(北师大版)数学必修四：3.3《二倍角的三角函数》ppt课件(1)
sin144 4sin 36
1 4
1 4
1 4、 cos 20 cos 40 cos80 8
2 4 8 1 5、 cos cos cos cos 17 17 17 17 16
1 3 cos10 3 sin10 6、 sin10 cos10 sin10 cos10
小
结
3.公式的逆用和变用 , 特别是C 2 的变形公式在求值 、 化简 1 cos 2 2 和证明中有广泛的应用 .如C 2 的变式 : cos , 2 1 cos 2 2 sin 或1 cos 2 2 sin 2 ,1 cos 2 2 cos 2 . 2
1 2 1、 sin 22 30 cos 22 30 sin 45 2 4 1 5 sin 2、 cos cos cos sin 2 6 12 12 12 12 2sin 36 cos 36 cos 72 3、 cos36 cos 72 2sin 36 sin 72 cos 72 2sin 36
1
5-1 例3、已知 cos x ，求 sin 2( x ). 2 4
sin 2( x ) sin(2 x ) 4 2
sin( 2 x) 2 cos 2 x
1 2cos x
2
5 2
1 例4、已知 sin cos , 0 , 求 sin 2 和 cos 2 3 2 1 2 1 sin cos 即1 sin 2 9 3 8 即sin 2 0 2 2 9 2 cos 0 sin cos 1 sin cos 1 3 3 3 2 2 4 2 17 2 cos 2 1 sin 2 9
学习目标:
(1)导出倍角公式，了解倍角公式与和角、差角 公式的内在联系. (2)能正确运用倍角公式进行求值、化简与恒等 式证明.培养运算能力和逻辑推理能力. (3)领会从一般到特殊的基本数学思想,学会去 发现数学规律,自觉培养学数学的兴趣.
重点: 正弦、 余弦、 正切的倍角公式及公式C 2 的
三种形式. 难点:倍角公式的形成,公式变形及灵活的应用.
复习、回顾、探究
1.写出和角公式 S( )、C ( )、T ( ) .
sin( ) sin cos cos sin ( S ) cos( ) cos cos sin sin (C ) tan tan (T( ) ) tan( ) 1 tan tan 2.若在上述公式中 , 令 , 会有什么结果 ?
2 2
我们把上面这些公式叫做倍角公式
关于二倍角公式
1.二倍角的相对性. 不仅限于2 是的二倍角, 其它如4 x是2 x的二倍角, 是 的二倍角, 是 的二倍角等等, 所以这 2 4 2 4 2 些都可以应用二倍角公式.
2.公式的逆用和变用. (1)特别是C2的变形公式在求值, 化简和证明中的应用. 1 cos 2 1 cos 2 2 (2)把 cos ,sin 称为降幂公式, 2 2 把1 cos 2 2sin 2 ,1 cos 2 2 cos 2 称为升幂公式, 这
2 tan tan 2 2 1 tan
( S 2 ) (C 2 ) (T2 )
注：公式S 2 与C2中 取任意值都成立; k 公式T2中 k 和 , k Z时才 2 2 4 成立.
公式的变形
cos 2 cos sin 2 2 其中由于sin cos 1 2 得： cos 2 2cos 1 2 cos 2 1 2sin
2
两个公式可实现三角函数式的降幂或升幂的转化,同时可 以完成角的形式的转化.
5 例1、已知 sin ， , ，求 sin 2 , cos 2 , tan 2 . 13 2 5 解： sin ， , 13 2 12 cos 13 120 sin 2 2sin cos 169 119 2 cos 2 1 2sin
169 sin 2 120 tan 2 . cos 2 119
例2、化简： sin 50 (1 3 tan10 )
cos10 3 sin10 sin 50 cos10 2sin 40 sin 50 cos10
2sin 40 cos 40 cos10 sin 80 cos10
( ) ( )
sin 2 2 sin cos 2 2 cos 2 cos sin
2 tan tan 2 1 tan 2
二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2 2 sin cos 2 2 cos 2 cos sin
2sin(30 10 ) 4 1 sin 20 2
小
结
1.二倍角公式是和角公式 的特例, 体现了将一般化归特 殊的基本数学思想方法 . 2.二倍角的相对性 . 不仅限于2是的二倍角 , 其它如4 x是2 x的二倍角 , 是 的二倍角 , 是 的二倍角等等 , 所以这 2 4 2 4 2 些都可以应用二倍角公 式.
