二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质优质课件
平移方法2:
x=－1
1 1 2 向左平移 1 2 2 向下平移 y ( x 1 ) 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2 1个单位
y 2x
2
y 2x 1
2
2
y 2( x 1)
2
y 2( x 1) 1
2 的图像可以由 y 2 x 先向上平移一个单位, y 2( x 1) 1
2 y=a(x-h) +k的图像和性质
1.填表
抛物线 开口方向 对称轴 2 向下 y轴 y 0.5x
y 0.5x 1
2
顶点坐标
(0, 0)
(0, 1) (0, - 1)
向下
向下 向上
y轴 y轴 y轴 直线x=1 直线x= - 1
y 0.5x 12y 2x22
2
(0, 0)
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
抛物线
开口方向
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
对称轴
顶点坐标
向上 直线x=h （ h ， k）
向下 直线x=h （h，k）
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大 而减小. 在对称轴的右侧, y随 而增大. 在对称轴的右侧, y随 着x的增大而增大. 着x的增大而减小.
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
如何平移：
3 y ( x 1) 2 4
3 2 y ( x 1) 2 4
3 y ( x 3) 2 3 4
3 2 y ( x 5) 2 4
*10.如图所示的抛物线： 0或-2 时，y=0； 当x=_____ < ； 当x<－2或x>0时， y_____0 2 < x<0范围内时，y>0； 当x在－ _____ -1 时，y有最大值_____. 3 当x=_____
(1, 0) (- 1, 0)
y 2( x 1)
向上 向上
y 2( x 1)
2.上下 平移
1 2 如何由 y 3 x 的图象得到 1 2 1 2 y x 3 的图象。 y x 3 、 3 3
y
5 4 1 （ 0,3 ） 3 y x2 3 2 3 1 x –5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1 –2 （ 0,-3 ） –3 1 2 1 2 y x – 4 y x 3 3 – 5 3
1 y x
有什么关系?
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 1 2 -2 y ( x 1 ) 1 平移方法1: 2 -3 -4 1 2向下平移 1 2 y x y x 1 -5 2 1个单位 2 -6 -7 向左平移 y 1 ( x 1) 2 1 -8 2 1个单位 -9 -10
h、k 的值来决定。 平移的方向、距离要根据_____
2
抛物线y a ( x h) k有如下特点： 向上 ；当a 0，开口 （1）当a 0时，开口____ ___； 向下 （2）对称轴是直线____ x=h ； （3）顶点坐标是 ______ 。 （ h，k）
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与 y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2 向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线 y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根 据h、k的值来决定.
3.左右 平移
1 1 2 2 y ( x 2 ) y x 的图象得到 如何由 3 3 、 1 2
y
y ( x 2) 的图象。 3
5 x= - 2 4 x= 2 3 2 (-2,0) 1 (2,0) x –52 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 1 1 2 –1 y x 2 y x 2 – 2 3 3 –3 1 2 y x –4 3 –5
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。
y=ax2
上加下减 上移 c>0 y=ax2+c c<0 下移
-h>0 左移 -h<0 右移
左加右减
y=a(x-h)2
y=ax2
合作探究：
1 2 y ( x 1 ) 1 的图像.指出它的开 1.画出函数 2
口方向、顶点与对称轴、
解:
x
先列表
… -4 -5.5 -3 -2 -1 0 1 2 …
(2,0)
(1,-1)
小结
谈谈你这节课的收获和体会吧！
3
*13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示 （1）求解析式
解：∵二次函数图象的顶点是(1,-1)， ∴设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1， ∵其图象过点(0,0)， ∴0= a(0-1)2-1， ∴a=1 ∴y= (x-1)2-1
（2）根据图象回答： (0,0) x<0 或 x>2 当x 时，y>0; 当x x=0或2 时，y=0; 当x 0< x<2 时，y﹤0。
向左(右)平移 2 y=ax |h|个单位 y=a(x－h)2
向上(下)平 y=a(x－h)2+k 移|k|个单位
y=ax2
向上(下)平 向左(右)平 y=a(x－h)2+k 2 y=ax +k 移|k|个单位 移|h|个单位
2 抛物线y=a(x－h) +k有
如下特点: (1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k).
