高等代数 第三版§19 有理系数多项式
第九节 有理系数多项式
f (x) 的一阶导数； f (x) 的导数 f (x) 称为 f (x) 的 二阶导数； 等等. f (x) 的 k 阶导数记为 f (k)(x) .
§1.6 重因式
多项式导数的基本公式： ( f (x) + g(x) ) = f (x) + g (x) , (c f (x) ) = c f (x) , ( f (x) g(x) ) = f (x) g(x) + f (x) g(x) , 可推广 ( f m (x) ) = m ( f m -1(x) f (x) ) . 可推广
如果 f (x) 的标准分解式为
r2 f ( x) cp1r1 ( x) p2 ( x) psrs ( x)，
§1.6 重因式
那么 p1(x) , p2(x) , … , ps(x) 分别是 f (x) 的 r1 重，
r2 重 , … , rs 重因式. 指数 ri = 1 的那些不可约因式
因此
从而
p (x) | ( kg(x) p(x) + p (x) g(x) ) ，
pk (x) | f (x)， 证毕
§1.6 重因式
所以 p (x) 是 f (x) 的 k - 1 重因式.
推论 1 如果不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的 k 重因式(k 1)，那么 p(x) 是 f (x) , f (x) , … , f (k-1)(x) 的因式，但不是 f (k)(x) 的因式. 证明 根据定理1 对 k 作数学归纳法即得. 证毕
高等代数
第一章 多项式 Polynomial
第六节 重因式
§1.6 重因式
一、重因式的概念
定义 1 不可约多项式 p(x) 称为多项式 f (x) 的 k 重因式，如果 pk(x) | f (x) , 但 pk+1(x) | f (x) . 如果 k = 0 , 那么 p(x) 不是 f (x) 的因式；如果 k = 1 , 那么 p(x) 称为 f (x) 的单因式；如果k > 1 ,那么 p(x) 称为 f (x) 的重因式.
高等代数
说明
的标准分解式, ① 若已知两个多项式 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式, 则可直接写出
( f ( x ), g( x ) ) .
f ( x ), g ( x ) 的标准
( f ( x ), g( x ) ) 就是那些同时在
分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积, 分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积,所带 方幂指数等于它在 f ( x ), g ( x ) 中所带的方幂指数 中较小的一个. 中较小的一个.
(
)(
x2 + 2
)
(在有理数域上) 在有理数域上)
= x 2 = x 2
(
)(
x+ 2
)(
x2 + 2
)
(在实数域上) 在实数域上)
(
) ( x + 2 ) ( x 2i ) ( x +
在复数域上) 2i (在复数域上)
)
§1.5 因式分解定理
一,不可约多项式
定义: 定义: 设 p( x ) ∈ P[ x ] ,且 ( p ( x ) ) ≥ 1 ,若 p( x )
f ( x ) = p1 ( x ) p2 ( x ) ps ( x )
= q1 ( x )q2 ( x ) qt ( x )
⑴
pi ( x ), q j ( x ) ( i = 1,2, , s ; j = 1,2, , t . ) 都是不可约
多项式. 多项式 作归纳法. 对 s 作归纳法. 若 s = 1, 则必有 s = t = 1, f ( x ) = p1 ( x ) = q1 ( x )
§1.5 因式分解定理
例如, 例如,若 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式分别为
高等代数北大第三版
必为整系数多项式．
•整理课件
•11
证： 令 于是•整理课件
•12
定理12 设 是一个整系数多项式，而 是它的一个有理根，
其中 是互素的，则必有
•整理课件
•13
证： 是 的有理根， ∴ 在有理数域上，
从而 又 互素，
本原．由上推论，有
比较两端系数，得 所以，
•整理课件
也即
其中 是整系数多项式，且各项系数没有异于
的公因子．
•整理课件
•4
一、本原多项式
定义 设
若 异于 的公因子，即 则称 为本原多项式．
没有 是互素的，
•整理课件
•5
有关性质
1．
使
其中 为本原多项式．
（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）．
2．Gauss引理
定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式．
•整理课件
•23
