2019年中考数学专题训练：分类讨论思想(含答案)
山东聊城2019中考数学专项：分类讨论
山东聊城2019中考数学专项：分类讨论在数学中，我们常常需要依照研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查、这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略、分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会事实上质，关于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的、分类的原那么：〔1〕分类中的每一部分是相互独立的；〔2〕一次分类按一个标准；〔3〕分类讨论应逐级进行、类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题要紧是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1、假设等腰三角形中有一个角等于50°，那么那个等腰三角形的顶角的度数为〔〕A 、50°B 、80°C 、65°或50°D 、50°或80°2.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，那么它的周长为〔〕A 、9cmB 、12cmC 、15cmD 、12cm 或15cm3.如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处，(1)求证：B ′E=BF ；(2)设AE=a ，AB=b,BF=c,试猜想a 、b 、c 之间有何等量关系，并给予证明.类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其要紧缘故是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等、4.在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.假设以C 点为圆心，r 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，那么r 的取值范围是_____、5.在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5B 、假如圆O B 、C ，那么线段AO 的长等于、6.如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米、⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r 〔厘米〕与时间t 〔秒〕之间的关系式为r ＝1+t 〔t ≥0〕、〔1〕试写出点A ，B 之间的距离d 〔厘米〕与时间t 〔秒〕之间的函数表达式； 〔2〕问点A 动身后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论要紧是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后依照实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特别点的情况.7.AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD ∥BC 〔如图〕、E 是射线BC 上的动点〔点E 与点B 不重合〕，M 是线段DE 的中点、〔1〕设BE=x ，△ABM 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； 〔2〕假如以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长； 〔3〕联结BD ，交线段AM 于点N ，假如以A 、N 、D 为顶点的三角形与△BME 相似，求线段BE 的长、8.如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系、OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处、〔1〕直截了当写出点E 、F 的坐标；〔2〕设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；〔3〕在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？假如存在，求出周长的最小值；假如不存在，请说明理由、参考答案1.【解析】由于角未指明是顶角依旧底角，因此要分类讨论：〔1〕当50°角是顶角时，那么〔180°－50°〕÷2=65°，因此另两角是65°、65°；〔2〕当50°角是底角时，那么180°－50°×2=80°，因此顶角为80°。
中考数学分类讨论题(含答案)
第8课时分类讨论题在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80°2.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二 圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．4.（湖北罗田）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4.若以C 点为圆心， r 为半径 所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是___ __．5.（上海市）在△ABC 中，AB=AC=5，3cos 5B．如果圆O 的半径为10，且经过点B 、C ，那么线段AO 的长等于 ．6.（•威海市）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t≥0）．（1）试写出点A ，B 之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式；（2）问点A 出发后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7.（上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．8.（福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。
东营专版2019年中考数学复习专题类型突破专题一5大数学思想方法训练含答案
