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《勾股定理》中的数学思想
1、《勾股定理》中的数学思想2、赏古诗、用勾股、做趣题3、“勾股定理”及其“逆定理”误区剖析4、感悟“赵爽弦图”5、勾股定理及其逆定理的应用例析1、《勾股定理》中的数学思想 数学思想是数学解题的“灵魂”，总结概括数学思想有利于透彻地理解所学知识，提高独立分析问题和解决问题的能力．下面例谈《勾股定理》一章中的常用的数学思想：一、方程思想例1．如图1，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =5cm ，BC =12cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为（ ）.A .1312119169 (552424)B C D 【分析】折叠问题是近几年来中考中的常见题型．解折叠问题关键抓住对称性．图１中CD 在Ｒt △ACD 中，由于AC 已知，要求CD ，只需求AD ，由折叠的对称性，得AD=BD ，注意到CD+BD=BC ，利用勾股定理即可解之．解：如图1，要使A ，B 两点重合，则折痕DE 必为AB 的垂直平分线．连结AD ，则AD ＝BD ．设CD ＝x ， 则AD=BD =12－x ．在Rt △ACD 中，由勾股定理，得2x ＋52=(12－x )2． ∴x =11924．故应选D.25＝144－24x 点拨：勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，常由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以便简化求解．二、分类讨论思想例2．在Rt △ABC 中，a ＝6，b ＝8，求c .【分析】本题没有明确告之哪个角是直角，因此由b ＞a ，∠B 与∠C 都可能为直角，这时应分情况讨论。
解：（1）当∠C ＝90°时，由勾股定理得，c 10；（2）当∠B ＝90°时，由勾股定理得， b 2＝a 2＋c 2，∴ c点拨：在一些求值计算题中，题目没有给出图形，直角条件不明确时，要注意分情况进行讨论，避免漏解.三、整体思想例3．在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图4)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_____．【分析】本题不可能求出S 1、S 2、S 3、S 4，，但我们可以利用三角形全等和勾股定理分别求出S 1＋S 2、S 2＋S 3、S 3＋S 4.解：易证Rt ABC Rt CDE ∆≅∆，∴AB=CD ，又∵222CD DE CE +=，而23AB S =，2243,CE DE S ==，∴S 3＋S 4=3，同理S 1＋S 2=1，S 2＋S 3=2.∴S 1＋S 2 ＋S 2＋S 3＋S 3＋S 4=1＋2＋3=6，即S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝4.点拨：化零为整，化分散为集中的整体策略是数学解题的重要方法，利用整体思想，不仅会使问题化繁为简，化难为易，而且有助于培养我们的创造性思维能力.2、赏古诗、用勾股、做趣题“勾股定理”是反映直角三角形三边关系的一个重要定理，它在解决直角三角形中的有关边的问题中起重要作用，并常常渗透着方程的思想．在一些古代数学书中流传着许多与“勾股定理”有关的趣题．现列举几例与大家共享．例1．明朝程大位的著作《直指算法统宗》里有一道“荡秋千”的趣题，是用诗歌的形式写的：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士好奇，算出索长有几？（一步合5尺，秋千踏板大小忽略不计）【分析】诗的大意是：当秋千静止时，秋千的踏脚板离地面1尺，将秋千的踏板往前推2步（这里一步合5尺）时，秋千的踏板与人一样高，而此人身高5尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态．现在问：这个秋千的绳索有多长？解：如图1，设OA 为静止时，秋千绳索的长，则AF＝1，CE ＝BF ＝5．BA ＝BF －AF ＝5－1＝4．设绳索长为OA ＝OC ＝x尺．则OB ＝OA －BA ＝x －4尺．BC ＝5×2＝10尺．在Rt △OBC 中，由勾股定理，得：x 2＝102＋(x －4)2．解得：x ＝14.5尺．∴绳索长为14.5尺．例2．12世纪的印度著名数学家婆什迦罗在其著作《丽拉瓦提》中有道问题：波平如镜一湖面，半尺高处出红莲，鲜艳多姿湖中立，猛遭狂风吹一边；红莲斜卧水淹面，距根生处两尺远；渔翁发现忙思考，湖水深浅有多少？【分析】词的大意是：湖里有一棵红莲，直立的红莲高出湖面0.5尺,一阵狂风把红莲吹斜，卧水淹面，这时红莲距离它生根的地方有2尺远，求湖水深是多少？解：如图，设AD 为红莲，出水处为CD ．依题意，CD ＝0.5尺，BC ＝2尺． 设湖深AC ＝x 尺，则红莲高为AD ＝AB ＝x +尺．在Rt △ACB 中，由勾股定理，得：x 2＋22＝(x ＋0.5)2， 解得：x ＝433尺． ∴湖水深433尺． 【注】此题与《九章算术》中的“引葭赴岸”如出一辙，但比“引葭赴岸”要晚上千年！3、“勾股定理”及其“逆定理”误区剖析勾股定理及其逆定理是初中几何的重要定理之一，由于初学，加之渗透了数形结合的思想，同学们在应用其解题时往往会出现一些错误。
