高考数学一轮总复习 63等比数列课后强化作业 北师大版
"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-3等比数列课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题1．(文)已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1＝( ) A ．2 B. 2 C.22D.12[答案] B[解析] ∵a 3·a 9＝(a 6)2＝2a 25， ∴(a 6a 5)2＝2，又{a n }的公比为正数， ∴q ＝a 6a 5＝ 2.∴a 1＝a 2q＝ 2.(理)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2[答案] A[解析] ∵{a n }为正项等比数列，∴a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9成等比数列，且a 4a 5a 6>0， ∴a 4a 5a 6＝(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)＝52，故选A.2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 [答案] A[解析] 设数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2，∴由a 1＋a 1q ＝3得a 1＝1，∴a 7＝1×27－1＝64.3．(文)(2013·新课标Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n[答案] D[解析] 本题考查等比数列前n 项和S n 与通项a n 之间的关系，由题意得，a n ＝(23)n －1，S n ＝1－(23)n 1－23＝1－23(23)n －113＝3－2a n ，选D.(理)(2013·新课标Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13C.19 D ．－19[答案] C[解析] ∵S 3＝a 2＋10a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1， a 3＝9a 1＝a 1q 2，∴q 2＝9，又∵a 5＝9，∴9＝a 3·q 2＝9a 3，∴a 3＝1， 又a 3＝9a 1，故a 1＝19.4．(文)一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项[答案] B[解析] 设前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n －2，a 1q n －1，所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q 3n －6＝4.所以两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21q n －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，a n 1qn (n －1)2＝64，即(a 21qn －1)n＝642，即2n ＝642.所以n ＝12. (理)设数列{x n }满足log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋…＋x 10＝10，记{x n }的前n 项和为S n ，则S 20＝( )A ．1 025B ．1 024C ．10 250D ．10 240[答案] C[解析] ∵log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N ＋)，∴log 2x n ＋1＝log 2(2x n )， ∴x n ＋1＝2x n ，x n ＋1x n＝2(n ∈N ＋)，又x n >0(n ∈N ＋)，所以数列{x n }是公比为2的等比数列，由x 1＋x 2＋…＋x 10＝10得到x 1＝10210－1， 所以S 20＝x 1(1－220)1－2＝10×(210＋1)＝10 250.5．(文)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7[答案] D[解析] 本题考查了等比数列的性质及分类讨论思想．a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8⇒a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4， a 4＝4，a 7＝－2⇔a 1＝－8，a 10＝1⇔a 1＋a 10＝－7， a 4＝－2，a 7＝4⇒a 10＝－8，a 1＝1⇔a 1＋a 10＝－7.(理)(2014·山西四校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为( )A.2n ＋1－13B.2n ＋1－23C.22n －13D.22n －23[答案] C[解析] 依题意，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－1＝1，a n ＝2n －1也适合a 1. 因此，a n ＝2n －1，a n ＋1a n ＝2，数列{a n }是等比数列．数列{a n }的奇数项的前n 项和为1×(1－22n )1－22＝22n －13.6．(2014·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12B.32C ．1D ．－32[答案] B[解析] 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3 π3， log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝7log 33 π3 ＝7π3， 所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 二、填空题7．(2012·江西高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N ＋都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.[答案] 11[解析] 本题考查了等比数列通项公式，求和公式等，设{a n }公比为q ，则a n ＋2＋a n ＋1 －2a n ＝a 1q n ＋1＋a 1q n －2a 1q n －1＝0，所以q 2＋q －2＝0，即q ＝－2，q ＝1(舍去)，∴S 5＝1－(－2)51－(－2)＝11.8．在等比数列{a n }中，已知对任意正整数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于________．[答案] 13(4n －1)[解析] 由a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1， ∴a 1＝1，a 2＝2，q ＝2 又∵{a n }是等比数列∴{a 2n }也是等比数列，首项为1，公比为4 ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1－4n 1－4＝13(4n －1)． 9．(2013·辽宁高考)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.[答案] 63[解析] 本题考查等比数列的基本运算问题．因为方程x 2－5x ＋4＝0的两根为1,4.由a 1，a 3是方程的两根且数列是递增数列知，a 1＝1，a 3＝4，所以公比q ＝2，S 6＝1－261－2＝63.三、解答题10．(文)S n 是无穷等比数列{a n }的前n 项和，且公比q ≠1，已知1是12S 2和13S 3的等差中项，6是2S 2和3S 3的等比中项．(1)求S 2和S 3；(2)求此数列{a n }的前n 项和公式． [解析] (1)根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧12S 2＋13S 3＝2，(2S 2)(3S 3)＝36.整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 3S 2＋2S 3＝12，(3S 2)(2S 3)＝36.解得3S 2＝2S 3＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝2，S 3＝3.(2)∵q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝3.可解得q ＝－12，a 1＝4.∴S n ＝4[1－(－12)n ]1＋12＝83－83(－12)n .(理)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．[解析] (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2. 由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n )1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2，所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2，因此{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．能力强化训练一、选择题1．(文)在正项等比数列{a n }中，若a 2·a 4·a 6·a 8·a 10＝32，则log 2a 7－12log 2a 8＝( )A.18B.16C.14D.12[答案]D[解析] ∵a 2·a 4·a 6·a 8·a 10＝32，∴a 6＝2， ∴log 2a 7－12log 2a 8＝log 2a 7a 8＝log 2a 6a 8a 8＝log 2a 6＝log 22＝12.(理)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( )A.5－12B.5＋12C.1－52D.5－12或5＋12 [答案] B[解析] 设{a n }的公比为q ，则q >0.∵a 2，12a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 1＋a 2，∴a 1q 2＝a 1＋a 1q ， ∵a 1≠0，∴1＋q ＝q 2， 又∵q >0，∴q ＝5＋12， ∴a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝5＋12.2．(2014·武汉模拟)等比数列{a n }的公比为q ，则“a 1>0，且q >1”是“对于任意正整数n ，都有a n ＋1>a n ”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 [答案] A[解析] 易知，当a 1>0且q >1时，a n >0， 所以a n ＋1a n＝q >1，表明a n ＋1>a n ；若对任意自然数n ，都有a n ＋1>a n 成立， 当a n >0时，同除a n 得q >1， 但当a n <0时，同除a n 得0<q <1. 也可举反例，如a n ＝－12n .二、填空题3．若数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，则a n 等于________．[答案] 2n －1[解析] a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2a 3－a 2＝22…a n－a n －1＝2n －1相加：a n－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，∴a n＝2n－2＋a1＝2n－1.4．(文)已知等比数列{a n}为递增数列，若a1>0，且2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，则数列{a n}的公比q＝________.[答案]2[解析]本题考查了等比数列的通项公式．∵{a n}是递增的等比数列，且a1>0，∴q>1，又∵2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，∴2a n＋2a n q2＝5a n q，∵a n≠0，∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝12(舍去)，∴公比q为2.(理)已知等比数列{a n}为递增数列，且a25＝a10,2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，则数列{a n}的通项公式a n＝________.[答案]2n[解析]本题考查等比数列通项公式的求法．由题意，a25＝a10，则(a1q4)2＝a1q9，∴a1＝q.又∵2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，∴2q2－5q－2＝0，∵q>1，∴q＝2，a1＝2，∴a n＝a1·q n－1＝2n.三、解答题5．(2013·四川高考)在等比数列{a n}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{a n}的首项，公比及前n项和．[解析]根据题意确定数列的首项及公比．再利用等比数列的前n项和公式求解．设该数列的公比为q，由已知可得由a2－a1得a1q－a1＝2，即a1(q－1)＝2.由6a 1＝2a 2＋a 3得4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋3＝0解得q ＝3或q ＝1. 由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去． 故公比q ＝3，首项a 1＝1. 所以数列的前n 项和S n ＝3n －12.6．(文)已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)因为a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n (n ＋1)2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2.(理)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n }的前n 项和．[解析] (1)设数列{a n }的公比为q . 由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19. 由条件可知q >0，故q ＝13，由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13，故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n (n ＋1)2.故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2(1n －1n ＋1)， 1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2n n ＋1. 所以数列{1b n }的前n 项和为－2n n ＋1.。
高考数学一轮复习统考 第6章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和课时作业(含解析)北师大版-北师大版
等比数列及其前n 项和课时作业1．(2019·某某某某模拟)已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝8，则a 3a 4a 5＝() A ．±64 B ．64 C ．32 D ．16答案 B解析 因为a 2＝2，a 6＝8，所以由等比数列的性质可知a 2·a 6＝a 24＝16，而a 2，a 4，a 6同号，所以a 4＝4，所以a 3a 4a 5＝a 34＝64.故选B.2．(2019·某某调研)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝3，a 4＝24，则S 6＝() A ．93 B ．189 C ．99 D ．195答案 B解析 ∵a 4＝a 1q 3＝3q 3＝24，∴q ＝2，∴S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝189.故选B.3．(2019·某某模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S m ＝15，则m 为()A ．12B ．14C ．15D ．16答案 D 解析a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝q 4＝2，由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，得a 1·1－q41－q＝1，∴a 1＝q －1，又S m ＝15，即a 1(1－q m )1－q＝15，∴q m＝16，∵q 4＝2，∴m ＝16.故选D.4．(2019·某某模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n ＋1＋λ，则λ＝()A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案 A解析 依题意，a 1＝S 1＝4＋λ，a 2＝S 2－S 1＝4，a 3＝S 3－S 2＝8，因为{a n }是等比数列，所以a 22＝a 1·a 3， 所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故选A.5．(2020·某某一中模考)已知数列{a n }是递减的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 2＋a 5＝18，a 3a 4＝32，则S 5的值是()A ．62B ．48C ．36D ．31答案 A解析 由a 2＋a 5＝18，a 3a 4＝32，得a 2＝16，a 5＝2或a 2＝2，a 5＝16(不符合题意，舍去)，设数列{a n }的公比为q ，则a 1＝32，q ＝12，所以S 5＝32×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝62，选A.6．(2019·某某一模)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则()A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n答案 D解析 因为a 1＝1，公比q ＝23，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝3－2a n ，故选D.7．(2019·某某某某模拟)设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6＝() A ．31.5 B ．160 C ．79.5 D ．159.5答案 C解析 因为1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2n －1，则a n ＝5·2n －1－12，a n ＝5·2n －2－12. a 6＝5×24－12＝5×16－12＝80－12＝79.5.8．(2019·某某九校联考)在等比数列{a n }中，若a 2a 5＝－34，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝54，则1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝()A ．1B ．－34C ．－53D.43答案 C解析 因为数列{a n }是等比数列，a 2a 5＝－34＝a 3a 4，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝54，所以1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝a 2＋a 5a 2a 5＋a 3＋a 4a 3a 4＝54－34＝－53.故选C. 9．(2019·某某模拟)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝()A ．2 B.73 C.310D ．1或2答案 B解析 设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73.故选B.10．(2020·延庆模拟)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝()A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n (n ＋1)2D.n (n －1)2答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2，a 4，a 8成等比数列， ∴a 24＝a 2·a 8，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )， 将d ＝2代入上式，解得a 1＝2， ∴S n ＝2n ＋n (n －1)·22＝n (n ＋1)．