广东省广州市越秀区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题(Word答案版)
2020学年越秀区第一学期学业水平调研测试高一年级数学试卷全卷满分150分 考试试卷120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设{}{}{}5412154321，，，，，，，，，===B A U ，则=)(B C A U （ ） .A {}1 .B {}2 .C {}321，， .D {}5421，，， 2.命题“),0(+∞∈∃x ，x x -=1ln ”的否定是（ ）.A ),0(+∞∉∀x ，x x -=1ln .B ),0(+∞∈∀x ，x x -≠1ln .C ),0(+∞∉∃x ，x x -=1ln .D ),0(+∞∈∃x ，x x -≠1ln3.在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，角θ的始边与x 轴非负半轴重合，角θ的 终边经过点)43(，-P ，则=θcos （ ） .A 53- .B 54 .C 253- .D 254 4.316sinπ的值等于（ ） .A 21 .B 23 .C 21- .D 23-5.为了得到函数)13cos(-=x y 的图像，只需把x y 3cos =的图像上的所有点（ ） .A 向左平移1个单位 .B 向右平移1个单位 .C 向左平移31个单位 .D 向右平移31个单位 6.函数32ln )(-+=x x x f 的零点所在的一个区间是（ ）.A )210(， .B )121(， .C )231(， .D )223(， 7.设6.0log 3=a ，6.0log 3.0=b ，则（ ）.A 0＜＜b a ab + .B ab b a ＜＜0+ .C b a ab +＜＜0 .D 0＜＜ab b a +8.当生物死后，它体内的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730 年衰减为原来的一半。
2010年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料草裹 泥）上提取的草茎遗存进行碳14检测，检测出碳14的残留量约为初始量的%2.55，以 此推断此水坝建成的年代大概是公元前（ ）（参考数据：8573.0552.0log 5.0≈,1584.1448.0log 5.0≈).A 2919年 .B 2903年 .C 4928年 .D 4912年二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.设1＞a ，在下列函数中，图像经过定点)11(，的函数有（ ） .A ax y = .B 1-=x a y .C 1log +=x y a .D 13+=ax y10.已知函数)63sin(2)(π-=x x f ，则（ ）.A )(x f 的最大值是2 .B )(x f 的最小正周期为3π.C )(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡60π，上是增函数 .D )(x f 的图像关于点)06(，π对称11.下列命题中是真命题的是（ ）.A “A x ∈”是“B A x ∈”的充分条件.B “b a ＞”是“22bc ac ＞”的必要条件.C “n m ＞”是“nm2.02.0＞”的充要条件.D “βα＞”是“βαtan tan ＞”的充要条件12.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费1y （单位：万元）与仓库到车站的距离x （单位：km ）成反比，每月库存货物费2y （单位：万元）与x 成正比，若在距离车站10km 处建仓库，则1y 为1万元，2y 为4万元，下列结论正确的是（ ） .A xy 11=.B x y 4.02= .C 21y y +有最小值4 .D 21y y -无最小值 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.函数xx x f -+-=21)1lg()(的定义域是____________. 14.函数ϕϕcos sin 4)sin(2)(x x x f +-=的最大值是____________.15.已知函数⎩⎨⎧+≥=2)2(23)(＜，，x x f x x f x 则)2(log 3f 的值等于____________.16.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方式如下表：若某户居民本月交纳水费为66元，则此户居民本月用水量为____________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤 17.（本小题满分10分）已知1与2是三次函数)()(3R b a b ax x x f ∈++=，的两个零点.（1）求b a ，的值；（2）求不等式012＞+-bx ax 的解集.18.（本小题满分12分）问题：是否存在二次函数)0()(2R c b a c bx ax x f ∈≠++=，，同时满足下列条件：3)0(=f ，)(x f 的最大值为4，______?若存在，求出)(x f 的解析式；若不存在，请说明理由。
在①)1()1(x f x f -=+对任意R x ∈都成立，②函数)2(+=x f y 的图像关于y 轴对称，③函数)(x f 的单调递减区间是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.每户每月用水量 水价 不超过123m 的部分 3元/3m超过123m 但不超过183m 的部分 6元/3m超过183m 的部分 9元/3m已知2)4tan(-=-απ.（1）求ααtan 2tan 的值； （2）求ααα2cos 12sin cos 12-+-的值.20.（本小题满分12分） 已知函数)(132)(R a a x f x∈-+=. （1）判断)(x f 在R 上的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在a ，使得)(x f 是奇函数？若存在，求出所有a 的值；若不存在，请说明理由。
如图1，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图2，某摩天轮最高点Q 距离地面高度AQ 为110m ，转盘直径为100m ，设置有48个座舱，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置P 进舱，转一周需要30min .（1）求游客甲坐在摩天轮的座舱后，开始转到10min 后距离地面的高度；（2）以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，PQ 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动min t 后距离地面的高度为y m ，求在转动一周的过程中，y 关于t 的函数解析式；（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求高度差的最大值（结果精确到0.1m ）. 参考公式：2sin2cos 2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-.参考数据：2079.015sin≈π，0654.048sin≈π.图1 图222.（本小题满分12分）已知函数x x f a log )(=（0＞a ，且1≠a ）. （1）若210x x ＜＜，试比较)2(21x x f +与2)()(21x f x f +的大小，并说明理由； （2）若1＞a ，且))((t f t A ，，))2(2(++t f t B ，，))4(4(++t f t C ，)2(≥t 三点在函 数)(x f y =的图像上，记ABC ∆的面积为S ，求)(t g S =的表达式，并求)(t g 的值域。
2020学年越秀区第一学期学业水平调研测试高一年级数学试卷参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8C B AD D C A B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9 10 11 12ABC AC ACD BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（1，2）∪（2，+∞）．14．．15．18．16．17m3．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤17．解：（1）由函数的零点可得f（x）＝0的两个根为1、2，则有，解得．（2）由（1）知a＝﹣7，b＝6，代入不等式ax2﹣bx+1＞0，得﹣7x2﹣6x+1＞0⇒7x2+6x﹣1＜0⇒（7x﹣1）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜．故不等式ax2﹣bx+1＞0的解集为（﹣1，）．18．解：由f（0）＝3，可得c＝3，则f（x）＝ax2+bx+3，若选择①f（1+x）＝f（1﹣x）对任意x∈R都成立，可得f（x）的对称轴为x＝1，所以﹣＝1，又f（x）的最大值为4，可得a＜0且f（1）＝4，即a+b+3＝4，解得a＝﹣1，b＝2，此时f（x）＝﹣x2+2x+3；若选择②函数y＝f（x+2）的图象关于y轴对称，可得f（x）关于x＝2对称，则﹣＝2，又f（x）的最大值为4，可得a＜0且f（2）＝4，即4a+2b+3＝4，解得a＝﹣，b＝1，此时f（x）＝﹣x2+x+3；若选择③函数f（x）的单调递减区间是，可得f（x）关于x＝对称，则﹣＝，又f（x）的最大值为4，可得a＜0且f（）＝4，即a+b+3＝4，解得a＝﹣4，b＝﹣4，此时f（x）＝﹣4x2﹣4x+3．19．解：（1）因为，可得＝﹣2，可得tanα＝﹣3，tan2α＝＝，可得＝＝﹣；（2）＝＝＝．20．解：（1）函数在R上是单调减函数．证明如下：①在R上任取x1，x2，令x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝（）﹣（）＝＝，∵x1＜x2，∴2（）＞0，＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＝＞0，∴函数在R上是单调减函数．（2）存在a，使得f（x）是奇函数．∵函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即﹣a＝﹣（），整理得：+＝2a，解得a＝1．21．解：（1）设t＝0min时，游客甲位于P（0，﹣50），以OP为终边的角为，根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的速度约为，由题意可得，（0≤t≤30），当t＝10时，，所以游客甲坐在摩天轮的座舱后，开始转到10min后距离地面的高度为80米；（2）由（1）可得，y＝；（3）如图，甲，乙两人的位置分别用点A，B表示，则∠AOB＝，经过tmin后，甲距离地面的高度为，点B相对于A始终落后rad，此时乙距离地面的高度为+55，则甲、乙高度差为h＝，利用sinθ﹣sinφ＝2cos sin，可得，当，即t ≈7.8或22.8，所以h 的最大值为米，所以甲乙两人距离地面的高度差的最大值约为6.5米．22． 解：（1）当a ＞1时，画出函数f （x ）=log a x 的图象： 如图：A （x 1、f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），连结AB 取中点为D ，过D 做x 轴的垂线交图象与点C ， 则C （221x x +，)2(21x x f +）， D （221x x +，)]()([2121x f x f +）， 因为函数的图象是上凸的， 所以)2(21x x f +＞)]()([2121x f x f +； 当0＜a ＜1时，同上画出函数的图象， 因为函数的图象是下凸的， 所以)2(21x x f +＜)]()([2121x f x f +． （2）ABC ∆的面积为)(t g S ==22)2()(⨯++t f t f 22)4()2(⨯++++t f t f 22)4()2(⨯++++t f t f 42)4()(⨯++-t f t f =)4()(2(2+--+t f t f t f ）=)4()2(log 2++t t t a （t ≥2）∵ a ＞1，所以函数x y a log = 单调递增11 ∴ 求)(t g S =的值域，即变为求函数)4()2()(2++=t t t t h 在t ≥2时的最大值和最小值 )4()2()(2++=t t t t h tt 4412++= 当t ≥2时，函数t t y 42+= 单调递增， 所以 当t =2时，函数)(t h 有最大值，为34， 此时)(t g S =有最大值，为34log a 当t =+∞时，函数)(t h 有最小值，为1，此时)(t g S =有最大值，为0所以)(t g S =的值域为（0，34log a]。
2022-2023学年广东省广州市越秀区执信中学高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年广东省广州市越秀区执信中学高一（上）期末数学试卷1. 已知角α的终边经过点(8,6)，则cosα的值为( ) A. 34B. 43C. 45D. −352. cos17∘cos43∘+sin17∘sin223∘=( ) A. −12 B. −√32 C. 12 D. √323. 如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A. (M ∩P)∩SB. (M ∩P)∪SC. (M ∩P)∩C I SD. (M ∩P)∪C I S4. 下列函数既是奇函数又在(−1,1)上是增函数的是( ) A. y =sinx B. y =−2x C. y =2x +2−x D. y =lg(x +1)5. 设a =tan92∘，b =(1π)2，c =log π92，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. c >a >b B. c >b >a C. a >b >c D. b >a >c 6. 函数f(x)=cos(x−π2)|x|的部分图像大致是( )A.B.C.D.7. 已知定义在[a−1,2a]上的偶函数f(x)，且当x∈[0,2a]时，f(x)单调递减，则关于x的不等式f(x−1)>f(2x−3a)的解集是( )A. (0,23)B. [16,5 6 ]C. (13,2 3 )D. (23,5 6 ]8. 一半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度ℎ(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数，记ℎ=f(t)，则f(t)+ f(t+1)+f(t+2)=( )A. 0B. 1C. 3D. 49. 已知a ，b ，c 是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有( ) A. a 2+b 2≥(a+b)22B. 若ab ≠0，则|a||b|+|b||a|≥2 C. 若a <b ，则1a >1bD. 若a <b ，c <0.则ac >bc10. 先将函数f(x)=sinx 的图像向右平移π6个单位长度后，再将横坐标缩短为原来的12，得到函数g(x)的图像，则关于函数g(x)，下列说法正确的是( )A. 在(0,π4)上单调递增 B. 图像关于直线x =5π6对称 C. 在(π4,π2)上单调递减D. 最小正周期为π，图像关于点(π12,0)对称11. 已知函数f(x)={x +2,x ≤0|lgx|,x >0，方程f 2(x)−mf(x)−1=0有4个不同的实数根，则下列选项正确的为( )A. 函数f(x)的零点的个数为2B. 实数m 的取值范围为(−∞,32] C. 函数f(x)无最值D. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增12. 已知函数f(x)满足对任意的x ∈R 都有f(x +2)=−f(x)，f(1)=3，若函数y =f(x −1)的图象关于点(1,0)对称，且对任意的x 1，x 2∈(0,1)，x 1≠x 2，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)，则下列结论正确的是( )A. f(x)是偶函数B. f(x)的图象关于直线x =1对称C. f(2022)−f(2023)=3D. f(−52)<f(54)13. 已知集合M ={x||x −1|≤3}，N ={x|3x ≥1}，则M ∩N =______.(用区间作答) 14. 若sin(π6−α)=√33，则cos(π3+α)=______.15. 设f(x)是定义域为R 的奇函数，且f(1+x)=f(−x).若f(−12)=1，则f(20212)=______.16. 函数y =sinx +cosx +2sinxcosx +2的值域是______.17. 已知α为第三象限角，且f(α)=sin(3π2−α)cos(π2−α)tan(−α+π)sin(π2+α)tan(2π−α).(1)化简f(α)； (2)若f(α)=2√65，求cos(π+α)的值． 18. 已知函数f(x)=2(√3cosx −sinx)sinx ，x ∈R.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期与单调增区间； (Ⅰ)求函数f(x)在[0,π4]上的最大值与最小值．19. 2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功，成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家，标志着我国探月工程“绕，落，回”圆满收官．近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v =v 0⋅ln Mm 计算火箭的最大速度vm/s ，其中v 0m/s 是喷流相对速度，mkg 是火箭(除推进剂外)的质量，Mkg 是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A 型火箭的喷流相对速度为1000m/s. (1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求A 型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的32倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度至少增加500m/s ，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．参考数据：ln200≈5.3，2.718<e <2.719.20. 在①A ={x|2x−2x+1<1}，②A ={x||x −1|<2}，③A ={x|y =log 23−xx+1}这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题．设全集U =R ，_____，B ={x|x 2+x +a −a 2<0}.(1)若a =2，求(∁U A)∪(∁U B)；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．21. 设函数f(x)=sin(ωx −π3)+2cos(ωx −π6)(0<ω<3)，将该函数的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，函数g(x)的图象关于y 轴对称．(1)求ω的值；(2)在给定的坐标系内，用“五点法”列表、画出函数f(x)在一个周期内的图象；(3)设关于x 的方程mf(x2)+g(x +π6)+√3(m +1)=0在区间[−7π6,0]上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．22. 已知函数f(x)=ax 2+2(a −2)x +1，其中a ∈R.(1)若对任意实数x 1，x 2∈[2,4]，恒有f(x 1)≥9sin2x 2，求a 的取值范围；(2)是否存在实数x 0，使得ax 0<0且f(x 0)=|2x 0−a|+2？若存在，则求x 0的取值范围；若不存在，则加以证明．答案和解析1.【答案】C【解析】解：角α的终边经过点(8,6)，则cosα=√8+6=45.故选：C.由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解．本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：cos17∘cos43∘+sin17∘sin223∘=cos17∘cos43∘+sin17∘sin(180∘+43∘)=cos17∘cos43∘−sin17∘sin43∘=cos(17∘+43∘)=cos60∘=1 2.故选：C.利用诱导公式，再利用两角和的余弦公式求解即可．本题考查诱导公式与两角和的余弦公式，属基础题．3.