20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.17 函数真题再现(解析版)
2020版高考数学一轮复习教案 高考大题增分课1_函数与导数中的高考热点问题(含答案解析)
（一）函数与导数中的高考热点问题[命题解读] 1.函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，函数与导数是历年高考的重点与热点．2．常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等．3．涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．【例1】(2018·天津高考节选)设函数f(x)＝(x－t1)(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d＝3，求f(x)的极值．[解](1)由已知，可得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x3－x，故f′(x)＝3x2－1.因此f(0)＝0，f′(0)＝－1，又因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，故所求切线方程为x＋y＝0.(2)由已知可得f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝(x－t2)3－9(x－t2)＝x3－3t2x2＋(3t22－9)x－t32＋9t2.故f′(x)＝3x2－6t2x＋3t22－9.令f′(x)＝0，解得x＝t2－3，或x＝t2＋ 3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f (x )的极大值为f (t 2－3)＝(－3)3－9×(－3)＝63；函数f (x )的极小值为f (t 2＋3)＝(3)3－9×3＝－6 3.(1)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间； (2)求g (x )＝f (x )－2x 在区间[1，e]的最小值h (a )． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ax ＋2x －a ＝2x 2－ax ＋a x ，因为x ＝3是f (x )的极值点，所以f ′(3)＝18－3a ＋a3＝0，解得a ＝9.所以f ′(x )＝2x 2－9x ＋9x ＝(2x －3)(x －3)x ，所以当0＜x ＜32或x ＞3时，f ′(x )＞0； 当32＜x ＜3时，f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32和(3，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3. (2)由题知，g (x )＝f (x )－2x ＝a ln x ＋x 2－ax －2x .g ′(x )＝2x 2－ax ＋a x －2＝(2x －a )(x －1)x.①当a2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上为增函数， h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1＜a 2＜e ，即2＜a ＜2e 时，g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，a 2上为减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a 2，e 上为增函数，h (a )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ； ③当a2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上为减函数， h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1， a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2＜a ＜2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图象交点的个数；(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围．【例2】 (本小题满分12分)(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝13x 3－a (x 2＋x ＋1)． (1)若a ＝3，求f (x )的单调区间； (2)证明：f (x )只有一个零点．[信息提取] 看到(1)求单调区间，想到导数与单调性的关系； 看到(2)f (x )只有一个零点，想到f (x )的单调性及函数有零点的条件． [规范解答] (1)当a ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2－3x －3，f ′(x )＝x 2－6x －3. 令f ′(x )＝0解得x ＝3－23或x ＝3＋2 3.2分当x∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(3－23，3＋23)时，f′(x)<0. 4分故f(x)在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)上单调递增，在(3－23，3＋23)上单调递减.5分(2)证明：由于x2＋x＋1>0，所以f(x)＝0等价于x3x2＋x＋1－3a＝0. 7分设g(x)＝x3x2＋x＋1－3a，则g′(x)＝x2(x2＋2x＋3)(x2＋x＋1)2≥0，仅当x＝0时g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点. 9分又f(3a－1)＝－6a2＋2a－13＝－6a－162－16<0，f(3a＋1)＝13>0，故f(x)有一个零点.11分综上，f(x)只有一个零点. 12分[易错与防范]易错误区：(1)把单调增区间用“∪”连接．(2)作第(2)问时，直接求f′(x)，导致无法求解．(3)无法找到区间(m，n)，使得f(m)f(n)＜0.防范措施：(1)单调区间不能用“∪”连接．(2)求函数零点时，常利用f(x)＝0，转化函数的表现形式．(3)在寻找m，n使得f(m)f(n)＜0时，可通过多次尝试获得．[通性通法]利用导数研究函数零点的两种常用方法(1)用导数研究函数的单调性，借助零点存在性定理判断；或用导数研究函数的单调性和极值，再用单调性和极值定位函数图象求解零点问题．(2)将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．(2019·武汉模拟)已知f(x)＝ln x－x3＋2e x2－ax，a∈R，其中e为自然对数的底数．