－12解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )， ∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.3．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为( ) A ．－1 B ．0 C∴∴4得|5a ＝10.则f (－a )＝－a 3cos a ＋1＝－10＋1＝－9.答案：－91.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件； (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反之亦然； (3)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．2．若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期．一、函数奇偶性的判断⎧1，x∈Q，xh(x)＝f(RQ，∴f(－g(－x)g(－x)＝f(g(1)＝ee＋1，×e－1＋1＝1＋e，不是偶函数．[答案] A由题悟法利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)．[注意]判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．以题试法1(1)(2)(3)(4)∴f(又即∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)∵f(x)的定义域为R，∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)∵由⎩⎨⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2?x ＋3?－3＝4－x 2x ，∴f ((4)2＋2)＝－f (x 当当[1)＝(2)的解集为A C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)[自主解答] (1)∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，∴当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. (2)∵f (x )为偶函数，∴f ?x ?＋f ?－x ?x ＝2f ?x ?x >0. ∴xf (x )>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，f ?x ?>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f ?x ?<0.又f (－2)＝f (2)＝0，f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故[f (n ＋1)f (1∴f (∴f ((1)利用奇偶性构造关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式． (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．以题试法2．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.(2)已知定义在R 上的奇函数满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－a 2)>f (2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)当x <0时，则－x >0，所以f (x )＝x 2＋x ，f (－x )＝ax 2－bx ，而f (－x )＝－f (x )(2)函数f ([x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32[＝12＋1＝32.[32 由题悟法1．周期性常用的结论：对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f ?x ?，则T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝－1f ?x ?，则T ＝2a .2．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．以题试法3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)(2)∴f (∴f ((2)∴4∴f 即课堂练习1．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝sin x C ．y ＝xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x答案：A2．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－52＝( )A ．－12B ．－14C.14D.12解析：选A 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12.3A B C D ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －x 2－f (x )－1,1)上单调递减．4h (x )的A ．偶函数，奇函数B ．奇函数，偶函数C ．偶函数，偶函数D ．奇函数，奇函数解析：选D f (－x )＝|－x ＋a |－|－x －a |＝|x －a |－|x ＋a |＝－f (x )，故f (x )为奇函数． 画出h (x )的图象可观察到它关于原点对称或当x >0时，－x <0，则h (－x )＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－h (x )，当x <0时－x >0，则h (－x )＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－h (x )．x ＝0时，h (0)＝0，故h (x )为奇函数．5．已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A 函数f (x )为定义在R 上的奇函数， 则f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1.则f (x )＝2x ＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3. 6．若函数f (x )＝x?2x ＋1??x －a ?为奇函数，则a ＝( )x 2－x .式f (x )>x 的解集为________．解析：依题意，画出y ＝f (x )与y ＝x 的图象，如图所示，注意到y ＝f (x )的图象与直线y ＝x 的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23，结合图象可知，f (x )>x 的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 9．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2 011)＝________.解析：f (2 011)＝f (3×670＋1)＝f (1)＝－f (－1)10(1)(2)f (当0；f (即(2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x .任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2－1x 1x 2. 由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2.故x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2， 故11(1)(2)又(2)结合f (x )的图象知⎩⎨⎧ a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f(x)＝x(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，得f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)．又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)．故即(2)x∈f(x故x∈f(x函数f(x)＝－－x－4.课后练习1．设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则x·f(x)<0的解集是()A．{x|－3<x<0，或x>3}B．{x|x<－3，或0<x<3}C ．{x |x <－3，或x >3}D ．{x |－3<x <0，或0<x <3}解析：选D 由x ·f (x )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，f ?x ?>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f ?x ?<0， 而f (－3)＝0，f (3)＝0，即2f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1bx ＋2x ＋1，． f (－1)＝f (1)由答案：－103．已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，如果对于0<x <y ，都有f (x )>f (y )，(1)求f (1)；(2)解不等式f (－x )＋f (3－x )≥－2.解：(1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，f (1)＝0.(2)f (－x )＋f (3－x )≥－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， f (－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0＝f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－x 2≥f (1)， f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－x 2·3－x 2≥f (1)， 则1x ，则f (1)，g ，g (x )f (x )－g ＝2，＝－2，于是＝－34，1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．答案：f (1)>g (0)>g (－1)2．关于y ＝f (x )，给出下列五个命题：①若f (－1＋x )＝f (1＋x )，则y ＝f (x )是周期函数；②若f (1－x )＝－f (1＋x )，则y ＝f (x )为奇函数；③若函数y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，则y ＝f (x )为偶函数；④函数y ＝f (1＋x )与函数y ＝f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称；⑤若f (1－x )＝f (1＋x )，则y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称．填写所有正确命题的序号________．解析：由f (－1＋x )＝f (1＋x )可知，函数周期为2，①正确；由f (1－x )＝－f (1＋x )可知，y ＝f (x )的对称中心为(1,0)，②错；y ＝f (x －1)向左平移1个单位得y ＝f (x )，故y ＝f (x )y ①③.3－2)在x ∈⎣⎢⎡12，由f (ax 即。
2019新版高中数学人教A版必修一第三章 函数的概念与性质 第6节 函数的奇偶性(1)
例 2：若 f(x)＝ax2＋bx＋3x＋b 是偶函数，其定义域为[a－3,2a]，则 a＝________， b＝________.