专题一5大数学思想方法类型一分类讨论思想(2018·临沂中考)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.(1)如图，当点E在BD上时，求证：FD＝CD；(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．【分析】 (1)先判定四边形BDFA是平行四边形，可得FD＝AB，再根据AB＝CD，即可得出FD＝CD；(2)当GC＝GB时，点G在BC的垂直平分线上，分情况讨论，即可得到旋转角α的度数．【自主解答】在数学中，如果一个命题的条件或结论有多种可能的情况，难以统一解答，那么就需要按可能出现的各种情况分类讨论，最后综合归纳问题的正确答案．1．(2018·宿迁中考)在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是( )A．5 B．4 C．3 D．22．(2018·随州中考)为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天(1≤x≤15，且x为整数)每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：天数(x) 1 3 6 10每件成本p(元) 7.5 8.5 10 12任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y(件)与x(天)满足如下关系：设李师傅第x天创造的产品利润为W元．(1)直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？(3)任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？类型二数形结合思想(2018·齐齐哈尔中考)某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20 min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的107继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口6 km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程s(km)和行驶时间t(min)之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题：(1)学校到景点的路程为________ km，大客车途中停留了________ min，a＝________；(2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速 80 km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？(4)若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待________分钟，大客车才能到达景点入口．【分析】 (1)根据图形可得总路程和大客车途中停留的时间，先计算小轿车的速度，再根据时间计算a的值；(2)计算大客车的速度，可得大客车后来行驶的速度，计算小轿车赶上来之后大客车行驶的路程，从而可得结论；(3)先计算直线CD的解析式，计算小轿车驶过景点入口6 km时的时间，再计算大客车到达终点的时间，根据路程与时间的关系可得小轿车行驶6 km的速度与80 km/h作比较可得结论．(4)利用路程÷速度＝时间计算出大客车所用时间，计算与小轿车的时间差即可．【自主解答】把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得以解决．3．(2018·大庆中考)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A(－1，0)，点B(3，0)，点C(4，y 1)，若点D(x 2，y 2)是抛物线上任意一点，有下列结论： ①二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小值为－4a ； ②若－1≤x 2≤4，则0≤y 2≤5a； ③若y 2＞y 1，则x 2＞4；④一元二次方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两个根为－1和13.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．(2018·苏州中考)如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝kx 在第一象限内的图象经过点D 交BC 于点E.若AB ＝4，CE ＝2BE ，tan∠AOD＝34，则k 的值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．125．(2018·上海中考)一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．(1)求y 关于x 的函数关系式；(不需要写自变量的取值范围)(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？类型三 转化与化归思想(2017·江西中考)如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图，其中视线AB 水平，且与屏幕BC 垂直．(1)若屏幕上下宽BC ＝20 cm ，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB 的长；(2)若肩膀到水平地面的距离DG ＝100 cm ，上臂DE ＝30 cm ，下臂EF 水平放置在键盘上，其到地面的距离FH ＝72 cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°？(参考数据：sin 69°≈1415，cos 21°≈1415，tan 20°≈411，tan 43°≈1415，所有结果精确到个位)【分析】 (1)在Rt△ABC 中利用三角函数即可直接求解；(2)延长FE 交DG 于点I ，利用三角函数求得∠DEI 即可求得β的值，从而作出判断． 【自主解答】把一种数学问题合理地转化成另一种数学问题可以有效地解决问题．在解三角形中，将非直角三角形问题转化为解直角三角形问题，把实际问题转化为数学问题等．6．(2018·山西中考)如图，正方形ABCD 内接于⊙O，⊙O 的半径为2，以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是( )A ．4π－4B ．4π－8C ．8π－4D ．8π－87．(2018·黄冈中考)则a －1a ＝6，则a 2＋1a2值为______．8．(2018·白银中考)随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A ，B 两地被大山阻隔，由A 地到B 地需要绕行C 地，若打通穿山隧道，建成A ，B 两地的直达高铁，可以缩短从A 地到B 地的路程．已知∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC ＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程将缩短约多少公里？(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)类型四 方程思想(2018·娄底中考)如图，C ，D 是以AB 为直径的⊙O 上的点，AC ︵＝BC ︵，弦CD 交AB 于点E.(1)当PB 是⊙O 的切线时， 求证：∠PBD＝∠DAB； (2)求证：BC 2－CE 2＝CE·DE；(3)已知OA ＝4，E 是半径OA 的中点，求线段DE 的长．【分析】 (1)由AB 是⊙O 的直径知∠BAD＋∠ABD＝90°，由PB 是⊙O 的切线知∠PBD＋∠ABD＝90°，据此可得证；(2)连接OC ，设圆的半径为r ，证△ADE∽△CBE，由AC ︵＝BC ︵知∠AOC＝∠BOC＝90°，再根据勾股定理即可得证；(3)先求出BC ，CE ，再根据BC 2－CE 2＝CE·DE 计算可得． 