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-3 -1.5
-1 -1.5
-3 -5.5 …
再描点
后连线.
描点、连线
(1)抛物线
1 y ( x 1) 2 1 2
的开口方向、对称轴、顶点、最值?
1 2 y ( x 1 ) 1 抛物线 2 的开口向下,
直线x=－1
1 y
2
再向右平移一个单位,或者先向右平移一个单 位再向上平移一个单位而得到.
相同 ， 一般地，抛物线y a( x h) k与y ax 形状 _____
2 2 2 不同 位置 ____ 。把抛物线y ax 向上（下）向左（右）
平移，可以得到抛物线y a( x h) k。
2
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
X=-1时，y最大值=-1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 y 1 ( x 1) 2 1
2
(2)抛物线
1 2 y x 2
1 y ( x 1) 2 1 2
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《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》优质课一等奖课件
可以看作互相平移得到的.
左
y = a( x - h )2 + k
上
右
下
平
（h，k）
平
移
移
（0，k）
y = ax2 + k
顶点 坐标
（h，0） y = a(x - h )2
温馨提示： 1.上下平移，
括号外 上加下减； 2.左右平移，
上下平移
（0，0）
y = ax2
左右平移
括号内 左加右减.
3.二次项系数a不变.
课 1.抛物线y=-3(x+2)2-4的顶点坐标是 （-2，-4） ，当x ≤ -2 时，函
数值y随x的增大而增大.
堂 2.若抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点坐标为（1,0），则这条抛物
练
线与x轴的另一个交点是 （-3 ，0）.
3.已知二次函数的图象顶点坐标为（-4，3），且经过坐标原点，则这个二
开口方向 对称轴
顶点坐标 函数的增减性
最值
向上
向下
直线 x=h
直线 x=h
（h,k）
当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时， y随x增大而增大.
x=h时，y最小值=k
（h,k）
当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时， y随x增大而减小.
x=h时，y最大值=k
第二十二章 二次函数
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( B )
力
A. 3.5 m
提Leabharlann B. 4 mC. 4.5 m
升
D. 4.6 m
第二十二章 二次函数
左
y = a( x - h )2 + k
上
右
下
平
（h，k）
平
移
移
（0，k）
y = ax2 + k
顶点 坐标
（h，0） y = a(x - h )2
温馨提示： 1.上下平移，
括号外 上加下减； 2.左右平移，
上下平移
（0，0）
y = ax2
左右平移
括号内 左加右减.
3.二次项系数a不变.
课 1.抛物线y=-3(x+2)2-4的顶点坐标是 （-2，-4） ，当x ≤ -2 时，函
数值y随x的增大而增大.
堂 2.若抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点坐标为（1,0），则这条抛物
练
线与x轴的另一个交点是 （-3 ，0）.
3.已知二次函数的图象顶点坐标为（-4，3），且经过坐标原点，则这个二
开口方向 对称轴
顶点坐标 函数的增减性
最值
向上
向下
直线 x=h
直线 x=h
（h,k）
当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时， y随x增大而增大.
x=h时，y最小值=k
（h,k）
当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时， y随x增大而减小.
x=h时，y最大值=k
第二十二章 二次函数
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( B )
力
A. 3.5 m
提Leabharlann B. 4 mC. 4.5 m
升
D. 4.6 m
第二十二章 二次函数
二次函数y=a(x-h)2 k的图象及其性质 PPT课件 5 人教版
（2）何时 y=3？
（3）根据图象回答：
当x
时，y>0。
3论( .二m)上次为函何数实y数=a,图(x象-m的)2+顶2m点,必无在活你用学答活对了
A)直线y=-2x上
B)x轴上 吗?
C)y轴上 y=2x上
D)直线
3.D 4. y3> y1 > y2
4.对于抛物线y=a(x-3)2+b其中
a>0,b 为常数,点( 3 ,y1) 点 ( 5 ,y2)点(8,y3)在该抛物线上, 试比较y1,y2,y3的大小
a<0 向下 x=h (h,k) x=h时, x<h时, y随x的增大而增 有最大 大; x>h时, y随x的增大而 值y=k 减小.
|a|越大开口越小.
