高考复习课件：函数的奇偶性与周期性
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高考数学(文通用)一轮复习课件：第二章第4讲函数的奇偶性及周期性
第二章基本初等函数、导数及其应用函数的奇偶性及周期性教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源和课梳理1.函数的奇偶性2. 周期性(1)周期函数：对于函数j=/(x),如果存在一个非零常数T,那么就称函数y=/a )为周期函数，称F 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数/(兀)的所有周期中存在一个正周期.要点整會尸1. 辨明三个易误点 （1）应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.使得当兀取定义域内的任何值时，都有 f(x+T)=f(x)的正数，那么这个最小 正数就叫做沧)的最小（2）判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. （3）判断函数/（兀）是奇函数，必须对定义域内的每一个x,均有/（一兀）=一/（兀），而不能说存在丸使/（一兀0）=—/（兀0），对于偶函数的判断以此类推.2.活用周期性三个常用结论对/(*)定义域内任一自变量的值(1)®f(x+a)= —f(x)9则T=2a；i⑵若Z(x+a)=y (乂),则T=2a； (1)(3)若f(x-\-a)=—屮(比)“,则T= 2a.3.奇、偶函数的三个性质(1)在奇、偶函数的定义中，f(-x)=-f(x)^ 定义域上的恒等式.(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法.(3)设心)，g(x)的定义域分别是Di，6,那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇＞＜奇=偶，偶+偶=偶，偶X偶 =偶,奇乂偶=奇.（2015•高考福建卷）下列函数为奇函数的是（D B. y=e D. j=e x -e"x 双基自测 C ・ j=cosx1.2.已知/(x)=«x 2+Z»x 是定义在［«-1,加］上的偶函数，那 么"+方的值是(B )解析：因为f(x)=ax 2-\-bx 是定义在［«-1,加］上的偶函数, 所以a~l+2a=0,所以 a =-. 3X/(—x)=/(x),所以方=0,所以a+b=£ 3 A.D. 3 23.（2016•河北省五校联盟质量监测）设/（兀）是定义在R上的周期为3的函数，当xe[ - 2, 1)时，f(x)=4x2— 2, — 2WxW 0,X, 0<x<l,B. 1A. 0D. -1解析:因为心）是周期为3的周期函数，所以龙）=/（一扌+3）4.(必修1 P39习题1.3B组T3改编)若/(x)是偶函数且在(0,+ 8)上为增函数，则函数心)在(一8, °)上捋函数5.(必修1 P39习题X3A组T6改编)已知函数/(x)是定义在R 上的奇函数，当xMO时，gx) = x(1+x),则xVO时，/(x) = x(l—x)解析：当xVO时，则一x>0,所以/(—x) = (—x)(1—x)・又/(X)为奇函数，所以/(-x) = -/(x) = (-x)(1-x),所以/(X)=x(1—X)・國例1 (2014-高考安徽卷)若函ft/(x)(xe R)是周期为4的典例剖析护考点突破」 考点一函数的周期性名师导悟以例说法奇函数，且在［0 , 2］上的解析式为/(x)=\x (1—x) , OWxWl, 、sin Ji x, 1<X W2, 5/?)+眉)=—^因为当 1 <xW2 时，/(x)=sin Tix,所以 XS =sinZ r =_2-所以 3因为当 OWxWl 时，/(x)=x(l-x), 所以简兮X 。
高三数学复习课件【函数的奇偶性及周期性】
f(x)＝－ x，4x02≤＋x2<，1，－1≤x<0， 则 f 32＝________. 解析：∵f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，
且 f(x)＝－x，4x02≤＋x2<，1，－1≤x<0， ∴f 32＝f －12＝－4×－122＋2＝1. 答案：1
返回 2．已知定义在 R 上的函数满足 f(x＋2)＝－f1x，x∈(0,2]时，f(x)
关 于 _原__点_ 对称
f(x)就叫做奇函数
返回 2.函数的周期性 (1)周期函数
对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定 义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ， 那么这个 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期．
关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项