【答案】C【解析】解：图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁I S故选：C.先根据图中的阴影部分是M∩P的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出来即可．本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=sinx，是正弦函数，既是奇函数又在(−1,1)上是增函数，符合题意，对于B，y=−2x，是反比例函数，其定义域为{x|x≠0}，在(−1,1)上不具有单调性，不符合题意，对于C，y=2x+2−x，不是奇函数，不符合题意，对于D，y=lg(x+1)，其定义域为(−1,+∞)，不是奇函数，故选：A.根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．本题考查函数奇偶性和单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为92∘是第二象限角， 所以a =tan92∘<0，因为指数函数y =(1π)x 在R 上为减函数，且0<2<3， 所以0<(1π)3<(1π)2<(1π)0=1， 所以0<b <l ，因为y =log πx 为(0,+∞)上的增函数，π<92， 所以c =log π92>1， 所以c >b >a. 故选：B.根据正切函数，指数函数，对数函数性质估计a ，b ，c 的大小，由此确定它们的大小关系． 本题主要考查了正切函数，指数函数以及对数函数性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：因为f(x)=cos(x−π2)|x|=sinx|x|，f(−x)=sin(−x)|−x|=−sinx |x|=−f(x).所以f(x)为奇函数，故AB 选项错；x ∈(0,π)，sinx >0，即f(x)>0，故D 选项错； 故选：C.根据函数基本性质及函数图像特征分别判断即可． 本题考查函数基本性质及函数图像特征，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：f(x)是偶函数，则a −1+2a =0，得a =13，即函数的定义域为[−23,23]， 当x ∈[0,23]时，f(x)单调递减，则不等式f(x −1)>f(2x −1)等价为不等式f(|x −1|)>f(|2x −1|)， 则|x −1|<|2x −1|，平方得x 2−2x +1<4x 2−4x +1， 得3x 2−2x >0，得x >23或x <0，又{−23⩽x −1⩽23−23⩽2x −1⩽23x >23或x <0，得{13⩽x ⩽5316⩽x ⩽56x >23或x <0，得，23<x ≤56，即不等式的解集为(23,56], 故选：D.根据函数奇偶性的对称性求出a 的值，然后利用函数单调性进行转化求解即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据进行和单调性的性质进行转化是解决本题的关键，是中档题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，设ℎ=f(t)=Asin(ωt +φ)+k ，(−π2<φ<0)，则A =2，k =1， 因为T =3，所以ω=2πT =2π3，所以ℎ=2sin(2π3t +φ)+1， 又因为t =0时，ℎ=0，所以0=2sinφ+1，所以sinφ=−12， 又因为−π2<φ<0，所以φ=−π6， 所以ℎ=f(t)=2sin(2π3t −π6)+1； 所以f(t)=√3sin2π3t −cos 2π3t +1， f(t +1)=2sin(2π3t +π2)+1=2cos 2π3t +1，f(t +2)=2sin(2π3t +7π6)+1=−√3sin 2π3t −cos 2π3t +1， 所以f(t)+f(t +1)+f(t +2)=3. 故选：C.根据题意设ℎ=f(t)=Asin(ωt +φ)+k ，求出φ、A 、T 和k 、ω的值，写出函数解析式，计算f(t)+f(t +1)+f(t +2)的值．本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A ，∵a 2+b 2−(a+b)22=(a−b)22≥0，当且仅当a =b 时，等号成立，∴a 2+b 2≥(a+b)22，故A 正确，对于B ，|a||b|+|b||a|≥2√|a||b|⋅|b||a|=2，当且仅当|a|=|b|时，等号成立，故B 正确， 对于C ，令a =−1，b =1，满足a <b ，但1a <1b ，故C 错误， 对于D ，∵a <b ，c <0，∴a c −b c =a−b c>0，即a c >b c，故D 正确．故选：ABD.对于AD ，结合作差法，即可求解，对于B ，结合基本不等式的性质，即可求解，对于C ，结合特殊值法，即可求解．本题主要考查不等式的性质，掌握作差法和特殊值法是解本题的关键，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：先将函数f(x)=sinx 的图象向右平移π6个单位后，可得y =sin(x −π6)的图象，再将横坐标缩短为原来的12，得到函数g(x)=sin(2x −π6)的图象， 则当x ∈(0,π4)时，2x −π6∈(−π6,π3)，故g(x)单调递增，故A 正确； 当x =5π6时，g(x)=−1，为最小值，故g(x)的图象关于直线x =5π6对称，故B 正确； 当x ∈(π4,π2)时，2x −π6∈(π3,5π6)，故g(x)没有单调性，故C 不正确； 由题意可得g(x)的周期为π，当x =π12时，g(x)=0， 故g(x)的图象关于点(π12,0)对称，故D 正确． 故选：ABD.由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】ABC【解析】解：函数f(x)={x +2,x ≤0|lgx|,x >0，作出f(x)的图象如图所示，由图象可知，f(x)=0有x =−2和x =1两个零点，故选项A 正确；方程f 2(x)−mf(x)−1=0有4个不同的实数根， 令f(x)=a ，f(x)=b ，a ≠b ， 则{a <00<b ≤2或{a =0b >2或{a >2b >2， 因为方程x 2−mx −1=0必有一正一负两个根，所以{a <00<b ≤2，且ab =−1，所以a =−1b ≤−12， 所以f(x)≤−12或0<f(x)≤2，则m =f 2(x)−1f(x)=f(x)−1f(x)， 令t =f(x)，则m =t −1t ，t ∈(−∞,−12]∪(0,2], 因为函数m =t −1t在(−∞,−12]和(0,2]上单调递增， 当t =−12时，m =32，当t =2时，m =32， 所以m ≤32，故选项B 正确； f(x)无最值，故选项C 正确；f(x)在(0,+∞)上不单调，故选项D 错误． 故选：ABC.利用分段函数的解析式，作出f(x)的图象，由图象即可判断选项A ，C ，D ，将方程f 2(x)−mf(x)−1=0有4个不同的实数根，转化为x 2−mx −1=0必有一正一负两个根，从而得到f(x)的取值范围，利用m 与f(x)的关系，结合不等式求解即可得到m 的取值范围，从而判断选项B.本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：A 选项：由函数f(x −1)的图象关于点(1,0)对称，可得函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，所以函数f(x)为奇函数，故A 不正确； B 选项：由函数f(x)为奇函数可得f(x +2)=−f(x)=f(−x)， 故函数f(x)的图象关于直线x =1对称，故B 正确；C 选项：由函数f(x)满足对任意的x ∈R 都有f(x +2)=−f(x)，可得f(x +4)=−f(x +2)=f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．因为f(x)，x ∈R 为奇函数，所以f(0)=0，由f(x +2)=−f(x)得f(0+2)=−f(0)， 故f(2)=0，则f(2022)=f(505×4+2)=f(2)=0，f(2023)=f(505×4+3)=f(3)=f(−1)=−f(1)=−3，所以f(2022)−f(2023)=0−(−3)=3，故C 正确；D 选项：由对任意x 1，x 2∈(0,1)，x 1≠x 2，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)， 即对任意的x 1，x 2∈(0,1)，x 1≠x 2，都有(x 1−x 2)(f(x 1)−f(x 2))>0， 可得函数f(x)在区间(0,1)上单调递增．因为f(−52)=f(−52+4)=f(32)=f(2−32)=f(12)，f(54)=f(2−54)=f(34)，且12<34， 所以f(12)<f(34)，即f(−52)<f(54)，故D 正确， 故选：BCD.对于A选项：根据函数f(x−1)的图象关于点(1,0)对称，则函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，即可判断；对于B选项：由A选项可知函数f(x)为奇函数，可推得f(x+2)=f(−x)，即可判断图象关于直线x=1对称；对于C选项：由f(x+2)=−f(x)可推出函数f(x)是周期为4的周期函数，结合函数奇偶性可推得f(2022)=0，f(2023)=−3，即可判断C；对于D选项：由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)可得(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0，推出函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，结合函数性质求得f(−52)=f(12)，f(54)=f(34)，即可得f(−52)<f(54).本题主要考查抽象函数及其应用，考查函数的奇偶性与周期性，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．13.【答案】[0,4]【解析】解：∵M={x|−3≤x−1≤3}={x|−2≤x≤4}，N={x|x≥0}，∴M∩N=[0,4].故答案为：[0,4].可求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和区间的定义，绝对值不等式的解法，指数函数的单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于容易题．14.【答案】√33【解析】解：因为sin(π6−α)=√33，则cos(π3+α)=sin(π6−α)=√33，故答案为：√33.由已知结合诱导公式进行化简即可求解．本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．15.【答案】−1【解析】解：因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(−x)=−f(x)，又因为f(1+x)=f(−x)，所以f(1+x)=−f(x)，所以f(2+x)=−f(1+x)=f(x)，则f(x)是周期为2的周期函数，所以f(20212)=f(1010+12)=f(12)=−f(−12)=−1.故答案为：−1.先由f(x)的奇偶性与题设条件推得f(1+x)=−f(x)，从而证得f(x)是周期函数，进而利用f(x)的周期性与奇偶性求得f(20212).本题考查函数的周期性，属于中档题．16.【答案】[34,3+√2]【解析】解：令t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)∈[−√2,√2]，t2=1+2sinxcosx，所以y=t+t2−1+2=t2+t+1，t∈[−√2,√2]，对称轴t=−12，所以y∈[34,3+√2]，即函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的值域是[34,3+√2].换元法，令t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)∈[−√2,√2]，把函数换元成二次函数，利用二次函数求得值域．本题考查三角函数求最大值和最小值，属于中档题目．17.【答案】解：(1)由已知得f(α)=−cosα⋅sinα⋅tan(−α)cosα⋅tan(−α)=−sinα；(2)由已知得sinα=−2√65，因为α为第三象限角，故cosα=−√1−sin2α=−15，故cos(π+α)=−cosα=15.【解析】(1)利用诱导公式直接化简即可；(2)根据平方关系求出cosα，再利用诱导公式求解．本题考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求值的问题，属于基础题．18.【答案】解：由题意得，f(x)=2√3sinxcosx−2sin2x=√3sin2x+cos2x−1=2(√32sin2x+12cos2x)−1=2sin(2x+π6)−1，(Ⅰ)f(x)的最小正周期为：T=2π2=π，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ(k∈Z)得，−π3+kπ≤x≤π6+kπ(k∈Z)，所以函数f(x)的单调增区间是[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)；(Ⅰ)因为0≤x ≤π4，所以π6≤2x +π6≤2π3， 所以12≤sin(2x +π6)≤1，即0≤2sin(2x +π6)−1≤1， 所以0≤f(x)≤1，当且仅当x =0时，f(x)取最小值f(x)min =f(0)=0， 当且仅当2x +π6=π2时，即x =π6时最大值f(x)max =f(π6)=1.【解析】根据题意、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式运算化简f(x)， (Ⅰ)由三角函数的周期公式求出周期，再由正弦函数的单调递增区间求出此函数的增区间； (Ⅰ)由x 的范围求出求出2x +π6的范围，再由正弦函数的性质求出次函数的最大值、最小值． 本题考查正弦函数的单调性、最值，以及三角恒等变换的公式的应用，考查了整体思想的应用．19.【答案】解：(1)当总质比为200时，v =1000⋅ln200，由参考数据得v ≈1000×5.3=5300m/s ，∴当总质比为200时，A 型火箭的最大速度约为5300m/s ；(2)由题意，经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度为1500m/s ，总质比变为M 3m， 要使火箭的最大速度至少增加500m/s ，则需1500⋅ln M3m −1000⋅ln Mm ≥500， 化简，得3ln M 3m −2ln M m ≥1，∴ln(M 3m)3−ln(M m)2≥1，整理得lnM 27m≥1，∴M 27m≥e ，则M m≥27×e ，由参考数据，知2.718<e <2.719， ∴73.386<27×e <73.413，∴材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74.【解析】(1)当总质比为200时，v =1000⋅ln200，结合已知数据求解得答案；(2)由题意，经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度为1500m/s ，总质比变为M3m ，要使火箭的最大速度至少增加500m/s ，则需1500⋅ln M3m −1000⋅ln Mm ≥500，求出Mm 的范围，即可求得在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．本题主要考查了函数的实际运用，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)选①，A ={x|2x−2x+1<1}={x|x−3x+1<0}={x|−1<x <3}；选②，A ={x||x −1|<2}={x|−2<x −1<2}={x|−1<x <3}； 选③，A ={x|y =log 23−xx+1}={x|3−xx+1>0}={x|−1<x <3}. a =2时，B ={x|x 2+x −2<0}={x|−2<x <1}，所以A ∩B ={x|−1<x <1}，(∁U A)∪(∁U B)=∁U (A ∩B)={x|x ≤−1或x ≥1}；(2)因为A ={x|−1<x <3}，B ={x|x 2+x +a −a 2<0}={x|(x +a)(x +1−a)<0}， 当−a =a −1，即a =12时，B =⌀；当−a >a −1，即a <12时，B ={x|a −1<x <−a}； 当−a <a −1，即a >12时，B ={x|−a <x <a −1}. 若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，即有A ⫋B ， 所以B ≠⌀，则{a <12a −1≤−1−a ≥3或{a >12−a ≤−1a −1≥3，解得a ≤−3或a ≥4，即a 的取值范围是(−∞,−3]∪[4,+∞).【解析】(1)选①②③，运用对数不等式的解法和绝对值不等式的解法、对数的真数大于0，化简可得集合A ；由a =2，运用二次不等式的解法，可得集合B ，再由交集和补集的性质，可得所求集合；(2)由题意可得A ⫋B ，对a 讨论，化简集合B ，再解a 的不等式组可得所求取值范围． 本题考查不等式的解法和集合的混合运算，以及充分必要条件的判断，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)f(x)=sin(ωx −π3)+2cos(ωx −π6)=sinωxcos π3−coxsin π3+2(cosωxcos π6+sinωxsin π6) =32sinωx +√32cosωx =√3sin(ωx +π6)，所以f(x)=√3sin(ωx +π6)，将该函数的图象向左平移π6个单位后得到函数g(x)， 则g(x)=√3sin[ω(x +π6)+π6]=√3sin(ωx +ωπ6+π6)， 该函数的图象关于 y 轴对称，可知该函数为偶函数， 故ωπ6+π6=π2+kπ，k ∈Z ，解得ω=2+6k ，k ∈Z ， 因为0<ω<3， 所以得到ω=2.(2)由(1)可得函数f(x)=√3sin(2x +π6)， 列表：x −π12 π6 5π12 2π3 11π122x +π6 0 π2π 3π22π y 0√3−√3作图如下：(3)由(1)得到√3msin(x +π6)+√3cos(2x +π3)+√3(m +1)=0， 化简得msin(x +π6)+1−2sin 2(x +π6)+m +1=0， 令t =sin(x +π6)，x ∈[−7π6,0]，则t ∈[−1,12]，关于t 的方程−2t 2+mt +m +2=0，即(t +1)(2t −m −2)=0， 解得t 1=−1，t 2=m+22，当t 1=−1时，由sin(x +π6)=−1，x ∈[−7π6,0]，可得x =−2π3， 要使原方程在[−7π6,0]上有两个不相等的实数根， 则−1<m+22≤0，解得−4<m ≤−2，故实数m 的取值范围为(−4,−2].【解析】(1)化简f(x)解析式，通过三角函数图象变换求得g(x)，结合g(x)关于y 轴对称即可求得ω；(2)利用五点法作函数y =Asin(ωx +φ)的图象即可得解；(3)化简方程mf(x2)+g(x +π6)+√3(m +1)=0，利用换元法，结合一元二次方程根的分布求得m 的取值范围．本题考查五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查数形结合思想和学生的运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵x2∈[2,4]，∴2x2∈[4,8]，sin2x2∈[−1,1]，∴[sin2x2]max=1，∴[9sin2x2]max=9，∴原问题⇔f(x)≥9对任意x∈[2,4]成立，即ax2+2(a−2)x+1≥9对任意x∈[2,4]成立，即a≥4x对任意x∈[2,4]成立，∴a≥[4x]max=2.故a的范围是：[2,+∞).(2)①若a>0，∵ax0<0，∴x0<0，2x0−a<0，∴f(x0)=|2x0−a|+2⇔ax02+2(a−2)x0+1=a−2x0+2⇔a=2x0+1x02+2x0−1>0，⇒(2x0+1)(x02+2x0−1)>0⇒(2x0+1)[x0−(√2−1)][x0−(−√2−1)]>0，∵x0<0，∴x0−(√2−1)<0，∴不等式变为2(x0+1)[x0−(−√2−1)]<0，∴x0∈(−√2−1,−12)；②若a>0，∵ax0<0，∴x0>0，∴2x0−a>0，∴f(x0)=|2x0−a|+2⇔ax02+2(a−2)x0+1=2x0+2−a⇔ax02+2ax0−4x0+1+a=2x0+2⇔a(x02+2x0+1)=6x0+1⇔a=6x0+1x02+2x0+1<0⇒6x0+1<0⇒x0<−16，∵x0>0，∴此时无解．综上所述，存在x0∈(−√2−1,−12)满足题意．【解析】(1)首先求出9sin2x2在x2∈[2,4]上的最大值，问题转化为f(x)≥[9sin2x2]max对任意x∈[2,4]成立，然后化简不等式，参变分离构造a≥[4x]max即可．(2)分a>0和a<0两种情况讨论，去掉绝对值符号，转化为解不等式的问题．本题考查了分类讨论思想、转化思想及分式不等式的解法，也考查了学生的分析问题、解决问题及计算能力，属于中档题．。