故选A.11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 8＝2a 4，S 4＝4，则S 8的值为() A ．4 B ．8 C ．10D ．12答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意知q ≠1.因为a 8＝2a 4，S 4＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 7a 1q 3＝2，a 1(1－q 4)1－q ＝4，解得q 4＝2，a 1＝－4(1－q )，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝－4(1－q )(1－22)1－q＝12.故选D.12．记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *)，已知a m －1·a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m 的值为()A ．4B ．7C ．10D ．12答案 A解析 因为{a n }是等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2m .又a m －1a m ＋1－2a m ＝0，则a 2m －2a m ＝0，所以a m ＝2.由等比数列的性质可知前2m －1项积T 2m －1＝a 2m －1m，即22m －1＝128，故m ＝4.故选A. 13．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________. 答案 －2解析 S 3＋3S 2＝0，即a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，即4a 1＋4a 2＋a 3＝0，即4a 1＋4a 1q ＋a 1q 2＝0，即q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2.14．(2019·某某模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋3，则S 4＝________.答案 66解析 依题意有a n ＝2S n －1＋3(n ≥2)，与原式作差，得a n ＋1－a n ＝2a n ，n ≥2，即a n ＋1＝3a n ，n ≥2，可见，数列{a n }从第二项起是公比为3的等比数列，a 2＝5，所以S 4＝1＋5×(1－33)1－3＝66.15．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.答案 2n解析 设等比数列{a n }的公比为q .∵a 25＝a 10，∴(a 1q 4)2＝a 1q 9，∴a 1＝q ，∴a n ＝q n. ∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n (1＋q 2)＝5a n q ，∴2(1＋q 2)＝5q ，解得q ＝2或q ＝12(舍去)．∴a n ＝2n.16．(2020·启东模拟)已知等比数列{a n }中，a 2>a 3＝1，则使不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≥0成立的最大自然数n 是________．答案 5解析 设公比为q ，由a 2>a 3＝1知0<q <1，a n ＝qn －3，∴不等式的左端＝q －2(1－q n )1－q－q 2(1－q －n )1－q －1＝1－q n(1－q )q2·(1－q 5－n)≥0，∵0<q <1，∴n ≤5. 17．(2019·高考)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值． 解 (1)设{a n }的公差为d . 因为a 1＝－10，所以a 2＝－10＋d ，a 3＝－10＋2d ，a 4＝－10＋3d . 因为a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列， 所以(a 3＋8)2＝(a 2＋10)(a 4＋6)． 所以(－2＋2d )2＝d (－4＋3d )．解得d ＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －12. (2)由(1)知，a n ＝2n －12.则当n ≥7时，a n >0；当n ≤6时，a n ≤0. 所以S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.18．(2019·某某模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2n (n ∈N *)． (1)证明：{a n ＋2}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋2)，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和，若T n <a 对任意正整数n 都成立，求a 的取值X 围．解 (1)证明：因为S n ＝2a n －2n (n ∈N *)，① 所以a 1＝S 1＝2a 1－2，得a 1＝2.当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)．②由①②两式相减得a n ＝2a n －1＋2，变形得a n ＋2＝2(a n －1＋2)．又因为a 1＋2＝4，所以{a n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋2＝4×2n －1，所以a n ＝4×2n －1－2＝2n ＋1－2(n ≥2)．又a 1＝2也符合上述表达式，所以a n ＝2n ＋1－2(n ∈N *)．(2)因为b n ＝log 2(a n ＋2)＝log 22n ＋1＝n ＋1，1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2<12，依题意得a ≥12，即a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 19．(2019·某某省实验中学模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，S 2＝2a 2－2，S 3＝a 4－2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝na n，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 2＝2a 2－2，①S 3＝a 4－2，②所以由①②两式相减得a 3＝a 4－2a 2，即q 2－q －2＝0. 又因为q >0，所以q ＝2.又因为S 2＝2a 2－2，所以a 1＋a 2＝2a 2－2，所以a 1＋a 1q ＝2a 1q －2， 代入q ＝2，解得a 1＝2，所以a n ＝2n. (2)由(1)得b n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，①将①式两边同乘12，得12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，②由①②两式错位相减得12T n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1，整理得T n ＝2－n ＋22n.20．(2019·正定模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意n ∈N *，k ≤S n 恒成立，某某数k 的最大值． 解 (1)因为3a n ＋1＋2S n ＝3，① 所以当n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3.② 由①－②，得3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0(n ≥2)， 所以a n ＋1a n ＝13(n ≥2)． 因为a 1＝1,3a 2＋2a 1＝3，解得a 2＝13，所以a 2a 1＝13.所以数列{a n }是首项为1，公比为13的等比数列．所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.(2)由(1)知S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .由题意，可知对于任意n ∈N *，恒有k ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 成立．因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 为递增数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 中的最小项为23，所以k ≤32×23＝1，故实数k 的最大值为1.。
高考数学一轮专项复习讲义-等比数列(北师大版)
§6.3等比数列课标要求1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等比数列前n 项和公式，理解等比数列的通项公式与前n 项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列有关的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．(2)等比中项：如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称G 为a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)．(2)前n 项和公式：S n ，＝a 1－a n q 1－q，q ≠1且q ≠0.3．等比数列的常用性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N ＋.特别地，若2w ＝m ＋n ，则a m a n ＝a 2w ，其中m ，n ，w ∈N ＋.(2)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N ＋)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }数列(b ，p ，q ≠0)．(4)1>0，>11<0，q <1，则等比数列{a n }递增．1>0，q <11<0，>1，则等比数列{a n }递减．4．等比数列前n 项和的常用性质若等比数列{a n }的公比q ≠－1,前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .常用结论1．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0.2．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)．3．设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .(2)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T3n T 2n ，…成等比数列．(3)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．(×)(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .(×)(3)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．(×)(4)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．(√)2．设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析若a ，b ，c ，d 成等比数列，则ad ＝bc ，数列－1，－1,1,1满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1,1不是等比数列，即“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要不充分条件．3．在等比数列{a n }中，若a 3＝32，S 3＝92，则a 2的值为()A ．32B ．－3C ．－32D ．－3或32答案D解析由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 3(q －2＋q －1＋1)，得q －2＋q －1＋1＝3，即2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，∴a 2＝a 3q ＝32或－3.4．数列{a n }的通项公式是a n ＝a n (a ≠0)，则其前n 项和为S n ＝________.答案a ≠0，a ≠1解析因为a ≠0，a n ＝a n ，所以{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列．当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，Sn ＝a (1－a n )1－a.题型一等比数列基本量的运算例1(1)(2023·全国甲卷)设等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 5＝5S 3－4，则S 4等于()A.158B.658C ．15D ．40答案C 解析方法一若该数列的公比q ＝1，代入S 5＝5S 3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q ≠1.由1－q 51－q ＝5×1－q 31－q －4，化简得q 4－5q 2＋4＝0，所以q 2＝1或q 2＝4，因为此数列各项均为正数，所以q ＝2，所以S 4＝1－q 41－q ＝15.方法二由题知1＋q ＋q 2＋q 3＋q 4＝5(1＋q ＋q 2)－4，即q 3＋q 4＝4q ＋4q 2，即q 3＋q 2－4q －4＝0，即(q －2)(q ＋1)(q ＋2)＝0.由题知q >0，所以q ＝2.所以S 4＝1＋2＋4＋8＝15.(2)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则Sn a n 等于()A ．2n －1B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n －1答案B 解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，1q 4－a 1q 2＝12，1q 5－a 1q 3＝24，1＝1，＝2，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n －1，a n ＝a 1q n －1＝2n －1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n .方法二设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，因为a 6－a 4a 5－a 3＝a 4(q 2－1)a 3(q 2－1)＝a 4a 3＝2412＝2，所以q ＝2，所以S na n ＝a 1(1－q n )1－q a 1q n －1＝2n －12n －1＝2－21－n .思维升华等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解．(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．(3)运用等比数列的前n 项和公式时，一定要讨论公比q ＝1的情形，否则会漏解或增解．跟踪训练1(1)(2023·天津)已知{a n }为等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＋1＝2S n ＋2，则a 4的值为()A ．3B ．18C ．54D ．152答案C解析由题意可得，当n ＝1时，a 2＝2a 1＋2，即a 1q ＝2a 1＋2，①当n ＝2时，a 3＝2(a 1＋a 2)＋2，即a 1q 2＝2(a 1＋a 1q )＋2，②联立①②1＝2，＝3，则a 4＝a 1q 3＝54.(2)(2023·青岛模拟)云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列{a n }，则log 2(a 3a 5)的值为()A ．8B ．10C ．12D ．16答案C解析从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列{a n }，则{a n }是以2为公比的等比数列，∴S 7＝a 1(1－27)1－2＝1016，即127a 1＝1016，解得a 1＝8，∴a n ＝8×2n －1，∴log 2(a 3a 5)＝log 2(8×22×8×24)＝12.题型二等比数列的判定与证明例2(2023·长沙模拟)记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，a 2＝－1，且a n ＋2＋a n ＋1－6a n ＝0(n ∈N ＋)．(1)证明：{a n ＋1＋3a n }为等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n .(1)证明由a n ＋2＋a n ＋1－6a n ＝0，可得a n ＋2＋3a n ＋1＝2(a n ＋1＋3a n )，即a n ＋2＋3a n ＋1a n ＋1＋3a n＝2(n ∈N ＋)，∴{a n ＋1＋3a n }是以a 2＋3a 1＝5为首项，2为公比的等比数列．(2)解由(1)可知a n ＋1＋3a n ＝5·2n －1(n ∈N ＋)，∴a n ＋1－2n ＝－3(a n －2n －1)，∴a n ＋1－2n a n －2n －1＝－3，∴{a n －2n －1}是以a 1－20＝1为首项，－3为公比的等比数列，∴a n －2n －1＝1×(－3)n －1，∴a n ＝2n －1＋(－3)n －1，S n ＝1－2n 1－2＋1－(－3)n 1－(－3)＝2n －34－(－3)n 4.思维升华等比数列的四种常用判定方法(1)定义法：若a na n －1＝q (q 为非零常数，且n ≥2，n ∈N ＋)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋)，则{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列{a n }的通项公式可写成a n ＝cq n －1(c ，q 均为非零常数，n ∈N ＋)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝kq n －k (k 为常数，且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2(2024·潍坊模拟)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝3，b 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2b n ，b n ＋1＝2a n ＋b n .(1)证明：{a n ＋b n }和{a n －b n }都是等比数列；(2)求{a n b n }的前n 项和S n .(1)证明因为a n ＋1＝a n ＋2b n ，b n ＋1＝2a n ＋b n ，所以a n ＋1＋b n ＋1＝3(a n ＋b n )，a n ＋1－b n ＋1＝－(a n －b n )，又由a 1＝3，b 1＝2得a 1－b 1＝1，a 1＋b 1＝5，所以数列{a n ＋b n }是首项为5，公比为3的等比数列，数列{a n －b n }是首项为1，公比为－1的等比数列．(2)解由(1)得a n ＋b n ＝5×3n －1，a n －b n ＝(－1)n －1，所以a n ＝5×3n －1＋(－1)n －12，b n ＝5×3n －1－(－1)n －12，所以a n b n ＝5×3n －1＋(－1)n －12×5×3n －1－(－1)n －12＝25×32n －2－14＝254×9n －1－14，所以S n ＝254×1－9n 1－9－n 4＝25×(9n －1)－8n32.题型三等比数列的性质命题点1项的性质例3(1)(2023·全国乙卷)已知{a n }为等比数列，a 2a 4a 5＝a 3a 6，a 9a 10＝－8，则a 7＝________.答案－2解析方法一{a n }为等比数列，∴a 4a 5＝a 3a 6，∴a 2＝1，又a 2a 9a 10＝a 7a 7a 7，∴1×(－8)＝(a 7)3，∴a 7＝－2.方法二设{a n }的公比为q (q ≠0)，则a 2a 4a 5＝a 3a 6＝a 2q ·a 5q ，显然a n ≠0，则a 4＝q 2，即a 1q 3＝q 2，则a 1q ＝1，∵a 9a 10＝－8，则a 1q 8·a 1q 9＝－8，则q 15＝(q 5)3＝－8＝(－2)3，则q 5＝－2，则a 7＝a 1q ·q 5＝q 5＝－2.