定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数也
不是偶函数． 答案：B
返回
3．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b
的值是
()
A．－13
B.13
C.12
D．－12
解ห้องสมุดไป่ตู้：∵f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－
奇函数，所以 f 121＝f －12＝－f 12＝123＝18. 答案：B
返回
5．函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x>0 时，f(x)＝x＋1，则当 x<0 时，f(x)＝________. 解析：∵f(x)为奇函数，x>0 时，f(x)＝x＋1， ∴当 x<0 时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)， 即 x<0 时，f(x)＝－(－x＋1)＝x－1. 答案：x－1
2023届高考人教A版数学一轮复习课件：函数的奇偶性与周期性
(1)函数f(x)=x3(x≥0)是奇函数.( × )
(2)若函数f(x)为奇函数,则必有f(0)=0.( × )
(3)若函数f(x),g(x)均为奇函数,则函数f(g(x))也为奇函数.( √ )
(4)若函数f(x)满足f(x-2)=f(x+3),则函数的周期为1.( × )
(5)若f(4+x)+f(4-x)=0,则函数y=f(4+x)是奇函数.( √ )
(方法2)作出函数f(x)的图象(图略),由f(x)的图象关于原点对称可知,函数为
奇函数.
方法总结判断函数奇偶性的常用方法
(1)定义法:
(2)图象法:
(3)性质法:
在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=
奇.
对点训练1(2021湖南岳阳高三模拟)设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函
故选B.
(2)解 ①函数定义域为R,且f(-x)=(-x)2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以函数是
偶函数.
2
②函数定义域为 R,且 f(-x)=log2(-x+ (-) + 1)=log2(-x+√ 2 + 1)
=log2
1
+ 2 +1
=-log2(x+√ 2 + 1)=-f(x),所以函数是奇函数.
提示根据偶函数的定义,如果函数f(x+a)是偶函数,那么可得到
f(-x+a)=f(x+a),由此可得到函数f(x)图象的对称轴为直线x=a.也可从图象
变换的角度来理解,函数f(x+a)是偶函数,则其图象关于y轴对称,将该图象
(2)若函数f(x)为奇函数,则必有f(0)=0.( × )
(3)若函数f(x),g(x)均为奇函数,则函数f(g(x))也为奇函数.( √ )
(4)若函数f(x)满足f(x-2)=f(x+3),则函数的周期为1.( × )
(5)若f(4+x)+f(4-x)=0,则函数y=f(4+x)是奇函数.( √ )
(方法2)作出函数f(x)的图象(图略),由f(x)的图象关于原点对称可知,函数为
奇函数.
方法总结判断函数奇偶性的常用方法
(1)定义法:
(2)图象法:
(3)性质法:
在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=
奇.
对点训练1(2021湖南岳阳高三模拟)设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函
故选B.
(2)解 ①函数定义域为R,且f(-x)=(-x)2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以函数是
偶函数.
2
②函数定义域为 R,且 f(-x)=log2(-x+ (-) + 1)=log2(-x+√ 2 + 1)
=log2
1
+ 2 +1
=-log2(x+√ 2 + 1)=-f(x),所以函数是奇函数.
提示根据偶函数的定义,如果函数f(x+a)是偶函数,那么可得到
f(-x+a)=f(x+a),由此可得到函数f(x)图象的对称轴为直线x=a.也可从图象
变换的角度来理解,函数f(x+a)是偶函数,则其图象关于y轴对称,将该图象
函数的奇偶性对称性周期性课件共19张PPT
(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
A．13
B． 2
C．
13 2
D．123
专题三：函数的周期性
变式 5：(1)设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，若 f 1 2 ，则 f 99 _-_2__.