2020-2021学年广东省广州市广附高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年广东省广州市广附高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.扇形的半径是6cm，圆心角为15°，则扇形面积是()A. π2cm2 B. 3πcm2 C. πcm2 D. 3π2cm22.A={(x,y)|y≤√4−x2,y≥0}，B={(x,y)|x+y≥2}，则A∩B所对应区域面积为()A. 2πB. π−2C. πD. π+23.在△ABC中，若sinA>sinB，则A与B的大小关系为()A. A、B的大小关系不确定B. A=BC. A<BD. A>B4.函数y=2sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，点A、B是最高点，点C是最低点．若△ABC是直角三角形(C为直角)，则ω的值为()A. π4B. π2C. π3D. π5.已知定义域为R的函数f(x)不是奇函数，给定下列4个命题：①函数g(x)=f(−x)−f(x)是奇函数；②∀x∈R，f(−x)≠−f(x)；③∀x∈R，f(−x)=f(x)；④∃x0∈R，f(−x0)≠−f(x0).其中为真命题的命题是()A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④6.等比数列{a n}中，a7=10，q=−2，则a10=()A. 4B. 40C. 80D. −807.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且m⃗⃗⃗ =(a+c,b)，n⃗=(b,a−c)，m⃗⃗⃗ //n⃗，则△ABC的形状为()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能判定8.若0<a <1，在[0,2π]上满足sinx ≥a 的x 的范围是( )A. [0,arcsina]B. [arcsina,π−arcsina]C. [π−arcsina,π]D. [arcsina,π2+arcsina]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.已知函数f(x)=2x +x ，若0<m <1<n ，则下列不等式一定成立的有( )A. f(1−m)<f(n −1)B. f(2√mn)<f(m +n)C. f(log m n)<f(log n m)D. f(m n )<f(n m )10. 将函数y =cos2x 的图象上所有点向左平移π6个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y =f(x)的图象，则( )A. f(x)的图象的对称轴方程为x =−π6+kπ2(k ∈Z)B. f(x)的图象的对称中心坐标为(kπ2+π12,0)(k ∈Z) C. f(x)的单调递增区间为[−2π3+kπ,−π6+kπ)(k ∈Z)D. f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ](k ∈Z)11. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =1，AA 1=2，P 是线段BC 1上的一动点，则下列说法正确的是( )A. A 1P//平面AD 1CB. A 1P 与平面BCC 1B 1所成角的正切值的最大值是2√55C. A 1P +PC 的最小值为√1705D. 以A 为球心，√2为半径的球面与侧面DCC 1D 1的交线长是π312. 若函数f(x)对∀a ，b ∈R ，同时满足：①当a +b =0时，有f(a)+f(b)=0；②当a +b >0时，有f(a)+f(b)>0，则称f(x)为Ω函数．下列函数中是Ω函数的有( )A. f(x)=e x +e −xB. f(x)=e x −e −xC. f(x)=x −sinxD. f(x)={0,x =0−1x ,x ≠0三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设α∈(0,π)，且α≠π2，当∠xOy =α时，定义坐标系xOy 为α−仿射坐标(如图)，在α−仿射坐标系中，任意一点P 的坐标这样定义“e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 分别是与x 轴，y 轴方向同向的单位向量，若向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x e 1⃗⃗⃗ +y e 2⃗⃗⃗ ，则记OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，下列结论正确的是______ (写上所有正确结论的序号) ①设向量α⃗ =(m,n)，b ⃗ =(s,t)，若α⃗ =b ⃗ ，则有m =m ，s =t ； ②设向量α⃗ =(m,n)，则|α⃗ |=√m 2+n 2；③设向量α⃗ =(m,n)b ⃗ =(s,t)，若α⃗ //b ⃗ ，则有mt −ns =0； ④设向量α⃗ =(m,n)b ⃗ =(s,t)，若α⃗ ⊥b ⃗ ，则有mt +ns =0； ⑤设向量α⃗ =(1,2)b ⃗ =(2,1)，若α⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3，则有α=2π3．14. 下列命题：①y =cos(2017π2+x)是偶函数；②y =tan(x +π4)的一个对称中心是(π4,0)；③若α，β是第一象限角，且α<β，则tanα<tanβ； ④cos1<sin1<tan1．其中所有正确命题的序号是______ ．15. 下列命题中，真命题的有______ 。
广东实验中学2020-2021学年高一上学期期末考试 数学试题(含答案)
令 h(t) 3t 2 ,t [1,0) ， h(t) 2 6 当且仅当 t 6 时取等号，∴ k 2 6
t
3
t∈(0,4]时，不等式（*）等价于 k 3t 2 恒成立， t
10 分
令(t) 3t 2 ,t (0,4]，(t) 2 6当且仅当t 6 时取等号，k 2 6
t
17.解：（1）原式＝
﹣1﹣
+ ＝ ﹣1﹣ + ＝ ．
（2）原式＝3+2lg5+2lg2+2＝5+2（lg5+lg2）＝5+2＝7．
评分标准:每一个问 5 分.每个数计算正确各给 1 分,最后结果 1 分
18.解：（1）∵函数是幂函数，
∴m2+2m﹣2＝1，即 m2+2m﹣3＝0，解得 m＝1 或 m＝﹣3，
＝ t ＞ ， ＞ 与 ൌ t ݊ o o t可供选择． （1）试判断哪个函数模型更合适并说明理由，求出该模型的解析式； （2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积 10 倍以上的最小月份．（参考数据：lg2 ≈0.3010，lg3≈0.4711）．
21．(本题满分 12 分)
已知定义域为
的函数
f
（2）若 t 在 ，5 上单调，求 的最大值． 18 36
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广东实验中学 2020—2021 学年（上）高一级期末考试 数学
答案及说明
题号 1
23
4
5 6 78 9
10 11 12
答案 C A D C A D C B BC ABC CD BC
13.
2、 -
5 12
k , 12
12
63
2
25
2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案
2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点，求A和B的交集。
答案：A={(-∞,1]}。
B={2}。
A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2)，求函数的定义域。
答案：分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)，所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。
3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行，求m的值。
答案：两条直线平行，说明它们的斜率相等，即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二，第四象限，求a、b、c应满足的条件。
答案：第一象限中x>0.y>0，所以ax+by+c>0；第二象限中x0，所以ax+by+c0.y<0，所以ax+by+c<0.综上所述，应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n，两个不同的平面α和β，判断下列命题中正确的是哪个。
答案：选项A是正确的。
因为如果m与α垂直，n与β平行，那么m和n的夹角就是α和β的夹角，所以m和n垂直。
6.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径。
答案：设底面半径为r，侧面的母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl。
根据题意，πrl=6π，所以l=6/r。
而侧面展开图是一个半圆，所以底面周长为2πr，即底面直径为2r，所以侧面母线长l=πr。
将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中，得到r=2.7.已知两条平行线答案：两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。
我们可以先求出l2上的一点，比如(0,7/8)，然后带入l1的方程，得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5)，如果它的图像经过定点P，求点P的坐标。
答案：点P的坐标为(1,2)。
因为当x=1时，y=a-1/8，所以a=17/8.又因为当x=2时，y=1/13，所以17/8×2-1/13=2，解得a=17/8，所以y=17x/8-1/(3x^2+5)，当x=1时，y=2.9.已知a=3/5，b=1/3，c=4/3，求a、b、c的大小关系。
2020-2021学年广东省广州市高一(上)期末数学试卷人教新课标A版
2020-2021学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若扇形的弧长为2cm ，半径为1cm ，则其圆心角的大小为（ ） A.2π B.4π C.2 D.42. 设集合A ={x ∈N|−2≤x ≤4}，B ={x|y =ln (x 2−3x)}，则集合A ∩B 中元素的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.43. 已知向量a →=(sin θ,−2)，b →=(1,cos θ)，且a →⊥b →，则sin 2θ+cos 2θ的值为( ) A.1 B.2C.12D.34. 周期为π的函数y =cos (ωx +φ)(ω>0, 0<φ<π)的部分图象如图所示，则φ=（ ）A.−π3B.2π3C.π6D.5π65. 已知函数y =f(x)在[−1, 1]上单调递减，且函数f(x)的图象关于直线x =1对称，设a =f(−12)，b =f(2)，c =f(3)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a <b <c B.c <b <aC.b <c <aD.b <a <c6. 研究表明，当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．若某一死亡生物组织内的碳14经过n(n ∈N)个“半衰期”后用一般的放射性探测器测不到碳14了，则n 的最小值是（ ） A.9 B.10 C.11 D.127. 已知向量a →=(m −3,n ) ，b →=(2,−1)（其中m >0,n >0） ，若a →与b →共线，则4m+12n的最小值为（ ）A.94B.3C.4615D.98. 已知函数f(x)=2sin (ωx −π6)(ω>12，x ∈R ），若f (x )的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是（ ）A.(12,23)∪[89,76] B.(12,1724]∪[1718,2924] C.[59,23]∪[89,1112]D.[1118,1724]∪[1718,2324]二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全的得3分．）若0<a <1，则（ ）A.log a (1−a)<log a (1+a)B.log a (1+a)<0C.(1−a)13<(1−a)12D.a 1−a <1将函数f(x)=2sin x 的图象向左平移π6个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)的图象，下列四个结论中不正确的是（ ） A.函数g(x)在区间[0,2π3]增函数B.将函数g(x)的图象向右平移2π3个单位长度后得到的图象关于y 轴对称C.点(−π6，0)是函数g(x)图象的一个对称中心 D.函数g(x)在[π, 2π]上的最大值为1设a →，b →是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A.若|a →+b →|=|a →|−|b →|，则存在实数λ使得a →=λb →B.若a →⊥b →，则|a →+b →|=|a →|−|b →| C.若|a →+b →|=|a →|+|b →|，则a →=b →D.若a →与b →的方向相反，则|a →+b →|=|a →|−|b →|已知函数f(x)=x|x|，则下列命题中正确的是（ ） A.函数f(sin x)是奇函数，且在(−12，12)上是减函数 B.函数sin （f(x)）是奇函数，且在(−12，12)上是增函数 C.函数f(cos x)是偶函数，且在(0, 1)上是减函数 D.函数cos （f(x)）是偶函数，且在(−1, 0)上是增函数 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）已知向量a →=(1,√3)，b →=(−1,0)，则|a →+3b →|=________.若函数f(x)=cos (ωx)cos (π2−ωx)(ω>0)的最小正周期为π2，则ω的值为________．已知命题p ：(x −m)2<9，命题q:log 4(x +3)<1，若p 是q 的必要不充分条件．则实数m 的取值范围是________．设函数f (x )={|ln x|,0<x <2，f (4−x ),2<x <4，方程f(x)=m 有四个不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 12+x 22+x 32+x 42的取值范围为________．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题分别12分，共70分，解答应写出必买的文字说明、证明过程或演算步骤．） 解答.(1)计算：(log 43+log 83)⋅(log 32+log 92)； (2)求cos 17π6+sin (−16π3)−tan (−4π3)的值．已知函数已知函数f (x )=sin ωx +√3cos ωx (ω>0) f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2 (1)求ω的值；(2)若f (α)=23，求sin (5π6−4α)的值．已知向量a →=(cos x, sin x)，b →=(sin x, sin x),x ∈[0,π4].(1)若x =π6，向量c →=(−1,1)，求c →在a →上投影；(2)若函数f (x )=λ(a →⋅b →−12)的最大值为12，求实数λ的值．已知函数f(x)=m ⋅2x +2⋅3x ，m ∈R ．(1)当m =−9时，求满足f(x +1)>f(x)的实数x 的范围；(2)若f(x)≤(92)x对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围．已知二次函数f(x)=x2−16x+q+3.(1)若函数在区间[−1, 1]上存在零点，求实数q的取值范围；(2)问：是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t, 10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t．已知函数f(x)=ln(√1+x2+x).(1)证明f(x)为奇函数；(2)判断y=f(x)的单调性并写出证明过程；(3)当a≥1时，关于x的方程f[√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a]=0在区间[0,π]上有唯一实数解，求a的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】弧长公式【解析】利用弧长公式即可得出．【解答】解：设扇形的圆心角的弧度数为α，由已知及弧长公式可得：2=1⋅α，解得α=2．故选C.2.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】求出集合A，B，利用交集定义求出A∩B，由此能求出集合A∩B中元素的个数．【解答】解：∵集合A＝{x∈N|−2≤x≤4}={0, 1, 2, 3, 4}，B＝{x|y=ln(x2−3x)}={x|x<0或x>3}，∴A∩B={4}，则集合A∩B中元素的个数为1．故选A.3.【答案】A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值数量积判断两个平面向量的垂直关系二倍角的正弦公式【解析】由题意可得a→⋅b→=0，即解得tanθ=2，再由sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos2θcosθ+sin2θ=2tanθ+11+tan2θ，运算求得结果．【解答】解：由题意可得：a→⋅b→=sinθ−2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos2θcos2θ+sin2θ=2tanθ+11+tan2θ=1，故选A．4.【答案】C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：根据函数y=cos(ωx+φ)(ω>0, 0<φ<π)的部分图象，可得A＝1．再根据它的周期为π=2πω，∴ω=2．再根据五点法作图，可得2×π6+φ=π2，∴φ=π6.故选C.5.【答案】D【考点】函数单调性的性质与判断抽象函数及其应用【解析】根据题意，由函数的对称性可得f(x)在[1, 3]上递增且f(−）＝f（），结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)的图象关于直线x =1对称，则f(−12)=f(52)，又由函数y =f(x)在[−1, 1]上单调递减，则f(x)在[1, 3]上递增， 则有f(2)<f(52)=f(−12)<f(3)，即b <a <c .故选D . 6.【答案】 B【考点】等比数列的通项公式 【解析】利用半衰期公式，建立不等式，求出解集即可得出结论． 【解答】解：根据题意，(12)n <11000， 即2n>1000，n ∈N ； 所以n 的最小值是10． 故选B ． 7.【答案】 B【考点】基本不等式及其应用平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】根据平面向量共线的坐标表示求出m +2n ＝3，再利用基本不等式求出的最小值． 【解答】解：由a →， b →共线得： 2n +m −3=0， ∴ m +2n =3，4m +12n =13(4m +12n )(m +2n ) =13(5+8n m +m 2n) ≥1×(5+2√4) =3. 当且仅当8n m=m 2n即m =4n 时“=”成立．故选B ． 8.【答案】 C【考点】正弦函数的奇偶性和对称性 正弦函数的图象 【解析】先利用正弦函数的周期性、图象的对称性求得ω的范围，再根据kπ+≤3ωπ−，且 kπ+π+≥4ωπ−，分类讨论k ，求得ω的具体范围． 【解答】解：AB ．函数f(x)=2sin (ωx −π6)(ω>12 ，x ∈R ），若f (x )的图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间 (3π,4π)，则12⋅2πω≥4π−3π, 12<ω≤1, ，故AB 错误；CD ．