下标和相等的等差(比)性质的推广(1)若数列{a n }为等比数列，且m 1＋m 2＋…＋m n ＝k 1＋k 2＋…＋k n ，则12m m a a ·…·n m a ＝12k k a a ·…·n k a .(2)若数列{a n }为等差数列，且m 1＋m 2＋…＋m n ＝k 1＋k 2＋…＋k n ，则1m a ＋2m a ＋…＋n m a ＝1k a ＋2k a ＋…＋n k a .典例已知等差数列{a n }，S n 为前n 项和，且a 9＝5，S 8＝16，则S 11＝________.答案33解析S 8＝8(a 1＋a 8)2＝16，∴a 1＋a 8＝4，又∵a 9＋a 1＋a 8＝3a 6，∴a 6＝3，故S 11＝11a 6＝33.(2)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N ＋)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________.答案100解析因为log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 2(2a n )，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列，又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100，所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100.命题点2和的性质例4(1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.答案2解析奇＋S 偶＝－240，奇－S 偶＝80，奇＝－80，偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.(2)已知S n 是正项等比数列{a n }的前n 项和，S 10＝20，则S 30－2S 20＋S 10的最小值为________．答案－5解析依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，且S 10＝20，不妨令其公比为q (q >0)，则S 20－S 10＝20q ，S 30－S 20＝20q 2，∴S 30－2S 20＋S 10＝(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝20q 2－20q ＝－5，故当q ＝12时，S 30－2S 20＋S 10的最小值为－5.思维升华(1)在解决与等比数列有关的问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．跟踪训练3(1)(2024·南昌模拟)已知等比数列{a n }满足a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝20，a 2a 8＝2，则1a 2＋1a 4＋1a 6＋1a 8＝________.答案10解析1a 2＋1a 4＋1a 6＋1a 8＝＝a 2＋a 8a 2a 8＋a 4＋a 6a 4a 6＝a 2＋a 8＋a 4＋a 6a 2a 8＝202＝10.(2)(2023·长春统考)在等比数列{a n }中，q ＝12，S 100＝150，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100的值是________．答案50解析设T 1＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99，T 2＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100，所以T 2T 1＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝12，所以S 100＝T 1＋T 2＝2T 2＋T 2＝3T 2＝150，所以T 2＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝50.课时精练一、单项选择题1．(2023·本溪模拟)已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ＝12，且a 3a 4＝132，则a 6等于()A.18 B.116C.132D.164答案C解析由a 3a 4＝132，得a 1q 2·a 1q 3＝132，即a 21＝132，所以a 21＝1.又a n >0，所以a 1＝1，a 6＝a 1q 5＝1＝132.2．若1，a 2，a 3,4成等差数列；1，b 2，b 3，b 4,4成等比数列，则a 2－a 3b 3等于()A.12B ．－12C ．±12D.14答案B解析由题意得a 3－a 2＝4－13＝1，设1，b 2，b 3，b 4，4的公比为q ，则b 3＝q 2>0，b 23＝1×4＝4，解得b 3＝2，a 2－a 3b 3＝－12＝－12.3．(2023·济宁模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n 等于()A ．5B ．6C ．7D ．8答案B解析∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又S n ＝126，∴2(1－2n )1－2＝126，解得n ＝6.4．已知等比数列{a n }为递减数列，若a 2a 6＝6，a 3＋a 5＝5，则a5a 7等于()A.32B.23C.16D ．6答案A解析由{a n }为等比数列，得a 2a 6＝a 3a 5＝6，又a 3＋a 5＝5，∴a 3，a 5为方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，解得a 3＝2，a 5＝3或a 3＝3，a 5＝2，由{a n }为递减数列得a n >a n ＋1，∴a 3＝3，a 5＝2，∴q 2＝a 5a 3＝23，则a 5a 7＝1q 2＝32.5．(2024·揭阳模拟)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．其大意是有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地．则此人后三天所走的里程数为()A ．6B ．12C ．18D ．42答案D解析设第n (n ∈N ＋)天走a n 里，其中1≤n ≤6，由题意可知，数列{a n }是公比为12的等比数列，1－12＝6332a 1＝378，解得a 1＝192，所以此人后三天所走的里程数为a 4＋a5＋a 6＝192×18×1－12＝42.6．(2023·新高考全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若S 4＝－5，S 6＝21S 2，则S 8等于()A ．120B ．85C ．－85D ．－120答案C解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ，首项为a 1，若q ＝1，则S 6＝6a 1＝3×2a 1＝3S 2，不符合题意，所以q ≠1.由S 4＝－5，S 6＝21S 2，可得a 1(1－q 4)1－q ＝－5，a 1(1－q 6)1－q ＝21×a 1(1－q 2)1－q ，①由①可得，1＋q 2＋q 4＝21，解得q 2＝4，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝a 1(1－q 4)1－q ·(1＋q 4)＝－5×(1＋16)＝－85.方法二设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 4＝－5，S 6＝21S 2，所以q ≠－1，否则S 4＝0，从而S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6成等比数列，所以(－5－S 2)2＝S 2(21S 2＋5)，解得S 2＝－1或S 2＝54，当S 2＝－1时，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6，即为－1，－4，－16，S 8＋21，易知S 8＋21＝－64，即S 8＝－85；当S 2＝54时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝(1＋q 2)S 2>0，与S 4＝－5矛盾，舍去．综上，S 8＝－85.二、多项选择题7．(2023·太原模拟)已知数列{a n }是等比数列，以下结论正确的是()A ．{a 2n }是等比数列B ．若a 3＝2,a 7＝32，则a 5＝±8C ．若a 1<a 2<a 3，则数列{a n }是递增数列D ．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋r ，则r ＝－1答案ACD 解析令等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1，对于A ，a 2n ＋1a 2n ＝＝q 2，且a 21≠0，则{a 2n }是等比数列，故A 正确；对于B ，由a 3＝2，a 7＝32，得q 4＝16，即q 2＝4，所以a 5＝a 3q 2＝2×4＝8，故B 错误；对于C ，由a 1<a 2<a 31(q －1)>0，1q (q －1)>0，>0，1(q －1)>0，a n ＋1－a n ＝q n －1·a 1(q －1)>0，即∀n ∈N ＋，a n ＋1>a n ，所以数列{a n }是递增数列，故C 正确；对于D ，显然q ≠1，则S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1q －1·q n －a 1q －1，而S n ＝3n ＋r ，因此q ＝3，a 1q －1＝1，r ＝－a 1q －1＝－1，故D 正确．8．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，且满足a 1>1，a 2022>1，a 2023<1，则()A ．a 2022a 2024－1<0B ．S 2022＋1<S 2023C ．T 2022是数列{T n }中的最大项D ．T 4045>1答案AC 解析设数列{a n }的公比为q .∵a 1>1，a 2023<1，∴0<a 2023<1，又a 2022>1，∴0<q <1.∵a 2022a 2024＝a 22023<1，∴a 2022a 2024－1<0，故A 正确；∵a 2023<1，∴a 2023＝S 2023－S 2022<1，即S 2022＋1>S 2023，故B 错误；∵0<q <1，a 1>1，∴数列{a n }是递减数列，∵a 2022>1，a 2023<1，∴T 2022是数列{T n }中的最大项，故C 正确；T4045＝a1a2a3·…·a4045＝a1(a1q)(a1q2)·…·(a1q4044)＝a40451q1＋2＋3＋…＋4044＝a40451q2022×4045＝(a1q2022)4045＝a40452023，∵0<a2023<1，∴a40452023<1，即T4045<1，故D错误．三、填空题9．(2023·全国甲卷)记S n为等比数列{a n}的前n项和．若8S6＝7S3，则{a n}的公比为________．答案－1 2解析若q＝1，则由8S6＝7S3得8·6a1＝7·3a1，则a1＝0，不符合题意．所以q≠1.当q≠1时，因为8S6＝7S3，所以8·a1(1－q6)1－q＝7·a1(1－q3)1－q，即8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)(1－q3)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，解得q＝－1 2 .10．设等比数列{a n}共有3n项，它的前2n项的和为100，后2n项的和为200，则该等比数列中间n项的和等于________．答案200 3解析设数列{a n}的前n项和、中间n项和、后n项和依次为a，b，c.由题意知a＋b＝100，b＋c＝200，b2＝ac，∴b2＝(100－b)(200－b)，∴b＝200 3.11．在等比数列{a n}中，若a9＋a10＝4，a19＋a20＝24，则a59＋a60＝______.答案31104解析设等比数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1.因为a 9＋a 10＝4，a 19＋a 20＝24，所以a 19＋a 20＝(a 9＋a 10)q 10＝24，解得q 10＝6，所以a 59＋a 60＝(a 9＋a 10)q 50＝4×65＝31104.12．记S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝1－a n ，记T n ＝a 1a 3＋a 3a 5＋…＋a 2n －1a 2n ＋1，则a n ＝________，T n ＝________.答案12n解析由题意得a 1＝1－a 1，故a 1＝12.当n ≥2n ＝1－a n ，n －1＝1－a n －1，得a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1，则a n a n －1＝12，故数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，故数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .由等比数列的性质可得a 1a 3＝a 22，a 3a 5＝a 24，…，a 2n －1a 2n ＋1＝a 22n ，所以数列{a 2n －1a 2n ＋1}是以a 22＝116为首项，116为公比的等比数列，则T n ＝a 22＋a 24＋…＋a 22n ＝161－116＝四、解答题13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2.(1)证明数列{a n ＋2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }落入区间(10,2023)的所有项的和．解(1)由a n ＋1＝2a n ＋2，得a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，又a 1＋2＝3，所以a n ＋1＋2a n ＋2＝2，所以{a n ＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，所以a n ＋2＝3×2n －1，a n ＝3×2n －1－2.(2)由10<a n <2023，得10<3×2n －1－2<2023，即4<2n －1<675，即4≤n ≤10，故{a n }落入区间(10,2023)的项为a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10，所以其和S ＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝3×(23＋24＋…＋29)－2×7＝3×8－10241－2－14＝3034.14．(2024·邯郸模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＋1，n ∈N ＋.(1)求{a n }通项公式；(2)设b n ＝a n n ＋1，在数列{b n }中是否存在三项b m ，b k ，b p (其中2k ＝m ＋p )成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．解(1)由题意知，在数列{a n }中，a n ＋1＝3S n ＋1，a n ＝3S n －1＋1，n ≥2，两式相减可得，a n ＋1－a n ＝3a n ，a n ＋1＝4a n ，n ≥2，由条件知，a 2＝3a 1＋1＝4a 1，符合上式，故a n ＋1＝4a n ，n ∈N ＋.∴{a n }是以1为首项，4为公比的等比数列．∴a n ＝4n －1，n ∈N ＋.(2)由题意及(1)得，在数列{a n }中，a n ＝4n －1，n ∈N ＋，在数列{b n }中，b n ＝4n －1n ＋1，如果满足条件的b m ，b k ，b p 存在，则b 2k ＝b m b p ，其中2k ＝m ＋p ，∴(4k －1)2(k ＋1)2＝4m －1m ＋1·4p －1p ＋1，∵2k ＝m ＋p ，∴(k ＋1)2＝(m ＋1)(p ＋1)，解得k 2＝mp ，∴k ＝m ＝p ，与已知矛盾，∴不存在满足条件的三项．15．(2023·杭州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n .若p ：数列{a n }是等比数列；q ：(S n ＋1－a 1)2＝S n (S n ＋2－S 2)，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A 解析若{a n }是等比数列，设公比为k ，则a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝k (a 1＋a 2＋…＋a n )，a 3＋a 4＋…＋a n ＋2＝k (a 2＋a 3＋…＋a n ＋1)，于是(a 2＋a 3＋…＋a n ＋1)2＝k 2(a 1＋a 2＋…＋a n )2＝(a 3＋a 4＋…＋a n ＋2)(a 1＋a 2＋…＋a n )，即q ：(S n ＋1－a 1)2＝S n (S n ＋2－S 2)成立；若(S n ＋1－a 1)2＝S n (S n ＋2－S 2)，取a n ＝0，n ∈N ＋，显然{a n }不是等比数列，故p 是q 的充分不必要条件．16．(2023·泰安模拟)若m ，n 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同零点，且m ，n ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq ＝________.答案20解析＋n ＝p >0，＝q >0>0，>0，则m ，－2，n 或n ，－2，m 成等比数列，得mn ＝(－2)2＝4.不妨设m <n ，则－2，m ，n 成等差数列，得2m ＝n －2.结合mn ＝4，可得(2m ＋2)m ＝4⇒m (m ＋1)＝2，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)，＝1，＝4＝5，＝4⇒pq ＝20.。
高考数学一轮复习第五章第三节等比数列及其前n项和课时作业理含解析北师大版