在勾股定理的教学中渗透数学思想方法
在勾股定理的教学中渗透数学思想方法东莞东华初级中学 陈佩弟《全日制义务教育数学课程标准》指出:“通过数学学习,学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法.”数学思想方法是数学的生命和灵魂,是数学知识的精髓,是把知识转化为能力的桥梁.因此,在数学教学活动中,教师应重视数学思想方法的渗透,注重对学生进行数学思想方法的培养,为学生的持续学习和发展作好奠基.勾股定理是平面几何有关度量的最基本、最重要的定理,也是中考的重要考点之一,其中蕴涵着多种数学思想,现小结如下:一.勾股定理与数形结合思想所谓数形结合思想,就是抓住数与形之间本质上的联系,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”,使复杂问题简单化、抽象问题具体化,从而达到迅速解题的目的.勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系,它是把三角形有一个直角的“形”的特征,转化为三边“数”的关系,因此它是数形结合的一个典范.例1:(课本P76习题18.2 T5)△ABC 中,AB=13cm,BC=10cm,BC 边上的中线AD=12cm.求AC 思考与分析:解答本题一定要先根据题意画出相应的图形,求出BD=CD=5cm ，再将题目所给的数据标在图上,得到如图,因此很容易就想到本题的解答思路是:先利用勾股定理的逆定理说明∠ADB=90°,从而∠ADC=90°,再用勾股定理即可求得AC解: ∵AD 是BC 边上的中线∴BD=CD=21BC=21×10=5cm （由形到数） ∵169144251252222=+=+=+AD BD1691322==AB∴222AB AD BD =+∴△ADB 为直角三角形,且∠ADB=90°（由数到形）∴∠ADC=180°-∠ADB=90°∴△ADC 为直角三角形 （由数到形） ∴131695122222==+=+=CD AD AC cm （由形到数）B C D 13 12 5 5反思:此题综合运用了勾股定理及逆定理,充分体现了由形到数,再由数到形的数形结合的思想,从中你可以体会到数形结合的奥妙.二.勾股定理与分类讨论思想分类讨论思想是指在解题过程中,当条件或结论不确定或不唯一时,往往会产生几种可能的情况,这就需要依据一定的标准对问题进行分类,再针对各种不同的情况分别予以解决,最后综合各类结果得到整个问题的结论.分类讨论实质上是一种“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学方法.例2:(课本P76习题18.2 T3)小明向东走80m 后,沿另一方向又走了60m,再沿第三个方向走100m 回到原地.小明向东走80m 后又向哪个方向走的?思考与分析:观察数据80、60、100,根据勾股定理的逆定理可以判断出小明所走的路线形成了一个直角三角形,即小明向东走的80m 是一直角边,转了90°角后走的60m 是另一直角边,最后走的100m 是斜边.因此得到本题的关键是弄清楚转的90°是往哪个方向转的.情况不确定,故须分类讨论:如果往右转90°,则向南走;如果往左转90°,则向北走.从而得到答案是向南或北走.本题若利用数形结合的思想,根据题意画出如图,思考起来会更直观.教师在讲解本题时也可以先让学生做课本P76练习 T3:A 、B 、C 三地的两两距离如图所示,A 地在B 地的正东方向,C 地在B 地的什么方向?这样设计的目的是让学生经历由易到难的过程,通过类比学习,明白这两题的本质是:一题是明确给出图形,情况唯一;另一题没有给图,情况不唯一,须 分类讨论.还有一道常考题:直角三角形的两条边长分别为3和4,则第三边长为 ,学生审题不清,或容易受到定势思维的影响而漏掉一种情况.教师也可以让学生先做:直角三角形的两条直角边长分别为3和4,则第三边长为 .对比学习,学生印象更深刻反思:当已知条件中没有给出图形时,应认真读句画图,避免遗漏情况;另在直角三角形中,已知两边长但不明确是直角边还是斜边时,应分类讨论.A B C 12km13km5km北 南南 北三.勾股定理与方程思想方程思想就是指在解决数学问题时,从分析问题的数量关系入手,通过设未知数,把问题中的已知量与未知量之间的数量关系联系起来,从而建立方程或方程组的数学模型,然后求解方程或方程组使问题得以解决.