(完整版)绝对值的意义及应用
《绝对值》知识简要与举例
《绝对值》知识简要与举例1.绝对值的概念是代数的重要概念之一，它是学习代数后续内容的基础.同时，利用绝对值的概念，能使我们进一步认识已学过的概念.例如，我们可以把任何一个有理数看成是由符号与绝对值两部分组成；又如，互为相反数的两个数，其实质是绝对值相等而符号相反的两个数.像－6和6，它们的符号相反，而其绝对值|－6|=|6|=6.2.理解绝对值的意义，应注意以下三点：(1)绝对值的非负性即任何一个数a的绝对值，总是非负的.即|a|≥0.当a≠0时，|a|＞0；当a=0时，|a|=0.(2)绝对值相等的两个数或相等，或互为相反数.如|2|=|+2|=2，|+2|=|－2|=2.一般地，若|x|=|y|，则有x=y或x=－y.3.用正负数可以表示具有相反意义的量.但在实际生产和生活中，有时不考虑方向性.如：计算汽车的耗油量时，知道行驶单位路程的耗油量，只需求出汽车行驶的总路程，便可求出耗油量，与行驶的方向无关而汽车所走的路程就只需用正数表示，因此，引出绝对值的概念.4.绝对值的三种表达方法.（1）文字语言表达法（绝对值的概念）：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.（2）用数学式子法：设a为任意有理数，则(3)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离.［例1］判断题(2)|－0.01|＜0.( )(3)－（－4）＜|－4|.( )(4)|a|=a.( )(5)当a≤0时，|a|+a=0.( )答案：(1)√；(2)×；(3)×；(4)×；(5)√.说明：在有理数的大小比较中，如果含有绝对值或相反数时，可先化简，然后再进行比较.［例2］填空题（5）______________与它的绝对值互为相反数；（6）如果|a|=|－7|，那么a=________.说明：如果两个数相等或互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；反之，如果这两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数.［例3］a为何值时，下列各式成立?(1)|a|=a；（2）|a|=－a；（3）|a|≥a；（4）|a|＜a；（5）|a|=5；（6）|a|=－5.解：（1）a≥0；（2）a≤0；（3）a为任意有理数时，都使|a|≥a成立；（4）a为任意有理数时，|a|＜a都不成立；（5）a=±5；（6）a为任意有理数时，|a|=－5都不成立.说明：本题解决的关键是牢固掌握绝对值的非负性，即|a|≥0.另外，（3）、（4）小题还要准确理解有理数大小的比较法则.［例4］比较大小：［例5］把下列各数按照从大到小的顺序用“＞”连接起来：说明：学了绝对值的概念之后，比较两有理数大小的基本方法，我们便有了两种：(1)数轴法；(2)绝对值法.在这小节的后一部分，介绍了利用绝对值比较两个负数的大小的办法.这既可巩固绝对值的概念，又把比较有理数大小的方法提高了一步.利用绝对值来比较两有理数大小的方法是我们常用的方法之一.前面提到绝对值的概念是代数中重要的概念之一，我们应该很好地掌握它.［例6］（1）若a＞3,则|a－3|=________;（2）若a=3,则|a－3|=________;（3）若a＜3,则|a－3|=________.分析：要想正确地化简|a－3|的结果.关键是确定a－3的符号.当a＞3时，a －3＞0,即a－3为正，由正数的绝对值是它本身，可得结果为a－3;当a=3时，a －3=0,所以|a－3|=|0|=0;当a＜3时，a－3＜0,即a－3为负数，由负数的绝对值等于它的相反数可得|a－3|=－(a－3).解：（1）a＞3时，|a－3|=a－3;（2）a=3时，|a－3|=0;（3）a＜3时，|a－3|=－(a－3)说明：由本题的解法说明，化简含有字母的式子的绝对值时，必须先讨论这个式子的计算结果的正负性.否则会出现错误，如|a－3|=a－3(×).。
初中数学知识点：绝对值
初中数学知识点：绝对值在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
绝对值用“||”来表示。
在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值，叫做a-b的绝对值，记作|a-b|。
绝对值的意义：1、几何的意义：在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：5指在数轴上表示数5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5。
2、代数的意义：非负数（正数和0,）非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。