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高中数 二倍角的三角函数课件 北师大必修
选择题
已知$costheta = frac{1}{3}$， 且$theta in (0,frac{pi}{2})$， 则$sin2theta =$？
填空题
已知$tantheቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa = frac{1}{2}$， 则$cos2theta =$？
解答题
已知$sintheta = frac{3}{5}$， 求$cos2theta$的值。
图像的变换
平移变换
翻转变换
通过平移二倍角三角函数的图像，可 以得到其他三角函数的图像。
通过翻转二倍角三角函数的图像，可 以得到其他形式的三角函数图像。
伸缩变换
通过伸缩二倍角三角函数的图像，可 以得到其他形式的三角函数图像。
05
习题与解答
习题
判断题
若$sin2theta = frac{1}{3}$， 则$cos^2theta = frac{1}{3}$。
答案与解析
• 判断题解析：若$\sin2\theta = \frac{1}{3}$，则根据二倍角公式，我们有 $2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{3}$。平方两边得到${(2\sin\theta)}^{2} + {(2\cos\theta)}^{2} - 2 \times 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{9}$，化 简得到$4 - 4\sin2\theta = \frac{1}{9}$，解得$\sin^2\theta = \frac{10}{9}$，所以$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = \frac{1}{9}$，故 判断题错误。
在研究函数性质中的应用
利用二倍角公式研究函数的周期性
已知$costheta = frac{1}{3}$， 且$theta in (0,frac{pi}{2})$， 则$sin2theta =$？
填空题
已知$tantheቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa = frac{1}{2}$， 则$cos2theta =$？
解答题
已知$sintheta = frac{3}{5}$， 求$cos2theta$的值。
图像的变换
平移变换
翻转变换
通过平移二倍角三角函数的图像，可 以得到其他三角函数的图像。
通过翻转二倍角三角函数的图像，可 以得到其他形式的三角函数图像。
伸缩变换
通过伸缩二倍角三角函数的图像，可 以得到其他形式的三角函数图像。
05
习题与解答
习题
判断题
若$sin2theta = frac{1}{3}$， 则$cos^2theta = frac{1}{3}$。
答案与解析
• 判断题解析：若$\sin2\theta = \frac{1}{3}$，则根据二倍角公式，我们有 $2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{3}$。平方两边得到${(2\sin\theta)}^{2} + {(2\cos\theta)}^{2} - 2 \times 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{9}$，化 简得到$4 - 4\sin2\theta = \frac{1}{9}$，解得$\sin^2\theta = \frac{10}{9}$，所以$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = \frac{1}{9}$，故 判断题错误。
在研究函数性质中的应用
利用二倍角公式研究函数的周期性
2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数课件北师大版必修4
(1)求 f(x)的最小正周期;
(2)求
f(x)在区间
-
π 3
,
π 4
上的最大值和最小值.
思路点拨:先化简三角函数式,再利用正弦型三角函数的性质求
最小正周期和最值.
规范解答(1)由已知,有
f(x)=1-co2s2������
−
1-cos 2������-π3 2
=
1 2
1 2
cos2������
+
3 2
探究一
探究二
探究三
答题模板
解:(1)原式=1+cos(22������+30°) + 1-cos(22������-30°)+cos θsin θ =1+12(cos 2θcos 30°-sin 2θsin 30°-cos 2θcos 30°-
sin 2θsin 30°)+12sin 2θ=1-sin 2θsin 30°+12sin 2θ=1.