由f (x )的图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，可得kπ+π2≤3ωπ−π6,且kπ+π+π2≥4ωπ−π6,k ∈Z ，解得3k+29≤ω≤3k+512,k ∈Z ，当k =0时，29≤ω≤512，不符合12<ω≤1，当k =1时，59≤ω≤23，符合题意， 当k =2时，89≤ω≤1112，符合题意，当k=3时，119≤ω≤149，不符合12<ω≤1，故C正确，D错误．故选C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全的得3分．）【答案】B,D【考点】对数函数的单调性与特殊点指、对数不等式的解法【解析】由题意利用指数函数、对数函数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：若0<a<1，则1+a>1−a>0，loga (1−a)>loga (1+a)，故A错误；若0<a<1，则1+a>1，则loga(1+a)<0，故B正确；若0<a<1，则1>1−a>0，(1−a)13>(1−a)12，故C错误；若0<a<1，a1−a<a0＝1，故D正确.故选BD.【答案】B,C,D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】首先利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：函数f(x)=2sin x的图象向左平移π6个单位长度，得到y=2sin(x+π6)的图象，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)=2sin(12x+π6)）的图象，对于A：由于x∈[0,2π3]，所以12x+π6∈[π6,π2]，故函数g(x)在区间[0,2π3]是增函数，故A正确；对于B：函数g(x)=2sin(12x+π6)）向右平移2π3个单位，得到ℎ(x)=2sin(12x−π6)的图象，故该图象关于y轴不对称，故B错误；对于C：当x=−π6时，g(−π6)=2sin(π12)≠0，故C错误；对于D：由于x∈[π, 2π]，所以12x+π6∈[2π3,7π6]，当x=π时，函数取最大值g(π)=2sin2π3=√3，故D错误．故选BCD.【答案】A,B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系向量的概念与向量的模命题的真假判断与应用【解析】四个选项都出现了向量模之间的加减运算，所以考虑平方处理，整理后即可得出答案．【解答】解：|a→+b→|=|a→|−|b→|，两边平方可得a→2+2a→⋅b→+b→2=a→2−2|a→||b→|+|b→|2所以a→⋅b→=−|a→||b→|，而a→⋅b→=|a→||b→|cos⟨a→,b→⟩所以−|a→||b→|=|a→||b→|cos⟨a→，b→⟩，所以cos⟨a→,b→⟩=−1，所以⟨a→,b→⟩=180∘所以a→=b→共线且反向，所以λ<0时，a→=λb→，故A正确；因为a→⊥b→，所以a→⋅b→=0，⇒a→2+2a→⋅b→+b→2=a→2−2a→⋅b→+b→2⇒|a→+b→|2=|a→−b→|2⇒|a→+b→|=|a→−b→|，故B正确；对|a →+b →|=|a →|+|b →|两边平方可得a →2+2a →⋅b →+b →2=a →2+2|a →||b →|+|b →|2 所以cos ⟨a →,b →⟩=1，即<a →,b →>=0∘所以a →=b →同向，但a →不一定等于b ，故C 错误； 由A 选项可知，只有当λ<0，|a →|≥|b →|时，才有|a →+b →|=|a →|−|b →|，故D 不正确． 故选AB ． 【答案】 B,C,D 【考点】函数单调性的性质与判断 复合函数的单调性 函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，由f(x)的解析式分析f(x)的奇偶性和单调性，由此依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案． 【解答】解：f (−x )=−x|−x|=−x|x|=−f (x )，∴ f (x )是奇函数， y =sin x 是奇函数，y =cos x 是偶函数，∴ f (sin x )和sin (f (x ))是奇函数，f (cos x )和cos (f (x ))是偶函数， f (x )=x|x|={x 2,x ≥0，−x 2,x <0，∴ f (x )在R 上是增函数，∴ y =sin x 在(−12,12)上是增函数，y =cos x 在(0,1)上是减函数， ∴ f (sin x )在(−12,12)上是增函数，f (cos x )在(0,1)上是减函数，故A 错误；C 正确； 当x ∈(−12,12)时，f (x )∈(−14,14)， ．y =sin x 在（ −14,14) 上单调速增，∴ sin (f (x ))在（ −12,12）上单调递增，故B 正确； 当x ∈(−1,0)时，f (x )∈(−1,0)， y =cos x 在(−1,0)上单调递增，∴ cos (f (x ))在(−1,0)上单调递增，故D 正确．故选BCD ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 【答案】√7【考点】平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，计算模长即可． 【解答】解：向量a →=(1,√3)，b →=(−1,0) 则a →+3b →=(−2,√3)， 所以(a →+3b →)2=4+3=7， 所以|a →+3b →|=√7.故答案为：√7. 【答案】 2【考点】三角函数的周期性 【解析】利用倍角公式变形，再由周期公式列式即可求得ω的值． 【解答】解：∵ f(x)=cos (ωx)cos (π2−ωx)(ω>0)， ∴ f(x)=cos ωx ⋅sin ωx =12sin 2ωx ，∴ 最小正周期T =2π2ω=π2，∴ 解得ω=2． 故答案为：2. 【答案】 (−2, 0) 【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据一元二次不等式和对数不等式的解法分别求出p 、q 的范围，然后根据p 是q 的必要不充分条件，可得两范围的关系，建立关系式，解之即可．【解答】解：因为命题p ：(x −m)2<9，所以m −3<x <m +3，因为命题q:log 4(x +3)<1=log 44，所以0<x +3<4，即−3<x <1， 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以{m −3<−3,m +3>1,解得−2<m <0，所以实数m 的取值范围是(−2, 0)． 故答案为：(−2, 0)． 【答案】 (20, 20.5) 【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】不防令x 1<x 2<x 3<x 4，由题意f(x)的图象是关于x ＝2对称的，可得x 1+x 4＝x 2+x 3＝4．助于|ln x|的图象可以得到x 1，x 2之间的关系，最终将x 12+x 22+x 32+x 42表示成x 2的函数，再借助于换元法最终将问题转化为二次函数的最值问题． 【解答】解：函数f(x)={|ln x|，0<x ≤2，f(4−x)，2<x <4，的图象如图所示：由题意得x 1x 2=1, x 1+x 4=x 2+x 3=4， ∴ x 1+x 2+x 3+x 4=8, x 1=1x 2.则x 12+x 22+x 32+x 42=x 12+(4−x 1)2+x 22+(4−x 2)2 =2(x 1+x 2)2−8(x 1+x 2)2+28=2(x 1+x 2−2)2+20=2(x 2+1x 2−2)2+20.∵ x 2+1x 2在(1, 2)上单调递增，∴x 12+x 22+x 32+x 42∈(20, 412).故答案为：(20,20.5).四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题分别12分，共70分，解答应写出必买的文字说明、证明过程或演算步骤．） 【答案】解：(1)(log 43+log 83)⋅(log 32+log 92) =(log 6427+log 649)⋅(log 94+log 92) =log 64243⋅log 98 =lg 243lg 64⋅lg 8lg 9=54.(2)cos17π+sin (−16π)−tan (−4π) =cos (3π−π6)−sin (5π+π3)+tan (π+π3)=−cos π6+sin π3+tan π3=tan π3.【考点】对数的运算性质 【解析】（1）利用对数的性质、运算法则直接求解． （2）利用诱导公式直接求解． 【解答】解：(1)(log 43+log 83)⋅(log 32+log 92) =(log 6427+log 649)⋅(log 94+log 92) =log 64243⋅log 98 =lg 243lg 64⋅lg 8lg 9=54.(2)cos17π6+sin (−16π3)−tan (−4π3) =cos (3π−π6)−sin (5π+π3)+tan (π+π3)=−cos π6+sin π3+tan π3=tan π3. 【答案】解：(1)f (x )=2(12sin ωx +√32cos ωx)=2sin (ωx +π3)∵ f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2即T 2=π2，即T =π=2πω.得ω=2.(2)ω=2 ，f (x )=2sin (2x +π3)∵ f (α)=23， 2sin (2α+π3)=23得sin (2α+π3)=13. 设θ=2α+π3，则sin θ=13，且2α=θ−π3 则sin (5π6−4α)=sin (5π6−2θ+2π3)=sin (3π2−2θ)=−sin (π2−2θ)=−cos 2θ=−(1−2sin 2θ)=−1+2×19=−79.【考点】两角和与差的三角函数 【解析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合对称性求出周期和ω即可． （2）利用换元法，结合三角函数的倍角公式进行转化即可． 【解答】解：(1)f (x )=2(12sin ωx +√32cos ωx)=2sin (ωx +π3)∵ f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2即T2=π2，即T =π=2πω.得ω=2.(2)ω=2 ，f (x )=2sin (2x +π3)∵ f (α)=23， 2sin (2α+π3)=23得sin (2α+π3)=13. 设θ=2α+π3，则sin θ=13，且2α=θ−π3 则sin (5π6−4α)=sin (5π6−2θ+2π3)=sin (3π2−2θ)=−sin (π2−2θ)=−cos 2θ=−(1−2sin 2θ)=−1+2×19=−79.【答案】解：(1)当x =π6时， a →=(cos π6,sin π6)=(√32,12)，因为向量c →=(−1,1)，所以|a →|=√(√32)2+(12)2=1，所以c →在a →上投影为a →⋅c →|a →|=−√32+121=1−√32.(2)f (x )=λ(a →⋅b →−12)=λ(sin x cos x +sin 2x −12)=λ(12sin 2x −12cos 2x)=√22λsin (2x −π4). 因为x ∈[0,π4]， 所以2x −π4∈[−π4,π4] 又λ>0,所以当2x −π4=π4，即x =π4时，f (x )取得最大值为√22λ×√22=12，所以λ=1.【考点】平面向量数量积的性质及其运算 向量的投影三角函数中的恒等变换应用 【解析】（1）求出当时，的坐标，然后求出的模，利用向量投影的定义求解即可；（2）利用向量数量积的坐标表示以及二倍角公式的辅助角公式化简f(x)的解析式，根据x 的取值范围，结合正弦函数的性质求出f(x)的最值，得到关于λ的等式，求解即可．【解答】解：(1)当x =π6时， a →=(cos π6,sin π6)=(√32,12)， 因为向量c →=(−1,1)，所以|a →|=√(√32)2+(12)2=1，所以c →在a →上投影为a →⋅c →|a →|=−√32+121=1−√32.(2)f (x )=λ(a →⋅b →−12)=λ(sin x cos x +sin 2x −12)=λ(12sin 2x −12cos 2x)=√22λsin (2x −π4). 因为x ∈[0,π4]， 所以2x −π4∈[−π4,π4]又λ>0,所以当2x −π4=π4，即x =π4时，f (x )取得最大值为√22λ×√22=12，所以λ=1.【答案】解：(1)当m =−9时，f(x)=−9⋅2x +2⋅3x ，f(x +1)>f(x)，即为2⋅3x+1−9⋅2x+1>2⋅3x −9⋅2x ， 化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0，即有x −2>0， 解得，x >2.(2)由f(x)≤(92)x 恒成立，即为m ⋅2x +2⋅3x ≤(92)x ， 可得m ≤(32)2x −2(32)x ， 令t =(32)x >0，即有m ≤t 2−2t 的最小值，由(t 2−2t)min =−1，可得m ≤−1，即实数m 的范围是(−∞, −1]． 【考点】函数恒成立问题 函数单调性的性质【解析】（1）由题意可得2⋅3x+1−9⋅2x+1+>2⋅3x −9⋅2x ，化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0，再由指数函数的单调性，解不等式即可得到所求范围；（2）由题意可得m ≤(32)2x −2(32)x ，令t =(32)x >0，即有m ≤t 2−2t 的最小值，运用配方可得最小值，即可得到所求范围．【解答】解：(1)当m =−9时，f(x)=−9⋅2x +2⋅3x ，f(x +1)>f(x)，即为2⋅3x+1−9⋅2x+1>2⋅3x −9⋅2x ， 化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0， 即有x −2>0， 解得，x >2.(2)由f(x)≤(92)x 恒成立，即为m ⋅2x +2⋅3x ≤(92)x ，可得m ≤(32)2x −2(32)x ，令t =(32)x >0，即有m ≤t 2−2t 的最小值， 由(t 2−2t)min =−1，可得m ≤−1，即实数m 的范围是(−∞, −1]．【答案】解：(1)∵ 二次函数f(x)=x 2−16x +q +3的对称轴是x =8， ∴ 函数f(x)在区间[−1, 1]上单调递减，∴ 要使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点，须满足f(−1)⋅f(1)≤0． 即(1+16+q +3)⋅(1−16+q +3)≤0， 解得−20≤q ≤12．∴ 使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点的实数q 的取值范围是[−20, 12]. (2)当{t <8,8−t ≥10−8,t ≥0时，即0≤t ≤6时，f(x)的值域为：[f(8), f(t)]，即[q−61, t2−16t+q+3]．∴t2−16t+q+3−(q−61)=t2−16t+64=12−t．∴t2−15t+52=0，∴t=15±√172．经检验t=15±√172不合题意，舍去．当{t<8,8−t<10−8,t≥0时，即6≤t<8时，f(x)的值域为：[f(8), f(10)]，即[q−61, q−57]．∴q−57−(q−61)=4=12−t．∴t=8,经检验t=8不合题意，舍去．当t≥8时，f(x)的值域为：[f(t), f(10)]，即[t2−16t+q+3, q−57]∴q−57−(t2−16t+q+3)=−t2+16t−60=12−t∴t2−17t+72=0，∴t=8或t=9．经检验t=8或t=9满足题意，∴存在常数t(t≥0)，当x∈[t, 10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t．【考点】二次函数的性质函数的零点【解析】（1）求出二次函数的对称轴，得到函数f(x)在[−1, 1]上为单调函数，要使函数在区间[−1, 1]上存在零点，则f(−1)⋅f(1)≤0，由此可解q的取值范围；（2）分t<8，最大值是f(t)；t<8，最大值是f(10)；8≤t<10三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是12−t求出t的值，验证范围后即可得到答案．【解答】解：(1)∵二次函数f(x)=x2−16x+q+3的对称轴是x=8，∴函数f(x)在区间[−1, 1]上单调递减，∴要使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点，须满足f(−1)⋅f(1)≤0．即(1+16+q+3)⋅(1−16+q+3)≤0，解得−20≤q≤12．∴使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点的实数q的取值范围是[−20, 12].(2)当{t<8,8−t≥10−8,t≥0时，即0≤t≤6时，f(x)的值域为：[f(8), f(t)]，即[q−61, t2−16t+q+3]．∴t2−16t+q+3−(q−61)=t2−16t+64=12−t．∴t2−15t+52=0，∴t=15±√172．经检验t=15±√172不合题意，舍去．当{t<8,8−t<10−8,t≥0时，即6≤t<8时，f(x)的值域为：[f(8), f(10)]，即[q−61, q−57]．∴q−57−(q−61)=4=12−t．∴t=8,经检验t=8不合题意，舍去．当t≥8时，f(x)的值域为：[f(t), f(10)]，即[t2−16t+q+3, q−57]∴q−57−(t2−16t+q+3)=−t2+16t−60=12−t∴t2−17t+72=0，∴t=8或t=9．经检验t=8或t=9满足题意，∴存在常数t(t≥0)，当x∈[t, 10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t．【答案】解：(1)因为√1+x2>|x|≥−x，所以1√1+x2+x>0恒成立，故函数定义域R，f(−x)+f(x)=ln(√1+x2−x)+ln(√1+x2+x)=ln1=0，故f(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数.(2)函数的定义域为R，设x1>x2≥0，则√1+x12>√1+x22，所以x1+√1+x12>√1+x22+x2，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增.(2)由(1)得f(√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a)=f(0)，且y＝f(x)在R上递增．∴√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a=0,整理得a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a=0，在x∈[0, π]上有唯一实数解,构造ℎ(x)=a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a，x∈[0, π]，a≥1．令t＝sin x+cos x，则t∈[−1,√2]，sin x cos x=t2−12，∴L(t)=−12(t−a)2−12a2+√2a+12(a≥1)，在t∈[−1,1)∩{√2}内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．又∵a≥1，∴L(t)在[−1, 1)上为增函数；①若L(t)在[−1, 1)内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．则{L(1)>0，L(−1)≤0，L(√2)>0，∴1≤a<√2+1，②若√2为L(t)的零点，[1,√2)无零点，则−a2+2√2a−12=0，a=√2±√62，又∵a≥1，经检验a=√2+√62符合题意．综上所述：1≤a<√2+1或a=√2+√62．【考点】奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）根据题意，只要证明f(−x)+f(x)＝0即可判断函数为奇函数，（2）先设x1>x2≥0，然后比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断，（3）y由已知结合函数的单调性进行转化得a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2＝0，然后利用换元法，结合三角函数的性质可转化为二次函数闭区间上零点存在问题，结合函数性质及零点判定定理分类讨论即可求解．【解答】解：(1)因为√1+x2>|x|≥−x，所以1√1+x2+x>0恒成立，故函数定义域R，f(−x)+f(x)=ln(√1+x2−x)+ln(√1+x2+x)=ln1=0，故f(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数.(2)函数的定义域为R，设x1>x2≥0，则√112>√1+x22所以x1+√1+x12>√1+x22+x2，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增.(2)由(1)得f(√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a)=f(0)，且y＝f(x)在R上递增．∴√2a sin(x+π4)−12sin2x−a2+√2a=0,整理得a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a=0，在x∈[0, π]上有唯一实数解,构造ℎ(x)=a(sin x+cos x)−sin x cos x−a2+√2a，x∈[0, π]，a≥1．令t＝sin x+cos x，则t∈[−1,√2]，sin x cos x=t2−12，∴L(t)=−12(t−a)2−12a2+√2a+12(a≥1)，在t∈[−1,1)∩{√2}内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．又∵a≥1，∴L(t)在[−1, 1)上为增函数；①若L(t)在[−1, 1)内有且只有一个零点，[1,√2)无零点．则{L(1)>0，L(−1)≤0，L(√2)>0，∴1≤a<√2+1，②若√2为L(t)的零点，[1,√2)无零点，则−a2+2√2a−12=0，a=√2±√62，又∵a≥1，经检验a=√2+√62符合题意．综上所述：1≤a<√2+1或a=√2+√62．。