互为相反数的两个数的绝对值相等。
a的绝对值用“|a |”表示．读作“a的绝对值”。
实数a的绝对值永远是非负数，即|a |≥0。
互为相反数的两个数的绝对值相等，即|-a|=|a|。
若a为正数，则满足|x|=a的x有两个值±a，如|x|=3，,则x=±3.绝对值的有关性质：①任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性；②绝对值等于0的数只有一个，就是0；③绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；④互为相反数的两个数的绝对值相等。
绝对值的化简：绝对值意思是值一定为正值，按照“符号相同为正，符号相异为负”的原则来去绝对值符号。
①绝对值符号里面为负，在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值，也就是当：│a│=a (a为正值，即a≥0 时）；│a│=-a （a为负值，即a≤0 时）②整数就找到这两个数的相同因数；③小数就把这两个数同时扩大相同倍数成为整数,一般都是扩大10、100倍；④分数的话就相除，得数是分数就是分子：分母，要是得数是整数，就这个数比1。
七年级数学上《绝对值》知识解析
《绝对值》知识解析
课标要求
理解绝对值的含义，会求一个数的绝对值，理解绝对值的几何定义和代数定义。
知识结构
1．绝对值的几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，它是一个数的几何特征，利用一个数的绝对值的几何意义可以直观地将数和点联系起来．更有利于研究它的性质．
2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
3．任给一个有理数，求它的绝对值．
内容解析
教材首先通过实例提出决定一个数不仅是符号，还有它到原点的距离---绝对值，然后利用数轴提出绝对值的几何意义——数轴上表示数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，在数轴上研究不同类别的数的绝对值，归纳总结出绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．从而使学生学会求一个数的绝对值，了解有理数的绝对值的特征．
重点难点
本节的重点是正确理解绝对值的定义，能求一个数的绝对值．难点是正确理解一个数的绝对值的几何定义和代数定义．
教法导引
利用数轴引导学生观察绝对值的几何意义，总结绝对值的代数意义，通过数形结合，启发、诱导、讨论的方法学会找一个数的绝对值．
学法建议
联系生活实际，利用类推，归纳，相互讨论的方式来学习绝对值．。
绝对值及其应用
绝对值及其应用隋福太关键词：绝对值，绝对值的几何意义及其应用知识点精讲1.绝对值的几何定义：在数轴上表示这个数的点到原点的距离就是这个数的绝对值.a 的绝对值表示为a .所以33=-，66=- 00= 55= 88= 通过上例易得例.已知1253>-+-x x ，求x 的取值范围练习1.已知1253<-+-x x ，求x 的取值范围2.绝对值的代数定义：正数的绝对值就是它本身，零的绝对值等于零，负数的绝对值就是它的相反数.3.绝对值的性质：非负性例.1-x 与2+y 互为相反数，试求2002)(b a +4.根据相反数的定义知，一对相反数分居原点两侧，并且到原点的距离相等.结合绝对值的定义知a a -=.由于0)()(=-+-a b b a ，故b a -与a b -是一对相反数，同样会有a b b a -=-.例.一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数，则这个数是练习1.数轴上表示互为相反数的两点之间的距离为6，这两个数是5.在数轴上，a ，b 两点之间的距离为b a -或a b -.当知道两点的位置关系时，通常就去掉绝对值;当不知道两点之间位置关系时，就带上绝对值符号.由此易得6.中点公式：以)(11p p 和)(22p p 为端点的线段的中点为221p p +数分别为a 、b 、c ，且都不为零，点C 为AB 的中点，如果b a +- c a 2-+c b 2-c b a 2-+-0=，试确定原点O 的大致位置6.点P （p ）到)3,2,1)((n i a A i i =的距离和为n a p a p a p -++-+- 21.（1）当n 为奇数时，个点取第21+n p 时（即正中间的那个数），该距离和最小（2）当n 为偶数时，p 取第2n 到第21+n 个点（包括这两个点）时，距离和最小 例.求531-+-++x x x 的最小值是多少？练习1.1-x +2-x +3-x +4-x +5-x 1997-+x 的最小值 2.已知9619--+-+-=a x x a x y ，如果9619<<a ，96≤≤x a 求y 的最小值7三角不等式：b a b a b a +≤±≤-经典例题选讲例1.