= 13,则 cos
2π 3
+
2������
=
D.
2 4
D.43 .
探究一
探究二
探究三
答题模板
解析:(1)sin 105°sin 165°=sin 75°cos 75°=12sin 150°=14, 故选 B.
(2)由已知得ttaann������������+-11
=
12,解得
tan
α=-3,于是
1-tan2������=tan
2θ.
(2)证明:左边=(cos2α+sin2α)(cos2α-sin2α)=cos2α-sin2α=cos 2α=右
北师版高中数学高一必修4课件3.3二倍角的三角函数(一)
明目标、知重点
跟踪训练1 求下列各式的值. (1)sin π8sin38π；
解 ∵sin38π＝sin(2π－π8)＝cosπ8, ∴sinπ8sin38π＝sin8πcos8π＝12·2sin8πcos8π
＝12sinπ4＝
2 4.
明目标、知重点
(2)cos215°－cos275°；
解 ∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°,
明目标、知重点
1234
2.sin41π2－cos41π2等于( B )
A.－21
B.－
3 2
1
3
C.2
D. 2
解析 原式＝sin21π2＋cos21π2·sin21π2－cos21π2
＝－cos21π2－sin21π2
＝－cos
π6＝－
3 2.
明目标、知重点
3.1－tatnan72.57°.5°＝
明目标、知重点
跟踪训练 3 已知 sinπ4－x＝153,0<x<4π,求cocsosπ4＋2xx的值.
解
原式＝scions2ππ4＋＋2xx
＝2sinπ4c＋osx4πc＋osxπ4＋x＝2sinπ4＋x.
明目标、知重点
∵sinπ4－x＝cosπ4＋x＝153,
且
π 0<x<4,
∴π4＋x∈π4，π2,
1234
3.
即
cos
α＝－21,sin
α＝
3 2 ,tan
α＝－
3,
∴tan
2α＝1－2tatnanα2α＝1－－－2
3 32＝
3.
明目标、知重点
呈重点、现规律
1.对“二倍角”应该有广义上的理解,如： 8α 是 4α 的二倍；6α 是 3α 的二倍；4α 是 2α 的二倍；3α 是32α 的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；2αn＝22n·＋α1(n∈N＋).
跟踪训练1 求下列各式的值. (1)sin π8sin38π；
解 ∵sin38π＝sin(2π－π8)＝cosπ8, ∴sinπ8sin38π＝sin8πcos8π＝12·2sin8πcos8π
＝12sinπ4＝
2 4.
明目标、知重点
(2)cos215°－cos275°；
解 ∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°,
明目标、知重点
1234
2.sin41π2－cos41π2等于( B )
A.－21
B.－
3 2
1
3
C.2
D. 2
解析 原式＝sin21π2＋cos21π2·sin21π2－cos21π2
＝－cos21π2－sin21π2
＝－cos
π6＝－
3 2.
明目标、知重点
3.1－tatnan72.57°.5°＝
明目标、知重点
跟踪训练 3 已知 sinπ4－x＝153,0<x<4π,求cocsosπ4＋2xx的值.
解
原式＝scions2ππ4＋＋2xx
＝2sinπ4c＋osx4πc＋osxπ4＋x＝2sinπ4＋x.
明目标、知重点
∵sinπ4－x＝cosπ4＋x＝153,
且
π 0<x<4,
∴π4＋x∈π4，π2,
1234
3.
即
cos
α＝－21,sin
α＝
3 2 ,tan
α＝－
3,
∴tan
2α＝1－2tatnanα2α＝1－－－2
3 32＝
3.
明目标、知重点
呈重点、现规律
1.对“二倍角”应该有广义上的理解,如： 8α 是 4α 的二倍；6α 是 3α 的二倍；4α 是 2α 的二倍；3α 是32α 的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；2αn＝22n·＋α1(n∈N＋).
