哈密顿原理推导运动方程
27变分与哈密顿原理
三、各原理在反映力学规律上的等价性： 1、由拉氏方程导出哈密顿原理： 将拉格朗日方程中各项乘以δqα ，对α 求和：
d L 1 dt q
s
L q 0 q
p2 t t 2
然后沿着 s 维空间一条可能的运动轨道 自两曲线共同端点P1至P2对 t 积分：
3、等时变分的运算法则：
d d ①、 dt ( q) ( dt q)
②、dt q(t )dt
t1
t2
其余的与微分运算类似，如： BA AB A B 2 B
二、哈密顿原理
S L L L L t qk qk t qk K 1 qk
2、由哈密顿原理导出正则方程 推导： H p q L L p q H 哈密顿函数： 代入： t Ldt 0
1
t2
中：
展开：t
2
t1
H H p p q q p dt 0 q q p d p q ( p q ) p q dt
例：虚功原理为变分的微分原理； 哈密顿原理为变分的积分原理；
一、函数与泛函： 1、函数： 若对于单元函数，则有： y f x 若对于多元函数，则有： y f x1 , x2 ,, xn 则 xi 称为自变量，y称为因变量； xi 构成数集。 2、泛函： y F ( g ( x)) 表示y 是x的泛函。 可将函数看成泛函的特例。 函数的极值条件是函数的微分等于零,即: ds 0 泛函的极值条件是? 泛函的变分等于零! 即: s 0 泛函有极值代表什么物理意义？
理论力学中的拉格朗日与哈密顿形式
理论力学中的拉格朗日与哈密顿形式拉格朗日与哈密顿是理论力学中重要的数学方法和形式，它们在描述物理系统的运动方程、守恒量以及对称性等方面起着至关重要的作用。
本文将就理论力学中的拉格朗日与哈密顿形式进行探讨，分别阐述其基本原理、应用领域以及特点。
一、拉格朗日形式拉格朗日形式是理论力学中最常用的一种描述物理系统的数学方法。
它由法国数学家拉格朗日在18世纪提出，建立在广义坐标与拉格朗日函数之间的关系上。
广义坐标是一组描述物体状态的变量，而拉格朗日函数则是物体的动能减势能的差值。
拉格朗日形式通过最小作用量原理来导出物体的运动方程。
在拉格朗日形式中，我们首先需要确定系统的广义坐标和拉格朗日函数。
广义坐标的选取与具体问题相关，可以是物体的位置、速度或其他有意义的变量。
拉格朗日函数则包括了物体的动能和势能，它是广义坐标和它们的导数的函数。
通过对拉格朗日函数进行变分，应用欧拉-拉格朗日方程，我们可以得到描述系统运动的微分方程。
拉格朗日形式在解决多体问题、刚体运动、非惯性系或非完整约束等问题中具有广泛的应用。
例如，在天体力学中，我们可以利用拉格朗日函数描述行星的运动，求解其轨迹方程。
此外，拉格朗日形式还能够很好地处理带有约束的问题，通过引入拉格朗日乘子可以将约束条件纳入形式体系中。
二、哈密顿形式哈密顿形式是理论力学中与拉格朗日形式等价的一种数学描述方法。
它由爱尔兰物理学家哈密顿在19世纪提出，建立在广义动量和哈密顿函数之间的关系上。
广义动量是拉格朗日函数对广义坐标的偏导数，而哈密顿函数则是广义坐标、广义动量和拉格朗日函数之间的关系。
在哈密顿形式中，我们可以通过哈密顿函数对广义坐标和广义动量的变分来得到系统的运动方程。
与拉格朗日形式相比，哈密顿形式在不同的应用情境中更为方便。
例如，在描述粒子受力系统时，哈密顿形式能够更直接地推导出系统的守恒量和对称性。
哈密顿形式在处理系统的相空间、正则变换等问题中具有独特的优势。
相空间是描述系统状态的一个无限维空间，其中每个点对应着系统的一个可能状态。
哈密顿-雅克比方程
哈密顿-雅克比方程哈密顿-雅可比方程（Hamilton-Jacobi Equation）是一个数学方程，它在经典力学中扮演着重要的角色。
该方程描述了质点在势能场中运动的性质，并且在量子力学中也有相对应的形式。
下面将介绍哈密顿-雅可比方程的定义和意义，以及一些相关的数学性质和应用。
1. 定义和意义：哈密顿-雅可比方程是一个偏微分方程，描述了在哈密顿力学中，系统的哈密顿量H和系统的作用量S之间的关系。
哈密顿量H是系统的总能量，而系统的作用量S则是描述了质点运动的性质，比如轨迹、速度和能量等。
哈密顿-雅可比方程可以写成如下形式：H + ∂S/∂t = 0其中，H是哈密顿量，S是作用量，∂S/∂t是时间的偏导数。