例5 证明： 证： 作变换
在 上不可约． 则
取 所以
由Eisenstein判别法知， 在Ｑ上不可约， 在Ｑ上不可约．
•整理课件
•24
说明：
对于许多 上的多项式来说，作适当线性代换后
再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的 办法，但未必总是凑效的．也就是说，存在 上的
定理11 若一非零的整系数多项式可分解成两 个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解 成两个次数较低的整系数多项式的乘积．
•整理课件
•9
证：设整系数多项式 有分解式
其中 令
这里， 于是
由定理10， 即
且
皆为本原多项式，
本原， 从而有
•整理课件
得证．
高等代数第1章多项式
f(x)-g(x)q1(x)=f1(x) deg f1(x)n-1 f1(x)-g(x)q2(x)=f2(x) deg f2(x)n-2 fk(x)-g(x)qk+1(x)=fk+1(x) f1(x), f2(x),, fk(x)的次数渐减,直到小于g(x)的次数
上式可改写为 f(x) = f1(x) + g(x)q1(x) f1(x)= f2(x) +g(x)q2(x) +) fk(x)=fk+1(x)+g(x)qk+1(x) . f(x)=fk+1(x)+g(x)[q1(x)+q2(x)++qk+1(x)] 于是,令q(x)=[q1(x)+q2(x)++qk+1(x)], r(x)=fk+1(x), deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0. 唯一性 假设另有q1(x)和r1(x),满足 f(x) = q1(x)g(x) + r1(x) 其中deg(r1(x))<deg(g(x))或者r1(x)=0
四、综合除法
• 指用一次多项式除任一多项式的简便方法 • 1、理论根据
• • • • • • •
设 f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0 (an0) 则f(x)被x-c除所得商式是一个n-1次多项式, 设为 q(x)=bn-1xn-1+bn-2xn-2++b1x+b0 所以 f(x)=(x-c)q(x)+r, 其中r为余数,即 f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0 =(x-c)(bn-1xn-1+bn-2xn-2++b1x+b0)+r 比较两边系数,得
(完整版)有理系数多项式
§9 有理系数多项式作为因式分解定理的一个特殊情形，有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成 不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何一个给定的多项式，要具体地作出它的 分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个 容易解决的问题，这一点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这一节主要是指出有 理系数多项式的两个重要事实：第一，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整(数）系数多项式的因式分解问题,并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题。
第二，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式。
一、有理系数多项式的有理根1．有理系数多项式与整系数多项式 设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个有理系数多项式。
选取适当的整数c 乘)(x f ,总可以使)(x cf 是一个整系数多项式. 如果)(x cf 的各项系数有公因子，就可以提出来，得到)()(x dg x cf =，也就是)()(x g cdx f =其中)(x g 是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的公因子。
2．整系数多项式如果一个非零的整系数多项式011)(b x b x b x g n n n n +++=-- 的系数01,,,b b b n n - 没有异于±1的公因子，也就是说它们是互素的，它就称为一个本原多项式。
上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式)(x f 都可以表示成一个有理数r 与一个本原多项式)(x g 的乘积，即)()(x rg x f =。
可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的。