高中数学 第三章 二倍角的三角函数课件1 北师大版必修4(1)
复习、回顾、探究
1.写出和角公式S( )、C ( )、T ( ) .
sin( ) sin cos cos sin ( S ) cos( ) cos cos sin sin (C ) tan tan (T( ) ) tan( ) 1 tan tan 2.若在上述公式中 , 令 , 会有什么结果?
1 2 1、 sin 22 30 cos 22 30 sin 45 2 4 1 5 sin 2、 cos cos cos sin 2 6 12 12 12 12 2sin 36 cos 36 cos 72 3、 cos36 cos 72 2sin 36 sin 72 cos 72 2sin 36
1
5-1 例3、已知 cos x ，求 sin 2( x ). 2 4
sin 2( x ) sin(2 x ) 4 2
sin( 2 x) 2 cos 2 x
1 2cos x
2
5 2
1 例4、已知 sin cos , 0 , 求 sin 2 和 cos 2 3 2 1 2 1 sin cos 即1 sin 2 9 3 8 即sin 2 0 2 2 9 2 cos 0 sin cos 1 sin cos 1 3 3 3 2 2 4 2 17 2 cos 2 1 sin 2 9
2
两个公式可实现三角函数式的降幂或升幂的转化,同时可 以完成角的形式的转化.
3-3 二倍角的三角函数(一) 课件(北师大版必修4)
课前探究学习 课堂讲练互动
规律方法 (1)化简三角函数式的常用方法： ①切化弦．②异名化同名．③异角化同角．④高次化低次． (2)化简三角函数式的常用技巧： ①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化． ②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因 式的提取公因式后进行约分． ③对于二次根式，注意倍角公式的逆用． ④注意利用角与角之间的隐含关系． ⑤注意利用“1”的恒等变形．
2 2α 2α
π 2kπ＋2＝tan(π
第②组称做升幂公式，第③组称做降幂公式．
课前探究学习 课堂讲练互动
题型一 利用倍角公式求值 3 【例 1】 已知 α 为第二象限的角， sin α＝5， β 为第三象限的角， 4 tan β＝3. (1)求 tan(α＋β)的值； (2)求 cos(2α－β)的值． [思路探索] (1)求出 tan α 和 tan β，运用两角和的正切公式；(2) 求出 cos 2α，sin 2α 及 cos β，sin β，运用两角差的余弦公式．
2cos ＋sin θ－1 2 的值． π 2cosθ＋4
2θ
解
3 ∵tan 2θ＝4，
2tan θ 3 1 ∴tan 2θ＝ ＝ ，即 tan θ＝3或 tan θ＝－3. 1－tan2 θ 4 π ∵2＜θ＜π，∴tan θ＝－3， 2cos 2＋sin θ－1 cos θ＋sin θ ∴ π ＝cos θ－sin θ 2cosθ＋4 1＋tan θ 1 ＝ ＝－ . 2 1－tan θ
∴原方程可化为 1－2cos 解得
π cosα＋4＝1，或
2
π π α＋ ＝－cosα＋ ， 4 4
π 1 cosα＋4＝－2.
课前探究学习
规律方法 (1)化简三角函数式的常用方法： ①切化弦．②异名化同名．③异角化同角．④高次化低次． (2)化简三角函数式的常用技巧： ①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化． ②对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因 式的提取公因式后进行约分． ③对于二次根式，注意倍角公式的逆用． ④注意利用角与角之间的隐含关系． ⑤注意利用“1”的恒等变形．
2 2α 2α
π 2kπ＋2＝tan(π
第②组称做升幂公式，第③组称做降幂公式．
课前探究学习 课堂讲练互动
题型一 利用倍角公式求值 3 【例 1】 已知 α 为第二象限的角， sin α＝5， β 为第三象限的角， 4 tan β＝3. (1)求 tan(α＋β)的值； (2)求 cos(2α－β)的值． [思路探索] (1)求出 tan α 和 tan β，运用两角和的正切公式；(2) 求出 cos 2α，sin 2α 及 cos β，sin β，运用两角差的余弦公式．
2cos ＋sin θ－1 2 的值． π 2cosθ＋4
2θ
解
3 ∵tan 2θ＝4，
2tan θ 3 1 ∴tan 2θ＝ ＝ ，即 tan θ＝3或 tan θ＝－3. 1－tan2 θ 4 π ∵2＜θ＜π，∴tan θ＝－3， 2cos 2＋sin θ－1 cos θ＋sin θ ∴ π ＝cos θ－sin θ 2cosθ＋4 1＋tan θ 1 ＝ ＝－ . 2 1－tan θ
∴原方程可化为 1－2cos 解得
π cosα＋4＝1，或
2
π π α＋ ＝－cosα＋ ， 4 4
π 1 cosα＋4＝－2.