(1)若f(x)在x＝e处的切线的斜率为e2，求a；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．[解](1)f′(x)＝1x－3x2＋4e x－a，f′(e)＝1e＋e2－a＝e2，∴a＝1e.(2)由ln x－x3＋2e x2－ax＝0，得ln xx－x2＋2e x＝a.记F(x)＝ln xx－x2＋2e x，则F′(x)＝1－ln xx2－2(x－e)．当x∈(e，＋∞)时，F′(x)＜0，F(x)单调递减．当x∈(0，e)时，F′(x)＞0，F(x)单调递增，∴F(x)ma x＝F(e)＝1e＋e2，而x→0时，F(x)→－∞，x→＋∞时，F(x)→－∞.故a＜1e＋e2.导数在不等式中的应用是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题，突出转化思想、函数思想的考查．常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)由不等式恒成立求参数范围问题；(3)不等式恒成立、能成立问题．【例3】设函数f(x)＝a ln x＋1－a2x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x0≥1，使得f(x0)<aa－1，求a的取值范围．[解](1)f′(x)＝ax＋(1－a)x－b.由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 1－a (x －1)． ①若a ≤12，则a1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1的充要条件为f (1)<aa －1，即1－a 2－1<aa －1，解得－2－1<a <2－1.②若12<a <1，则a 1－a >1，故当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞上单调递增． 所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a <aa －1. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22(1－a )＋a a －1>aa －1，所以不合题意． ③若a >1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1.综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当a ＜1时，证明：对任意的x ∈(0，＋∞)，有f (x )＜－ln xx －(1＋a )x 2－a ＋1. [解] (1)由题知f ′(x )＝－2(1＋a )x 2－x ＋1x(x ＞0)，当a ≠－1时，由f ′(x )＝0得2(1＋a )x 2＋x －1＝0且Δ＝9＋8a ， x 1＝－1－9＋8a 4(1＋a )，x 2＝－1＋9＋8a 4(1＋a )，①当a ＝－1时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； ②当a ＞－1时，f (x )在(0，x 2)上单调递增，在(x 2，＋∞)上单调递减； ③当a ≤－98时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；④当－98＜a ＜－1时，f (x )在(0，x 2)和(x 1，＋∞)上单调递增，在(x 2，x 1)上单调递减． (2)当a ＜1时，要证f (x )＜－ln xx－(1＋a )x 2－a ＋1在(0，＋∞)上恒成立，只需证ln x －x ＜－ln xx －a ＋1在(0，＋∞)上恒成立，令F (x )＝ln x －x ，g (x )＝－ln xx －a ＋1，由F ′(x )＝1x －1，易得F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故F (x )≤F (1)＝－1，由g (x )＝－ln xx －a ＋1得g ′(x )＝－1－ln x x 2＝ln x －1x 2(x ＞0)． 当0＜x ＜e 时，g ′(x )＜0；当x ＞e 时，g ′(x )＞0. 所以g (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增． 所以g (x )≥g (e)＝－1e ＋1－a .又a ＜1，所以－1e ＋1－a ＞－1e ＞－1，即F (x )ma x ＜g (x )min ， 所以ln x －x ＜－ln xx－a ＋1在(0，＋∞)上恒成立， 故当a ＜1时，对任意的x ∈(0，＋∞)，f (x )＜－ln xx －(1＋a )x 2－a ＋1恒成立．[大题增分专训]1．(2019·武汉模拟)(1)求函数f (x )＝ln xx 的最大值；(2)若函数g (x )＝e x －ax 有两个零点，求实数a 的取值范围． [解] (1)对f (x )＝ln xx 求导得，f ′(x )＝1－ln x x 2.易知当0＜x ＜e 时，f (x )为增函数，当x ＞e 时，f (x )为减函数， ∴f (x )≤f (e)＝1e ，从而f (x )的最大值为1e .(2)①当a ＝0时，g (x )＝e x 在R 上为增函数，且g (x )＞0，故g (x )无零点． ②当a ＜0时，g (x )＝e x －ax 在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0， g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝e 1a －1＜0，故g (x )在R 上只有一个零点． ③当a ＞0时，由g ′(x )＝e x －a ＝0可知g (x )在x ＝ln a 处取得唯一极小值，g (ln a )＝a (1－ln a )．若0＜a ＜e ，则g (x )极小值＝a (1－ln a )＞0，g (x )无零点， 若a ＝e ，则g (x )极小值＝0，g (x )只有一个零点， 若a ＞e ，则g (x )极小值＝a (1－ln a )＜0，而g (0)＝1＞0，由(1)可知，f(x)＝ln xx在x＞e时为减函数，∴当a＞e时，e a＞a e＞a2，从而g(a)＝e a－a2＞0，∴g(x)在(0，ln a)与(ln a，＋∞)上各有一个零点．综上知，a＞e时，f(x)有两个零点．故实数a的取值范围为(e，＋∞)．2．(2019·济南模拟)设函数f(x)＝x－2x－a⎝⎛⎭⎪⎫ln x－1x2，a＝R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＞0时，记f(x)的最小值为g(a)，证明：g(a)＜1. [解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋2x2－a⎝⎛⎭⎪⎫1x＋2x3＝x2＋2x2－x2＋2x3a＝(x2＋2)(x－a)x3，若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a＞0，当x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，f(x)min＝f(a)＝a－2a－a⎝⎛⎭⎪⎫ln a－1a2＝a－a ln a－1a.