【自主解答】在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化．9．(2018·白银中考)若正多边形的内角和是1 080°，则该正多边形的边数是________．10．(2018·上海中考)如图，已知正方形DEFG的顶点D，E在△AB C的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC 上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是________．类型五函数思想(2017·杭州中考)在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.(1)设矩形的相邻两边长分别为x，y.①求y关于x的函数解析式；②当y≥3时，求x的取值范围；(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？【分析】(1)①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范围；(2)直接利用x＋y的值结合根的判别式得出答案．【自主解答】在解答此类问题时，建立函数模型→求出函数解析式→结合函数解析式与函数的性质作出解答．要注意从几何和代数两个角度思考问题．11．(2018·桂林中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y 轴交于点C.(1)求抛物线y的函数解析式及点C的坐标；(2)点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；(3)在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案类型一【例1】 (1)如图1，连接AF.由四边形ABCD是矩形，结合旋转可得BD＝AF，∠EAF＝∠ABD.∵AB＝AE，∴∠ABD＝∠AEB，∴∠EAF＝∠AEB，∴BD∥AF，∴四边形BDFA是平行四边形，∴FD＝AB.∵AB＝CD，∴FD＝CD.(2)如图2，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的右边时，连接DG，CG，BG，易知点G也是AD的垂直平分线上的点，∴DG＝AG.又∵AG＝AD，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴α＝60°.如图3，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的左边时，连接CG，B G，DG，同理，△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，此时α＝300°.综上所述，当α为60°或300°时，GC＝GB.变式训练1．C2．解：(1)设p与x之间的函数关系式为p＝kx＋b，代入(1，7.5)，(3，8.5)得 k＋b＝7.5， k＝0.5， 解得 3k＋b＝8.5， b＝7， 即 p 与 x 的函数关系式为 p＝0.5x＋7(1≤x≤15，x 为整数)． 当 1≤x＜10 时， W＝[20－(0.5x＋7)](2x＋20)＝－x ＋16x＋260. 当 10≤x≤15 时， W＝[20－(0.5x＋7)]×40＝－20x＋520， －x ＋16x＋260（1≤x<10，x为整数）， 即 W＝ －20x＋520（10≤x≤15，x为整数）. 2 2(2)当 1≤x＜10 时， W＝－x ＋16x＋260＝－(x－8) ＋324， ∴当 x＝8 时，W 取得最大值，此时 W＝324. 当 10≤x≤15 时，W＝－20x＋520， ∴当 x＝10 时，W 取得最大值，此时 W＝320. ∵324＞320，∴李师傅第 8 天创造的利润最大，最大利润是 324 元． (3)当 1≤x＜10 时， 令－x ＋16x＋260＝299，得 x1＝3，x2＝13， 当 W＞299 时，3＜x＜13. ∵1≤x＜10，∴3＜x＜10.当 10≤x≤15 时， 令 W＝－20x＋520＞299，得 x＜11.05，∴10≤x≤11. 由上可得，李师傅获得奖金的月份是 4 月到 11 月，李师傅共获得奖金为 20×(11－3)＝160(元)． 答：李师傅共可获得 160 元奖金． 类型二 【例 2】(1)由图形可得学校到景点的路程为 40 km，大客车途中停留了 5min， 小轿车的速度为 40 ＝1(km/min)， 60－202 2 2a＝(35－20)×1＝15. 故答案为 40，5，15. 15 1 (2)由(1)得 a＝15，∴大客车的速度为 ＝ (km/min)． 30 2 10 1 125 125 50 小轿车赶上来之后，大客车又行驶了(60－35)× × ＝ (km)，40－ －15＝ (km)． 7 2 7 7 750 答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有 km. 7 20k＋b＝0， k＝1， (3)设直线 CD 的解析式为 s＝kt＋b，将(20，0)和(60，40)代入得 解得 60k＋b＝40， b＝－20， ∴直线 CD 的解析式为 s＝t－20. 当 s＝46 时，46＝t－20，解得 t＝66. 40－15 小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间为 ＝35(min)， 1 10 × 2 7 3 小轿车司机折返时的速度为 6÷(35＋35－66)＝ (km/min)＝90 km/h＞80km/h. 2 答：小轿车折返时已经超 速． 40 (4)大客车的时间： ＝80(min)，80－70＝10(min)． 1 2 故答案为 10. 变式训练 3．B 4.A 5．解：(1)设该一次函数解析式为 y＝kx＋b， 将(150，45)，(0，60)代入 y＝kx＋b 中得 150k＋b＝45， k＝－ ， 10 解得 b＝60， 1b＝60，1 ∴该一次函数解析式为 y＝－ x＋60. 10 1 (2)当 y＝－ x＋60＝8 时，解得 x＝520， 10 即行驶 520 千米时，油箱中的剩余油量为 8 升． 530－520＝10(千米)， 油箱中的剩余油量为 8 升时，距离加油站 10 千米． 答：在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是 10 千米． 类型三 BC 【例 3】 (1)∵Rt△ABC 中，tan A＝ ， AB ∴AB＝ BC BC 20 ＝ ≈ ＝55(cm)． tan A tan 20° 4 11(2)如图，延长 FE 交 DG 于点 I，则四边形 GHFI 为矩形，∴IG＝FH， ∴DI＝DG－FH＝100－72＝28(cm)． DI 28 14 在 Rt△DEI 中，sin∠DEI＝ ＝ ＝ ， DE 30 15 ∴∠DEI≈69°， ∴β ＝180°－69°＝111°≠100°， ∴此时 β 不符合科学要求的 100°. 变式训练 6．A 7.8 8．解：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.在 Rt△ADC 和 Rt△BCD 中， ∵∠CAB＝30°，∠CBA＝45°， AC＝640， ∴CD＝320，AD＝320 3， ∴BD＝CD＝320，BC＝320 2， ∴AC＋BC＝640＋320 2≈1 088， ∴AB＝AD＋BD＝320 3＋320≈864， ∴1 088－864＝224(公里)． 