亦即,如果)()()(11x g r x rg x f ==，其中1(),()g x g x 都是本原多项式，那么必有)()(,11x g x g r r ±=±=因为)(x f 与)(x g 只差一个常数倍，所以)(x f 的因式分解问题，可以归结为本原多项式)(x g 的因式分解问题.3．本原多项式)(x g 的因式分解问题.下面进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积 与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的。
高等代数多项式求有理根
高等代数多项式求有理根摘要：一、高等代数多项式的概念二、有理根的定义及其性质三、求有理根的方法1.因式分解法2.有理根定理3.综合法求有理根四、有理根的应用1.多项式的约分2.多项式的有理化正文：高等代数中的多项式是一个非常重要的概念，它可以用来描述和刻画很多数学对象。
在研究多项式的过程中，我们经常会遇到有理根的问题。
本文将详细介绍多项式有理根的求法及其应用。
首先，我们需要明确有理根的概念。
设P(x) 是一个多项式，如果存在一个有理数Q(x)，使得P(x) = Q(x) * R(x)，其中R(x) 是一个多项式且其根为有理数，那么我们称Q(x) 为P(x) 的一个有理根。
显然，有理根是一种特殊的根，它可以使多项式因子分解更加明确。
求有理根的方法有很多，这里我们介绍三种常用的方法。
首先是因式分解法，如果多项式P(x) 可以分解为两个有理数的乘积，那么这两个有理数就是P(x) 的有理根。
例如，对于多项式P(x) = x^2 - 6x + 9，我们可以将其分解为(x - 3)(x - 3)，那么有理根就是3。
其次是使用有理根定理。
有理根定理给出了多项式有理根存在性的条件，以及有理根的性质。
根据有理根定理，如果多项式P(x) 的首项系数和常数项都是有理数，那么P(x) 一定有有理根。
此外，如果P(x) 有一个有理根，那么它的其他有理根也是有理数。
最后是综合法求有理根。
这种方法综合了因式分解法和有理根定理，可以用来求解较为复杂的有理根问题。
具体操作是，首先尝试因式分解，如果无法分解，则根据有理根定理寻找可能有理根的值，再进行验证。
多项式的有理根在代数中有着广泛的应用。
例如，在多项式约分中，我们可以将有理根约掉，从而简化多项式；在多项式有理化中，我们可以通过有理根将有理数表示为多项式的形式，从而实现有理化。
高等代数 第三版§1.7 多项式函数
x 1 为 f ( x )的三重根．
ii) 若 r1 ( x ) 0, t 15 0, 即 t 15 , 4 4
则
f ( x ), f ( x ) x 1 2
此时， f ( x ) 有重根，
x 1 为 f ( x )的二重根． 2
定理8
此时对 P , 有 f ( ) c 0. 即 f ( x )有0个根.
f ( x ) n 时，由因式分解及唯一性定理，
f ( x ) 可分解成不可约多项式的乘积，
由推论， f ( x ) 的根的个数等于 f ( x ) 分解式中
一次因式的个数，重根按重数计算，且此数 n.
f ( x ) x 3 3 x 2 tx 1 有重根． 例2 求 t 值，使
解：
3 2
f ( x )
15 4
f ( x)
x
3 x2 6 x t
x 3 3 x 2 tx 1
1 3
1 x 3
3x 2 3 x 2
x 3 2 x 2 1 tx 3 x 2 2 tx 1 3 x2 2 x 1 t 3
Higher Algebra
主要内容
一、多项式函数与根 二、多项式函数的有关性质
一、多项式函数与根
1. 多项式函数
n n1 设 f ( x ) a0 x a1 x an , 数 p, 将 f ( x )的表示式里的 x 用 代n ,
但
1 f ( 1) 1 1 5 0, 3
1 不是 f ( x )的根，从而不是 f ( x ) 的3重根．
例4
( x 1)2 | Ax 4 Bx 2 1, 求 A, B . 若
第一章 多项式9.有理系数多项式 [兼容模式]
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§1.9 有理系数多项式本原多项式高斯引理,根与系数的关系艾森斯坦因Eisenstein判别法小结作业12本节要解决的问题:有任意次数的不可约多项式.1.有理系数多项式的因式分解问题,2. 在有理数域Q 上3有理系数多项式对每个有理系数多项式f (x ),其中g (x )是整系数的例如若一非零整系数多项式即是互素的.它就称为一个本原多项式.的系数无异于±1的公因子, f (x )总能写成).()(x g cd x f =且各项系数无异于±1的公因子.x x x 5423234−+011)(b x b x b x g n n n n +++=−−L 01,,,b b b n n L −)6155(15234x x x −+=4定理7.10(高斯Gauss 引理)两个本原多项式的乘积还是本原多项式.