2023-2024学年广东省广州市越秀区高一上学期期末质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省广州市越秀区高一上册期末数学试题一、单选题1．设全集{}1,2,3,5,8U =，集合M 满足{}1,8U M =ð，，则（）A ．1M ∈B ．2M∉C ．3M∈D ．5M∉【正确答案】C【分析】根据补集的定义求出{}235M =，，，即可得到结果.【详解】因为{}1,8U M =ð，所以{}235M =，，，则3M ∈，所以C 正确.故选：C.2．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．3．不等式26190x x --<的解集是（）A ．∅B ．RC ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】D【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.【详解】不等式26190x x --<可化为29610x x -+>，即2(31)0x ->，解得13x ≠，故原不等式的解集为11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.4．某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备．在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为0e ktW M -=（其中0M ，k 是正常数）．已知经过1h ，设备可以过滤掉50%的污染物，则过滤掉90%的污染物需要的时间约为（结果精确到0.1h ，参考数据：lg 20.3010≈）（）A ．3.0hB ．3.3hC ．6.0hD ．6.6h【正确答案】B【分析】由题意可得e 0.5k -=，进而得()0.10.5t=，利用指数与对数的关系可得0.5log 0.1t =，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可.【详解】由题意可知()00150%e kM M --=，所以e 0.5k -=，设过滤90%的污染物需要的时间为t ，则()00190%e ktM M --=，所以()()0.1e e 0.5ttkt k --===，所以0.5lg 0.1111log 0.1 3.3lg 0.5lg 20.311200lg t -====≈≈.故选：B.5．已知函数log ,log ,log ,log a b c d y x y x y x y x ====①②③④的大致图象如图所示，则（）A ．a c b a +<+B ．a d b c +<+C ．b c a d +<+D ．b d a c+<+【正确答案】A【分析】作直线1y =，则由log 1a a =，可得01c d a b <<<<<，进而由不等式性质可以判断A 正确，由不等式可加性可判断BCD 错误.【详解】作直线1y =，则由log 1a a =，可得01c d a b <<<<<，则由不等式性质可得a c b a +<+，所以A 正确.由不等式可加性可得a c b d +<+，故D 错误，不能推出B 、C ，故B 、C 错误.故选：A.6．方程e 410x x -+=的实数解所在的一个区间是（）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】利用函数零点存在定理即可求解.【详解】设()e 41xf x x =-+，1211e 41022f -⎛⎫-=+⨯+> ⎪⎝⎭，()00e 40120f =-⨯+=>，1211e 411022f ⎛⎫=-⨯+=> ⎪⎝⎭，()1e 41e 30f =-+=-<，3233e 41022f ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，所以()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00f x =，所以方程e 410x x -+=的实数解所在的一个区间是1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.7．下列函数中，最小正周期为π2，且在π(,0)4-上单调递减的是（）A ．)πsin(42y x =+B ．)πcos(42y x =-C ．tan(π2)y x =+D ．|sin(π2)|y x =+【正确答案】D【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，根据周期公式及三角函数的性质进行求解判断.【详解】c πsin(4)os 42y x x =+=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，4(π,0)x ∈-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递增，故A 错误；s πcos(4)in 42y x x =-=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，4(π,0)x ∈-，则此函数在区间(,π48)π--上是单调递减，在区间()π8,0-上是单调递增，故B 错误；tan(π2)tan 2y x x =+=，函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，π2(,0)2x ∈-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递增，故C 错误；|sin(π2)||sin 2||sin 2|y x x x =+=-=，因为sin 2y x =的最小正周期为π，则此函数的最小正周期为π2；当)π(,04x ∈-时，π2(,0)2x ∈-，|sin 2|sin 2y x x ==-，则此函数在区间π(,0)4-上单调递减，故D 正确.故选：D.8．设3log 2a =，5log 3b =，8log 5c =，则A ．b a c <<B ．a b c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】B【分析】根据对数函数的性质，结合基本不等式，即可得出结果.【详解】由对数性质，可得：(),,0,1a b c ∈，2255555l g 3l g 8l g 24log 3log 8122o o o +⎛⎫⎛⎫⋅<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5851log 3log 5log 8∴<=，即b c <；而3332log 2log log 3a ==，5552log 3log log 3b ==>=，综上所述，a bc <<.故选：B.本题主要考查比较对数式的大小，熟记对数函数的性质即可，涉及基本不等式的应用，属于常考题型.二、多选题9．已知命题2:R,10p x x x ∀∈-+>，则（）A ．命题p 是真命题B ．命题p 的否定是“2R,10x x x ∀∈-+=”C ．命题p 是假命题D ．命题p 的否定是“2R,10x x x ∃∈-+≤”【正确答案】AD【分析】利用配方法可判断命题的真假，根据全称命题的否定是特称命题写出命题的否定．【详解】2213R,1024x x x x ⎛⎫∀∈-+=-+> ⎪⎝⎭，则命题p 是真命题；命题p 的否定是“2R,10x x x ∃∈-+≤”，故A 、D 正确．故选：AD ．10．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则（）A ．()12f x x =B ．()f x 的值域是[0,)+∞C ．()f x 是偶函数D ．()f x 在(0,)+∞上是减函数【正确答案】AB【分析】求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质判断即可.【详解】设()f x x α=，∵()y f x =的图象过点(，∴1233α==，∴12α=，∴12()f x x =，从而可得，()f x 的定义域为[0,)+∞，值域是[0,)+∞，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，在[0,)+∞上是增函数，故A 、B 正确；C 、D 错误.故选：AB.11．已知5sin 13π3x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且ππ32x <<，则（）A ．5sin 13π6x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．12cos 132π3x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭C ．tan 12π53x ⎛⎫= ⎪⎝-⎭D ．5cos 135π6x ⎛⎫-=⎪⎝⎭【正确答案】BCD【分析】根据角的范围及三角函数同角关系式求得cos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π，tan π3x -⎛⎫⎪⎝⎭．由sin sin 2πππ63x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断A ；由πc c 2ππ3s 3o os x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断B ；由tan tan ππ33x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝-⎭-⎝⎭结合诱导公式计算求解可判断C ；由πc 2os 5ππ6s 3co x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦结合诱导公式计算求解可判断D.【详解】由ππ32x <<得ππ063x -<-<，则12cos 13π3x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，tan 12π53x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-.12sin sin cos 213ππππ633x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 错误；12cos cos cos 132ππππ333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；tan ta 2ππ533n 1x x ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，故C 正确；5cos cos sin 135ππππ6233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.12．已知01a b <<<，则（）A ．b aa b <B ．log log a b b a >C ．log log 2a b b a +>D ．sin(sin )sin a b<【正确答案】ACD【分析】由x y a =的单调性可得b a a a <，由a y x =的单调性可得a a a b <，从而可判断A ；由log ,log a b y x y x ==的单调性可得log log ,log log a a b b a b a b ∴>>，从而可判断B ；由基本不等式可判断C ；利用结论：当π(0,)2x ∈时，sin x x <，可判断D.【详解】0< 1,x a y a <∴=在(0,)+∞上单调递减，又,b a a b a a <∴<，0,a a y x >∴= 在(0,)+∞上单调递增，由a b <得a a a b <，b a a b ∴<，故A 正确；由01a b <<<可知log ,log a b y x y x ==在(0,)+∞上均单调递减，log log ,log log a a b b a b a b ∴>>，log 1log a b b a ∴<<，故B 错误；由01a b <<<，可知lg lg log 0,log 0lg lg a b b a b a a b =>=>，因此lg lg log log 2lg lg a b b a b a a b +=+≥=，当且仅当a b =取等号，但已知01a b <<<，故等号不成立，从而得log log 2a b b a +>，故C 正确；当π(0,)2x ∈时，sin x x <．π012a b <<<< ，π0sin 2a ab ∴<<<<，又sin y x =在π(0,)2单调递增，所以sin(sin )sin sin a a b <<，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题13．若函数()f x =的定义域为A ，函数()()lg 2g x x =-的定义域为B ，则A ∩B =______.【正确答案】()1,2-【分析】先求得集合A B 、，再利用交集定义即可求得A B ⋂.【详解】()f x =的定义域为()1,-+∞；函数()()lg 2g x x =-的定义域为(),2-∞，则A B = ()1,2-.故()1,2-14．已知tan 2a =，则()2sin cos αα-=__________.【正确答案】15##0.2【分析】利用同角三角函数的基本关系，构造齐次式求解即可．【详解】()2222222sin cos 2sin cos tan 12tan sin cos sin cos 1tan 51ααααααααααα+-+--===++．故答案为.15四、双空题15．函数1101x y a a a -=+>≠(，)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是_____；若点P 在直线100)mx ny m n +=>>(，上，则21m n+的最小值为______.【正确答案】(1,2)；8【分析】利用指数幂的运算即可求得点P 的坐标，利用均值定理即可求得21m n+的最小值.【详解】当1x =时，1112a -+=，则函数1101x y a a a -=+>≠(，)的图象恒过定点(1,2)P ，点P 在直线100)mx ny m n +=>>(，上，可得2100)m n m n +=>>(，，则21214(2)4448n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当122m n ==时等号成立）故(1,2)；8五、填空题16．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为π2，则其面积是___________.【正确答案】π8-【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解.【详解】莱洛三角形的周长为π2，可得弧长6πA BCB AC===，则等边三角形的边长π16π23AB BC AC====，分别以点A、B、C为圆心，圆弧,,AB BC AC所对的扇形面积均为1π1π26224⨯⨯=，等边ABC的面积1122416S=⨯⨯=，所以莱洛三角形的面积是ππ3224168⨯-⨯.故答案为六、解答题17．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P⎛⎫-⎪⎝⎭(1)求sin cosαα+的值；(2)求sin(π)cos(π)πtan(2π)sin()2αααα--+++的值.【正确答案】(1)15-；(2)14【分析】（1）先利用三角函数定义求得sin cos αα、的值，进而求得sin cos αα+的值；（2）先求得tan α的值，再利用三角函数诱导公式即可求得该式的值.【详解】（1）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则43sin ,cos 55αα=-=，则431sin cos 555αα+=-+=-；（2）由（1）得43sin ,cos 55αα=-=，则4tan 3α=-，则sin(π)cos(π)sin cos πtan cos tan(2π)sin()2αααααααα--++=++41sin cos tan 1134sin tan 43ααααα-+++====-18．已知函数()a f x x x=+.(1)若()15f =，判断()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)若()43f =，判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并加以证明.【正确答案】(1)()f x 是奇函数，理由见解析(2)()f x 在(0,)+∞上的单调递增，证明见解析【分析】（1）由(1)5f =求出a ，从而得()f x ，由函数奇偶性的定义求解即可；（2）由()43f =求出a ，从而得()f x ，由函数单调性的定义进行判断证明即可.【详解】（1）()f x 是奇函数，理由如下：∵()af x x x=+，且()15f =，∴15a +=，解得4a =∴4()f x x x=+，定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 又44()()()()f x x x f x x x-=-+=-+=--所以()f x 为奇函数.（2）()f x 在(0,)+∞上的单调递增，理由如下：∵()af x x x=+，且()43f =，∴434a +=，解得4a =-，∴4()f x x x=-设120x x <<，则2121212112()()()()4(14)4f x f x x x x x x x x x --=-=-+-∵120x x <<，∴21x x -0>，12410x x +>故21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >所以()f x 在(0,)+∞上的单调递增.19．已知函数1π()sin(0,R)23f x x x ωω=->∈的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递减区间；(2)求()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【正确答案】(1)5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为4，最小值为14-.【分析】（1）根据周期可以求出2ω=，进而求出()f x 的单调递减区间；（2）根据π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求出π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，进而求出()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值与最小值.【详解】（1）由题意可得2πT==πω，则2ω=，则1π()sin(2)23f x x =-，所以()f x 的单调递减区间需要满足：ππ3π2π22π(Z)232k x k k +≤-≤+∈，解得5π11πππ(Z)1212k x k k +≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间为.5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知1π()sin(2)23f x x =-，因为π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin(2),32x ⎡-∈-⎢⎣⎦，则1(),4f x ⎡∈-⎢⎣⎦，所以()f x 在区间π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14-.20．