用方程思想分析、处理问题,思路清晰,解题灵活、简便.例3:(课本P81复习题18 T7)一根竹子高1丈,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少?（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题.其中的丈、尺是长度单位,1丈=10尺.）思考与分析:本题若想直接在Rt △ABC 中运用勾股定理求AB 是行不通的,因为只知道一条边BC 的长,AC 的长不知道,但AC 与AB 有关系AC+AB=10,因此可设AB 为x 尺,则AC 为（10-x ）尺,利用勾股定理可列出方程()222103x x -=+,解得x=4.55反思:勾股定理说到底是一个等式,而含有未知数的等式就是方程,所以,在利用勾股定理求线段的长时常常利用列方程来解决.勾股定理表达式中有三个量,当无法已知两个量求第三个量时,应采用间接求法,灵活地寻找题中的数量关系,利用勾股定理列方程.四.勾股定理与转化思想转化思想是指将陌生的问题转化为熟悉的问题,将特殊的问题转化为一般的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将综合的问题转化为基本的问题等一种解题的手段.如解方程（组）问题中,高次转化为一次,多元转化为一元;在几何问题中,将多边形转化为三角形,将空间图形转化为平面图形等都是转化思想的具体体现.例4:(课本P81复习题18 T8)已知圆柱的底面半径为6cm,高为10cm,蚂蚁从A 点爬到B 点的最短路程是多少厘米?（结果保留小数点后1位）思考与分析:我们知道蚂蚁在圆柱表面爬行的路线是一条曲线,目前学生还无法用所学的知识求曲线的长,另外,在一个曲面上,最短的路线怎样走更是无从知道.但我们知道在平面几何中有一个结论“两点之间,线段最短”,因此我们可以借助平面展开的方法,把圆柱的侧面展开成一个矩形如图,AB 即为所求.通过分析可知AC 对应圆柱的高10cm,BC 是底面圆的周长的一半即为π6,根据勾股定理得 ()m AB 3.2136100610222≈+=+=ππ 反思:在立体图形的表面讨论最短距离,应先将立体图形转化为平面图形,再利用“两点3尺 Ax10-x B A ●C之间,线段最短”及勾股定理求解.本题还可以拓广到在正方体、圆锥、长方体中求最短距离.还应明确的是圆柱、正方体、圆锥的展开方式只有一种,而长方体的展开方式不只一种,须分类讨论,再通过比较得出最后的答案.五.勾股定理与整体思想 整体思想是指对于某些数学问题,如果拘泥常规,从局部着手,则难以求解;如果把问题的某个部分或几个部分看成一个整体进行思考,就能开阔思路,较快解答题目.例5.在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ,求4321S S S S +++思考与分析:本题不可能具体求出1S 、2S 、3S 、4S 的值,但我们可以利用三角形全等和勾股定理分别求出21S S +、32S S +、43S S +解:易证Rt△ABC ≌ Rt△CDE∴ AB = CD∵222CE DE CD =+∴222CE DE AB =+∵32S AB =,42S DE =,32=CE ∴343=+S S同理可得121=+S S∴4314321=+=+++S S S S反思:化分散为集中的整体策略是数学解题的重要方法,利用整体思想,不仅会使问题化繁为简、化难为易,而且有助于培养学生的创造性思维能力.六.勾股定理与类比思想类比思想是数学学习的一种重要发现式和创造性思维.它是通过两个已知事物在某些方面所具有的共同属性,去推测这两个事物在其他方面也有相同或类似的属性,从而大胆猜想得到结论.例6.（1）如图①,分别以Rt △ABC 的三边为边向外作三个正方形,其面积分别用1S 、2S 、3S 表示,请说明132S S S =+（2）如图②,分别以Rt △ABC 的三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用1S 、2S 、3S 表示,132S S S =+仍然成立吗?请说明理由.（3）如图③,分别以Rt △ABC 的三边为边向外作三个等边三角形,其面积分别用1S 、2S 、3S 表示,请你确定1S 、2S 、3S 之间的关系并加以证明.古人云: “授人以鱼,不如授人以渔.”数学教师不仅要教会学生解题,更重要的是让学生学会解题的方法,让学生具备独立分析和解决问题的能力,从而达到举一反三的目的,这是二十一世纪现代素质教育的要求.因此,在数学课堂教学中,需要我们教师有意识的将这些数学思想方法加以点拨并渗透,这对学生来说是终生受益的.。
勾股定理教学中体现的数学思想
勾股定理教学中体现的数学思想丹阳市华南实验学校 夏青梅随着新课程标准的逐步实行与推广，数学教学在培养学生基础知识和基本技能的同时，应更加注重培养学生的思维能力。