课前探究学习
北师大版必修4高中数学3.3.1《二倍角的三角函数》ppt课件
tan
1 2
1 3
1 2
5. 6
方法二：
sin2
2sincos sin2 cos2Biblioteka 2tan 1 tan2
,
cos2
cos2 sin2 sin2 cos2
1 1
tan 2 tan 2
,
2tan
原式
＝ sin2 1 cos2
【规范解答】由2α +β ＝π知，β =π-2α ， 所以y＝cos(π-2α)-6sinα =-cos2α-6sinα =2sin2α-6sinα-1 …………………………………………4分 令t＝sinα则t∈[-1,1]，原题变为求y＝2t2-6t-1在区间 [-1,1]上的最值． ………………………………………… 6分
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
sin20
1 sin40cos40cos80 2
sin20
1 sin80cos80 4
1 sin160 8
1.
sin20
sin20 8
方法二： 原式 sin40 g sin80 gsin160 1gsin160 1 .
高中数学第三章三角恒等变形3二倍角的三角函数(一)课件北师大版必修4
7 D.5
(2)已知 sinπ4－x＝35，则 sin 2x 的值为(
)
19
16
A.25
B.25
14
7
C.25
D.25
解析 (1)∵α∈－π4，0，∴sin α＋cos α＞0. ∴sin α＋cos α＝ 1＋sin 2α＝ 1－2245＝15.故选 A. (2)sin 2x＝cosπ2－2x＝1－2sin2π4－x＝1－1285＝275.
规律方法 被化简的式子中有切函数和弦函数时，常 首先将切化弦，然后分析角的关系，看是否有互余或 互补的．若有，则应用诱导公式转化；若没有，则利 用两角和与差的三角函数公式或二倍角公式化简．
【训练 2】 化简下列各式： (1)1＋2sicnos2α2α×ccooss22αα；
(2) cos
1－cos 20° 80° 1－cos
5．求值：sin
50°1＋ 3tan 10°－cos cos 80° 1－cos 20°
20° .
解 ∵sin 50°(1＋ 3tan 10°)
＝sin
cos 50°·
10°＋ cos
3sin 10°
10°
＝sin
2sin 50°·cos
1400°°＝1，
cos 80° 1－cos 20°＝sin 10° 2sin210°＝ 2sin210°，
.
2．cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
cos 2α＝ cos2α－sin2α
2＝cos2α－1
，令β＝α，
，令β＝α，得
1－＝2sin2α
.
tan α＋tan β
3．tan(α＋β)1＝－tan αtan β
高中数学北师大版必修4第3章3《二倍角的三角函数》ppt课件
(5)原式＝coss1in01°－0°co3ss1i0n°10°＝212cossin1100°－°co2s31s0i°n10° ＝4sin30°c2ossin1100°－°cocso1s03°0°sin10°＝4ssiinn320×°－101°0°＝4ssiinn2200°° ＝4. [规律总结] 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系， 另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及 诱导公式是常用的方法．
42－12＝
2 4.
3．若sinα2＝ 33，则cosα＝( )
A．－23
B．－13
C．13 [答案] C
D．23
[解析]
本题考查了余弦的二倍角公式．因为sin
α 2
＝
3 3
，
所以cosα＝1－2sin2α2＝1－2( 33)2＝13.