高考数学一轮复习：第三节 等比数列及其前n 项和授课提示：对应学生用书第327页[A 组 基础保分练]1．（2021·石家庄高三二检）在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝16，则a 6＝（ ） A ．14 B ．28 C ．32 D ．64解析：∵a 2＝2，a 5＝16，∴q 3＝a 5a 2＝8，∴q ＝2，a 6＝a 5×q ＝32．答案：C 2．（2021·兰州市高三实战考试）等比数列{a n }的各项均为正数，S n 是其前n 项和，满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝（ ） A ．9 B ．15 C ．18 D ．30解析：设数列{a n }的公比为q ，由2S 3＝8a 1＋3a 2可得2（a 1＋a 2＋a 3）＝8a 1＋3a 2，得2a 3＝6a 1＋a 2，即2q 2－q －6＝0，所以q ＝2，因为a 4＝16，所以a 1×23＝16，解得a 1＝2，所以S 4＝2×（1－24）1－2＝30．答案：D3．（2021·淄博模拟）已知{a n }是等比数列，若a 1＝1，a 6＝8a 3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，则T 5＝（ ）A ．3116 B ．31C ．158D ．7解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1＝1，a 6＝8a 3，所以q 3＝8，解得q ＝2．所以a n ＝2n －1．所以1a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1．所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列．则T 5＝1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116．答案：A4．（2021·济南模拟）已知正项等比数列{a n }满足a 3＝1，a 5与32a 4的等差中项为12，则a 1的值为（ ） A ．4 B ．2C ．12D ．14解析：由题意知，2×12＝a 5＋32a 4，即3a 4＋2a 5＝2．设数列{a n }的公比为q （q ＞0），则由a 3＝1，得3q ＋2q 2＝2，解得q ＝12或q ＝－2（舍去），所以a 1＝a 3q2＝4．答案：A 5．（2021·南宁统一考试）设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：等比数列{a n }为递增数列的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0，q ＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜0，0＜q ＜1.故“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件． 答案：D 6．（2021·泰安模拟）在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 6＝3，则a 4＋a 8有（ ） A ．最小值6 B ．最大值6 C ．最大值9 D ．最小值3 解析：设等比数列{a n }的公比为q （q ＞0）．∵a 6＝3，∴a 4＝a 6q 2＝3q 2，a 8＝a 6q 2＝3q 2，∴a 4＋a 8＝3q 2＋3q 2≥23q 2·3q 2＝6．当且仅当q ＝1时上式等号成立． 答案：A7．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 8＋a 9＋a 10＝________．解析：由等比数列的性质，根据a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝（a 1＋a 2＋a 3）q ＝2，解得q ＝2，a 8＋a 9＋a 10＝（a 1＋a 2＋a 3）q 7＝27＝128． 答案：128 8．（2021·安庆模拟）数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1（n ∈N ＋，λ∈R 且λ≠0），若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值为________．解析：由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝⎛⎭⎫a n －2λ．由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2． 答案：29．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2．（1）若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； （2）若T 3＝21，求S 3．解析：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋（n －1）d ，b n ＝q n －1． 由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3．①（1）由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6．②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0（舍去），⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1．（2）由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0， 解得q ＝－5或q ＝4．当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21． 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6． 10．（2021·武汉毕业班调研）已知正项等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 2＋4S 4＝S 6，a 1＝1． （1）求数列{a n }的公比q ；（2）令b n ＝a n －15，求T ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b 10|的值． 解析：（1）由题意可得q ≠1， 由S 2＋4S 4＝S 6，可知a 1（1－q 2）1－q ＋4·a 1（1－q 4）1－q ＝a 1（1－q 6）1－q，所以（1－q 2）＋4（1－q 4）＝1－q 6，而q ≠1，q ＞0， 所以1＋4（1＋q 2）＝1＋q 2＋q 4，即q 4－3q 2－4＝0， 所以（q 2－4）（q 2＋1）＝0，所以q ＝2．（2）由（1）知a n ＝2n －1，则{a n }的前n 项和S n ＝1－2n 1－2＝2n －1，当n ≥5时，b n ＝2n －1－15＞0，n ≤4时，b n ＝2n －1－15＜0，所以T ＝－（b 1＋b 2＋b 3＋b 4）＋（b 5＋b 6＋…＋b 10）＝－（a 1＋a 2＋a 3＋a 4－15×4）＋（a 5＋a 6＋…＋a 10－15×6） ＝－S 4＋S 10－S 4＋60－90＝S 10－2S 4－30＝（210－1）－2（24－1）－30 ＝210－25－29＝1 024－32－29＝963．[B 组 能力提升练]1．在等比数列{a n }中，a 4，a 6是方程x 2＋5x ＋1＝0的两根，则a 5＝（ ） A ．1 B ．±1C ．52D ．±52解析：在等比数列{a n }中，由题意知a 4＋a 6＝－5，a 4·a 6＝1，所以a 4＜0，a 6＜0，a 25＝a 4·a 6＝1，即a 5＝±1． 答案：B2．（2021·枣庄模拟）若{a n }是首项为1的等比数列，则“a 8a 6＞9”是“a 2＞3”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a 8a 6＞9，则q 2＞9，又a 1＝1，则a 2＜－3或a 2＞3；若a 2＝q ＞3，则a 8a 6＝q 2＞9．答案：B3．已知正项等比数列{a n }满足a 2·a 27·a 2 020＝16，则a 1·a 2·…·a 1 017＝（ ） A ．41 017 B ．21 017 C ．41 018 D ．21 018 解析：由a 2·a 27·a 2 020＝16， 可得（a 7a 1 011）2＝16， 所以a 7a 1 011＝4，a 509＝2， 所以a 1·a 2·…·a 1 017＝（a 7a 1 011）508·a 509＝21 017． 答案：B4．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若数列{S n －2a 1}也为等比数列，则a 4a 3＝（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2解析：设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S n －2a 1＝na 1－2a 1＝（n －2）a 1，显然{S n －2a 1}不为等比数列．当q ≠1时，S n －2a 1＝a 1（1－q n ）1－q －2a 1＝－a 11－q q n ＋a 11－q－2a 1，欲符合题意，需a 11－q－2a 1＝0，得q ＝12，故a 4a 3＝q ＝12．答案：A5．已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N ＋，都有a m ＋na m＝a n ，则数列{a n }的前n 项和S n＝________．解析：因为a n ＋ma m ＝a n ，令m ＝1，则a n ＋1a 1＝a n ，即a n ＋1a n＝a 1＝2，所以{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝2的等比数列，S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2．答案：2n ＋1－2 6．（2021·黄冈模拟）已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1a 6＝2a 3，a 4与2a 6的等差中项为32，则S 5＝________．解析：设{a n }的公比为q （q ＞0），因为a 1a 6＝2a 3，而a 1a 6＝a 3a 4，所以a 3a 4＝2a 3，所以a 4＝2．又a 4＋2a 6＝3，所以a 6＝12，所以q ＝12，a 1＝16，所以S 5＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝31．答案：317．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N ＋．（1）判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； （2）求T 2n ．解析：（1）因为a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，所以a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，所以a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n ．因为b n ＝a 2n ＋a 2n －1，所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12，因为a 1＝1，a 1·a 2＝12，所以a 2＝12，所以b 1＝a 1＋a 2＝32．所以{b n }是首项为32，公比为12的等比数列．所以b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n ．（2）由（1）可知，a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列，所以T 2n ＝（a 1＋a 3＋…＋a 2n －1）＋（a 2＋a 4＋…＋a 2n ）＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n ．[C 组 创新应用练]1．在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H 扩展”．已知数列{1，2}．第一次“H 扩展”后得到{1，3，2}；第二次“H 扩展”后得到{1，4，3，5，2}．那么第10次“H 扩展”后得到的数列的项数为（ ） A ．1 023 B ．1 025 C ．513 D ．511解析：设第n 次“H 扩展”后得到的数列的项数为a n ，则n ＋1次“H 扩展”后得到的数列的项数为a n ＋1＝2a n －1，∴a n ＋1－1＝2（a n －1），∴a n ＋1－1a n －1＝2．又a 1－1＝3－1＝2，∴{a n －1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n －1＝2·2n －1，∴a n ＝2n ＋1，∴a 10＝210＋1＝1 025． 答案：B2．中国古代著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了（ ） A ．6里 B ．12里 C ．24里 D ．96里解析：由题意可得，每天行走的路程构成等比数列，记作数列{a n }，设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则q ＝12，依题意有a 1（1－q 6）1－q＝378，解得a 1＝192，则a 6＝192×⎝⎛⎭⎫125＝6，最后一天走了6里． 答案：A 3．（2021·北京市石景山区模拟）九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一．”在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N ＋）个圆环所需的最少移动次数，数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－1，n 为偶数，2a n －1＋2，n 为奇数，则解下4个环所需的最少移动次数a 4为（ ） A ．7 B ．10 C ．12 D ．22解析：因为数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－1，n 为偶数，2a n －1＋2，n 为奇数，所以a 2＝2a 1－1＝2－1＝1，所以a 3＝2a 2＋2＝2×1＋2＝4，所以a 4＝2a 3－1＝2×4－1＝7． 答案：A。
2020届北京一轮复习通用版6.3等比数列作业
6.3等比数列挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.等比数列的有关概念及运算1.理解等比数列的概念2.掌握等比数列的通项公式3.了解等比数列与指数函数的关系4.掌握等比数列的前n项和公式2018北京,4等比数列的概念及运算、等比数列的性质及应用等比数列的实际应用★★★2017北京,10 等比数列的基本运算等差数列的基本运算2017北京文,15等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式等差数列的通项公式2013北京,10等比数列的基本运算及前n项和公式2.等比数列的性质及应用能利用等比数列的性质解决相应的问题2014北京,5 等比数列的单调性充分必要条件的判断★★★2012北京,6 等比数列性质的运用不等式分析解读北京高考对等比数列的考查主要是基本量的运算、a n和S n的关系以及等比数列的性质.对等比数列的定义、通项公式、性质及等比中项的考查,常以选择题、填空题的形式出现,难度较小.对前n项和以及与其他知识( 函数、不等式等) 相结合的考查,多以解答题的形式出现,注重题目的综合与新颖,突出对逻辑思维能力的考查.解决问题时要注意下标之间的关系,并选择适当的公式.破考点【考点集训】考点一等比数列的有关概念及运算1.已知等比数列{a n}中,a1=1,且a4+a5+a8a1+a2+a5=8,那么S5的值是()A.15B.31C.63D.64答案 B2.已知等比数列{a n}中,a2=2,a3·a4=32,那么a8的值为.答案1283.(2014安徽,12,5分)数列{a n}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=. 答案 14.(2011北京文,12,5分)在等比数列{a n }中,若a 1=12,a 4=4,则公比q= ;a 1+a 2+…+a n = . 答案 2;2n-1-12考点二 等比数列的性质及应用5.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列结论一定成立的是( )A.若a 5>0,则a 2 017<0B.若a 6>0,则a 2 018<0C.若a 5>0,则S 2 017>0D.若a 6>0,则S 2 018>0 答案 C6.已知等比数列{a n }的公比q>0,其前n 项和为S n ,若a 1=1,4a 3=a 2a 4. (1)求公比q 和a 5的值; (2)求证:Sn a n<2.解析 (1)因为{a n }为等比数列,且4a 3=a 2a 4,所以4a 3=a 32,又由题意知a n ≠0,所以a 3=4, 所以q 2=a 3a 1=4,所以q=±2,又因为q>0,所以q=2. 所以a 5=a 1q 4=16.(2)证法一:因为a 1=1,q=2,所以a n =a 1q n-1=2n-1,n ∈N *, S n =a 1(1-q n )1-q =2n-1, 所以S n a n =2n -12n -1=2-12n -1, 因为12n -1>0,所以S n a n=2-12n -1<2. 证法二:因为a 1=1,q=2,所以a n =a 1q n-1=2n-1, S n =a 1(1-q n )1-q =2n-1, 所以S n a n-2=-12n -1<0,所以S na n<2. 炼技法 【方法集训】方法1 等比数列的基本运算技巧1.(2015课标Ⅱ,4,5分)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A.21 B.42 C.63 D.84 答案 B2.(2015课标Ⅱ文,9,5分)已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=( ) A.2 B.1 C.12D.18答案 C方法2 等比数列的判定3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =4a n -3(n ∈N *). (1)证明:数列{a n }是等比数列;(2)若数列{b n }满足b n+1=a n +b n (n ∈N *),且b 1=2,求数列{b n }的通项公式. 解析 (1)证明:由S n =4a n -3可知, 当n=1时,a 1=4a 1-3,解得a 1=1.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(4a n -3)-(4a n-1-3)=4a n -4a n-1,即a n =43a n-1, ∴{a n }是首项为1,公比为43的等比数列. (2)由(1)可知a n =(43)n -1, 由b n+1=a n +b n (n ∈N *)得b n+1-b n =a n =(43)n -1. 所以当n ≥2时,b n =b 1+(b 2-b 1)+(b 3-b 2)+…+(b n -b n-1)=2+(43)0+(43)1+…+(43)n -2=2+1-(43)n -11-43=3×(43)n -1-1. 当n=1时上式也满足条件, 故数列{b n }的通项公式为b n =3×(43)n -1-1,n ∈N *. 思路分析 (2)根据(1)求数列{a n }的递推公式,代入b n+1=a n +b n (n ∈N *),可得数列{b n }的递推公式,再用迭代法即可求出{b n }的通项公式.4.(2016课标Ⅲ,17,12分)已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式; (2)若S 5=3132,求λ.解析 (1)由题意得a 1=S 1=1+λa 1, 故λ≠1,a 1=11-λ,a 1≠0. 由S n =1+λa n ,S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1-λa n , 即a n+1(λ-1)=λa n . 由a 1≠0,λ≠0得a n ≠0,所以a n+1a n =λλ-1. 因此{a n }是首项为11-λ,公比为λλ-1的等比数列,于是a n =11-λ·(λλ-1)n -1. (2)由(1)得S n =1-(λλ-1)n. 由S 5=3132得1-(λλ-1)5=3132,即(λλ-1)5=132. 解得λ=-1.思路分析 (1)先由题设利用a n+1=S n+1-S n 得到a n+1与a n 的关系式,要证数列是等比数列,关键是看a n+1与a n 之比是不是一常数,其中说明a n ≠0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论解方程求出λ.过专题 【五年高考】A 组 自主命题·北京卷题组考点一 等比数列的有关概念及运算1.(2018北京,4,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( )A.√23fB.√223fC.√2512fD.√2712f 答案 D2.(2017北京,10,5分)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=-1,a 4=b 4=8,则a2b 2= . 答案 13.(2013北京,10,5分)若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q= ;前n 项和S n = . 答案 2;2n+1-24.(2017北京文,15,13分)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a5. (1)求{a n }的通项公式; (2)求和:b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d. 因为a 2+a 4=10,所以2a 1+4d=10, 解得d=2. 所以a n =2n-1.(2)设等比数列{b n }的公比为q. 因为b 2b 4=a 5,所以b 1qb 1q 3=9,解得q 2=3.所以b 2n-1=b 1q 2n-2=3n-1.从而b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1=1+3+32+…+3n-1=3n -12. 方法总结 求解有关等差数列和等比数列问题的关键是对其基本量(首项,公差,公比)进行求解.对于数列求和问题,常用的方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法和分组转化法等.考点二 等比数列的性质及应用(2014北京,5,5分)设{a n }是公比为q 的等比数列.则“q>1”是“{a n }为递增数列”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案 DB 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 等比数列的有关概念及运算1.(2017课标Ⅱ,3,5分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏 答案 B2.(2017课标Ⅲ,14,5分)设等比数列{a n }满足a 1+a 2=-1,a 1-a 3=-3,则a 4 = . 答案 -83.