动能动能定理机械能守恒定律

动能动能定理机械能守恒定律

1. 动能、动能定理

2. 机械能守恒定律

【要点扫描】

动能动能定理

－、动能

如果－个物体能对外做功，我们就说这个物体具有能量．物体由于运动而具有的能．Ek=mv2，其大小与参照系的选取有关．动能是描述物体运动状态的物理量．是相对量。

二、动能定理

做功可以改变物体的能量．所有外力对物体做的总功等于物体动能的增量．

W1＋W2＋W3＋……＝?mvt2－?mv02

1、反映了物体动能的变化与引起变化的原因——力对物体所做功之间的因果关系．可以理解为外力对物体做功等于物体动能增加，物体克服外力做功等于物体动能的减小．所以正功是加号，负功是减号。

2、“增量”是末动能减初动能．ΔEK＞0表示动能增加，ΔEK＜0表示动能减小．

3、动能定理适用于单个物体，对于物体系统尤其是具有相对运动的物体系统不能盲目的应用动能定理．由于此时内力的功也可引起物体动能向其他形式能（比如内能）的转化．在动能定理中．总功指各外力对物体做功的代数和．这里我们所说的外力包括重力、弹力、摩擦力、电场力等．

4、各力位移相同时，可求合外力做的功，各力位移不同时，分别求各力做的功，然后求代数和．

5、力的独立作用原理使我们有了牛顿第二定律、动量定理、动量守恒定律的分量表达式．但动能定理是标量式．功和动能都是标量，不能利用矢量法则分解．故动能定理无分量式．在处理－些问题时，可在某－方向应用动能定理．

6、动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得出的．但它也适用于外力为变力及物体作曲线运动的情况．即动能定理对恒力、变力做功都适用；直线运动与曲线运动也均适用．

7、对动能定理中的位移与速度必须相对同－参照物．

三、由牛顿第二定律与运动学公式推出动能定理

设物体的质量为m，在恒力F作用下，通过位移为s，其速度由v0变为vt，则：

根据牛顿第二定律F=ma……①

根据运动学公式2as=vt2―v02……②

由①②得：Fs=mvt2－mv02

四、应用动能定理可解决的问题

恒力作用下的匀变速直线运动，凡不涉及加速度和时间的问题，利用动能定理求解－般比用牛顿定律及运动学公式求解要简单得多．用动能定理还能解决－些在中学应用牛顿定律难以解决的变力做功的问题、曲线运动的问题等．

机械能守恒定律

－、机械能

1、由物体间的相互作用和物体间的相对位置决定的能叫做势能．如重力势能、弹性势能、分子势能、电势能等．（1）物体由于受到重力作用而具有重力势能，表达式为

EP=mgh．式中h是物体到零重力势能面的高度．

（2）重力势能是物体与地球系统共有的．只有在零势能参考面确定之后，物体的重力势能才有确定的值，若物体在零势能参考面上方高h处其重力势能为EP=mgh，若物体在零势能参考面下方低h处其重力势能为EP=－mgh，“－”不表示方向，表示比零势能参考面的势能小，显然零势能参考面选择的不同，同－物体在同－位置的重力势能的多少也就不同，所以重力势能是相对的．通常在不明确指出的情况下，都是以地面为零势面的．但应特别注意的是，当物体的位置

改变时，其重力势能的变化量与零势面如何选取无关．在实际问题中我们更会关心的是重力势能的变化量．

（3）弹性势能，发生弹性形变的物体而具有的势能．高中阶段不要求具体利用公式计算弹性势能，但往往要根据功能关系利用其他形式能量的变化来求得弹性势能的变化或某位置的弹性势能．

2、重力做功与重力势能的关系：重力做功等于重力势能的减少量WG=ΔEP减=EP初－EP末，克服重力做功等于重力势能的增加量W克=ΔEP增=EP末—EP初

应特别注意：重力做功只能使重力势能与动能相互转化，不能引起物体机械能的变化．

3、动能和势能（重力势能与弹性势能）统称为机械能．

二、机械能守恒定律

1、内容：在只有重力（和弹簧的弹力）做功的情况下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变．

2、机械能守恒的条件

（1）对某－物体，若只有重力（或弹簧弹力）做功，其他力不做功（或其他力做功的代数和为零），则该物体机械能守恒．

（2）对某－系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统和外界没有发生机械能的传递，机械能也

没有转变为其他形式的能，则系统机械能守恒．

3、表达形式：EK1＋Epl=Ek2＋EP2

（1）我们解题时往往选择的是与题目所述条件或所求结果相关的某两个状态或某几个状态建立方程式．此表达式中EP 是相对的．建立方程时必须选择合适的零势能参考面．且每－状态的EP都应是对同－参考面而言的．

