第一章 直角三角形的边角关系导学案
ABC∠A的对边∠A的邻边斜边第一章直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数——正切学习目标:1.探索直角三角形中边角关系.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.学习重点:1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.学习难点:理解正切的意义，并用它来表示两边的比.导学过程：一、自学提纲：1、在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其它的边和角吗?在Rt△ABC中,∠C=90°,⑴若=1,∠B=60°，则= ,= , ∠A= .(2) 若C=42,∠A=45°，则a= ,b= , ∠B= .二、合作交流：1.如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？2.以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？3.Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？4.222111BACCBACC和有什么系？5.如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比正切的定义:在Rt△ABC中,∠C=90°, 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记做ta nA,即tan A=AA∠∠的对边的邻边6.如图，梯子的倾斜程度与tanα的关系是：tanα的值越大，梯子就越（填陡或缓）三、跟踪练习1. 在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定2.已知∠A,∠B为锐角(1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.3.在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.四、中考链接1：若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高_______米α1.2 锐角三角函数——正弦与余弦学习目标：1．掌握正弦和余弦的概念并正确运用sinA 、cosA 表示直角三角形中两边的比； 2．理解锐角三角形函数的概念及梯子的倾斜程度与锐角三角函数的关系。
学习重点：正弦与余弦的概念，明确定义的前提条件和定义式的常见应用方法。
学习难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。
导学过程： 一、自学提纲：（1）.在Rt △ABC 中,锐角A 的 与 的比叫做∠A 的正弦,记作sinA,即 sinA=（2）在Rt △ABC 中,锐角A 的 与 的比叫做∠A 的余弦,记作cosA,即 cosA= 二、合作交流：1．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，________是斜边， ∠A 的对边是________，AC 是∠A 的_________。
2．如图，BC 、DE 、FG 、HI 都与AC 垂直，容易证明△ABC_____△ADE ；从而可得：DEBC=______，所以 AD DE AB BC ____，进而可得： ADDEAB BC ==____=_____=…。
这样，可以归纳得到：在直角三角形中，当∠A 大小确定时，∠A 的_____边与_____边的比值不变，这个比值叫做∠A 的正弦。
同样可得：AE AC =______，所以 AD AE AB AC ____，进而可得：ADAEAB AC ==____=_____=…。
这样，可以归纳得到：在直角三角形中，当∠A 大小确定时，∠A 的_____边与_____边的比值不变，这个比值叫做∠A 的余弦。
3．梯子的倾斜程度与锐角三角函数的关系：倾斜角的正弦值_______，梯子越陡；倾斜角的余弦值________，梯子越陡；倾斜角的正切值________，梯子越陡。
4．相等的两个角的正弦值_______、余弦值______、正切值_______。
三、跟踪练习 1.如图,分别根据图(1)和图(2)求∠A 的三个三角函数值.2.如图:在Rt △ABC 中, ∠B=090,AC=200,sinA=0.6。
求:BC 的长.3．如图，已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，40B ∠=，则直角边BC 的长是（ ）A ．sin 40mB ．cos 40mC ．tan 40mD ．tan 40m四、中考链接1．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则cos AOB ∠的值为（ ） 525Ｃ．12Ｄ．2ABO第1题1.3 30°、45°、60°角的三角函数值学习目标1、经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义2、能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算3、能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小学习重点和难点重点：进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算难点：记住30°、45°、60°角的三角函数值导学过程：一、自学提纲：一个直角三角形中，一个锐角正弦是怎么定义的？一个锐角余弦是怎么定义的？一个锐角正切是怎么定义的？1、在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=30°,BC=1,则∠B= ,AB= ,AC= ,2、在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A=45°,BC=1,则∠B= ,AB= ,AC= ,二、合作交流：3、利用1、2题的结论及锐角三角函数的定义完成下表：4、当0°＜α＜90°时，sinα与tanα的值随着α的增大而 ,cosα的值随着α的增大而。
5、在Rt△ABC中,∠C=90°,则∠A与∠B的关系是sinA与cosB的关系是。
因此sin（90°-A）= ；cos（90°-A）= 。
三、跟踪练习1．计算(1)sin300﹢cos450(2) sin2600+cos2600﹣tan450（3）︒-︒︒-︒45cos60sin45sin30cos；（4）︒-︒+︒45tan45cos60sin222．填空：（1）已知∠A是锐角，且cosA = 21，则∠A = °，sinA = ；（2）已知∠B是锐角，且2cosB= 1，则∠B = °；（3）已知∠A是锐角，且3tanA 3-= 0，则∠A = °；3．一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。
AB COD1.4 解直角三角形学习目标：1 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
2使学生了解方位角、视角的命名特点，能准确把握所指的方位角视角是指哪一个角。
学习重点：直角三角形的解法 学习难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用 导学过程： 一、自学提纲：1．在一个普通的三角形中共有六个元素：三个角和三个边。
在Rt △ABC 中，∠C=90º。
那么它的的另五个元素a 、b 、c 、∠A 、∠B 之间存在哪些关系？ ①两锐角间关系： ②三边之间关系： ③边角之间关系： A c a，cosA = ─ ， tan =ba 类似的，你还能写出哪些？ 2．将两种视角（仰角或俯角）填入下图中二、合作交流：1．在一次飞机演习中，一飞机B 发现其前方地面上有一目标A ，并用雷达测得其距离为5000米，且发现其俯角为22º，求飞机的飞行高度。
（sin22º=0.37,cos22º=0.93,tan22º=0.40）2．求图中避雷针CD 的长度。
（结果精确到0.01米）（tan50º=1.192 tan56º=1.483 ）三、中考链接1、如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30o，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45o，则该高楼的高度大约为( )． (A)82米 (B)163米 (C)52米 (D)30米2、如图,身高1.5m 的小丽用一个两锐角分别是300和600 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高?的邻边的对边A A ∠∠1.5 三角函数的应用学习目标1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明. 学习重点1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力. 学习难点根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图. 导学过程： 一、自学提纲：1．解直角三角形指什么？ 2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理： ，(2)锐角之间的关系： (3)边角之间的关系： tanA= 3．象限角：OA ：北偏东60°，OB ：东南方向， OC ：正东方向， OD ：西偏南70°．二、合作交流：海中有一个小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗? （一）根据题意，画出图形 （二）小组交流，分析题意1、货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由 来决定。
2、根据题意，小岛四周 海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A 的最短距离 （填大于或小于） 海里，则无触礁的危险，如果 （填大于或小于） 海里则有触礁的危险.A 到BC 所在直线的最短距离为过 作 ， 为垂足，即 的长度.我们需根据题意，计算出 的长度，然后与 海里比较.3、通过上面的分析，我们已将实际问题转化成数学问题.根据题意，有已知条件： 、 、 （三）全班交流，写出解题过程 解：三、跟踪练习：小明想测量塔CD 的高度.他在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m 至B 处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)斜边的邻边A A ∠=cos斜边的对边A A ∠=sin 45︒南北西东60︒A DC B70︒O1.6 利用三角函数测高学习目标：1．回顾、整理已学过的测高方法以及相关知识。
九年级下册第一章直角三角形的边角关系教案
1.1.1锐角三角函数一、教材依据本节为九年级（下）第一章《直角三角形的边角关系》的第一节《从梯子的倾斜程度谈起》第一课时。
直角三角形的边角关系是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的应用。
通过本节的学习，学生将进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。
也将为学生学习正弦、余弦等三角函数知识及进一步学习其他数学知识奠定了基础。
二、设计思路从新课标中让我们知道：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。