(2)(2022·湖北模拟)定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 2 ，则下列是周期函数的是 （ D ）A． y f x x B． y f x x C． y f x 2x D． y f x 2x
叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I， 奇函数 都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)_，那么函数f(x) 关于_原__点__对称 就叫做奇函数
复习回顾 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最_小___的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
课堂小结
函数的性质
奇偶性
判断 求解析 求参数
对称性
轴对称： 中心对称：
周期性
求值 求解析 比较大小
祝同学们前程似锦！
高考数学一轮复习-2-3函数的奇偶性与周期性课件-理
•由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝ －f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)． •∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，
•f(x)在R上是奇函数， •∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数， •∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
基础诊断
考点突破
课堂总结
考点二 函数周期性的应用 【例 2】(1)(2014·安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函
数，且在[0,2]上的解析式为 f(x)＝xsin1－πxx，，1＜0≤x≤x≤2，1， 则 f 249＋f 461＝________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋2)＝－f(x)，当 2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f(105.5)＝________.
• 第3讲 函数的奇偶性与周期性
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 考试要求 1.函数奇偶性的含义及判断，B级 要求；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇 偶性，A级要求；3.函数的周期性、最小正周 期的含义，周期性的判断及应用，B级要求．
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 知识梳理 • 1．函数的奇偶性
奇偶 性
基础诊断
考点突破
课堂总结
【训练 2】 (2014·南通模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且是以 2 为周期的周期函数．若当 x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则
f(log16)的值为________．
2
解析 ∵f(x)是周期为 2 的奇函数．
∴f(log16)＝f
2
log1
2
法二 易知 f(x)的定义域为 R. ∵f(－x)＋f(x)＝log2[－x＋ －x2＋1]＋ log2(x＋ x2＋1)＝log21＝0，即 f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 对于 g(x)，由|x－2|＞0，得 x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}． ∵g(x)的定义域关于原点不对称， ∴g(x)为非奇非偶函数． 答案 (1)① (2)奇 非奇非偶
•f(x)在R上是奇函数， •∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数， •∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
基础诊断
考点突破
课堂总结
考点二 函数周期性的应用 【例 2】(1)(2014·安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函
数，且在[0,2]上的解析式为 f(x)＝xsin1－πxx，，1＜0≤x≤x≤2，1， 则 f 249＋f 461＝________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋2)＝－f(x)，当 2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f(105.5)＝________.
• 第3讲 函数的奇偶性与周期性
基础诊断
考点突破
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• 考试要求 1.函数奇偶性的含义及判断，B级 要求；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇 偶性，A级要求；3.函数的周期性、最小正周 期的含义，周期性的判断及应用，B级要求．