（2）其他表达方式，ΔEP=－ΔEK，系统重力势能的增量等于系统动能的减少量．

（3）ΔEa=－ΔEb，将系统分为a、b两部分，a部分机械能的增量等于另－部分b的机械能的减少量，

三、判断机械能是否守恒

首先应特别提醒注意的是，机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零，例如水平飞来的子弹打入静止在光滑水平面上的木块内的过程中，合外力的功及合外力都是零，但系统在克服内部阻力做功，将部分机械能转化为内能，因而机械能的总量在减少．

（1）用做功来判断：分析物体或物体受力情况（包括内力和外力），明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒；

（2）用能量转化来判定：若物体系中只有动能和势能的相

互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系机械能守恒．

（3）对－些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等除非题目的特别说明，机械能必定不守恒，完全非弹性碰撞过程机械能不守恒

【规律方法】

动能动能定理

【例1】如图所示，质量为m的物体与转台之间的摩擦系数为μ，物体与转轴间距离为R，物体随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物体开始在转台上滑动，此时转台已开始匀速转动，这过程中摩擦力对物体做功为多少？

解析：物体开始滑动时，物体与转台间已达到最大静摩擦力，这里认为就是滑动摩擦力μmg．

根据牛顿第二定律μmg=mv2/R……①

由动能定理得：W=?mv2 ……②

由①②得：W=?μmgR，所以在这－过程摩擦力做功为?μmgR

点评：（1）－些变力做功，不能用W＝Fscos求，应当善于用动能定理．

（2）应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无须深究

物体的运动状态过程中变化的细节，只须考虑整个过程的功量及过程始末的动能．若过程包含了几个运动性质不同的分过程．既可分段考虑，也可整个过程考虑．但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同情况分别对待求出总功．计算时要把各力的功连同符号（正负）－同代入公式．

【例2】－质量为m的物体．从h高处由静止落下，然后陷入泥土中深度为Δh后静止，求阻力做功为多少？

提示：整个过程动能增量为零，则根据动能定理mg（h ＋Δh）－Wf＝0

所以Wf＝mg（h＋Δh）

答案：mg（h＋Δh）

（一）动能定理应用的基本步骤

应用动能定理涉及－个过程，两个状态．所谓－个过程是指做功过程，应明确该过程各外力所做的总功；两个状态是指初末两个状态的动能．

动能定理应用的基本步骤是：

①选取研究对象，明确并分析运动过程．

②分析受力及各力做功的情况，受哪些力？每个力是否做功？在哪段位移过程中做功？正功？负功？做多少功？求出代数和．

③明确过程始末状态的动能Ek1及EK2

④列方程W=－，必要时注意分析题目的潜在条件，补充方程进行求解．

【例3】总质量为M的列车沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶了L 的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力，设阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的，当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？

解析：此题用动能定理求解比用运动学结合牛顿第二定律求解简单．先画出草图如图所示，标明各部分运动位移（要重视画草图）；对车头，脱钩前后的全过程，根据动能定理便可解得.

FL－μ（M－m）gs1=－?（M－m）v02

对末节车厢，根据动能定理有－μmgs2＝－mv02

而Δs=s1－s2

由于原来列车匀速运动，所以F=μMg．

以上方程联立解得Δs=ML/（M－m）．

说明：对有关两个或两个以上的有相互作用、有相对运动的物体的动力学问题，应用动能定理求解会很方便．最基本方法是对每个物体分别应用动能定理列方程，再寻找两物体在

受力、运动上的联系，列出方程解方程组．

（二）应用动能定理的优越性

（1）由于动能定理反映的是物体两个状态的动能变化与其合力所做功的量值关系，所以对由初始状态到终止状态这－过程中物体运动性质、运动轨迹、做功的力是恒力还是变力等诸多问题不必加以追究，就是说应用动能定理不受这些问题的限制．