即g(a)＝a－a ln a－1 a.要证g(a)＜1，即证a－a ln a－1a＜1，即证1－ln a－1a2＜1a，令h(a)＝ln a＋1a＋1a2－1，则只需证h(a)＝ln a＋1a＋1a2－1＞0，h′(a)＝1a－1a2－2a3＝a2－a－2a3＝(a－2)(a＋1)a3，当a∈(0,2)时，h′(a)＜0，h(a)单调递减；当a∈(2，＋∞)时，h′(a)＞0，h(a)单调递增．∴h(a)min＝h(2)＝ln 2＋12＋14－1＝ln 2－14＞0，∴h(a)＞0，即g(a)＜1.3．(2019·石家庄模拟)已知函数f(x)＝(x＋b)(e x－a)(b＞0)的图象在(－1，f(－1))处的切线方程为(e－1)x＋e y＋e－1＝0.(1)求a，b；(2)若m≤0，证明：f(x)≥mx2＋x.[解](1)由题意知f(－1)＝0，f′(－1)＝－1＋1e，所以f(－1)＝(－1＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1e－a＝0，又f′(x)＝(x＋b＋1)e x－a，所以f′(－1)＝be－a＝－1＋1e，若a＝1e，则b＝2－e＜0，与b＞0矛盾，故a＝1，b＝1.(2)由(1)可知f(x)＝(x＋1)(e x－1)，f(0)＝0，f(－1)＝0，由m≤0，可得x≥mx2＋x，令g(x)＝(x＋1)(e x－1)－x，则g′(x)＝(x＋2)e x－2，令t(x)＝g′(x)，则t′(x)＝(x＋3)e x，当x＜－3时，t′(x)＜0，g′(x)单调递减，且g′(x)＜0；当x＞－3时，t′(x)＞0，g′(x)单调递增，且g′(0)＝0.所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且g(0)＝0.故g(x)≥g(0)＝0，所以(x＋1)(e x－1)≥x≥mx2＋x.故f(x)≥mx2＋x.。
20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.10 函数的综合运用(解析版)
第十讲 函数的综合运用考向一 新概念题【例1】对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0【解析】 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0的图象如图所示．设y ＝m 与y ＝f (x )图象交点的横坐标从小到大分别为x 1，x 2，x 3.由y ＝－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，得顶点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14.当y ＝14时，代入y ＝2x 2－x ，得14＝2x 2－x ，解得x ＝1－34(舍去正值)，∴x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34，0.又∵y ＝－x 2＋x 图象的对称轴为x ＝12，∴x 2＋x 3＝1，又x 2，x 3>0，∴0<x 2x 3<⎝⎛⎭⎫x 2＋x 322＝14.又∵0<－x 1<3－14，∴0<－x 1x 2x 3<3－116，∴1－316<x 1x 2x 3<0. 【举一反三】1.设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为( ) A .]2,49(--B ．[－1,0]C ．(－∞，－2]D .),49(+∞-【答案】A【解析】令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－3x ＋4－(2x ＋m )＝x 2－5x ＋4－m ，则由题意知F (x )＝0在[0,3]上有两个不同的实数根，因而2(0)0(3)054(4)0F F m ⎧≥⎪⎪≥⎨⎪∆=-->⎪⎩，即402049m m m -≥⎧⎪--≥⎨⎪>-⎩，解之得－94<m ≤－2，故选A考向二 函数性质与零点定理综合运用【例2】已知偶函数f (x )满足f (x )=f (π−x )，当x ∈[−π2,0]时，f (x )=2x −cosx ，则函数f (x )在区间[−π,π]内的零点个数为 。
2020版高考一轮数学：2.7-函数的图象ppt课件(含答案)
[规律方法] 函数图象的三种画法 1直接法：当函数解析式或变形后的解析式是熟悉的基本函数 时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. 2转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化 为分段函数来画图象. 3图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、 伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出.
C．y＝ln(1＋x)
D．y＝ln(2＋x)
(1)C (2)B [(1)由 f(x)是奇函数知 f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)， 则 f(x＋2)＝－f(x)．从而 f(x＋4)＝f(x)，所以函数 f(x)是以 4 为周期的 周期函数．因为 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以 f(0)＝0.因为 f(1 －x)＝f(1＋x)，所以当 x＝1 时，f(2)＝f(0)＝0；当 x＝2 时，f(3)＝f(－ 1)＝－f(1)＝－2；当 x＝3 时，f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.综上，可得 f(1) ＋ f(2) ＋ f(3) ＋ … ＋ f(50) ＝ 12×[f(1) ＋ f(2) ＋ f(3) ＋ f(4)] ＋ f(1) ＋ f(2) ＝ 12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故选 C.
A
B
C
D
(1)B (2)D [(1)因为 f(－x)＝e－－x－xe2x＝－ex－x2e－x＝－f(x)(x≠0)， 所以 f(x)是定义域上的奇函数，所以函数 f(x)的图象关于原点(0,0)中 心对称，排除选项 A；因为 f(1)＝e－1e>2，所以排除选项 C，D，选 B.
(2)如图所示，点 P 的轨迹是分别以 A，B，C，D 为圆心，半径 为12的 4 个14圆，以及线段 EF，GH，RQ，SJ 部分．
其中函数 f(x)与 y＝log2(x＋1)的图象的交点 为 D(1,1)，由图象可知 f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x| －1＜x≤1}，故选 C.
