天津市南开区南大附中 2018年高考数学解答题课后作业12.15(含答案)

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2018高考天津卷理科数学真题与答案解析

2021年普通高等学校招生全国统一考试〔天津卷〕数学〔理工类〕本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共150 分，考试用时 120 分钟。

第一卷 1 至 2 页，第二卷 3 至 5 页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第I 卷考前须知：1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。

参考公式：如果事件 A，B互斥，那么P( AB) P( A) P(B) .如果事件 A，B 相互独立，那么P( AB)P( A) P(B) .棱柱的体积公式V Sh ，其中 S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高 .1棱锥的体积公式 VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h 表示棱3锥的高 .一.选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求word 版本整理分享的.(1) 设全集为 R，集合A { x 0x 2} ， B{ x x1} ，那么A I (e R B)(A){ x 0x1}(B){ x 0x1}(C){ x 1x2}(D) { x 0x2}x y5,(2) 设变量x，y满足约束条件2x y4,那么目标函数z3x 5y 的最大x y1,y0,值为(A)6(B)19(C) 21(D)45(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，假设输入 N的值为20，那么输出 T 的值为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4word 版本整理分享(4) 设x R ，那么“| x1 | 1〞是“x31〞的2 2(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5) a log 2 e ， b ln 2 ， c log 11，那么 a，b，c 的大小关系为23(A) a b c(B) b a c(C) c b a(D) c a b(6) 将函数ysin(2x) 的图象向右平移个单位长度，所得图象对应510的函数word 版本整理分享(A) 在区间[3, 5] 上单调递增 (B) 在区间[3, ]上单调4 44递减(C) 在区间[5, 3] 上单调递增 (D) 在区间[3, 2]上单4 22调递减(7) 双曲线x 2y 21( a0, b0) 的离心率为2 ，过右焦点且垂直于a 2b 2x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设 A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 d 1和 d 2，且 d 1 d 2 6 ，那么双曲线的方程为(A)x 2y 2 1 (B) x 2y 214 12124(C)x 2 y 2 1(D) x 2y 2 13 993(8) 如图，在平面四边形ABCD 中，ABBC ，AD CD ， BAD120，AB AD 1 .uuur uur假设点 E 为边 CD 上的动点，那么AE BE 的最小值为(A)21 (B)3(C)25(D) 316216第二卷考前须知：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2018天津高考理科数学真题答案解析(可编辑)

在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b sin A a cos B , 6
（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3,求b和sin 2 A B 的值. （Ⅰ）解：在 ABC中，由正弦定理
a b , 可得b sin A=a sin B，又由 sin A sin B
l ( )2 d 2 r 2 2 l 1 ( )2 1 2 2 l 2 2 2 l 2 2 1 S d 2 2 2 2
1 0 2 11

2 2
(13) 已知 a, b R ，且 a 3b 6 0 ，则 2a 答案：
1 4
1 的最小值为_________. 8b
x 2 2ax a, x 0 (14) 已知 a 0 ，函数 f x 2 若关于 x 的方程 f x ax x 2ax 2a, y 0
恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是_________. 答案： (4, 8) 解析：当 x 0时
第二部分：试卷题目解析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设全集为 R，集合 A x 0 x 2 , B x x 1 ,则 A CR B （A） x 0 x 1 答案：B 解析： Q B = {x | x 砛 1} CR B = {x | x < 1} (B) x 0 x 1 (C) x 1 x 2 (D) x 0 x 2
(4) 设 x R ，则“ x
1 1 ”是“ x3 1 ”的 2 2
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件答案：A 解析： Q x 1 1 < 2 2

2018年高考天津卷数学试题答案解析(文理)