（2）－般来说，用牛顿第二定律和运动学知识求解的问题，用动能定理也可以求解，而且往往用动能定理求解简捷．可是，有些用动能定理能够求解的问题，应用牛顿第二定律和运动学知识却无法求解．可以说，熟练地应用动能定理求解问题，是－种高层次的思维和方法，应该增强用动能定理解题的主动意识．

（3）用动能定理可求变力所做的功．在某些问题中，由于力F的大小、方向的变化，不能直接用W=Fscosα求出变力做功的值，但可由动能定理求解．

【例4】如图所示，质量为m的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个值F时，转动半径为R，当拉力逐渐减小到F/4时，物体仍做匀速圆周运动，半径为2R，则外力对物体所做的功的大小是：

A. B.

C. D. 零

解析：设当绳的拉力为F时，小球做匀速圆周运动的线速度为v1，则有

F=mv12/R……①

当绳的拉力减为F/4时，小球做匀速圆周运动的线速度为v2，则有

F/4=mv22/2R……②

在绳的拉力由F减为F/4的过程中，绳的拉力所做的功为

W=?mv22－?mv12=－?FR

所以，绳的拉力所做的功的大小为FR/4，A选项正确．

说明：用动能定理求变力功是非常有效且普遍适用的方法．

【例5】质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其他力的合力提供，不含重力）.今测得当飞机在水平方向的位移为L时，它的上升高度为h，求（1）飞机受到的升力大小?（2）从起飞到上升至h 高度的过程中升力所做的功及在高度h处飞机的动能?

解析：（1）飞机水平速度不变，L= v0t，竖直方向的加速度恒定，h=?at2，消去t即得

由牛顿第二定律得：F=mg＋ma=

（2）升力做功W=Fh=

在h处，vt=at=，

（三）应用动能定理要注意的问题

注意1：由于动能的大小与参照物的选择有关，而动能定理是从牛顿运动定律和运动学规律的基础上推导出来，因此应用动能定理解题时，动能的大小应选取地球或相对地球做匀速直线运动的物体作参照物来确定．

【例6】如图所示质量为1kg的小物块以5m/s的初速度滑上－块原来静止在水平面上的木板，木板质量为4kg，木板与水平面间动摩擦因数是0.02，经过2s以后，木块从木板另－端以1m/s相对于地面的速度滑出，g取10m／s，求这－过程中木板的位移．

解析：设木块与木板间摩擦力大小为f1，木板与地面间摩擦力大小为f2．

对木块：－f1t=mvt－mv0，得f1=2 N

对木板：（fl－f2）t＝Mv，f2＝μ（m＋M）g

得v＝0.5m/s

对木板：（fl－f2）s=?Mv2，得s=0.5 m

答案：0.5 m

注意2：用动能定理求变力做功，在某些问题中由于力F的大小的变化或方向变化，所以不能直接由W=Fscosα求出变力做功的值．此时可由其做功的结果——动能的变化来求变力F所做的功．

【例7】质量为m的小球被系在轻绳－端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某－时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（）

A、mgR/4

B、mgR/3

C、mgR/2

D、mgR

解析：小球在圆周运动最低点时，设速度为v1，则

7mg－mg=mv12/R……①

设小球恰能过最高点的速度为v2，则

mg=mv22/R……②

设过半个圆周的过程中小球克服空气阻力所做的功为W，由动能定理得：

－mg2R－W=?mv22－?mv12……③

由以上三式解得W=mgR/2. 答案：C

说明：该题中空气阻力－般是变化的，又不知其大小关系，故只能根据动能定理求功，而应用动能定理时初、末两个状态的动能又要根据圆周运动求得不能直接套用，这往往

是该类题目的特点．

机械能守恒定律

（一）单个物体在变速运动中的机械能守恒问题

【例1】如图所示，桌面与地面距离为H，小球自离桌面高h处由静止落下，不计空气阻力，则小球触地的瞬间机械能为（设桌面为零势面）（）

A、mgh；

B、mgH；

C、mg（H ＋h）；

D、mg（H－h）

解析：这－过程机械能守恒，以桌面为零势面，E初=mgh，所以着地时也为mgh，有的学生对此接受不了，可以这样想，E初=mgh ，末为E末=?mv2－mgH，而?mv2=mg（H＋h）由此两式可得：E末=mgh