已知,36)13)(12)(21(=++-++--++z z y y x x 求z y x 32++的最大值和最小值 解：321≥-++x x ，当21≤≤-x 时等号成立；312≥++-y y ，当21≤≤-y 时等号成立；413≥++-z z ，当31≤≤-z 时等号成立.由条件得321=-++x x ，312=++-y y ，413=++-z z ，则当,2=x 2=y ，3=z 时，z y x 32++的值最大，最大值为15.当,1-=x 1-=y ，1-=z 时，z y x 32++的值最小，最小值为-6.例 2.设1x ，2x 3x 4x 5x 6x 是6个不同的正整数，取值于1,2,3,4,5,6，记21x x S -=+32x x -+43x x -+54x x -+65x x -+16x x -，求S 的最小值解：根据绝对值的意义得，原题等价于：从数轴上点1出发，每次走一个整数点，走完点2，点3，点4点5，点6，最后回到点1，问最少走了多少距离？取11=x ，22=x 33=x 44=x 55=x 66=x 则21x x S -=+32x x -+43x x -+54x x -+65x x -+16x x -=1+1+1+1+1+1+5=10例3.将1，2，3，…，200，这200个数任意分成两组，每组100个数，将一组按由小到大的顺序排列（记为10021a a a <<< ），另一组按由大到小的顺序排列（记为10021b b b >>），试求100100332211b a b a b a b a -++---+- 的值 先证明：对于代数式的任何一项i i b a -（i=1,2,…100）中的i i b a ,，较大的数一定大于100，较小的数一定不大于100.（1）若100100≤≤i i b a 且，则由10010021≤<<<a a a 及10021100b b b >>≥，知100121,,,,,,,b b b a a a k k k +共101个数都不大于100.这是不可能的（2）若100100>>i i b a 且，则由及10099100>>>>k a a a 10010021>>>>b b b ，知100121,,,,,,,a a a b b b k k k +共101个数都大于100.这也是不可能的.于是代数式中100个绝对值100100332211,,,,b a b a b a b a ---- 中较小的数为1，2，…，100，较大的数为101,102，… 200.故原式=（101+102+…+200）-（1+2+…+100）=10000.例4.1020-x +1510-x +2030-x 最小值该题相当于在数轴上，10点处有20个工人，15点处有10个工人，20点处有30个工人，在数轴上求一点使他们到该点的路程和最小？解.先对10点处20个工人和20点处20个工人，当这一点只要取在10到20点之间任一点这40个工人走的路程和最小，最小距离和为20⨯10=200.因而在15点处有10个工人，20点处有10个工人，只需这20个工人所走的路程和最小即可，易得取15到20之间（包括这两点）任取一点即可，取20，易得最小距离和为10⨯5=50.练习 1.当x 满足什么条件时，5.05.1-x +5.05.2-x +5.05.3-x +5.05.4-x +5.05.5-x +5.05.6-x 的值取得最小值. A.91111≤≤x B.7191≤≤x C.5171x ≤ D.111131≤≤x 例5.42=-a ，8=b ，且a b b a -=-求a 和b解.4a表示到2的距离等于4的点为a=2-4=-2和-2=a=2+4=6两个点.由a b b a -=-知a b ≥，当a=-2时，b=8;当a=2时，b=8.例6.m m n m =++2)(，且022=--n m ，求mn解. m m n m =++2)(知0≥m .可得0)(2=-n m ，得m+n=0,由022=--n m 得2m-n-2=0,易求得32=m ，32-=n ，则94-=mn .例7.解绝对值方程①23=-x ②65=+x ③1262=-+-x x 解.①23=-x 表示x 到3的距离为2，故x=1或x=5 ②65=+x 表示到-5的距离为6的点，故x=1或x=-11 ③1262=-+-x x 表示到2和6的距离和为12，易知到2和到6的点的距离和的最小值为4，故x 一定不在2和6之间，即在2的左边或在6的右边，12-4=8，428=÷所以x=10或-2.例8.解方程 2342-=+x x 9423-=-x x例9.已知a ，b ，c ，d 是有理数，9≤-b a ，16≤-dc ，且25=+--d c b a 求c d a b ---的值 解：因为2516925=+=-+-≤+--=d c b a d c b a ，所以只有9=-b a ，16=-d c 则原式=9-16=-7例10.