2018年高考天津卷数学试题详解1. 设集合，，，则A. B.C. D.【答案】C【详解】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：，结合交集的定义可知：.本题选择C选项.2. 设变量满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【详解】分析：由题意首先画出可行域，然后结合目标函数的详解式整理计算即可求得最终结果.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.3. 设，则“”是“” 的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【详解】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.本题选择A选项.4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【详解】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.详解：结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：，，结果为整数，执行，，此时不满足；，结果不为整数，执行，此时不满足；，结果为整数，执行，，此时满足；跳出循环，输出.本题选择B选项.拓展：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．5. 已知，则的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解：由题意可知：，即，，即，，即，综上可得：.本题选择D选项.拓展：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【详解】分析：首先确定平移之后的对应函数的详解式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的详解式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误；本题选择A选项.拓展：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为A. B.C. D.【答案】A【详解】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A选项.拓展：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.8. 在如图的平面图形中，已知,则的值为A. B.C. D. 0【答案】C【详解】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.拓展：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．9. i是虚数单位，复数___________.【答案】4–i【详解】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则得：.拓展：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10. 已知函数f(x)=e x ln x，为f(x)的导函数，则的值为__________．【答案】e【详解】分析：首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由函数的详解式可得：，则：.即的值为e.拓展：本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11. 如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱柱A1–BB1D1D的体积为__________．【答案】【详解】分析：由题意分别求得底面积和高，然后求解其体积即可.详解：如图所示，连结，交于点，很明显平面，则是四棱锥的高，且，，结合四棱锥体积公式可得其体积为：.拓展：本题主要考查棱锥体积的计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12. 在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．【答案】【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.详解：设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：，解得：，则圆的方程为.拓展：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．13. 已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+的最小值为__________．【答案】【详解】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.详解：由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.拓展：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．14. 已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．【答案】［，2］【详解】分析：由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.详解：分类讨论：①当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当时，，则；②当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当或时，，则；综合①②可得的取值范围是.拓展：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．15. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【答案】(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；(Ⅱ)（i）答案见详解；（ii）．【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=．拓展：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c．已知b sin A=a cos(B–)．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin(2A–B)的值．【答案】(Ⅰ)B=；(Ⅱ)b=，【详解】分析：（Ⅰ）由正弦定理有，结合，可得．则B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．则．．结合两角差的正弦公式可得详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，拓展：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．17. 如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB 的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明见详解；(Ⅱ)；(Ⅲ)．【详解】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC．（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．由几何关系可知∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．计算可得．则异面直线BC与MD所成角的余弦值为．（Ⅲ）连接CM．由题意可知CM⊥平面ABD．则∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．计算可得．即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．详解：（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD==4．在Rt△CMD中，．所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．拓展：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．18. 设{a n}是等差数列，其前n项和为S n（n∈N*）；{b n}是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求S n和T n；（Ⅱ）若S n+（T1+T2+…+T n）=a n+4b n，求正整数n的值．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)4.【详解】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合题意可得等差数列的首项和公差为，则其前n项和.（II）由（I），知据此可得解得（舍），或.则n的值为4.详解：（I）设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得．因为，可得，故．所以，．设等差数列的公差为．由，可得．由，可得从而，故，所以，．（II）由（I），有由可得，整理得解得（舍），或．所以n的值为4．拓展：本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.19. 设椭圆的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，.（I）求椭圆的方程；（II）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若的面积是面积的2倍，求k的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【详解】分析：（I）由题意结合几何关系可求得.则椭圆的方程为. （II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意可得.易知直线的方程为，由方程组可得.由方程组可得.结合，可得，或.经检验的值为.详解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．由,从而．所以，椭圆的方程为．（II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得，从而，即．当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意．所以，的值为．拓展：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20. 设函数，其中,且是公差为的等差数列.（I）若求曲线在点处的切线方程；（II）若，求的极值；（III）若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围. 【答案】(Ⅰ)x+y=0；(Ⅱ)极大值为6；极小值为−6；(Ⅲ)【详解】分析：（Ⅰ）由题意可得f(x)=x3−x，=3x2−1，结合f(0)=0，=−1，可得切线方程为x+y=0.（Ⅱ）由已知可得：f(x)=x3−3t2x2+(3t22−9)x− t23+9t2.则= 3x2−6t2x+3t22−9.令=0，解得x=t2−，或x= t2+.据此可得函数f(x)的极大值为f(t2−)=6；函数极小值为f(t2+)=−6. （III）原问题等价于关于x的方程(x−t2+d) (x−t2) (x−t2−d)+ (x−t2)+ 6=0有三个互异的实数解，令u= x−t2，可得u3+(1−d2)u+6=0.设函数g(x)= x3+(1−d2)x+6，则y=g(x)有三个零点.利用导函数研究g(x)的性质可得的取值范围是详解：（Ⅰ）由已知，可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x，故=3x2−1，因此f(0)=0，=−1，又因为曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y−f(0)=(x−0)，故所求切线方程为x+y=0．（Ⅱ）由已知可得f(x)=(x−t2+3)(x−t2)(x−t2−3)=(x−t2)3−9(x−t2)=x3−3t2x2+(3t22−9)x−t23+9t2．故=3x2−6t2x+3t22−9．令=0，解得x=t2−，或x=t2+．当x变化时，，f(x)的变化如下表：+所以函数f(x)的极大值为f(t2−)=(−)3−9×(−)=6；函数f(x)的极小值为f(t2+)=()3−9×()=−6．（Ⅲ）曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x−t2+d)(x−t2)(x−t2−d)+(x−t2)+ 6=0有三个互异的实数解，令u=x−t2，可得u3+(1−d2)u+6=0．设函数g(x)=x3+(1−d2)x+6，则曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点．=3x3+(1−d2)．当d2≤1时，≥0，这时在R上单调递增，不合题意．当d2>1时，=0，解得x1=，x2=．易得，g(x)在(−∞，x1)上单调递增，在[x1，x2]上单调递减，在(x2，+∞)上单调递增．g(x)的极大值g(x1)=g()=>0．g(x)的极小值g(x2)=g()=−．若g(x2)≥0，由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点，不合题意．若即，也就是，此时，且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意．所以，的取值范围是．1. 设全集为R，集合，，则A. B. C. D.【答案】B【详解】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择B选项.拓展：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【详解】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.拓展：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【详解】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.详解：结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：，，结果为整数，执行，，此时不满足；，结果不为整数，执行，此时不满足；，结果为整数，执行，，此时满足；跳出循环，输出.本题选择B选项.拓展：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．4. 设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不重复条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【详解】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式，由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.拓展：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【详解】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.本题选择D选项.拓展：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减【答案】A【详解】分析：由题意首先求得平移之后的函数详解式，然后确定函数的单调区间即可. 详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的详解式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：.本题选择A 选项.拓展：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7. 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为A. B.C.D.【答案】C【详解】分析：由题意首先求得A ,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后求解a 的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择C选项.拓展：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.8. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【详解】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，点在上，则，设，则：，即，据此可得：，且：，，由数量积的坐标运算法则可得：，整理可得：，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A选项.拓展：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．9. i是虚数单位，复数___________.【答案】4–i【详解】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则得：.拓展：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10. 在的展开式中，的系数为____________.【答案】【详解】分析由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到r的值，然后求解的系数即可. 详解：结合二项式定理的通项公式有：，令可得：，则的系数为：.拓展：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．11. 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为__________.【答案】【详解】分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积.详解：由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积，顶点到底面四边形的距离为，由四棱锥的体积公式可得：.拓展：本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12. 已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为___________.【答案】【详解】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.详解：由题意可得圆的标准方程为：，直线的直角坐标方程为：，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，则.拓展：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．13. 已知，且，则的最小值为_____________.【答案】【详解】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.详解：由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.拓展：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．14. 已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.【答案】【详解】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类讨论：当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，令，其中，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.拓展：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．。

2018年高考天津卷理科数学(含答案)

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。

第I卷1至2页，第n卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1 •每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2•本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：如果事件A, B互斥，那么P(AUB)二P(A) P(B).如果事件A, B相互独立，那么P(AB) = P(A)P(B).棱柱的体积公式V =Sh，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高.1棱锥的体积公式V Sh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.3一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)设全集为R,集合A = {x0 vx £2} , B ={xx^1}，则AI 6B)=(A) {xOvx 兰1} (B) {xOvx<*(C) { x 1 兰x c 2} (D) { x 0 c x c 2}"x + y 兰5,2x — y 兰4,⑵设变量x, y满足约束条件则目标函数3x 5y的最大值为_x + y 兰1,y -0,(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20,则输出T的值为(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件Jl K(6)将函数y=sin(2x )的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数5 103兀5兀(A)在区间［一,］上单调递增4 43兀(B)在区间［34川上单调递减(A) 1 (B) 2(4)设x R，则a\x--\.-2 2(5)已知a = log 2 e, b = In 2，c 二log23，则a，b，c的大小关系为(A) a b c (B) b a c (C) c b a (D) c a b(11)已知正方体 ABC^A1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 夕卜，该正方体其余各面的中心分别为点E ,F ,2 2⑺已知双曲线爲-y 2=1(a 0, b 0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A , Ba b两点•设A , B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为d !和d 2，且d !d^6，则双曲线的方程为(8)如图，在平面四边形 ABCD 中，AB _ BC ，AD _ CD ，. BAD =120 ，AB = AD =1.若点E 为边第口卷注意事项:1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