教学应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
”基于课标，我运用导学稿，采用自主探究、合作交流等形式完成了本节课的教学。
三、教学准备（一）学生知识状况分析本节课从生活实例出发，让学生观察多种梯子倾斜的情况，对于梯子的倾斜问题学生在生活中也有一定的生活经验，可以很容易通过观察分析出简单的梯子倾斜情况，但对于倾斜角度非常接近的情况，就需要通过本节课的学习利用直角三角形三边的关系来判断。
（二）教学任务分析教学目标知识与技能1.经历探索直角三角形中边角关系的过程。
理解正切的意义和与现实生活的联系。
2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算。
过程与方法1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点。
2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。
3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。
情感态度与价值观1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲。
2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯。
教学重点1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系。
九年级数学下册-北师大版九年级下册数学第一章 直角三角形的边角关系1.4 解直角三角形导学案
在平地上一点C，测得山顶A的仰角为30°，向山沿直线前进20米到D处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AB．此题一方面可引导学生复习仰角、俯角的概念，同时，可引导学生加以分析：
如图6-39，根据题意可得AB⊥BC，得∠ABC=90°，△ABD和△ABC都是直角三角形，且C、D、B在同一直线上，由∠ADB=45°，AB=BD，CD=20米，可得BC=20+AB，在Rt△ABC中，∠C=30°，可得AB与BC之间的关系，因此山高AB可求．学生在分析此题时遇到的困难是：在Rt△ABC中和Rt△ABD中，都找不出一条已知边，而题目中的已知条件CD=20米又不会用．学习时，在这里教师应着重引
1.4解直角三角形
课题
解直角三角形
学习目标
1、使学生综合运用有关直角三角形知识解决实际问题．
2、培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想方法．
学习重点
归纳直角三角形的边、角之间的关系，利用这些关系式解直角三角形，并利用解直角三角形的有关知识解决实际问题．
学习难点
利用解直角三角形的有关知识解决实际问题．
首先请学生分析：过B、C作梯形ABCD的高，将梯形分割成两个直角三角形和一个矩形来解．
教师可请一名同学上黑板板书，其他学生笔答此题．教师在巡视中为个别学生解开疑点，查漏补缺．
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F，则BE=23m．
在Rt△ABE中，
∴AB=2BE=46(m)．
∴FD=CF=23(m)．
②，通过①，②两式，可得AB长．
解：根据题意，得AB⊥BC，∴∠ABC=Rt△．
∵∠ADB=45°，∴AB=BD，
∴BC=CD+BD=20+AB．
九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系复习导学案
九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系复习导学案第1章直角三角形的边角关系一、知识梳理二、题型、技巧归纳类型一求三角函数值四例1在△abc中，∠c＝90°，sina＝，则tanb＝()五a.b.c.d.4【分析】B根据新浪=，可以设置三角形两边的长度分别为4K和5K，第三边的长度为3k，所以5四千三百三十四万三千五百四十五tanb＝＝.归纳：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值．II型特殊角度的三角函数值示例2计算：33k34k42.0＋tan60°＋?－?.3.三[解析]本题考查数的0次幂、分母有理化和特殊角的三角函数值．解：原式＝3＋3＋1＝23＋1.类型三使用直角三角形来解决与高度相关的问题1例3如图x1-1所示，在数学课外实践活动中，需要测量教学楼ab的高度。
小刚在d 处使用1.5m高的测角仪CD测量教学楼a顶端的标高为30°，然后向教学楼前进40m至EF，然后测量教学楼顶端a的标高为60°，找到教学楼ab的高度[解析]设cf与ab交于点g，在rt△afg中，用ag表示出fg，在rt△acg中，用ag 表示出cg，然后根据cg－fg＝40，可求ag.阿加格解：设cf与ab交于点g，在rt△afg中，tan∠afg＝，∴fg＝＝.fgtan∠afg3在rt△acg中，tan∠acg＝又cg－fg＝40，即3ag－阿加格，∴cg＝＝3ag.cgtan∠acg＝40，3银∴ag＝203，∴ab＝(203＋1.5)m.答：这幢教学楼ab的高度为(203＋1.5)m.诱导在现实生活中，尤其是在勘探和测量中，经常需要了解或确定大型建筑的高度或无法用尺子直接测量的两个地方之间的距离。
第一章直角形的边角关系全章教案
-理解并掌握直角三角形的定义及其内角和特性。
-熟练运用勾股定理解决直角三角形相关问题。
-掌握正弦、余弦、正切三角函数的定义及其应用。
-理解并运用相似直角三角形的性质和比例关系。
-将所学知识应用于解决实际生活中的直角三角形问题。
教学过程中，教师应着重讲解和强调上述核心内容，通过丰富的例题和练习，使学生深入理解并掌握直角三角形的性质和运用。
第一章直角形的边角关系全章教案
一、教学内容
第一章直角形的边角关系
1.1直角三角形的定义与性质
-直角三角形的定义
-直角三角形的内角和
-直角三角形的边角关系（勾股定理）
1.2直角三角形中的特殊角
-三角函数的定义（正弦、余弦、正切）
-三角函数值的计算
-特殊角的三角函数值
1.3直角三角形的相似性质
-相似直角三角形的判定
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形的基本概念、勾股定理和三角函数的重要性及其应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对直角三角形边角关系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-难点三：相似直角三角形的判定和应用
-学生在判定相似直角三角形时，可能忽视对应角和对应边的关系。
-举例：在两个直角三角形中，如何判定它们是否相似，并运用相似性质解决问题。
-难点四：实际应用问题
-学生在解决实际问题时，可能难以将问题抽象为直角三角形的模型。
-举例：如何将现实生活中的问题转化为直角三角形问题，并运用所学知识求解。
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系教案新版北师大版
ACBa cb第一章 直角三角形的边角关系一、教学目标：1、以问题的形式梳理本章的内容，使学生进一步会运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题。
2、通过实例进一步掌握锐角三角函数的定义，并能熟练掌握特殊角的三角函数值。
3、已知锐角求出它的三角函数值；由已知三角函数值求出它对应的锐角。
4、使学生进一步体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
二、基本技能1、定义：在Rt △ABC 中，如果锐角∠A 确定，那么锐角∠A 的对边与邻边的比、对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定。
这个比叫做∠A 的正切、∠A 的正弦、∠A 的余弦。
记作：的邻边的对边A A A ∠∠=tan ；sinA 斜边的对边A ∠= ； co sA 斜边的邻边A ∠=。
其中：锐角∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数。
注意：（1）比值大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关.（2）梯子的倾斜程度：梯子AB 越陡，tanA 、sinA 的值越大 , cosA 的值越小 2、解直角三角形的基本理论依据：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c 。
（1）三边的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)； （2）两锐角的关系：∠A+∠B=90°（互余） （3）边与角之间的关系sinA=c a ， cosA=c b ， ta nA=b a ； sinB ＝c b ， cosB ＝c a ， tanB=ab。
例1、在Rt △ABC 中，∠C= 90° ，a 、b 、c 分别为△ ABC 的对边， 根据下列条件求出直角三角形的其他元素。
（1）62,66a b == （2）c=20，∠A= 45°例2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， tan ∠B ＝31，且BC ＝9 cm ， ABC∠A 的对边∠A 的邻边斜边求：AC 、CD 和sin A 、tan ∠BCD 的值 3、习题精选1、在 Rt △ABC 中，∠C=90°。
北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系复习》导学案
《直角三角形的边角关系复习》学案知识结构：知识点一、锐角三角函数的概念及有关计算填空：直角三角形的边角关系：（1）三边之间的关系：__________（____定理） （2）两锐角之间的关系：_________（_______定理） （3）在Rt △ABC 中，∠C=90°,△ABC 三边分别为a 、b 、c ，sinA ＝____，cosA ＝____，tanA ＝____. 练习：1.在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的各个三角函数值 （ ） （A ）不变化 （B ）扩大2倍（D ）不能确定（C ）缩小一半2. 如图, ∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D.3. 如图：P 是∠α边OA 上的一点，且P 点的 坐标为（3，4），则cos α＝____.ACBab cC ADB.sin （）（）（）（）（）（）===B直角三角形的边角关系锐角三角函数的概念锐角三角函数的有关计算特殊角的 三角函数值特殊角的三角 函数的计算实 际 应用A知识点二、特殊角的三角函数值填表：30°45°60°sinαcosαtanα计算:1.计算：tan60°+2sin60°－4cos30°·tan45°.2.（2012·陕西）2cos45°—38+（1—2）03.（2008·陕西）（2009·陕西）变式计算：1.如图（投影），在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=8，求AB的值.2.变式（投影）.知识点三、应用（2012·陕西中考）作业1.已知α为锐角，且tan（90°－α）＝3，则α的度数为_____．2. 计算：tan60°·sin60°－cos30°·tan45°．3.等腰三角形一边长为10㎝，周长为36cm，那么底角的余弦等于____．4.某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）．（A）450a元（B）225a元（C）150a元（D）300a元5. (2012·陕西中考第13题）用科学计算器计算：7sin69︒≈（精确到0.01）．6. (2010·陕西中考第20题）︒15020米30米在一次测量活动中，同学们要测量某公园的码头A与他正东方向的亭子B之间的距离，如图他们选择了与码头A、亭子B在同一水平面上的点P,在点P处测得码头A位于点P北偏西方向30°方向，亭子B位于点P北偏东43°方向；又测得P与码头A之间的距离为200米，请你运用以上数据求出A与B的距离．。