哈密顿-雅可比方程的重要性在于它提供了一种描述系统演化的方法。
通过解哈密顿-雅可比方程，我们可以得到系统的运动方程和轨迹，从而更好地理解和预测物体在势能场中的运动行为。
2. 数学性质：哈密顿-雅可比方程是一个非线性偏微分方程，它一般较难解析求解。
但是，有一些特殊情况下，可以找到一些哈密顿量H 和作用量S的特殊形式，从而使方程得以简化。
比如，在势能场为保守场的情况下，哈密顿-雅可比方程可以通过分离变量的方法得到具体的解析解。
此外，哈密顿-雅可比方程还有一些重要的性质。
例如，根据哈密顿原理和哈密顿-雅可比方程的关系可以证明，作用量S满足哈密顿特征函数的正则条件。
这个条件保证了解析解的唯一性和连续性。
3. 应用：哈密顿-雅可比方程在物理学中有广泛的应用。
最常见的应用是描述经典力学中的运动行为，例如刚体的转动、行星的轨道和质点在势能场中的运动等。
通过求解哈密顿-雅可比方程，我们可以得到精确的解析解，并且可以从中获得丰富的物理信息，如轨道的形状、能量的守恒等。
此外，哈密顿-雅可比方程在量子力学中也有应用。
量子力学中的哈密顿-雅可比方程可以用于描述粒子的波函数演化和能量本征值等问题。
通过求解哈密顿-雅可比方程，我们可以得到量子力学中的定态波函数和能谱，从而更好地理解微观粒子的性质。
哈密顿原理的推导
02 03
广义坐标和广义力
在非完整系统中，广义坐标不再完全独立，需要引入广义力来描述系统 受到的约束反力。哈密顿原理在形式上仍然保持不变，但需要将广义力 纳入考虑。
应用实例
非完整系统广泛存在于实际物理问题中，如滚动摩擦、滑动摩擦等。通 过应用非完整系统的哈密顿原理，可以推导出相应的运动方程，进而分 析系统的动力学行为。
应用实例
相对论性哈密顿原理在宇宙学、黑洞物理等领域具有广泛应用。例如，通过该原理可以推 导出爱因斯坦场方程，描述引力与时空几何的关系。
哈密顿原理在现代物理学中的应用前景
量子力学与量子场论
在量子力学和量子场论中，哈密顿原理提供了从经典到量子的桥梁。通过引入算符和波函数等概念，可以将哈密顿原 理应用于微观粒子的运动规律研究。
主函数$S$是拉格朗日函数$L$对时间$t$的积分，即$S=int_{t_1}^{t_2}Ldt$。
通过变分法求解$delta S=0$，可以得到质点系的真实运动方程，即拉格朗日方程 $frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot{q}}-frac{partial L}{partial q}=0$。
广义相对论与宇宙学
广义相对论是描述引力与时空关系的理论框架，而哈密顿原理为广义相对论提供了变分法的基础。在宇宙学中，利用 哈密顿原理可以研究宇宙的演化、黑洞的性质等问题。
高能物理与粒子物理
在高能物理和粒子物理领域，哈密顿原理可用于描述基本粒子的相互作用和衰变过程。结合实验数据， 可以进一步揭示物质的基本结构和相互作用机制。
在理论物理、应用数学以及工程科学等领域，哈密顿原理都扮演着重要的角色。
哈密顿原理是变分法的一个应用，通过求解最小作用量原理来确定系统的运动方程 。
经典力学的哈密顿理论课件
7.1 哈密顿函数和正则方程
（1）哈密顿函数
拉格朗日函数是 q , q 和t的函数：
L L(q , q，, t它) 的全微分为
dL
s
1
L q
dq
s 1
L q
dq
L dt t
将广义动量和拉格朗日方程：
第2页，共30页。
p
L q
设曲线AB方程为y=y(x)，质点沿曲 线运动速度为
2gy ds
(dx)2 (dy)2
1 y'2 dx
dt
dt
dt
质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间
J
xBdt
xB
1 y'2 dx
xA
xA 2gy
（7.6）
第8页，共30页。
显然J的值与函数y(x)有关，最速落径问题就是求J的极值问题，即y(x)取什么 函数时，函数J[y(x)]取极小值。J[y(x)]称为函数y(x)的泛函数。J[y(x)]取极值
（3）哈密顿原理
一个具有s自由度的体系，它的运动由s个广义坐标 q (t ) 来描述。 在体系的s维位形空间中，这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点， 随着时间的变动，位形点在位形）空，间描绘出体系的运动轨道。设在时刻