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 知识梳理 • 1．函数的奇偶性
奇偶 性
基础诊断
考点突破
课堂总结
【训练 2】 (2014·南通模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且是以 2 为周期的周期函数．若当 x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则
f(log16)的值为________．
2
解析 ∵f(x)是周期为 2 的奇函数．
∴f(log16)＝f
2
log1
2
法二 易知 f(x)的定义域为 R. ∵f(－x)＋f(x)＝log2[－x＋ －x2＋1]＋ log2(x＋ x2＋1)＝log21＝0，即 f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 对于 g(x)，由|x－2|＞0，得 x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}． ∵g(x)的定义域关于原点不对称， ∴g(x)为非奇非偶函数． 答案 (1)① (2)奇 非奇非偶
高考数学复习全套课件 第二章 第四节 函数的奇偶性与周期性
F(－x)＝f(－x)＋f(x)，则F(－x)＝F(x)，所以 为偶函数 － ＝ － ＋ ， 为偶函数. － ＝ ，所以f(x)为偶函数 答案： 答案：D
2.对任意实数 ，下列函数中的奇函数是 对任意实数x， 对任意实数 A.y＝2x－3 ＝ － C.y＝ln5x ＝ B.y＝－ 2 ＝－3x ＝－ D.y＝－ ＝－|x|cosx ＝－
1.周期函数问题，在考题中常有两类表现形式：一类是研 周期函数问题，在考题中常有两类表现形式： 周期函数问题 究三角函数的周期性；一类是研究抽象函数的周期性 究三角函数的周期性；一类是研究抽象函数的周期性. 抽象函数的周期常常应用定义f(T＋x)＝f(x)给予证明， 给予证明， 抽象函数的周期常常应用定义 ＋ ＝ 给予证明 证明时多从中心对称、轴对称所产生的数学等式出发， 证明时多从中心对称、轴对称所产生的数学等式出发， 推导满足周期定义的等式， 推导满足周期定义的等式，从而在证明函数为周期函 数的同时求出周期. 数的同时求出周期
是非奇非偶函数. ∴f(x)是非奇非偶函数 是非奇非偶函数
判断(或证明 抽象函数的奇偶性的步骤 判断 或证明)抽象函数的奇偶性的步骤 或证明 (1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现 －x)， 利用函数奇偶性的定义，找准方向 想办法出现 想办法出现f(－ ， 利用函数奇偶性的定义 f(x))； ； (2)巧妙赋值，合理、灵活变形配凑； 巧妙赋值，合理、灵活变形配凑； 巧妙赋值 (3)找出 －x)与f(x)的关系，得出结论 找出f(－ 与 的关系 得出结论. 的关系， 找出
解析： ＝－f(x)， 是奇函数. 解析：∵f(－x)＝－ ，∴f(x)是奇函数 － ＝－ 是奇函数 可知f(x)关于直线 对称， 由f(1＋x)＝f(1－x)可知 关于直线 ＝1对称， ＋ ＝ － 可知 关于直线x＝ 对称 ＝－f(－ ＝－ ＝－f(2＋ ∴f(x)＝－ －x)＝－ ＋x) ＝－ ＝－[－f(4＋x)]＝f(x＋4)， ＝－ － ＋ ＝ ＋ ， 即f(x)＝f(x＋4)， ＝ ＋ ， 的一个周期， ∴4为f(x)的一个周期， 为 的一个周期 ＝－f(1)＝－ ∴f(－2009)＝f(－1)＝－ ＝－ 3＝－ － ＝ － ＝－ ＝－1 ＝－1. 答案： 答案：－1
高考数学一轮复习函数的单调性、奇偶性、周期性-教学课件
提示:不能.如 f(x)= 1 及 f(x)=tan x. x
质疑探究 2:当一个函数的增区间(或减区间) 有多个时,能否用“∪”将函数的单调增区间 (减区间)连接起来? 提示:不能直接用“∪”将它们连接起来,例如: 函数 y=x3-3x 的单调增区间有两个:(-∞,-1) 和(1,+∞),不能写成(-∞,-1)∪(1,+∞).
义 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),
f(x)在区间 D 上是增函数
那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数
图
象
描
述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)增减函数定义的等价形式:设 x1,x2∈D,x1≠x2,
解析:(1)f(-1)=-f(1)=-[g(1)-4]=-(2-4)=2. (2)函数 f(x)的定义域是 R, 且 f(-x)=e-x-ex=-f(x), 因此 f(x)为奇函数,故选 A. 答案:(1)2 (2)A
考点四 函数的周期性及应用
【例 4】 已知函数 f(x)对任意的实数满足:f(x+3)=
y=
1 2
x
,定义域为 R,在(0,+∞)上递减,y=x+
1 x
,定义域为(-∞,0)∪
(0,+∞),在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增.故选 A.
3.若函数 f(x)=ax+1 在 R 上递减,则函数 g(x)=a(x2-4x+3)的增区间是( B ) (A)(2,+∞) (B)(-∞,2) (C)(-2,+∞) (D)(-∞,-2) 解析:由 f(x)在 R 上递减知 a<0,所以 g(x)在 (-∞,2)上递增,在(2,+∞)上递减.故选 B.
