物理光学 菲涅耳衍射

O h O
r0
P0
S 4 πR 2
S 2πRh
R h
(1)波带面积 SN
因为
2 2 N R2 ( R h)2 rN (r0 h)2
2 rN r02 h 2( R r0 )
所以
(68)
MN R N S O
N
rN =r0 + N / 2 S r0 P0
可见，各个波带产生的振幅 aN 的差别只取决于倾 角N。
S N aN K ( ) (66) rN
πR 1 S N S N S N 1 r0 N (72) R r0 2 2
N
S N aN K ( ) rN
MN R N S O
(66)
N
rN=r0+N /2 S
h O
r0
P0
(1)波带面积 SN
在下图中，圆孔对 P0 点共露出 N 个波带，这 N 个 波带相应的波面面积是
S N 2πRh
式中，h 为OO长度。
MN R N S
(67)
N
rN =r0 +N / 2 S
则由惠更斯—菲涅耳原理，P0 点的光场振幅应为各 波带在 P0 点产生光场振幅的叠加，近似为
AN a1 a2 a3 a4
aN
(65)
1. 菲涅耳波带法
AN a1 a2 a3 a4
aN
(65)
当 N 为奇数时，aN 前面取 + 号，N 为偶数时，aN 前面取－号。
通常在半定量处理菲涅耳衍射现象时，均采用比较 简单、物理概念很清晰的菲涅耳波带法或图解法。
4.3.1 菲涅耳圆孔衍射—菲涅耳波带法(Fresnel diffraction by a circular aperture — Fresnel's zone construction )
1. 菲涅耳波带法
r1 r0
2 r1 r 2 2 r2 r0 2

1. 菲涅耳波带法 为利用菲涅耳波带法求 P0 点的光强，首先应求出各 个波带在 P0 点振动的振幅。
AN a1 a2 a3 a4
aN
(65)
1. 菲涅耳波带法
aN 主要由三个因素决定: 波带的面积大小SN；波带 到P0 点的距离 r ；波带对P0 点连线的倾斜因子K(）
rN rN 1 1 rN r0 N 2 2 2
(73)
(3)倾斜因子 由上图可见，倾斜因子为
1 cos K ( ) 2 (74)
将(72)-(74)式代入(66)式，可以得到各个波带在 P0 点产生的光振动振幅
πR 1 cos N aN (75) R r0 2
r0+3/2 r0 + r0+/2
(72)

r0
P0
(1)波带面积 SN 波带面积随着序数 N 的增大而增加。但由于通常 波长 相对于R 和 r0 很小，2 项可以略去，因此 可视各波带面积近似相等。
S N S N S N 1 πR 1 r0 N R r0 2 2 r0 πR R r0
2 rN r02 h (68) 2( R r0 )
r r Nr0 N (69) 2
2 N 2 0 2
2
2 πR 2 SN Nr0 N R r0 4
(70)
(1)波带面积 SN
同样也可以求得( N－1 )个波带所对应的波面面积为
4.3 菲涅耳衍射 (Fresnel diffraction )
相对于夫朗和费衍射而言,观察屏距衍射屏不太远。
M
K1
K2
K3
K4
几何投影区
菲涅耳衍射区
夫朗和费衍 射区

4.3 菲涅耳衍射 (Fresnel diffraction ) 直接运用菲涅耳—基尔霍夫衍射公式定量计算菲涅 耳衍射，数学处理非常复杂。
πR S N 1 R r0
2 2 ( N 1)r0 ( N 1) 4
(71)
2 πR 2 SN Nr0 N R r0 4
(70)
(1)波带面积 SN 两式相减，即得第 N 个波带的面积为
πR 1 S N S N S N 1 ຫໍສະໝຸດ Baidu0 N R r0 2 2
(2)各波带到 P0 点的距离
rN
rN 和 rN－1 是第 N 个波带到 P0 点的距离可取两者 的平均值，即
rN rN 1 1 rN r0 N 2 2 2
r0+3/2 r0 + r0+/2
(73)

r0
P0
(2)各波带到 P0 点的距离
rN
这说明第 N 个波带到 P0 点的距离随着序数 N 的 增大而增加。
r1 r0

2 2 r2 r0 2
N rN r0 2
1. 菲涅耳波带法
r0+3/2 r0 + r0+/2 r0 P0

相邻两个环带上的相应两点到 P0 点的光程差为半 个波长,这样的环带叫菲涅耳半波带.
1. 菲涅耳波带法 设 a1、a2、……、aN 分别为第 1、第 2、……、第 N 个波带在 P0 点产生光场振幅的绝对值.
一个单色点光源S 照射圆孔衍射屏的情况，P0 是 圆孔中垂线上的点，在某时刻通过圆孔的波面为 MOM，半径为 R。
M
N
S
R d M2
M3 M1

r0+3/2 r0+ r +/2 0 P0 r0
M h
1. 菲涅耳波带法 现在以 P0 为中心，以 r1，r2，…，rN 为半径，在波
面上作圆,把 MOM 分成N 个环带，所选取的半径为
h O
(1)波带面积 SN
又由于 rN = r0 + N／2，故有
r r Nr0 N 2
2 N 2 0 2 2
(69)
将(68)式、(69)式代入(67)式中，得
2 πR 2 SN Nr0 N R r0 4
(70)
S N 2πRh (67)