返回
指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 开口 对称轴 顶点坐标
1y2x325 向上 直线x=3 (3,–5)
2 y 0.5x 12 向下 直线x= –1
4.如图所示的抛物线： 当x=_0_或__-2_时，y=0； 当x<－2或x>0时， y__<___0； 当x在－_2_<__x_<0范围内时，y>0； 当x=___-1__时，y有最大值___3__.
3
5、试分别说明将抛物线的图象通 过怎样的平移得到y=x2的图象：
(1) y=(x-3)2+2 ；
•
17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。
•
18、励志照亮人生，创业改变命运。
•
19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。
•
20、当你能飞的时候就不要放弃飞。
•
21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质课件2022-2023学年人教版九年级数学上册
y 1 (x 2)2 向左平移
2
2个单位
y 1 x2 2
向右-1 平移 y 1 (x 2)2
2个-2 单位
2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)
向右-3 平移 2个-4 单位
顶点(2,0)
直线x=－2
向左平移对称轴:y轴 向右平移 2个单位即直线: x=0 2个单位
直线x=2
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
4 函数y=4(x+1)2的图象是由抛物线__y_=_4_x_2____向左___
平移__1___个单位得到.
5.抛物线y=-2x2向下平移2个单位得到抛物线_y_=_-2_x_2_-2__, 再向上平移3个单位得到抛物线_y_=_-_2_x_2+_1_____; 若向 左平移2个单位得到抛物线_y_=_-2_（__x_+_2_）__2 __，向右平 移2个单位得到抛物线__y_=_-2_（__x_-2_）__2____.
如何平移：
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 3)2 4
y 1 x2 3 2
y 3 (x 5)2 4
y 1(x 6)2 2
小结 拓展
你认为今天这节 课最需要掌握的是
________________ ？
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2 的形状完全相同,开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向上.
画出二次函数
y
1 2
(
x
1)
2、
y
1 2
(
x
1)2
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质优质课件
二次函数的应用
1 抛物线
二次函数图象可以用来描 述抛物线的运动轨迹和高 度。例如，在物体抛出时 的高度随时间的变化。
2 预测
二次函数可以用来预测数 据的趋势和未来的变化。 例如，在销售领域中，预 测产品销量的变化。
3 优化
二次函数可以用来优化问 题，找到使某个目标函数 最大或最小的变量值。
二次函数的性质总结和示例
二次函数的顶点和对称轴
1
顶点定义
顶点是曲线的最高点或最低点，表示二次函数的最值。
2
顶点坐标
顶点的坐标为 (h, k)，其中 h 是 x 坐标， k 是 y 坐标。
3
对称轴定义
对称轴是通过顶点的直线，使图象关于该直线对称。
二次函数的平移与缩放
平移
二次函数的平移可以通过调整 h 和 k 的值实现，改 变了它的位置和形状。
二次函数y=a(x-h)²+k的图 象和性质优质课件
探索二次函数的定义、图象特点和性质。了解顶点与对称轴、平移与缩放、 最值与零点，以及应用实例。
二次函数的定义
1 数学定义
二次函数可以表示为y=a(x-h)²+k，其中a、h和k是常数。
2 几何定义
二次函数的图象是一个平滑的曲线，呈现出弯曲向上或向下的特征。
3 重要特性
二次函数是一个连续的函数，定义域可以是负无穷到正无穷，而值域则由顶点决定。
二次函数图象的特点
开口方向
• 当二次函数的a值为正时， 图象开口朝上。
• 当a值为负时，图象开口 朝下。
奇性
二次函数是偶函数，具有对称 性，关于对称轴对称。
最值与零点
二次函数的最值与零点与顶点 有关，可以通过求解方程来计 算。
二次函数y=a(x-h)2 k图象和性质课件
C组
10. 对于二次函数y=
+1，有下列说法：
①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x=
－ ；③其图象的顶点坐标为
；④当x<
时，y随x的增大而减小.其中正确的说法有
（B ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
直线x=1 (1,2)
y轴
(0,0)
直线x=－2 (－2,－4)
9. 已知二次函数y=－3(x－3)2+2． （1）写出该函数图象的顶点坐标； （2）判断点(1,－12)是否在这个函数的图象上．
解：（1）∵二次函数的解析式为 y=－3(x－3)2+2， ∴顶点坐标是(3,2). （2）当x=1时，y=－3×4+2=－10≠-12． ∴点(1,－12)不在这个函数的图象上.