解析：∵f(x)是偶函数，故定义域关于原点对称，即有 2a＋a－3＝0，∴a＝1. 又∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立， 故有 b＝－3.答案：1 －3
解：令 g（x）=ax3﹣bx，则由奇函数的定义可得函数 g（x）为 R 上的奇函数， ∴由 f（﹣3）=g（﹣3）+1=1 得，g（﹣3）=0， ∴f（3）=g（3）+1=﹣g（﹣3）+1=1．
4.已知函数
是奇函数，则 a= ．
解：∵y=f（x）=
的定义域为（﹣1，1），且函数为奇函数,∴f（0）=|2+0|+a=0，解
A．﹣3
B．﹣1
C．1
D．3
解：因为 f（x）为定义在 R 上的奇函数，所以 f（0）=20+2×0+b=0， 解得 b=﹣1，所以当 x≥0 时，f（x）=2x+2x﹣1，又因为 f（x）为定义在 R 上的 奇函数，所以 f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故选 A．
例 6：已知函数 f(x)(x∈R)是奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝2x－1，求函数 f(x) 的解析式．
8.定义域为 R 的函数 f(x)满足：对于任意的实数 x、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) 成立，且当 x＞0 时，f(x)＜0 恒成立，判断函数 f(x)的奇偶性。
解：f(x)为奇函数，
2024年中考数学总复习考点梳理第三章第六节二次函数的图象与性质
第六节 二次函数的图象与性质
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命题点2 二次函数图象与系数a，b，c的关系(2020.10) 课标要求 1.通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称 轴的关系；(2022年版课标新增) 2.知道二次函数和一元二次方程之间的关系．(2022年版课标新增)
第六节 二次函数的图象与性质
考情及趋势分析
年份 2020
题号 10
题型 选择题
分值 3
考情分析 已知条件
函数图象、对称轴x＝1
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考查设问 下列结论正确的是
第六节 二次函数的图象与性质
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命题点3 二次函数解析式的确定(6年4考，均在二次函数综合题考查)
考情及趋势分析
年份 题号 题型 分值 2022 23(1) 解答题(三) 5 2021 25(1) 解答题(三) 3
y＝ax2＋b
①C(0，－3)，②y＝x＋m
【考情总结】考查特点：除2021年考查三个系数未知外，其余年份均考查两个系数未知.
第六节 二次函数的图象与性质
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命题点4 二次函数图象的平移(6年2考) 考情及趋势分析
考情分析
年份 题号 题型 分值 平移次数 平移方式 设问
溯源教材
教材改编维度
2021 12 填空题 4
第六节 二次函数的图象与性质
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3. [人教九上P47习题改编]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x
轴的一个交点坐标为(－1，0)，对称轴为直线x＝1.下列结论正
确的有____②__③__⑥______．(填序号)
①bc＜0；②2a＋b＝0；③9a＋3b＋c＝0；
④4a＋2b＋c＞0；⑤2c－3b＜0；
高三数学一轮复习 46 三角函数的性质课件
【解析】 (1)∵f(x)＝sin2x＋ 31－2sin24x ＝sin2x＋ 3cos2x＝2sin2x＋π3 ∴f(x)的最小正周期 T＝21π＝4π.
2
当 sin2x＋π3＝－1 时，f(x)取得最小值－2； 当 sin2x＋π3＝1 时，f(x)取得最大值 2.
二、根据句意，用括号内所给词的适当形式填空。 6. We are looking for the best singers and the most exciting
__m_a_g_i_c_ia_n_s___(magic) for the school show.
7. Who played the piano the best or sang the most _b_e_a_u_ti_f_u_ll_y_ (beautiful)?
A3演示文稿设计与制作 信息技术2.0 高三数学一轮复习 46 三角函数的性质课件 微能力认证作业
第六节 三角函数的性质
• 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和 性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
•
函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx
＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间都可通
【解析】 (1)由 f(x)＝0，得 a＝sin2x－sinx＝(sinx－12)2－14.∵sinx∈[－1,1]， ∴－14≤(sin－12)2－14≤2，∴a∈[－14，2]． (2)∵1≤－sin2x＋sinx＋a≤147恒成立，
∴a≤sin2x－sinx＋147 恒成立． a≥sin2x－sinx＋1
第六节函数的连续性
【注意】 不要以为函数的间断点只是个别的几个点 .