若,0<x 化简x x xx ---32解.因为0<x ，所以03<-x ，原式x x xx +---=32=x -练习 6.1=++p pn nm m ，则=mnp mnp 327.若,0>a 0<b ，b a b x a x -=-+-，则x 的取值范围为8.求满足1=+-ab b a 的非负整数对()b a ,的值9.已知：三个数c b a ,,的积为负数，和为正数，且bc bcac acab ababc abcc cb ba ax ++++++=，求123+++cx bx ax 的值 10.b a 与互为相反数，且54b -a =，那么=+++1ab -a 2ab a b 11.设0<a ，且a a x ≤，试化简21--+x x 12.化简121+---x x13.a<0,且a ax ≤，试化简21--+x x 14.化简xx xx 5232-- 15.化简325-++x x 16.121++--x x20．不相等的有理数a 、b 、c 在数轴上的对应的点分别为A 、B 、C ，如果c a c b b a -=-+-，那么点B 的位置为21.已知5)(2+=+++b b b a 01=--b a ，求ab 的值22.设k 为自然数，且ka+b=0,则1-b a +2-b a 等于 23.已知a 、b 、c 均为整数，且满足11010=-+-c a b a ，则 c a c b b a -+-+-=24．已知90≤≤a ，那么a a -+-32的最大值为25.如果a 、b 、c 是非零有理数，且a+b+c=0，那么abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为如果a 、b 、c 、d 是互不相等的有理数，且=-c a c b -=b d -1=，那么d a -=等于（ ）（山东省第二届“灵通杯”七年级数学竞赛题）（A ）1.（B ）2.（C ）3.（D ）4.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
绝对值 几何意义
绝对值几何意义：在数轴上，一个数与原点的距离叫做该数的绝对值（absolute value）．如：指在数轴上表示的点与原点的距离，这个距离是5，所以的绝对值是5，又如指在数轴上表示1.5的点与原点的距离，这个距离是1.5，所以1.5的绝对值是1.5，代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0互为相反数的两个数的绝对值相等绝对值用“|a |”表示．读作“a的绝对值”．如：|－2|读作－2的绝对值。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，,绝对值是非负数≥0。
特殊的零的绝对值既是他的本身又是他的相反数,写作|0|=0|3|=3 |-3|=3（相反数绝对值互为倒数）两个负数比较大小，绝对值大的反而小比如:若|2(x—1）—3+|2y—4）|=0，则x=___,y=____。
（|是绝对值）答案:2(X-1)-3=0X=5/22Y-4=0Y=2一对相反数的绝对值相等：例+2的绝对值等于—2的绝对值(因为在数轴上他们离原点的单位长度相等) 绝对值的几何意义和代数意义：几何定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
（在数轴上表示数a的点与原点的距离一定是非负数）代数定义：|a|={a>0 a=a{a<0 a=-a{a=o a=0关于绝对值的题目：已知|x|=3，|y|=1/2,且|x-y|=y-x,求y-x解：因为|x-y|>0 或=0，且|x-y|=y-x，所以x<0，x只能等于-3。
y=-1/2 或=1/2。
设y=1/2，则原式=1/2-（-3）= 3又1/2。
设y=-1/2，则原式=（-1/2）—（-3）=2又1/2。
答：y-x等于3又1/2或2又1/2。
|x-1|+|x-2|+|x-3|.....|x-5|的最小值为多少，可以用几何意义来做，要想最小就要取中间的也就是x-3=0即x=3原式=6，为最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|则取2，3中间任意一点，得4公式|m-n|-|n-m|=0m/n可以是任何数2. 绝对值的有关性质无论是绝对值的代数意义还是几何意义，都揭示了绝对值的以下有关性质：（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性。
(完整版)绝对值的意义及应用
绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛.在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x| > 0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c| 化简结果为（）A. 2a+3b-c B . 3b-c C . b+c D . c-b（第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题）解：由图形可知a v 0, c>b>0,且|c| > |b| >|a|，贝U a+b> 0, b-c v 0. 所以原式=-a+b+a+b-b+c = b+c，故应选（C）.三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x| > 0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x< |x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等（显然如|6| = |-6| ，但6丰-6），只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例 2. 已知：|x-2|+x-2 = 0,求：(1)x+2 的最大值；(2)6-x 的最小值。
解：•/ |x-2|+x-2 = 0 ,••• |x-2| = -(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，• x-2 w 0,即卩x w 2，这表示x的最大值为2(1) 当x= 2时，x+2得最大值2+2= 4;(2) 当x= 2时，6-x得最小值6-2 = 42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的,就需先求零点,再分区间定性质,最后去掉绝对值符号。
绝对值的代数意义和几何意义
绝对值的代数意义和几何意义绝对值是数学中一个重要的概念，它具有代数意义和几何意义。
在代数中，绝对值表示一个数与零之间的距离，而在几何中，绝对值表示一个点在数轴上的位置。
代数意义：在代数中，绝对值常用符号“，x，”表示，其中x表示任意实数。
绝对值的定义是：x，=x,当x>=0x，=-x，当x<0绝对值的代数意义是表示一个数与零之间的距离。
无论一个数是正数还是负数，它与零的距离都是一个非负数。
例如，对于数-5来说，它与零的距离为5，即，-5，=5、对于数8来说，它与零的距离也是8，即，8，=8、因此，绝对值可以将负数转化为正数，而保持正数不变。
绝对值在代数中有多种应用。
首先，绝对值可以用来定义两个实数的大小关系。
例如，对于实数a和b来说，如果，a，<，b，则a的绝对值小于b的绝对值，即a的绝对值离零更近。
其次，绝对值还可以用来确定一个数的符号。
如果一个数的绝对值是正数，则该数为正数；如果一个数的绝对值是负数，则该数为负数。
几何意义：在几何中，绝对值被用来表示一个点在数轴上的位置。
数轴是一个直线，可以将实数一一对应地映射到数轴上的点。
绝对值表示一个点到原点的距离，且方向无关。
通过绘制一个数轴，我们可以将绝对值的几何意义更加直观地理解。
假设有一个点A在数轴上，它与原点O之间的距离为，x，点A在数轴上的位置取决于该点到原点的距离。
如果x>=0，则点A在原点的右侧距离为x；如果x<0，则点A在原点的左侧距离为-x。
无论点A在哪一侧，它的距离始终是非负数。
除了数轴，绝对值的几何意义还可以应用到平面几何中。
在平面几何中，绝对值可以表示一个点到原点的距离，在二维坐标系中常用来计算两个点之间的距离。
例如，对于点P(x1,y1)和Q(x2,y2)来说，它们之间的距离可以表示为：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)其中，sqrt表示平方根运算。
由于平方根运算的结果始终是非负数，因此绝对值用于确保距离始终是非负数。
绝对值的代数意义和几何意义
绝对值的代数意义和几何意义
绝对值是数学中使用最广泛的概念之一，在代数中，它被定义为数值或表达式的绝对值，容易被视为一种量度，它可以衡量一个数的大小，而不必考虑它的符号。
一、代数意义
1. 绝对值是数值和表达式的数学量度，衡量数值的大小，不受它的符号（正负）的影响。
即|x| = x,如果x>0；|x| = -x,当x<0时。
2. 绝对值函数y=|x|是一个凸函数，它的图象关于y轴对称，当x变化时，y曲线上各点的变化率一定为正。
3. 两个相等负数的绝对值相等，因此绝对值函数不满足函数的单值定理。
4. 当x ≠ 0时，|x|不能表示为0，因为如果这样的话，将会发生抵消，而它的本来
意义就是衡量数值大小。
二、几何意义
1. 在几何中，它表示一点到原点的距离，也表示函数的最大值或最小值。
2. 对于向量的绝对值，表示的是向量的模长或长度，它是一个实数。
3. 绝对值用来描述点(x，y)到原点(0，0)之间的距离，即|(x，y)|=根号[x2 +y2]。