向上平移3个单位 y=-2x2+3 3.把y=-2x2的图像
向左平移2个单位 y=-2(x+2)2 4.请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可 以由y=-2x2平移得到？你认为该如何平移呢？
y
y2x223 3
y
y2x223
3
-2 O
X
-2 O
X
y2x23
y 2 x2y 2x22
A. (－3,2)
B. (3,2)
C. (－3,－2)
D. (3,－2)
5. 将抛物线y=－x2向右平移1个单位，再向上平移2 个单位后，得到的抛物线的解析式为 _____y_=_－__(_x_－__1_)_2+_2________．
6. 将抛物线y=－ (x－5)2+3向左平移5个单位， 再向上平移3个单位后得到的抛物线的解析式为 _____y_=_－____x_2_+_6__________．
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》PPT课件
基础巩固练
9．抛物线 y＝a(x－h)2＋k 与 y＝ax2 形状__相__同____，位置 __不__同____．把抛物线 y＝ax2 向上(下)和向左(右)平移，可以得 到抛物线 y＝a(x－h)2＋k，平移的方向、距离要根据 __h_，__k_____的值来决定．
基础巩固练
10．(2019·哈尔滨)将抛物线 y＝2x2 向上平移 3 个单位长度，再向
基础巩固练 7．(中考·泰安)对于抛物线 y＝－12(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物
线的开口向下；
②对称轴为直线 x＝1； ③顶点坐标为(－1，3)； ④x＞1 时，y 随 x 的增大而减小． 其中正确结论的个数为( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
基础巩固练
*8.(中考·天津)已知二次函数 y＝(x－h)2＋1(h 为常数)，在自变量 x 的值满足 1≤x≤3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值 为 5，则 h 的值为( ) A．1 或－5 B．－1 或 5 C．1 或－3 D．1 或 3
素养核心练
解：∵点12，3是抛物线的顶点， ∴可设抛物线形水柱对应的函数解析式为 y＝ax－122＋3. ∵抛物线经过点(0，1)， ∴1＝0－122·a＋3，解得 a＝－8. ∴抛物线形水柱对应的函数解析式为 y＝－8x－122＋3.
点坐标． 解：图象的开口向上，对称轴为直线 x＝1， 顶点坐标为(1，－5)．
能力提升练 13．如图，已知抛物线 y＝a(x－h)2＋k 与 x 轴的一个交点为 A(3，
0)，与 y 轴的交点为 B(0，3)，对称轴为直线 x＝1. (1)求抛物线对应的函数解析式；
解：由题意可知 h＝1，则 y＝a(x－1)2＋k. 将点(3，0)，(0，3)的坐标分别代入上式， 得4aa＋＋kk＝＝30，，解得ak＝＝－4. 1， 故抛物线对应的函数解析式为 y＝－(x－1)2＋4.
《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》PPT教学课文课件 (第3课时)
向上(k>0)[或 向下(k<0)]平 移|k|个单位
y=ax2+k
向右(h>0)[或向左 (h<0)]平移|h|个单位
y=a(x-h)2+k
y
hO k
x
y=ax2
y=a(x-h)2+k
对称轴 直线x=3 直线x=-1 直线x=4 直线x=3
顶点坐标 (3,5) (-1,2) (4,5) (3,-4)
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水 管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱 在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水 柱落地处离池中心3m，水管应多长.
4.指出下面函数的开口方向，对称轴和顶点坐标.
（1）y=5(x+2)2+1；
（2）y=-7(x-2)2-1；
开口向上 对称轴为x=-2 顶点坐标为（-2，1）
开口向下 对称轴为x=2 顶点坐标为（2，-1）
（3）y=(x-4)2+3；
（4）y=-(x+2)2-3.