本文以勾股定理的教学为例，谈谈新课程中体现的数学思想，与广大同仁共同探讨。
勾股定理是数学中的至宝，在古今中外数学发展史上，是一个最基本最重要的定理。
在运用勾股定理解决实际问题时，常会遇到一些疑难问题，若能结合运用一些数学思想方法，转换思维角度，便可使思路开阔，方法简捷。
现举例说明：一、化归思想所谓化归思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个简单的问题，这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”，它具有不可逆转的单向性。
例1、 已知△ABC 中∠B=60°，∠C=45°，AB=4，求BC 的值。
评析：△ABC 为斜三角形，利用化归思想可通过化斜三角形为直角三角形，从而利用勾股定理得以解决。
过A 点作BC 边上的高AE ，将△ABC 分成两个特殊的直角三角形ABE 与ACE ，根据勾股定理由AB=4，∠B=60°，先分别求出BE=2，AE=22，再由∠C=45°得AE=CE ，求出CE=22，从而得到BC 的值为22+2。
本题将一个较复杂的问题转化归结为一个简单的基本的问题，从而得到解决。
例2、八（1）小刚同学代表学校在北京参加航模比赛，这天小刚与老师、同学兴冲冲来到机场，却遇到了一个大问题：机场规定旅客随机携带的物品的长、宽、高不得超过一米，而小刚的飞机模型却有1.6米长，飞机模型不能折断、拆卸，托运又来不及，怎么办呢？正当老师与同学们发愁的时候，小刚灵机一动，利用课堂上学到的知识将飞机模型完整地带上了飞机。
同样聪明的你，想到什么办法吗？并请你讲出其中的道理。
评析：这是一个生活实际问题，我们可以将它转化归结为一个数学问题。
先在底面ABCD 的直角三角形ABD 中利用勾股定理由AB=AD=1，求出对角线BD=2；再在对角平面D ’DBB ’的直角三角形DBD ’中，由DD ’=1, BD=2，求出BD ’=3，又因为3≈1.7＞1.6 ，因而便可判断能将飞机模型完整地带上了飞机。
勾股定理应用中的数学思想
勾股定理应用中的数学思想勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理之一，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，揭示了直角三角形的一个重要的三边关系．在勾股定理的探索和应用过程中，蕴含着丰富的数学思想．下面试举几例：一、方程思想方程思想是初中数学中一种常用的数学思想，它通过设未知量、寻找相等关系建立方程模型，运用方程的有关知识沟通“已知”和“未知”之间关系的思想，即方程思想．例1、如图1，△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求BC 边上的高AD ．分析：本题的图形是由一条公共边AD 的两个直角三角形（Rt △ABD 和Rt △ACD ）组成的图形，我们一般称为复合三角形．求解复合三角形的基本思路是抓住公共边，利用公共边相等来建立方程．解析：设DC=x ，则BD=14- x ．根据勾股定理得 AD 2=152-（14- x ）2， AD 2=132- x 2∴152-（14- x ）2=132- x2225-（196-28x + x 2）=169- x 2225-196+28x -x 2=169- x 228x=169-225+196 28x=365-225 28x=140 x=5在Rt △ACD 中 AD 2= AC 2-CD 2=132-52= 144 ∴ AD=12 二、数形结合思想数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．例1．如图2有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC•沿直DABC图1线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 长．解析：本题关键在于观察图形，明确折叠前、后的两个图形是全等的，特别要注意△DEB 仍是直角三角形．通过Rt △ABC ，∠C=90°，AC=6，BC=8 利用勾股定理可求出 AB=10．由题意知△ACD ≌△AED ⇒∠AED=∠C=90°⇒∠DEB=90°，且DE=CD ，AC=AE=6，设CD=x ，则DE=x ，而EB=10-6=4，抓住Rt △DEB 的三边关系，利用勾股定理就可以求出．在Rt △DEB 中，BD 2=DE 2+BE 2（8-x ）2=x 2+42， 64-16x+x 2=x 2+16， 16x=48， 解得x=3（cm ）． 即CD 的长是3 cm. 三、分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法．