t1 和 t 2 体系位于位形空间的 P1 点和 P2 点，相应的广义坐标为
q (t1 ) 和 q (t 2 )（或缩写为 q(t1 ) 和 q(t2 ) 由 P1 点通向和 P2 点有多种可能的轨道（路径），但体系运动的真实 轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的 真实轨道？即在 t1 ~ t2 时间内，为何确定体系的s个广义坐标 q(t )？
7第5章哈密顿原理
根据哈密顿原理，
整理后，
又，
代入前式中，得到
在瞬时t0，t1，有r== 0，于是上式中的后四项为零，由于t0，t1是任意的，所以被积函数应为零，且和是彼此独立的，于是我们得到
哈密顿原理可用来推导各种形式的弹性结构（杆及杆系、板、壳）的运动微分方程及求动力响应的近似解。
例5-6试建立二端固定而绷紧的均质弦的微幅振动动力学方程。
(1)
固定时间t，式(1)表示以a为变量（0al）的曲线参数方程，如图18-5中的曲线c，根据不可伸长的约束条件，得到
由此推出
(1)
用 分别表示横向位移及其对a和对t的偏导数，并且限于讨论偏离铅垂位置的微振动。若将横向运动量 看作一阶小量，则由公式(1)看出， 是二阶小量，在略去四阶小量 后，式(1)简化为
(2)
系统动能精确到二阶小量为
(3)
式中，是悬链线密度。若以O为零势能位置重力势能为
(4)
式中，xC是链子的质心坐标；xN是集中质量的坐标。根据质心公式，有
而
若以悬链静平衡为零势能状态，则系统的重力势能为
(5)
令
其中，是集中质量与链的质量比，则系统的拉格朗日函数由式(3)和(5)得
哈密顿作用量为
(6)
t
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
0.00
0.29313
0.56900
0.81038
1.00
0.00
0.29401
0.56975
0.81006
1.00
0.00
-0.299
-0.132
+0.0395
0.00
习
5-1如题5-1图所示，半径为r的均质圆球自半径为R的固定球顶端无初速、无滑动地滚下，试求动球的正则方程及球心下降的加速度。
拉格朗日方程的三种推导方法
拉格朗日方程的三种推导方法拉格朗日方程是分析力学中极为重要的定理之一，它描述了质点或系统在给定约束条件下的运动方程。
拉格朗日方程的推导方法有三种，分别是拉格朗日第一类方法、拉格朗日第二类方法和哈密顿原理。
下面将对这三种方法进行详尽的介绍。
首先，我们来介绍拉格朗日第一类方法。
这种方法是通过将约束条件转化为广义坐标之间的代数方程，然后使用这些方程消去广义坐标的导数，得到含有广义坐标和广义速度的方程，然后再代入拉格朗日函数，就可以得到拉格朗日方程。
设系统中有n个质点，它们的质量分别为m1、m2、..、mn，它们的位置矢量为r1、r2、..、rn。
约束条件可以表示为f(r1, r2, ..., rn)= 0。
广义坐标q1、q2、..、qs可以用位置矢量表示为q1 = q1(r1,r2, ..., rn)，q2 = q2(r1, r2, ..., rn)，...，qs = qs(r1, r2, ..., rn)。
广义速度可以定义为q1' = dq1/dt，q2' = dq2/dt，...，qs' =dqs/dt。
根据拉格朗日第一类方法，可以将约束条件转化为广义坐标之间的代数方程，即f(q1(q1, q2, ..., qs), q2(q1, q2, ..., qs), ...,qs(q1, q2, ..., qs)) = 0（1）。
然后对式(1)两边求导，以消去广义速度，得到：∂f/∂q1 * q1' + ∂f/∂q2 * q2' + ... + ∂f/∂qs * qs' = 0（2）接下来，根据拉格朗日函数定义为L = T - U，其中T是系统的动能，U是系统的势能。
动能和势能可以分别表示为T = T(q1, q2, ..., qs,q1', q2', ..., qs')，U = U(q1, q2, ..., qs)。
根据广义坐标和广义速度的定义可以得出q1, q2, ..., qs和q1', q2', ..., qs'是相互独立的。