开口向上 对称轴为x=4 顶点坐标为（4，3）
解：如图,以水管与地面交点为原点，
3
原点与水柱落地处所在直线为x轴，水
管所在直线为y轴，建立直角坐标系.
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点，
因此，可设这段抛物线对应的函数是y=a(x-1)²+3（0≤x≤3）
由这段抛物线经过点(3,0)可得
0=a(3-1)²+3，
3
解得a
3 4
因此y=-
3 4
(
x
3.怎样移动抛物线 y 1 x2 就可以得到抛物线y 1 (x 1)2 1？
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 课件-优质课公开课课件
y最小=0 对称轴右 x=0, 侧y随x增 y最小=1 大而增大
新知讲解
思考2：这三个函数 y=2x2、y=2x2+1、y=2x2-1的图象存在怎
样的关系？
y=2x2图象向上平移1个单位长度 得到y=2x2+1的图象， y=2x2图象向下平移1个单位长度 得到y=2x2-1的图象.
新知讲解
思考2：这三个函数 y=2x2、y=2x2+1、y=2x2-1图象存在怎样
y=2x2+1 y=2x2 y=2x2-1
新知讲解
思考1：观察上面三个函数的图象，回答下面问题：
解析式 形 开口方 对称 顶点坐 顶点高 函数最 函数的增减
状向
轴标
低
值
性
y=2x2-1
y=2x2
抛 物
线 y=2x2+1
向上
(0,-1)
直线 (0,0) x=0
(0,1)
最低
x=0, 对称轴左 y最小=-1 侧y随x增 x=0, 大而减小
直线 (0,0) x=0
(0,1)
最高
x=0, 对称轴左 y最大=-1 侧y随x增 x=0, 大而增大
y最大=0 对称轴右 x=0, 侧y随x增 y最大=1 大而减小
新知讲解
（2）函数 y=-2x2、y=-2x2+1、y=-2x2-1图象之间的关系：
①y=-2x2图象向 上 平移 1 个单位长度得到y=-2x2+1的图象； ②y=-2x2图象向 下 平移 1 个单位长度得到y=-2x2-1的图象； ③y=-2x2+1图象向下 平移 1 个单位长度得到y=-2x2的图象； ④y=-2x2+1图象向 下 平移 2 个单位长度得到y=-2x2-1的图象； ⑤y=-2x2-1图象向 上 平移 1 个单位长度得到y=-2x2的图象； ⑥y=-2x2-1图象向 上 平移 2 个单位长度得到y=-2x2+1的图象.
新知讲解
思考2：这三个函数 y=2x2、y=2x2+1、y=2x2-1的图象存在怎
样的关系？
y=2x2图象向上平移1个单位长度 得到y=2x2+1的图象， y=2x2图象向下平移1个单位长度 得到y=2x2-1的图象.
新知讲解
思考2：这三个函数 y=2x2、y=2x2+1、y=2x2-1图象存在怎样
y=2x2+1 y=2x2 y=2x2-1
新知讲解
思考1：观察上面三个函数的图象，回答下面问题：
解析式 形 开口方 对称 顶点坐 顶点高 函数最 函数的增减
状向
轴标
低
值
性
y=2x2-1
y=2x2
抛 物
线 y=2x2+1
向上
(0,-1)
直线 (0,0) x=0
(0,1)
最低
x=0, 对称轴左 y最小=-1 侧y随x增 x=0, 大而减小
直线 (0,0) x=0
(0,1)
最高
x=0, 对称轴左 y最大=-1 侧y随x增 x=0, 大而增大
y最大=0 对称轴右 x=0, 侧y随x增 y最大=1 大而减小
新知讲解
（2）函数 y=-2x2、y=-2x2+1、y=-2x2-1图象之间的关系：
①y=-2x2图象向 上 平移 1 个单位长度得到y=-2x2+1的图象； ②y=-2x2图象向 下 平移 1 个单位长度得到y=-2x2-1的图象； ③y=-2x2+1图象向下 平移 1 个单位长度得到y=-2x2的图象； ④y=-2x2+1图象向 下 平移 2 个单位长度得到y=-2x2-1的图象； ⑤y=-2x2-1图象向 上 平移 1 个单位长度得到y=-2x2的图象； ⑥y=-2x2-1图象向 上 平移 2 个单位长度得到y=-2x2+1的图象.