分类讨论是一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想．例3.在一个直角三角形中，已知有两条边的长分别为3和4，求以第三条边为边长的正方形的面积．解析：此题中并没有说明第三条边是直角边还是斜边，所以需要分类讨论，设第三条边的长为x ．（1）当x 为斜边时，根据勾股定理得x 2=32+42=52=25，所以第三条边为边长的正方形的面积是25．（2）当x 为直角边时，根据勾股定理得x 2=42-32=16-9=7，所以第三条边为边长的正方形的面积是7．因此，以第三条边为边长的正方形的面积是25或7. 四、转化思想转化思想是把未知的问题转化到在已有知识范围内可解问题的一种重要的思想方法．数学的解题过程，就是图3AMG C DEH FB从“未知”向“已知”、从“复杂”到“简单”的化归转换过程．在本章中，求长方体、圆柱等立体图形表面的最短距离时，通常都是把其侧面展开成平面图形，然后根据“两点之间，线段最短”，利用勾股定理求解．例4. 如图3是一个长8 m、宽6m、高5m的长方体形仓库，在其内壁的A（长的四等分点）处有一只壁虎、B（宽的三等分点）处有一只蚊子，请你帮壁虎设计爬到蚊子处的最短路线，并说明理由．解析：解决立体图形中最短距离问题的关键是把利用转化思想，把陌生的立体图形转化到熟悉的平面图形，再利用“两点之间，线段最短”求解，壁虎要从A点爬到B点，有两条路线可走：（1）如图a，经过CDEF面后进入CFGH面到达B点．在Rt△ABE中，BE=4+5=9m，AE=6m，根据勾股定理得AB2=AE2+BE2=62+92=117 .(2)如图b，经过CDEF面后进入EFGM面，在Rt△ABN中，EN=FB=4m，AN=AE+EN=6+4=10m， BN=FE=5m，所以AB2=AN2+BN2=102+52=125. 显然125＞117,所以壁虎趴到蚊子处的最短路线是沿着图a中的线段AB．图aHCD EFGAB图bG CDFAB。
勾股定理中的思想方法
勾股定理中的思想方法勾股定理及其逆定理是中学阶段两个非常重要的结论，它是数与形结合的一个典范．在本章的学习中不仅体现了数形结合的思想，还包含了其他的数学思想方法，现列举如下，供大家参考：(1)面积法．教材中证明勾股定理的几种方法均采用了面积法，即用不同的方式表示同一个图形的面积，从而列出等式解决问题．例1已知 △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5㎝．BC ＝3㎝，CD ⊥AB 于点D ，求CD的长．分析：由题意可知利用勾股定理可求得AC ，然后用不同的方式表示△ABC 的面积，进而求出CD 的长．解：如图1 ，∵△ABC 是直角三角形，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC 2＝52-32，∴AC =4（㎝），又S △ABC ＝12BC ×AC ＝12AB ×CD ，∴ CD ＝BC AC AB ⋅＝⨯345＝2.4（cm ）． (2)构造法．本章利用勾股定理的前提是在直角三角形中，若题中不具备这个条件，可考虑添加辅助线构造直角三角形．例2 如图2，已知△ABC 中， ∠B ＝30°， ∠C ＝45°， AB ＝4， AC＝△ABC 的面积．分析：要求面积需知道一边和这边上的高，题中不是直角三角形，不能用勾股定理来解决，可考虑作BC 边上的高，构造直角三角形来解决．解：过点A 作ACD ⊥BC ，垂足为D ，在Rt △ADB 中，∵AB ＝4， ∠B ＝30°∴AD ＝12AB ＝2，由勾股定理得，BD＝＝＝． 在Rt △ADC 中，∵AC＝， ∠C ＝45°由勾股定理得AD 2＋CD 2＝AC 2，即2AD 2＝() 2，∴AD ＝CD ＝2， ∴BC ＝BD ＋CD＝＋2，∴S △ABC ＝12BC ×AD ＝12(＋2)·2＝＋2． (3)转化思想．勾股定理是从形到数的转化，其逆定理是从数到形的转化．本章题目中还有把四边形转化为三角形的问题，把立体图形转化为平面图形的问题．这些都体现了转化的数学思想． 例3 如图3，已知四边形ABCD 中，∠B ＝90°， AB ＝3， BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13．求四边形ABCD 的面积．分析：由题意联想勾股数，可连接AC 把四边形的问题转化为三角形的问题． 解：连接AC ，在Rt △ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2＝32＋42＝25，∴AC ＝5．在△ACD 中，∵AC 2＋CD 2＝52＋122＝169， AD 2＝132＝169，∴AC 2＋CD 2＝AD 2，∴∠ACD ＝90°．∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AB AC ⋅＋⋅12AC CD ＝1342⨯⨯＋15122⨯⨯＝6＋30＝36． (4)分类讨论思想．