天津南开大学附属中学2018年高三数学理测试题含解析

天津南开大学附属中学2018年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知直线交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么实数k的取值范围是A．B．C．D．参考答案：C2. （5分）记等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=2，S6=18，则等于（）A．﹣3 B． 5 C．﹣31 D． 33参考答案：D【考点】：等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：先由题设条件结合等比数列的前n项和公式，可以求出公比q，然后再利用等比数列前n项和公式求．解：根据题意，S3=2，S6=18，易得q≠1；∵S3=2，S6=18，∴，∴q=2．∴==故选D．【点评】：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．3. 某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为A．24 B．24 C． 12 D．12参考答案：C4. 函数的图象大致是（）ＡＢＣＤ参考答案：A略5. 已知集合，集合(为自然对数的底数)，则（）A． B． C．D．参考答案：C考点：1、集合的表示；2、集合的交集.6. 已知点P在以为左右焦点的椭圆上，椭圆内一点Q在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A7. 程序框图如图所示，若输入值t∈（0，3），则输出值S的取值范围是（）A．（0，4）B．（0，4] C．[0，9] D．（0，3）参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=的值，分类讨论即可得解．【解答】解：由程序框图可知程序框图的功能是计算并输出S=的值，∴当t∈（0，1）时，0≤3t＜3；当t∈[1，3）时，4t﹣t2=4﹣（t﹣2）2∈[3，4]，∴综上得：0≤S≤4．故选：B．8. 设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A． B. C.D.参考答案：D9. 为了调查任教班级的作业完成的情况，将班级里的52名学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应该是（）.A．13 B．17 C．18 D．21参考答案：C10. 一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A．AB∥CD B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________________.参考答案：12. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bsinB﹣asinA=asinC，且△ABC的面积为a2sinB，则cosB=．参考答案：【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．【分析】由正弦定理化简已知的式子，结合条件和三角形的面积公式列出方程化简后，得到三边a、b、c的关系，由余弦定理求出cosB的值．【解答】解：∵bsinB﹣asinA=asinC，∴由正弦定理得，b2﹣a2=ac，①∵△ABC的面积为a2sinB，∴，则c=2a，代入①得，b2=2a2，由余弦定理得，cosB===，故答案为：．13. （选修4-4：坐标系与参数方程）曲线C的参数方程是（为参数，且），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D的方程为，取线C与曲线D的交点为P，则过交点P且与曲线C相切的极坐标方程是参考答案：曲线即直线的普通方程为，又曲线即圆心为，半径为2的半圆，其方程为，注意到，所以，联立方程组得，解之得，故交点的坐标为.过交点且与曲线相切的直线的普通方程是，对应的极坐标方程为.14. 点A、B、C、D在同一球面上，，AC=2，若球的表面积为，则四面体ABCD体积的最大值为．参考答案：【详解】试题分析：依题意所以，设的中点为，球心为O,球的半径为R，过三点的截面圆半径为由球的表面积为知，，解得.因的面积为,所以要四面体体积最大，则为射线与球面交点，所以球心到过三点的截面的距离为，所以，所以四面体体积最大为考点：1.球的几何性质；2.几何体的表面积、体积.15. 在中，依次成等比数列，则角的取值范围是____________.参考答案：略16. 已知关于x的不等式x2-ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________.参考答案：17. 将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是．参考答案：．【分析】几何体为两个同底等高的圆锥的组合体．【解答】解：等腰直角三角形的斜边长为4，斜边的高为2．∴旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体．圆锥的底面半径为2，高为2．∴几何体的体积V=2×=．故答案为：．【点评】本题考查了旋转体的结构特征和体积计算，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2018年天津市高考数学试卷(文科)(解析版)