答：隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将缩短约 224 公里． 类型四 【例 4】 (1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°. ∵PB 是⊙O 的切线， ∴∠ABP＝90°，∴∠PBD＋∠ABD＝90°， ∴∠BAD＝∠PBD. (2)∵∠A＝∠DCB，∠AED＝∠CEB， ∴△ADE∽△CBE， ∴ DE AE ＝ ，即 DE·CE＝AE·BE. BE CE如图，连接 OC.设圆的半径为 r， 则 OA＝OB＝OC＝r， 则 DE·CE＝AE·BE＝(OA－OE)(OB＋OE)＝r －OE . ︵ ︵ ∵AC＝BC， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∴CE ＝OE ＋OC ＝OE ＋r ， BC ＝BO ＋CO ＝2r ， 则 BC －CE ＝2r －(OE ＋r )＝r －OE ， ∴BC －CE ＝DE·CE. (3)∵OA＝4，∴OB＝OC＝OA＝4， ∴BC＝ OB ＋OC ＝4 2. 又∵E 是半径 OA 的中点， ∴AE＝OE＝2， 则 CE＝ OC ＋OE ＝ 4 ＋2 ＝2 5. ∵BC －CE ＝DE·CE， ∴(4 2) －(2 5) ＝DE·2 5， 6 5 解得 DE＝ . 5 变式训练 12 9．8 10. 7 类型五 3 【例 5】 (1)①由题意可得 xy＝3，则 y＝ . x 3 ②当 y≥3 时， ≥3，解得 x≤1， x ∴x 的取值范围是 0＜x≤1. (2)∵一个矩形的周长为 6，∴x＋y＝3，2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 2 ∴x＋ ＝3，整理得 x －3x＋3＝0. x ∵b －4ac＝9－12＝－3＜0， ∴矩形的周长不可能是 6，∴圆圆的说法不对． ∵一个矩形的周长为 10，∴x＋y＝5， 3 2 ∴x＋ ＝5，整理得 x －5x＋3＝0. x ∵b －4ac＝25－12＝13＞0，∴矩形的周长可能是 10， ∴方方的说法对． 变式训练 11．解：(1)将点 A，B 的坐标代入函数解析式得 9a－3b＋6＝0， a＝－2， 解得 a＋b＋6＝0， b＝－4，2 2∴抛物线的函数解析式为 y＝－2x －4x＋6， 当 x＝0 时，y＝6，∴点 C 的坐标为(0，6)． (2)由 MA＝MB＝MC 得 M 点在 AB 的垂直平分线上，M 点在 AC 的垂直平分线上． 设 M(－1，y)，由 MA＝MC 得 (－1＋3) ＋y ＝(y－6) ＋(－1－0) ， 11 解得 y＝ ， 4 11 ∴点 M 的坐标为(－1， )． 4 (3)①如图，过点 A 作 DA⊥AC 交 y 轴于点 F，交 CB 的延长线于点 D. ∵∠ACO＋∠CAO＝90°，∠DAO＋∠CAO＝90°，∠ACO＋∠AFO＝90°， ∴∠DAO＝∠ACO，∠CAO＝∠AFO， ∴△AOF∽△COA， ∴ AO CO ＝ ， OF AO2 2 2 2 22∴AO ＝OC·OF. 3 3 3 ∵OA＝3，OC＝6，∴OF＝ ＝ ，∴F(0，－ )． 6 2 2 3 ∵A(－3，0)，F(0，－ )， 2 1 3 ∴直线 AF 的解析式为 y＝－ x－ . 2 2 ∵B(1，0)，C(0，6)，2∴直线 BC 的解析式为 y＝－6x＋6， 1 3 x＝11， y＝－ x－ ， 2 2 联立 解得 24 y＝－6x＋6， y＝－ ， 15 11 15 24 24 ∴D( ，－ )，∴AD＝ 5，AC＝3 5， 11 11 11 24 5 11 8 ∴tan∠ACB＝ ＝ . 11 3 5∵4tan∠ABE＝11tan∠ACB， ∴tan∠ABE＝2. 如图，过点 A 作 AM⊥x 轴，连接 BM 交抛物线于点 E. ∵AB＝4，tan∠ABE＝2， ∴AM＝8， ∴M(－3，8)． ∵B(1，0)，M(－3，8)， ∴直线 BM 的解析式为 y＝－2x＋2. y＝－2x＋2， 联立 2 y＝－2x －4x＋6， x＝－2， x＝1， 解得 或 (舍去) y ＝ 6 y＝0， ∴E(－2，6)． ②当点 E 在 x 轴下方时，如图，过点 E 作 EG⊥AB，连接 BE. 设点 E(m，－2m －4m＋6)， GE 2m ＋4m－6 ∴tan∠ABE＝ ＝ ＝2， BG －m＋1 ∴m＝－4 或 m＝1(舍去)， 可得 E(－4，－10)． 综上所述，E 点坐标为(－2，6)或(－4，－10)．2 2。
北京中考数学习题精选：分类讨论思想(含参考答案)
此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除2019年北京中考数学习题精选一、 填空题1、（2018北京市朝阳区初二年级第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，(0,2)A ，(4,0)B ，点P 与A ，B 不重合．若以P ，O ，B 三点为顶点的三角形与ABO ∆全等，则点P 的坐标为．答案：（0，-2）或（4，-2）或（4,2）2、 （2018北京市怀柔区初二期末）化简二次根式：2244b ac a -=________ ． 答案：二、解答题3.（2018北京昌平区初二年级期末） 已知：关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +3）x + m 2 + 3m + 2 = 0．（1）已知x =2是方程的一个根，求m 的值；（2）以这个方程的两个实数根作为△A BC 中AB 、AC （AB ＜AC ）的边长，当BC=5时，△ABC 是等腰三角形，求此时m 的值.解：（1）∵x =2是方程的一个根，∴222223320m m m -++++=(). ……………………………1分此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除∴20m m -=.∴m =0，m =1. ………………………………………………………………2分(2)∵[]22(23)4(32)m m m ∆=-+-++=1. …………………………………………………………………… 3分∴(23)12m x +±=. ∴x =m +2，x =m +1. …………………………………………………………4分 ∵AB 、AC （AB ＜AC ）的长是这个方程的两个实数根，∴AC =m +2，AB =m +1.∵5BC =，△ABC 是等腰三角形，∴①当AB =BC 时，有+15m =， 5 1.m ∴=- …………………………………………………………5分②当AC =BC 时，有+25m =，5 2.m ∴=- (6)分综上所述，当552m m =-1或=时， △ABC 是等腰三角形.4.（2018北京通州区一模）答案：此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除。
课标通用安徽省2019年中考数学总复习专题2分类讨论题课件
题型概述 方法指导
因题目已知条件存在一些不确定因素,解答无法用统一的方法或 者结论不能给以统一表述的数学问题,我们往往将问题划分为若干 类,或若干个局部问题来解决.2017年安徽中考中,将近10年的结论 判断正误题被分类讨论题所代替,这给我们传递了一个信号,安徽 中考压轴填空题将改变题型.分类讨论题难度大,同学们容易漏掉 解,出题角度多,可以很好地考查同学们思维的条理性、缜密性、 科学性.2018年中考压轴填空题设置为分类讨论题可能性非常大.