已知函数||1()()2x f x a b =+的图象过点()0,2，且无限接近直线1y =但又不与该直线相交．(1)求函数()y f x =的解析式：(2)解关于x 的不等式3(ln )2f x <．【正确答案】(1)()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据图象过点()0,2得,a b 的关系，根据图象无限接近直线1y =但又不与该直线相交求出b ，从而得解；（2）利用指数函数和对数函数的单调性求解即可．【详解】（1）由图象过点()0,2，得()02f a b =+=，∵函数||1()()2x f x a b =+无限接近直线1y =，但又不与该直线相交，∴1b =，从而1a =，∴()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）由3(ln )2f x <得|ln |13122x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即|ln |1122x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则ln 1x >，所以ln 1x <-或ln 1x >，解得10ex <<或e x >．所以不等式3(ln )2f x <的解集为()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭．21．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售人员的销售利润不低于10万元时，按其销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售人员的销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过其销售利润的25%．现有三个奖励模型：80.2, 1.02,log 1x y x y y x ===+，请分别判断这三个模型是否符合公司的要求？并说明理由．（参考数据： 1.028log 581.274,log 1000 3.322≈≈，当8x ≥时，8log 10.25x x +≤恒成立）【正确答案】奖励模型8log 1y x =+符合公司的要求，理由见解析【分析】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当[10,1000]x ∈时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③25%y x ≤⋅，根据函数的性质一一验证即可．【详解】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当[10,1000]x ∈时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③25%y x ≤⋅．对于0.2y x =，易知满足①，但当25x >时，>5y ，不符合公司的要求；对于 1.02x y =，易知满足①，但当82x ≥时， 1.02o 82l g 51.0251.02y >≥=，不符合公司的要求；对于8log 1y x =+，函数在[10,1000]上单调递增，而且函数的最大值8log 1000 3.3225≈<，因而满足①②，因为当8x ≥时，8log 10.25x x +≤恒成立，所以当[10,1000]x ∈时，8log 125%x x +<⋅，满足③，故符合公司的要求．综上，奖励模型8log 1y x =+符合公司的要求．22．对于定义在I 上的函数()f x ,若存在实数0x I ∈,使得()00f x x =,则称0x 是函数()f x 的一个不动点,已知2()2(0)f x ax x a =-+≠有两个不动点12,x x ,且122x x <<(1)求实数a 的取值范围；(2)设[]()log ()a F x f x x =-，证明：()F x 在定义域内至少有两个不动点.【正确答案】(1)10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）由题意，得到210ax x -+=的两个实数根为12,x x ，设2()1p x ax x =-+，根据二次函数的图象与性质，列出不等式即可求解；（2）把()F x x =可化为()2log 22a ax x x -+=，设2()220p x ax x =-+=的两个实数根为,m n ，根据1x =是方程()g x x =的实数根，得出()2()220n n h n a an n a =--+=>，结合函数()h x 单调性，即可求解．【详解】（1）因为函数()f x 有两个不动点12,x x ，所以方程()f x x =，即2220ax x -+=的两个实数根为12,x x ，记2()22p x ax x =-+，则()p x 的零点为1x 和2x ，因为122x x <<，所以(2)0a p ⋅<，即(42)0a a -<，解得102a <<，所以实数a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）因为()2()log [()]log 22a a F x f x x ax x =-=-+方程()F x x =可化为()2log 22a ax x x -+=，即2222220x a ax x ax x ⎧=-+⎨-+>⎩设2()22p x ax x =-+，因为10,4(12)02a a <<∆=->，所以()0=p x 有两个不相等的实数根．设2()220p x ax x =-+=的两个实数根为,m n ，不妨设m n <．因为函数2()22p x ax x =-+图象的对称轴为直线1x a =，且1112(1)0,2,20,20p a p p a a a a ⎛⎫⎛⎫=>>=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以121m n a a <<<<．记()2()22x h x a ax x =--+，因为(1)0h =，且(1)0p a =>，所以1x =是方程()F x x =的实数根，所以1是()F x 的一个不动点，()2()220n n h n a an n a =--+=>，因为102a <<，所以24024,222a h a a a a ⎛⎫>=-<-< ⎪⎝⎭，且()h x 的图象在2,n a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象是不间断曲线，所以0,2x n a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，又因为()p x 在2,n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()0()0p x p n >=，所以0x 是()F x 的一个不动点，综上，()F x 在(,)a +∞上至少有两个不动点．。
2021-2022学年广东省广州市越秀区高一(上)期末数学试卷
2021-2022学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={x|x+1＞0}，B={x|-2≤x≤3}，则A∩B=（）A.{-1＜x≤3}B.{-1＜x＜3}C.{x|-1＜x≤3}D.{x|-1＜x＜3}2.（单选题，5分）若tanθ=-2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=（）A.- 65B.- 25C. 25D. 653.（单选题，5分）已知a=log312，b=ln3，c=2-0.99，则a，b，c的大小关系为（）A.b＞a＞cB.a＞b＞cC.c＞a＞bD.b＞c＞a4.（单选题，5分）下列说法中，错误的是（）A.若a2＞b2，ab＞0，则1a ＜1bB.若ac2＞bc2，则a＞bC.若b＞a＞0，m＞0，则a+mb+m ＞abD.若a＞b，c＜d，则a-c＞b-d5.（单选题，5分）为了得到函数y=sin(2x−π6)的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）个单位A.向右平移π6B.向右平移π3C.向左平移π6D.向左平移π36.（单选题，5分）下列全称量词命题与存在量词命题中：① 设A、B为两个集合，若A⊆B，则对任意x∈A，都有x∈B；② 设A、B为两个集合，若A⊈B，则存在x∈A，使得x∉B；③ ∀x∈{y|y是无理数}，x2是有理数；④ ∀x∈{y|y是无理数}，x3是无理数．其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.47.（单选题，5分）某人去上班，先快速走，后中速走．如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（）A.B.C.D.8.（单选题，5分）关于x的不等式（ax-b）（x+3）＜0的解集为（-∞，-3）∪（1，+∞），则关于x的不等式ax+b＞0的解集为（）A.（-∞，-1）B.（-1，+∞）C.（-∞，1）D.（1，+∞）9.（多选题，5分）下列四个命题中为真命题的是（）A.“x＞2”是“x＜3”的既不充分也不必要条件B.“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件C.关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根的充要条件是Δ=b2-4ac≥0D.若集合A⊆B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件10.（多选题，5分）下列式子中成立的是（）A.log 12 4＜log 126B.（12）0.3＞（13）0.3C.（12）3.4＜（12）3.5D.log32＜log2311.（多选题，5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中ω＞0，A＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示，下列说法正确的是（）A.为了得到g（x）=sin2x的图象，只要将f（x）的图象向右平移π6个单位长度B.函数f（x）的图象的一条对称轴为x=7π12C.函数f（x）在区间(0，π10)上单调递增D.方程f（x）=0在区间[0，2020]上有1285个实数解12.（多选题，5分）已知函数f（x）=sinx|cosx|，x∈[−π2，3π2]，有以下结论（）A.f（x）的图象关于直线y轴对称B.f（x）在区间[3π4，5π4]上单调递减C.f（x）的图象关于直线x=π2轴对称D.f（x）的最大值为1213.（填空题，5分）计算sin330°=___ ．14.（填空题，5分）函数y=（m2-m-1）x m2−2m−1是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m=___ ．15.（填空题，5分）若m＞0，n＞0，m+n=3，则1m +4n的最小值为 ___ ．16.（填空题，5分）已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数f（x），当x＞0时，f(x)={3|log2x|，0＜x≤2x2−8x+15，x＞2，若直线y=a（a∈R）与函数y=f（x）的图象恰有八个交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则x1•x2•x3•x4•x5•x6•x7•x8的取值范围是 ___ ．17.（问答题，10分）已知全集U=R，集合A={x|x2-4x＜0}，B={x|m≤x≤3m-2}．（1）当m=2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B=A，求实数m的取值范围．18.（问答题，12分）已知角α的终边落在直线y=4√3x上，且cosα=−17．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）若cos(α+β)=1114，β∈(0，π2)，求β的值．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+ π6）（A＞0，ω＞0）的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+ π2，-2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求sin（x0+ π4）的值．20.（问答题，12分）已知f(x)=a•2x+a−2是定义在R上的奇函数．2x+1（Ⅰ）求实数a和f（1）的值；（Ⅱ）根据单调性的定义证明：f（x）在定义域上为增函数．21.（问答题，12分）某化工企业致力于改良工艺，想使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为r0mg/m3，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r1mg/m3，第n次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r n mg/m3，则可建立函数模型r n=r0-（r0-r1）•50.5n+P（P∈R，n∈N*），其中n是指改良工艺的次数．已知r0=2，r1=1.94（参考数据：lg2≈0.3）．（Ⅰ）试求该函数模型的解析式；（Ⅱ）若该地环保部门要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08mg/m3，试问至少进行多少次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？22.（问答题，12分）设a为实数，函数f（x）=x2-2ax．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在区间[0，2]上的最大值；（Ⅱ）设函数g（x）=|f（x）|，h（a）为g（x）在区间[0，2]上的最大值，求h（a）的解析式；（Ⅲ）求h（a）的最小值．2021-2022学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={x|x+1＞0}，B={x|-2≤x≤3}，则A∩B=（）A.{-1＜x≤3}B.{-1＜x＜3}C.{x|-1＜x≤3}D.{x|-1＜x＜3}【正确答案】：C【解析】：由集合交集的定义求解即可．【解答】：解：因为集合A={x|x+1＞0}={x|x＞-1}，B={x|-2≤x≤3}，则A∩B={x|-1＜x≤3}．故选：C．【点评】：本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2.（单选题，5分）若tanθ=-2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=（）A.- 65B.- 25C. 25D. 65【正确答案】：C【解析】：由题意化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征即可求得三角函数式的值．【解答】：解：由题意可得：sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ)sinθ+cosθ= sinθsinθ+cosθ•sin2θ+cos2θ+2sinθ•cosθsin2θ+cos2θ= tanθtanθ+1•tanθ2+2tanθ+1tan2θ+1= 25．故选：C．【点评】：本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，sin2A+cos2A=1是解题的关键，属于中等题．3.（单选题，5分）已知a=log312，b=ln3，c=2-0.99，则a，b，c的大小关系为（）A.b＞a＞cB.a＞b＞cC.c＞a＞bD.b＞c＞a【正确答案】：D【解析】：利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】：解：∵ log312＜log31=0，∴a＜0，∵ln3＞lne=1，∴b＞1，∵0＜2-0.99＜20=1，∴0＜c＜1，∴b＞c＞a，故选：D．【点评】：本题主要考查了三个数大小的比较，合理利用指数函数和对数函数的性质是本题的解题关键，属于基础题．4.（单选题，5分）下列说法中，错误的是（）A.若a2＞b2，ab＞0，则1a ＜1bB.若ac2＞bc2，则a＞bC.若b＞a＞0，m＞0，则a+mb+m ＞abD.若a＞b，c＜d，则a-c＞b-d【正确答案】：A【解析】：由特值法可判断A；由不等式的性质可判断BD；利用作差法可判断C．【解答】：解：对于A，若a2＞b2，ab＞0，取a=-4，b=-2，则1a ＞1b，故A错误；对于B，若ac2＞bc2，则1c2＞0，所以a＞b，故B正确；对于C，若b＞a＞0，m＞0，则b-a＞0，则a+mb+m −ab= m(b−a)b(b+m)＞0，所以a+mb+m＞ab，故C正确；对于D，若a＞b，c＜d，则-c＞-d，所以a-c＞b-d，故D正确．故选：A．【点评】：本题主要考查不等式的基本性质，考查特值法的应用，属于基础题．5.（单选题，5分）为了得到函数y=sin(2x−π6)的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）个单位A.向右平移π6B.向右平移π3C.向左平移π6D.向左平移π3【正确答案】：B【解析】：将y=cos2x转化为y=sin（2x+ π2），再由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可求得答案．【解答】：解：∵y=cos2x=sin（2x+ π2），∴y=sin（2x+ π2）向右平移π3个单位得到y=sin[2（x- π3）+ π2）]=sin（2x- π6），故选：B．【点评】：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，将y=cos2x转化为y=sin（2x+ π2）是关键，属于基础题．6.（单选题，5分）下列全称量词命题与存在量词命题中：① 设A、B为两个集合，若A⊆B，则对任意x∈A，都有x∈B；② 设A、B为两个集合，若A⊈B，则存在x∈A，使得x∉B；③ ∀x∈{y|y是无理数}，x2是有理数；④ ∀x∈{y|y是无理数}，x3是无理数．其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：利用子集的定义、反例法逐项判断．【解答】：解：根据A⊆B 的定义可知，任意x∈A ，都有x∈B ，故 ① 正确； 若A⊈B ，则存在x∈A ，使得x∉B ，故 ② 正确；对于 ③ ④ ，π， √33是无理数，而π2是无理数， (√33)3=3 是有理数，故 ③ ④ 错误． 故选：B ．【点评】：本题考查命题真假的判断以及集合的概念和性质，属于基础题．7.（单选题，5分）某人去上班，先快速走，后中速走．如果y 表示该人离单位的距离，x 表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（ ）A.B.C.D.【正确答案】：D【解析】：根据行走过程速度的变化和距离变化的关系进行判断即可．【解答】：解：当x=0时，距离学校最远，不可能是0，排除A，C，先快速走，距离学校的距离原来越近，而且变化速度较快，排除B，故选：D．【点评】：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据速度和距离的变化关系是解决本题的关键，是基础题．8.（单选题，5分）关于x的不等式（ax-b）（x+3）＜0的解集为（-∞，-3）∪（1，+∞），则关于x的不等式ax+b＞0的解集为（）A.（-∞，-1）B.（-1，+∞）C.（-∞，1）D.（1，+∞）【正确答案】：A【解析】：根据不等式的解集可得a＜0，且1，-3是方程（ax-b）（x+3）=0的两根，得到a=b，即可求解．【解答】：解：由题意可得a＜0，且1，-3是方程（ax-b）（x+3）=0的两根，∴x=1为方程ax-b=0的根，∴a=b，则不等式ax+b＞0可化为x+1＜0，即x＜-1，∴不等式ax+b＞0的解集为（-∞，-1）．故选：A．【点评】：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，属于基础题．9.（多选题，5分）下列四个命题中为真命题的是（）A.“x＞2”是“x＜3”的既不充分也不必要条件B.“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件C.关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根的充要条件是Δ=b2-4ac≥0D.若集合A⊆B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件【正确答案】：ACD【解析】：直接利用命题真假的判定，充分条件和必要条件的应用对各选项进行判断得出结论．