2018年天津市高考数学试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={−1, 0, 2, 3}，C ={x ∈R|−1≤x <2}，则(A ∪B)∩C =( ) A.{−1, 1} B.{0, 1}C.{−1, 0, 1}D.{2, 3, 4}2. 设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤52x −y ≤4−x +y ≤1y ≥0 ，则目标函数z ＝3x +5y 的最大值为（）A.6B.19C.21D.453. 设x ∈R ，则“x 3>8”是“|x|>2”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为( )A.1B.2C.3D.45. 已知a =log 372，b =(14)13，c =log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b6. 将函数y =sin (2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数（） A.在区间[−π4,π4]上单调递增B.在区间[−π4, 0]上单调递减C.在区间[π4,π2]上单调递增 D.在区间[π2, π]上单调递减7. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1+d 2=6，则双曲线的方程为（） A.x 23−y 29=1B.x 29−y 23=1C.x 24−y 212=1D.x 212−y 24=18. 在如图的平面图形中，已知OM =1，ON =2，∠MON =120∘，BM →=2MA →，CN →=2NA →，则BC →⋅OM →的值为( )A.−15B.−9C.−6D.0二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. i 是虚数单位，复数6+7i1+2i =________．10. 已知函数f(x)=e x ln x ，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．11. 如图，已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1−BB 1D 1D 的体积为________．12. 在平面直角坐标系中，经过三点(0, 0)，(1, 1)，(2, 0)的圆的方程为________．13. 已知a ，b ∈R ，且a −3b +6=0，则2a +18b 的最小值为________．14. 己知a ∈R ，函数f(x)={x 2+2x +a −2，x ≤0−x 2+2x −2a ，x >0．若对任意x ∈[−3, +∞)，f(x)≤|x|恒成立，则a 的取值范围是________．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b sin A =a cos (B −π6)． (1)求角B 的大小；(2)设a =2，c =3，求b 和sin (2A −B)的值．17. 如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =2√3，∠BAD =90∘．(1)求证：AD ⊥BC ；(2)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；(3)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．18. 设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)；{b n }是等比数列，公比q >0，其前n 项和为T n (n ∈N ∗)．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6． (1)求S n 和T n ；(2)若S n +(T 1+T 2+……+T n )=a n +4b n ，求正整数n 的值．19. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为√53，|AB|=√13． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线l:y ＝kx(k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，直线l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．20. 设函数f(x)=(x −t 1)(x −t 2)(x −t 3)，其中t 1，t 2，t 3∈R ，且t 1，t 2，t 3是公差为d 的等差数列．（1）若t 2=0，d =1，求曲线y =f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程；（2）若d =3，求f(x)的极值；（3）若曲线y =f(x)与直线y =−(x −t 2)−6√3有三个互异的公共点，求d 的取值范围．参考答案与试题解析2018年天津市高考数学试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】并集及其运算交集及其运算【解析】直接利用交集、并集运算得答案．【解答】解：∵A={1, 2, 3, 4}，B={−1, 0, 2, 3}，∴(A∪B)={1, 2, 3, 4}∪{−1, 0, 2, 3}={−1, 0, 1, 2, 3, 4}，又C={x∈R|−1≤x<2}，∴(A∪B)∩C={−1, 0, 1}．故选：C．2.【答案】C【考点】简单线性规划【解析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z＝3x+5y的最大值．【解答】由变量x，y满足约束条件{x+y≤5 2x−y≤4−x+y≤1y≥0，得如图所示的可行域，由{x+y=5−x+y=1解得A(2, 3)．当目标函数z＝3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．将其代入得z的值为21，3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由x3>8得到|x|>2，由|x|>2不一定得到x3>8，然后结合查充分条件、必要条件的判定方法得答案．【解答】解：由x3>8，得x>2，则|x|>2；反之，由|x|>2，得x<−2或x>2，则x3<−8或x3>8．即“x3>8”是“|x|>2”的充分不必要条件．故选A．4.【答案】B【考点】程序框图【解析】本题主要考查循环结构的程序框图．【解答】解：运行程序，Ni=10是整数，T=1，i=3；Ni=203不是整数，i=4；Ni=5是整数，T=2，i=5，退出循环．输出T的值为2．故选B．5.【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】把a，c化为同底数，然后利用对数函数的单调性及1的关系进行比较．【解答】解：∵a=log372，c=log1315=log35，且5>72>3，∵ 函数log3x在(0，+∞)上为增函数，∴log35>log372>1.∵ 函数b=(14)x上(−∞,+∞)上为减函数,则b=(14)13<(14)0=1，∴c>a>b．故选D．6.【答案】A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】将函数y=sin(2x+π5)=sin2(x+π10)的图象向右平移π10个单位长度得到y=sin2x的图象，y=sin2x在[−π4,π4]上单调递增，A正确，B错误；y=sin2x在[π4,π2]上单调递减，C错误；y=sin2x在[π2,34π]上单调递减，在[34π,π]上单调递增，D错误，故选A．【易错警示】本题容易因弄错图象的平移变换法则而出错，“左加右减”的单位要加在单独的x的后面．本题考查三角函数的图象与性质．7.【答案】A【考点】双曲线的特性【解析】本题主要考查双曲线的方程、几何性质.【解答】解：由题意不妨设A(c,b 2a )，B(c,−b2a)，双曲线的一条渐近线方程为y=bax，即bx−ay=0，则d1=2√a2+b2，d2=2√a2+b2，故d1+d2=2√a2+b22√a2+b2=bc−b2+bc+b2c=2b=6，故b=3.又ca =√c2a2=√a2+b2a2=√1+b2a2=2，所以b2=3a2，得a2=3.所以双曲线的方程为x 23−y29=1.故选A.8.【答案】C【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】用特殊值法，不妨设四边形OMAN是平行四边形，进一步化简可求得BC→⋅OM→的值．【解答】解：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由OM=1，ON=2，∠MON=120∘，BM→=2MA→，CN→=2NA→，可知BC→=AC→−AB→=3AN→−3AM→=−3OM→+3ON→，∴BC→⋅OM→=(−3OM→+3ON→)⋅OM→=−3OM→2+3ON→⋅OM→=−3×12+3×2×1×cos120∘=−6．故选C.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.【答案】4−i【考点】复数的运算【解析】根据复数的运算法则计算即可．【解答】解：6+7i1+2i=(6+7i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=6+14+7i−12i5=20−5i5=4−i，故答案为：4−i10.【答案】e【考点】导数的运算【解析】根据导数的运算法则求出函数f(x)的导函数，再计算f′(1)的值．【解答】解：函数f(x)=e x ln x，则f′(x)=e x ln x+1x⋅e x；∴f′(1)=e⋅ln1+1⋅e=e．故答案为：e．11.【答案】13【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：方法一（割补法）：由题意知V−A1B1D1−ABD=V B1C1D1−BCD =12V A1B1C1D1−ABCD=12，且直三棱柱A1B1D1−ABD由四棱锥A1−BB1D1D和三棱锥A1−ABD构成，所以V A1B1D1−ABD =V A1−BB1D1D+V A1−ABD．因为三棱锥A1−ABD的高为AA1=1，底面是一个直角三角形，所以S△ABD=12AB⋅AD=12，所以V A1−ABD =13S△ABD⋅AA1=16．