(2017江苏,9,5分)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8= . 答案 324.(2016课标Ⅰ,15,5分)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 . 答案 645.(2018课标Ⅲ,17,12分)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m =63,求m. 解析 本题考查等比数列的概念及其运算. (1)设{a n }的公比为q,由题设得a n =q n-1. 由已知得q 4=4q 2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故a n =(-2)n-1或a n =2n-1.(2)若a n =(-2)n-1,则S n =1-(-2)n3. 由S m =63得(-2)m=-188.此方程没有正整数解. 若a n =2n-1,则S n =2n-1.由S m =63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.6.(2017课标Ⅰ,17,12分)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n+1,S n ,S n+2是否成等差数列. 解析 本题考查等差、等比数列. (1)设{a n }的公比为q,由题设可得{a 1(1+q)=2,a 1(1+q +q 2)=-6,解得q=-2,a 1=-2.故{a n }的通项公式为a n =(-2)n.(2)由(1)可得S n =a 1(1-q n )1-q =-23+(-1)n·2n+13. 由于S n+2+S n+1=-43+(-1)n·2n+3-2n+23=2×[-23+(-1)n ·2n+13]=2S n , 故S n+1,S n ,S n+2成等差数列.方法总结 等差、等比数列的常用公式: (1)等差数列:递推关系式:a n+1-a n =d,常用于等差数列的证明. 通项公式:a n =a 1+(n-1)d. 前n 项和公式:S n =(a 1+a n )n 2=na 1+n(n -1)2d. (2)等比数列: 递推关系式:a n+1a n=q(q ≠0),常用于等比数列的证明. 通项公式:a n =a 1·q n-1. 前n 项和公式:S n ={na 1(q =1),a 1(1-q n )1-q(q ≠1).(3)在证明a,b,c 成等差、等比数列时,还可以利用等差中项:a+c2=b 或等比中项:a ·c=b 2来证明.7.(2015四川,16,12分)设数列{a n }(n=1,2,3,…)的前n 项和S n 满足S n =2a n -a 1,且a 1,a 2+1,a 3成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{1a n}的前n 项和为T n ,求T n . 解析 (1)由S n =2a n -a 1,得a n =S n -S n-1=2a n -2a n-1(n ≥2),即a n =2a n-1(n ≥2). 从而a 2=2a 1,a 3=2a 2=4a 1.又因为a 1,a 2+1,a 3成等差数列,即a 1+a 3=2(a 2+1). 所以a 1+4a 1=2(2a 1+1),解得a 1=2.所以,数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列.故a n =2n.(2)由(1)得1a n =12n .所以T n =12+122+…+12n =12[1-(12)n]1-12=1-12n . 评析本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和等基础知识,考查运算求解能力.考点二 等比数列的性质及应用1.(2018浙江,10,4分)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3).若a 1>1,则( ) A.a 1<a 3,a 2<a 4 B.a 1>a 3,a 2<a 4 C.a 1<a 3,a 2>a 4 D.a 1>a 3,a 2>a 4 答案 B2.(2015安徽,14,5分)已知数列{a n }是递增的等比数列,a 1+a 4=9,a 2a 3=8,则数列{a n }的前n 项和等于 . 答案 2n-13.(2014广东,13,5分)若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则ln a 1+ln a 2+…+ln a 20= . 答案 504.(2014课标Ⅱ,17,12分)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +1. (1)证明{a n +12}是等比数列,并求{a n }的通项公式; (2)证明1a 1+1a 2+…+1a n <32.解析 (1)由a n+1=3a n +1得a n+1+12=3(a n +12). 又a 1+12=32,所以{a n +12}是首项为32,公比为3的等比数列. a n +12=3n 2,因此{a n }的通项公式为a n =3n -12. (2)证明:由(1)知1a n =23n -1. 因为当n ≥1时,3n-1≥2×3n-1, 所以13n-1≤12×3n -1. 于是1a 1+1a 2+…+1a n≤1+13+…+13n -1=32(1-13n )<32.所以1a 1+1a 2+…+1a n <32.评析本题考查了等比数列的定义、数列求和等问题,放缩求和是本题的难点.C 组 教师专用题组考点一 等比数列的有关概念及运算1.(2014大纲,10,5分)等比数列{a n }中,a 4=2,a 5=5,则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案 C2.(2013课标Ⅱ,3,5分)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( ) A.13B.-13C.19D.-19答案 C3.(2014天津,11,5分)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为 . 答案 -124.(2014福建,17,12分)在等比数列{a n }中,a 2=3,a 5=81. (1)求a n ;(2)设b n =log 3a n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)设{a n }的公比为q,依题意得{a 1q =3,a 1q 4=81,解得{a 1=1,q =3.因此,a n =3n-1.(2)因为b n =log 3a n =n-1, 所以数列{b n }的前n 项和S n =n(b 1+b n )2=n 2-n2. 评析本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.5.(2013四川,16,12分)在等比数列{a n }中,a 2-a 1=2,且2a 2为3a 1和a 3的等差中项,求数列{a n }的首项、公比及前n 项和.解析 设该数列的公比为q.由已知,可得 a 1q-a 1=2,4a 1q=3a 1+a 1q 2, 所以a 1(q-1)=2,q 2-4q+3=0,解得q=3或q=1. 由于a 1(q-1)=2,因此q=1不合题意,应舍去. 故公比q=3,首项a 1=1. 所以数列的前n 项和S n =3n -12.评析本题考查等比数列、等差中项等基础知识,考查运算求解能力.6.(2013天津,19,14分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *),且-2S 2,S 3,4S 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)证明S n +1S n≤136(n ∈N *).解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q,因为-2S 2,S 3,4S 4成等差数列,所以S 3+2S 2=4S 4-S 3,即S 4-S 3=S 2-S 4,可得2a 4=-a 3,于是q=a4a 3=-12.又a 1=32,所以等比数列{a n }的通项公式为a n =32×(-12)n -1=(-1)n-1·32n . (2)证明:S n =1-(-12)n ,S n +1S n=1-(-12)n +11-(-12)n = {2+12n (2n +1),n 为奇数,2+12n (2n-1),n 为偶数.当n 为奇数时,S n +1S n随n 的增大而减小, 所以S n +1S n ≤S 1+1S 1=136.当n 为偶数时,S n +1S n随n 的增大而减小, 所以S n +1S n ≤S 2+1S 2=2512. 故对于n ∈N *,有S n +1S n≤136.评析本题主要考查等差数列的概念,等比数列的概念、通项公式、前n 项和公式,数列的基本性质等基础知识.考查分类讨论的思想,考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.考点二 等比数列的性质及应用1.(2013大纲全国,6,5分)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =0,a 2=-43,则{a n }的前10项和等于( ) A.-6(1-3-10) B.19(1-3-10) C.3(1-3-10) D.3(1+3-10) 答案 C2.(2013陕西,17,12分)设{a n }是公比为q 的等比数列. (1)推导{a n }的前n 项和公式;(2)设q ≠1,证明数列{a n +1}不是等比数列. 解析 (1)设{a n }的前n 项和为S n , 当q=1时,S n =a 1+a 1+…+a 1=na 1; 当q ≠1时,S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n-1,①qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n,② ①-②得,(1-q)S n =a 1-a 1q n, ∴S n =a 1(1-q n )1-q, ∴S n ={na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q,q ≠1.(2)证明:假设{a n +1}是等比数列,则对任意的k ∈N +, (a k+1+1)2=(a k +1)(a k+2+1),a k+12+2a k+1+1=a k a k+2+a k +a k+2+1, a 12q 2k+2a 1q k=a 1q k-1·a 1q k+1+a 1q k-1+a 1q k+1,∵a 1≠0,∴2q k =q k-1+q k+1. ∵q≠0,令k=1,则q 2-2q+1=0, ∴q=1,这与已知矛盾.∴假设不成立,故{a n +1}不是等比数列.3.(2013湖北,19,13分)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4,S 2,S 3成等差数列,且a 2+a 3+a 4=-18. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)是否存在正整数n,使得S n ≥2 013?若存在,求出符合条件的所有n 的集合;若不存在,说明理由. 解析 (1)设数列{a n }的公比为q,则a 1≠0,q ≠0.由题意得{S 2-S 4=S 3-S 2,a 2+a 3+a 4=-18,即{-a 1q 2-a 1q 3=a 1q 2,a 1q(1+q +q 2)=-18, 解得{a 1=3,q =-2.故数列{a n }的通项公式为a n =3×(-2)n-1.(2)由(1)有S n =3·[1-(-2)n ]1-(-2)=1-(-2)n.若存在n,使得S n ≥2 013,则1-(-2)n≥2 013, 即(-2)n≤-2 012.当n 为偶数时,(-2)n>0,上式不成立;当n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012,即2n≥2 012,则n ≥11.综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n 的集合为{n|n=2k+1,k ∈N ,k ≥5}.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018北京门头沟一模,5)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人第五天走的路程为( )A.48里B.24里C.12里D.6里 答案 C2.(2017北京东城二模,5)已知等比数列{a n }为递增数列,S n 是{a n }的前n 项和.若a 1+a 5=172,a 2a 4=4,则S 6=( )A.2716B.278C.634D.632答案 D3.(2019届北京潞河中学10月月考,7)已知等比数列{a n }中,a 1=27,a 4=a 3a 5,则a 7=( )A.127B.19C.13D.3答案 A4.(2017北京海淀二模,5)已知{a n}为无穷等比数列,且公比q>1,记S n为{a n}的前n项和,则下面结论正确的是()A.a3>a2B.a1+a2>0C.{a n2}是递增数列D.S n存在最小值答案 C二、填空题(每小题5分,共40分)5.(2018北京东城二模,10)设等比数列{a n}的公比q=2,前n项和为S n,则S4a2=.答案1526.(2018北京房山一模,10)某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵,若第一天植树2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于.答案 67.(2019届北京潞河中学10月月考,13)等差数列{a n}的公差为2,且a1,a2,a5成等比数列,那么a1=.答案 18.(2017北京海淀一模,9)若等比数列{a n}满足a2a4=a5,a4=8,则公比q=;前n项和S n=. 答案2;2n-19.(2017北京西城一模,10)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若a1=3,S2=9,则a n=;S n=. 答案3×2n-1;3×2n-310.(2019届北京十四中10月月考,9)在各项都为正数的等比数列{a n}中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5=.答案8411.(2018北京石景山一模,13)如图,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形的腰上再连接正方形,……,如此继续下去,得到一个树形图,称为“勾股树”.若某勾股树含有1 023个正方形,且最大的正方形的边长为√22,则最小的正方形的边长为.答案13212.(2019届北京海淀期中,11)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,下表给出了S n的部分数据:n1234…S n a11019652…则数列{a n}的公比q=,首项a1=.答案32;4 三、解答题(共40分)13.(2019届北京海淀期中文,16)设{a n }为等比数列,其前n 项和为S n ,且a 2=2,S 2-3a 1=0. (1)求{a n }的通项公式; (2)若S n +a n >48,求n 的最小值.解析 (1)∵S 2-3a 1=0,∴a 1+a 2-3a 1=0,∵a 2=2a 1, ∵{a n }为等比数列, ∴q=a 2a 1=2,∴a n =a 2·q n-2=2·2n-2=2n-1,n ∈N *. (2)S n +a n =a 1(1-q n )1-q+a 1q n-1=2n -1+2n-1=3·2n-1-1>48, ∴2n-1>493,当n=5时,25-1=24=16<493,当n=6时,26-1=25=32>493.∴n 的最小值为6.14.(2019届北京四中期中,19)已知数列{a n }是公比为13的等比数列,且a 2+6是a 1和a 3的等差中项. (1)求{a n }的通项公式;(2)设数列{a n }的前n 项之积为T n ,求T n 的最大值. 解析 (1)因为a 2+6是a 1和a 3的等差中项, 所以2(a 2+6)=a 1+a 3,因为数列{a n }是公比为13的等比数列, 所以2(a 13+6)=a 1+a 19,解得a 1=27,所以a n =a 1·q n-1=(13)n -4,n ∈N *. (2)令a n ≥1,得(13)n -4≥1,得n ≤4且n ∈N *,故数列{a n }的前3项大于1,第4项等于1,以后各项均小于1且大于0,所以当n=3或n=4时,T n 取得最大值. T n 的最大值为T 3=T 4=a 1·a 2·a 3=729.15.(2019届北京潞河中学10月月考文,18)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =3a n2-p(其中p 是不为零的常数),n ∈N *.(1)证明:数列{a n }是等比数列;(2)当p=1时,b n+1=b n +a n ,且b 1=2,求数列{b n }的通项公式.解析 (1)在数列{a n }中,S n =3a n2-p, 当n=1时,a 1=2p,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=(32a n -p 2)-(32a n -1-p 2), 所以12a n =32a n-1,故a na n -1=3, 所以数列{a n }是以2p 为首项,3为公比的等比数列. (2)当p=1时,a 1=2,所以a n =2·3n-1, 因为b n+1=b n +a n , 所以b n+1-b n =2·3n-1,所以b 2-b 1=2·30,b 3-b 2=2·31, b 4-b 3=2·32, ……b n -b n-1=2·3n-2,n ≥2,以上各式叠加得b n -b 1=2·30+2·31+2·32+…+2·3n-2,所以b n =2(1-3n -1)1-3+2=3n-1+1,n ≥2 又因为当n=1时,31-1+1=2符合上式, 所以b n =3n-1+1,n ∈N *.16.(2018北京海淀一模,15)已知等比数列{a n }满足a 1=1,a 5=18a 2. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)试判断是否存在正整数n,使得{a n }的前n 项和S n 为52?若存在,求出n 的值;若不存在,说明理由. 解析 (1)设{a n }的公比为q, 因为a 5=18a 2,且a 5=a 2q 3,所以q 3=18,解得q=12.所以a n =a 1q n-1=12n -1(n=1,2,…).(2)不存在正整数n,使得{a n }的前n 项和S n 为52. 因为a 1=1,q=12, 所以S n =1-(12)n1-12=2(1-12n). 解法一:令S n =52,则2(1-12n )=52, 得2n=-4,该方程无解.所以不存在正整数n,使得{a n}的前n项和S n为5.2解法二:因为对任意的n∈N*,有1-1<1,2n所以S n=2(1-1)<2,2n所以不存在正整数n,使得{a n}的前n项和S n为5.2。
高考数学一轮总复习 62等差数列课后强化作业 北师大版