【解答】：解：对于A，“x＞2”是“x＜3”的既不充分也不必要条件，故A正确；对于B，“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；对于C，ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根⇔Δ=b2-4ac≥0，故C正确；对于D，若集合A⊆B，则x∈A是x∈B的充分不必要条件，故D正确．故选：ACD．【点评】：本题考查的知识要点：命题真假的判定，充分条件和必要条件，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．10.（多选题，5分）下列式子中成立的是（）A.log 12 4＜log 126B.（12）0.3＞（13）0.3C.（12）3.4＜（12）3.5D.log32＜log23【正确答案】：BD【解析】：根据对数函数指数函数的性质判断即可．【解答】：解：根据对数函数的性质，当0＜a＜1时，对数函数为减函数，故A错误，根据幂函数的性质，当幂指数大于0时，函数在第一象限单调递增，∵ 12＞13，∴（12）0.3＞（13）0.3，故B正确，根据指数函数的性质，当0＜a＜1时，为减函数，C错误．∵log32＜log33=1，log23＞log22=1∴log32＜log23，故D正确．故选：BD．【点评】：本题主要考查对数函数和指数函数的性质，属于基础题．11.（多选题，5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中ω＞0，A＞0，|φ|＜π2）的图象如图所示，下列说法正确的是（）A.为了得到g（x）=sin2x的图象，只要将f（x）的图象向右平移π6个单位长度B.函数f（x）的图象的一条对称轴为x=7π12C.函数f（x）在区间(0，π10)上单调递增D.方程f（x）=0在区间[0，2020]上有1285个实数解【正确答案】：AB【解析】：由图知，A=1，T=π，由ω= 2πT 求得ω的值，再将点（7π12，-1）代入函数解析式中，求得φ的值后，即可知f（x）的解析式，选项A，根据函数图象的平移法则，即可判断；选项B，由图可知，f（x）在x= 7π12取到最小值，是一条对称轴；选项C，离y轴右侧最近的最高点对应的横坐标为π3 - π4= π12，再根据函数图象，即可得解；选项D，f（x）在一个周期[0，π]内有2个零点，而区间[0，2020]重复了643个周期的函数图象，得解．【解答】：解：由图知，A=1，最小正周期T=4×（7π12 - π3）=π，所以ω= 2πT=2，所以f（x）=sin（2x+φ），将点（7π12，-1）代入函数解析式中，得-1=sin（2• 7π12+φ），所以7π6+φ=- π2+2kπ，k∈Z，即φ=2kπ- 5π3，k∈Z，因为|φ|＜π2，所以当k=1时，φ= π3，所以函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+ π3），选项A，将f（x）=sin（2x+ π3）=sin2（x+ π6）的图象向右平移π6个单位可得到g（x）=sin2x，即A正确；选项B，由图可知，x= 7π12是f（x）图象的一条对称轴，即B正确；选项C，离y轴右侧最近的最高点对应的横坐标为π3 - π4= π12＜π10，所以函数f（x）在区间（0，π12）上单调递增，在（π12，π10）上单调递减，即C错误；选项D，f（x）在一个周期[0，π]内有2个零点，而643π≈2019.02＜2020，即区间[0，2020]重复了643个周期的函数图象，所以方程f（x）=0在区间[0，2020]上有643×2=1286个实数解，即D错误．故选：AB．【点评】：本题考查三角函数的图象与性质，理解y=Asin（ωx+φ）中每个参数的含义，以及三角函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.（多选题，5分）已知函数f（x）=sinx|cosx|，x∈[−π2，3π2]，有以下结论（）A.f（x）的图象关于直线y轴对称B.f（x）在区间[3π4，5π4]上单调递减C.f（x）的图象关于直线x=π2轴对称D.f（x）的最大值为12【正确答案】：BCD【解析】：根据条件结合绝对值以及三角函数的倍角公式进行化简，作出函数的图象，利用数形结合分别进行判断即可．【解答】：解：当x∈[- π2，π2]时，f（x）=sinx|cosx|=sinxcosx= 12sin2x，当x∈（π2，3π2]时，f（x）=sinx|cosx|=-sinxcosx=- 12sin2x，作出函数f（x）的图象如图：则函数关于y轴不对称，故A错误，区间[ π2，π]的中点坐标为3π4，区间[π，3π2]的中点坐标为5π4，则f（x）在区间[ 3π4，5π4]上单调递减，故B正确，由图象知f（x）关于x= π2对称；故C正确，当x∈[- π2，π2]时，2x∈[-π，π]，当2x= π2时，f（x）取得最大值12，故D正确，故正确的是BCD，故选：BCD．【点评】：本题主要考查命题的真假判断，结合绝对值以及三角函数的倍角公式，利用数形结合是解决本题的关键．13.（填空题，5分）计算sin330°=___ ．【正确答案】：[1]- 12【解析】：所求式子中的角变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．【解答】：解：sin330°=sin （360°-30°）=-sin30°=- 12 ． 故答案为：- 12【点评】：此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 14.（填空题，5分）函数y=（m 2-m-1） x m 2−2m−1是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m=___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：由幂函数的定义知，其系数值应为1，又在x∈（0，+∞）上是减函数，故其幂指数为负，由此即可转化出参数的所满足的条件．【解答】：解：由题设条件及幂函数的定义知 {m 2−m −1=1①m 2−2m −1＜0②由 ① 解得m=2，或m=-1，代入 ② 验证知m=-1不合题意 故m=2 故答案为2【点评】：本题考点是幂函数的性质，考查对幂函数定义的理解与把握，幂函数的定义为：形如y=a x （a ＞0且a≠1）即为幂函数，其系数为1，这是幂函数的一个重要特征． 15.（填空题，5分）若m ＞0，n ＞0，m+n=3，则 1m +4n 的最小值为 ___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：由m+n=3，可得 13 （m+n ）=1，然后由 1m + 4n = 13 （m+n ）（ 1m + 4n ）= 53 + 4m3n +n3m，利用基本不等式进行求解．【解答】：解：由m+n=3，得 13（m+n ）=1，又m ＞0，n ＞0， 所以 1m + 4n = 13 （m+n ）（ 1m + 4n ）= 53 + 4m3n + n3m ≥ 53 +2 √4m3n •n3m =3， 当且仅当 4m3n = n3m ，即m=1，n=2时等号成立， 所以 1m + 4n 的最小值为3．故答案为：3．【点评】：本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解的能力，属于基础题．16.（填空题，5分）已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数f（x），当x＞0时，f(x)={3|log2x|，0＜x≤2x2−8x+15，x＞2，若直线y=a（a∈R）与函数y=f（x）的图象恰有八个交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则x1•x2•x3•x4•x5•x6•x7•x8的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1]（144，225）【解析】：作出f（x）的图象，得x1+x8=0，x2+x7=0，且x3x4=x5x6=1，可得x1•x2•x3•x4•x5•x6•x7•x8= (x7x8)2，再由根与系数的关系求解．【解答】：解：作出函数f（x）的图象如下图所示，由图可知，0＜a＜3，由对称性可知，x1+x8=0，x2+x7=0，且x3x4=x5x6=1，∴x1•x2•x3•x4•x5•x6•x7•x8= (x7x8)2，∵x7，x8是方程x2-8x+15-a=0的两个根，由根与系数的关系可得，x7x8=15-a∈（12，15），∴ (x7x8)2∈（144，225），即x1•x2•x3•x4•x5•x6•x7•x8的取值范围为（144，225）．故答案为：（144，225）．【点评】：本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．17.（问答题，10分）已知全集U=R，集合A={x|x2-4x＜0}，B={x|m≤x≤3m-2}．（1）当m=2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B=A，求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）可求出A={x|0＜x＜4}，m=2时，可求出集合B，然后进行交集和补集的运算即可；（2）根据A∪B=A可得出B⊆A，然后可讨论B是否为空集：B=∅时，m＞3m-2；B≠∅时，{m≤3m−2m＞03m−2＜4，从而解出m的范围即可．【解答】：解：（1）A={x|0＜x＜4}，m=2时，B={x|2≤x≤4}，∴A∩B={x|2≤x＜4}，且U=R，∴∁U（A∩B）={x|x＜2或x≥4}；（2）∵A∪B=A，∴B⊆A，① B=∅时，m＞3m-2，解得m＜1；② B≠∅时，{m≤3m−2m＞03m−2＜4，解得1≤m＜2；综上，实数m的取值范围为（-∞，2）．【点评】：本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集、并集和补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18.（问答题，12分）已知角α的终边落在直线y=4√3x上，且cosα=−17．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）若cos(α+β)=1114，β∈(0，π2)，求β的值．【正确答案】：【解析】：（I）由已知结合同角基本关系先求出tanα，再结合二倍角的正切公式可求；（II）由已知结合同角平方关系先求出sin（α+β），然后由cosβ=cos[（α+β）-α]，结合两角差的余弦公式展开求cosβ，进而可求．【解答】：解：（I）由题意得，α的终边在第三象限，因为cosα=−17，所以sinα= −4√37，tanα=4 √3，所以tan2α= 2tanα1−tan2α = 8√31−48=- 8√347；（II）因为α∈(π+2kπ，3π2+2kπ)，k∈Z，β∈(0，π2)，所以α+β∈（π+2kπ，2π+2kπ），k∈Z，又cos(α+β)=1114，所以sin（α+β）=- 5√314，所以cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα= 1114×(−17)+(−5√314)×(−4√37) = 12，所以β=π3．【点评】：本题主要考查了同角基本关系，二班角公式及和差角公式在求解三角函数值中的应用，属于中档题．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+ π6）（A＞0，ω＞0）的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+ π2，-2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求sin（x0+ π4）的值．【正确答案】：【解析】：（1）根据条件求出振幅以及函数的周期，即可求函数f（x）的解析式；（2）根据函数的最值，求出x0的大小，结合两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】：解：（1）∵图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x 0，2）和（x 0+ π2 ，-2）． ∴A=2， T2 =x 0+ π2 -x 0= π2 ，即函数的周期T=π，即T= 2πω=π ，解得ω=2， 即f （x ）=2sin （2x+ π6 ）．（2）∵函数的最高点的坐标为（x 0，2）， ∴2x 0+ π6 = π2 ， 即x 0= π6 ，则sin （x 0+ π4）=sin （ π6+ π4）=sin π6cos π4+cos π6sin π4= √22 （sin π6 +cos π6 ）= √22 （ 12+√32 ）= √2+√64．【点评】：本题主要考查三角函数的解析式的求解，以及三角函数值的计算，利用两角和差的正弦公式是解决本题的关键． 20.（问答题，12分）已知 f (x )=a•2x +a−22x +1是定义在R 上的奇函数．（Ⅰ）求实数a 和f （1）的值；（Ⅱ）根据单调性的定义证明：f （x ）在定义域上为增函数．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据奇函数的定义和性质建立方程进行求解即可． （Ⅱ）根据函数单调性的定义进行证明即可．【解答】：解：（Ⅰ）∵f （x ）是R 上是奇函数， ∴f （0）=0， 即f （0）=a+a−22 =0，得a=1，此时f （x ）=2x −12x +1，则f （-x ）= 2−x −12−x +1 = 1−2x1+2x=-f （x ），则f （x ）为奇函数，满足条件，则f （1）= 2−12+1 = 13 ．证明：（Ⅱ）f （x ）= 2x −12x +1 = 2x +1−22x +1 =1- 22x +1 ，设x 1＜x 2，则f （x 1）-f （x 2）= 22x 2+1 - 22x 1+1 = 2(2x 1+1)−2(2x 2+1)(2x 1+1)(2x 2+1) = 2(2x 1−2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1) ，∵x 1＜x 2，∴ 2x 1 ＜ 2x 2 ，则f （x 1）-f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 即f （x ）在R 上是增函数．【点评】：本题主要考查奇偶性和单调性的应用，利用奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键，是中档题．21.（问答题，12分）某化工企业致力于改良工艺，想使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为r 0mg/m 3，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r 1mg/m 3，第n 次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为r n mg/m 3，则可建立函数模型r n =r 0-（r 0-r 1）•50.5n+P （P∈R ，n∈N *），其中n 是指改良工艺的次数．已知r 0=2，r 1=1.94（参考数据：lg2≈0.3）． （Ⅰ）试求该函数模型的解析式；（Ⅱ）若该地环保部门要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08mg/m 3，试问至少进行多少次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？【正确答案】：【解析】：（I ）将r 0=2，r 1=1.94代入函数模型解解得答案； （II ）结合题意，解出指数不等式即可．【解答】：解：（I ）根据题意，1.94=2-（2-1.94）⋅50.5+P ⇒P=-0.5，所以该函数模型的解析式为 r n =2−0.06⋅50.5n−0.5(n∈N∗)．（II ）由 （I ），令 r n =2−0.06⋅50.5n−0.5≤0.08⇒50.5n−0.5≥32 ， 故(0.5n −0.5)lg5≥5lg2，得n ≥10lg2lg5+1 ， 则 n ≥10×0.30.7+1，10×0.30.7+1≈5.3 ，而n∈N *，则n≥6．综上：至少进行6次改良工艺才能使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．【点评】：本题考查函数的实际应用，考查学生的运算能力，属于中档题．22.（问答题，12分）设a为实数，函数f（x）=x2-2ax．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在区间[0，2]上的最大值；（Ⅱ）设函数g（x）=|f（x）|，h（a）为g（x）在区间[0，2]上的最大值，求h（a）的解析式；（Ⅲ）求h（a）的最小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2-2x=x（x-2）=（x-1）2-1，再利用二次函数的性质即可求出结果．（Ⅱ）函数f（x）x2-2ax的对称轴为x=a，对a的范围分情况讨论，分别求出g（x）在区间[0，2]上的最大值，最后写成分段函数的形式，即可得到h（a）的解析式．（Ⅲ）根据h（a）的解析式，求出每一段上的最小值，再比较即可．【解答】：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2-2x=x（x-2）=（x-1）2-1，∵x∈[0，2]，∴当x=1或2时，f（x）取得最大值0，即f（x）在区间[0，2]上的最大值为0．（Ⅱ）g（x）=|f（x）|=|x（x-2a）|，① 当a≤0时，g（x）=x2-2ax在[0，2]上单调递增，∴h（a）=g（2）=4-4a；② 当0＜a＜1时，g（x）在[0，a）上是单调递增，在[a，2a）上单调递减，在[2a，2]上单调递增，而g（a）=a2，g（2）=4-4a，∵g（a）-g（2）=a2+4a-4=（a-2 √2 +2）（a+2 √2 +2），∴当0＜a＜2 √2 -2时，h（a）=g（2）=4-4a；当2 √2 - √2≤a＜1时，h（a）=g（a）=a2，③ 当1≤a＜2时，g（x）在[0，a）上是单调递增，在[a，2]上单调递减，∴h（a）=g（a）=a2，④ 当a≥2时，g（x）在[0，2]上是单调递增，∴h（a）=g（2）=4a-4，综上所述，h （a ）= {4−4a ，a ＜2√2−2a 2，2√2−2≤a ＜24a −4，a ≥2，（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a ＜2 √2 -2时，h （a ）单调递减，无最小值，当2 √2−2 ≤a ＜2时，h （a ）=a 2单调递增，∴h （a ）的最小值为h （2 √2 -2）=12-8 √2 ， 当a≥2时，h （a ）=4a-4单调递增，最小值为h （2）=4，比较可知，h （a ）的最小值为h （2 √2 -2）=12-8 √2 ．【点评】：本题主要考查了二次函数的图象和性质，考查了分段函数求最值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2020-2021学年广东省广州市高一上期末考试数学试卷