所以四棱锥的体积V A1−BB1D1D =12−16=13．故答案为：13．方法二：连结A1C1，与B1D1交于点O，因为A1B1C1D1−ABCD是正方体，所以A1O⊥B1D1，BB1⊥平面A1B1C1D1．又A1O⊂平面A1B1C1D1，所以A1O⊥BB1．又因为BB1∩B1D1=B1，所以A1O⊥平面BB1D1D,所以A1O是四棱锥A1−BB1D1D的高．A1O=12A1C1=√22，B1D1=√2，所以V A1−BB1D1D =13S四边形BB1D1D⋅A1O=13×√2×1×√22=13．故答案为：13．12.【答案】x2+y2−2x=0【考点】圆的一般方程【解析】此题暂无解析【解答】解：设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2−4F>0)，则{F=0,4+2D+F=0,2+D+E+F=0,，解得D=−2，E=F=0,∴所求圆的方程为x2+y2−2x=0．故答案为：x2+y2−2x=0．13.【答案】14【考点】函数的最值及其几何意义【解析】本题主要考查利用基本不等式求最值．【解答】解：由题知a−3b=−6，因为2a>0，8b>0，所以2a+18b≥2×√2a+18b=2×√2a−3b=14．当且仅当2a=18b，即a=−3b，a=−3，b=1时取等号．故答案为：14．14.【答案】[18,2]【考点】函数恒成立问题【解析】根据分段函数的表达式，结合不等式恒成立分别进行求解即可．【解答】解：当x≤0时，函数f(x)=x2+2x+a−2的对称轴为x=−1，抛物线开口向上，要使x≤0时，对任意x∈[−3, +∞)，f(x)≤|x|恒成立，则只需要f(−3)≤|−3|=3，即9−6+a−2≤3，得a≤2，当x>0时，要使f(x)≤|x|恒成立，即f(x)=−x2+2x−2a，则直线y=x的下方或在y=x上，由−x2+2x−2a=x，即x2−x+2a=0，由判别式△=1−8a≤0，得a≥18，综上18≤a≤2，故答案为：[18, 2]．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.【答案】解：(1)由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，∴应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取得3人，2人，2人．(2)①从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：{A, B}，{A, C}，{A, D}，{A, E}，{A, F}，{A, G}，{B, C}，{B, D}，{B, E}，{B, F}，{B, G}，{C, D}，{C, E}，{C, F}，{C, G}，{D, E}，{D, F}，{D, G}，{E, F}，{E, G}，{F, G}，共21个．②设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，则事件M包含的基本事件有：{A, B}，{A, C}，{B, C}，{D, E}，{F, G}，共5个基本事件，∴事件M发生的概率P(M)=521．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率分层抽样方法【解析】（1）利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人．(2)(I)从抽取的7名同学中抽取2名同学，利用列举法能求出所有可能结果．(II)设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，利用列举法能求出事件M发生的概率．【解答】解：(1)由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，∴应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取得3人，2人，2人．(2)①从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：{A, B}，{A, C}，{A, D}，{A, E}，{A, F}，{A, G}，{B, C}，{B, D}，{B, E}，{B, F}，{B, G}，{C, D}，{C, E}，{C, F}，{C, G}，{D, E}，{D, F}，{D, G}，{E, F}，{E, G}，{F, G}，共21个．②设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，则事件M包含的基本事件有：{A, B}，{A, C}，{B, C}，{D, E}，{F, G}，共5个基本事件，∴事件M发生的概率P(M)=521．16.【答案】解：(1)在△ABC中，由正弦定理得asin A=bsin B，得b sin A=a sin B，又b sin A=a cos(B−π6)．∴a sin B=a cos(B−π6)，即sin B=cos(B−π6)=cos B cosπ+sin B sinπ=√32cos B+12sin B，∴tan B=√3，又B∈(0, π)，∴B=π3．(2)在△ABC中，a=2，c=3，B=π3，由余弦定理得b=√a2+c2−2ac cos B=√7，由b sin A=a cos(B−π6)，得sin A=√37，∵a<c，∴cos A=√7，∴sin2A=2sin A cos A=4√37，cos2A=2cos2A−1=17，∴sin(2A−B)=sin2A cos B−cos2A sin B=4√37×12−17×√32=3√314．【考点】两角和与差的余弦公式余弦定理正弦定理三角函数中的恒等变换应用【解析】（1）由正弦定理得b sin A=a sin B，与b sin A=a cos(B−π6)．由此能求出B．（2）由余弦定理得b=√7，由b sin A=a cos(B−π6)，得sin A=√3√7，cos A=√7，由此能求出sin(2A−B)．【解答】解：(1)在△ABC中，由正弦定理得asin A =bsin B，得b sin A=a sin B，又b sin A=a cos(B−π6)．∴a sin B=a cos(B−π6)，即sin B=cos(B−π6)=cos B cos π+sin B sinπ=√32cos B+12sin B，∴tan B=√3，又B∈(0, π)，∴B=π3．(2)在△ABC中，a=2，c=3，B=π3，由余弦定理得b=√a2+c2−2ac cos B=√7，由b sin A=a cos(B−π6)，得sin A=√37，∵a<c，∴cos A=√7，∴sin2A=2sin A cos A=4√37，cos2A=2cos2A−1=17，∴sin(2A−B)=sin2A cos B−cos2A sin B=4√37×12−17×√32=3√314．17. 【答案】(1)证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC.(2)解：取棱AC的中点N，连结MN，ND，如图，∵M为棱AB的中点，故MN // BC，∴∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角.在Rt△DAM中，AM=1，故DM=√AD2+AM2=√13.∵AD⊥平面ABC，∴AD⊥AC.在Rt△DAN中，AN=1，故DN=√AD2+AN2=√13.在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cos∠DMN=12MNDM=√1326，∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为√1326.(3)解：连结CM，如图，∵△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，∴CM⊥AB，CM=√3.又∵平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，∴CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角．在Rt△CAD中，CD=√AC2+AD2=4，在Rt△CMD中，sin∠CDM=CMCD=√34，∴直线CD与平面ABD所成角的正弦值为√34．【考点】直线与平面所成的角平面与平面垂直的性质直线与平面垂直的判定异面直线及其所成的角【解析】(1)由平面ABC⊥平面ABD，结合面面垂直的性质可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC；(2)取棱AC的中点N，连接MN，ND，又M为棱AB的中点，可得∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角，求解三角形可得异面直线BC与MD所成角的余弦；(3)连接CM，由△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，可得CM⊥AB，且CM=√3，再由面面垂直的性质可得CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角，求解三角形可得直线CD与平面ABD所成角的正弦值．【解答】(1)证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC.(2)解：取棱AC的中点N，连结MN，ND，如图，∵M为棱AB的中点，故MN // BC，∴∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角.在Rt△DAM中，AM=1，故DM=√AD2+AM2=√13. ∵AD⊥平面ABC，∴AD⊥AC.在Rt△DAN中，AN=1，故DN=√AD2+AN2=√13. 在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cos∠DMN=12MNDM=√1326，∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为√1326.(3)解：连结CM，如图，∵△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，∴CM⊥AB，CM=√3.又∵平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC，∴CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角．在Rt△CAD中，CD=√AC2+AD2=4，在Rt△CMD中，sin∠CDM=CMCD =√34，∴直线CD与平面ABD所成角的正弦值为√34．