4. 对于复平面中点(z)，其绝对值|z| = 根号[(a+bi)2] = 根号[a2+b2]。
以上可以看出，绝对值在代数和几何中都有着各自独特而重要的意义，它们在理解数学概念中都具有十分重要的作用。
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绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。
对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.一. 绝对值的实质：正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．三. 绝对值的性质：1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法1. 运用绝对值概念。
即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝42. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
例3. 已知|x-2|+x与x-2+|x|互为相反数，求x的最大值．解：由题意得(|x-2|+x)+(x-2+|x|)＝0，整理得|x-2|+|x|+2x-2＝0令|x-2|＝0，得x＝2，令|x|＝0，得x＝0以0，2为分界点，分为三段讨论：(1)x≥2时，原方程化为x-2+x+2x-2＝0，解得x＝1，因不在x≥2的范围内，舍去。
(2)0≤x＜2时，原方程化为2-x+x+2x-2＝0，解得x＝0(3)x＜0时，原方程化为2-x-x+2x-2＝0，从而得x＜0综合(1)、(2)、(3)知x≤0，所以x的最大值为03. 整体参与运算过程．即整体配凑，借用已知条件确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值符号进行运算。
例4. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范围。
解：根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤24. 运用绝对值的几何意义．即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算．例5. 求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围．解：原式可化为|x-3|-|x-(-1)|＝4它表示在数轴上点x到点3的距离与到点-1的距离的差为4由图可知，小于等于-1的范围内的x的所有值都满足这一要求。
所以原式的解为x ≤-1五. 有关绝对值知识的应用1. 如果根据已知条件或题目中的隐含条件可以确定绝对值符号内的数(或代数式)为“负”值或“非负”值，则由绝对值的定义可直接写出其结果.例6. 设x ，y ，a 是实数，并且|x|＝1-a ，|y|＝(1-a)(a-1-a 2)，试求|x|+y+a 2+1的值等于______．解：显然|x|≥0，|y|≥0，∴由|x|≥0得1-a ≥0，由|y|≥0得1-a ≤0，∴1-a ＝0，从而x ＝0，y ＝0，a ＝1∴原式＝|0|+0+12+1＝22. 如果根据已知或题目自身不能确定绝对值符号内的代数式为“负”或“非负”，就应分别对各种情况进行讨论。
讨论的方法有：(1)直接利用绝对值的性质，去掉绝对值符号，把式子转化为不含绝对值的式子进行讨论。
例7. 已知|a|＝3，|b|＝2，求a+b 的值。
解：∵|a|＝3，|b|＝2，∴ a ＝3或-3，b ＝2或-2因此a ，b 的取值应分四种情况：a ＝3，b ＝2或a ＝3，b ＝-2或a ＝-3，b ＝2或a ＝-3，b ＝-2，从而易求a+b 的值分别为5，1，-1，-5解这类问题，要正确组合，全面思考，谨防漏解。
(2)采用零点分区间法，求出绝对值的零点，把数轴分成相应的几个区间进行讨论(所谓绝对值的零点就是使绝对值符号内的代数式等于零的字母所取值在数轴上所对应的点)。
例8. 化简：|1-3x|+|1+2x|．解：由031=-x 和021=+x 得两个零点：31=x 和21-=x ，这两个点把数轴分成三部分：（1）当21-<x 时，031>-x ，021<+x ∴ 原式;5)]21([)31(x x x -=+-+-=（2）当3121<≤-x 时，031>-x ，021≥+x ∴ 原式x x x -=++-=2)21()31(；（3）当31≥x 时，031≤-x ，021>+x ， ∴原式＝-(1-3x)+(1+2x)＝5x ．3. 利用绝对值的几何意义解含绝对值的方程，这样既直观，又简便。