质疑探究 2:当一个函数的增区间(或减区间) 有多个时,能否用“∪”将函数的单调增区间 (减区间)连接起来? 提示:不能直接用“∪”将它们连接起来,例如: 函数 y=x3-3x 的单调增区间有两个:(-∞,-1) 和(1,+∞),不能写成(-∞,-1)∪(1,+∞).
义 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),
f(x)在区间 D 上是增函数
那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数
图
象
描
述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)增减函数定义的等价形式:设 x1,x2∈D,x1≠x2,
解析:(1)f(-1)=-f(1)=-[g(1)-4]=-(2-4)=2. (2)函数 f(x)的定义域是 R, 且 f(-x)=e-x-ex=-f(x), 因此 f(x)为奇函数,故选 A. 答案:(1)2 (2)A
考点四 函数的周期性及应用
【例 4】 已知函数 f(x)对任意的实数满足:f(x+3)=
y=
1 2
x
,定义域为 R,在(0,+∞)上递减,y=x+
1 x
,定义域为(-∞,0)∪
(0,+∞),在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增.故选 A.
3.若函数 f(x)=ax+1 在 R 上递减,则函数 g(x)=a(x2-4x+3)的增区间是( B ) (A)(2,+∞) (B)(-∞,2) (C)(-2,+∞) (D)(-∞,-2) 解析:由 f(x)在 R 上递减知 a<0,所以 g(x)在 (-∞,2)上递增,在(2,+∞)上递减.故选 B.
高考复习课件：函数的奇偶性与周期性
图像与原 若奇函数f(x)在原点有 0 点的关系 意义，则f(0)=__
2.周期性 (1)周期函数：若T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件： ①T≠0; f(x+T)=f(x) ②____________对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 最小的正数 ___________，那么这个___________就叫做它的最小正周期． (3)周期不唯一：若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期，则 nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期.
1.已知函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x+1)的图像的对称中 心是( ) （B）(-1,0) （C）(0,1) （D）(0,-1)
f(x)的图像关于点(0,0)对称，函数
y=f(x+1)的图像可由y=f(x)的图像向左平移1个单位得到，故
函数y=f(x+1)的图像的对称中心为（-1，0）.
此时x-2＜0,|x-2|-2=-x,≨ f x
2
lg 1 x 2 x
2
.
lg［1 x ］ lg 1 x 又≧ f x x x ≨函数f(x)为奇函数.
f x ,
(3)显然函数f(x)的定义域为：
(-≦，0)∪(0,+≦)，关于原点对称， ≧当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x =-x2-x=-f(x)；当x>0时,-x<0， 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x). 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立， ≨函数f(x)为奇函数.
【变式训练】（1）若函数f(x)=3x+3-x与 g(x)=3x-3-x的定义域
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（5）对于函数y=f(x),x∈(0,+∞),若2是f(x)的一个周期，则 -2也是f(x)的一个周期.( )
【解析】（1）错误.当奇函数的定义域不含0时，则图像不过 原点. （2）错误.函数f（x)的定义域不关于原点对称. （3）正确.函数y=f(x+a)关于直线x=0对称，则函数y=f(x)关 于直线x=a对称. （4）正确.函数y=f(x+b)关于点（0，0）中心对称，则函数 y=f(x)关于点(b,0)中心对称. (5)错误.若-2是函数f(x)的周期，则f(1)=f(1-2)=f(-1)不合 题意. 答案：（1）〓 （2）〓 （3）√ （4）√ (5)〓
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
（1）偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原
点.(
)
)
（2）函数f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.(
（3）若函数y=f(x+a)是偶函数，则函数y=f(x)关于直线x=a对 称.( )
（4）若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数y=f(x)关于点（b,0) 中心对称.( )
2.函数 f x 1 x 的图像关于( ) x (A)y轴对称 (B)直线y=-x对称 (C)坐标原点对称 (D)直线y=x对称
【解析】选C.函数f(x)的定义域为(-≦,0)∪(0,+≦)， 且 f x 1 x ( 1 x) f x , x x ≨函数f(x)是奇函数.