在计算中遇到直角边和斜边不能确定的时候，要考虑分类讨论． 例4 已知Rt △ABC 中，其中两边的长分别是3，5，求第三边的长．图1D C B A 图2 D C B A 图3D A B C分析：已知的两边可能是直角边，也可能一条是直角边而另一条是斜边，因此需要分类讨论．条边中有一条是直角边而另一条是斜边时，＝4．4．(5)方程思想．勾股定理中的直角三角形三边有222a b c +=，这本身就是一个等量关系，所以在有关的计算中设未知数列方程是我们解决问题的一种方法．例5 如图4，AB 为一棵大树，在树上距地面10米的D 处有两只猴子，它们同时发现C 处有一筐苹果，一只猴子从D 往上爬到树顶A 又沿滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 滑到B ，再由B 跑到C ．已知两只猴子所经路程都是15米．试求大树AB 的高度．分析：由题意不妨设AD ＝x ，则AC ＝15－x ，又BD ＝10米，所以BC ＝15-10＝5米，Rt △ABC 的三边满足购股定理，因此可列方程解得AD ，进而求AB 的长．解： 设AD ＝x ，则AC ＝15－x ，又BD ＝10，所以BC ＝15-10＝5(米)，在Rt △ABC 中，根据勾股定理得AB 2＋BC 2＝AC 2，∴()()22210515xx ++=-，解得2x =． ∴大树AB 的高度为10＋2＝12(米)． 图4C A。
勾股定理中的方程思想和参数方法复制
在一棵树的10米高的D处有两只猴子,其中一只 猴子爬下树走到离树20米的池塘A处,另一只爬到 树顶后直接跃向池塘A处,如果两只猴子所经过的 距离相等,试问这棵树有多高?
C
15米
D
10米
┏
20米
B
A
方程思想：
•方程的思想是分析问题中的变量间的等量关系，构建 方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、解 决问题。
Δ ABC中，周长是24，∠C=90°，且AB=9，则三角 形的面积是多少？ 解：设BC=a,AC=b,依题意得：
B
c
A b a C
如图，小颖同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与 B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm, 你能求出CE的长吗？
B D
A E
C
如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄， DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知：DA=15km， CB=10km，现在要在铁路AB上 建一个土特产品收购 站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在 离A站多少km 处？
B
x
8
D
C
如图，在正方形ABDC中，E是CD的中点，F为BD上一 点，且BF=3FD，试猜想线段AE,EF的位置关系并证明.
A C
解： ∠AEF=900,证明如下: 设ＦＤ＝a,则ＢＦ＝３a，ＢＤ＝ＡＢ＝ ＡＣ＝ＣＤ＝４a， ＤＥ＝ＣＥ＝２a, 在ＲtΔ ABF中，ＡＦ２＝ＡＢ２＋ＢF２＝２５a2
E
B
F
D
在ＲtΔ DEF中，ＥＦ２＝ＤＦ２＋ＤＥ２＝５a2
在RtΔ AEC,AE2=AC2+EC2=20 a2 ∴EF2+AE2=AF2 ∴∠AEF=900
勾股定理中四种重要的数学思想
勾股定理中四种重要的数学思想题的意识.而在勾股定理这一章节的学习过程中我们同样可以发现其中蕴含着多种的数学思想. 本文主要介绍其中主要的四种数学思想. 数学思想是数学的“灵魂”，数学思想遍及数学学习的各个角落，总结概括数学思想有利于摘要：本文主要针对勾股定理中的主要四种数学思想:方程思想、数形结合的思想、分类思想、转换思想，进行讨论、介绍.关键字：勾股定理方程思想数形结合思想分类思想转换思想勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是几何学中几个最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系——如果在直角三角形三边的两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c².它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一.它不仅在数学中，而且在其他自然科学、实际的生产生活中也被广泛地使用. 解透彻地理解所学的知识,有利于在数学学习中提高我们分析问题和解决问题的能力,形成用数学决问1 方程思想“方程”历来是数学研究的重要内容之一，也是研究数学重要的工具.对于众多数学问题的求解，方程常常可以充当由已知探索未知的桥梁而发挥巨大的作用.