18.【答案】解：(1)设等比数列{b n}的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得q2−q−2=0．∵q>0，可得q=2．故b n=2n−1，T n=1−2n1−2=2n−1；设等差数列{a n}的公差为d，由b4=a3+a5，得a1+3d=4，由b5=a4+2a6，得3a1+13d=16，∴a1=d=1．故a n=n，S n=n(n+1)2；(2)由(1)，可得T1+T2+……+T n=(21+22+⋯+2n)−n=2×(1−2n)1−2−n=2n+1−n−2．由S n+(T1+T2+⋯+T n)=a n+4b n，可得n(n+1)2+2n+1−n−2=n+2n+1，整理得：n2−3n−4=0，解得n=−1（舍）或n=4．∴n的值为4．【考点】等差数列与等比数列的综合等比数列的前n项和等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】(Ⅰ)设等比数列{b n}的公比为q，由已知列式求得q，则数列{b n}的通项公式与前n项和可求；等差数列{a n}的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式与前n项和公式可得S n；(Ⅱ)由(Ⅰ)求出T1+T2+……+T n，代入S n+(T1+T2+……+T n)＝a n+4b n，化为关于n的一元二次方程求解正整数n的值．【解答】解：(1)设等比数列{b n}的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得q2−q−2=0．∵q>0，可得q=2．故b n=2n−1，T n=1−2n1−2=2n−1；设等差数列{a n}的公差为d，由b4=a3+a5，得a1+3d=4，由b5=a4+2a6，得3a1+13d=16，∴a1=d=1．故a n=n，S n=n(n+1)2；(2)由(1)，可得T1+T2+……+T n=(21+22+⋯+2n)−n=2×(1−2n)1−2−n=2n+1−n−2．由S n+(T1+T2+⋯+T n)=a n+4b n，可得n(n+1)2+2n+1−n−2=n+2n+1，整理得：n2−3n−4=0，解得n=−1（舍）或n=4．∴n的值为4．19.【答案】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得c2a2=59，又a2＝b2+c2，解得a＝3，b＝2，∴椭圆的方程为：x29+y24=1，（2）设点P(x1, y1)，M(x2, y2)，(x2>x1>0)．则Q(−x1, −y1)．∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴|PM|＝2|PQ|，从而x2−x1＝2[x1−(−x1)]，∴x2＝5x1，易知直线AB的方程为：2x+3y＝6．由{2x +3y =6y =kx ，可得x 2=63k+2>0．由{4x 2+9y 2=36y =kx，可得x 1=√9k 2+4，⇒√9k 2+4=5(3k +2)，⇒18k 2+25k +8＝0，解得k =−89或k =−12．由x 2=63k+2>0．可得k >−23，故k =−12，【考点】椭圆的标准方程椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知可得c 2a 2=59，又a 2＝b 2+c 2，解得a ＝3，b ＝2，即可．(Ⅱ)设点P(x 1, y 1)，M(x 2, y 2)，(x 2>x 1>0)．则Q(−x 1, −y 1)．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得x 2−x 1＝2[x 1−(−x 1)]，x 2＝5x 1，联立方程求出由x 2=63k+2>0.x 1=2，可得k ．【解答】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知可得c 2a 2=59，又a 2＝b 2+c 2，解得a ＝3，b ＝2， ∴ 椭圆的方程为：x 29+y 24=1，（2）设点P(x 1, y 1)，M(x 2, y 2)，(x 2>x 1>0)．则Q(−x 1, −y 1)．∵ △BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，∴ |PM|＝2|PQ|，从而x 2−x 1＝2[x 1−(−x 1)]， ∴ x 2＝5x 1，易知直线AB 的方程为：2x +3y ＝6．由{2x +3y =6y =kx ，可得x 2=63k+2>0．由{4x 2+9y 2=36y =kx，可得x 1=√9k 2+4，⇒√9k 2+4=5(3k +2)，⇒18k 2+25k +8＝0，解得k =−89或k =−12．由x 2=63k+2>0．可得k >−23，故k =−12，20.【答案】解：（1）函数f(x)=(x −t 1)(x −t 2)(x −t 3)，t 2=0，d =1时，f(x)=x(x +1)(x −1)=x 3−x ， ∴ f′(x)=3x 2−1， f(0)=0，f′(0)=−1，∴ y =f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为y −0=−1×(x −0)，即x +y =0；（2）d =3时，f(x)=(x −t 2+3)(x −t 2)(x −t 2−3) =(x −t 2)3−9(x −t 2)=x 3−3t 2x 2+(3t 22−9)x −t 23+9t 2；∴ f′(x)=3x 2−6t 2x +3t 22−9，令f′(x)=0，解得x =t 2−√3或x =t 2+√3；当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表；2极小值为f(t 2+√3)=(√3)3−9×√3=−6√3；（3）曲线y =f(x)与直线y =−(x −t 2)−6√3有三个互异的公共点，等价于关于x 的方程(x −t 2+d)(x −t 2)(x −t 2−d)+(x −t 2)−6√3=0有三个互异的实数根，令u =x −t 2，可得u 3+(1−d 2)u +6√3=0；设函数g(x)=x 3+(1−d 2)x +6√3，则曲线y =f(x)与直线y =−(x −t 2)−6√3有3个互异的公共点，等价于函数y =g(x)有三个不同的零点；又g′(x)=3x 2+(1−d 2)，当d 2≤1时，g′(x)≥0恒成立，此时g(x)在R 上单调递增，不合题意；当d 2>1时，令g′(x)=0，解得x 1=√d 2−1√3，x 2=√d 2−1√3；∴ g(x)在(−∞, x 1)上单调递增，在(x 1, x 2)上单调递减，在(x 2, +∞)上也单调递增； ∴ g(x)的极大值为g(x 1)=√d 2−1√3)=2√3(d 2−1)329+6√3>0；极小值为g(x 2)=g(√d 2−1√3)=−2√3(d 2−1)329+6√3；若g(x 2)≥0，由g(x)的单调性可知，函数g(x)至多有两个零点，不合题意；若g(x 2)<0，即(d 2−1)32>27，解得|d|>√10，此时|d|>x 2，g(|d|)=|d|+6√3>0，且−2|d|<x 1； g(−2|d|)=−6|d|3−2|d|+6√3<0，从而由g(x)的单调性可知，函数y =g(x)在区间(−2|d|, x 1)，(x 1, x 2)，(x 2, |d|)内各有一个零点，符合题意； ∴ d 的取值范围是(−∞, −√10)∪(√10, +∞)．【考点】数列与函数的综合【解析】（1）求出t 2=0，d =1时f(x)的导数，利用导数求斜率，再写出切线方程；（2）计算d =3时f(x)的导数，利用导数判断f(x)的单调性，求出f(x)的极值；（3）曲线y =f(x)与直线y =−(x −t 2)−6√3有三个互异的公共点，等价于关于x 的方程f(x)+(x −t 2)−6√3=0有三个互异的实数根，利用换元法研究函数的单调性与极值，求出满足条件的d 的取值范围．【解答】解：（1）函数f(x)=(x −t 1)(x −t 2)(x −t 3)，t 2=0，d =1时，f(x)=x(x +1)(x −1)=x 3−x ， ∴ f′(x)=3x 2−1， f(0)=0，f′(0)=−1，∴ y =f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为y −0=−1×(x −0)，即x +y =0；（2）d =3时，f(x)=(x −t 2+3)(x −t 2)(x −t 2−3) =(x −t 2)3−9(x −t 2)=x 3−3t 2x 2+(3t 22−9)x −t 23+9t 2；∴ f′(x)=3x 2−6t 2x +3t 22−9，令f′(x)=0，解得x =t 2−√3或x =t 2+√3；当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表；2极小值为f(t 2+√3)=(√3)3−9×√3=−6√3；（3）曲线y =f(x)与直线y =−(x −t 2)−6√3有三个互异的公共点，等价于关于x 的方程(x −t 2+d)(x −t 2)(x −t 2−d)+(x −t 2)−6√3=0有三个互异的实数根，令u =x −t 2，可得u 3+(1−d 2)u +6√3=0；设函数g(x)=x 3+(1−d 2)x +6√3，则曲线y =f(x)与直线y =−(x −t 2)−6√3有3个互异的公共点，等价于函数y =g(x)有三个不同的零点；又g′(x)=3x 2+(1−d 2)，当d 2≤1时，g′(x)≥0恒成立，此时g(x)在R 上单调递增，不合题意；当d 2>1时，令g′(x)=0，解得x 1=√d 2−1√3，x 2=√d 2−1√3；∴ g(x)在(−∞, x 1)上单调递增，在(x 1, x 2)上单调递减，在(x 2, +∞)上也单调递增； ∴ g(x)的极大值为g(x 1)=√d 2−1√3)=2√3(d 2−1)329+6√3>0；极小值为g(x 2)=g(√d 2−1√3)=−2√3(d 2−1)329+6√3；若g(x 2)≥0，由g(x)的单调性可知，函数g(x)至多有两个零点，不合题意；若g(x 2)<0，即(d 2−1)32>27，解得|d|>√10，此时|d|>x 2，g(|d|)=|d|+6√3>0，且−2|d|<x 1； g(−2|d|)=−6|d|3−2|d|+6√3<0，从而由g(x)的单调性可知，函数y =g(x)在区间(−2|d|, x 1)，(x 1, x 2)，(x 2, |d|)内各有一个零点，符合题意； ∴ d 的取值范围是(−∞, −√10)∪(√10, +∞)．。