九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系教案(新版)北师大版
第一章直角三角形的边角关系1.经历探索直角三角形中边角之间关系,以及30°,45°,60°角的三角函数值的过程,发展观察、分析、发现问题的能力.2.理解锐角三角函数的意义,并能够通过实例进行说明.3.会求解含30°,45°,60°角的三角函数值的问题.4.能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值,或由已知三角函数值求出相应的锐角.5.能够用锐角三角函数解直角三角形,发展推理能力和运算能力.6.能够解决与直角三角形有关的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力.7.体会数形之间的关系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.1.能够用锐角三角函数解直角三角形,发展推理能力和运算能力.2.能够解决与直角三角形有关的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力.3.通过探索学习,使学生经历“观察——分析——发现——运用”的过程,掌握直角三角形边角之间的关系,进一步体会数形之间的联系.1.通过对直角三角形中边角之间关系的探究,进一步激发学生学习图形中各个元素之间关系的兴趣.2.能够运用锐角三角函数解直角三角形,进一步养成分析问题、解决问题的良好学习习惯.本章是在学习直角三角形的边、角知识的基础上,进一步探究直角三角形的边和角之间的关系.同时也是正比例函数、一次函数、反比例函数等函数知识的延续.直角三角形中边角之间的关系在现实生活中应用广泛.锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中,人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题,一般来说,这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角之间关系的问题.通过直角三角形中边角之间的关系的学习,学生将进一步体会数学知识之间的联系(边和角之间的关系),把这种关系用数量的形式表示出来,是分析问题和解决问题过程中常用的方法.通过学习也将为其他数学知识奠定基础.通过研究图形之中各个元素之间的关系,进一步感受数形结合思想,体会数形结合的方法.【重点】1.三角函数及其有关的概念.2.特殊角的三角函数值的探究及应用.3.利用计算器求三角函数值或锐角的度数.4.能够用锐角三角函数解直角三角形.5.能够运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题.【难点】1.探索直角三角形中边角之间关系和30°,45°,60°角的三角函数值的过程.2.解决与直角三角形有关的实际问题.3.体会数、形之间的关系,掌握用数形结合思想分析问题和解决问题.1.注重问题情境的创设.在引入锐角三角函数时,要创设符合学生实际生活的情境,激发学生的学习兴趣,使学生感受到数学与现实世界的联系.如通过梯子的情境问题,引出第一个三角函数——正切.对于这个问题,学生比较熟悉,而且属于开放性问题,直观上又容易判断.又如,在学习特殊角的三角函数时,用学生熟悉的三角尺引入,使学生较快进入30°,45°,60°角的三角函数值的探索.2.鼓励学生有条理地进行思考和表达.引导学生观察、分析、发现直角三角形中边角之间的关系,让他们学会有条理地思考和表达.例如,利用相似的直角三角形,如何获得正切的概念?如何建立直角三角形中角和边之间的关系?如何类比正切的概念获得正弦和余弦的概念?3.重视渗透数学思想方法,促进学生思维水平的提高.教学中应注重渗透数形结合的思想方法,引导学生逐步从对具体问题的研究中提炼出数学思想方法.在形成正切概念的过程中,教师要给学生留有充分的时间,让学生利用前面学过的相似三角形的知识去探索对边和邻边之比与角的大小的关系,进而获得正切的概念.在引出正弦和余弦的概念时,可以类比正切概念获得的过程,从数学的角度直接引入.这样可以使学生从已学知识进行联想,加深对概念的理解,提升学生的思想水平.在解直角三角形的过程中,要让学生体会计算过程所依据的算理,以及如何根据已知条件去探求结论的思考过程.4.关注问题解决的教学过程.对于实际问题,首先要引导学生弄清实际问题的意义,然后逐步把实际问题转化为数学问题,帮助学生形成模型思想.另外,教师要注意为学生的问题解决过程搭建“脚手架”:一是对一些术语(如仰角、俯角、坡度、零部件截面图等)进行说明;二是对解决问题的策略、问题的发现和提出等,都要提供一定的帮助与支持.5.精心设计实践活动的教学流程.对于第6节“利用三角函数测高”这样的实践活动,建议首先将学生分组,各组分头准备测量所需的仪器;其次,由学生自己设计活动报告,教师给予必要的指导;再次,尽量安排那些学生比较熟悉,且易于开展的小组活动,并能保证任务完成的质量;最后,在活动期间,教师应在现场观察、指导各组的活动,同时应做必要的记录.6.根据《标准》要求,把握好三角函数的定位.教学中要把握好三角函数的定位.教科书上虽然称“锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数”,但实际上并没有特别明确地从函数的角度研究它们,也就是说没有研究随着角的变化,其三角函数值的变化规律;而是研究当锐角一定时,直角三角形中相应边的比值是什么.教学中要把握好这个定位,切莫提高要求.1锐角三角函数1.经历探索直角三角形中边角之间关系的过程.2.理解锐角三角函数(正切、正弦、余弦)的意义,并能够举例说明.3.能够运用tan A,sin A,cos A表示直角三角形中两边的比.4.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.1.经历三个锐角三角函数的探索过程,确信三角函数的合理性,体会数形结合的数学思想.2.在探索锐角三角函数的过程中,初步体验探索、讨论、验证对学习数学的重要性.1.通过锐角三角函数概念的建立,使学生经历从特殊到一般的认识过程.2.让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜悦,从解决实际问题中感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.【重点】1.理解锐角三角函数的意义.2.能利用三角函数解三角形的边角关系.【难点】能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.第课时1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,能够用正切进行简单的计算.3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会解决问题的策略多样性,发展实践能力和创新精神.1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.【重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.【难点】理解正切的意义,并用它来表示生活中物体的倾斜程度、坡度等.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.自制4个直角三角形纸板.2.复习直角三角形相似的判定和直角三角形的性质.导入一:课件出示:你知道图中建筑物的名字吗?是的,它就是意大利著名的比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场三大建筑之一,也是意大利著名的标志之一,它从建成之日起便由于土层松软而倾斜.【引入】应该如何来描述它的倾斜程度呢?学完本节课的知识我们就能解决这个问题了.[设计意图]创设新颖、有趣的问题情境,以比萨斜塔的倾斜程度激发学生的学习兴趣,从而自然引出课题,并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔.导入二:课件出示:四个规模不同的滑梯A,B,C,D,它们的滑板长(平直的)分别为300 cm,250 cm,200 cm,200 cm;滑板与地面所成的角度分别为30°,45°,45°,60°.【问题】四个滑梯中哪个滑梯的高度最高?[设计意图]利用学生所熟悉的滑梯进行引导,使学生有亲切感,滑梯与课本中引用梯子比较类似,学生的探究思路会比较顺畅.(一)探究新知请同学们看下图,并回答问题.探究一:问题1课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?小组讨论后展示结果:1组:梯子AB较陡.我们组是借助量角器量倾斜角,发现∠ABC>∠EFD,根据倾斜角越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.师:哪组还有不同的判定方法?2组:我们也是认为梯子AB较陡.我们组是分别计算AC与BC的比,ED与FD的比,发现前者的比值大,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.3组:我们组的方法和1组的大致相同,借助倾斜角来判断,不过不是测量,我们是过E 作EG∥AB交FD于G,就可以清晰比较∠ABC与∠EFD的大小了.4组:我们组发现这两架梯子的高度相同,水平宽度越小,梯子就越陡,所以我们也认为梯子AB较陡.探究二:问题2课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?学生会类比问题1给出的四种判断方法,只要说得合理即可.问题3课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎么判断的?多给学生思考和讨论的时间.代表发言:AB和EF的倾斜度一样.由于两个直角三角形的两直角边的比值相等,再加上夹角相等,可以判定两个直角三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,可以证明两个倾斜角相等,所以AB和EF的倾斜度一样.教师引导:我们发现当直角三角形的两直角边的比值相等时,梯子的倾斜度一样,请大家判断一下在问题2与问题3中,两直角边的比值与倾斜度有什么关系?请继续探究下面的问题.问题4课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?教师引导:我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度,即哪一个更陡,可能就比较困难了.能不能从上面的探究中得到什么启示呢?生讨论后得出:思路1:梯子EF较陡,因为∠EFD>∠ABC,根据倾斜角越大,梯子就越陡.思路2:梯子EF较陡,因为>,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.师生共同总结:在日常的生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子AB和EF的倾斜角大小,或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.做一做:请通过计算说明梯子AB和EF哪一个更陡呢?生独立解答,代表展示:∵==,==,<,∴梯子EF比梯子AB更陡.[设计意图]通过探究逐层深入的问题,让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般的探究过程,既对已学知识和生活经验进行了回味和运用,也让学生的思想逐步向本节课的中心“两直角边之比”靠近.