2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第二章+第四节+函数的图象和答案
第四节函数的图象1．描点法作函数图象通过列表、描点、连线三个步骤，画出函数图象．用描点法在选点时往往选取特殊点，有时也可利用函数的性质(如单调性、奇偶性、周期性)画出图象．“左加右减，上加下减”．左加右减只针对x本身，与x的系数无关；上加下减指的是在f(x) 整体上加减.2．函数图象的变换(1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象； y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――→关于直线y ＝x 对称 y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象．(3)翻折变换y ＝f (x )的图象――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象； y ＝f (x )的图象――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象． 图象变换的注意点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则，写出每一次变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．[熟记常用结论]1．对于函数y ＝f (x )定义域内任意一个x 的值，若f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称． 2．对于函数y ＝f (x )定义域内任意一个x 的值，若f (a ＋x )＝－f (b －x )，则函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0中心对称．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．( )(2)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．( )(3)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝f (|x |)的图象与y ＝|f (x )|的图象相同．( )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√二、选填题1．下列图象是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＜0，x －1，x ≥0的图象的是( )答案：C2．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的个数为( )A．1B．2C．3 D．4解析：选A将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝()A．e x＋1B．e x－1C．e－x＋1D．e－x－1解析：选D与曲线y＝e x关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e－x，将函数y＝e－x 的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1，故选D.4．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log2f(x)的定义域是________．解析：当f (x )>0时，函数g (x )＝log2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )>0时，x∈(2,8]．答案：(2,8]5．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意得a ＝|x |＋x ，令y ＝|x |＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，0，x ＜0，其图象如图所示，故要使a ＝|x |＋x 只有一个解，则a >0.答案：(0，＋∞)考点一 函数图象的识别[全析考法过关][考法全析]考法(一) 知式选图[例1] (2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －x x 2的图象大致为( ) [解析] ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －1e >0，排除D 选项．又e>2，∴1e ＜12，∴e －1e >1，排除C 选项．故选B.[答案] B[例2] (2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为() [解析] 令f (x )＝－x 4＋x 2＋2，则f ′(x )＝－4x 3＋2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝±22， 则f ′(x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫0，22， f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－22，⎝⎛⎭⎫0，22上单调递增；f ′(x )＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－22，0∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞，f (x )在⎝⎛⎭⎫－22，0，⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递减，结合图象知选D. [答案] D考法(二) 借助动点探究函数图象[例3] 广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O ，O 1，O 2，若一动点P 从点A 出发，按路线A →O →B →C →A →D →B 运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线)，设P 的运动路程为x ，y ＝|O 1P |2，y 与x 的函数关系式为y ＝f (x )，则y ＝f (x )的大致图象为( )[解析] 根据题图中信息，可将x 分为4个区间，即[0，π)，[π，2π)，[2π，4π)，[4π，6π]，当x ∈[0，π)时，函数值不变，y ＝f (x )＝1；当x ∈[π，2π)时，设O 2P ―→与O 2O 1―→的夹角为θ，∵|O 2P ―→|＝1，|O 2O 1―→ |＝2，θ＝x －π，∴y ＝(O 2P ―→－O 2O 1―→)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x ，∴y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递增；当x ∈[2π，4π)时，O 1P ―→＝OP ―→－OO 1―→，设OP ―→与OO 1―→的夹角为α，|OP―→|＝2，|OO 1―→|＝1，α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π2＝2π－12x ，∴y ＝|O 1P |2＝(OP ―→－OO 1―→)2＝5－4cos α＝5－4cos x 2，函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递减．结合选项知选A.[答案] A考法(三) 图象变换问题[例4] 已知函数y ＝f (1－x )的图象如图，则y ＝|f (x ＋2)|的图象是( )[解析] (1)把函数y ＝f (1－x )的图象向左平移1个单位得y ＝f (－x )的图象；(2)作出f (－x )关于y 轴对称的函数图象得y ＝f (x )的图象；(3)将f (x )向左平移2个单位得y ＝f (x ＋2)的图象；(4)将y ＝f (x ＋2)的图象在x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折到x 轴上方得到|f (x ＋2)|的图象．[答案] A[规律探求] 看个性考法(一)是知式选图，解决此类问题常有以下策略：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性(有时可借助导数)，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点、极值点等)，排除不合要求的图象．1．函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是()解析：选B易判断函数为奇函数，由y＝0得x＝±1或x＝0.当0＜x＜1时，y＜0；当x ＞1时，y＞0.故选B.2.