2020-2021学年广东省广州市高一上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，2）D．[﹣1，1）【解答】解：∵A＝{x|x2﹣4x+3＞0}＝{x|x＞3或x＜1}，B＝{x|m＜x≤m+4}，若A∪B＝R，∴，解得：﹣1≤m＜1，故选：D．2．已知p：|m+1|＜1，q：幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递减，则p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：p：|m+1|＜1等价于﹣2＜m＜0，∵幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递减，∴m2﹣m﹣1＝1，且m＜0，解得m＝﹣1，∴p是q的必要不充分条件，故选：B．3．不等式x2﹣1＞0的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：∵x2﹣1＞0，∴（x+1）（x﹣1）＞0，∴或，解不等式组得x＞1或x＜﹣1，故选：D．4．设f（x）＝则f（17）＝（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：根据题意，f（x）＝则f（17）＝f（9）＝f（1）＝21＝2；故选：A．5．设a＝0.74，b＝40.7，c＝log40.7，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a＝0.74＜0.70＝1，b＝40.7＞40＝1，c＝log40.7＜log41＝0，∴c＜a＜b，故选：D．6．今有一组实验数据如下：x 2.00 3.00 4.00 5.10 6.12y 1.5 4.07.51218.1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A．y＝2x﹣2B．C．y＝2x﹣1D．y＝log2x【解答】解：由表格数据可知y随x的增大而增大，且增加速度越来越快，排除A，D，又由表格数据可知，每当x增加1，y的值不到原来的2倍，排除C，故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：根据函数的图象，，所以T＝π，则ω＝2，所以φ＝kπ（k∈Z），解得φ＝．由于|φ|＜，所以当k＝1时，解得φ＝．所以f（x）＝sin（2x+）．为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象向右平移个单位即可．故选：A．8．已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，则（）A．f（x）的最小正周期为B．曲线y＝f（x）关于对称C．f（x）的最大值为2D．曲线y＝f（x）关于对称【解答】解：函数f（x）＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），所以函数的最小正周期T＝＝π，所以A不正确；f（x）的最大值为，所以C不正确；函数的对称中心满足2x﹣＝kπ，所以x＝+，k∈Z，可得B不正确；函数的对称轴满足2x﹣＝kπ+，k∈Z，解得x＝+，k∈Z，当k＝0时，x ＝，所以D正确．故选：D．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．分析给出的下面四个推断，其中正确的为（）A．若a，b∈（0，+∞），则≥2B．若xy＜0，则≤﹣2C．若a∈R，a≠0，则+a≥4D．若x，y∈（0，+∞），则lgx+lgy≥2【解答】解：选项A，因为a，b∈（0，+∞），所以≥2＝2，当且仅当a＝b 时，等号成立，即选项A正确；选项B，因为xy＜0，所以﹣＞0，﹣＞0，所以＝﹣[（﹣）+（﹣）]≤﹣2＝﹣2，当且仅当x＝﹣y时，等号成立，即选项B正确；选项C，当a＜0时，+a≤﹣4，即选项C错误；选项D，当x，y∈（0，1）时，lgx，lgy∈（﹣∞，0），不适用于基本不等式，即选项D 错误．故选：AB．10．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝2x3+4x B．y＝x+sin（﹣x）C．y＝log2|x|D．y＝2x﹣2﹣x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2x3+4x，有f（﹣x）＝﹣（2x3+4x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝6x2+4，在区间（0，1）上，有y′＝6x2+4＞0，为增函数，符合题意；对于B，y＝x+sin x，有f（﹣x）＝﹣（x+sin x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝1+cos x，在区间（0，1）上，有y′＝1+cos x＞0，为增函数，符合题意；对于C，y＝log2|x|，有f（﹣x）＝log2|x|＝﹣f（x），y＝log2|x|为偶函数，不符合题意；对于D，y＝2x﹣2﹣x，有f（﹣x）＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝（2x+2﹣x）ln2，在区间（0，1）上，有y′＝（2x+2﹣x）ln2＞0，为增函数，符合题意；故选：ABD．11．函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0）的部分图象如图所示，已知函数f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是（）A．函数|f（x）|的最小正周期为2B．点为函数f（x）的一个对称中心C．函数f（x）的图象向左平移个单位后得到y＝A sin（ωx+φ）的图象D．函数f（x）在区间上是增函数【解答】解：由题意可知，函数f（x）过（，0），（，﹣1），所以＝﹣＝，可得T＝＝2，解得ω＝π，因为f（x）的最小值为﹣1，所以A＝1，将（，﹣1）代入f（x）＝cos（πx+φ）中，可得cos（π+φ）＝﹣1，所以π+φ＝2kπ+π，k∈Z，因为＜φ＜0，所以k＝0时，φ＝﹣，所以f（x）＝cos（πx），T＝2，所以|f（x）|的最小正周期为＝1，故A错误，将（﹣，0）代入f（﹣）＝cos（﹣π﹣）＝cos（﹣）＝0，故B正确，f（x）向左移个单位即f（x+）＝cos[π（x+）﹣]＝cos（πx+）＝cos[π+（πx ﹣）]＝sin（），故C正确，由f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，所以m∈[，），f（x）的增区间为[2k，2k+]，k∈z，﹣∈[﹣，﹣]，所以[﹣，0]⊂[﹣，]，故D正确．故选：BCD．12．已知正实数x，y满足，则下列结论正确的是（）A．B．x3＜y3C．ln（y﹣x+1）＞0D．2x﹣y＜【解答】解：∵正实数x，y满足，∴＜﹣．当x＞y时，＞1，＞0，而＜，∴﹣＜0，故＜﹣不可能成立．当x＝y时，＝0＜﹣＝0，不可能成立．故x＜y，∴＞，x3＜y3，故A不正确、B正确；∴y﹣x＞0，y﹣x+1＞1，ln（y﹣x+1）＞0，故C正确；2x﹣y＜20＝1，故D不一定正确，故选：BC．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是．【解答】解：方法一、由5x2y2+y4＝1，可得x2＝，由x2≥0，可得y2∈（0，1]，则x2+y2＝+y2＝＝（4y2+）≥•2＝，当且仅当y2＝，x2＝，可得x2+y2的最小值为；方法二、4＝（5x2+y2）•4y2≤（）2＝（x2+y2）2，故x2+y2≥，当且仅当5x2+y2＝4y2＝2，即y2＝，x2＝时取得等号，可得x2+y2的最小值为．故答案为：．14．已知函数，则f（x）+f（2﹣x）＝2．【解答】解：．15．已知函数f（x）＝a x﹣2﹣4（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标为（2，﹣3）．【解答】解：由x﹣2＝0得x＝2，此时f（2）＝a0﹣4＝1﹣4＝﹣3，即函数f（x）过定点A（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）16．若将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，则ω的最小值为．【解答】解：将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），可得y＝sinω（x﹣）的图象；又已知得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，∴＝+2kπ，k∈Z，则ω的最小值为，故答案为：．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}．（1）命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围；（2）若∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0}⇒{x|m﹣1≤x≤m+1}．由p是q的必要非充分条件知：B⫋A，∴，解得0≤m≤1．（2）由∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，得m≥﹣x2+3x+4，x∈[﹣1，2]，令y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，x∈[﹣1，2]，∴当x＝时，y取最大值为，∴m≥．18．（1）用定义法证明：函数是（﹣1，+∞）上的增函数；（2）判断函数的奇偶性并证明．【解答】解：（1）设x1＞x2＞﹣1，则f（x1）﹣f（x2）＝x1+﹣（x2+）＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（1﹣），由x1＞x2＞﹣1，可得x1+2＞1，x2+2＞1，∴（x1+2）（x2+2）＞1；0＜＜1，∴1﹣＞0；又∵x1﹣x2＞0，可得f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．即f（x）在区间（﹣1，+∞）上是增函数．（2）设x＞0，则﹣x＜0；∴g（﹣x）＝（﹣x）﹣﹣1＝﹣（x﹣+1）＝﹣g（x），设x＜0，﹣x＞0，∴g（﹣x）＝（﹣x）﹣+1＝﹣（x﹣﹣1）＝﹣g（x），则g（x）为奇函数．19．已知二次函数f（x）的值域为[﹣9，+∞），且不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y＝f（）的值域．【解答】解：（1）函数f（x）是二次函数，设为f（x）＝ax2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5），则有：﹣1和5是对应方程ax2+bx+c＝0的两不等实根，且a＞0；所以：由根与系数关系可得：①：﹣1+5＝﹣；②：（﹣1）×5＝；因为二次函数f（x）的值域为：[﹣9，+∞），则有：＝﹣9；函数的对称轴为：x＝﹣＝2；即函数的顶点坐标为：（2，﹣9）；即4a+2b+c＝﹣9；③由①②③可得：a＝1，b＝﹣4，c＝﹣5；所以：二次函数f（x）＝x2﹣4x﹣5，（2）函数y＝f（）中，令t＝，则t∈[0，3]；所以函数y＝f（t）＝t2﹣4t﹣5＝（t﹣2）2﹣9，当t＝2时，f（t）取得最小值为f（2）＝﹣9，当t＝0时，f（t）取得最大值为f（0）＝﹣5，所以f（t）的值域为[﹣9，﹣5]，即函数y的值域为[﹣9，﹣5]．20．设函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．【解答】解：因为函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），（1）令2x+＝kπ，k∈Z，解得x＝﹣，k∈Z，故函数的对称中心为（﹣，0），k∈Z；（2）令2x+，解得x，又因为x∈[0，π]，所以令k＝0，解得x，故函数的单调递减区间为[]．21．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+，g（x）＝sin x．（Ⅰ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）将函数f（x）图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数h（x）的图象，并设F（x）＝h（x）+t（g（x）+g（x+））．若F（x）＞0在[0，]上有解，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+＝sin2x﹣2•+＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，π]，∴sin（2x+）∈[0，1]，∴f（x）＝2sin（2x+）∈[0，2]，函数f（x）的值域为[0，2]…4分（Ⅱ）∵由题意可得h（x）＝4sin2x，…6分∴F（x）＝4sin2x+t[sin x+sin（x+）]＝4sin2x+t（sin x+cos x），（0≤x≤），设u＝sin x+cos x＝sin（x+），∵x∈[0，]，∴u∈[1，]，且sin2x＝u2﹣1，∴F（x）＞0在[0，]上有解，等价于不等式4（u2﹣1）+tu＞0在u∈[1，]时有解，即存在u∈[1，]使得﹣t＜4（u﹣）成立，∵y＝4（u﹣）在u∈[1，]时单调递增，∴y＝4（u﹣）≤4（）＝2，∴﹣t＜2，即t＞﹣2，即实数t的取值范围为（﹣2，+∞）…12分22．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病．面对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位，明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．随着疫情防控形势好转，中央出台了一系列助力复工复产好政策．城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：4≤t≤15，t∈N，平均每趟快递车辆的载件个数p（t）（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足p（t）＝，其中t∈N．（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值；（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益为q（t）＝﹣80（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．【解答】解：（1）当9≤t≤15时，p（t）＝1800超过1500，不合题意；当4≤t＜9，p（t）＝1800﹣15（9﹣t）2，载件个数不超过1500，即1800﹣15（9﹣t）2≤1500，解得t≤9﹣或t，∵4≤t＜9，t∈N，∴t＝4；（2）当4≤t＜9时，p（t）＝﹣10t2+200t+200，q（t）＝﹣80＝﹣80＝＝1520﹣（），∵≥＝1260，当且仅当90t＝，即t＝7时取等号．∴q（t）max＝260；当9≤t≤15，q（t）＝﹣80＝是单调减函数，∴当t＝9时，q（t）max＝240＜260．即发车时间间隔为7分钟时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大，最大净收益为260元．。
2019-2020学年广东省广州市越秀区高一上学期期末考试数学试卷及答案解析
2019-2020学年广东省广州市越秀区高一上学期期末考试
数学试卷
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜4}，则集合A中的元素个数是（）
A．3B．4C．5D．6
2．如果点P（sinθ，cosθ）位于第四象限，那么角θ所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．若幂函数f（x）的图象过点（4，2），则f（a2）＝（）
A．a B．﹣a C．±a D．|a|
4．（）﹣2+log22等于（）
A ．B．3C．4D．5
5．（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
6．若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（）A．0＜a＜1B ．C ．D ．
7．函数的最小正周期为（）
A ．B．πC．2πD．4π
8．已知α∈（π，π），cosα＝﹣，则tan （﹣α）等于（）
A．7B ．C ．﹣D．﹣7
9．如图所示，函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点，若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数为g（x），则g（0）＝（）
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2020-2021学年广州市越秀区高一(上)期末数学复习卷1(解析版)
2020-2021学年广州市越秀区高一(上)期末数学复习卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,3,5,7}，B ={2,3,4,5}，则A ∩B = ( )A. {1,2,3,4,5,7}B. {5}C. {3}D. {3,5}2. log 223+log 26等于( )． A. 1 B. 2C. 5D. 6 3. 设a =lg0.2，b =log 32，c =5 12，则( )A. a <b <cB. b <c <aC. c <a <bD. c <b <a4. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢．若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( )A. 一次函数模型B. 二次函数模型C. 指数型函数模型D. 对数型函数模型5. 已知函数f(x)={log 2x(x >0)3x (x ≤0)，则f[f(12)]的值是( ) A. 3 B. 13 C. log 2√3 D. 06. 直线l 过点(−1,2)且与直线2x −3y +4=0平行，则直线l 的方程是( )A. 3x +2y −1=0B. 3x +2y +7=0C. 2x −3y +5=0D. 2x −3y +8=07. 如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A. 4√33π B. 12πC. √36π D. √33π8.以下命题：①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 39.用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()A. 20π3B. 20√5π3C. 20√5πD. 100π310.圆x2+y2=4与圆x2+y2−4x+4y−12=0的公共弦所在直线的方程为()A. x−y+2=0B. x−y−2=0C. x+y+2=0D. x+y−2=011.直线l过圆(x−2)2+(y+2)2=25内一点M(2,2)，则l被圆截得的弦长恰为整数的直线共有()A. 8条B. 7条C. 6条D. 5条12.已知0<a<1，则函数f(x)=a|x|−|log a x|的零点的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线x+2y−3=0与直线2x+ay−1=0垂直，则a的值为_____________．14.长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为______．15.经过点(2,0)且圆心是直线x=2与直线x+y=4的交点的圆的标准方程为__________．16.α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n//β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n//α，那么m⊥n．③如果α//β，mα，那么m//β.④如果m//n，α//β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有____.(填写所有正确命题的编号)三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求直线l：2x−y−2=0，被圆C：(x−3)2+y2=9所截得的弦长．18.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，E、F分别为BB1、AC的中点．求证：(1)BF//平面A1EC；(2)平面A1EC⊥平面ACC1A1．19.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．(1)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该服装厂获得的利润最大？并求出最大值．AA1，D是棱20.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12 AA1的中点．(1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．21.求满足下列条件的圆的方程：(1)经过点P(5,1)，圆心为点C(8,−3)；(2)经过三点A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)．22.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x−1．(Ⅰ)求f(3)+f(−1)；(Ⅱ)求f(x)的解析式；(Ⅲ)若x∈A，f(x)∈[−7,3]，求区间A．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查了交集及其运算，考查学生的计算能力，属于基础题．根据交集的运算即可得到A∩B．解：∵集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，∴A∩B={3,5}，故选D．2.答案：B解析：本题考查了对数运算性质，属于基础题．利用对数运算性质即可得出．×6)=log222=2．解：原式=log2(23故选B．3.答案：A解析：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解：a=lg0.2<0，b=log32∈(0,1)，c=5 12>1．∴a<b<c．故选A．4.答案：D解析：。