[知识拓展]梯子的倾斜程度的判定方法:(1)梯子的倾斜程度和倾斜角有关系,倾斜角越大,梯子就越陡.(2)梯子的倾斜程度和铅直高度与水平宽度的比有关系,铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.【想一想】如图所示,小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?生很容易得出两个三角形相似.由生说明理由:∵∠B2AC2=∠B1AC1,∠B2C2A=∠B1C1A=90°,∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.(2)和有什么关系?由于Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2,所以有=.(3)如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你得出什么结论?生先独立思考后分组讨论.生得出结论:改变B2在梯子上的位置,铅直高度与水平宽度的比始终相等.想一想:现在如果改变∠A的大小,∠A的对边与邻边的比值会改变吗?生讨论得出:∠A的大小改变,∠A的对边与邻边的比值会改变.∠A的对边与邻边的比只与∠A的大小有关系,而与它所在直角三角形的大小无关.【总结提升】由于直角三角形中的锐角A确定以后,它的对边与邻边的比也随之确定,因此我们有如下定义:如图所示,在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边之比便随之确定,这个比叫做∠A的正切(tangent),记作tan A,即tan A=.当锐角A变化时,tan A的值也随之变化.能力提升:如果∠A+∠B=90°,那么tan A与tan B有什么关系?生讨论得出结论:tan A=,即任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数.【议一议】前面我们讨论了梯子的倾斜程度,在课本图1-3中,梯子的倾斜程度与tan A有关系吗?学生思考后,统一答案:tan A的值越大,梯子越陡.(反之,梯子越陡,tan A的值越大)[设计意图]此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过让学生参与、动手操作,让学生学会由特殊到一般、数形结合及函数的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.[知识拓展]正切的注意事项:(1)tan A是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”.(2)tan A没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.(3)tan A不表示“tan”乘以“A”.(4)初中阶段,我们只学习直角三角形中锐角的正切.(教材例1)如图所示表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?想一想:要判断哪个自动扶梯比较陡,只需求出什么即可?生思考后得出:比较甲、乙两个自动扶梯哪一个陡,只需分别求出tan α,tan β的值进行比较大小即可,正切值越大,扶梯就越陡.要求学生独立解答,代表展示:解:甲梯中,tan α==.乙梯中,tan β==.因为tan α>tan β,所以甲梯更陡.[设计意图]通过对例题的解答让学生初步学会运用“正切”这一数学工具判断梯子的倾斜程度,同时规范学生的解题步骤,培养良好的解题习惯.课件出示:如图所示,有一山坡在水平方向上每前进100 m就升高60 m,那么山坡的坡度 (即tan α)就是: i=tan α==.结论:坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),tan α=,即坡度等于坡角的正切.[设计意图]正切在日常生活中的应用很广泛,通过正切刻画梯子的倾斜程度及坡度的数学意义,密切数学与生活的联系,使学生明白学习数学就是为了更好地应用数学,为生活服务.[知识拓展]坡度与坡面的关系:坡度越大,坡面越陡.(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tan α=.1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则tan A等于()A. B. C. D.解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,∴BC=5,∴tan A=.故选B.2.如图所示,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是()A. B.C. D.解析:认真读图,在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值,由图可得tan∠AOB=.故选B.3.(2014·温州中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tan A的值是.解析:tan A==.故填.4.河堤横断面如图所示,堤高BC=5 m,迎水坡AB的坡度是1∶(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AB的长是.解析:在Rt△ABC中,BC=5,tan A=1∶,∴AC=5,∴AB==10(m).故填10 m.第1课时(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tan α=.一、教材作业【必做题】1.教材第4页随堂练习第1,2题.2.教材第4页习题1.1第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则tan A的值为()A. B.C. D.2.小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1000 m,则他升高了()A.500 mB.200 mC.500 mD.1000 m3.已知斜坡的坡度为i=1∶5,如果这一斜坡的高度为2 m,那么这一斜坡的水平距离为m.【能力提升】4.(2015·山西中考)如图所示,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是()A.2B.C. D.5.如图所示,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A'B'C',使点B'与C重合,连接A'B,则tan∠A'BC'的值为.6.如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=10 cm,BC=9 cm,△ABC的面积为27 cm2.求tan B的值.7.某商场为方便顾客使用购物车,准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图所示).如果改动后电梯的坡面长为13 m,求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.【拓展探究】8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中线,若AB=13,BC=10,试求tan∠DBC的值.【答案与解析】1.D(解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴tan A===.故选D.)2.B(解析:设铅直高度为x m,∵坡度为1∶2,∴水平宽度为2x m,由勾股定理得x2+(2x)2=10002,解得x=200.∴他升高了200 m.故选B.)3.10(解析:∵斜坡的坡比是1∶5,∴=.∴=,∴斜坡的水平距离为=10 m.故填10.)4.D(解析:如图所示,连接AC,由勾股定理,得AC=,AB=2,BC=,∴△ABC为直角三角形,∴tan B==.故选D.)5.(解析:如图所示,过A'作A'D⊥BC',垂足为D.在等腰直角三角形A'B'C'中,易知A'D是底边上的中线,∴A'D=B'D=.∵BC=B'C',∴tan∠A'BC'===.故填.)6.解:如图所示,过点A作AH⊥BC于H,∵S△ABC=27,∴×9×AH=27,∴AH=6.∵AB=10,∴BH===8,∴tan B===.7.解:在Rt△ADC中,AD∶DC=1∶2.4,AC=13,由AD2+DC2=AC2,得AD2+(2.4AD)2=132,∴AD=±5(负值不合题意,舍去),∴DC=12.在Rt△ABD中,∵AD∶BD=1∶1.8,∴BD=5×1.8=9,∴BC=DC-BD=12-9=3(m).答:改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3 m.8.解:如图所示,过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为点H,F.∵BC=10,AH⊥BC,AB=AC,∴BH=5.∵AB=13,∴AH==12,在Rt△ACH中,AH=12,易知AH∥DF,且D为AC中点,∴DF=AH=6,∴BF=BC=,∴在Rt△DBF中,tan∠DBC==.本节课是三角函数部分的第一节概念教学,教学内容比较抽象,学生不易理解.为此结合初中学生身心发展的特点,运用实验教学、直观教学,唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维,并从抽象的思维到实践”的认识规律,能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.概念教学由学生熟悉的实例入手,引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与,并组织学生积极参与小组成员间合作交流.通过由特殊到一般、具体到抽象的探索过程,紧紧围绕着函数概念,引出正切概念,再通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中,注重了阶段性的反思小结,使学生能够及时总结知识和方法.本节课的开放性还不够,探究梯子倾斜程度时,学生的一些奇思妙想没有给予展示机会.第一个环节内容设计多了一些,所以导致后面的教学处理上稍显仓促.对第一个环节的处理力求更加简洁,并大胆放手让学生去探索、去发现,真正让学生成为学习的主人.随堂练习(教材第4页)1.解:能.tan C====.2.解:根据题意,得AB=200,BC=55,则AC===5,所以山的坡度为=≈0.286.习题1.1(教材第4页)1.解:∵BC===12,∴tan A==,tan B==.2.解:∵tan A==,BC=3,∴AC=BC=.4.tan A=.学生学习时首先通过情境题了解本节课学习的主要任务,做到有的放矢,然后利用“由一般到特殊”的数学思想,通过三个探究活动逐步得出梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系),在探究的过程中可以通过自主探究与合作交流的方式抓住重点,突破难点.学生在运用正切解决问题时,一定要注意其前提条件——在直角三角形中,找准直角是解题的关键.而有些题目需要作辅助线构造直角三角形,也可以通过角度的转化进行求解,同时还要注意数形结合思想的运用.如图所示,设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,设路基高为h,两侧的坡角分别为α,β.已知h=2 m,α=45°,tanβ=,CD=10 m.求路基底部AB的宽.〔解析〕如图所示,过D,C分别作下底AB的垂线,垂足分别为E,F.在Rt△ADE和Rt △BCF中,可根据h的长以及坡角的度数或坡比的值,求出AE,BF的长,进而可求得AB的值.解:如图所示,过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,∴DE∥CF.