因为|x|的几何意义是表示数轴上点x 到原点的距离，因此|x-a|的几何意义是表示点 x 到点 a 的距离．由此可知，方程 |x-a|＝k 的解是x ＝a+k 或 x ＝a-k(k ≥0)例9. |x-2|+|x-1|+|x-3|的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：设A(1)，B(2)，C(3)，P(x)，如图所示，求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，即是在数轴上求一点P ，使AP+BP+PC 为最小，显然，当P 与B 重合，即x ＝2时，其和有最小值2，故应选(B)4. 利用“一个实数的绝对值是一个非负数”这一性质解题，可使问题化难为易。
在运用这一性质时，常与非负数的性质：“有限个非负数的和为零时，则每一个非负数必为零”联用。
例10. 若|m+1|+|2n+1|＝0，那么m 2003-n 4＝______．六. 绝对值化简与求值的基本方法例11. 若a 、b 互为相反数，cd 互为负倒数．则|a+b+cd|＝____________．(96年泰州市初中数学竞赛)解：由题设知a+b ＝0，cd ＝-1，则|a+b+cd|＝|0-1|＝1例12. 若|x-y+2|与|x+y-1|互为相反数，则xy 的负倒数是________．(95年希望杯邀请赛初一培训题)解：由题设知|x-y+2|≥0，|x+y-1|≥0，但二者互为相反数，故只能x-y+2＝0，x+y-1＝0 解得21-=x ，23=y ，43-=xy ∴其负倒数是34 例13. 已知a 、b 是互为相反数，c 、d 是互为负倒数，x 的绝对值等于它的相反数的2倍，则x 3+abcdx+a-bcd 的值是_______．(94年希望杯邀请赛初一试题)解：由题设知a+b ＝0，cd ＝-1．又x 的绝对值等于它的相反数的2倍，∴x ＝0，∴原式＝03+0+a-b ·(-1)＝a+b ＝0例14. 化简|x+1|+|x-2|令x +1＝0，x-2＝0，得x ＝-1与x ＝2，故可分段定正负再去符号．(1)当x ＜-1时，原式＝-(x+1)-(x-2)＝-2x+1；(2)当-1≤x ＜2时，原式＝(x+1)-(x-2)＝3；(3)当x ≥2时，原式＝x+1+(x-2)＝2x-1说明：例14中没有给定字母任何条件，这种问题应先求零点，然后分区间定正负再去绝对值符号，这种方法可归纳为：“求零点，分区间，定性质，去符号”。
例15. 设x 是实数，y ＝|x-1|+|x+1|。
下列四个结论：Ⅰ.y 没有最小值；Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值；Ⅲ.有有限多个x(不只一个)使y 取到最小值；Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值。
其中正确的是( )．A ．ⅠB ．ⅡC ．ⅢD ．Ⅳ(1993年全国初中数学竞赛试题)解：原问题可转化为求x 取哪些值时，数轴上点x 到点1与点-1的距离之和为最小。
从数轴上可知，区间[-1，1]上的任一点x 到点1与点-1的距离之和均为2；区间[-1，1] 之外的点x 到点1与点-1的距离之和均大于2，所以函数y ＝|x-1|+|x+1|当-1≤x ≤1时，取得最小值2，故选(D)七. 绝对值与非负数我们称不是负数的有理数为非负有理数，简称非负数。
当我们说x 是一个非负数时，用数学符号表示就是x ≥0.值得注意的是，有的同学们往往用x ＞0表示任意一个非负数，而忘掉等号！这是因为他们错将非负数理解为负数的相反数了！尽管只是丢掉一个零，在数轴上只差一个点，但就全体有理数而言，却是丢掉了三类有理数中的一类。
也就是说，|x|表示数轴上坐标为x 的点与原点的距离。
我们看到，任何有理数的绝对值都是一个非负数，而任何一个非负数都可表示为某数的绝对值。
即对任意有理数x 有|x|≥0，这一点至关重要。
只有牢牢掌握绝对值总是非负数并且清楚地认识到什么是非负数，才会正确地处理各种问题。
例16. 若a 为任意实数，则下列式子中一定成立的是( )．A ．|a|＞0B ．|a|＞a C. aa 1> D. 01>+a 对这个问题的分析首先要注意到绝对值都是非负数，而非负数包括零。
如此就很容易淘汰掉A 、B ，而C 需从a 的取值范围来讨论，如21=a ，则C 不对，至于D 有非负数的性质：“一个非负数加上一个正数，得正数”，即可知其正确。
例17. 已知a ＜0＜c ，ab ＞0，|b|＞|c|＞|a|，化简|a+c|+|b+c|-|a-b|．解：分析这个题目的关键是确定a+c 、b+c 、a-b 的符号，根据已知可在数轴上标出a 、b 、c 的大致位置，如图所示：很容易确定a+c＞0，b+c＜0，a-b＞0，由绝对值的概念，原式＝(a+c)-(b+c)-(a-b)＝a+c-b-c-a+b＝0用数轴上的点来表示有理数，用这样的点与原点的距离来表示有理数的绝对值，这里运用了数形结合的思想。