以可得AC=5,由题意可得△ABC是等腰三角形,AB=BC=5,且底边 上高为4,BP⊥AC时,勾股定理可得AP=CP=3,所以△ABC 面积=12AC·BP=12×6×4=12.
1234567
3.(2018·浙江绍兴)过双曲线y=
������ ������
(k>0)的动点A作AB⊥x轴于点B,P
∵△PBE∽△DBC,∴������������������������
=
������������ ������������
=
15,
∴PE=15CD=65.
综上所述,PE 的长为 3 或65.
类型一
类型二
类型三
例3(2012·安徽,10)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一 点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分 是如图所示的直角梯形,其中三边长分别为2,4,3,则原直角三角形 纸片的边长是 ( )
由运动知,AM=2t.∴BM=AB-AM=9-2t,故答案为:15,9-2t.
(2)①如图1,☉M切BD于E,∴ME⊥BD,
∴∠BEM=∠BAD=90°,
∵∠EBM=∠ABD,∴△BME∽△BDA.
中考数学专题训练 第8课时 分类讨论题(含答案)
第8课时分类讨论题在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50° D．50°或80°2.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．4.（湖北罗田）在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．5.（上海市）在△ABC中，AB=AC=5，3cos5B ．如果圆O10过点B、C，那么线段AO的长等于．6.（•威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；（2）问点A出发后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7.（上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．8.（福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。
2019年中考数学之——分类讨论思想例题解析
2019年中考数学之——分类讨论思想例题解析分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．1：分式方程无解的分类讨论问题【例题】（2017贵州）分式方程=1﹣的根为（）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．1或﹣3【考点】B3：解分式方程．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x，解得：x=﹣1或x=3，经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为x=3，故选C【同步训练】（2017山东聊城）如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【考点】B5：分式方程的增根．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2=0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．【解答】解：﹣=1，去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：m+2x=x﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2，当x=2时，m+4=2﹣2，m=﹣4，故选D．2：“一元二次”方程系数或者函数最高次项系数的分类讨论问题【例题】（2017宁夏）关于x的方程（a﹣1）x2+3x﹣2=0有实数根，则a的取值范围是（）A． B． C．且a≠1 D．且a≠1【分析】根据方程的形式可以看出最高次是2次，当a﹣1≠0时，定义和判别式的意义得到a ≠1且△=32﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．当a=1时，则方程为一次方程，故有a=1。
【解答】解：根据题意得a≠1且△=32﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0，解得a≥﹣．故选B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题【例题】（2017浙江义乌）如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是x=0或x=4﹣4或4＜x＜4．【考点】KI：等腰三角形的判定．【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．【解答】解：分三种情况：①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，∴MC⊥OB，∵∠AOB=45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC=OC=4，∴OM=4，当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P 有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；∴当4＜x＜4时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4﹣4或4．故答案为：x=0或x=4﹣4或4．【同步训练】（2017齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为113°或92°．【考点】S7：相似三角形的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】由△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，推出∠ADC＞∠A，即AC≠CD，分两种情形讨论①当AC=AD时，②当DA=DC时，分别求解即可．【解答】解：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A=46°，∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①当AC=AD时，∠ACD=∠ADC==67°，∴∠ACB=67°+46°=113°，②当DA=DC时，∠ACD=∠A=46°，∴∠ACB=46°+46°=92°，故答案为113°或92°．4：动点问题的分类分类讨论问题4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论；【例题】（2017.江苏宿迁）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC=，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积；（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1﹣x，由△ADB′′∽△DEC，可得=，列出方程即可解决问题；（2）如图2中，首先证明△ADB′，△DFG都是等腰直角三角形，求出DF即可解决问题；（3）如图3中，点C的运动路径的长为的长，求出圆心角、半径即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1﹣x，∵∠ADB′+∠EDC′=90°，∠B′AD+∠ADB′=90°，∴∠B′AD=∠EDC′，∵∠B′=∠C′=90°，AB′=AB=1，AD=，∴DB′==，∴△ADB′′∽△DEC，∴=，∴=，∴x=﹣2．