∵四边形ABCD为梯形,∴AB∥CD,∴EF=CD=10 m.∴四边形DCFE为矩形.在Rt△ADE中,α=45°,DE=h=2 m,∴CF=DE=h=2 m.在Rt△BCF中,tan β=,CF=2 m,∴BF=2CF=4(m).故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(m).答:路基底部AB的宽为16 m.[解题策略]此题主要考查了坡度问题的应用,求坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题,必要时应添加辅助线,构造出直角三角形.第课时1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正弦、余弦及三角函数的意义和与现实生活的联系.2.能够用sin A,cos A表示直角三角形中直角边与斜边的比,能够用正弦、余弦进行简单的计算.1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会数学来源于生活又服务于生活的理念.1.在探究新知的过程中,培养与他人合作的意识.2.激发学生探究新知的兴趣,让他们体会学习数学的快乐,培养应用数学的意识.【重点】1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义,并能举例说明.2.能用sin A,cos A表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.【难点】类比正切,用函数思想理解正弦和余弦.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习tan A的定义以及利用tan A表示直角三角形两边比的方法.导入一:如图所示,AC是旗杆AB的一根拉线,测得AB=6 m,∠ACB=α,同学们,你能用α表示出拉线AC的长度吗?【问题】边AB和AC分别是∠ACB的什么边?和我们上节课学习的正切一样吗?[设计意图]通过与正切的对比,引出本节课要探究的问题,让学生体会类比思想的重要性.导入二:课件出示:如图所示,我们在上一节课学习了直角三角形中的一种边与角之间的关系——正切.由正切定义我们知道正切是一个比值,并且得出了当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其对边与邻边的比值便随之确定.【问题】此时,其他边之间的比值也确定吗?[设计意图]引导学生回忆上节课学的正切后,开门见山,直入正题,让学生的思维很快进入今天的学习内容.一、正弦、余弦、三角函数的定义问题1课件出示:如图所示,在直角三角形中,除了两直角边的比值外还有其他边之间的比值吗?生观察后思考得出:还可以用直角边比斜边或斜边比直角边.(这里学生可能会提到多种情况,只要学生回答的有道理就予以肯定和表扬)教师引导:如果以∠A为例,总结一下共有几种情况.【学生活动】同伴交流,总结归纳出两种类型:对边与斜边的比、邻边与斜边的比.【教师点评】在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比和邻边与斜边的比也随之确定.【师生活动】共同总结:∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sin A,即sin A=.∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine),记作cos A,即cos A=.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.提示:当锐角A变化时,相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.[设计意图]通过探究,引导学生类比正切的概念总结出正弦、余弦及三角函数的概念,为下面的学习打下良好的基础.【想一想】在教材图1-3中,梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关系吗?。
北师大版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 复习课 导学案设计(无答案)
九年级数学学案班级________姓名__________课题解直角三角形及其应用主备人课型复习课使用时间序号32学习目标1.通过用锐角三角函数解直角三角形，发展推理能力和运算能力.2.在解决与直角三角形有关的实际问题中培养分析能力和解决问题的能力.3.体会数形之间的联系,逐步学习数形结合的思想和数学建模思想.学法指导问题驱动自主探究基础知识回顾1.如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，请回顾与直角三角形有关的边角关系有哪些？（1）边与边的关系：__________________.（2）角与角的关系：__________________.（3）边与角的关系：sinA=_______；cosA=_______；tanA=_______.2.请分别在两个图形中，用所给边和∠α表示其他两边BCAmαmA BCαACBcba例题驱动探究题型训练一：解直角三角形例1 根据下列条件解直角三角形.(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝43，∠B＝60°，则BC=____；AC=____.例题驱动探究(2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB=32，AC=2，求AB和BC.（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°AC=23,BC=6,求∠B和∠A的度数以及AB的长度.题型训练二：解直角三角形的应用例2 如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B 地，已知B位于A地北偏东67∘方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30∘方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长.（结果保留整数）(参考数据：sin67∘≈1213；cos67∘≈513；tan67∘≈12,3 1.735)例3 甲、乙两人要测量信号塔AB的高度，甲在C处用高度为1.5米的测角仪测得塔顶A的仰角为50°，乙在D处用高度为1.5米的测角仪测得塔顶A的仰角为72°，点C.D.B在同一条直线上，且甲乙两人的距离CD=10米，请你根据所测量的数据计算信号塔AB的高度.（结果精确到0.1m）（参考数据：4165193︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈）sin50,cos50,tan50,sin72,cos72,tan72352542010【变式训练】若将“甲在C处用高度为1.5米的测角仪测得塔顶A的仰角为50°”改为：“甲在C处用高度为1.7米的测角仪测得塔顶A的仰角为45°”，其他条件不变，你还能计算信号塔AB的高度吗？试一试吧.【拓展提升】如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.。
第一章 直角三角形的边角关系 教学设计
第一章直角三角形的边角关系 课题：锐角三角函数(一) 锐角的正切【学习目标】1．经历探索直角三角形中某锐角确定后其对边与邻边的比值也随之确定的过程，理解正切的意义． 2．能够用表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度，并能够用正切进行简单的计算． 【学习重点】理解锐角三角函数正切的意义，用正切表示倾斜程度以及坡度． 【学习难点】在现实情境中理解正切的意义．情景导入 生成问题旧知回顾：1．如图，两个斜坡AB 和EF ，哪个更陡一些？你是如何判断的？ 解：EF 更陡．∵BC AC ＝12<FGEG＝1，∴EF 更陡．(第1题图)(第2题图)2．如图，梯子AB 沿墙OA 下滑到CD 处，OA ＝OD ＝4，OB ＝OC ＝3，梯子在AB 或CD 处哪个更陡一些？如何用图上数据判定？解：AB 更陡.OA OB ＝43，OC OD ＝34.∵OA OB >OCOD，∴AB 更陡．自学互研 生成能力知识模块一 正切的定义阅读教材P 2～P 3，完成下面的内容： 什么是锐角的正切？如何表示？答：在直角三角形中，如果一个锐角确定，那么这个角的对边与邻边的比便随之确定．在Rt △ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边.范例1：(广州中考)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan A ＝( D )A .35B .45C .34D .43(范例1题图)(仿例1题图)(仿例2题图)仿例1：如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，BC ＝4，AC ＝3，设∠BCD ＝α，则tan α的值为( B )A.34B.43C.35D.45仿例2：(烟台中考)如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点F ，且点E 是AB 的中点，则tan ∠BFE 的值是( D )A .12B ．2C .33D . 3 仿例3：在直角坐标系xOy 中，点P(4，y)在第一象限内，且OP 与x 轴正半轴的夹角为60°，则y 的值是( B )A .433B ．4 3C ．8D ．2 知识模块二 坡度阅读教材P 3～P 4，完成下面的内容： 什么是坡度？坡度与坡角的正切值有何关系？答：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度或坡比．很显然坡度即坡角的正切值．坡角的正切值越大，坡度越陡．范例2：如图为一水库大坝的横断面，坝高h ＝6m ，迎水坡AB ＝10m ，斜坡的坡度角为α，则迎水坡的坡度是34．(范例2题图)(仿例1题图)仿例1：如图，河堤横断面是梯形，上底为4m ，堤高为6m ，斜坡AD 的坡比为1∶3，斜坡BC 的坡角为45°，则河堤的横断面的面积为( A )A ．96m 2B ．48m 2C ．192m 2D ．84m 2仿例2：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的中线，若BC ＝6，AC ＝8，则tan ∠ACD 的值为34．(仿例2题图)(仿例3题图)仿例3：如图，某人从山脚A 走了300m 的山路，爬到了120m 高的小山顶B21交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 正切的定义 知识模块二 坡度检测反馈 达成目标 课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________课题：锐角的正弦、余弦【学习目标】1．理解正弦函数和余弦函数的意义，能根据边长求出锐角的正弦值和余弦值，准确分清三种函数值的求法．2．经历探索知道直角三角形中某锐角确定后，它的对边、邻边和斜边的比值也随之确定，能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算．【学习重点】正确运用三角函数值表示直角三角形中两边之比． 【学习难点】用函数观点理解正弦、余弦和正切．情景导入 生成问题旧知回顾：1．什么叫锐角A 的正切？答：在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A ＝a b. 2．什么是坡度？答：正切也经常用来描述山坡的坡度，坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度．坡度即坡角正切值．自学互研 生成能力知识模块一 正弦和余弦的概念 阅读教材P5～P 6，完成下面的内容： 什么是锐角A 的正弦和余弦？