26.二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质PPT课件(华师大版)
x＜0时，y随x的增大而增大； y最大
向下 （0，－4） y轴
x＞0时，y随x的增大而减小； 4
x＜1时，y随x的增大而减小； y最小
向上 （1，0） 直线x＝1
x＞1时，y随x的增大而增大； 0
x＜－3时，y随x的增大而增大；y最大
向下 （－3，0）直线x＝－3
x＞－3时，y随x的增大而减小； 0
2
1个单位
平移方法2:
1 2 向左平移
1
y x
y ( x 1) 2
2
2
1个单位
再
向下平移 y 1 ( x 1) 2 1
2
1个单位
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
x=－1
x
抛物线y= 2(x-1)2+2的开口方向、对称轴和顶点坐标分别
是什么? 它可以由抛物线y=2x2经过怎样的平移得到?
抛物线
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
顶点坐标
（h，k）
（h，k）
对称轴
直线x=h
直线x=h
位置
由h和k的符号确定
开口方向
向上
增减性
最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为k.
由h和k的符号确定
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
1
y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
-1
-2
-3
-4
-5
向下 （0，－4） y轴
x＞0时，y随x的增大而减小； 4
x＜1时，y随x的增大而减小； y最小
向上 （1，0） 直线x＝1
x＞1时，y随x的增大而增大； 0
x＜－3时，y随x的增大而增大；y最大
向下 （－3，0）直线x＝－3
x＞－3时，y随x的增大而减小； 0
2
1个单位
平移方法2:
1 2 向左平移
1
y x
y ( x 1) 2
2
2
1个单位
再
向下平移 y 1 ( x 1) 2 1
2
1个单位
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
x=－1
x
抛物线y= 2(x-1)2+2的开口方向、对称轴和顶点坐标分别
是什么? 它可以由抛物线y=2x2经过怎样的平移得到?
抛物线
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
顶点坐标
（h，k）
（h，k）
对称轴
直线x=h
直线x=h
位置
由h和k的符号确定
开口方向
向上
增减性
最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为k.
由h和k的符号确定
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
1
y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
-1
-2
-3
-4
-5
九年级数学上册《二次函数y=a(x-h)^2+k的图象和性质》PPT
A B
？ 3m
1m
C
O
3m
合作探究（二）解决实际问题
例题：要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端 安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达 到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3 m，水管应多长？
y/m
3
A
2B 1
0O 1
C
2 3 x/m
九年级数学上册
二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质（2）
学习目标
（1）理解如何由抛物线 y = ax2 通过平移变换得到抛物线 y = a(x - h)2 + k ， 体会由特殊到一般的研究数学问题的基本方法.
（2）通过图象了解二次函数 y = a(x - h)2 + k 的性质，进一步体会数形结 合思想.
与抛物线 y
1 =-
2
x2
有什么关系？
（4）
抛物线
y = - 1 x2 -1 2
与抛物线 y = - 1 x2 有什么关系？
2
合作探究（一） 猜想—验证—归纳—应用
根据前面的课前准备，类比猜想：
抛物线 y 1 (x 1)2 1 是由抛物线 y 1 (x 1)2 怎样平移得到的？
2
2
合作探究（一） 猜想—验证—归纳—应用 在学案上画出二次函数 y 1 (x 1)2 1 的图象，验证猜想.
目标检测
抛物线 y 3[( x 7)2 3] 可由抛物线 y 3x2先向 下 平移 9 个 单位，再向 右 平移 7 个单位得到.
课后作业
如图，一位运动员在距篮下4米处 跳起投篮，球运行的路线是抛物线， 当球运行的水平距离为2.5米时，达到 最大高度3.5米，然后准确落入篮 圈．已知篮圈中心到地面的距离为 3.05米．若该运动员身高1.8米，在这 次跳投中，球在头顶上方0.25米处出 手，问：球出手时，他跳离地面的高 度是多少？