运用方程的观点去考察问题，运用方程的思想去分析问题，能有效地沟通知识间的纵横联系，发现各种数量之间的关系.有助于解题思路的寻求与优化.勾股定理本身就是反应了直角三角形中三边的关系.所以在勾股定理的应用中最常见也是最基本的一类问题就在直角三角形中已知两边求第三边的问题，或是关于此类问题的变形题.而方程思想在勾股定理关于此类问题的求解过程中都得到了广泛的运用．1.1 求距离长度问题例１：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？分析：在Rt△ABC中，只有BC边的长度，利用勾股定理求一边的长度，还要知道另一边的长度.因此可以通过设立未知量，建立方程求解.解:设：水的深度为AB为x 尺，则芦苇的长度AC(AD)为（x+1）尺.依题意可以得到如图1所示的图形∵在Rt△ABC中，BC=5尺，根据勾股定理可得方程（x+1）²=x²+5²解得 x=12 ∴ x+1=13则水的深度为12尺，芦苇的长度为13尺. 图11.2 折纸问题例2 如图所示，把一个长方形（四个角都是直角，对边相等）折叠，恰好点D落边BC上，交BC与点F.已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.分析：Rt△AEF,是Rt△AED沿边AE边折叠的，所以就可以通过折叠中对称的性质得到许多的等量，在矩形中的折叠可以得到许多的直角三角形.要求EC边长，构造直角三角形，找出EC边所在的直角三角形，在根据勾股定理，找出所需的量以及各个量之间的关系.在已知量与为质量之间建立方程关系.解：由题意，得AF=AD,DE=EF.在Rt△ABF中，AB=8cm，AF=AD=10cm，∴6==(cm).图2EDABCF∵BC=10cm，∴CF=10－6=4(cm).设CE=xcm，则DE=(8－x)cm，∴EF=DE=(8－x)cm，在Rt△CEF中，根据勾股定理可得方程4²+x²=（8－x）²解得 x=3，故EC的长为3cm2 数形结合思想数形结合是数学解题中常用的一种数学方法，它也是一种数学思想.使用数形结合的方法，很多问题都能迎刃而解，且解法简捷.所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过“数”与“形”之间相互结合，相互渗透、相互转化,将反映问题的抽象数量关系与直观图形结合起来,也是将抽象思维与形象思维有机的结合起来的一种解决数学问题的重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，将数量关系和空间形式巧妙结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，发现问题中所隐含的条件。
例谈勾股定理应用中的数学思想方法
一次手，共握几次手？ 若 5 名同学呢？ n 名呢？ 在这些
基础上，你还能联想到什么？ 让学生在讨论交流中，联
想到实际生活中的循环比赛，平面上的 n 个点可确定的
线段、射线，平面上 n 条直线两两相交的交点个数，还联
想到角的数法等； 在学了三角形的内切圆后，想到如何
帮工人从一块三角形的余料中截取一个面积最大的圆
教学中要让 学 生 体 会“方 程 ”是 解 决 问 题 的 有 效 工
具，引导学生挖掘题目中的等量关系，构建方程（ 组） 解
决数学问题．
1． 3 分类讨论思想
在数学中，我 们 常 常 需 要 根 据 研 究 对 象 性 质 的 差
异，分各种不同情况予以考察． 这种分类思考的方法是
一种重要的数学思想方法，也是一种解题策略． 在分类
方图》，由四个全等的直角三角形和
一个小正方形拼成的大正方形（ 如 图1
图 1 所示） ． 如果大正方形的面积是
13，小正方形的面积是 1，直角三角形的较短直角边为 a，较长直角边为 b，那么（ a + b） 2 的值是
A． 13
B． 19
C． 25
D． 169
分析
结合图形，可得 a2
+ b2
= 13，4
易解决的问题的数学思想． 化归与转化思想是解决数学
问题的根本思想，解数学题的过程其实就是逐渐转化的
过程． 数学中的转化俯拾皆是，如： 未知向已知转化，命
题之间的转化，数与形的相互转化，多元向一元转化，高
次向低次转化，部分向整体转化，不规则向规则转化，生
活问题向数学问题转化等等，都是转化思想的体现．
·教学论坛·
