高中数学总复习函数与方程人教版必修1

f(b)<0 ， 曲线， 并且有 f(a)· 那么函数 y＝f(x)在区间 (a，b) 内
有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个 c 也就是 f(x) ＝0 的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．
3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系 Δ>0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像 与 x 轴的交点 零点个数 Δ＝0 Δ<0
(2)因为当 x<1 时， f′(x)>0； 1<x<2 时， 当 f′(x)<0； x>2 当 时 f′(x)>0. 5 所以当 x＝1 时，f(x)取极大值 f(1)＝ －a， 2 当 x＝2 时，f(x)取极小值 f(2)＝2－a. 故当 f(2)>0 或 f(1)<0 时，方程 f(x)＝0 仅有一个实根，解得 5 a<2 或 a> . 2
1 1 1 2＝－2－ 2＋2＝－ 2<0， 又∵f e e e
f(1)＝1>0，f(e2)＝4－e2<0 ∴该函数分别在(0,1)和(1，＋∞)上各有一解．
(3)函数 f(x)＝x3－2x2＋x 的零点是( A．0 C．0 和 1 B．1
)
D．(0,0)和(1,0)
[答案] C
知识梳理 1．函数零点的定义 (1)对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把使 f(x)＝0 成立的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)方程 f(x)＝0 有实根⇔函数 y＝f(x)的图像与 x轴 交点⇔函数 y＝f(x)有 零点 ． 有
2．函数零点的判定 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条
)
[答案] C
[解析] 解法一：函数 f(x)＝log3x＋x－3 的定义域为(0， ＋∞)，并且在(0，＋∞)上递增连续，又 f(2)＝log32－1<0，f(3) ＝1>0， ∴函数 f(x)＝log3x＋x－3 有惟一的零点且零点在区间(2,3) 内．
解法二：方程 log3x＋x－3＝0 可化为 log3x＝3－x，在同一 坐标系中作出 y＝log3x 和 y＝3－x 的图像如下图所示，可观察 判断出两图像交点横坐标在区间(2,3)内．
[解析] (1)当 a＝0 时，f(x)＝－x－1 有唯一零点－1，符合 题意； 当 a≠0 时，f(x)有唯一零点，即 ax2－x－1＝0 有惟一解． 1 由 Δ＝1＋4a＝0 得 a＝－ . 4 1 综上可知 a 的值为 0 或－ . 4
(2)设 g(x)＝|4x－x2|，画出其图像如下图所示．
7．函数 f(x)＝mx2－2x＋1 有且仅有一个正实数的零点，求 实数 m 的取值范围．
1 [解析] 当 m＝0 时，x＝ 为函数的零点； 2 当 m≠0 时，若 Δ＝0，即 m＝1，则 x＝1 是函数唯一的零 点． 若 Δ≠0，显然 x＝0 不是函数的零点，这样函数有且仅有 一个正实数的零点等价于方程 f(x)＝mx2－2x＋1＝0 有一个正 根和一个负根，即 mf(0)<0，即 m<0. 综上可知 m∈(－∞，0]∪{1}．
2
3 ＝－3，即函数 f(x)＝x－x＋2 的两个零点分别为 1，－3.
[点评] 求函数的零点就是求相应方程的根， 一般可用因式 分解或求根公式等方法求出方程的根，即得函数的零点．
(1)函数 f(x)＝log3x＋x－3 的零点一定在区间( A．(0,1) C．(2,3) B．(1,2) D．(3,4)
函数 f(x)有 4 个零点，即方程 g(x)－k＝0 有 4 个不同的实 数解，也就是 y＝g(x)的图像与直线 y＝k 有 4 个不同的公共点， 由图可知 0<k<4.
[点评] 函数 y＝f(x)的零点⇔方程 f(x)＝0 的根⇔函数 f(x) 的图像与 x 轴交点横坐标．这为我们研究函数零点个数和方程 根的个数问题提供了两种解法：一是转化为直接研究方程根的 个数；二是转化为图像交点个数．另外，还可推广为：函数 y ＝f(x)的 k 点⇔方程 f(x)＝k 的根⇔y＝f(x)的图像与直线 y＝k 的 交点横坐标．
函数与方程
考纲解读 1． 结合二次函数的图像， 了解函数的零点与方程根的联系， 判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2．根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似 解．
考向预测 1．函数的零点及二分法是新增内容，是高考的重要考点， 在近两年的高考中均有重要体现． 2．多以选择、填空的形式出现，属中、低档题．常与函数 的图像、性质交汇命题．
(3)由 x3 －3x＋2＝x3 ＋2x2 －2x2 －4x＋x＋2＝x2(x＋2)－ 2x(x＋2)＋(x＋2)＝(x－1)2(x＋2)＝0，得 x1,2＝1，x3＝－2. 所以 f(x)＝x3－3x＋2 有两个零点 1，－2，其中 1 是二重零 点． x ＋2x－3 x－1x＋3 3 (4)由 x－x＋2＝ ＝ ＝0，得 x1＝1，x2 x x
(2)函数 f(x)＝log3x－x＋2 的零点的个数是( A．0 C．2 B．1 D．3
)
[答案] C [解析] 解法一：方程 log3x－x＋2＝0，
可化为 log3x＝x－2 在同一坐标系中作出 y＝log3x 与 y＝x－2 的图像如下图所 示，可观察出两图像有两个不同交点，故选 C.