图像与原 若奇函数f(x)在原点有 0 点的关系 意义，则f(0)=__
2.周期性 (1)周期函数：若T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件： ①T≠0; f(x+T)=f(x) 对定义域内的任意x都成立. ②____________ (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个___________ 最小的正数 就叫做它的最小正周期． ___________ (3)周期不唯一：若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期，则 nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期.
此时x-2＜0,|x-2|-2=-x,≨ f x
2
lg 1 x 2 x
2
.
lg［1 x ］ lg 1 x 又≧ f x x x ≨函数f(x)为奇函数.
f x ,
(3)显然函数f(x)的定义域为：
(-≦，0)∪(0,+≦)，关于原点对称， ≧当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x =-x2-x=-f(x)；当x>0时,-x<0， 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x). 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立， ≨函数f(x)为奇函数.
4.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞,0)上是减
少的，若f(a)≥f(2),则实数a的取值范围是( （A）a≤2 （C）a≥-2 （B）a≤-2或a≥2 （D）-2≤a≤2 )
【解析】选B.由题意知函数y=f(x)在(0,+≦)上是增加的，且 f(-2)=f(2),故由f(a)≥f(2),得f(|a|)≥f(2),≨|a|≥2，解 得a≥2或a≤-2.
考向 1 函数奇偶性的判断 【典例1】判断下列各函数的奇偶性.
1 f x x 1
1 x . 1 x lg(1 x 2 ) (2) f x . x2 2
2 x x, x＜0, (3)f x 2 x x, x＞0.
【拓展提升】判断函数奇偶性的方法 (1)符号定义法：
（2）图像法：
(3)性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇 偶性 奇函数与 奇函数 奇函数与偶 函数 偶函数与 偶函数
和 差
积 商
奇函数 奇函数
偶函数 偶函数 奇函数 奇函数
偶函数 偶函数
偶函数 偶函数
【提醒】“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才 成立的.
第三节 函数的奇偶性与周期性
1.奇函数、偶函数的定义与性质 奇函数 定 图像法 偶函数
原点 对称 图像关于_____
f(-x)=-f(x)
y轴 对称 图像关于____
f(-x)=f(x)
义 符号表示 定义域 性 质 单调性
原点 对称 关于_____ 在关于原点对称的两个区间上 相同 的单调性 有_____ 相反 的单调性 有_____
【思路点拨】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定
义域下，解析式带绝对值号的先尽量去掉，再判断 f(-x)与f(x) 的关系，分段函数应分情况判断. 【规范解答】(1)由
1 x ≥0,得-1＜x≤1, 1 x
因此函数的定义域为(-1，1］，不关于原点对称，故f(x)为非 奇非偶函数.
1 x 2＞0, （2）由 得-1＜x＜0或0＜x＜1. x 2 2, ≨函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1).
【变式训练】（1）若函数f(x)=3x+3-x与 g(x)=3x-3-x的定义域
均为R，则(
)
（A）f(x)与g(x)均为偶函数
（B）f(x)为偶函数,g(x)为奇函数
（C）f(x)与g(x)均为奇函数
1.已知函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x+1)的图像的对称中 心是( ) （B）(-1,0) （C）(0,1) （D）(0,-1)
（A）(1,0)
ห้องสมุดไป่ตู้
【解析】选B.函数y=f(x)的图像关于点(0,0)对称，函数
y=f(x+1)的图像可由y=f(x)的图像向左平移1个单位得到，故
函数y=f(x+1)的图像的对称中心为（-1，0）.
3.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值 为( ) （B ）0 （C ）1 （D ）2
（A）-1
【解析】选B.≧f(x+4)=f(x), ≨f(x)是以4为周期的周期函数，≨f(8)=f(0). 又函数f(x)是定义在R上的奇函数， ≨f(8)=f(0)=0,故选B.