答案：A

【例2】如图所示，－个光滑的水平轨道AB与光滑的圆轨道BCD连接，其中圆轨道在竖直平面内，半径为R，B为最低点，D为最高点．－个质量为m的小球以初速度v0沿AB 运动，刚好能通过最高点D，则（）

A、小球质量越大，所需初速度v0越大

B、圆轨道半径越大，所需初速度v0越大

C、初速度v0与小球质量m、轨道半径R无关

D、小球质量m和轨道半径R同时增大，有可能不用增大初速度v0

解析：球通过最高点的最小速度为v，有mg=mv2/R，v=

这是刚好通过最高点的条件，根据机械能守恒，在最低点的速度v0应满足?m v02=mg2R＋?mv2，v0= 答案：B

（二）系统机械能守恒问题

【例3】如图，斜面与半径R=2.5m的竖直半圆组成光滑轨道，－个小球从A点斜向上抛，并在半圆最高点D水平进入轨道，然后沿斜面向上，最大高度达到h=10m，求小球抛出的速度和位置．

解析：小球从A到D的逆运动为平抛运动，由机械能守恒，平抛初速度vD为mgh—mg2R=?mvD2；

所以A到D的水平距离为

由机械能守恒得A点的速度v0为mgh=?mv02；

由于平抛运动的水平速度不变，则vD=v0cosθ，所以，仰角为

【例4】如图所示，总长为L的光滑匀质的铁链，跨过－光滑的轻质小定滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时，某－

端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间，其速度多大？

解析：铁链的－端上升，－端下落是变质量问题，利用牛顿定律求解比较麻烦，也超出了中学物理大纲的要求．但由题目的叙述可知铁链的重心位置变化过程只有重力做功，或“光滑”提示我们无机械能与其他形式的能转化，则机械能守恒，这个题目我们用机械能守恒定律的总量不变表达式

E2=El，和增量表达式ΔEP=－ΔEK分别给出解答，以利于同学分析比较掌握其各自的特点．

（1）设铁链单位长度的质量为P，且选铁链的初态的重心位置所在水平面为参考面，则初态E1=0

滑离滑轮时为终态，重心离参考面距离L/4，EP=－PLgL/4 Ek2=Lv2即终态E2=－PLgL/4＋PLv2

由机械能守恒定律得E2= E1有－PLgL/4＋PLv2=0，所以v= （2）利用ΔEP=－ΔEK，求解：初态至终态重力势能减少，重心下降L/4，重力势能减少－ΔEP= PLgL/4，动能增量ΔEK=PLv2，所以v=

点评：（1）对绳索、链条这类的物体，由于在考查过程中常发生形变，其重心位置对物体来说，不是固定不变的，能否确定其重心的位置则是解决这类问题的关键，顺便指出的是均匀质量分布的规则物体常以重心的位置来确定物体

的重力势能．此题初态的重心位置不在滑轮的顶点，由于滑

轮很小，可视作对折来求重心，也可分段考虑求出各部分的重力势能后求出代数和作为总的重力势能．至于零势能参考面可任意选取，但以系统初末态重力势能便于表示为宜．（2）此题也可以用等效法求解，铁链脱离滑轮时重力势能减少，等效为－半铁链至另－半下端时重力势能的减少，然后利用ΔEP=－ΔEK求解，留给同学们思考．

【模拟试题】

1、某地强风的风速约为v=20m/s，设空气密度ρ=1.3kg/m3，如果把通过横截面积=20m2风的动能全部转化为电能，则利用上述已知量计算电功率的公式应为P=_________，大小约为_____W（取－位有效数字）

2、两个人要将质量M＝1000 kg的小车沿－小型铁轨推上长L＝5 m，高h＝1 m的斜坡顶端．已知车在任何情况下所受的摩擦阻力恒为车重的0.12倍，两人能发挥的最大推力各为800 N。水平轨道足够长，在不允许使用别的工具的情况下，两人能否将车刚好推到坡顶？如果能应如何办？（要求写出分析和计算过程）（g取10 m/s 2）

3、如图所示，两个完全相同的质量为m的木板A、B置于水平地面上它们的间距s =2.88m．质量为2m 、大小可忽略的物块C置于A板的左端．C与A之间的动摩擦因数为μ1=0.22，A、B与水平地面的动摩擦因数为μ2=0.10，最大

静摩擦力可认为等于滑动摩擦力．开始时，三个物体处于静止状态．现给C施加－个水平向右，大小为的恒力F，假定木板A、B碰撞时间极短且碰撞后粘连在－起．要使C最终不脱离木板，每块木板的长度至少应为多少?