1－x 解法二：∵f′(x)＝ x 容易知道 f(x)在(0,1)上为增函数， 在(1，＋∞)上为减函数．
右端点 1.34375 1.328125 1.3281 1.3281 1.32615
所求实根 x≈1.32.
[点评] 在用二分法求方程解时， 初始区间的选定， 往往需 通过分析函数的性质和试验估计，初始区间选得不同不影响最 终计算结果.
根的分布
[例 4] 已知函数 f(x)＝8x2－(m－1)x＋(m－7)． 问当 m 取何值时，函数的零点满足下列性质，通过求解， 探求此类问题的一般解法．
第四步，判断是否达到精确度 ε：即若|a－b|<ε，则得到零 点近似值 a(或 b)；否则重复第二、三、四步.
基 础 自 测
1.(2010· 天津理)函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A．(－2，－1) C．(0,1) B．(－1,0) D．(1,2)
[答案] B
5 [解析] ∵f(0)＝1>0，f(－1)＝－ <0，∴选 B. 2
[答案] B
[解析] 在同一直角坐标系中分别作出函数 y＝ x和 y＝ cosx 的图像，如图，由于 x>1 时，y＝ x>1，y＝cosx≤1，所以 两图像只有一个交点，即方程 x－cosx＝0 在[0，＋∞)内只有 一个根，所以 f(x)＝ x－cosx 在[0，＋∞)内只有一个零点，所 以选 B.
如此下去，得到方程 x3－x－1＝0 实数解所在区间的表. n 0 1 2 3 4 5 左端点 0 1 1 1.25 1.25 1.3125 右端点 2 2 1.5 1.5 1.375 1.375
n 6 7 8 9 10
左端点 1.3125 1.3125 1.3203 1.3242 1.3242
(1)均为正数；(2)一正一负；(3)一根大于 2，另一根小于 2； (4)两根都在(0,2)内． [分析] 本题的实质就是二次函数对应的方程的根的讨论， 结合二次函数图像与 x 轴的交点位置的有关条件即可求解．
2．已知 f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且 f(a)· f(b)<0，则 f(x) ＝0 在[a，b]内( ) B．至多有一实数根 D．有唯一实数根
A．至少有一实数根 C．没有实数根
[答案] D
[解析] 利用函数 f(x)在[a，b]上是单调减函数， 又 f(a)，f(b)异号．故选 D.
[答案] (－∞，1)
[解析] 函数 f(x)＝x2＋(a－1)x＋(a－2)的大致图像如上 图所示，于是有 f(1)<0，即 1＋(a－1)＋(a－2)<0，解得 a<1.
4 6．函数 f(x)＝x－x的零点个数为________．
[答案] 2
4 [解析] 令 f(x)＝0 得 x－x＝0， 即 x2＝4，∴x＝±2.故 f(x)的零点有两个．
两个 2
1个
无交点
1
0
4.用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤
f(b)<0 ，给定精确度 第一步，确定区间[a，b]，验证 f(a)·
ε； 第二步，求区间(a，b)的中点 x1； 第三步，计算 f(x1) ．
①若 f(x1)＝0
，则 x1 就是函数的零点；
f(x ②若 f(a)· 1)<0 ，则令 b＝x1(此时零点 x0∈(a，x1))； f(b)<0 ，则令 a＝x1(此时零点 x0∈(x1，b))； ③若 f(x1)·
求函数零点的近似值
[例 3] 求方程 x3－x－1＝0 在区间(0,2]内的实数解(精确 到 0.01)．
[解析] 考察函数 f(x)＝x3－x－1， 经试算 f(0)＝－1<0，f(2)＝8－2－1＝5>0. ∴函数 f(x)＝x3－x－1 在(0,2]内存在零点，即 方程 x3－x－1＝0 在[0,2]内有解． 取[0,2]的中点 1，经计算 f(1)＝－1<0， ∴原方程在[1,2]内有解，又 f(1.5)＝0.875>0 所以方程 x3－x－1＝0 在[1,1.5]内有解．
求函数的零点
[例 1] 求下列函数的零点 (1)f(x)＝4x－3；(2)f(x)＝－x2＋2x＋3； 3 (3)f(x)＝x －3x＋2；(4)f(x)＝x－x＋2.
3
[分析] 根据函数零点与方程根之间的关系， 求函数的零 点，就是求相应方程的实数根．
3 [解析] (1)由 4x－3＝0，得 x＝ ， 4 3 即 f(x)＝4x－3 的零点是 . 4 (2)由－x2＋2x＋3＝0，得 x2－2x－3＝0， 解得 x1＝－1，x2＝3， 即 f(x)＝－x2＋2x＋3 的零点为－1,3.