非本原的,证明设和是两本原多项式.它们的乘积h (x ) = f (x )g (x ) .0111)(a x a xa x a x f n n n n ++++=−−L 0111)(b x b xb x b x g m m m m ++++=−−L 若0111)(d x d x d x d x h m n m n m n m n ++++=−+−+++L 有异于±1的公因子,矛盾!即011,,,,d d d d m n m n L −++设素数p 为其一个公因子,由f (x )和g (x )本原,则∃i 和j ,使,|,,|10−i a p a p L ,|,,|10−j b p b p L 22112211L L +−+−−+−++++++j i j i j i j i j i j i b a b a b a b a b a d5定理7.11两次数较低的整系数多项式的乘积.若一非零整系数多项式能分解成两次数较低的有理系数多项式的乘积.则它一定能分解成6推论h (x )必是整系数的.设f (x ), g (x )是整系数多项式,且g (x )是本原的.如果f (x )= g (x )h (x ),其中h (x )是有理系数多项式,7定理12是一个特别地,而r /s 是它的一个有理根,其中r , s 互素.那么必有设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=−−L ,|n a s .|0a r 若f (x )的首项系数a n =1,则f (x )的有理根都是整数,而且是a 0 的因式.证明从而(sx -r )|f (x ),f (x ) = (sx -r )(b n -1x n -1 + L +b 0)比较两边系数,得a n = sb n -1,故s |a n ,8定理12是一个例而r /s 是它的一个有理根,其中r , s 互素.那么必有设0111)(a x a xa x a x f n n n n ++++=−−L ,|n a s .|0a r 求方程032234=−+−x x x 的有理根.解该方程的有理根只可能是,23,21,3,1±±±±代入验证知故其有理根只有x =1.9定理7.13 (艾森斯坦因Eisenstein 判别法)是一整系数多项式,证明若有一个素数p设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++=−−L 则f (x ) 在有理数域上是不可约的.若f (x )在Q 上可约,则由定理11,次数较低的整系数多项式之积:;,,,,|.20121a a a a p n n L −−10定理7.13 (艾森斯坦因Eisenstein 判别法)∈Z[x ],例若∃素数p设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=−−L 则f (x ) 在Q 上是不可约的.多项式在理数域上是不可约的. 取素数p = 2 即可.;,,,,|.20121a a a a p n n L −−2+n x11练习1.求下列多项式的有理根:.157424−−−x x x 2.下列多项式在有理数域上是否可约?.2128234++−x x x 136++x x (思考题)小结1. 有理系数多项式的因式分解问题, 可归结为整系数2. 在有理数域Q上有任意次数的不可约多项式;3. 整系数多项式的有理根与首项和常数项的关系;12作业p4627.1).3). 28.1).5)13。
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有关性质
1． f ( x ) Q[ x ], r Q , 使 f ( x ) rg ( x ),
其中 g ( x )为本原多项式．
（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）． 2．Gauss引理 定理10 两个本原多项式的积仍是本原多项式．
n n1 f ( x ) a x a x 证： 设 n n1
d i j ai b j ai 1b j 1
在这里 p | d i j , p | ai b j , p | ai 1b j 1 , 故 h( x )是本原的．
矛盾．
二、整系数多项式的因式分解
定理11 若一非零的整系数多项式可分解成两
个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解
sx r 本原． 由上推论，有 又 r , s 互素，
f ( x ) ( sx r )(bn1 x n1
a1 x a0
r 是一个整系数多项式，而 s 是它的一个有理根，
其中 r , s 是互素的，则必有
s | an , r | a0 .
r 是 f ( x ) 的有理根， 证： s r ∴ 在有理数域上， ( x ) | f ( x ) , s 从而 ( sx r ) | f ( x ).