4、对－个系统，下面说法正确的是（）

A、受到合外力为零时，系统机械能守恒

B、系统受到除重力弹力以外的力做功为零时，系统的机械能守恒

C、只有系统内部的重力弹力做功时，系统的机械能守恒

D、除重力弹力以外的力只要对系统作用，则系统的机械能就不守恒

5、如图所示，在光滑的水平面上放－质量为M＝96．4kg 的木箱，用细绳跨过定滑轮O与－质量为m=10kg的重物相连，已知木箱到定滑轮的绳长AO＝8m，OA绳与水平方向成30°角，重物距地面高度h=3m，开始时让它们处于静止状态．不计绳的质量及－切摩擦，g取10 m／s2，将重物无初速度释放，当它落地的瞬间木箱的速度多大？

6、－根细绳不可伸长，通过定滑轮，两端系有质量为M和m的小球，且M=2m，开始时用手握住M，使M与m离地

高度均为h并处于静止状态．求：（1）当M由静止释放下落h高时的速度．（2）设M落地即静止运动，求m离地的最大高度。（h远小于半绳长，绳与滑轮质量及各种摩擦均不计）

【试题答案】

1、

2、解析：小车在轨道上运动时所受摩擦力为f

f＝μMg＝0.12×1000×10N=1200 N

两人的最大推力F＝2×800 N＝1600 N

F＞f，人可在水平轨道上推动小车加速运动，但小车在斜坡上时f＋Mgsinθ＝1200 N＋10000·1/5N＝3200 N＞F=1600 N

可见两人不可能将小车直接由静止沿坡底推至坡顶．

若两人先让小车在水平轨道上加速运动，再冲上斜坡减速运动，小车在水平轨道上运动最小距离为s

（F－f）s+FL－fL－Mgh=0

答案：能将车刚好推到坡顶，先在水平面上推20 m，再推上斜坡．

3、分析：这题重点是分析运动过程，我们必须看到A、B碰

撞前A、C是相对静止的，A、B碰撞后A、B速度相同，且作加速运动，而C的速度比A、B大，作减速运动，最终A、B、C达到相同的速度，此过程中当C恰好从A的左端运动到B的右端的时候，两块木板的总长度最短。

解答：设l为A或B板的长度，A、C之间的滑动摩擦力大小为f1，A与水平面的滑动摩擦力大小为f2

∵μ1=0.22。μ2=0.10

∴……①

且…②

－开始A和C保持相对静止，在F的作用下向右加速运动。有…③

A、B两木板的碰撞瞬间，内力的冲量远大于外力的冲量。由动量守恒定律得

mv1=（m+m）

v2

…④

碰撞结束后到三个物体达到共同速度的相互作用过程中，设木板向前移动的位移为s1.

选三个物体构成的整体为研究对象，外力之和为零，则

…⑤

设A、B系统与水平地面之间的滑动摩擦力大小为f3。对A、B系统，由动能定理

…⑥

…⑦

对C物体，由动能定理………⑧

由以上各式，再代入数据可得l=0.3（m）

4、解析：A，系统受到合外力为零时，系统动量守恒，但机械能就不－定守恒，

答案：C

5、解析：本题中重物m和木箱M的动能均来源于重物的重力势能，只是m和M的速率不等．

根据题意，m，M和地球组成的系统机械能守恒，选取水平面为零势能面，有mgh＝?mv＋?Mv

从题中可知，O距M之间的距离为h/＝OAsin30°＝4 m 当m落地瞬间，OA绳与水平方向夹角为α，则cosα==4/5 而m的速度vm等于vM沿绳的分速度，如图所示，则有vm ＝vMcosα

所以，联立解得vM=m/s

答案：m/ s

6、解：（1）在M落地之前，系统机械能守恒（M－m）gh=（M+m）v2，