如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()解析：选B 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A 、C.当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝1＋5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2 2.∵22＜1＋5，∴f ⎝⎛⎭⎫π2＜f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4，从而排除D ，故选B.3．已知函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)，则函数y ＝f (|x |＋1)的图象大致为( )解析：选A 先作出函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)的图象，当x >0时，y ＝f (|x |＋1)＝f (x ＋1)，其图象由函数f (x )的图象向左平移1个单位得到，又函数y ＝f (|x |＋1)为偶函数，所以再将函数y ＝f (x ＋1)(x >0)的图象关于y 轴对称翻折到y 轴左边，得到x ＜0时的图象，故选A.考点二 函数图象的应用[全析考法过关][考法全析]考法(一) 研究函数的性质[例1] 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)[解析] 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0， 画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．[答案] C考法(二) 研究不等式的求解问题[例2] (1)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x＜0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)(2)若不等式(x －1)2＜log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2]B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)[解析] (1)因为f (x )为奇函数，所以不等式f (x )－f (－x )x＜0可化为f (x )x ＜0，即xf (x )＜0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．(2)要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0＜a ＜1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1＜a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．故选A.[答案] (1)D (2)A考法(三) 研究方程根的问题[例3] (2019·沈阳质量监测)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x －1，则关于x 的方程f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( )A．1B．2C．3D．4[解析]因为对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)，函数f(x)是周期为4的函数，则函数y＝f(x)的图象与y＝log8(x＋2)的图象交点的个数即方程f(x)－log8(x＋2)＝0根的个数．作出y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，易知两个函数在区间(－2,6)上的图象有3个交点，所以方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根，故选C.[答案] C[规律探求]交点的横坐标找共性求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结合思想解题，其思维流程一般是：1．(2019·昆明检测)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析：选C 如图，画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点．由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|＜g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x ＜0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0＜|x 1|＜|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)＜0B ．f (x 1)＋f (x 2)＞0C ．f (x 1)－f (x 2)＞0D ．f (x 1)－f (x 2)＜0解析：选D 函数f (x )的图象如图所示．f (－x )＝f (x )，则函数f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数．又0＜|x 1|＜|x 2|，则f (x 2)＞f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)＜0.3．已知直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x ＜0，作出其图象，如图所示．此曲线与y 轴交于点(0，a )，最小值为a －14，要使直线y ＝1与其有四个交点，只需a －14＜1＜a ， 所以1＜a ＜54. 答案：⎝⎛⎭⎫1，54。
数学(理科提高版)大一轮复习自主学习第17课 利用导数研究函数的单调性 Word版含解析
第课 利用导数研究函数的单调性
【自主学习】
第课利用导数研究函数的单调性
(本课时对应学生用书第页
)
自主学习回归教材
. (选修例改编)函数()的单调减区间为.
【答案】(，)
【解析】'()()()，由()()<，得单调减区间为(，).亦可填写闭区间或半开半闭区间.
. (选修练习()改编)函数 的单调减区间为. 【答案】10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
【解析】' ，令'<，即 <，解得<<1e ，故所求的单调减区间为10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.
. (选修练习改编)若函数()在上是增函数，则实数的取值范围是.
【答案】[，∞)
【解析】'()，
因为()在(∞，∞)上是增函数，
所以'()≥恒成立，所以≥.
. (选修练习改编)若函数()在区间(，∞)上单调递增，则实数的取值范围是.
【答案】(∞，]
【解析】由'()>，得<.若函数在(，∞)上单调递增，则<在区间(，∞)上恒成立，所以≤.
. (选修例改编)方程1
3在区间(，)上恰好有个根.
【答案】
【解析】设()1
3，则'()()，当∈(，)时，'()<，()在(，)上为减函数，又()()×
8
-121
3
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
<，所以()在区间(，)上恰好有个根.
.用导数研究函数的单调性。
20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.4 函数的周期性、对称性(原卷版)
第四讲函数的周期性与对称性【套路秘籍】---千里之行始于足下一．对称性（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。
2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。
⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。
⒁绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。
高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.10 函数的综合运用(解析版)