"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-2等差数列课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题1．(文)如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35[答案] C[解析] 由a 3＋a 4＋a 5＝12得，a 4＝4， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝a 1＋a 72×7＝7a 4＝28.(理)若等差数列{a n }的前5项和为S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 [答案] B[解析] 由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝25，a 1＋d ＝3∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2，∴a 7＝a 1＋6d ＝1＋6×2＝13. 2．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( ) A ．12 B ．18 C ．22 D ．44[答案] C[解析] S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 2＋a 10)2＝11×42＝22，故选C.3．(文)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10＝( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 [答案] B[解析] 本题考查等差数列的性质．由等差数列的性质得，a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝16，B 正确．(理)设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．24[答案] B[解析] 本题主要考查等差数列的基本性质以及等差数列通项公式． S 11－S 10＝a 11＝0，a 11＝a 1＋10d ＝a 1＋10×(－2)＝0， 所以a 1＝20.4．(2013·辽宁高考)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列； p 3：数列{a nn }是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4 [答案] D[解析] 对于p 1，数列{a n }的公差d >0，所以数列是递增数列；对于p 4，因为(a n ＋1＋3(n ＋1)d )－(a n ＋3nd )＝d ＋3d ＝4d >0，是递增数列．对于p 2，因为(n ＋1)a n ＋1－na n ＝(n ＋1)a n ＋(n ＋1)d －na n ＝a 1＋2nd ，a 1不知道正负，不一定大于零，所以不一定是递增数列；同理，对于p 3，也不一定是递增数列，选D.5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 [答案] D[解析] 由a 1＝1，公差d ＝2得通项a n ＝2n －1，又S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2，所以2k ＋1＋2k ＋3＝24，得k ＝5.6．(2013·安徽高考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2D ．2[答案] A[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧ S 3＝4a 3a 7＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝4a 1＋8d a 1＋6d ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝10，d ＝－2.∴a 9＝a 1＋8d ＝－6. 二、填空题7．S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________. [答案] －1[解析] 本题考查了对等差数列前n 项和的理解和应用，同时还考查了等差数列的运算性质及考生灵活处理问题的能力．∵S 2＝S 6，∴S 6－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0， 又∵a 3＋a 6＝a 4＋a 5， ∴S 6－S 2＝2(a 4＋a 5)＝0， ∴a 4＋a 5＝0， 又∵a 4＝1，∴a 5＝－1.8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 4＝14，S 10－S 7＝30，则S 9＝________. [答案] 54[解析] 设首项为a 1，公差为d ，由S 4＝14得 4a 1＋4×32d ＝14.①由S 10－S 7＝30得3a 1＋24d ＝30， 即a 1＋8d ＝10.②联立①②得a 1＝2，d ＝1，∴S 9＝54.9．在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是________．[答案] 5或6[解析] ∵d <0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3＝－a 9， ∴a 1＋2d ＝－a 1－8d ， ∴a 1＋5d ＝0，∴a 6＝0， ∴a >0(1≤n ≤5)，∴S n 取得最大值时的自然数n 是5或6. 三、解答题10．(2013·新课标Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.[解析] (1)设{a n }的公差为d ，由题意，a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )． 于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而 S n ＝n2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56) ＝－3n 2＋28n .能力强化训练一、选择题1．(2013·新课标Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] S m －S m －1＝a m ＝2，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1， S m ＝a 1m ＋m (m －1)2·1＝0，①a m ＝a 1＋(m －1)·1＝2， ∴a ＝3－m .②②代入①得3m －m 2＋m 22－m2＝0，∴m ＝0(舍去)或m ＝5，故选C.2．(文)若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项[答案] A[解析] 依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝34a n －2＋a n －1＋a n ＝146，两式相加得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＝180. ∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，∴a 1＋a n ＝60. ∵S n ＝n (a 1＋a n )2＝390，∴n ＝13.(理)等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－2015，S 2 0142 014－S 2 0122 012＝2，则S 2 015的值为( )A ．－2 014B ．2 015C ．2 014D ．－2 015[答案] D[解析] 设S n ＝An 2＋Bn ，则S nn ＝An ＋B ，S 2 0142 014－S 2 0122 012＝2A ＝2，故A ＝1. 又a 1＝S 1＝A ＋B ＝－2 015，∴B ＝－2 016. ∴S 2 0152 015＝2 015－2 016＝－1.∴S 2015＝－2 015. 二、填空题3．各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋，n ≥2)，则S 2 015等于________．[答案] 4 030[解析] ∵a n －1＋a n ＋1＝2a n ，∴a 2n －a n －1－a n ＋1＝a 2n －2a n ＝0，解得a n ＝2或a n ＝0(舍)． ∴S 2 015＝2×2 015＝4 030.4．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________. [答案] 10[解析] 本题考查等差数列通项公式、前n 项和公式以及基本运算能力． 设等差数列公差为d ，则a n ＝1＋(n －1)d ， ∵S 4＝S 9，∴a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，∴a 7＝0， ∴1＋6d ＝0，d ＝－16.又a 4＝1＋3×(－16)＝12，a k ＝1＋(k －1)(－16)，∴12＋1＋(k －1)(－16)＝0，解得k ＝10. 三、解答题5．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝1，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .[解析] 由a 4＝1，S 15＝75得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝115a 1＋15×142d ＝75，解得a 1＝－2，d ＝1.∴S n ＝－2n ＋n (n －1)2×1＝12n 2－52n ，∴S n n ＝12n －52，而S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为12的等差数列，首项S 11＝－2.∴T n ＝－2n ＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .6．(2013·全国大纲)等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1na ，求数列{b n }的前n 项和S n .[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则 a n ＝a 1＋(n －1)d .因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 7＝4a 19＝2a 9， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4a 1＋18d ＝2(a 1＋8d )，解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12. (2)因为b n ＝1na n ＝2n (n ＋1)＝2n －2n ＋1，所以S n ＝(21－22)＋(22－23)＋…＋(2n －2n ＋1)＝2n n ＋1.。
高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n
【创新设计】2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n 项和练习 理 北师大版基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·新余模拟)等比数列{a n }中a 1＝3，a 4＝24，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A.33B.72C.84D.189解析 由已知，得q 3＝a 4a 1＝8，解得q ＝2，则有a 3＋a 4＋a 5＝a 1(q 2＋q 3＋q 4)＝3×(4＋8＋16)＝84. 答案 C2.已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为( ) A.－3B.±3C.－3 3D.±3 3解析 由等比中项知y 2＝3，∴y ＝±3，又∵y 与－1，－3符号相同，∴y ＝－3，y 2＝xz ， 所以xyz ＝y 3＝－3 3. 答案 C3.在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为( ) A.2B.12C.2或12D.－2或12解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 4a 2＋a 3＝a 1（1＋q 3）a 1（q ＋q 2）＝1＋q 3q ＋q 2＝（1＋q ）（1－q ＋q 2）q （1＋q ）＝1－q ＋q2q＝1812，得q ＝2或q ＝12.故选C. 答案 C4.(2015·浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A.a 1d ＞0，dS 4＞0 B.a 1d ＜0，dS 4＜0 C.a 1d ＞0，dS 4＜0D.a 1d ＜0，dS 4＞0解析 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )， 整理得a 1＝－53d ，∴a 1d ＝－53d 2＜0，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d3，∴dS 4＝－2d23＜0，故选B.答案 B5.设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( ) A.150B.－200C.150或－200D.400或－50解析 依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20).即(S 20－10)2＝10(70－S 20)， 故S 20＝－20或S 20＝30，又S 20＞0， 因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40， 故S 40－S 30＝80.S 40＝150.故选A. 答案 A 二、填空题6.(2016·西安一模)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则{a n }的公比q 等于________.解析 ∵S 1，S 3，S 2成等差数列，∴a 1＋a 1＋a 1q ＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2).∵a 1≠0，q ≠0，∴解得q ＝－12.答案 －127.(2016·哈尔滨一模)正项等比数列{a n }中，a 2＝4，a 4＝16，则数列{a n }的前9项和等于________.解析 正项等比数列{a n }的公比q ＝a 4a 2＝164＝2， a 1＝a 2q ＝2，∴S 9＝2（1－29）1－2＝1 022.答案 1 0228.(2016·上饶诊断)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________.解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，显然q ≠1且q ＞0，因为S 4＝3S 2，所以a 1（1－q 4）1－q ＝3a 1（1－q 2）1－q，解得q 2＝2，因为a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2×22＝8.答案 8三、解答题9.(2015·四川卷)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值.解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1， 有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2， 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1， 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n.(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000， 即2n＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n ≥10， 于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10.10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *). (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式. (1)证明 依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)，n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列.(2)解 由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2).当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ∈N *).能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2016·安庆检测)已知数列{a n }是首项a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则其公比q 等于( ) A.－1B.1C.1或－1D. 2解析 ∵4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，∴2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，又∵a 1＝4，则有q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1，∴q ＝±1，故选C. 答案 C12.(2016·临沂模拟)数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.(3n －1)2B.12(9n－1) C.9n－1D.14(3n－1) 解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n－1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列. 因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4（1－9n）1－9＝12(9n－1).答案 B13.(2016·兰州诊断)数列{a n }的首项为a 1＝1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2 015110，则a 21＝________. 解析 由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝1，得b 1＝a 2a 1＝a 2；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝b 1b 2b 3；……；b n －1＝a na n －1，a n ＝b 1b 2…b n －1，∴a 21＝b 1b 2…b 20.∵数列{b n }为等比数列，∴a 21＝(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝(b 10b 11)10＝(2 015110)10＝2 015. 答案 2 01514.已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列.(1)解 由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明 ∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1，①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，②①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1(n ≥2). 令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列.。
2018北师大版文科数学高考总复习教师用书：6-3等比数