∴CE=﹣2．（2）如图2中，∵∠BAD=∠B′=∠D=90°，∠DAE=22.5°，∴∠EAB=∠EAB′=67.5°，∴∠B′AF=∠B′FA=45°，∴∠DFG=∠AFB′=∠DGF=45°，∴DF=FG ，在Rt △AB′F 中，AB′=FB′=1，∴AF=AB′=，∴DF=DG=﹣，∴S △DFG =（﹣）2=﹣．（3）如图3中，点C 的运动路径的长为的长，在Rt △ADC 中，∵tan ∠DAC==，∴∠DAC=30°，AC=2CD=2，∵∠C′AD=∠DAC=30°，∴∠CAC ′=60°，∴的长==π．【同步训练】如图是一张长方形纸片ABCD ，已知AB=8，AD=7，E 为AB 上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP ），使点P 落在长方形ABCD 的某一条边上，则等腰三角形AEP 的底边长是 ．【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】分情况讨论：①当AP=AE=5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE=AE=5即可；②当PE=AE=5时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出等边AP即可；③当PA=PE时，底边AE=5；即可得出结论．【解答】解：如图所示：①当AP=AE=5时，∵∠BAD=90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE=AE=5；②当PE=AE=5时，∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3，∠B=90°，∴PB==4，∴底边AP===4；③当PA=PE时，底边AE=5；综上所述：等腰三角形AEP的对边长为5或4或5；故答案为：5或4或5．4.2：组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。
分类讨论型问题2019中考数学高端精品(解析版)
专题09分类讨论型问题【考点综述评价】在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行．【考点分类总结】考点1字母的不同取值引起分类讨论【典型例题】（2017浙江省宁波市）已知△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数3yx=的图象上，则m的值为．【答案】4或12．【分析】求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得AB边的中点（﹣1，1），BC边的中点（﹣2，0），AC边的中点（﹣2，﹣2），然后分两种情况进行讨论：一是AB边的中点在反比例函数3yx=的图象上，二是AC边的中点在反比例函数3yx=的图象上，进而算出m的值．【方法归纳】解答绝对值化简、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等问题时，由于字母的不同取值可能会引起分类讨论。
【变式训练】（2017黑龙江省齐齐哈尔市）若关于x的方程29304kx x--=有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k=0B．k≥﹣1且k≠0C．k≥﹣1D．k＞﹣1【答案】C．【分析】讨论：当k=0时，方程化为﹣3x﹣94=0，方程有一个实数解；当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k•（﹣94）≥0，然后求出两个中情况下的k的公共部分即可．考点2研究对象对应关系的不确定性引起分类讨论【典型例题】（2017湖南省郴州市）如图，已知抛物线y=ax2+85x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于丁C，且A（2，0），C（0，﹣4），直线l：y=﹣12x﹣4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+85x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．（1）试求该抛物线表达式；学+科-网（2）如图（1），过点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；（3）如图（2），过点P作PH⊥y轴，垂足为H，连接AC．①求证：△ACD是直角三角形；②试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似？【答案】（1）218455y x x =+-；（2）P 的坐标为（﹣52，﹣274）或（﹣8，﹣4）；（3）①证明见解析；②点P 的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18．【分析】（1）将点A 和点C 的坐标代入抛物线的解析式可得到关于a 、c 的方程组，然后解方程组求得a 、c 的值即可；（2）设P （m ，218455m m +-），则F （m ，﹣12m ﹣4），则PF =2121510m m --，当PF =OC 时，四边形PCOF 是平行四边形，然后依据PF =OC 列方程求解即可；（3）①先求得点D 的坐标，然后再求得AC 、DC 、AD 的长，最后依据勾股定理的逆定理求解即可；②分为△ACD ∽△CHP 、△ACD ∽△PHC 两种情况，然后依据相似三角形对应成比例列方程求解即可【解答】（1）由题意得：842054a c c ⎧+⨯+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：154a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的表达式为218455y x x =+-．（2）设P （m ，218455m m +-），则F （m ，﹣12m ﹣4），∴PF =（﹣12m ﹣4）﹣（218455m m +-）=2121510m m --．∵PE ⊥x 轴，∴PF ∥OC ，∴PF =OC 时，四边形PCOF 是平行四边形，∴2121510m m --=4，解得：m =﹣52②由①得∠ACD =90°．当△ACD ∽△CHP 时，AC CH CD HP =218255545n n n --=-218255545n n n +=-，解得：n =0（舍去）或n =﹣5.5或n =﹣10.5． 当△ACD ∽△PHC 时，AC PHCD CH =25184555n n n -=--25184555n n n -=+．解得：n =0（舍去）或n =2或n =﹣18．综上所述：点P 的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P 、C 、H 为顶点的三角形与△ACD相似．【方法归纳】解答未明确底和腰的等腰三角形、未明确直角顶点的直角三角形、两角未明确对应关系的全等或相似等问题时，需要分类讨论．【变式训练】（2017黑龙江省龙东地区）如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为．【答案】43或47或4．【分析】分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．综上所述：当△ABM为直角三角形时，AM的长为4374．故答案为：43474．考点3 图形的不同位置引起分类讨论【典型例题】（2017黄冈）已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，OA =4，OC =3，动点P 从点C 出发，沿射线CB 方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q 从点O 出发，沿x 轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P 、点Q 的运动时间为t （s ）．