设 CD 为 x，则有 BD2 = a2 － x2 根据勾股定理，得（ b + x） 2 + a2 － x2 = c2 ． 即 a2 + b2 + 2bx = c2 ． ∵ b ＞ 0，x ＞ 0， ∴ 2bx ＞ 0，∴ a2 + b2 ＜ c2 ． （ 锐角三角形证明略） 点评 勾股定理是我们非常熟悉的几何知识，对于 直角三角形三边具有： a2 + b2 = c2 的关系，那么锐角三角 形、钝角三角形的三边又是怎样的关系呢？ 通过类比， 我们可以利用作高这条辅助线，将一般三角形转化为直 角三角形来确定三边的关系． 类比思想是初中数学教学中常用的数学思想． 类比 思想是通过形式、结构的相似、内容相近等进行对比，找 出其内在联系，利用旧知识学习新知识的方法． 教师在 教学中要善于挖掘出类比思想，注意问题设计的结构具 有可比性，以启发引导学生达到探索学习的目的． 体验 类比思想的形式对把握知识之间的联系，运用联系的观 点看问题都有极大的好处． 1． 6 建模思想 数学建模是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建 立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手 段． 用数学语言描述的事物或对象就称为数学模型． 例 7 如图 12 所示，15 只空油桶（ 每只油桶底面直 径均为 60cm） 堆在一起，要给它盖一个遮雨棚，遮雨棚 至少要多高？ （ 答案可保留根号）
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勾股定理中的数学思想方法
山东李敏
数学思想是数学知识的精髓，又是把知识转化为能力的桥梁，如果能正确把握数学思想方法, 在解题时可思路开阔，方法简便、快捷，下面就勾股定理屮的数学思想方法归纳如下，供同学们在复习时参考，
一、方程思想
例1、（课本题）在我国古代数学著作《九章算术》中记载看〈池葭出水〉的一道趣题：有一个正方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦苇，露出水面1尺，将芦苇拉至池边，它的末端正好与水面一样平，水有多深？芦苇有多长？求解此题（“丈”和“尺”都是旧制长度单位，现已停止使用，1丈二10尺，1米二3尺）
分析、由图1和题意，我们可抽象出图2,在图2屮AC为水深，BC为水面宽的一半，AD 和AB都等于芦苇的长度，AABC为直角三角形解、设水深AC=x尺，芦苇长为AB=（x+l）尺，
D 在RtAABC中，根据勾股定理得：
X2+52=（X+1）2
解得：x=12
所以水池的深度为12尺，芦苇长为13尺点评、
方程虽然是代数中的内容，但是很多儿何图形的计
算问题，都可以转化为方程问题来解决，本题虽然
只有一条直角三角形的边，但题意中包含看另二条
边的关系，因此我们可以从这一数量关系入手就可
以利用勾股定理列出方程，通过方程使问题得以解
决.
二、转化思想例2、如图3,有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在图柱下底面的A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A处相对的B处的食物，沿着圆柱的侧面爬行的最短距离是多少？（兀取3.）
分析、木题看上去是一个曲面上的路线最短问题，但实际上可通过圆柱的侧面展开图转化为平面上的路线最短问题，使曲转化为直，如图4是圆柱的侧面展开图，其一边长为圆柱的高, 另一边长为圆柱的底面周长，显然，蚂蚁沿AB线爬行时，其爬行的路线最短,
解、画出圆柱的侧面展开图，如图4, 根据题意，蚂蚁在A处，食物在B处，
AB为蚂蚁爬行的最短路线，IL AC=12,
1
BO- X2 n X3=9
2
在RtAABC中，根据勾股定理
AB2=AC2+BC2
=122+92
= 152
所以蚂蚁爬行的最短路线AC=15厘米点评、本
题将曲面上的问题，转化为平面上
的问题，充分体现了，转化思想在解题屮的应用.
三、整体思想
例3、(课本题)已知a 、b^ c 分别是RtAABC 的两条直角边和斜边，且a+b 二14, c=10,
贝§ S AABC = ____________
分析，一般的想法，耍求直角三角形的面积，先求出其两条直角边a 、b,则S AABC 即可求 出，但这样求a 、b 非常繁杂，甚至在现阶段不可能，如果注意到：S AABC =-^，那么只要
2
求出ab 这一整体就可以了.
解、由 a+b=14,两边平方得：a 2+2ab+b 2=196,
根据勾股定理，a 2+b 2=c 2
因此、S AABC 二—ab =48 2
点评、整体思想，有时可以便问题直奔主体，少走弯路，使问题的解决方便、快捷，在一定 程度上，体现了解题者的目标意识.
四、数形结合思想
例4、用四个全等的直角三角形可以拼成如图5所示的正方形，这个 图形
我们称之为“弦图”，利用这个“弦图”，你能验证:a 2+b 2=c 2 吗？把你的
验证过程写下来，并与同伴进行交流.
分析、显然，图5以c 为边长的正方形的面积有两种不同的表示方法
解、由图可知;S 正方形=4X —ab+ (b-a) 2=a 2+b 2
2 2 S 正方形二c 所以、a 2+b 2=c 2
点评、数形结合思想是数学中的重要思想方法，它可以使抽象的知识 转化
为形彖的图形，从而处理起来，更直观、容易，应引起同学们的重视. 所以ab= 196-（/+沪） 2
所以,"豊
=196-10； =48。