天津南开中学2018年高三数学文测试题含解析

天津南开中学2018年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知是定义在上且以3为周期的奇函数，当时，，则函数在区间上的零点个数是 ( )A．3 B．5 C．7D．9参考答案：D略2. 设满足约束条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D3. 若抛物线上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为（）A． B． C．1 D．2参考答案：D略4. 下列说法正确的是( )(A) 命题“使得”的否定是：“”(B) “”是“”的必要不充分条件(C) 命题p：“ ”，则p是真命题(D) “”是“在上为增函数”的充要条件参考答案：D略5. 已知函数的图像向左平移个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数的图像，则下列区间为的单调递增区间的是A．B．C．D．参考答案：A6. 椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[﹣1，2]参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；向量法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（x，y），，，则=x2+y2﹣i=即可．【解答】解：由椭圆方程得F1（﹣1，0）F2（1，0），设P（x，y），∴，，则=x2+y2﹣1=∈[0，1]故选：C【点评】本题考查了椭圆与向量，转化思想是关键，属于中档题．7.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中，选出一个偶数和三个奇数，组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数共有（）.A.1440个B.1480个C.1140个D.1200个参考答案：答案：C8. （5分）如图在等腰直角△ABC中，点O是斜边BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，则mn的最大值为（）A． B． 1 C． 2 D． 3参考答案：B【考点】：向量在几何中的应用；基本不等式在最值问题中的应用．【专题】：计算题．【分析】：利用三角形的直角建立坐标系，求出各个点的坐标，有条件求出M和N坐标，则由截距式直线方程求出MN的直线方程，根据点O（1，1）在直线上，求出m和n的关系式，利用基本不等式求出mn的最大值，注意成立时条件是否成立．解：以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC的腰长为2，则O点坐标为（1，1），B（0，2）、C（2，0），∵，∴，∴、，∴直线MN的方程为，∵直线MN过点O（1，1），∴=1，即m+n=2∵（m＞0，n＞0），∴，∴当且仅当m=n=1时取等号，且mn的最大值为1．故选B．【点评】：本题的考查了利用向量的坐标运算求最值问题，需要根据图形的特征建立坐标系，转化为几何问题，根据条件求出两数的和，再由基本不等式求出它们的积的最大值，注意验证三个条件：一正二定三相等，考查了转化思想．9. 已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)参考答案：C由得，，所以函数为周期为2的周期函数，又因为函数为偶函数，有，所以有，所以函数关于对称，令，得函数，令函数，做出函数和函数的图象，如图：当直线必须过点时有4个交点，此时直线的斜率为，要使函数有四个零点，则直线的斜率，选C.10. 平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．12 D．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】原式利用二次根式性质化简，再利用完全平方公式展开，利用平面向量的数量积运算法则计算即可得到结果．【解答】解：∵平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，∴|+2|=====2，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为参考答案：12. 执行如图所示的程序框图,若输入m=5则输出k的值为参考答案：本题考查程序框图.13. 已知p：﹣2≤x≤1，q：（x﹣a）（x﹣a﹣4）＞0，若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出q下的不等式，得到q：x＜a，或x＞a+4，而若p是q成立的充分不必要条件，即由p能得到q，而由q得不到p，所以a＞1，或a+4＜﹣2，这样便得到了a的取值范围．【解答】解：q：x＜a，或x＞a+4；∴若p是q成立的充分不必要条件，则：a＞1，或a+4＜﹣2；∴a＞1，或a＜﹣6；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣6）∪（1，+∞）．14. 已知函数y=a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），如图所示，则+的最小值为．参考答案：【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】函数y=a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），可得3=a+b，a＞1，b＞0．即（a ﹣1）+b=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵函数y=a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），∴3=a+b，a＞1，b＞0．∴（a﹣1）+b=2．∴+===，当且仅当a﹣1=2b=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查了函数的图象与性质、“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．15. 如果函数在区间上有且仅有一条平行于轴的对称轴，则的取值范围是．参考答案：略16. 函数f（x）=的定义域为．参考答案：{x|x}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】利用被开方数非负，得到不等式，求解即可得到函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则：1﹣2x≥0，解得：x．函数的定义域为：{x|x}．故答案为：：{x|x}．17. （坐标系与参数方程选做题）如图，为圆O的直径，为圆O上一点，和过的切线互相垂直，垂足为，过的切线交过的切线于，交圆O于，若，，则= .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

天津市南开区南大附中高考数学必修五数列概念与等差数列夯基提能练习卷(含答案详解)