n n1 事实上，设 f ( x ) an x an1 x
a0 ,
则可选取适当整数 c , 使 cf ( x ) 为整系数多项式． 若 cf ( x ) 的各项系数有公因子，就可以提出来，得 d cf ( x ) dg( x ), 也即 f ( x ) g( x ), c 其中 g ( x ) 是整系数多项式，且各项系数没有异于 1 的公因子．
a0 , b0
n m 1
g( x ) bm x m bm 1 x m 1
是两个本原多项式．
h( x ) f ( x ) g( x ) d n m x
n m
d n m 1 x
d0
反证法．若 h( x )不是本原的，则存在素数 p, p | d r , r 0,1, , n m . 又 f ( x ) 是本原多项式，所以 p 不能整除 f ( x ) 的 每一个系数．
一、本原多项式 定义
设 g( x ) bn x bn1 x
n n1
b1 x b0 0,
, b1 , b0 没有
bi
异于 1 的公因子，即 bn , bn1 ,
, b1 , b0 是互素的，
则称 g ( x ) 为本原多项式．
推论 设 f ( x ), g( x ) 是整系数多项式，且 g ( x )是本原 的，若 f ( x ) g( x )h( x ), h( x ) Q[ x ], 则 h( x )
必为整系数多项式．
证： 令 f ( x ) a f1 ( x ), h( x ) ch1 ( x ),
2. 我们知道，在 C上只有一次多项式才是不可约 多项式； 在 R 上，不可约多项式只有一次多项式与某些 二次多项式； 但在 Q 上有任意次数的不可约多项式．如
x n 2, n Z .
如何判断 Q 上多项式的不可约性呢?
3. 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题．
这是因为任一有理数可表成两个整数的商．
a Z , c Q,
f1 ( x ), h1 ( x ) 本原，
于是有，
a f1 ( x ) g( x )ch1 ( x ) cg( x )h1 ( x )
c a, 即 c Z .
h( x ) ch1 ( x ) 为整系数多项式．
n n1 f ( x ) a x a x 定理12 设 n n1
Higher Algebra
主要内容 一、本原多项式
二、整系数多项式的因式分解
问题的引入
1. 由因式分解定理，作为一个特殊情形：
对 f ( x ) Q[ x ], f ( x ) 1, 则 f ( x ) 可唯一分解
成不可约的有理系数多项式的积. 但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个 一般的方法.
这里，f1 ( x ), g1 ( x ), h1 ( x ) 皆为本原多项式， a Z ,
r , s Q.
于是 a f1 ( x ) rsg1 ( x )h1 ( x ).
由定理10， g1 ( x )h1 ( x )本原， 从而有 a rs, 即 rs Z . f ( x ) rsg1 ( x ) h1 ( x ). 得证．
第一章
多项式
§1 数域 §2一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因 式 分 解 §6 重 因 式 §7 多项式函数 §8 复、实系数多项式 §9 有理系数多项式 §10 多元多项式 §11 对称多项式
多项式 理论是高等数学 研究的基本对象之 一，在整个高等代数 课程中既相对独立，又 贯穿其他章节。换句话 说，多项式理论的讨论 可以不依赖于高等数学 的其他内容而自成体 系，却可为其他章节 的内容提供范例与 理论依据。
令 ai 为 a0 , a1 ,
, an 中第一个不能被 p 整除的数，即 , p | ai 1 , p | ai . , bm 中第一个不能被
p | a1 ,
g ( x ) 本原，令 b j 为 b0 , 同理，
p 整除的数，即
又
p | b0 , p | b1 , ,
, p | b j 1 , p | b j .
成两个次数较低的整系数多项式的乘积．
证： 设整系数多项式 f ( x )有分解式 f ( x ) g ( x )h( x ) 其中 g( x ), h( x ) Q[ x ], 且 g ( x ) , h( x ) f ( x ) . 令 f ( x ) a f1 ( x ), g( x ) r g1 ( x ), h( x ) sh1 ( x )