4．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是________，最大值
(1)化简2sicno2sxx·(1＋tanx·tan2x)．
(2)求证：33－ ＋44ccooss22AA＋ ＋ccooss44AA＝tan4A．
[解析] (1)原式＝2s2incxocsoxsx(1＋csoinsxx·1－sincoxsx) ＝sinx(1＋1－cocsoxsx)＝csoinsxx＝tanx.
[规范解答] (1)原式＝sin2×1π2＝sinπ6＝12. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(60°＋4×360°)＝ cos60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－ tan60°＝－ 3. (4)原式＝cos1π2cosπ2－1π2＝cos1π2sin1π2 ＝12·2sin1π2cos1π2＝12sinπ6＝12×12＝14.
3.3.1二倍角的正弦、余弦和正切公式 课件(北师大版必修4)
给值式求值. sin 2x＋cos 2x－1 π 4 已知 cos( ＋x)＝ ，求 4 5 1－tan x 的值．
根据二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝1－ sin x 2 2sin α，首先将倍角2x化为单角x，利用tan x＝ 将切化 cos x 弦，进行化简整理，结合已知条件沟通目标求解问题，已知 条件的应用可以从诱导公式和二倍角公式角度处理，也可 以将已知展开平方后处理.
1 2.cos α－sin α－cos 2α＝－ sin 2αsin 4α. 4
8 8
解析： 左边＝(cos4α＋sin4α)(cos4α－sin4α)－cos 2α ＝[(cos2α＋sin2α)2－2cos2αsin2α]· 2α－cos 2α cos 1 2 1 ＝－ sin 2α· 2α＝－ sin 2αsin 4α. cos 2 4 ∴原式得证．
2
2cos α－1 (2)原式＝ π 2sin －α 4 2 π · －α cos π 4 cos －α 4 2cos2α－1 ＝ π π 2sin －α· cos －α 4 4 2cos2α－1 cos 2α ＝ ＝ ＝1. cos 2α cos 2α
2
[题后感悟] 被化简的式子中有切函数和弦函 数时，常首先切化弦，然后分析角的内部关系， 是否有互余或互补的，若有，应用诱导公式转 化，若没有，再分析角间是否存在线性关系， 并利用两角和与差的三角函数展开，经过这样 处理后，一般就会化简完毕．
π 2 4 法二：cos( ＋x)＝ (cos x－sin x)＝ ， 4 2 5 1 16 2 2 平方后得到： (cos x＋sin x－sin 2x)＝ ⇒sin 2x 2 25 7 ＝－ . 25
[题后感悟] 从角的关系寻找突破口．这类三角函 数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件 变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、 函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的 角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以 便将题设条件代入结论．
高二数学3.3二倍角三角函数 课件 (北师大必修4)
例2.化简
(1ห้องสมุดไป่ตู้(sin
5 5 3 5 5 5 5 2 5 cos2 cos cos )(sin cos ) sin 12 12 6 2 12 12 12 12
4
(2) cos
2
sin
4
2
(cos 2
2
sin 2
2
)(cos 2
2
sin 2
2
) cos
2 tan 1 1 tan 2 (3) 2 1 tan 1 tan 1 tan
(4)1 2cos2 cos 2 2
(5) 1 sin | sin
=
2
cos
2
|
1 sin 8 8
(6)sin cos cos 2 cos 4
例3.已知
5 cos , 是第二象限角，求 sin 2 ,cos 2 , tan 2 的值。 13
例4.要把为R的半圆形木料截成长方形（如右图应怎样截取， 才能使长方形面积最大？
动态分析
7 例5.已知 cos 25
，求
sin
2
, cos
2
, tan
2
的值。
例6.已知
12 3 sin 2 , 2 , 求 tan 13 2
例7.求函数
y cos x cos x sin x
2
的值域.
小结：
sin 2 2sin cos cos 2 cos 2 sin 2 2 cos 1