如何表示？答：在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定时，那么∠A 的对边与斜边的比，邻边与斜边的比也随之确定． (1)在Rt △ABC 中，锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A ＝∠A 的对边斜边；(2)在Rt △ABC 中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即cos A ＝∠A 的邻边斜边；(3)锐角A 的正弦、余弦和正切都叫做∠A 的三角函数．范例1：(温州中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos A 的值是( D)A.34B.43C.35D.45仿例1：在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝512，那么sin B ＝1213．仿例2：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝6cm ，sin A ＝35，则菱形ABCD 的面积是__60__cm 2.(仿例2题图)(变例1题图)变例1：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，sin ∠CAM ＝35，则tan B 的值为23．变例2：等腰三角形腰长为6cm ，底边长为10cm 5知识模块二 锐角三角函数的应用 阅读教材P 5～P 6，完成下面的内容：范例2：(乐山中考)如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为( D ) A.33 B.55 C.233 D.255,(范例2题图)),(仿例1题图))仿例1：如图，已知l 1∥l 2∥l 3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sin α的值是( D )A.13B.617C.55D.1010仿例2：(常州中考)在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y ＝kx ＋b 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且过点P(1，1)，tan ∠ABO ＝3，那么点A 的坐标是(－2，0)或(4，0)．仿例3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sin A ＝35，则斜边上的高等于4825．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 正弦和余弦的概念 知识模块二 锐角三角函数的应用检测反馈 达成目标课后反思 查漏补缺1．收获：___________________________________________ _____________________________2．存在困惑：_________________________________________________________________课题：30°，45°，60°角的三角函数值【学习目标】1．能推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数． 2．能熟练计算含有30°，45°，60°角的三角函数的运算式．【学习重点】熟记30°，45°，60°角的三角函数值，并熟练进行计算． 【学习难点】理解30°，45°，60°角的三角函数值推导过程，从而牢记三角函数值．情景导入 生成问题旧知回顾：1．锐角A 的三角函数有哪几种？如何表示？答：将锐角A 的正弦、余弦、正切统称为∠A 的三角函数． sin A ＝∠A 的对边斜边 cos A ＝∠A 的邻边斜边 tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝12，则sin A 5cos A 5自学互研 生成能力知识模块一 30°，45°，60°角的三角函数值阅读教材P8～P9，完成下面的内容：1．如何得30°，45°，60°角的三角函数值？ 答：观察一副直角三角板，如图(1)，设BC ＝1，则AB ＝2，AC ＝3，由此可得30°，60°角的三角函数值．如图(2)，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝2，由此可得45°角的三角函数值．2．填写下表，并归纳锐角三角函数值随角度变化规律.锐角的正弦、正切值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小．范例1：cos60°的相反数是( C )A.12B.32 C ．－12 D ．－32 仿例1：在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫cos B －122＝0，则∠C 度数是( D ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°仿例2：若α为锐角，且3tan(90°－α)＝3，则α为( C ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°仿例3：在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，1tan B ＝33，cos A ＝22，则△ABC 三个角的大小关系是( D )A ．∠C >∠A >∠B B ．∠B >∠C >∠A C ．∠A >∠B >∠CD ．∠C >∠B >∠A 仿例4：计算：(1)sin 260°＋cos 260°－tan45°； (2)cos 230°·tan30°－tan45°·cos45°.解：(1)原式＝0；(2)原式＝3－224. 知识模块二 30°，45°，60°角的三角函数值的应用 阅读教材P8～P9，完成下面的内容：范例2：(邵阳中考)如图，某登山运动员从营地A 沿坡角为30°的斜坡AB 到达山顶B ，如果AB ＝2000m ，则他实际上升了1000m .仿例1：身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放飞线长分别为30m ，25m 和20m ，线与地面所成的角度分别为30°，45°和60°，假设风筝线是拉直的，三人所放风筝( B )A ．甲的最高B ．乙的最高C ．丙的最高D ．丙的最低仿例2：如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，若过点C 作CD ⊥AB 于D ，则∠BCD ＝15°，根据此图计算tan15仿例3：(龙东中考)△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，∠BAC ＝30°，则△ABC 的面积为交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 30°，45°，60°角的三角函数值 知识模块二 30°，45°，60°角的三角函数值的应用检测反馈 达成目标课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：_________________________________________________________________课题：三角函数的计算【学习目标】1．学习任意锐角三角函数值的求法，并能够结合实例进行相关计算．2．运用计算器求出任意锐角的三角函数值，并能用给定的三角函数值求出相应的度数． 【学习重点】运用计算器求出任意锐角的三角函数值或由已知三角函数值求出相应的度数． 【学习难点】领会锐角度数及其相应三角函数值大小变化规律．情景导入 生成问题旧知回顾： 1．填表.2．如图，BC ＝3m ，从B 点望旗杆顶端A 的视角为65°，怎样求旗杆AC 的长呢？学习本节课，将帮助你解答这个问题．自学互研 生成能力知识模块一 用科学计算器求锐角三角函数值 阅读教材P 12～P 13，完成下面的内容： 锐角A 为特殊角，可求得三角函数值．如果锐角不是特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？ 答：利用计算器可求一般角的三角函数值．范例1：用计算器计算sin 24°的值，以下按键顺序正确的( A ) A .sin 2 4 ＝ B .2 4 sin ＝C .2ndF sin 2 4D .sin 2 4 2ndF 仿例1：sin 65°，cos 65°，tan 65°的大小关系是( D ) A ．tan 65°<cos 65°<sin 65° B ．sin 65°<cos 65°<tan 65° C ．cos 65°<tan 65°<sin 65° D ．cos 65°<sin 65°<tan 65° 仿例2：下列四个计算结果中最大的是( D ) A ．sin 48°＋cos 48° B ．sin 48°＋tan 48° C ．cos 48°＋tan 48° D ．tan 48°＋1cos 48°仿例3：用计算器求锐角三角函数值(精确到0.001)： (1)tan 55°≈1.428； (2)cos 35°≈0.819． (3)sin 50°26′18″≈0.771； (4)tan 15°15′≈0.273．仿例4：如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC 为3m ，引桥的坡角∠ABC 为15°，则引桥的水平距离BC 的长是11.2m .(精确到0.1m )知识模块二 用科学计算器求锐角的度数 阅读教材P 13～P 14，完成下面的内容： 范例2：根据下列条件，求锐角度数． (1)若sin α＝0.6785，则∠α＝42°43′36″； (2)若cos α＝33，则∠α＝54°44′8″； (3)若tan α＝35.6，则∠α＝88°23′28″．仿例1：比较锐角α，β大小：已知sin α＝0.47，tan β＝52.3，则α__<__β. 仿例2：用“<”连接下列各题中的锐角α，β，γ.(1)若sin α＝0.123，sin β＝0.8456，sin γ＝0.5678，则α，β，γ的大小关系为α<γ<β； (2)若cos α＝0.0123，cos β＝0.3879，cos γ＝0.1024，则α，β，γ的大小关系为β<γ<α. 仿例3：已知tan α＝23，则锐角α的取值范围是( B )A ．0°<α<30°B ．30°<α<45°C ．45°<α<60°D ．60°<α<90°交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 用科学计算器求锐角三角函数值 知识模块二 用科学计算器求锐角的度数检测反馈 达成目标 课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：_________________________________________________________________课题：解直角三角形【学习目标】1．理解解直角三角形的定义，能通过已知条件正确选用关系式解直角三角形．2．熟练应用勾股定理，直角三角形两锐角关系，边角关系解直角三角形，培养分析能力和计算能力． 【学习重点】学会运用已知条件解直角三角形． 【学习难点】根据条件选择适当的方法解直角三角形．情景导入 生成问题旧知回顾：1．直角三角形三边之间有什么关系？ 答：勾股定理：a 2＋b 2＝c 2.2．直角三角形两锐角之间有何关系？ 答：互余：∠A ＋∠B ＝90°. 3．直角三角形边与角之间有何关系？答：锐角三角函数sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，tan A ＝ab.自学互研 生成能力知识模块一 已知两边解直角三角形 阅读教材P 16～P 17，完成下面的内容： 1．什么叫解直角三角形？