第3讲 等比数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系．知 识 梳 理1．等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示． 数学语言表达式：a na n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n ＝q (n ∈N ＋，q 为非零常数)．(2)如果在a 与b 中插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，G a ＝bG ，G 2＝ab ，G ＝±ab ，那么G 叫作a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab . 2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n ) 1－q ＝a 1－a n q1－q .3．等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和． (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)等比数列{a n }的单调性：当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是递增数列； 当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是递减数列； 当q ＝1时，数列{a n }是常数列．(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)与等差数列类似，等比数列的各项可以是任意一个实数．( ) (2)公比q 是任意一个常数，它可以是任意实数．( ) (3)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n)1－a.( )(5)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) 解析 (1)在等比数列中，a n ≠0. (2)在等比数列中，q ≠0.(3)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列． (4)当a ＝1时，S n ＝na .(5)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×2．(2017·西安模拟)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( ) A ．2 B ．4 C. 2 D ．2 2解析 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q ＝4.答案 B3．(2017·江西七市考试)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析 由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9， ∴m ＝10，故选C. 答案 C4．(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________.解析 由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2(1－2n )1－2＝126，解得n ＝6. 答案 65．(2015·广东卷)若a ，b ，c 三个正数成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b 的值为________．解析 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 即b 2＝(5＋26)(5－26)＝1，又b ＞0， ∴b ＝1. 答案1考点一 等比数列基本量的运算【例1】 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152 B.314 C.334 D.172(2)(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析(1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎨⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314. (2)设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎨⎧ a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5⇒⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，∴a 1a 2…a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝2－n 22＋7n2.记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n )，结合n ∈N ＋，可知n ＝3或4时，t 有最大值6.又y ＝2t 为增函数．所以a 1a 2…a n 的最大值为64. 答案 (1)B (2)64规律方法 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．【训练1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．(2)(2017·合肥模拟)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列，则a n ＝________.解析 (1)由已知条件，得2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，即2S n ＝2S n ＋2a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＋2a n ＋1＝－2. (2)由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2.解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，所以q ＝2，所以a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.答案 (1)－2 (2)2n －1考点二 等比数列的性质及应用【例2】 (1)(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.18(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A ．2 B.73 C.83 D ．3解析 (1)由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 24，所以a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2，设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.选C.(2)法一 由等比数列的性质及题意，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73.法二 因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a ，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a,2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73.答案 (1)C (2)B规律方法 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．【训练2】 (1)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝________.(2)已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为________．解析 (1)由等比数列性质，得a 3a 7＝a 25，a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.(2)∵－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，∴y 2＝xz ＝(－1)×(－3)＝3，且x 2＝－y >0，即y <0， ∴y ＝－3，xz ＝3，∴xyz ＝－3 3. 答案 (1)8 (2)－3 3考点三 等比数列的判定与证明【例3】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，在数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列．又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，又c n ＝a n －1，首项c 1＝a 1－1，∴c 1＝－12，公比q ＝12. ∴{c n }是以－12为首项，以12为公比的等比数列． (2)解 由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .规律方法 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．【训练3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ， 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)解 由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.[思想方法]1．等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q . 2．已知等比数列{a n }(1)数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 也是等比数列． (2)a 1a n ＝a 2a n －1＝…＝a m a n －m ＋1. [易错防范]1．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么( ) A ．{a n ＋b n }，{a n ·b n }都一定是等比数列B ．{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n ·b n }不一定是等比数列C ．{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n ·b n }一定是等比数列D ．{a n ＋b n }，{a n ·b n }都不一定是等比数列 解析 两个等比数列的积仍是一个等比数列． 答案 C2．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为( ) A ．2 B.12 C ．2或12 D ．－2或12解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 4a 2＋a 3＝a 1(1＋q 3)a 1(q ＋q 2)＝1＋q 3q ＋q 2＝(1＋q )(1－q ＋q 2)q (1＋q )＝1－q ＋q 2q ＝1812，得q ＝2或q ＝12.故选C.答案 C3．(教材改编)一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂()A．55 986 B．46 656C．216 D．36解析设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，根据题意得数列{a n}成等比数列，a1＝6，q＝6，所以{a n}的通项公式a n＝6×6n－1，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6＝6×65＝66＝46 656只蜜蜂，故选B.答案 B4．(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝() A．21 B．42 C．63 D．84解析设等比数列{a n}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.答案 B5．设各项都是正数的等比数列{a n}，S n为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于()A．150 B．－200C．150或－200 D．400或－50解析依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)．即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30，又S20＞0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80.S40＝150.故选A.答案 A二、填空题6．(2017·安庆模拟)在等比数列{a n}中，S n表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于________．解析 两式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3.即q ＝3.答案 37．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 解析 因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，q 2＝－1舍去，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4. 答案 48．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________.解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，显然q ≠1且q ＞0，因为S 4＝3S 2，所以a 1(1－q 4)1－q ＝3a 1(1－q 2)1－q ，解得q 2＝2，因为a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2×22＝8. 答案 8 三、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设{a n }的公比为q ，依题意得 ⎩⎨⎧ a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝3. 因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (b 1＋b n )2＝n 2－n 2.10．(2017·合肥模拟)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解 (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1(1－q n)1－q，∴S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾． 故数列{a n ＋1}不是等比数列．能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324， 因此q 3n －6＝81＝34＝q 36， 所以n ＝14，故选C. 答案 C12．(2016·临沂模拟)数列{a n }中，已知对任意n ∈N ＋，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2 B.12(9n －1) C ．9n －1 D.14(3n －1)解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N ＋，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1， ∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1， 又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列．因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－9n )1－9＝12(9n －1)． 答案 B13．(2017·南昌模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是________．解析 当q >0时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1＋a 1＋a 3≥1＋2a 1a 3＝1＋2a 22＝3，当且仅当a 1＝a 3＝1时等号成立．当q <0时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1＋a 1＋a 3≤1－2a 1a 3＝1－2a 22＝－1，当且仅当a 1＝a 3＝－1时等号成立．所以，S 3的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案 (－∞，－1]∪[3，＋∞)14．(2015·四川卷)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值．解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2.从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n .(2)由(1)得1a n＝12n ， 所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n－1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n－1＜11 000，即2n＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n≥10，于是，使|T n－1|＜11 000成立的n的最小值为10.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。
北师大文科数学高考总复习练习：等比数列及其前n项和 含答案
第3讲等比数列及其前n项和基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知{a n}，{b n}都是等比数列，那么() A．{a n＋b n}，{a n·b n}都一定是等比数列B．{a n＋b n}一定是等比数列，但{a n·b n}不一定是等比数列C．{a n＋b n}不一定是等比数列，但{a n·b n}一定是等比数列D．{a n＋b n}，{a n·b n}都不一定是等比数列解析两个等比数列的积仍是一个等比数列．答案 C2．在等比数列{a n}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为()A．2 B.12C．2或12D．－2或12解析设数列{a n}的公比为q，由a1＋a4a2＋a3＝a1(1＋q3)a1(q＋q2)＝1＋q3q＋q2＝(1＋q)(1－q＋q2)q(1＋q)＝1－q＋q2q＝1812，得q＝2或q＝12.故选C.答案 C3．(教材改编)一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂() A．55 986 B．46 656C．216 D．36解析设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，根据题意得数列{a n}成等比数列，a1＝6，q＝6，所以{a n}的通项公式a n＝6×6n－1，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6＝6×65＝66＝46 656只蜜蜂，故选B.答案 B4．(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝() A．21 B．42 C．63 D．84解析设等比数列{a n}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.答案 B5．设各项都是正数的等比数列{a n}，S n为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于() A．150 B．－200C．150或－200 D．400或－50解析依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)．即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30，又S20＞0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80.S40＝150.故选A.答案 A二、填空题6．(2017·安庆模拟)在等比数列{a n}中，S n表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于________．解析 两式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3.即q ＝3.答案 37．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．解析 因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，q 2＝－1舍去，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4. 答案 48．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________.解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，显然q ≠1且q ＞0，因为S 4＝3S 2，所以a 1(1－q 4)1－q ＝3a 1(1－q 2)1－q ，解得q 2＝2，因为a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2×22＝8. 答案 8 三、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设{a n }的公比为q ，依题意得 ⎩⎨⎧ a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝3. 因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (b 1＋b n )2＝n 2－n 2.10．(2017·合肥模拟)设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解 (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1(1－q n)1－q，∴S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾． 故数列{a n ＋1}不是等比数列．能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15 解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324， 因此q 3n －6＝81＝34＝q 36， 所以n ＝14，故选C.答案 C12．(2016·临沂模拟)数列{a n}中，已知对任意n∈N＋，a1＋a2＋a3＋…＋a n＝3n －1，则a21＋a22＋a23＋…＋a2n等于()A．(3n－1)2 B.12(9n－1)C．9n－1 D.14(3n－1)解析∵a1＋a2＋…＋a n＝3n－1，n∈N＋，n≥2时，a1＋a2＋…＋a n－1＝3n－1－1，∴当n≥2时，a n＝3n－3n－1＝2·3n－1，又n＝1时，a1＝2适合上式，∴a n＝2·3n－1，故数列{a2n}是首项为4，公比为9的等比数列．因此a21＋a22＋…＋a2n＝4(1－9n)1－9＝12(9n－1)．答案 B13．(2017·南昌模拟)在等比数列{a n}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是________．解析当q>0时，S3＝a1＋a2＋a3＝1＋a1＋a3≥1＋2a1a3＝1＋2a22＝3，当且仅当a1＝a3＝1时等号成立．当q<0时，S3＝a1＋a2＋a3＝1＋a1＋a3≤1－2a1a3＝1－2a22＝－1，当且仅当a1＝a3＝－1时等号成立．所以，S3的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案(－∞，－1]∪[3，＋∞)14．(2015·四川卷)设数列{a n}(n＝1,2,3，…)的前n项和S n满足S n＝2a n－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值．解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1， 有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2. 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n . (2)由(1)得1a n＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n . 由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000， 即2n ＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n ≥10， 于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10.。