（1）当t =1s 时，求经过点O ，P ，A 三点的抛物线的解析式； （2）当t =2s 时，求tan ∠QP A 的值；（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点M ，且BM =2AM 时，求t （s ）的值；（4）连接CQ ，当点P ，Q 在运动过程中，记△CQP 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．【答案】（1）2334y x x =-+；（2）23；（3）t =3s ；（4）3 (02)24324(24)24(4)t t S t t t t t⎧⎪≤≤⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩．【分析】（1）可求得P点坐标，由O、P、A的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）当t=2s时，可知P与点B重合，在Rt△ABQ中可求得tan∠QP A的值；（3）用t可表示出BP和AQ的长，由△PBM∽△QAM可得到关于t的方程，可求得t的值；（4）当点Q在线段OA上时，S=S△CPQ；当点Q在线段OA上，且点P在线段CB的延长线上时，由相似三角形的性质可用t表示出AM的长，由S=S四边形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ，可求得S与t的关系式；当点Q在OA的延长线上时，设CQ交AB于点M，利用△AQM∽△BCM可用t表示出AM，从而可表示出BM，S=S△CBM，可求得答案．【解答】（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，则可知点Q在线段OA上，点P在线段CB的延长线上，如图2，则CP=2t，OQ=t，∴BP=PC﹣CB=2t﹣4，AQ=OA﹣OQ=4﹣t，∵PC∥OA，∴△PBM∽△QAM，∴BP BM AQ AM=，且BM=2AM，∴244tt--=2，解得t=3，∴当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，t为3s；（4）当0≤t ≤2时，如图3，由题意可知CP =2t ，∴S =S △PCQ =12×2t ×3=3t ；学+-科/+网43AM t t -=，解得AM =312t t -，∴BM =3﹣312t t -=12t ，∴S =S △BCM =12×4×12t =24t ； 综上可知：3 (02)24324(24)24(4)t t S t t t t t⎧⎪≤≤⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩．【方法归纳】解答此类问题时，由于图形的不同位置导致结果不同，需要分类讨论．【变式训练】（2017辽宁省辽阳市）如图1，抛物线213y x bx c =++经过A （23-，0）、B （0，﹣2）两点，点C 在y 轴上，△ABC 为等边三角形，点D 从点A 出发，沿AB 方向以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0），过点D 作DE ⊥AC 于点E ，以DE 为边作矩形DEGF ，使点F 在x 轴上，点G 在AC 或AC 的延长线上．（1）求抛物线的解析式；（2）将矩形DEGF 沿GF 所在直线翻折，得矩形D 'E 'GF ，当点D 的对称点D '落在抛物线上时，求此时点D '的坐标；（3）如图2，在x 轴上有一点M （230），连接BM 、CM ，在点D 的运动过程中，设矩形DEGF 与四边形ABMC 重叠部分的面积为S ，直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．【答案】（1）213233y x x =+-；（2）D ′（433，109）；（3）22423(0)353412383(2)3t t S t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩．【分析】（1）把A 、B 的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（2）由等边三角形的性质可知∠BAC =60°，依据特殊锐角三角函数值可得到AE =t ，DE =3t ，AF=23t ，然后再证明AD =DF =2t ，过点D ′作D ′H ⊥x 轴与点H ，接下来，再求得点D ′的坐标，最后将点D ′的坐标代入抛物线的解析式求解即可；学.+科+网 （3）当0＜t ≤43时，S =ED •DF ；当43＜t ≤2时，S =矩形DEGF 的面积﹣△CGN 的面积． 【解答】（1）把A （23-，0）、B （0，﹣2）代入抛物线的解析式得：21122303c b c =-⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩，解得：32b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩过点D ′作D ′H ⊥x 轴与点H ．（3）由（2）可知：DE =3t ，DF =2t ，AE =t ． 如图2所示：当AE +EG ≤AC 时，即t +2t ≤4，解得：t ≤43．∴当0＜t ≤43时，S =ED •DF =223t ． 当43＜t ≤2时，如图3所示：∵CG =AG ﹣AC ，∴CG =3t ﹣4，∴GN =3343t -∴S =ED •DF ﹣12CG •GN =223t ﹣12（3t ﹣4）3（3t ﹣4）=25312383t +-+-科.网综上所述，S与t的函数关系式为22423(0)353412383(2)23t tSt t t⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩．考点4数学概念、定理本身引发分类讨论【典型例题】已知一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣4≤y≤8，则kb的值为．【答案】﹣24或﹣48．【分析】根据一次函数的性质，分k＞0和k＜0时两种情况讨论求解．【方法归纳】在解答此类问题时，由于数学概念、定理本身的规定导致需要分类讨论。
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专题训练(六)[分类讨论思想]1.[2017·聊城] 如图ZT6-1是由8个全等的矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上,如果点P是某个小矩形的顶点,连接P A,PB,那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是()图ZT6-1A.2个B.3个C.4个D.5个2.[2017·义乌] 如图ZT6-2,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点,若使P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个,则x的值是.图ZT6-23.[2017·齐齐哈尔] 如图ZT6-3,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是.图ZT6-34.[2017·绥化] 在等腰三角形ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D,若AD=BC,则△ABC的顶角的度数为.5.[2018·安徽] 矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长为.6.[2017·眉山] 如图ZT6-4,抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,已知A(3,0),且M1,-是抛物线上一点.