2018年高考数学复习数列概念、等差数列一、数列的概念：（1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21；a n = （2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: -1,1,-1,1,-1,... ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 二、等差数列：（1）通项公式：a n = ，a 1为首项，d 为公差.前n 项和公式Sn= 或 .（2）等差中项： (a,A,b 为等差数列) （3）等差数列的判定方法：①定义法：（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ②中项法： (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列. （4）等差数列的性质：①数列{a n }是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；②在等差数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd . ③d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )④若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑤若等差数列{a n }的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑥当项数为2n(n ∈N +)，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为2n-1(n ∈N +)，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. ⑦设{a n }是等差数列，则{λa n +b}（λ,b 是常数）是公差为的等差数列； ⑧S n 是等差数列的前n 项和，则S 2n-1= ；等差数列夯基提能练习卷一、选择题:1.若等差数列{a n }的前5项之和S 5=25,且a 2=3,则a 7=( )A.12B.13C.14D.152.已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( )A.100B.99C.98D.973.在等差数列{a n }中，a 2=1，a 4=5，则{a n }的前5项和S 5=( )A.7B.15C.20D.25 4.等差数列{a n }中，S 10=120，那么a 1＋a 10等于( )A.12B.24C.36D.485.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1=－2，S m =0，S m ＋1=3，则m=( )A.3B.4C.5D.6 6.在等差数列{a n }中,a 1=0,公差d ≠0,若a m =a 1+a 2+…+a 9,则m 的值为( )A.37B.36C.20D.197.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=20，S 2=4，则公差d 为( )A.2B.3C.6D.78.一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n 项和最大时，n 等于( )A.5B.6C.7D.89.数列{a n }定义如下:a 1=1,当n ≥2时,a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-为奇数为偶数n a n a n n ,1,112，若a n =41,则n 的值为( )A.7B.8C.9D.1010.数列{a n }中,a 1=1,对于所有的n ≥2,n ∈N *,都有a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2,则a 3+a 5=( )A.1661B.925 C.1625D.1531 11.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,(n+1)S n <nS n+1(n ∈N *).若78a a <-1,则( ) A.S n 的最大值是S 8 B.S n 的最小值是S 8 C.S n 的最大值是S 7 D.S n 的最小值是S 712.在各项均为正数的数列{a n }中,对任意的m,n ∈N *,都有a m+n =a m ·a n .若a 6=64,则a 9=( )A.256B.510C.512D.1 024二、填空题:13.如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5=12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于________.14.已知{a n }是等差数列，a 1=1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1a 5=a 22，则S 8=________. 15.若数列{a n }为等差数列，a p =q ，a q =p(p ≠q)，则a p ＋q 的值为________.16.已知{a n }是递增数列,且对于任意的n ∈N *,a n =n 2+λn 恒成立,则实数λ的取值范围是 . 三、解答题:17.已知数列{a n }满足a 1=4，a n =4－14-n a (n ≥2)，令b n =21-n a . (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．18.已知等差数列51，48，45，….(1)第几项开始为负？ (2)前多少项的和最大？a-(2a n+1-1)a n-2a n+1=0.19.已知各项都为正数的数列{a n}满足a1=1,2n(1)求a2,a3;(2)求{a n}的通项公式.20.已知等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7=15，a2a4a6=45，求此数列的通项公式.21.已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+4.(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,a n有最小值?并求出最小值;(2)对任意的n∈N*,都有a n+1>a n,求实数k的取值范围.参考答案知识点参考答案⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n ndn a a n )1(1-+=2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. b a A +=2 da a n n =-+1212+++=n n n a a aλdS 2n-1=(2n-1)a n .练习卷参考答案1.答案为：B ；2.答案为：C ；3.答案为：B ；4.答案为：B ；5.答案为：C ；解析：a m =S m －S m －1=2，a m ＋1=S m ＋1－S m =3，∴公差d=a m ＋1－a m =3－2=1.由S m =2)(1m a a m +=0得a 1=－a m =－2，∴a m =－2＋(m －1)·1=2得m=5. 6.答案为：A ；解析：a m =a 1+a 2+…+a 9=9a 1+36d=36d=a 37,∴m=37.故选A. 7.答案为：B ； 8.答案为：C ；解析：由S 3=S 11及首项为正可知，d ＜0，故知S n =na 1＋2)1(-n n d=2d n 2＋(a 1-2d)n ，是一个开口向下的抛物线，S 3=S 11告诉我们，抛物线的对称轴n=72113=+，故知数列的前n 项和最大时的n 等于7.9.答案为：C ；10.答案为：A ；11.答案为：D ；12.答案为：C ；解析：由题意得a 6=a 3·a 3=64,∵a n >0,∴a 3=8.∴a 9=a 6·a 3=64×8=512. 13.答案为：28；解析：∵a 3＋a 4＋a 5=3a 4=12，∴a 4=4.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7=(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4=7a 4=28. 14.答案为：64； 15.答案为：0；解析：∵d=qp a a q p --=qp pq --=－1，∴a p ＋q =a p ＋qd=q ＋q ×(－1)=0. 16.答案为：(-3,+∞)；解析：∵对于任意的n ∈N *,a n =n 2+λn 恒成立,∴a n+1-a n =(n+1)2+λ(n+1)-n 2-λn=2n+1+λ. 又∵{a n }是递增数列,∴a n+1-a n >0,且当n=1时,a n+1-a n 最小,∴a n+1-a n ≥a 2-a 1=3+λ>0,∴λ>-3. 17.(1)证明:∵a n =4－14-n a (n ≥2)，∴a n ＋1=4－na 4 (n ∈N *)． ∴b n ＋1－b n ==21.∴b n ＋1－b n =21，n ∈N *.∴{b n }是等差数列，首项为21，公差为21. (2)解:b 1=211-a =21，d=21.∴b n =b 1＋(n －1)d=21＋21(n －1)=2n.∴21-n a =2n ，∴a n =2＋n2. 18.解：(1)易得a 1=51，d=48－51=－3，故a n =a 1＋(n －1)d=－3n ＋54. 由－3n ＋54≤0得n ≥18.故第19项开始为负.(2)由a 18=0，且a 1>0，d<0，故前17项或前18项的和最大.19.解：20.解:∵a1＋a7=2a4，a1＋a4＋a7=3a4=15，∴a4=5.又∵a2a4a6=45，∴a2a6=9，即(a4－2d)(a4＋2d)=9，(5－2d)(5＋2d)=9，解得d=±2.若d=2，a n=a4＋(n－4)d=2n－3；若d=－2，a n=a4＋(n－4)d=13－2n.21.解：。

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2018年高考数学解答题课后作业1、已知全集U=R，集合，.
（1）分别求A∩B,A∪(C U B)；
（2）已知集合，若，求实数a的取值范围.
2、已知，，
(1)求的值；
(2)又，若且，求的值．
3、已知点A(-3，-1)和点B(5,5)．
(1)求过点A且与直线AB垂直的直线l的一般式方程；
(2)求以线段AB为直径的圆C的标准方程．
4、已知圆C：x2＋y2-4x-6y＋12=0，求：
(1)圆C的半径；
(2)若直线y=kx＋2与圆C有两个不同的交点，求k的取值范围．
5、设函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)（为常数，且）的部分图象如图所示. （1）求的值；
（2）设为锐角，且，求的值.
6、已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且.
(1)求角B的大小；
(2)若b=，的周长为，求的面积
7.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积．
8.等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）数列{b n}是等差数列，a3=b3，a5=b5试求数列{b n}的通项公式．
9、在公比不为1的等比数列中，．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设，且为递增数列，若.
求证：
10.已知椭圆的离心率为，且点P(2，1)为椭圆上一点．（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线的斜率为，直线与椭圆C交于A,B两点，求△PAB的面积的最大值．
参考答案1.解：
2.解：(1)；(2)．
7.解：
8.解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=2，a4=16．∴16=2q3，解得q=2．∴a n=2n．（2）设等差数列{b n}的公差为d，∵b3=a3=23=8，b5=a5=25=32．
∴b1+2d=8，b1+4d=32，解得b1=﹣16，d=12，∴b n=﹣16+12（n﹣1）=12n﹣28．9.解：。