理论力学(第三版)第5章第7节哈密顿原理
第五章 分析力学
拉格朗日
哈密顿
§5.7 哈密顿原理
本节导读
• 泛函 变分的概念 • 欧拉方程 泛函导数 • 哈密顿原理
1 变分法初步
(1) 泛函 质点沿着光滑轨道y＝y(x)从A自由下滑 到B所需时间
t1
s 1
q
H p
δp
p
H q
δq
dt
0
因端点是固定的, 所以
δq tt1 δq tt2 0
( 1,2,, s)
t2
t1
s 1
q
H p
δp
p
H q
δq
dt
0
因p, q在积分范 围内是任意的, 而且 相互独立, 故得
q
H p
p
H
q
变分运算法则
小结
注意:
δ
dq dt
t2 s
δ
p q H dt 0
t1 1
因为H是p, q, t 的函数, 并且t = 0 , 所以
t2
t1
s 1
p δq
δp q
H p
δp
H q
δq
dt
0
又
s
p δq
1
s 1
p
d dt
δq
d dt
s 1
p δq
s 1
p δq
s
1
p δq
t2 t1
t2
以s个广义坐标为直角坐标的空间叫作位形空间. 力学系统在任一时刻的位形可用位形空间中的一点 来表明.随着时间的运转,力学系统的位形发生改变, 位形空间中的代表点就描出相应曲线. 在一切可能 的曲线中,使作用量取极值的那一条曲线就代表真实 的运动.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
哈密顿原理推导运动方程
引言：
物理学中，哈密顿原理是描述系统运动的一种方法。
它通过将系统的运动路径与作用在系统上的力学量相联系，从而推导出系统的运动方程。
本文将以哈密顿原理为基础，推导出运动方程，并对其进行详细的阐述和解释。
一、哈密顿原理的基本概念
哈密顿原理是基于变分原理的一种方法，它是由数学家威廉·哈密顿提出的。
它描述了一个力学系统的运动路径应当使作用在系统上的作用量取极值。
作用量是一个函数，描述了系统在其运动过程中所受到的作用力。
根据哈密顿原理，系统的运动路径可以通过使作用量取极值来确定。
二、哈密顿原理的数学表达
在哈密顿原理中，作用量可以表示为一个积分形式：
S = ∫L(q, q', t) dt
其中，S表示作用量，L表示拉格朗日量，q表示广义坐标，q'表示广义速度，t表示时间。
三、推导过程
为了推导运动方程，我们需要使用变分法。
变分法是一种数学方法，可以求解函数的极值问题。
我们假设系统的运动路径为q(t)，然后
对作用量进行变分，使其取得极值。
我们将作用量进行变分：
δS = ∫(∂L/∂q δq + ∂L/∂q' δq') dt
根据变分法的定义，我们可以将上式中的δq和δq'看作是独立的变量，因此可以分别对其进行求导：
∂S/∂q = ∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q')
∂S/∂q' = ∂L/∂q'
根据哈密顿原理，作用量的变分应当为零，即δS = 0。
因此，我们可以得到以下两个方程：
∂S/∂q = 0
∂S/∂q' = 0
根据以上两个方程，我们可以得到两个重要的运动方程：
∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q') = 0
∂L/∂q' = 0
第一个方程又被称为欧拉-拉格朗日方程，它描述了系统的运动轨迹。
第二个方程则是哈密顿原理的直接结果，它描述了广义动量的守恒。
四、运动方程的物理解释
欧拉-拉格朗日方程描述了系统在运动过程中的力学行为。
它表明系统的运动轨迹是使作用量取极值的路径。
当系统沿着这条路径运动时，作用量将取得最小值或最大值。
广义动量的守恒可以通过第二个方程得出。
它表示系统在运动过程中，广义动量将保持不变。
这个结果对于描述守恒定律非常重要，因为它说明了系统在运动过程中某些物理量的守恒性质。
总结：
本文以哈密顿原理为基础，推导出了运动方程。
哈密顿原理通过使系统的作用量取极值，描述了系统的运动轨迹。
欧拉-拉格朗日方程和广义动量守恒是由哈密顿原理推导出的重要结果，它们描述了系统在运动过程中的力学行为和一些物理量的守恒性质。
通过对哈密顿原理的理解和运用，我们可以更深入地研究和理解物理学中的各种运动现象。