第十讲 函数的综合运用考向一 新概念题【例1】对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b . 设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0【解析】 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0的图象如图所示．设y ＝m 与y ＝f (x )图象交点的横坐标从小到大分别为x 1，x 2，x 3.由y ＝－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，得顶点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14.当y ＝14时，代入y ＝2x 2－x ，得14＝2x 2－x ，解得x ＝1－34(舍去正值)，∴x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34，0.又∵y ＝－x 2＋x 图象的对称轴为x ＝12，∴x 2＋x 3＝1，又x 2，x 3>0，∴0<x 2x 3<⎝⎛⎭⎫x 2＋x 322＝14.又∵0<－x 1<3－14，∴0<－x 1x 2x 3<3－116，∴1－316<x 1x 2x 3<0. 【举一反三】1.设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为( )A .]2,49(--B ．[－1,0]C ．(－∞，－2]D .),49(+∞- 【答案】A【解析】令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－3x ＋4－(2x ＋m )＝x 2－5x ＋4－m ，则由题意知F (x )＝0在[0,3]上有两个不同的实数根，因而2(0)0(3)054(4)0F F m ⎧≥⎪⎪≥⎨⎪∆=-->⎪⎩，即402049m m m -≥⎧⎪--≥⎨⎪>-⎩，解之得－94<m ≤－2，故选A考向二 函数性质与零点定理综合运用【例2】已知偶函数f (x )满足f (x )=f (π−x )，当x ∈[−π2,0]时，f (x )=2x −cosx ，则函数f (x )在区间[−π,π]内的零点个数为 。
20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.16 定积分与微积分(原卷版)
第十六讲 定积分与微积分一．定积分的概念 （1）定积分的概念一般地，如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=，作和式11()()nni i i i b af x f nξξ==-∆=∑∑（其中x ∆为小区间长度），当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作()d baf x x ⎰，即1()d lim ()nbi an i b af x x f nξ→∞=-=∑⎰. 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()d f x x 叫做被积式.（2）定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[,]a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()d baf x x ⎰表示由直线,()x a x b a b ==≠，0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.这就是定积分()d baf x x⎰的几何意义. （3）定积分的性质由定积分的定义,可以得到定积分的如下性质：；()d bak f x x ⎰②1212[()()]d ()d ()d b bbaaaf x f x x f x x f x x ±=±⎰⎰⎰；③()d ()d ()d bcb aacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰（其中a c b <<）.二．微积分基本定理【套路秘籍】---千里之行始于足下一般地，如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()d ()()baf x x F b F a =-⎰.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式. 为了方便，我们常常把()()F b F a -记成()|ba F x ，即()d ()|()()bb a af x x F x F b F a ==-⎰.考向一 利用定积分的几何意义求曲线的面积 【例1】（1）定积分∫√1−x 210的值等于 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数真题再现1．（2018•全国）f（x）＝ln（x2﹣3x+2）的递增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（1，）C．（，+∞）D．（2，+∞）【答案】D【解析】令t＝x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）＞0，求得x＜1或x＞2，故函数的定义域为{x|x＜1或x＞2 }，f（x）＝lnt，本题即求函数t在定义域内的增区间．结合二次函数的性质可得函数t在定义域内的增区间为（2，+∞），故选：D．2．（2018•新课标Ⅲ）下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（）A．y＝ln（1﹣x）B．y＝ln（2﹣x）C．y＝ln（1+x）D．y＝ln（2+x）【答案】B【解析】首先根据函数y＝lnx的图象，则：函数y＝lnx的图象与y＝ln（﹣x）的图象关于y轴对称．由于函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称．则：把函数y＝ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y＝ln（2﹣x）．即所求得解析式为：y＝ln（2﹣x）．故选：B．3．（2018•新课标Ⅲ）函数y＝﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数过定点（0，2），排除A，B．函数的导数f′（x）＝﹣4x3+2x＝﹣2x（2x2﹣1），由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，得x＜﹣或0＜x＜，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0，得x＞或﹣＜x＜0，此时函数单调递减，排除C，也可以利用f（1）＝﹣1+1+2＝2＞0，排除A，B，故选：D．4．（2017•全国）函数y＝f（x）的图象与函数y＝ln（x﹣1）的图象关于y轴对称，则f（x）＝（）A．﹣ln（x﹣1）B．ln（﹣x+1）C．ln（﹣x﹣1）D．ln（x+1）【答案】C【解析】根据题意，函数y＝f（x）的图象与函数y＝ln（x﹣1）的图象关于y轴对称，则有f（﹣x）＝ln（x﹣1），则f（x）＝ln（﹣x﹣1）；故选：C．5．（2017•全国）函数f（x）的定义域（﹣∞，+∞），若g（x）＝f（x+1）和h（x）＝f（x﹣1）都是偶函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（2）＝f（4）D．f（3）＝f（5）【答案】C【解析】∵g（x）＝f（x+1）和h（x）＝f（x﹣1）都是偶函数，∴g（﹣x）＝﹣g（x），h（﹣x）＝h（x），得f（﹣x+1）＝f（x+1），f（﹣x﹣1）＝f（x﹣1），即f（﹣x+2）＝f（x），f（﹣x﹣2）＝f（x），则f（﹣x+2）＝f（﹣x﹣2），则f（x+2）＝f（x﹣2），则f（x+4）＝f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x＝0时，f（0）＝f（2），f（﹣2）＝f（0），f（0）＝f（4），∴f（2）＝f（4），故选：C．6．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x ﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【答案】D【解析】∵函数f（x）为奇函数．若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．7．（2017•新课标Ⅲ）函数y＝1+x+的部分图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数y＝1+x+，可知：f（x）＝x+是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y＝1+x+的图象关于（0，1）对称，当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，当x＝π时，y＝1+π，排除B．故选：D．8．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【答案】D【解析】由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t＝x2﹣2x﹣8，则y＝lnt，∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t＝x2﹣2x﹣8为减函数；x∈（4，+∞）时，t＝x2﹣2x﹣8为增函数；y＝lnt为增函数，故函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），故选：D．