高考数学一轮复习第五章数列第三节等比数列及其前n项和课时规范练文含解析北师大版
第五章 数列第三节 等比数列及其前n 项和课时规范练 A 组——基础对点练1．(2020·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 5＝16，a 2＝2，则公比q ＝( ) A ．4 B ．52C ．2D.12解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 1q 4＝16，a 1q ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝－2(舍去)，故选C.答案：C2．(2020·重庆模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，a 3＝8，则a 6＝( ) A ．16 B ．32 C ．64D ．128解析：由题意得，等比数列的公比为q ，由S 3＝14，a 3＝8，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ＋q 2）＝14，a 3＝a 1q 2＝8，解得a 1＝2，q ＝2，所以a 6＝a 1q 5＝2×25＝64，故选C. 答案：C3．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84解析：设数列{a n }的公比为q ，则a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，又a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，所以q 2＝2(q 2＝－3舍去)，所以a 3＝6，a 5＝12，a 7＝24，所以a 3＋a 5＋a 7＝42.故选B. 答案：B4．(2020·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，∴log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.答案：C5．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±2解析：因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，则a 1＝a 3q 2＝1，故选A.答案：A6．在公比为2的等比数列{a n }中，若sin(a 1a 4)＝25，则cos(a 2a 5)的值是( )A ．－75B.1725C.75D.725解析：由等比数列的通项公式可知a 2a 5＝(a 1a 4)q 2＝2(a 1a 4)，cos(a 2a 5)＝1－2sin 2(a 1a 4)＝1－2×⎝⎛⎭⎫252＝1725. 答案：B7．(2020·临沂模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( )A ．－13B.13 C ．－12D.12解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，又因为{a n }是等比数列，所以a ＋16＝a 2，所以a ＝－13.答案：A8．(2020·贵阳适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 019＝( ) A ．22 018－12B ．1－⎝⎛⎭⎫122 018C ．22 019－12 D ．1－⎝⎛⎭⎫122 019解析：由等比数列的性质及a 2a 6＝8(a 4－2)，得a 24＝8a 4－16，解得a 4＝4.又a 4＝12q 3，故q ＝2，所以S 2 019＝12（1－22 019）1－2＝22 018－12，故选A.答案：A9．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由题意得－1＋3d ＝－q 3＝8⇒d ＝3，q ＝－2⇒a 2b 2＝－1＋3－1×（－2）＝1.答案：110．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝________．解析：设数列{a n }的公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝18，解得q ＝12，a 1＝a 2q ＝4.易知数列{a n a n ＋1a n ＋2}是首项为a 1a 2a 3＝4×2×1＝8，公比为q 3＝18的等比数列，所以a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝8⎝⎛⎭⎫1－18n 1－18＝647(1－2－3n )． 答案：647(1－2－3n )B 组——素养提升练11．(2020·青州市模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲(水生植物名)生一日，长三尺；莞(植物名，俗称水葱、席子草)生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为________日．(结果保留一位小数．参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( ) A ．1.3 B ．1.5 C ．2.6D ．2.8解析：设蒲(水生植物名)的长度组成等比数列{a n }，其a 1＝3，公比为12，其前n 项和为A n .莞(植物名)的长度组成等比数列{b n }，其b 1＝1，公比为2，其前n 项和为B n .则A n ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12，B n ＝2n －12－1，令3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝2n －12－1，即2n ＋62n ＝7，解得2n ＝6，2n ＝1(舍去)．∴n ＝lg 6lg 2＝1＋lg 3lg 2≈2.6.∴估计2.6日蒲、莞长度相等． 答案：C12．若数列{a n ＋1－a n }是等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝5，则a n ＝__________． 解析：∵a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，∴q ＝3，∴a n ＋1－a n ＝3n －1，∴a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n －1－a n －2＋a n －a n －1＝1＋3＋…＋3n －2＝1－3n －11－3，∵a 1＝1，∴a n ＝3n －1＋12.答案：3n －1＋1213．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)．又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．所以a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1， 所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝⎛⎭⎫1－13n ＜32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.14．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)证明：因为a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， 所以a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 因为a 1＝5，a 2＝5， 所以a 2＋2a 1＝15， 所以a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， 所以a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，所以数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ， 则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， 所以a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又因为a 1－3＝2，所以a n －3n ≠0，所以{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． 所以a n －3n ＝2×(－2)n －1， 即a n ＝2×(－2)n －1＋3n .。
第3节等比数列--2025北师大版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
2025北师大版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）第3节 等比数列课标解读1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.1 强基础 固本增分知识梳理1.等比数列的概念(1)等比数列:如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的比值都是 ,那么称这样的数列为等比数列,称这个常数为等比数列的 ,通常用字母q 表示(q≠0),定义的表达式为(2)等比中项:如果在a 与b 之间插入一个数G,使得a ,G,b 成等比数列,那么称G为a ,b 的等比中项,且有G 2= .2 同一个常数公比 ab微点拨1.若一个数列是常数列,则此数列一定是等差数列,但不一定是等比数列,如:0,0,0,….2.在等比数列中,从第二项起,每一项(有穷等比数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等比中项,即a n+1a n-1= (n∈N*,n≥2).微思考任意两个实数都有等比中项吗?提示不是.只有同号的两个非零实数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数.2.等比数列的有关公式(1)通项公式:a n = (n ∈N *); 误区警示在运用等比数列的前n 项和公式时,必须注意对q =1与q ≠1分类讨论,防止因忽略q =1这一特殊情形而导致解题失误.微点拨当q >1,a 1>0或0<q <1,a 1<0时,{a n }是递增数列;当q >1,a 1<0或0<q <1,a 1>0时,{a n }是递减数列;当q =1时,{a n }是常数列.a 1q n-13.等比数列的性质(1)通项公式的推广:a n=a m q n-m(n,m∈N*).(2)若数列{a n}为等比数列,且m+n=p+q,则a m a n=a p a q(m,n,p,q∈N*).特别地,若m+n=2t,则a m a n=t2(m,n,t∈N*).(3)若数列{a n}是等比数列,公比为q,则a k,a k+m,a k+2m,…(k,m∈N*)是公比为q m 的等比数列.(4)如果等比数列{a n}的前n项和为S n,那么(S2n-S n)2=S n(S3n-S2n),如果公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,S n,S2n-S n,S3n-S2n成等比数列.不能认为在任何等比数列中,都有S n,S2n-S n,S3n-S2n成等比数列常用结论2.若数列{a n}为公比不为1的等比数列,其前n项和S n=A·q n+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数列的前n项和S n=A·q n-A(A≠0,q≠0,q≠1),则数列{a n}必为等比数列.3.若非零数列{a n}的前n项和为S n,且S n=k a n+b(k≠0,k≠1),则数列{a n}必为等比数列.自主诊断× × × × 题组一基础自测1.思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”).(1)G 为a ,b 的等比中项⇔G 2=ab .( )(2)当公比q>1时,等比数列{a n }是递增数列.( )(3)数列{a n }为等比数列,则S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等比数列.( )(4)如果数列{a n }为等比数列,那么数列{l n a n }是等差数列.( )527,81 3.在9与243中间插入2个数,使这4个数成等比数列,则这2个数为 . 解析设该数列的公比为q,由题意知,243=9·q3,则q3=27,∴q=3.∴插入的2个数分别为9×3=27,27×3=81.4.已知3个数成等比数列,它们的和等于14,积等于64,则这个等比数列的公比等于 .解析设这3个数分别为a1,a2,a3,公比为q,由a1a2a3=64,得23=64,所以a2=4.题组二连线高考5.(2023·全国甲,理5)设等比数列{a n}的各项均为正数,前n项和为S n,若a1=1,S5=5S3-4,则S4=( )C6.(2021·全国甲,文9)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6=( A )A.7B.8C.9D.10解析设等比数列{a n}的公比为q,由题意知q≠-1.根据等比数列的性质可知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),∵S2=4,S4=6,∴(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7.故选A.2 研考点 精准突破考点一 等比数列基本量的运算例1(1)(2022·全国乙,理8,文10)已知等比数列{a n }的前3项和为168,a 2-a 5=42,则a 6=( )A.14 B.12 C.6 D.3D(2)(2023·全国甲,文13)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若8S6=7S3,则{a n}的公比为 .[对点训练1](2023·天津,6)已知{a n}为等比数列,S n为数列{a n}的前n项C 和,a n+1=2S n+2,则a4的值为( )A.3B.18C.54D.152解析设等比数列{a n}的公比为q,当n=1时,a2=2a1+2,即a1q=2a1+2,①当n=2时,a3=2(a1+a2)+2,即a1q2=2(a1+a1q)+2,②联立①②可解得a1=2,q=3,所以a4=a1q3=54.考点二 等比数列的判定与证明例2已知数列{a n}和{b n}满足a1=1,b1=0,4a n+1=3a n-b n+4,4b n+1=3b n-a n-4.(1)证明:{a n+b n}是等比数列,{a n-b n}是等差数列;(2)求{a n}与{b n}的通项公式.由题设得4(a n+1-b n+1)=4(a n-b n)+8,即a n+1-b n+1=a n-b n+2.又因为a1-b1=1,所以{a n-b n}是首项为1,公差为2的等差数列.变式探究(变结论)若本例条件不变,判断数列{a n-n+ +3n}是否为等比数列,并说明理由.[对点训练2]已知数列{a n}和{b n}满足:a1=λ,a n+1= a n+n-4,b n=(-1)n(a n-3n+21),其中n∈N*,λ为实数.(1)对于任意实数λ,证明:数列{a n}不是等比数列;(2)试判断数列{b n}是否为等比数列,并证明你的结论.(1)证明假设若存在实数λ,使得数列{a n}是等比数列,则必有故假设错误,因此对于任意实数λ,数列{a n}不是等比数列.(2)解当λ≠-18时,数列{b n}是等比数列;当λ=-18时,数列{b n}不是等比数列.证明如下:考点三 等比数列的性质(多考向探究预测)考向1项的性质例3(1)(2023·全国乙,理15)已知{a n}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7= . -2 解析(方法一)设等比数列{a n}的公比为q,则由a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,(方法二)设{a n}的公比为q.由a2a4a5=a3a6,可得a2=1.又因为a9a10=a2q7·a2q8=-8,即q15=-8,得q5=-2,则a7=a2·q5=-2.(2)(2024·河北保定模拟)若数列{a n}为等比数列,a1+a17=-6,a5a13=6,则a9= .考向2前n 项和的性质例4(1)(2023·新高考Ⅱ,8)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若S 4=-5,S 6=21S 2,则S 8=( )A.120 B.85 C.-85 D.-120C(方法二)设等比数列{a n}的公比为q,因为S4=-5,S6=21S2,所以q≠-1,否则S4=0,从而S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等比数列,所以有(-5-S2)2=S2(21S2+5),解得S2=-1,或S2= ,当S2=-1时,S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6,即为-1,-4,-16,S8+21,易知S8+21=-64,即S8=-85;当S2= 时,S4=a1+a2+a3+a4=(a1+a2)(1+q2)=(1+q2)S2>0,与S4=-5矛盾,舍去.综上,S8=-85.(2)已知正项等比数列{a n}共有2n项,它的所有项的和是奇数项的和的3倍,2 则公比q= .解析设等比数列{a n}的奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=q(a1+a3+…+a2n-1)=qS奇,由S2n=3S奇,得(1+q)S=3S奇,因为a n>0,所以S奇>0,所以1+q=3,q=2.奇[对点训练3](1)(2024·安徽安庆一中模拟)在等比数列{a n }中, a 2a 3a 4=4,a 5a 6a 7=16,则a 8a 9a 10=( )A.4B.8C.32D.64D(2)(2024·河北沧州模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3=2,S6=6,则510 S24= .本 课 结 束。