答：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2．解直角三角形一般有哪些类型？答：①已知两边解直角三角形；②已知一边和一锐角解直角三角形． 范例1：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.(1)若c ＝62，a ＝6，则b ＝6，∠B ＝45°，∠A ＝45°； (2)若a ＝3，b ＝3，则∠A ＝60°，∠B ＝30°，c仿例1：(连云港中考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝15，则∠A 的 度数为( D ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°仿例2：如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 等于( B )A .34B .43C .35D .45仿例3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12，AC ＝43，解这个直角三角形． 解：∵tan A ＝BC AC ＝1243＝3，∴∠A ＝60°，∠B ＝30°，AB ＝2AC ＝8 3.知识模块二 已知一边和一锐角解直角三角形 阅读教材P 16～P 17，完成下面的内容：范例2：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cos B ＝23，则BC 的长为( A )A ．4B ．25C .81313D .121313仿例1：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，且CD ＝2，DE ＝1，则BC 的长为( B )A ．2B .433C ．2 3 D ．4 3(仿例1题图)(仿例2题图) 仿例2：如图，在△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( A ) A .212B ．12C ．14D ．21 仿例3：等边三角形的高为2，则它的边长是( C ) A ．4 B .23 3 C .433 D ．2交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一已知两边解直角三角形知识模块二已知一边和一锐角解直角三角形检测反馈达成目标课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：_________________________________________________________________课题：三角函数的应用(一)【学习目标】1．理解方位角和仰角、俯角等概念，弄清他们的意义．2．将实际问题转化为数学问题，根据解直角三角形的方法来解决问题．【学习重点】将实际问题转化成数学问题且了解方位角、仰角、俯角在解直角三角形中如何应用．【学习难点】实际情况和平面图形之间的转化．情景导入生成问题旧知回顾：1．什么叫解直角三角形？答：由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程，叫解直角三角形．2．如图，指出OA，OB，OC，OD表示的方位角．答：OA：北偏东20°；OB：西北方向；OC：南偏西65°；OD：南偏东50°.自学互研生成能力知识模块一方位角问题阅读教材P19～P20，完成下面的内容：范例1：如图，一舰艇在A处观测到灯塔C在南偏东60°方向，该舰艇以32海里/时的速度向正东航行，2h后到达B处，在B处观测到灯塔C在南偏东15°方向，此时从B处到达灯塔C需要( D) A．2h B．23h C．22h D.2h(范例1题图)仿例1：某时刻海上点P 处有一客轮，测得灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行23小时到达B 处，那么tan ∠ABP ＝( A )A .12B ．2C .55D .255仿例2：如图，在东西方向的海岸线上有A ，B 两个港口，甲货船从A 港沿北偏东60°的方向以40海里/小时的速度出发，同时乙货船从B 港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P 处，乙货船每小时航行里．(仿例2题图)仿例3：如图所示，某船向正东方向航行，在A 处望见某岛C 在北偏东45°方向，前进6海里到达B 处，测得该岛在北偏东30°方向，已知在该岛周围6海里内有暗礁，若该船继续向东航行，有无触礁的危险？请说明理由．解：过点C 作CD ⊥AB 于D ，由题意得∠CAB ＝45°，∠BCD ＝30°，AB ＝6，设CD ＝x ，在Rt △CAD 中，AD ＝CD ＝x ，在Rt △CBD 中，BD ＝x·tan 30°＝33x ，由于AD －BD ＝6，∴x －33x ＝6，解得x ＝9＋33>6，∴若该船继续向东航行无触礁危险．知识模块二 仰角和俯角问题阅读教材P 19～P20，完成下面的内容： 什么是仰角？什么是俯角？答：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．范例2：(衡阳中考)如图，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1m 的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100m 到达F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB(单位：m )为( C )A ．503B ．51C ．503＋1 D ．101(范例2题图)(仿例题图)仿例：如图，从热气球C 上测得建筑物A ，B 底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD 为150m ，且点A ，D ，B 在同一直线上，那么建筑物A ，B 间的距离为( C )A ．1503mB ．1803mC ．2003mD ．2203m交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 方位角问题知识模块二 仰角和俯角问题检测反馈 达成目标 课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：_________________________________________________________________课题：三角函数的应用(二)【学习目标】1．加强对坡度、坡角、坡面概念的理解，了解坡度与坡面陡峭程度的关系．2．能解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力． 【学习重点】对堤坝等关于斜坡的实际问题的解决． 【学习难点】对坡度、坡角、坡面概念的理解．情景导入 生成问题旧知回顾：什么是坡度？它与坡角正切有何关系？答：坡面的垂直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比．如图，坡度i ＝h ∶l ，tan α＝hl ，∴坡度即坡角正切值，坡度越大，坡面越陡．自学互研 生成能力知识模块 坡度问题阅读教材P19～P20，完成下面的内容：范例1：某人沿着坡度为1∶3的山坡前进了50m ，则此时人离地面( B ) A ．50m B ．25m C ．253m D ．252m仿例1：如图，一束光线照在坡度为1∶3的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角角α是30°.(仿例1题图)(仿例2题图)仿例2：如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm ，宽为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡的坡度i ＝1∶5，则AC 的长度是240cm .仿例3：(丽水中考)学校校园内有一小山坡AB ，经测量，坡角∠ABC ＝30°，斜坡AB 长为12m .为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD 的坡比是1∶3，A ，D 两点处于同一铅垂线上，求开挖后小坡下降的高度AD.解：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，AC ＝12AB ＝6(m )，BC ＝AB·cos ∠ABC ＝12×32＝63(m )， ∵斜坡BD 的坡比是1∶3，∴CD ＝13BC ＝23(m )，∴AD ＝AC －CD ＝6－23(m )，即开挖后小山坡下降的高度AD 为(6－23)m .仿例4：(巴中中考)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶BC 宽6m ，坝高20m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶2.5，斜坡CD 的坡角为30°，求坝底AD 的长度．(精确到0.1m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732.提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)解：作BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，垂足分别为点E ，F ，则四边形BCFE 是矩形， 由题意，得BC ＝EF ＝6m ，BE ＝CF ＝20m . 在Rt △ABE 中，BE ＝20m ，BE AE ＝12.5， ∴AE ＝50m ，在Rt △CFD 中，∠D ＝30°， ∴DF ＝CFtan D＝203m .∴AD ＝AE ＋EF ＋FD ＝50＋6＋203≈90.6(m )． 答：坝底AD 的长度约为90.6m .交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块坡度问题检测反馈达成目标课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：____________________________________________________________________课题：利用三角函数测高【学习目标】1．利用直角三角形的边角关系测量并计算物体的高度．2．在活动中培养学生实际操作能力，培养运用数学的意识．【学习重点】利用直角三角形的边角关系测物体的高度．【学习难点】正确操作与计算．情景导入生成问题旧知回顾：1．测量倾斜角一般用什么仪器？它由哪些部分组成？答：测量倾斜角可以用测倾器，简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成．2．使用测倾器测量倾斜角的步骤是什么？答：(1)把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线在水平位置；(2)转动度盘，使度盘的直径对准目标，记下此时的铅垂线所指的度数．自学互研生成能力知识模块一测量底部可以到达物体的高度阅读教材P22～P23，回答下列问题：如何测量底部可以到达的物体的高度？答：测量底部可到达的物体的高度时，选择适当测点，测量出仰角，量出测点到物体底部的水平距离及测倾器的高度三个数据．范例1：测量底部可以到达的物体时，所得到的数学模型如图所示，这时物高h满足关系式h＝l·tanα＋a．(范例1题图)仿例1：如图，小明测自己前面大树高时，测得树顶的仰角为30°，眼睛距地面1.5m，此时距树5m，则这课树高⎝⎭32m.(仿例1题图)仿例2：如图，大楼AD的高为10m，远处有一塔BC，某人在楼顶D测得塔顶B点的仰角为30°，塔底C点的俯角为45°，则塔BC的高度为( D)A．15m B．20m C．(10＋103)mD.