图ZT6-4(1)求a,b的值;(2)连接AC,设点P是y轴上任一点,若以P,A,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,求P点的坐标;(3)若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点(不与O,A重合),过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于点H.设ON=t,△ONH的面积为S,求S与t之间的函数关系式.7.[2017·烟台] 如图ZT6-5①,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4.矩形OBDC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E.图ZT6-5(1)求抛物线的表达式.(2)如图ZT6-5②,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PH⊥EO,垂足为H.设PH的长为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围),并求出l的最大值.(3)如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点M,使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.8.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.图ZT6-6(1)如图ZT6-6①,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线.(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数.(3)如图②,△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD 的长.参考答案1.B[解析] 由图可知,矩形的长是宽的2倍,以点B为直角顶点构成等腰直角三角形的点P有2个,以点A为直角顶点构成等腰直角三角形的点P有1个,∴满足条件的有3个.2.0或4-4或4<x<43.10或4或2[解析] ∵AB=AC=10,BC=12,底边BC上的高是AD,∴∠ADB=∠ADC=90°,BD=CD=BC=×12=6,∴AD=-=8.∴用这两个三角形拼成平行四边形,可以分三种情况:(1)按照如图所示的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是10.(2)按照如图所示的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是=4.(3)按照如图所示的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是=2.综上所述,这个平行四边形较长的对角线的长是10或4或2.4.30°或90°或150°[解析] 应分下列三种情况求顶角.(1)若角A是顶角,如图①,AD=BC,则AD=BD,底角为45°,所以顶角为90°;(2)若角A不是顶角,当三角形是锐角三角形时,如图②,则在△ACD中,AD=BC=AC,所以顶角为30°;若三角形是钝角三角形,如图③,则∠ACD=30°,所以顶角为150°.故填30°或90°或150°.5.3或[解析] 由题意知,点P在线段BD上.(1)如图所示,若PD=P A,则点P在AD的垂直平分线上,故点P为BD的中点,PE⊥BC,故PE∥CD,故PE=DC=3;(2)如图所示,若DA=DP,则DP=8,在Rt△BCD中,BD==10,∴BP=BD-DP=2.∵△PBE∽△DBC,∴==,∴PE=CD=.综上所述,PE的长为3或.6.解:(1)由题意,得---解得-(2)由(1)得,抛物线的关系式为y=x2-x-2,当x=0时,y=-2,∴C(0,-2).∵以P,A,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,∴分三种情况:①若AC=AP(如图①),由AO⊥CP,得OP=OC=2,∴P1(0,2);②若CA=CP(如图②),∵AC===,∴P2(0,-2+),P3(0,-2-);③若AP=PC(如图③),设点P的坐标为(0,m),则AP=PC=m+2,由勾股定理,得AP2=OP2+OA2,∴(m+2)2=m2+32,解得m=, ∴P40,.综上所述,符合条件的点P有4个,坐标分别为P1(0,2),P2(0,-2+),P3(0,-2-),P40,.(3)设抛物线的对称轴交x轴于点D,交AC于点E,∵抛物线y=x2-x-2的对称轴为直线x=1,∴D(1,0).又∵tan∠OAC==,∴=,∴DE=.∵NH∥AC,∴△DHN∽△DEA,∴=,即=-,∴DH=|t-1|.分两种情况:①当0<t<1时(如图④),S=·t·(1-t)=-t2+t;②当1<t<3时(如图⑤),S=·t·(t-1)=t2-t.综上所述,S与t之间的函数关系式为S=--7.解:(1)将x=0代入抛物线的解析式,得y=2.∴C(0,2).∵四边形OBDC为矩形,∴OB=CD=1.∴B(1,0).又∵AB=4,∴A(-3,0).设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1).将点C的坐标代入得-3a=2,解得a=-,∴抛物线的解析式为y=-x2-x+2.(2)∵点E在CD上,∴y E=2.将y=2代入抛物线的解析式,得-x2-x+2=2,解得x=0或x=-2.∴E(-2,2).∴EC=OC=2,∴∠COE=45°.∵PG∥y轴,∴∠PGH=∠COE=45°.又∵PH⊥OE,∴PH=PG.设直线OE的解析式为y=kx,将点E的坐标代入,得-2k=2,解得k=-1.∴直线OE的解析式为y=-x.设点P的坐标为m,-m2-m+2,则点G的坐标为(m,-m).∴PG=-m2-m+2+m=-m2-m+2.∴l=×-m2-m+2=-m2-m+=-m+2+.∴l的最大值为.(3)抛物线的对称轴为直线x=-=-1.设点N的坐标为(-1,n),点M的坐标为(x,y).①当AC为平行四边形的对角线时,依据线段的中点坐标公式可知-=-,解得x=-2.将x=-2代入抛物线的解析式得y=2.∴M(-2,2).②当AM为平行四边形的对角线时,依据线段的中点坐标公式可知-=-,解得x=2.将x=2代入抛物线的解析式得y=-×4-×2+2=-.∴M2,-.③当AN为平行四边形的对角线时,依据线段的中点坐标公式可知=--,解得x=-4.将x=-4代入抛物线的解析式得y=-.∴M-4,-.综上所述,点M的坐标为(-2,2)或2,-或-4,-.8.解:(1)证明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,∴△ABC不是等腰三角形,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°,∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD为等腰三角形,∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,∴△BCD∽△BAC,∴CD是△ABC的完美分割线.(2)①当AD=CD时,如图①,∠ACD=∠A=48°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.②当AD=AC时,如图②,∠ACD=∠ADC=-=66°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.③当AC=CD时,如图③,∠ADC=∠A=48°, ∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∵∠ADC>∠BCD,矛盾,舍去.∴∠ACB=96°或114°.(3)由已知AC=AD=2,∵△BCD∽△BAC,∴=,设BD=x,∴()2=x(x+2),∵x>0,∴x=-1,∵△BCD∽△BAC,∴==-,∴CD=-×2=-.。