9．（2017•新课标Ⅲ）函数y＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数y＝，可知函数是奇函数，排除选项B，当x＝时，f（）＝＝，排除A，x＝π时，f（π）＝0，排除D．故选：C．10．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称D．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称【答案】C【解析】∵函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），∴f（2﹣x）＝ln（2﹣x）+lnx，即f（x）＝f（2﹣x），即y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，故选：C．11．（2016•全国）曲线y＝1+的对称轴的方程是（）A．y＝﹣x与y＝x+2B．y＝x与y＝﹣x﹣2C．y＝﹣x与y＝x﹣2D．y＝x与y＝﹣x+2【答案】D【解析】y＝﹣的对称轴的方程是y＝x与y＝﹣x曲线y＝1+是由y＝﹣向右平移1个单位，向上平移1个单位得到，对称轴的方程是y＝x与y＝﹣x+2，故选：D．12．（2016•新课标Ⅲ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函数y＝与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则（x i+y i）＝（）A．0B．m C．2m D．4m【答案】B【解析】函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），即为f（x）+f（﹣x）＝2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y＝，即y＝1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点，…则有（x i+y i）＝（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）＝[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（x m+y m）+（﹣x m+2﹣y m）]＝m．故选：B．13．（2016•新课标Ⅲ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（2﹣x），若函数y＝|x2﹣2x﹣3|与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则x i＝（）A．0B．m C．2m D．4m【答案】B【解析】∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（2﹣x），故函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x＝1对称，故函数y＝|x2﹣2x﹣3|与y＝f（x）图象的交点也关于直线x＝1对称，故x i＝×2＝m，故选：B．14．（2016•新课标Ⅲ）函数y＝2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵f（x）＝y＝2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）＝2（﹣x）2﹣e|﹣x|＝2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x＝±2时，y＝8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）＝y＝2x2﹣e x，∴f′（x）＝4x﹣e x＝0有解，故函数y＝2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．15．（2015•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝，且f（a）＝﹣3，则f（6﹣a）＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【答案】A【解析】由题意，a≤1时，2α﹣1﹣2＝﹣3，无解；a＞1时，﹣log2（a+1）＝﹣3，∴α＝7，∴f（6﹣a）＝f（﹣1）＝2﹣1﹣1﹣2＝﹣．故选：A．16．（2015•新课标Ⅲ）设函数f（x）＝，则f（﹣2）+f（log212）＝（）A．3B．6C．9D．12【答案】C【解析】函数f（x）＝，即有f（﹣2）＝1+log2（2+2）＝1+2＝3，f（log212）＝＝×＝12×＝6，则有f（﹣2）+f（log212）＝3+6＝9．故选：C．17．（2015•新课标Ⅲ）设函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）＝1，则a＝（）A．﹣1B．1C．2D．4【答案】C【解析】∵与y＝2x+a的图象关于y＝x对称的图象是y＝2x+a的反函数，y＝log2x﹣a（x＞0），即g（x）＝log2x﹣a，（x＞0）．∵函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，∴f（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣log2（﹣x）+a，x＜0，∵f（﹣2）+f（﹣4）＝1，∴﹣log22+a﹣log24+a＝1，解得，a＝2，故选：C．18．（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝B．y＝x+C．y＝2x+D．y＝x+e x【答案】D【解析】对于A，y＝是偶函数，所以A不正确；对于B，y＝x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y＝2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）＝f（x）也不满足f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．19．（2014•新课标Ⅲ）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数【答案】C【解析】∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），f（﹣x）•g（﹣x）＝﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x）|•g（﹣x）＝|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）•|g（﹣x）|＝﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．|f（﹣x）•g（﹣x）|＝|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C．20．（2014•新课标Ⅲ）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在直角三角形OMP中，OP＝1，∠POM＝x，则OM＝|cos x|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）＝OM|sin x|＝|cos x|•|sin x|＝|sin2x|，其周期为T＝，最大值为，最小值为0，故选：C．21．（2018•新课标Ⅲ）设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b 【答案】B【解析】∵a＝log0.20.3＝，b＝log20.3＝，∴＝，，∵，，∴ab＜a+b＜0．故选：B．22．（2017•全国）设0＜a＜1，则（）A．B．C．D．【解析】∵0＜a＜1，∴0＜a2＜a＜＜1，∴在A中，，故A错误；在B中，＞，故B正确；在C中，，故C错误；在D中，，故D错误．故选：B．23．（2016•全国）函数y＝log2（x∈（1，+∞）的反函数是（）A．y＝2﹣x+1（x∈R）B．y＝﹣2x﹣1（x∈（1，+∞））C．y＝21﹣x（x∈R）D．y＝2（x∈R，x≠1）【答案】A【解析】∵函数y＝log2（x∈（1，+∞），∴＝2y，∴x﹣1＝＝2﹣y，∴x＝2﹣y+1，x，y互换，得函数y＝log2（x∈（1，+∞）的反函数是：y＝2﹣x+1，x∈R．故选：A．24．（2016•新课标Ⅲ）已知a＝，b＝，c＝，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【答案】A【解析】∵a＝＝，b＝，c＝＝，综上可得：b＜a＜c，故选：A．