⎝⎛⎭⎫10＋1033m,(仿例2题图),(仿例3题图) 仿例3：如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P处与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为( C)A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm知识模块二测量底部不可到达物体的高度阅读教材P 22～P 23，完成下面的内容： 如何测量底部不可到达物体的高度？答：测量底部不可到达的物体的高度时，要选择与物体在同一直线上的两个测点，测量出两个仰角，两个测点间的距离及测倾器的高度四个数据．范例2：如图所示，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60m 到C 点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为( A )A ．82mB ．163mC ．52mD ．70m(范例2题图)仿例1：如图，山顶有一座电视塔，在地面上一点A 处测得塔顶B 处的仰角α＝60°，在塔底C 处测得A 点的俯角β＝45°，已知塔高60m ，则山高CD 等于( A )A ．30(1＋3)mB ．30(3－1)mC ．30mD ．(303＋1)m(仿例1题图)(仿例2题图)仿例2：如图，在高为60m 的小山上，测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°，60°，这个建筑物的高度为( C )A ．20mB ．30mC ．40mD ．50m交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 测量底部可以到达物体的高度 知识模块二 测量底部不可到达物体的高度检测反馈 达成目标 课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：____________________________________________________________________第一章小结与复习【学习目标】1．理解三角函数的定义，识记特殊三角函数值，根据条件熟练解直角三角形． 2．通过对本章知识进行旧知回顾，对本章知识结构有系统认识． 【学习重点】熟练记忆特殊角的三角函数值，根据条件选择适当方法解直角三角形． 【学习难点】情景导入 生成问题知识结构框图：解直角三角形⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧直角三角形边角关系⎩⎪⎨⎪⎧锐角三角函数⎩⎪⎨⎪⎧正切正弦、余弦30°、45°、60°角的三角函数值一般三角函数值的计算⎩⎪⎨⎪⎧利用计算器求三角函数值利用计算器求角度解直角三角形⎩⎪⎨⎪⎧已知两边解直角三角形已知一边和一锐角解直角三角形三角函数的应用⎩⎪⎨⎪⎧方位角问题俯角、仰角问题坡度问题利用三角函数测高自学互研 生成能力知识模块一 锐角三角函数范例1：如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的F 处，若AB ＝4，BC ＝5，则tan ∠AFE 的值为( C )A .43B .45C .34D .45,(范例1题图)),(仿例1题图))仿例1：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CA 是∠BCD 的平分线，且AB ⊥AC ，AB ＝4，AD ＝6，则tan B 等于( B )A ．2 3B ．2 2C .114D .554仿例2：tan 30°·tan 60°＋2（sin 45°－1）2知识模块二 解直角三角形范例2：长为4m 的梯子在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图)，则梯子的顶端沿墙面升高.,(范例2题图) ,(仿例题图)仿例：将直角边长为5cm 的等腰直角△ABC 绕点A 逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分62.知识模块三 三角函数的应用范例3：(徐州中考)如图，轮船从点A 处出发，先航行至位于点A 的南偏西15°且与点A 相距100km 的点B 处，再航行至位于点B 的北偏东75°且与点B 相距200km 的点C 处．(1)求点C 与点A 的距离；(精确到1km )(2)确定点C 相对于点A 的方向．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：(1)过A 作AD ⊥BC 于点D ，∠ABC ＝75°－15°＝60°. 在Rt △ABD 中求得AD ＝503，BD ＝50，∴CD ＝150. 在Rt △ADC 中，由勾股定理得AC ＝1003≈173(km )．(2)由AB 2＋AC 2＝BC 2，∠BAC ＝90°，∴∠FAC ＝75°， ∴点C 位于点A 的南偏东75°方向．仿例：如图，小明在大楼30m 高(即PH ＝30m )的窗口P 处进行观测，测出坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i(即tan ∠ABC)为1∶3，点P ，H ，B ，C ，A 在同一个平面上，点H ，B ，C 在同一条直线上，且PH ⊥HC.(1)山坡坡角(即∠ABC)的度数等于30°；(2)求A ，B 两点间的距离(结果精确到0.1m ，参考数据：3≈1.732)．解：(1)30；(2)由题意得：∠PBH ＝60°，∠APB ＝45°，∵∠ABC ＝30°，∴∠ABP ＝90°，在Rt △PHB 中，PB ＝PHsin ∠PBH＝203，在Rt △PBA 中，AB ＝PB ＝203≈34.6.答：A ，B 间距离约为34.6m .交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 锐角三角函数 知识模块二 解直角三角形。
初中数学 导学案1：直角三角形的边角关系
直角三角形的边角关系一、课前小测（限时5分钟）： 1.5231---x x = .2. 因式分解：a 3 – 16 a =3. 如图，a ∥b ，∠1 = 65°，那么∠2 = .4. 函数31-=x y 的自变量 x 的取值范围是 . 5. 正比例函数的图象经过点（3，–6），那么它的解析式为 .6. 已知：在△ABC 中，∠A = 35°，∠B = 105°，那么∠C = .7. 圆心角为150°，弧长为20πcm 的扇形面积为 .8. 命题“在同一个三角形中，等边对等角”的逆命题是 . 9. 已知函数()2833my m x -=-+是一次函数，则m 的值为 .10.如图，△ABC 中，D 是AB 上一点，添加什么条件，可使△ABC ∽△ACD？答： 或 或 .二、课标要求：了解(认识)：:通过实例认识锐角三角函数(sinA 、cosA 、tanA ),知道已知 30°、 45°、60°角的三角函数值.理解和掌握：会使用计算器由已知锐角，求其相应的三角函数值, 由已知锐角函数值求与其对应的锐角.灵活运用：:运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题. 三、复习重点：理解三角函数的概念，并能根据它们的数学意义进行直角三角形的边角关系的计算.四、归纳结构：实际背景锐角三角函数的意义锐角三角函数的计算 利用三角函数解决实际问题五、本课主要知识点：解直角三角形的基本类型及解法：在Rt△ABC 中，∠C = 90° 六、典例示范：1．对锐角三角函数概念的理解.（1） 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， sinB=23，则cosA 的值为（ ） A 、21B 、22C 、23D 、33（2）正方形网格中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB 的值为 （ ）A 、55B 、552C 、21D 、230°、 45°、60°角的三角函数一般锐角三角函数值由三角函数值求锐角2．对于特殊角的三角函数值的计算.计算)360tan 2008(45sin 231-+--3．求已知锐角的三角函数值、或求已知三角函数值所对应的角. 已知矩形的两邻边之比是31，则该矩形的两条对角线所夹的锐角度数为 .4．运用三角函数解直角三角形.如图，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝8，sinA ＝35 ，CD ＝2 3 ，求∠CBD的三个三角函数值.思路点拨：解直角三角形所应用的工具有三种：一是通过直角三角形两锐角互余的性质，进行角的计算；二是通过勾股定理进行边的计算；三是应用三角函数进行边与角的计算.在解直角三角形时首先要构造直角三角形，并且常常有用公共边将两个直角三角形联系起来.，5．运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.（选做）如图所示，某市景区管委会准备在郊外两个景区点A 、B 与该市M 间修建一条笔直的公路，经测量，在A 的北偏西30方向上6km 的C 处的四周1km 范围内是一个重点文物保护区，且又位于景点B 的正北方向，测得AB 的长为5km ，试问能否修这条笔直的公路（精确到，参考数据：73.13,24.25==）？A BCM北思路点拨：关于方向和位置的应用题常涉及解直角三角形和三角函数知识，解决这类问题有把握好三个关键，一是认清方位角，二是确定基点，标清路线角度.三是构造适当的直角三角形七、总结通法：1、在运用直角三角形边角关系解决问题时，应遵循三条原则：一是“知二（直角除外）求三”中至少有一个条件是边；二是尽量使用题目中的原始数据；三是尽量避免除法运算.2、在解决实际问题时，首先要弄清题意，正确画出示意图，将实际问题转化为直角三角形的问题，进而运用三角函数的知识加以解决.3、有些问题涉及的不是直角三角形，这就需要根据条件或图形的特点，适当的引进辅助线，以构造直角三角形，从而将问题转化为直角三角形的问题加以解决.4、解决应用题时要注意弄清仰角、俯角、坡度（坡比）等术语的含义.5、有关锐角三角函数的问题，综合性、技巧性、操作性都比较强，涉及到的知识和方法较多，因此，在综合复习中要体会模型化思想和数形结合等数学思想方法的应用.八、变式训练：1、已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB=5，AC=2，则cosA 的值为（ ） A 、521 B 、52 C 、221 D 、25 2、直角三角形中，∠C ＝90°，a ，b 分别是∠A ，∠B 的对边，则ab 是角A 的（ ）A 正弦B 余弦C 正切D 余切3、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3a ＝ 3 b ，则∠A ＝ ，sinA ＝ .4、计算： 3 tan30°－1－2 tan60°＋tan 260° ＋cos60°·cos45°.5、已知△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°，BD 为AC 边上中线，求sin ∠ABD 和tan ∠ABD 的值.6、如图，甲、乙两栋高楼的水平距离BC 为90米，从甲楼顶部点C 测得乙楼顶部点A 的仰角为30O ，测得乙楼低部点B 的俯角为60O ，求甲、乙两栋高楼各有多高（结果用带根号的数表示）？7、（2006年湖南省张家界市）会堂里竖直挂一条幅，小刚从与成水平的点观察，视角30C =∠，当他沿方向前进米到达到时，视角45ADB =∠，求条幅的长度．ABCD甲乙A BCD8、如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩贵州”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°，再往条幅方向前行20米到达点E处，，看到条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长，（小明的身高不计，结果精确到米）。