2020届高三11月阶段性检测数学(理)试题(解析版)

2020届高三11月阶段性检测数学（理）试题一、单选题1．设集合{}1,0A =-，{},B t t y x x A y A ==-∈∈且，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}1-C ．{}1,1-D ．{}1,0-【答案】D【解析】由题意首先求得集合B ，然后进行交集运算即可. 【详解】由于：()()101,011,11000--=---=---=-=，故由题意可知：{}1,0,1B =-，结合交集的定义可知：{}1,0A B ⋂=-. 故选：D . 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．在复平面内，给出以下四个说法： ①实轴上的点表示的数均为实数； ②虚轴上的点表示的数均为纯虚数；③互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数；④已知复数z 满足()13i z i +=-，则z 在复平面内所对应的点位于第四象限. 其中说法正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据复数的几何意义可判断出命题①②的正误，根据共轭复数的概念判断命题③的正误，利用复数的除法求出复数z ，结合复数的几何意义可判断出命题④的正误. 【详解】对于命题①，由复数的几何意义知，实轴上的点表示的数均为实数，命题①正确； 对于命题②，原点在虚轴上，原点代表的数为零，不是纯虚数，命题②错误； 对于命题③，互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数，命题③正确； 对于命题④，由()13i z i +=-，得()()()()31324121112i i i iz i i i i ----====-++-，所以，复数z 在复平面内所对应的点在第四象限，命题④正确. 因此，正确的命题为①③④. 故选：C. 【点睛】本题考查与复数相关的命题真假的判断，涉及复数的几何意义、共轭复数概念的理解以及复数的除法运算，考查推理能力，属于基础题.3．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，94S S =，50k a a +=，则k =（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】D【解析】由94S S =，得出5690a a a +++=L ，利用等差数列求和公式可求出k 的值. 【详解】由94S S =，得()5994569502a a S S a a a +-=+++==L ，590a a ∴+=，因此，9k =. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列下标和性质的应用，同时也涉及了等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4．将()2nx -的展开式按x 的降幂排列，若第三项的系数是40，则n =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B【解析】根据题意求出第三项的系数，可得出关于n 的方程，即可解出n 的值. 【详解】将()2nx -的展开式按x 的降幂排列，第三项的系数为()2222440n n C C ⋅-==，即()1102n n -=，整理得2200n n --=.n N *∈Q ，解得5n =.故选：B. 【点睛】本题考查利用项的系数求指数的值，解题的关键就是利用二项展开式的通项得出系数的表达式，考查计算能力，属于中等题.5．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为()A ．16B ．163C ．163D ．1283【答案】C【解析】由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积． 【详解】正方体的棱长为2，则其内切球的半径r 1=，∴正方体的内切球的体积344V π1π33=⨯=球， 又由已知V πV 4=球牟合方盖，4416V ππ33∴=⨯=牟合方盖． 故选C ． 【点睛】本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题．6．如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可． 【详解】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ， 故选B ． 【点睛】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键． 7．如图圆锥的高3SO =，底面直径2,AB C =是圆O 上一点，且1AC =，则SA 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．34B ．33C ．14D ．13【答案】A【解析】建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用向量数量积即可求得AS uu r 与BC uuu r夹角的余弦值。

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系得：010A -（，，），010B （，，），00S （，102C ⎫-⎪⎪⎝⎭， 设,AS BC u u u r u u u r 的夹角为θ，02πθ<≤又3,02AS BC ⎫==-⎪⎪⎝⎭u u u r u u u r则cos |||AS BC AS BC θ⋅==u u u r u u u r u u ur u u u r 因为02πθ<≤即SA 与BC故选：A ． 【点睛】本题考查了空间向量的数量积的运算及利用空间向量求异面直线的夹角，属中档题． 8．2021年广东新高考将实行312++模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率( ) A ．136B ．116C ．18D ．16【答案】D【解析】基本事件总数n 24C ==6，他们选课相同包含的基本事件m ＝1，由此能求出他们选课相同的概率． 【详解】今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则基本事件总数n 24C ==6，他们选课相同包含的基本事件m ＝1， ∴他们选课相同的概率p m 1n 6==． 故选：D ． 【点睛】本题考查古典概型，准确计算基本事件总数和选课相同包含的基本事件数是关键，是基础题.9．如图所示框图，若输入三个不同的实数x ，输出的y 值相同，则此输出结果y 可能是（ ）A ．2-B ．1-C ．12D ．4【答案】C【解析】根据程序框图知，本题是输出函数23,043,0x x y x x x +≤⎧=⎨-+>⎩的函数值，设输出的y 值为t ，可知直线y t =与函数23,043,0x x y x x x +≤⎧=⎨-+>⎩的图象有3个交点，利用数形结合思想得出t 的取值范围，从而可得出输出y 的可能值. 