25．（2016•新课标Ⅲ）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c bC．a c＜b c D．c a＞c b【答案】B【解析】∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c，故A错误；a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误；故选：B．26．（2016•新课标Ⅲ）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y＝x B．y＝lgx C．y＝2x D．y＝【解析】函数y＝10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），函数y＝x的定义域和值域均为R，不满足要求；函数y＝lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；函数y＝2x的定义域为R，值域为（0，+∞），不满足要求；函数y＝的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；故选：D．27．（2018•新课标Ⅲ）设函数f（x）＝，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（0，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，0）【答案】D【解析】函数f（x）＝，的图象如图：满足f（x+1）＜f（2x），可得：2x＜0＜x+1或2x＜x+1≤0，解得x∈（﹣∞，0）．故选：D．28．（2018•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【答案】C【解析】由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．29．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a＝（）A．﹣B．C．D．1【答案】C【解析】因为f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）＝﹣1+（x﹣1）2+a（e x﹣1+）＝0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2＝a（e x﹣1+）有唯一解，等价于函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（e x﹣1+）的图象只有一个交点．①当a＝0时，f（x）＝x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a＜0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（e x﹣1+）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（e x﹣1+）的图象的最高点为B（1，2a），由于2a＜0＜1，此时函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（e x﹣1+）的图象有两个交点，矛盾；③当a＞0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（e x﹣1+）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（e x﹣1+）的图象的最低点为B（1，2a），由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a＝1，即a＝，符合条件；综上所述，a＝，故选：C．30．（2014•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【答案D【解析】∵f（x）＝ax3﹣3x2+1，∴f′（x）＝3ax2﹣6x＝3x（ax﹣2），f（0）＝1；①当a＝0时，f（x）＝﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x＝时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）＝﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．31．（2018•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝ln（﹣x）+1，f（a）＝4，则f（﹣a）＝﹣2．【答案】-2【解析】函数g（x）＝ln（﹣x）满足g（﹣x）＝ln（+x）＝＝﹣ln（﹣x）＝﹣g（x），所以g（x）是奇函数．函数f（x）＝ln（﹣x）+1，f（a）＝4，可得f（a）＝4＝ln（﹣a）+1，可得ln（﹣a）＝3，则f（﹣a）＝﹣ln（﹣a）+1＝﹣3+1＝﹣2．故答案为：﹣2．32．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）＝，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是，【答案】（，+∞）．【解析】若x≤0，则x﹣≤﹣，则f（x）+f（x﹣）＞1等价为x+1+x﹣+1＞1，即2x＞﹣，则x＞，此时＜x≤0，当x＞0时，f（x）＝2x＞1，x﹣＞﹣，当x﹣＞0即x＞时，满足f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，当0≥x﹣＞﹣，即≥x＞0时，f（x﹣）＝x﹣+1＝x+，此时f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，综上x＞，故答案为：（，+∞）．33．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x2，则f （2）＝．【答案】12【解析】∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x2，∴f（﹣2）＝﹣12，又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（2）＝12，故答案为：1234．（2016•全国）设函数f（x）＝（ax+b）4（b＞a＞0）．若f（1）＝16f（﹣1），则＝．【答案】【解析】∵函数f（x）＝（ax+b）4（b＞a＞0）．f（1）＝16f（﹣1），∴（a+b）4＝16（﹣a+b）4，∴a+b＝2（﹣a+b）或a+b＝﹣2（﹣a+b），∴3a＝b或a＝3b（舍），∴＝．故答案为：．35．（2016•全国）定义域为R的偶函数f（x）为周期函数，其周期为8，当x∈[﹣4，0]时，f（x）＝x+1，则f（25）＝．【答案】0【解析】∵定义域为R的偶函数f（x）为周期函数，其周期为8，当x∈[﹣4，0]时，f（x）＝x+1，∴f（25）＝f（8×3+1）＝f（1）＝f（﹣1）＝﹣1+1＝0．故答案为：0．36．（2015•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a＝．【答案】-2【解析】根据条件得：4＝﹣a+2；∴a＝﹣2．故答案为：﹣2．37．（2015•新课标Ⅲ）若函数f（x）＝xln（x+）为偶函数，则a＝．【答案】1【解析】∵f（x）＝xln（x+）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）＝xln（x+），∴﹣ln（﹣x+）＝ln（x+），∴ln（﹣x+）+ln（x+）＝0，∴ln（+x）（﹣x）＝0，∴lna＝0，∴a＝1．故答案为：1．38．（2018•新课标Ⅲ）函数f（x）＝cos（3x+）在[0，π]的零点个数为．【答案】3【解析】∵f（x）＝cos（3x+）＝0，∴3x+＝+kπ，k∈Z，∴x＝+kπ，k∈Z，当k＝0时，x＝，当k＝1时，x＝π，当k＝2时，x＝π，当k＝3时，x＝π，∵x∈[0，π]，∴x＝，或x＝π，或x＝π，故零点的个数为3，故答案为：339．（2018•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，则a＝．【答案】-7【解析】函数f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，可得：log2（9+a）＝1，可得a＝﹣7．故答案为：﹣7．40．（2014•新课标Ⅲ）设函数f（x）＝，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是【答案】x≤8【解析】x＜1时，e x﹣1≤2，∴x≤ln2+1，∴x＜1；x≥1时，≤2，∴x≤8，∴1≤x≤8，综上，使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8．故答案为：x≤8．。