★ 狄利克雷函数
1, 当x是有理数时, y D( x ) 0, 当x是无理数时,
在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间 断点. x , 当x是有理数时, 课后习题P65 ★ f ( x) x , 当x是无理数时, 5（3）反例 仅在x = 0 处连续, 其余各点处处间断.特别地
在x 0处没有定义, 【解】
1 且 lim sin 不存在. x 0 x
y sin 1 x
x 0为第二类间断点.
这种情况称为振荡间断点.
f ( x ) 与 f ( x 【特点】 0 0 ) 中至少有一个因函数
振荡而不存在，但均不为∞，称之.
21
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x x0
⑴【左连续】若 lim f ( x ) f ( x0 )存在且等于f ( x0 ), 即 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称f ( x )在点x0左连续.
⑵【右连续】 若 lim f ( x ) f ( x0 )存在且等于f ( x0 ),即 x x0 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称f ( x )在点x0右连续.
一、函数的连续与间断
（一）函数的连续性
1.【增量】
设函数f ( x )在U ( x0 , )内有定义, x U ( x0 , ),当自变量 x从 初值x0变到终值x0 x时, 称x为自变量在点x0的 增量. y f ( x0 x ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于x的增量. 【增量的几何解释】 y y
x 0, 在x 0处的连续性 x 0, y
【解】 f (0 0) 0,
函数的连续性与间断点
这种情况称为的振荡间断点.
函数
f
(
x)
1, 1,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续.
判断下列间断点类型:
y
y f x
x1 o
x2
x3
x
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
例8 当a取何值时,
x x 1
解
f
(
x
)
x
2
1 x 1
x x 1
，分段点为 x 1
lim f ( x) lim x 1
x1
x1
lim f ( x) lim x2 1
x1
x1
lim f ( x) lim f ( x)
x1
x1
所以 f ( x)在 x 1 处间断.
lim f ( x) lim x2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3)
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ).
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点 x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
间断点分为第一类间断点与第二类间断点.
第一类间断点 如果 f ( x) 在间断点x0 处左右极 限存在,则称点 x0 为f ( x) 的第一类间断点.
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
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则称函数 f ( x )在区间 I上是单调增加的 ;
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I ⊂ D,
如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x 2 , 当 x1 < x 2时,
恒有 f ( x1 ) > f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间 I上是单调减少的 ;
恒成立 . 则称f ( x )为周 期函数 , l称为 f ( x )的周期 .
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. 通常说周期函数的周期是指其最小正周期） 周期
−
3l 2
−
l 2
l 2
3l 2
1 x ∈ Q 例 , 设 D( x ) = 0 x ∈ Q 7 求D( − ), D(1 − 2 ).并讨论 D( D( x ))的性质 . 5 7 解 D( − ) = 1, D(1 − 2 ) = 0, D( D( x )) ≡ 1, 5 y 单值函数, 有界函数, 单值函数 有界函数 1
y M y=f(x) o -M x 有界 X M y
x0
o -M X 无界
x
2．函数的单调性: ．函数的单调性
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I ⊂ D, 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x 2 , 当 x1 < x 2时,
恒有
f ( x1 ) < f ( x 2 ),
y
y = f ( x)
f ( − x ) = − f ( x ) 称 f ( x )为奇函数 ;
y
y = f ( x)
f ( x)
-x o
f (− x )
x
x
奇函数
4．函数的周期性: ．函数的周期性
设函数 f ( x )的定义域为 D, 如果存在一个不为零的 数l , 使得对于任一 x ∈ D, ( x ± l ) ∈ D .且 f ( x + l ) = f ( x )
偶函数, 不是单调函数, 偶函数 不是单调函数 周期函数(无最小正周期 周期函数 无最小正周期) 无最小正周期
o
x
作业: 作业:
P44 48 (2) (4) (6) 49 (1) (2) (3)
第六节: 第六节:函数的几种简单性质
本节重点: 函数的奇偶性 本节重点: 函数的单调性 本节难点: 单调性的判断, 本节难点: 单调性的判断,单调区间的确定
第六节、 第六节、函数的几种简单性质
1．函数的有界性: ．函数的有界性
若X ⊂ D, ∃M > 0, ∀x ∈ X , 有 f ( x ) ≤ M 成立, 则称函数 f ( x )在X上有界 .否则称无界 .
y
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
3．函数的奇偶性: ．函数的奇偶性
设D关于原点对称 , 对于 ∀x ∈ D, 有
f ( − x ) = f ( x ) 称 f ( x )为偶函数 ;
y
y = f ( x)
f (− x )-x o 偶函数 x Nhomakorabeaf ( x)
x
设D关于原点对称 , 对于 ∀x ∈ D, 有