【详解】由题意可知，程序框图是输出函数23,043,0x x y x x x +≤⎧=⎨-+>⎩的函数值，设输出的y 值为t ，可知直线y t =与函数23,043,0x x y x x x +≤⎧=⎨-+>⎩的图象有3个交点， 如下图所示：由图象可知，当13t -<<时，直线y t =与函数23,043,0x x y x x x +≤⎧=⎨-+>⎩的图象有3个交点，因此，此输出结果y 可能是12. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图与函数的综合问题，读懂程序框图的功能是解题的关键，同时也涉及了由两函数图象的交点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.10．平面直角坐标系中，过坐标原点O 作曲线:x C y e =的切线l ，则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．112e - B ．2e C ．12e -D ．32e -【答案】A【解析】求出切线l 的函数解析式，以及切点坐标，确定被积函数与被积区间，然后利用定积分思想计算出所围成的封闭图形的面积. 【详解】如下图所示，设切点坐标为(),t t e ，对函数x y e =求导得e xy '=，所以，直线l 的方程为()tty e e x t -=-，将原点代入直线l 的方程得t t e te -=-，得1t =.所以，直线l 的函数解析式为y ex =，如上图所示，所求区域的面积为()021111122xxe ex dx e ex e ⎛⎫⎰-=-=- ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查利用定积分计算平面区域的面积，同时也考查了过点的函数的切线方程的求解，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中等题.11．已知椭圆、双曲线均是以线段AC 的两端点为焦点的曲线，点B 是它们的一个公共点且满足0BA BC ⋅=uu r uu u r，记此椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则221211e e +=（ ） A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】B【解析】设BA m =u u u r ，BC n =u u u r，并设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，两曲线的焦距均为()20c c >，利用椭圆、双曲线的定义，以及勾股定理可得出222122a a c +=，由此可得出221211e e +的值.【详解】设BA m =u u u r ，BC n =u u u r，并设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，两曲线的焦距均为()20c c >，由椭圆的定义得12m n a +=，由双曲线的定义得22m n a -=，由勾股定理得()2222m n c +=，()()()()22222212222a a m n m n m n +=++-=+Q ，222124424a a c ∴+=⨯， 化简得222122a a c +=，即2212222a a c c+=，因此，2212112e e +=.故选：B. 【点睛】本题考查双曲线与椭圆离心率关系的计算，同时也涉及了椭圆和双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.12．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且()()11f x f x --=-，当[]1,0x ∈-时，()3f x x =-,则函数()()cos g x f x x π=-在区间51,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的所有零点之和为（ ）A ．-7B ．-6C ．-5D ．-4【答案】A【解析】利用定义推导出函数()y f x =是周期为2的函数，并作出函数()y f x =与函数cos y x π=在区间51,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，可知两函数在区间51,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象关于直线1x =-对称，然后利用数形结合思想得出函数()y g x =在区间51,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点之和. 【详解】()()11f x f x --=-Q ，所以，函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称，又Q 函数()y f x =为偶函数，所以，()()()111f x f x f x -=--=+， 所以，函数()y f x =是以2为周期的周期函数，作出函数()y f x =与函数cos y x π=在区间51,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示：由图象可知，函数()y f x =与函数cos y x π=在区间51,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象都关于直线1x =-对称，两个函数在区间51,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象共有7个交点，有3对关于直线1x =-对称，还有一个交点的横坐标为1-.因此，函数()()cos g x f x x π=-在区间51,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的所有零点之和为2317-⨯-=-.故选：A. 【点睛】本题考查函数的零点之和，转化为两函数图象的交点并结合图象的对称性求解是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题13．已知以点()1,2为圆心的圆C 与直线20x y +=相切，则圆C 的方程为______． 【答案】22(1)(2)5x y -+-=【解析】根据题意，设圆C 的半径为r ，由直线与圆的位置关系可得122514r +⨯==+结合圆的标准方程分析可得答案． 【详解】根据题意，设圆C 的半径为r ，以点()1,2为圆心的圆C 与直线20x y +=相切，则圆心到直线的距离为半径，则有122514r +⨯==+则圆C 的方程为22(1)(2)5x y -+-=； 故答案为：22(1)(2)5x y -+-=．【点睛】本题考查直线与圆相切的性质，注意直线与圆相切的判定方法，属于基础题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。